16.2一元二次方程的解法 题型突破 2025-2026学年北京版八年级数学下册（九大题型）

16.2一元二次方程的解法题型突破2025-2026学年 北京版八年级下册（九大题型） 题型一：直接开平方法解一元二次方程 1.一元二次方程x2 -1＝0的根是（       ） A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝-1 C．x1＝x2＝-1 D．x1＝1，x2＝0 2.如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是（       ） A． B． C． D． 3.方程的解为______． 4.解方程：（x﹣2）20（开平方法）． 5.解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2（开平方法）． 题型二：配方法解一元二次方程 1.用配方法解方程，变形正确的是（       ） A． B． C． D． 2.下列解方程变形正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 3.用配方法解下列方程时，配方正确的是（    ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 4.用配方法将方程变为的形式，则________． 5.用配方法解方程：． 6.用配方法解方程：4x2﹣8x﹣7＝0． 题型三：由根的判别式判断根的情况 1．方程根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 2．一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0的根的情况是（　　） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 3. 知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 4.若是一元二次方程的一个根，那么方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有一个根是 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 5.已知关于的一元二次方程，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．两根之和小于0 D．两根之积大于0 题型四：由一元二次方程根的情况求取值范围 1.已知关于的方程有实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 2.关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数a的取值范围是（　  　） A． B．且 C． D．且 3.已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A． B．0 C．4 D．8 4.关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的最大整数解是______． 5.已知关于x的方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程根的判别式的值为5，求m的值及方程的根． 题型五：公式法解一元二次方程 1.用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（       ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 2.用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 3.方程的解是______. 4.将方程化成一般形式为，则________，此方程的根是________． 5.用公式法解方程：2a2﹣3＝﹣4a． 6.解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）． 题型六：因式分解法解一元二次方程 1.下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（　　　） A． B． C． D． 2.方程的解是（　　） A．x＝﹣3 B．x1＝3，x2＝﹣3 C．x1＝，x2＝ D．x＝﹣3，x＝0 3.已知直角三角形的其中两条边长是方程x2﹣12x+32＝0的根，则该三角形的第三条边长为 _____． 4.用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）． 5.解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）． 题型七：用指定方法解一元二次方程 1.按规定的方法解下列方程： （1）（x+1）2﹣144＝0（直接开平方法）；（2）x2＝8x+9（配方法）； （3）2y2+7y+3＝0（公式法）；（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）（因式分解法）． 2.用适当的方法解方程： （1）x（x﹣2）+x﹣2＝0（用因式分解法）（2）x2﹣4x+3＝0（用配方法解） （3）x2+5x+1＝0（用公式法解）（4）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2（用直接开平方法） 题型八：用适当的方法解一元二次方程 1.用适当的方法解下列一元二次方程： （1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0；（2）x2﹣2x﹣15＝0． 2.用适当的方法解方程 （1）x2﹣x﹣1＝0；（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0． 3.用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣x﹣6＝0；（2）4（x﹣1）2＝9（x﹣5）2． 4.选用适当的方法解下列方程． （1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）；（2）x2+2x﹣5＝0． 题型九：换元法解一元二次方程 1.关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c均为常数，a≠0）的解是x1＝m－3，x2＝1－m，那么方程a（x－m）2＋bx＋c＝mb的解是（　　） A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝2m－3，x2＝1 C．x1＝2m－3，x2＝1－2m D．x1＝－3，x2＝1－2m 2.若实数满足方程，那么的值为（       ） A．或4 B．4 C． D．2或 3.已知，则的值是_______． 4.已知（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则a2+b2＝___． 5.请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题： 已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值． 解：设t＝x+y，则原方程变形为（t﹣3）（t+4）＝﹣10，即t2+t﹣2＝0 ∴（t+2）（t﹣1）＝0得t1＝﹣2，t2＝1∴x+y＝﹣2或x+y＝1 已知（x2+y2﹣4）（x2+y2+2）＝7，求x2+y2的值． 【答案】 16.2一元二次方程的解法题型突破2025-2026学年 北京版八年级下册（九大题型） 题型一：直接开平方法解一元二次方程 1.一元二次方程x2 -1＝0的根是（       ） A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝-1 C．x1＝x2＝-1 D．x1＝1，x2＝0 【答案】B 2.如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 3.方程的解为______． 【答案】， 4.解方程：（x﹣2）20（开平方法）． 【答案】解：（x﹣2）20， （x﹣2）2， （x﹣2）2， x﹣2＝±， 所以x1，x2． 5.解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2（开平方法）． 【答案】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2， 开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2， 解得：x1＝1，x2＝﹣1． 题型二：配方法解一元二次方程 1.用配方法解方程，变形正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 2.下列解方程变形正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】C 3.用配方法解下列方程时，配方正确的是（    ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 【答案】D 4.用配方法将方程变为的形式，则________． 【答案】5 5.用配方法解方程：． 【答案】解：∵， ∴x2﹣2x+5＝4+5，即（x）2＝9， ∴x3或x3， ∴x1＝3，x2＝﹣3． 6.用配方法解方程：4x2﹣8x﹣7＝0． 【答案】解：4x2﹣8x﹣7＝0， 4x2﹣8x＝7， x2﹣2x， 配方得x2﹣2x+121， （x﹣1）2， x﹣1＝±， x＝1±， ∴x1＝1，x2＝1． 题型三：由根的判别式判断根的情况 1．方程根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 2．一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0的根的情况是（　　） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】B 3. 知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 【答案】B 4.若是一元二次方程的一个根，那么方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有一个根是 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】B 5.已知关于的一元二次方程，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．两根之和小于0 D．两根之积大于0 【答案】C 题型四：由一元二次方程根的情况求取值范围 1.已知关于的方程有实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 2.关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数a的取值范围是（　  　） A． B．且 C． D．且 【答案】B 3.已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A． B．0 C．4 D．8 【答案】C 4.关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的最大整数解是______． 【答案】 5.已知关于x的方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程根的判别式的值为5，求m的值及方程的根． 【答案】(1)见解析 (2)或3，当时，方程的解为；当时，方程的解为； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：令，则，解得：或3 当时，原方程可化为： ∴ ∴； 当时，原方程可化为： ∴ ∴； 综上，当时，方程的解为；当时，方程的解为． 题型五：公式法解一元二次方程 1.用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（       ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 2.用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【答案】C 3.方程的解是______. 【答案】， 4.将方程化成一般形式为，则________，此方程的根是________． 【答案】 217 或 5.用公式法解方程：2a2﹣3＝﹣4a． 【答案】解：2a2﹣3＝﹣4a， 整理得：2a2+4a﹣3＝0， ∵Δ＝42﹣4×2×（﹣3） ＝16+24 ＝40， ∴a， ∴a1，a2． 6.解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）． 【答案】解：方程整理得：6x2﹣x﹣4＝0， ∵a＝6，b＝﹣1，c＝﹣4， ∴b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×6×（﹣4）＝97＞0， ∴x， ∴x1，x2． 题型六：因式分解法解一元二次方程 1.下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 2.方程的解是（　　） A．x＝﹣3 B．x1＝3，x2＝﹣3 C．x1＝，x2＝ D．x＝﹣3，x＝0 【答案】D 3.已知直角三角形的其中两条边长是方程x2﹣12x+32＝0的根，则该三角形的第三条边长为 _____． 【答案】或 4.用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）． 【答案】解：∵2（x﹣3）＝3x（x﹣3）， ∴2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0， 则（x﹣3）（2﹣3x）＝0， ∴x﹣3＝0或2﹣3x＝0， 解得x1＝3，x2． 5.解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）． 【答案】解：∵（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0， ∴（4﹣3x）（5﹣3x）＝0， 则4﹣3x＝0或5﹣3x＝0， 解得x1，x2． 题型七：用指定方法解一元二次方程 1.按规定的方法解下列方程： （1）（x+1）2﹣144＝0（直接开平方法）；（2）x2＝8x+9（配方法）； （3）2y2+7y+3＝0（公式法）；（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）（因式分解法）． 【答案】解：（1）（x+1）2＝144， 则x+1＝12或x+1＝﹣12， 解得：x1＝﹣13，x2＝11； （2）移项，得：x2﹣8x＝9， 配方，得x2﹣8x+16＝25， 则（x﹣4）2＝25， 即x﹣4＝5或x﹣4＝﹣5， 解得：x1＝9，x2＝﹣1； （3）a＝2，b＝7，c＝3， △＝49﹣4×2×3＝49﹣24＝25＞0． 则x， 则x1＝﹣3，x2； （4）原式即3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0， 因式分解得：（x﹣2）【3（x﹣2）﹣x】＝0， 即（x﹣2）（2x﹣6）＝0， 则x﹣2＝0或2x﹣6＝0， 解得：x1＝2，x2＝3． 2.用适当的方法解方程： （1）x（x﹣2）+x﹣2＝0（用因式分解法）（2）x2﹣4x+3＝0（用配方法解） （3）x2+5x+1＝0（用公式法解）（4）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2（用直接开平方法） 【答案】解：（1）因式分解得，（x﹣2）（x+1）＝0， 由此得，x﹣2＝0，x+1＝0， 所以，x1＝2，x2＝﹣1； （2）配方得，x2﹣4x+4﹣4+3＝0， 即（x﹣2）2＝1， 所以，x﹣2＝±1， 所以，x1＝3，x2＝1； （3）a＝1，b＝5，c＝1， Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×1＝25﹣1＝24， x， x1，x2； （4）开平方得，x﹣4＝±（5﹣2x）， 所以，x﹣4＝5﹣2x或x﹣4＝2x﹣5， 解得x1＝3，x2＝1． 题型八：用适当的方法解一元二次方程 1.用适当的方法解下列一元二次方程： （1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0；（2）x2﹣2x﹣15＝0． 【答案】解：（1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0， 将方程变形，得（x+4）（x﹣1）＝0， 即x+4＝0，x﹣1＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝1． （2）x2﹣2x﹣15＝0， 将方程变形，得（x+3）（x﹣5）＝0， 则x+3＝0或x﹣5＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝5． 2.用适当的方法解方程 （1）x2﹣x﹣1＝0；（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0． 【答案】解：（1）Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0， x， 所以x1，x2； （2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0． （x+1）（x+1﹣3）＝0， x+1＝0或x+1﹣3＝0， 所以x1＝﹣1，x2＝2． 3.用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣x﹣6＝0；（2）4（x﹣1）2＝9（x﹣5）2． 【答案】解：（1）∵x2﹣x﹣6＝0， ∴（x﹣3）（x+2）＝0， 则x﹣3＝0或x+2＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣2； （2）∵4（x﹣1）2＝9（x﹣5）2， ∴4（x﹣1）2﹣9（x﹣5）2＝0， ∴[2（x﹣1）+3（x﹣5）][2（x﹣1）﹣3（x﹣5）]＝0， 则2（x﹣1）+3（x﹣5）＝0或2（x﹣1）﹣3（x﹣5）＝0， 解得x1＝13，x2． 4.选用适当的方法解下列方程． （1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）；（2）x2+2x﹣5＝0． 【答案】解：（1）方程移项得：2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0， 分解因式得：（x﹣1）（2x﹣3）＝0， 所以x﹣1＝0或2x﹣3＝0， 解得：x1＝1，x2； （2）方程整理得：x2+4x＝10， 配方得：x2+4x+8＝18，即（x+2）2＝18， 开方得：x+2±3， 解得：x1，x2＝﹣5． 题型九：换元法解一元二次方程 1.关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c均为常数，a≠0）的解是x1＝m－3，x2＝1－m，那么方程a（x－m）2＋bx＋c＝mb的解是（　　） A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝2m－3，x2＝1 C．x1＝2m－3，x2＝1－2m D．x1＝－3，x2＝1－2m 【答案】B 2.若实数满足方程，那么的值为（       ） A．或4 B．4 C． D．2或 【答案】B 3.已知，则的值是_______． 【答案】3 4.已知（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则a2+b2＝___． 【答案】3 5.请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题： 已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值． 解：设t＝x+y，则原方程变形为（t﹣3）（t+4）＝﹣10，即t2+t﹣2＝0 ∴（t+2）（t﹣1）＝0得t1＝﹣2，t2＝1∴x+y＝﹣2或x+y＝1 已知（x2+y2﹣4）（x2+y2+2）＝7，求x2+y2的值． 【答案】解：设t＝x2+y2＞0 ∴（t﹣4）（t+2）＝7 t2﹣2t﹣15＝0， 解得：t1＝5，t2＝﹣3（舍去） ∴x2+y2＝5． 学科网（北京）股份有限公司 $