第八章 平面向量（13大题型精讲）（复习讲义）高一数学沪教版必修第二册

第八章 平面向量（复习讲义） 1、理解向量的有关概念及向量的几何表示. 2、掌握共线向量、相等向量的概念，正确区分向量平行与直线平行. 3、掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量，掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算. 4、掌握向量减法的定义，理解相反向量的意义，掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量. 5、掌握向量数乘的运算及其运算律，理解数乘向量的几何意义. 6、理解平面向量基本定理及其意义，体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题. 7、了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 8、理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会平面向量数量积与投影数量的关系. 9、会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题. 一、向量的有关概念 知识点1　向量的概念 把既有大小又有方向的量统称为向量，而把那些只有大小没有方向的量称为数量(如年龄、身高、体积等)． [特别提示]　数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小． 知识点2　向量的表示方法 (1)具有方向和长度的线段，称为有向线段．以A为起点，B为终点的有向线段，记作，线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作． (2)向量可以用有向线段表示．有向线段的长度表示向量的大小，即长度(也称模)，记作|a|．箭头所指的方向表示向量的方向． 知识点3　零向量与单位向量 (1)长度为0的向量称为零向量，记作0或； (2)模等于1个单位长度的向量，称为单位向量． 知识点4　向量的基本关系 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量，记作a＝b． (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量共线． (3)相反向量：长度相等且方向相反的向量，叫作相反向量，a的相反向量记作－a； 规定零向量的相反向量是零向量． 知识点5　向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角； (2)夹角的大小与向量共线、垂直的关系： θ＝0°⇔a与b同向；θ＝180°⇔a与b反向；θ＝90°⇔a⊥b，规定：零向量与任一向量垂直． 二、向量的运算 知识点1　向量求和法则 类别 图示 几何意义 向量 求和 的法 则 三角 形法 则 已知不共线向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＝ 平行 四边 形法 则 已知不共线向量a，b，作＝a，＝b，再作平行的＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形，向量叫作向量a与b的和，表示为＝a＋b 知识点2　向量加法的运算律 向量加 法的运 算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 知识点3　相反向量的性质 性质 (1)－(－0)＝0； (2)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； (3)若a＋b＝0，则a＝－b，b＝－a． 知识点3　向量减法 (1)定义 向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b)，求两个向量差的运算，叫作向量的减法． (2)几何意义 如图，设＝b，则＝a－b，即a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量． [特别提示]因为向量的减法是向量的加法的逆运算，所以向量的减法可以转化为向量的加法来运算． 知识点4　数乘运算的定义 (1)实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa． (2)|λa|＝|λ||a|． (3)λa的方向 (4)几何意义：当λ>0时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的λ倍； 当λ<0时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍． 知识点5　数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，a，b为向量，则 (1)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (2)λ(μa)＝(λμ)a； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)． 知识点6　共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得a＝λb． [特别提示]当a≠0，b＝0时，λ不存在；当a＝0，b＝0时，λ不唯一． 三、向量的数量积 知识点1　平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角记为〈a，b〉或θ(0°≤θ≤180°)，我们把|a||b|cos 〈a，b〉称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝|a|·|b|cos θ． 规定：零向量与任一向量的数量积为零． 知识点2　投影向量和投影数量 (1)如图，已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′，投影γ＝，γ称为a在b上的投影向量． (2)如图，|a|cos 〈a，b〉称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a·． (3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos 〈a，b〉的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos 〈a，b〉的乘积(如图)． (4)数量积的物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s． 知识点3　数量积的运算律 交换律：a·b＝b·a． 与数乘的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． 关于加法的分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 知识点4　数量积的性质 (1)若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos 〈a，e〉； (2)a⊥b⇔a·b＝0(其中a，b为非零向量)； (3)|a|＝； (4)cos 〈a，b〉＝(|a||b|≠0)； (5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立． 四、平面向量基本定理及坐标表示 知识点1　平面向量基本定理 (1)定义：如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． (2)基：把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基，记为{e1，e2}． 知识点2　标准正交基 若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基．在正交基下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基． 知识点3　平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a(通常称为位置向量)．由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝xi＋yj．因此，a＝xi＋yj．我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝(x，y)． 知识点4　平面向量的坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 数学公式 文字语言表述 向量 加、减法 a±b＝(x1±x2，y1±y2) 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 向量 数乘 λa＝(λx1，λy1)λ∈R 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积 向量 坐标 ＝(x2－x1，y2－y1) 一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标 知识点5　中点坐标公式 若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，线段AB的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段AB的中点坐标公式． 知识点6　平面向量平行的坐标表示 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0．若a∥b，则存在实数λ，使得a＝λb，用坐标表示为x1y2－x2y1＝0． 若y1≠0且y2≠0，则上式可变形为＝． (2)文字语言描述向量平行的坐标表示 定理1：若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例． 定理2：若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行． 知识点7　平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示 (1)数量积的坐标表示： 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． (2)模、夹角、垂直的坐标表示： 题型一 向量的概念 1．四边形中，“”是“是梯形”的___________条件． 【答案】充分不必要 【分析】根据共线向量的定义以及充分必要条件的定义即可判断. 【详解】若，则且，则四边形为梯形，故充分性成立， 若为梯形，则或，若不平行于，则，故必要性不成立. 所以“”是“是梯形”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 2．下列结论中正确的是（   ）． A．零向量没有大小，方向任意 B．对任一向量，总是成立的 C． D． 【答案】D 【分析】根据零向量、向量模长、相等向量与相反向量定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，零向量的模长为，方向任意，A错误； 对于B，当向量为零向量时，，B错误； 对于C，若与方向不同，则，C错误； 对于D，与为相反向量，，D正确. 故选：D. 3．如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 【答案】(1)， (2)，，，，，，． 【分析】（1）根据向量相等的概念直接求解；（2）根据共线向量的概念直接求解即可. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，四边形是矩形， 所以，又，所以 ， 与向量相等的向量有，. （2）与共线的向量有，，，，，，． 题型二 加法、减法、乘运算 1．化简： （1）__________； （2）__________． 【答案】 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】（1）； （2）. 故答案为：①；②. 2．在平行四边形中，为与的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法法则和减法法则进行判断即可. 【详解】对于A: 根据向量加法的平行四边形法则，得，A错误C正确； 根据向量减法的法则得，B错误D错误； 故选：C. 3．（1）化简； （2）若，求向量. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可化简得结果； （2）利用平面向量的线性运算可求出向量. 【详解】（1）； （2）因为，故. 4．点在平行四边形所在平面外，与交于点，则__________. 【答案】 【分析】根据向量的加法运算，结合平行四边形的性质即可求解. 【详解】因为四边形为平行四边形，所以为和的中点， 所以， 故答案为：. 题型三 向量的线性运算的几何应用 1．如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意， . 故选：D 2．如图，在中，，E是CD的中点.设，.则_________. 【答案】 【分析】根据题意结合向量的线性运算求解即可，注意比例关系. 【详解】因为，且E是CD的中点， 则， 且，，所以. 故答案为：. 3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算法则计算. 【详解】因为， 所以，又， 所以. 故选：A. 4．在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出符合题意的图形，结合平面向量的加法和减法法则求解即可. 【详解】因为，所以是的中点，， 因为，所以是上靠近的三等分点，， 如图，连接，，作出平行四边形，    由题意得 ，故C正确. 故选：C 题型四 平面向量基本定理（含基底） 1．设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质判断即可. 【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成， C选项中，，即和为共线向量， 所以它们不能作为基底． 其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底． 故选：C 2．在中，是线段的中点，点E满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是线段的中点，得到，再根据，利用求解. 【详解】因为是线段的中点， 所以. 因为，所以， 则. 故选：A 3．在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理结合图形的几何性质进行求解即可. 【详解】因为在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G， 所以． 故选：D. 4．如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，通过向量的基本定理，用已知向量表示未知向量，即可求解. 【详解】由题意可得，，，所以，， 所以，因为， 所以, 所以 故选： 5．如图，在梯形中，，，连接交于点，则______． 【答案】 【分析】设，可得，，可得，利用向量相等关系求解即可. 【详解】设，因为， 所以， 所以 因为三点共线，设， 所以， 则， 所以，解得：； 所以； 故答案为： 6．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基底向量的性质，判断是否共线即可求解. 【详解】对于A,，故共线，不可作为基底， 对于B, ,故共线，不可作为基底， 对于C, ,故共线，不可作为基底， 对于D, 由于，故不存在实数，使得，因此不共线，故可以作为基底向量， 故选：D 7．在平行四边形中，是边上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算的几何表示即可得解. 【详解】如图， 因为在平行四边形中，是边上靠近点的三等分点， 所以， 则. 故选：A. 题型五 平面向量线性运算的坐标表示 1．已知，，，则点的坐标为________ 【答案】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】设点， 则，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 故答案为：. 2．已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的坐标为，求出,再根据向量相等的坐标表示列出方程,即可求解. 【详解】设点的坐标为， 因为，. 因为是平行四边形，所以， 即，解得，所以点的坐标为. 故选：A 3．若，且，则点的坐标为__________. 【答案】 【分析】设点，利用题设等式进行坐标运算，列出方程组，求解即得. 【详解】设点，则由可得， 故有，解得， 即点的坐标为. 故答案为：. 4．如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，求出三点坐标，利用坐标表示向量，然后根据条件求解即可 【详解】    如图，，又扇形的半径为，所以， 即， 所以， 由，得， 所以， 故选：B 5．已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的坐标运算即可求解. 【详解】设，则，. 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 故选：B. 6．如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________． 【答案】3 【分析】对两边平方得出①，对两边同时点乘即可得出②，联立①②即可解出的值. 【详解】与的夹角为，与的夹角为，且，； 对两边平方得：①； 对两边点乘得：，两边平方得：②； ①②得：；根据图象知，， ，代入得，； ． 故答案为：3 题型六 利用向量共线问题（范围） 1．在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设则，， 所以， 设，则， 所以，所以， 因为，所以， 即的取值范围是， 故选：C. 2．在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，，若，则的最大值为______. 【答案】/ 【分析】利用向量的共线运算及平面向量基本定理找到的关系，结合基本不等式计算即可. 【详解】 由已知可得：， 又因为在线段上， 所以有，且， 根据平面向量基本定理可知：， 所以，且，即 则， 当且仅当，即时取等号， 得，所以， 即的最大值为. 故答案为：. 3．在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量加法的平行四边形法则，分类讨论，得到取值范围，进而的取值范围，得到答案. 【详解】如图所示，由向量加法的平行四边形法则知， 当点M在边BC上由点B向点C运动时，的值由1增大到2，的值由0增大到1，的取值范围是； 当点M在边CD上由点C向点D运动时，的值恒为2，的值由1增大到2，的取值范围是. 综上，可知的取值范围是. 故选：D.    4．如图1所示，在中，点在线段上，满足，点在线段上，满足，线段与线段交于点. (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最大值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形中平行线的等比关系计算； （2）由（1）得，，列出方程组求解即可； （3）由题意可得，，列出方程组，从而可得，利用基本不等式求解即可； 【详解】（1）因为，则，由，得 ， 故. （2）由（1）得，因为三点共线，所以存在实数使得，所以，所以， 由，得 ， 又因为，所以，解得，， 综上所述，. （3）根据题意． 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线， 所以存在实数，使得， 所以， 所以，，化简得， 所以， 当且仅当且， 即，，时等号成立． 故的最大值为. 5．如图，已知平行四边形，，和分别是和的中点，为和的交点，为和的交点，求证：三点共线．    【答案】证明见解析 【分析】设，由三点共线可得，利用基底,代入可求出，即可得证. 【详解】因为是的中点， 所以， 同理，． 因为三点共线， 所以． 又因为三点共线， 所以， 即， 可得，即， 即，所以三点共线． 6．设，是不共线的两个非零向量． (1)若，，，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时的取值． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）利用向量的线性运算及共线向量定理推理得证. （2）利用共线向量定理及平面向量基本定理列式求解. 【详解】（1）由，，， 得， ， 则，且有公共点B，所以A，B，C三点共线． （2）由与共线，则存在实数，使得， 即，又，是不共线的两个非零向量， 因此，解得或， 所以实数k的值是，当时，与反向共线. 7．设与是两个不共线向量，且向量与共线，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线结合与是两个不共线向量，即可计算求出参数. 【详解】因为向量与共线， 则存在，使， 又因与是两个不共线向量，则，解得. 故选：B. 8．设两个非零向量与不共线． (1)若，求证：三点共线； (2)试确定实数，使和反向共线． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算表示出，即可得到，从而得到、共线，即可得证； （2）存在实数，使，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】（1）， ， 、共线， 又它们有公共点，、、三点共线． （2）与反向共线，存在实数，使， 即， ． 、是不共线的两个非零向量， ，，， ，． 题型七 用定义求向量的数量积（含坐标表示） 1．已知向量，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据向量加减的坐标运算求出，再根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由，，两式联立可得，， . 故选：B. 2．已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________． 【答案】 【详解】因为，，平面向量，的夹角为，且， 所以 3．如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是________. 【答案】/ 【分析】连接，过作直线于，交圆于，过作于，利用数量积的几何意义，得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】如图，连接，过作直线于，交圆于，过作于， 因为，所以，且，则在上的投影向量为， 由数量积的几何意义知，若取到最大值，则在同侧， 且，当且仅当与重合时取等号， 又圆的半径为，则，所以， 故答案为：. 4．已知是圆的弦，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积的几何意义即可求解。 【详解】如图：取弦的中点为, , 故选:D 5．已知向量，且，则________________. 【答案】7 【分析】根据向量数量积的坐标运算列式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以，解得. 故答案为：7. 题型八 向量中投影向量（数量）的问题（含坐标表示） 1．已知点，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以在上的投影向量为. 故选：B 2．已知向量，满足，，且，则在方向上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由模长和数量积的运算律求出，再由投影向量的计算式可得. 【详解】，所以， 所以在方向上的投影向量的坐标为. 故选：A. 3．在平面直角坐标中，已知三点，，，若向量，在上的投影向量相等，则的值为（    ） A．-2 B．0 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据投影向量相等列方程，进而求得正确答案. 【详解】依题意，向量，在上的投影向量相等， 所以，则，即， 所以. 故选：B 4．已知中，，，，则在方向上的投影为______． 【答案】 【分析】借助向量投影定义与数量积公式计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 5．若单位向量满足，则在方向上的数量投影为______. 【答案】 【分析】对已知等式进行平方，结合平面向量的数量积运算公式、数量投影定义进行求解即可. 【详解】 ， 则在方向上的数量投影为. 故答案为： 6．已知向量与是平面内的两个向量，，与的夹角为. (1)求； (2)在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的模的公式计算求解即可； （2）根据投影向量公式计算即可. 【详解】（1）解：因为，与的夹角为， 所以 （2）解：因为，与的夹角为， 所以， 所以，在方向上的投影向量. 题型九 向量中模的问题（含坐标表示） 1．已知向量、的夹角为，且，，则___________ 【答案】4 【分析】根据向量模长公式及数量积公式，得，再解方程即可． 【详解】， 即，解得或（舍去）， 则． 故答案为：． 2．已知向量满足，，，则______． 【答案】 【分析】由平方及化简得，再由得出，联立解得即可. 【详解】因为，所以， 即， 又，所以，① 由， 所以，② 由①②得：， 故答案为：. 3．已知向量，满足，，则_________． 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算得出的坐标，再根据求模公式计算. 【详解】法1：由题意可得，， ， 故，， 故. 法2：由题意可得，. 故答案为： 4．已知向量、满足，，则______． 【答案】 【分析】由向量的坐标运算可得，再求模长即可． 【详解】因为，故． 故答案为：． 5．已知向量，满足，，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】首先求解出向量的模长，然后设，即得：，最后根据向量三角不等式求解的取值范围即可. 【详解】因为，所以． 设，则，且． 因为，所以，即的取值范围是． 故答案为： 题型十 向量中夹角问题（含坐标表示） 1．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是、、． (1)求顶点D的坐标； (2)求与所成夹角的余弦值． (3)求平行四边形ABCD的面积； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的坐标表示，计算，可得结果； （2）用坐标表示，然后根据平面向量的夹角公式计算即可； （3）根据向量的数量积求出，进而求出，再利用平行四边形的面积公式求解. 【详解】（1）设顶点D的坐标为； ， ， 又，所以， 即，解得； 所以顶点的坐标为； （2）由， 所以， 所以； （3）， 所以， 所以， 所以. 2．已知，，若，则实数x的取值范围为__________. 【答案】 【分析】利用向量的夹角公式可得答案. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，即， 解得，所以实数x的取值范围为. 故答案为： 3．已知向量，，则向量与的夹角的正切值等于（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先利用向量夹角的坐标运算求得，然后利用同角三角函数求得向量与的夹角的正切值. 【详解】设向量与的夹角为， 因为，，所以， 所以，故. 故选：C. 4．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由坐标计算向量夹角的余弦可得. 【详解】由，得，， 所以. 故选：A 5．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由，得到，再结合，求出，进而得到，即可求解的值. 【详解】因为，所以， 即，所以； 因为，所以； 代入 ，得到，得到； . 故选：A. 6．已知非零向量，的模长相等，且，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量模长的平方等于向量自身的平方，结合向量数量积公式求解夹角即可． 【详解】对两边平方，展开得：． 则， ∴， ∵，∴， ∵，∴， 故选：C． 题型十一 向量中平行、垂直的问题 1．已知，，且与的夹角为， (1)求的值， (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据数量积的定义可得，再结合数量积的运算律运算求解即可； （2）根据题意可得，再结合数量积的运算律运算求解即可. 【详解】（1）因为，，且与的夹角为，则， 所以. （2）由（1）可知：，，， 若，则， 可得，即，解得. 2．设平面向量满足，，，则（    ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】， 所以. 故选：C 3．起点重合，，则的取值范围为________________ 【答案】 【分析】根据数量积公式，可得，根据求模公式，可得，根据题意，化简可得，根据，结合一元二次不等式的解法，即可得答案． 【详解】由题意， ，则， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 整理得且（恒成立）， 解得． 故答案为：． 4．已知，且，则的值为______． 【答案】15 【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，，解得． 故答案为：15． 5．已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】求出的坐标，再根据平行关系求出即可. 【详解】由，，得， 因为，，所以，解得． 故选：C． 6．已知，，若，则实数_________． 【答案】 【分析】根据平面向量的坐标运算得的坐标，再根据平行向量的坐标关系列方程求解实数的值即可. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以，解得. 故答案为：. 7．已知平面向量，. (1)若，求的值. (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两向量平行的坐标关系结合二倍角公式列式求解； （2）根据向量垂直的坐标关系结合两角和的正切公式求解. 【详解】（1）∵，且， ∴， ∴， ∴. （2）∵，且， ∴， ∵若，则，这与矛盾. ∴，∴，∴. ∴. 题型十二 利用向量解决最值或范围 1．已知向量，且的夹角为．若与的夹角为锐角，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】利用向量数量积的运算律求得，依题意，需使，且与不共线，推得，求解不等式即得答案. 【详解】因 ，且的夹角为，则， 由 ，解得 又由可得，即， 解得，因， 的取值范围是． 故答案为：． 2．在中，已知，若动点满足，则的最大值为_____． 【答案】5 【分析】根据向量的加减法结合数量积运算律计算求解最大值. 【详解】如图，动点满足，点在以为圆心，1为半径的圆上， 因为，所以， 所以，设线段的中点为， 则， ， 当且仅当三点共线时取最大值， 所以的最大值为5． 故答案为：5. 3．平面上五点满足，，，，则的值为_____． 【答案】3 【分析】设，，得到，，则，再代入值计算即可． 【详解】设，， 则， ， ， ． 故答案为：3． 4．已知是单位向量，，若，则的最大值是_____． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求出，进而求出，再利用向量加法的三角不等式求出最大值. 【详解】由及， 将两边平方得， 则，，而， 所以，当且仅当向量与反向共线时取等号， 所以的最大值是. 故答案为： 5．已知的外接圆圆心为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质，结合平面向量数量积的运算性质、基本不等式进行求解即可. 【详解】过点作，垂足为， 和是等腰三角形， 为中点，为中点， 设， 则， ， ， 因为， ， 即 ， 即 联立解得：， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：D 6．如图，在边长为2的菱形中，，，则__________ 【答案】 【分析】选取，为基底，根据向量的加法减法运算，利用数量积公式计算即可. 【详解】设，，且，， 因为，可得， 所以. 故答案为： 7．如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，根据题意，求得且，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】以为坐标原点，过点平行于的直线为轴建立平面直角坐标系， 如图所示，可得， 因为是边长为2的等边三角形，可得其外接圆的半径为， 因为点在的外接圆上，设，其中， 则，且， 又因为，可得且， 所以， 当时，即时，取得最大值为， 所以取得最大值为. 故选：C. 8．给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是_____；的最大值是______.    【答案】 2 【分析】建立以点为原点的坐标系，设 ，写出向量的坐标表示形式，用的三角函数表示，，最后用辅助角公式求最值 【详解】建立如图所示坐标系，    则 ，设 ， 由 , 化简得:， （1）, 则当 时, 最大，值为 （2） 其中 且为第一象限角 则当 时,最大，值为 故答案为：； 9．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的运算量，结合即可求解. 【详解】取中点为，连接，显然， 则 . 故选：A. 题型十三 三角形中四心在向量的应用 1．已知的内角A，B，C所对的边分别为，下列四个命题中正确个数是（    ） ①若，则定为等腰三角形 ②若，则一定是锐角三角形 ③若点M是边BC上的点，且，则的面积是面积的 ④若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形 ⑤若，则点是的内心 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用诱导公式求解判断①；利用余弦定理推理判断②；利用向量线性运算判断③；利用三角形心的向量表示判断④；利用向量数量积判断⑤即可得解. 【详解】对于①，在中，由，得或， 即或，则是等腰三角形或直角三角形，①错误； 对于②，由及余弦定理，得，则为锐角， 而是否为锐角不确定，②错误； 对于③，由，得，即， 则，的面积是面积的，③错误； 对于④，由，得是的重心， 由，得是的外心， 即的重心、外心重合，则为等边三角形，④正确； 对于⑤，由，得， 则，则， 则，即平分， 由，同理得平分， 因此点O是的内心，⑤正确， 所以正确命题的个数是2. 故选：B 2．点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（    ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 【答案】D 【分析】根据模长相等可判断为的外心，利用重心性质以及向量共线定理可判断为重心；由垂直关系的向量表示可得点为垂心；再结合角平分线性质可判断点为内心. 【详解】由可知，点到三点的距离相等， 可知为的外接圆圆心，即为的外心， 取的中点为，如下图所示：    易知，又，可知； 即在中线上靠近的三等分点， 同理可得为三条中线的交点，即为重心； 由可得，即， 可得，同理可得， 所以点为三条高的交点，因此点为垂心； 易知为沿方向上的单位向量，即； 令，所以，且为等腰三角形，，如下图：    由可得，即, 此时为角的平分线， 同理由可得为角的平分线， 因此可知为三条角平分线的交点，因此点为内心. 故选：D 3．设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一点， ，则点 是 的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】C 【分析】条件可转化为 ， ，结合数量积的定义证明 ， ，由此确定的位置. 【详解】因为 ， 所以 ， ， 即 ， ， 所以 ， ． 所以，， 又， 所以 ， ， 所以 在 的平分线上， 也在 的平分线上， 所以点 是 的内心． 故选：C． 4．已知点为内一点，满足，若，则（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算，利用三角形相似及三角形面积的关系求解即可. 【详解】如图， 设，作平行四边形，对角线与底边相交于点， 则，则共线， 因为，故，则， 又，故，则， ，即， 故选：B 5．点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合，可得点是线段上靠近点的四等分点，结合图形分析可得答案. 【详解】， 因为中点，则， 代入可得，从而三点共线，， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故. 故选：B 6．设不共线的的夹角为，定义运算．其中正确命题的个数为（   ） ①；②；③若，则；④若平面向量，，平面内动点满足，则动点的轨迹过的内心． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】对于①③④，由定义和向量相关概念可得①错误，③④正确；对于②，举出反例； 【详解】对于①，，， 因为不共线，故与肯定不相等， 所以不成立，①错误； 对于②，不妨设，，， ， ， 故， ，， 而， ，， ， 故， ，②错误； 对于③，， 若，则， 又，故， 由于不共线，不共线，要想上式成立，非零向量需共线， 设，，由于恒成立，故，③正确； 对于④，，， 故 ， ， 而表示的平分线所在向量， 故点的轨迹所在直线过的内心，④正确. 7．已知是的重心，，其中内角的对边分别为，则______． 【答案】/ 【分析】三角形重心的性质以及向量的线性运算，将已知向量等式转化为边的关系，再利用余弦定理求出角. 【详解】解法1：因为为的重心，所以， 从而，将其代入已知条件中， 可得． 又因为与不共线， 所以， 即，所以，即． 解法2：（以，为基底） 因为， ， ， 所以可化为， 即． 因为与不共线， 所以解得 所以，即． 故答案为：或 基础巩固通关测 1．已知向量，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为，所以，解得 2．已知单位平面向量，满足，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】通过可得即可求解. 【详解】显然，解得， 于是. 3．已知向量，，若，共线，则的值为（    ） A．2 B．8 C． D． 【答案】D 【详解】因为，共线，所以，解得. 4．已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量在另一个向量上的投影向量公式求解即可. 【详解】因为，所以，， 所以在上的投影向量为 5．如图，在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点， 所以 6．下列关于平面向量的共线关系说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则存在唯一的实数，使 C．若，则 D．已知平面内有四点，若，且三点共线，则 【答案】D 【分析】选项A，利用和任意向量都平行求解；选项B，利用和任意向量都平行求解；选项C，将已知等式平方，通过计算得到，得到与同向，从而得到结论；选项D， 由三点共线得到，利用平面向量的基本定理得到，通过计算得到，结合已知得到与的等式，通过计算得到，从而得到结论. 【详解】选项A，当时，满足，但是不一定平行，故选项A错误； 选项B，当时，满足，但是不存在唯一的实数，使，故选项B错误； 选项C，，， ， ， ，，同向，不等价于，故选项C错误； 选项D， 三点共线，， ，， ，， ， ， ，，， ，故选项D正确. 7．如图所示，四边形是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且，，，用向量，，表示向量=______. 【答案】 【分析】运用平面向量的减法与平行四边形法则对所求向量进行表示即可求解 【详解】因为四边形是平行四边形，所以， 又，所以. 8．已知向量，，且，则______. 【答案】 【详解】由题意，， 由可得，解得. 9．如图，在中，，E为AC中点，且BE与CD交于点F，若，则______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论求解即得. 【详解】在中，，E为AC中点，得， 由，得，， 由点共线，点共线，得，解得， 所以. 10．平行四边形中，，且，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________． 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，进而得到答案. 【详解】由向量的线性运算法则，可得， 因为点是边的一个四等分点（靠近点）, 可得， 所以， 在平行四边形中，，且， 所以. 11．已知向量，为单位向量，且，若，则________． 【答案】 【详解】由题意得， 且， 故. 12．已知向量与满足：，，且． (1)求与的夹角 (2)求与的夹角的余弦值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂直关系的向量表示求出，再利用向量夹角公式求解. （2）利用向量数量积的运算律及向量夹角公式求解. 【详解】（1）由，，得，解得， 又，因此，而， 所以与的夹角. （2）由（1）得， ， ， 所以与的夹角的余弦值. 13．设． (1)若，求实数的值； (2)若，且，与的夹角为，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据向量垂直则它们的数量积为代入计算； （2）根据向量模的坐标公式列第一个方程，利用向量夹角的数量积公式列第二个方程，联立两个方程求解. 【详解】（1）已知， 计算得：， 由两向量垂直则数量积为0， 得：，解得； （2）已知，根据条件列方程： 由，对模长平方得：①； 由向量夹角公式，时， 代入，得：， 化简得：②； 将②代入①，得，解得，即或； 当时，代入②得； 当时，代入②得； 因此最终解为：或. 14．已知向量. (1)设求； (2)若 与垂直，求的值. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）求出，然后按向量数量积的坐标运算规则进行求解； （2）求出的坐标，根据垂直向量的坐标表示列出等式求解. 【详解】（1）∵，∴， ∴，∴． （2）， 由于与垂直，∴，∴． 能力提升进阶练 1．如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由共线，存在使 ， 由 共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：， ，因此：，故选项 A 错误； 对于B，， 若，则： ​，显然系数不相等，选项B错误； 对于C，由于，且在 上，故设， 则， 结合 ，得：，解得，选项C错误； 对于D，由， 所以，故选项 D 正确. 2．已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值. 【详解】平方去绝对值号，由，则， 根据向量与的条件可得， 化简可得， 令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以. 观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即， 又， 则的最小值为 3．设点是边长为2的正方形内部及边界上的动点，则的取值可能为（   ） A． B． C． D．4 【答案】BCD 【详解】以为原点，分别为轴建立直角坐标系， 则，设， ， 所以， 又，当时取得最小值为， 因为，所以， 当时取得最大值为， 则的取值范围为，选项BCD符合. 4．已知非零向量满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量数量积的运算律进行求解 【详解】设，则， ， 又，故，解得， 所以. 5．在中，且为的中点，，与交于点.若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量共线定理，结合为的中点，可得，由向量的线性运算，分别用表示，由，即可求得的值, 【详解】由图象可得，，，三点共线，且为的中点， 故存在实数使， 有， 且， 因为，即， 因为与不共线，所以有，解得. 故选：C. 6．已知等边三角形的边长是，是三角形所在平面内的动点，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的减法运算及向量模的不等式，数量积的性质与运算求解. 【详解】， ， 因为等边三角形的边长是， 所以， 所以，又， 故， 即. 7．设Q是线段的中点，P是直线外一点.A，B为线段上的两点，，且， ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选择为基底法，由， ，求得.根据向量共线定理及，确定点的位置，从而求得. 【详解】由已知， ； ； 联立可得. 设，. 则. 因为，所以，解得. 所以，点是上靠近点的三等分点， 所以； 8．在中，点是边上的四等分点，且，边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则（   ） A． B． C．的最小值为 D． 【答案】ABC 【详解】对于A，，故A正确. 对于B，因为，所以，， 由三点共线可得，. 因为，所以，， 由三点共线可得，. 而，所以有，整理得，故B正确. 对于C，因为，则， 当且仅当，即时取等号，故C正确. 对于D， 因为， 所以， 当且仅当即时取等号.而，故D错误. 9．如图，在中，，E为AC中点，且BE与CD交于点F，若，则______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论求解即得. 【详解】在中，，E为AC中点，得， 由，得，， 由点共线，点共线，得，解得， 所以. 10．在中，已知，点为三角形的外心，则______． 【答案】/ 【分析】先根据余弦定理求出的长度，再根据外心的性质以及数量积的定义求解即可. 【详解】中，，由余弦定理可得： ，. 因为点为三角形的外心，所以在上的投影为. . 11．如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点、，根据平面向量基本定理，讨论点在点处与处时的值，从而得到的取值范围. 【详解】如图，在的反向延长线上取点，使得， 过作，分别交和的延长线于点、， 则，， 由于， 要使得点落在指定区域内，则点应落在上（不含端点处）， 当点在点处时，， 当点在点处时，， 所以的取值范围是. 12．已知平面向量，，其中，，，，若为任意实数，则的最小值为________． 【答案】/1.5 【详解】对于任意实数，有， 由于， 代入，得， 故当时，， 因此，的最小值为. 13．已知向量，，则的最大值是________． 【答案】 【分析】设，由平方化简得到，结合不等式，得到，解得，即可得到的最大值. 【详解】设，由，得到， 即， 即，即 因为，所以， 即，即，解得； 故的最大值是. 14．如图，中，，为的中点，设与相交于点． (1)若，求的值； (2)求； (3)设动点在线段上（包含端点），求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）表达出，根据三点共线，得到，求出； （2）根据题意进行向量的运算，得到，，，利用夹角余弦公式进行求解. （3）建系，根据的直线方程（一次函数），求出 ，结合二次函数值域求解即可. 【详解】（1）， 因为三点共线，设，即， ，故，， 所以，解得； （2）设，，N为的中点， 故，， 故 又，，，故， ， ， ， 则. （3）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴建立直角坐标系， 设，在线段上，方程即为的方程， 设方程为，而直线过点，， 代入直线方程即可解出，故的方程为， 由（1）知，结合可知，而位于线段上，故， ，，故 ， 而，故，所以 ​ ，而是开口向上的二次函数，对称轴 最小值在对称轴处取到，为， 最大值在端点处取到，为， 故的取值范围为. 15．如图所示，已知梯形ABCD中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． (1)用，表示； (2)求的值； (3)若，点G在线段CD上运动，设，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量运算结合基本定理可得答案； （2）设出两线段的关系，利用基本定理可得答案； （3）利用基底得出的关系，结合对勾函数的性质可得范围. 【详解】（1）因为，，所以， , 因为E为线段BC的中点，所以，. （2）设，则，， ， 又共线，所以存在一个实数，使得， ，两式相除可得，即. （3）设,；,， ， 因为，所以，可得， 解得，所以， 由对勾函数的性质可得时，. 16．如图所示，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在仿射坐标系中，若，求：； (2)在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求的值； (3)如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，，，点分别为中点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到，结合，即可求解； （2）由，分别求得和，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解； （3）设，求得，根据，求得，再由，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：在仿射坐标系中，向量分别为同向的单位向量， 可得，且，所以， 因为向量，可得， 所以， 所以. （2）解：在仿射坐标系中，由， 可得，且， 所以， ，可得， ， 因为向量与的夹角为， 可得， 解得. （3）解：在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上， 设，其中，所以， 因为，点分别为中点，可得 又因为分别为中点，可得， 所以， 可得， 因为，所以，即，即， 又由向量，且， 所以， 因为，可得， 代入得， 又因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 平面向量（复习讲义） 1、理解向量的有关概念及向量的几何表示. 2、掌握共线向量、相等向量的概念，正确区分向量平行与直线平行. 3、掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量，掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算. 4、掌握向量减法的定义，理解相反向量的意义，掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量. 5、掌握向量数乘的运算及其运算律，理解数乘向量的几何意义. 6、理解平面向量基本定理及其意义，体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题. 7、了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 8、理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会平面向量数量积与投影数量的关系. 9、会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题. 一、向量的有关概念 知识点1　向量的概念 把既有大小又有方向的量统称为向量，而把那些只有大小没有方向的量称为数量(如年龄、身高、体积等)． [特别提示]　数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小． 知识点2　向量的表示方法 (1)具有方向和长度的线段，称为有向线段．以A为起点，B为终点的有向线段，记作，线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作． (2)向量可以用有向线段表示．有向线段的长度表示向量的大小，即长度(也称模)，记作|a|．箭头所指的方向表示向量的方向． 知识点3　零向量与单位向量 (1)长度为0的向量称为零向量，记作0或； (2)模等于1个单位长度的向量，称为单位向量． 知识点4　向量的基本关系 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量，记作a＝b． (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量共线． (3)相反向量：长度相等且方向相反的向量，叫作相反向量，a的相反向量记作－a； 规定零向量的相反向量是零向量． 知识点5　向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角； (2)夹角的大小与向量共线、垂直的关系： θ＝0°⇔a与b同向；θ＝180°⇔a与b反向；θ＝90°⇔a⊥b，规定：零向量与任一向量垂直． 二、向量的运算 知识点1　向量求和法则 类别 图示 几何意义 向量 求和 的法 则 三角 形法 则 已知不共线向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＝ 平行 四边 形法 则 已知不共线向量a，b，作＝a，＝b，再作平行的＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形，向量叫作向量a与b的和，表示为＝a＋b 知识点2　向量加法的运算律 向量加 法的运 算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 知识点3　相反向量的性质 性质 (1)－(－0)＝0； (2)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； (3)若a＋b＝0，则a＝－b，b＝－a． 知识点3　向量减法 (1)定义 向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b)，求两个向量差的运算，叫作向量的减法． (2)几何意义 如图，设＝b，则＝a－b，即a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量． [特别提示]因为向量的减法是向量的加法的逆运算，所以向量的减法可以转化为向量的加法来运算． 知识点4　数乘运算的定义 (1)实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa． (2)|λa|＝|λ||a|． (3)λa的方向 (4)几何意义：当λ>0时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的λ倍； 当λ<0时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍． 知识点5　数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，a，b为向量，则 (1)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (2)λ(μa)＝(λμ)a； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)． 知识点6　共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得a＝λb． [特别提示]当a≠0，b＝0时，λ不存在；当a＝0，b＝0时，λ不唯一． 三、向量的数量积 知识点1　平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角记为〈a，b〉或θ(0°≤θ≤180°)，我们把|a||b|cos 〈a，b〉称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝|a|·|b|cos θ． 规定：零向量与任一向量的数量积为零． 知识点2　投影向量和投影数量 (1)如图，已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′，投影γ＝，γ称为a在b上的投影向量． (2)如图，|a|cos 〈a，b〉称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a·． (3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos 〈a，b〉的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos 〈a，b〉的乘积(如图)． (4)数量积的物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s． 知识点3　数量积的运算律 交换律：a·b＝b·a． 与数乘的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． 关于加法的分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 知识点4　数量积的性质 (1)若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos 〈a，e〉； (2)a⊥b⇔a·b＝0(其中a，b为非零向量)； (3)|a|＝； (4)cos 〈a，b〉＝(|a||b|≠0)； (5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立． 四、平面向量基本定理及坐标表示 知识点1　平面向量基本定理 (1)定义：如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． (2)基：把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基，记为{e1，e2}． 知识点2　标准正交基 若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基．在正交基下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基． 知识点3　平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a(通常称为位置向量)．由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝xi＋yj．因此，a＝xi＋yj．我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝(x，y)． 知识点4　平面向量的坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 数学公式 文字语言表述 向量 加、减法 a±b＝(x1±x2，y1±y2) 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 向量 数乘 λa＝(λx1，λy1)λ∈R 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积 向量 坐标 ＝(x2－x1，y2－y1) 一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标 知识点5　中点坐标公式 若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，线段AB的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段AB的中点坐标公式． 知识点6　平面向量平行的坐标表示 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0．若a∥b，则存在实数λ，使得a＝λb，用坐标表示为x1y2－x2y1＝0． 若y1≠0且y2≠0，则上式可变形为＝． (2)文字语言描述向量平行的坐标表示 定理1：若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例． 定理2：若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行． 知识点7　平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示 (1)数量积的坐标表示： 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． (2)模、夹角、垂直的坐标表示： 题型一 向量的概念 1．四边形中，“”是“是梯形”的___________条件． 2．下列结论中正确的是（   ）． A．零向量没有大小，方向任意 B．对任一向量，总是成立的 C． D． 3．如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 题型二 加法、减法、乘运算 1．化简： （1）__________； （2）__________． 2．在平行四边形中，为与的交点，则（   ） A． B． C． D． 3．（1）化简； （2）若，求向量. 4．点在平行四边形所在平面外，与交于点，则__________. 题型三 向量的线性运算的几何应用 1．如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，，E是CD的中点.设，.则_________. 3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记，则＝（   ） A． B． C． D． 4．在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 题型四 平面向量基本定理（含基底） 1．设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．在中，是线段的中点，点E满足，则（   ） A． B． C． D． 3．在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 5．如图，在梯形中，，，连接交于点，则______． 6．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 7．在平行四边形中，是边上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 题型五 平面向量线性运算的坐标表示 1．已知，，，则点的坐标为________ 2．已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．若，且，则点的坐标为__________. 4．如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D． 5．已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________． 题型六 利用向量共线问题（范围） 1．在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，，若，则的最大值为______. 3．在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．如图1所示，在中，点在线段上，满足，点在线段上，满足，线段与线段交于点. (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最大值； 5．如图，已知平行四边形，，和分别是和的中点，为和的交点，为和的交点，求证：三点共线．    6．设，是不共线的两个非零向量． (1)若，，，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时的取值． 7．设与是两个不共线向量，且向量与共线，则（   ） A．0 B． C． D． 8．设两个非零向量与不共线． (1)若，求证：三点共线； (2)试确定实数，使和反向共线． 题型七 用定义求向量的数量积（含坐标表示） 1．已知向量，则（    ） A．1 B． C．3 D． 2．已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________． 3．如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是________. 4．已知是圆的弦，且，则（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，且，则________________. 题型八 向量中投影向量（数量）的问题（含坐标表示） 1．已知点，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足，，且，则在方向上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标中，已知三点，，，若向量，在上的投影向量相等，则的值为（    ） A．-2 B．0 C．2 D．3 4．已知中，，，，则在方向上的投影为______． 5．若单位向量满足，则在方向上的数量投影为______. 6．已知向量与是平面内的两个向量，，与的夹角为. (1)求； (2)在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标. 题型九 向量中模的问题（含坐标表示） 1．已知向量、的夹角为，且，，则___________ 2．已知向量满足，，，则______． 3．已知向量，满足，，则_________． 4．已知向量、满足，，则______． 5．已知向量，满足，，则的取值范围是_____． 题型十 向量中夹角问题（含坐标表示） 1．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是、、． (1)求顶点D的坐标； (2)求与所成夹角的余弦值． (3)求平行四边形ABCD的面积； 2．已知，，若，则实数x的取值范围为__________. 3．已知向量，，则向量与的夹角的正切值等于（   ） A．1 B． C． D．2 4．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（　　） A． B． C． D． 6．已知非零向量，的模长相等，且，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型十一 向量中平行、垂直的问题 1．已知，，且与的夹角为， (1)求的值， (2)若，求的值． 2．设平面向量满足，，，则（    ） A．3 B．2 C． D．1 3．起点重合，，则的取值范围为________________ 4．已知，且，则的值为______． 5．已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 6．已知，，若，则实数_________． 7．已知平面向量，. (1)若，求的值. (2)若，求的值. 题型十二 利用向量解决最值或范围 1．已知向量，且的夹角为．若与的夹角为锐角，则的取值范围是_____． 2．在中，已知，若动点满足，则的最大值为_____． 3．平面上五点满足，，，，则的值为_____． 4．已知是单位向量，，若，则的最大值是_____． 5．已知的外接圆圆心为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在边长为2的菱形中，，，则__________ 7．如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 8．给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是_____；的最大值是______.    9．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 题型十三 三角形中四心在向量的应用 1．已知的内角A，B，C所对的边分别为，下列四个命题中正确个数是（    ） ①若，则定为等腰三角形 ②若，则一定是锐角三角形 ③若点M是边BC上的点，且，则的面积是面积的 ④若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形 ⑤若，则点是的内心 A．1 B．2 C．3 D．4 2．点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（    ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 3．设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一点， ，则点 是 的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 4．已知点为内一点，满足，若，则（    ） A．-2 B． C． D．2 5．点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．设不共线的的夹角为，定义运算．其中正确命题的个数为（   ） ①；②；③若，则；④若平面向量，，平面内动点满足，则动点的轨迹过的内心． A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知是的重心，，其中内角的对边分别为，则______． 基础巩固通关测 1．已知向量，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．已知单位平面向量，满足，则（    ） A． B． C． D．2 3．已知向量，，若，共线，则的值为（    ） A．2 B．8 C． D． 4．已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 6．下列关于平面向量的共线关系说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则存在唯一的实数，使 C．若，则 D．已知平面内有四点，若，且三点共线，则 7．如图所示，四边形是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且，，，用向量，，表示向量=______. 8．已知向量，，且，则______. 9．如图，在中，，E为AC中点，且BE与CD交于点F，若，则______． 10．平行四边形中，，且，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________． 11．已知向量，为单位向量，且，若，则________． 12．已知向量与满足：，，且． (1)求与的夹角 (2)求与的夹角的余弦值 13．设． (1)若，求实数的值； (2)若，且，与的夹角为，求实数的值． 14．已知向量. (1)设求； (2)若 与垂直，求的值. 能力提升进阶练 1．如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 3．设点是边长为2的正方形内部及边界上的动点，则的取值可能为（   ） A． B． C． D．4 4．已知非零向量满足，则（   ） A． B． C． D． 5．在中，且为的中点，，与交于点.若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知等边三角形的边长是，是三角形所在平面内的动点，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．设Q是线段的中点，P是直线外一点.A，B为线段上的两点，，且， ，，则（    ） A． B． C． D． 8．在中，点是边上的四等分点，且，边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则（   ） A． B． C．的最小值为 D． 9．如图，在中，，E为AC中点，且BE与CD交于点F，若，则______． 10．在中，已知，点为三角形的外心，则______． 11．如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是________. 12．已知平面向量，，其中，，，，若为任意实数，则的最小值为________． 13．已知向量，，则的最大值是________． 14．如图，中，，为的中点，设与相交于点． (1)若，求的值； (2)求； (3)设动点在线段上（包含端点），求的取值范围． 15．如图所示，已知梯形ABCD中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． (1)用，表示； (2)求的值； (3)若，点G在线段CD上运动，设，求的取值范围． 16．如图所示，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在仿射坐标系中，若，求：； (2)在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求的值； (3)如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，，，点分别为中点，求的最小值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $