精品解析：北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年九年级数学下学期周测3

初三（下）数学大作业3 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2019年2月，美国宇航局（NASA）的卫星监测数据显示地球正在变绿，分析发现是中国和印度的行动主导了地球变绿．尽管中国和印度的土地面积加起来只占全球的9%，但过去20年间地球三分之一的新增植被是两国贡献的，面积相当于一个亚马逊雨林．已知亚马逊雨林的面积为6560000km，则过去20年间地球新增植被的面积约为（ ） A. 6.56×10km B. 6.56×10km C. 2×10km D. 2×10km 3. 下列图形能折叠成四棱锥的是（ ） A. B. C. D. 4. 有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果，那么代数式的值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 如图，设，则有（　　） A. B. C. D. 7. 如图，锐角中，点D在边上，．现需在线段上作点P，使得，以下是甲、乙两人的作法： 甲：作的中垂线交于点P，点P即为所求作点； 乙：以C为圆心，长为半径画弧，交于点P（异于点D），点P即为所求作点； 对于甲、乙两人的作法，以下判断正确的是（ ） A. 两人都正确 B. 两人都错误 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确 8. 如图，在中，，分别过点B，C作平分线的垂线，垂足分别为点D，E，的中点是M，连接，，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____． 10. 因式分解____________． 11. 已知一个二次函数满足：①图象经过原点；②当时，y随x增大而减小，请写出一个符合上述条件的函数解析式：____________． 12. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是_________． 13. 如图，为的直径，与相切于点，弦．若，则______. 14. 在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以围成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点A的概率是______． 15. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块面积为4的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中的长应是____________． 16. 2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见图： “节”活动规则 •活动前每人先发放一枚“币” •每参与一个活动消耗一枚“币” •没有“币”不能参与活动 •每个活动至多参与一次 •挑战成功，按右表发放奖励 •挑战失败，谢谢参与 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为______； （2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为______． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知，求代数式的值． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根中有且仅有一个正数，求m的取值范围． 21. 列方程（组）解应用题：奥林匹克森林公园南园（奥森南园）是深受北京长跑爱好者追捧的跑步地点．小华和小萱相约去奥森南园跑步踏青，奥森南园有5千米和3千米的两条跑道（如图所示）．小华选择了5千米的路线，小萱选择了3千米的路线，已知小华平均每分钟比小萱平均每分钟多跑100米，两人同时出发，结果同时到达终点．请问小萱每分钟跑多少千米？ 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求该函数解析式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出n的取值范围． 23. 某校九年级开展了数学实践成果的评选活动，共有10件作品参加评选．对于参评的每件作品，由甲、乙两位评委独立评分（百分制），取两位评委评分的平均数作为该件作品的初始得分．对这10件作品的评委评分及初始得分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a.10件作品的得分情况： 序号 评委甲评分 评委乙评分 初始得分 1 70 82 76 2 80 84 3 61 76 68.5 4 78 84 81 5 71 85 78 6 81 83 82 7 84 86 85 8 68 74 71 9 66 77 71.5 10 64 82 73 B．分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的平均数为： 72.3 81.3 C.10件作品初始得分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 76.8 82 根据以上信息，回答下列问题： （1）的值为___________，的值为___________； （2）设甲、乙评委对同一件作品的评分之差为，记所有满足的作品的初始得分的平均数为，则___________（填“>”“=”或“<”）； （3）分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的方差为，则___________（填“>”“=”或“<”）；若对于这10件作品中的某件作品，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，且以的值作为这件作品的标准化得分，对这10件作品按照其标准化得分由高到低进行排名，则排名第一名、第二名、第三名的作品的序号依次是___________． 24. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，C是的中点，过点C作的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 25. 如图，点M是直径上一定点，点C是直径上一个动点，过点C作交于点D，作射线交于点N，连接．小宇根据学习函数的经验，对线段，，的长度之间的数量关系进行了探究． 下面是小宇的探究过程，请补充完整： （1）对于点C在的不同位置，画图，测量，得到了线段，，的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 6.00 5.48 4.90 4.24 3.46 2.45 0.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 4.00 3.27 2.83 2.53 2.31 2.14 2.00 在，，的长度这三个量中，如果选择_________的长度为自变量，那么_________的长度和_________的长度为这个自变量的函数； （2）在同一平面直角坐标系中，画出（1）中确定的函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题： ①当时，线段的长度约为_________．（精确到0.1） ②连接，当时，线段的长度约为_________．（精确到0.1） 26. 在平面直角坐标系中，已知二次函数． （1）求该二次函数图象顶点的坐标（用含b的代数式表示）； （2）若该二次函数的图象经过点，求b的值； （3）当时，函数值y的最大值为M，最小值为m，若，结合函数图象，求b的取值范围． 27. 在中，，以为中心，将线段逆时针旋转，得到线段，以为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接． （1）根据题意补全图1，并证明； （2）如图2，点在的延长线上，且，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为，对于直线和线段，给出如下定义：若线段关于直线的对称图形是的弦（，分别为，的对应点），则称线段是关于直线的“对称弦” （1）如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．线段，，中，是关于直线的“对称弦”的是 ； （2）是关于直线的“对称弦”，若点的坐标为，且，求点的坐标； （3）已知直线和点，若线段是关于直线的“对称弦”，且，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三（下）数学大作业3 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A．选项中的图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形；故不符合题意； B．选项中的图形不是中心对称图形，是轴对称图形；故不符合题意； C．选项中的图形不是中心对称图形，是轴对称图形；故不符合题意； D．选项中的图形是轴对称图形，又是中心对称图形；故符合题意； 故选：D． 2. 2019年2月，美国宇航局（NASA）的卫星监测数据显示地球正在变绿，分析发现是中国和印度的行动主导了地球变绿．尽管中国和印度的土地面积加起来只占全球的9%，但过去20年间地球三分之一的新增植被是两国贡献的，面积相当于一个亚马逊雨林．已知亚马逊雨林的面积为6560000km，则过去20年间地球新增植被的面积约为（ ） A. 6.56×10km B. 6.56×10km C. 2×10km D. 2×10km 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为正整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同，进而求解． 【详解】由题意知，过去 20 年间地球新增植被的面积km， 故选C． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为正整数，正确确定a与n的值是解题的关键． 3. 下列图形能折叠成四棱锥的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据四棱锥展开图为一个四边形，四个三角形即可． 【详解】解：A、能折叠成四棱柱，不符合题意； B、能折叠成三棱锥，不符合题意； C、不能形成立体图形，不符合题意； D、能折叠成四棱锥，符合题意． 4. 有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数，在数轴上对应点的位置和绝对值的定义、有理数的加法法则、有理数的乘法法则逐项进行判断． 【详解】解：A选项：由数，在数轴上对应点的位置可知，表示数的点离原点的距离比表示数的点离原点的距离小， ， 故A选项错误； B选项：且， ， 故B选项错误； C选项：由数轴可知，， ， 故C选项错误； D选项：，， ，， ， 故D选项正确； 故选：D． 5. 如果，那么代数式的值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先去括号，把除法变为乘法把分式化简，再将变形为，代入求值即可． 【详解】解： ， ， ． 故选A． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算． 6. 如图，设，则有（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘除法的应用，不等式的运算．分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可． 【详解】解：甲图中阴影部分面积为， 乙图中阴影部分面积为， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，锐角中，点D在边上，．现需在线段上作点P，使得，以下是甲、乙两人的作法： 甲：作的中垂线交于点P，点P即为所求作点； 乙：以C为圆心，长为半径画弧，交于点P（异于点D），点P即为所求作点； 对于甲、乙两人的作法，以下判断正确的是（ ） A. 两人都正确 B. 两人都错误 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用甲的作法得到图1，根据线段垂直平分线的性质得到，则，根据三角形内角和可证明，于是可判断甲的作法正确；利用乙的作法得到图2，根据等腰三角形的性质得到，然后根据等角的补角相等可判断乙的作法正确． 【详解】解：设， 根据甲的作法得到图1， ∵P点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，所以甲的作法正确； 根据乙的作法得到图2， ∵， ∴， ∴，所以乙的作法正确． 综上，甲、乙两人的作法都正确． 8. 如图，在中，，分别过点B，C作平分线的垂线，垂足分别为点D，E，的中点是M，连接，，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】①延长交于点，证明，得出相等的边，利用线段的和差以及三角形中位线定理进行判断； ②由①中三角形中位线定理进行判断； ③延长交于点，利用直角三角形斜边中线定理进行判断； ④根据直角得出点共圆，利用圆周角定理得出相等的角，然后利用角的和差进行判断． 【详解】解：①如图所示，延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵点M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故①错误； ②由①得是的中位线， ∴， 即， 故②正确； ③如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由①得， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，即点为斜边的中点， ∴， 故③正确； ④∵， ∴， 又∵， ∴点共圆， ∴， 由②得， ∴， ∴， 由③得，且点M是的中点， ∴， ∵, ∴， 故④正确； 综上，正确的选项为②③④，共3个． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解不等式，即可求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数为非负数是解题的关键． 10. 因式分解____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：； 故答案为：． 11. 已知一个二次函数满足：①图象经过原点；②当时，y随x增大而减小，请写出一个符合上述条件的函数解析式：____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次函数的增减性确定二次项系数的取值范围和对称轴位置，再结合图象过原点得到常数项的值，即可写出符合条件的解析式． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小， ∴抛物线开口向上，即二次项系数，且对称轴为直线， ∵二次函数图象经过原点， ∴常数项， 取，对称轴为直线，则，解得， 因此可得符合条件的二次函数解析式为． 12. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是_________． 【答案】2或 【解析】 【分析】 由题意可得根的判别式等于0，从而得到关于m的方程，进一步可得m的值．　 【详解】解：由题意可得： （m+2）2-4×1×4=0， 即（m+2）2=16， ∴m+2=4或m+2=-4， ∴m=2或m=-6， 故答案为2或-6． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握根的判别式与根情况之间的联系是解题关键 ． 13. 如图，为的直径，与相切于点，弦．若，则______. 【答案】54 【解析】 【分析】利用切线的性质得，利用直角三角形两锐角互余可得，再根据平行线的性质得到，，然后根据等腰三角形的性质求出的度数即可． 【详解】∵与相切于点， ∴AC⊥AB， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为54． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系． 14. 在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以围成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点A的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】将从左到右的三条竖线分别记作a、b、c，将从上到下的三条横线分别记作m、n、l，利用表格列出任选两条横线和两条竖线所围成的矩形的所有等可能情况，再从中找到所选矩形含点A的情况，继而利用概率公式可得答案． 【详解】解：将从左到右的三条竖线分别记作a、b、c，将从上到下的三条横线分别记作m、n、l， 列表如下， ab bc ac mn ab、mn bc、mn ac、mn nl ab、nl bc、nl ac、nl ml ab、ml bc、ml ac、ml 由表可知共有9种等可能结果，其中所选矩形含点A的有bc、mn；bc、ml；ac、mn；ac、ml这4种结果， 则所选矩形含点A的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查列表法与树状图法，解题的关键是利用表格列出任选两条横线和两条竖线所围成的矩形的所有等可能情况，并从所有结果中找到符合条件的结果数． 15. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块面积为4的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中的长应是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形面积公式求得原正方形边长及小正方形边长，进而确定拼成长方形的长和宽；构造直角三角形，利用勾股定理求出水平线段长；利用相似三角形性质或锐角三角函数求出线段的长，最后根据线段的和差关系求解． 【详解】解：点，点，点，如图， ∵原正方形地毯面积为4， ∴原正方形边长， ∵地毯被平分给三姐妹，拼成三个全等的小正方形， ∴三个小正方形面积之和为4，即每个小正方形面积为， 设小正方形边长为，则，解得（负值舍去）， ∴拼成的长方形（阴影部分）的长，宽， 在中，，，， 根据勾股定理得：， ∵长方形的对边平行， ∴长方形上边， ∴，  又∵， 在与中， ， ∴ ， ∴，即，解得， ∴， 则图中的长应是． 16. 2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见图： “节”活动规则 •活动前每人先发放一枚“币” •每参与一个活动消耗一枚“币” •没有“币”不能参与活动 •每个活动至多参与一次 •挑战成功，按右表发放奖励 •挑战失败，谢谢参与 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为______； （2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为______． 【答案】（1）鲁班锁； （2）1或2或3 【解析】 【分析】本题考查了推理能力，关键是注意分类讨论． （1）因为小云参与了所有活动，且小云只挑战成功一个，所以推断小云只能参与了鲁班锁，且挑战成功，赢得4枚“π币”，足够她参与其余四个活动； （2）小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功，所以推断小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁，分别讨论参与的第一个活动为华容道、魔方或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量的可能． 【小问1详解】 解：∵小云参与了所有活动，且小云只挑战成功一个， ∴小云用活动前发放的一枚“π币”参与了鲁班锁，且挑战成功，赢得4枚“π币”，再次参与了其余四个活动，未挑战成功， 故答案为：鲁班锁； 【小问2详解】 ∵小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功， ∴小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁， 若参与的第一个活动为华容道，则参与的第四个活动可能为24点、数独、魔方或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量可能是1枚、2枚或3枚， 若参与的第一个活动为魔方，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量可能是1枚、2枚或3枚， 若参与的第一个活动为鲁班锁，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或魔方，最终剩下的“π币”数量可能是2枚或3枚， 故答案为：1或2或3． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键．先把所给分式化简，再把代入计算即可． 【详解】解：原式． ∵， ∴， ∴原式． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根中有且仅有一个正数，求m的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出根的判别式即可求解； （2）因式分解法求出方程的两个根，根据题意可知两根中一个为正数，另一个为非正数，据此列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：因式分解得：， ， 又方程的两根中有且仅有一个正数， ，即，无解； ，即，解得； 综上，． 21. 列方程（组）解应用题：奥林匹克森林公园南园（奥森南园）是深受北京长跑爱好者追捧的跑步地点．小华和小萱相约去奥森南园跑步踏青，奥森南园有5千米和3千米的两条跑道（如图所示）．小华选择了5千米的路线，小萱选择了3千米的路线，已知小华平均每分钟比小萱平均每分钟多跑100米，两人同时出发，结果同时到达终点．请问小萱每分钟跑多少千米？ 【答案】千米/分 【解析】 【分析】根据他们的速度之间关系假设未知数，再根据两人所用的时间相同，列方程求解． 【详解】设小萱的速度为米/分，则小华的速度为米/分， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， 小萱的速度为千米/分． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求该函数解析式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象及性质等． （1）将点和代入中即可得到本题答案； （2）根据可得与轴交于，再画出符合题意的图象进行分析即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：由题意得：将点和代入中得： ，解得：， ∴该函数解析式为：； 【小问2详解】 解：当时，代入得：， 在平面直角坐标系中画出直线和满足条件的直线，如图： ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴当过时满足题意 ∴，， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于， ∴当过时满足题意， ∴，， 综上：满足条件的n的取值范围为：． 23. 某校九年级开展了数学实践成果的评选活动，共有10件作品参加评选．对于参评的每件作品，由甲、乙两位评委独立评分（百分制），取两位评委评分的平均数作为该件作品的初始得分．对这10件作品的评委评分及初始得分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a.10件作品的得分情况： 序号 评委甲评分 评委乙评分 初始得分 1 70 82 76 2 80 84 3 61 76 68.5 4 78 84 81 5 71 85 78 6 81 83 82 7 84 86 85 8 68 74 71 9 66 77 71.5 10 64 82 73 B．分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的平均数为： 72.3 81.3 C.10件作品初始得分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 76.8 82 根据以上信息，回答下列问题： （1）的值为___________，的值为___________； （2）设甲、乙评委对同一件作品的评分之差为，记所有满足的作品的初始得分的平均数为，则___________（填“>”“=”或“<”）； （3）分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的方差为，则___________（填“>”“=”或“<”）；若对于这10件作品中的某件作品，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，且以的值作为这件作品的标准化得分，对这10件作品按照其标准化得分由高到低进行排名，则排名第一名、第二名、第三名的作品的序号依次是___________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平均数，中位数，方差，新定义的计算，掌握其计算方法是关键． （1）根据平均数、中位数的计算方法求解即可； （2）根据方差的计算方法求解即可； （3）根据题意，分别算出各件作品的标准化分数进行比较即可． 【小问1详解】 解：， 10件作品初始得分从小到大排序为：，，，，，，，，，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设甲、乙评委对同一件作品的评分之差为， ∴，，，，，，，，，， ∴的有，，，，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：甲、乙两位评委对这10件作品评分的平均数为， ∴ ， ， ∵， ∴， 第1件作品的标准化得分为：， 第2件作品的标准化得分为：， 第3件作品的标准化得分为：， 第4件作品的标准化得分为：， 第5件作品的标准化得分为：， 第6件作品的标准化得分为：， 第7件作品的标准化得分为：， 第8件作品的标准化得分为：， 第9件作品的标准化得分为：， 第10件作品的标准化得分为：， ∴第一名的是7，第二名的是2，第三名的是6， 故答案为：． 24. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，C是的中点，过点C作的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质推出，由圆周角定理得到，由等腰三角形的性质推出，得到，推出，即可证明； （2）由圆周角定理得到，由勾股定理求出，证明可求出，证明四边形是矩形得，，从而，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【小问1详解】 连接， ∵为的切线， ∴． ∴． ∵C是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵为直径， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，关键是掌握圆周角定理． 25. 如图，点M是直径上一定点，点C是直径上一个动点，过点C作交于点D，作射线交于点N，连接．小宇根据学习函数的经验，对线段，，的长度之间的数量关系进行了探究． 下面是小宇的探究过程，请补充完整： （1）对于点C在的不同位置，画图，测量，得到了线段，，的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 6.00 5.48 4.90 4.24 3.46 2.45 0.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 4.00 3.27 2.83 2.53 2.31 2.14 2.00 在，，的长度这三个量中，如果选择_________的长度为自变量，那么_________的长度和_________的长度为这个自变量的函数； （2）在同一平面直角坐标系中，画出（1）中确定的函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题： ①当时，线段的长度约为_________．（精确到0.1） ②连接，当时，线段的长度约为_________．（精确到0.1） 【答案】（1）选择的长度为自变量，那么的长度和的长度为这个自变量的函数 （2）图形见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据表中数据判断自变量及函数即可； （2）根据表中数据描点作图即可； （3）①当时，即为函数图象交点位置，估计此时线段的长度即可； ②当时，，，结合函数图象估计此时线段的长度即可． 【小问1详解】 解：观察表格发现，的长度依次，变化有规律， ∴选择的长度为自变量，那么的长度和的长度为这个自变量的函数； 【小问2详解】 解：根据表格描点，再顺次连接得到函数图象如图： 【小问3详解】 解： ①当时，即为函数图象交点位置，此时， 即线段的长度约为． ②连接， 由表格可得，当时，， ∵为直径， ∴， 当时， ∴， ∴由函数图象可得，当时， 即线段的长度约为． 【点睛】本题主要考查圆与函数的综合知识，解题的关键是根据题目条件结合函数图象找到对应的位置． 26. 在平面直角坐标系中，已知二次函数． （1）求该二次函数图象顶点的坐标（用含b的代数式表示）； （2）若该二次函数的图象经过点，求b的值； （3）当时，函数值y的最大值为M，最小值为m，若，结合函数图象，求b的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）化成顶点式即可； （2）代入点的坐标计算即可； （3）用b表示函数的最大值和最小值，再求范围． 【小问1详解】 解：， ∴该二次函数的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：将代入二次函数得：， ∴； 【小问3详解】 解：抛物线开口向上，对称轴为直线，， 当，即时， ∴当时，函数有最小值， ∴， 若，即时，当时，函数有最大值， ， 此时，符合题意； 当，即时，当时，函数有最大值， 此时， ∵， ∴， ∴或， ∵， ∴不合题意，舍去； ∴符合题意； 当，即时， ∵抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，函数有最小值， 当时函数有最大值， ∴，， ∴， 且， ∴， ∵， ∴， 综上：． 27. 在中，，以为中心，将线段逆时针旋转，得到线段，以为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接． （1）根据题意补全图1，并证明； （2）如图2，点在的延长线上，且，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）作图见解析，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理的应用，全等三角形的性质与判定，等角对等边； （1）根据题意画出图形，即，，根据，即可求解； （2）过点作，，依题意，，由①可得，即，则，证明得出，，证明得出，进而根据已知以及三角形的外角的性质证明得出，即可得证． 【小问1详解】 解：如图所示， 依题意，， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作，并截取，连接交于点P， 依题意，， ∴， ∵， ∴， 由①可得，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为，对于直线和线段，给出如下定义：若线段关于直线的对称图形是的弦（，分别为，的对应点），则称线段是关于直线的“对称弦” （1）如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．线段，，中，是关于直线的“对称弦”的是 ； （2）是关于直线的“对称弦”，若点的坐标为，且，求点的坐标； （3）已知直线和点，若线段是关于直线的“对称弦”，且，直接写出的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题中定义即可画图得出； （2）根据题意可得直线垂直平分，，结合点的坐标，推得点在上，即可得出点是与交点，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求得点、的坐标； （3）结合（2）可得点是点与交点，先求出直线与，轴的交点坐标，结合三角形的面积求得的值，根据锐角三角函数可求得点的坐标，根据两点间的距离公式即可列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：如图所示： ∴关于直线的“对称弦”的是线段； 【小问2详解】 解：设点，关于直线的对称点为,， ∴直线垂直平分，， ∵是关于直线的“对称弦”， ∴,在上， ∵点的坐标为， 即点在上， ∵直线经过圆心， ∴点也在上， ∵， 故点在以点为圆心，为半径的圆上，如图：与交于点与点； ∵， 即是等边三角形， 故点的横坐标为，点的纵坐标为， 同理，点的横坐标为，点的纵坐标为， 综上，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：设点关于直线的对称点为, ∴直线垂直平分， ∵线段是关于直线的“对称弦”， ∴在上， 由（2）可得点在以点为圆心，为半径的圆上， 又∵， 即； 令直线与，轴交于点，，过点作直线交于点，点作轴交于点，如图： 令，则，即点，, 令，则，即点，， 则， 则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 即点的坐标为， ∵，； ∴， 整理得：， 解得：或， 故的值为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质等，正确理解新定义的含义，灵活应用数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $