16.2一元二次方程的解法（第2课时配方法）（教学课件）数学新教材北京版八年级下册

一、一元二次方程和它的的解法 第2课时配方法 第十六章 一元二次方程 学 习 目 标 1 2 理解配方法的原理，掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤。 能熟练对形如x2+px的代数式进行配方，会用配方法解形如x2+bx+c=0的一元二次方程。 3 能识别并转化形如(x+h)2=k(k≥0)的方程，并用开平方法求解 复习回顾 问题1：能识别并转化形如(x+h)2=k(k≥0)的方程，并用开平方法求解 1 开平方法适用于解形如x2=m(m≥0)或(ax+b)2=m(m≥0)的方程，核心是开平方降次。 问题2：完全平方公式是什么？请写出(x+a)2和(x−a)2的展开式 (x+a)2=x2+2ax+a2；(x−a)2=x2−2ax+a2 新知导入 2 1 1 新知探究 探究1 3 配方法 我们来研究方程 x 2 + 4x - 2 = 0 的解法 . ( 1 ) 这个方程能用开平方法求解吗？ ( 2 ) 这个方程能转化为形如 ( x + n )2 = m ( m 0 ) 的方程而用开平方法求解吗？如果能，怎样确定 n 的值？ ( 3 ) 试用这种设想去求这个方程的解 新知探究 探究1 3 配方法 问题一：方程 x 2 + 4x - 2 = 0怎样变成（x+n)2=p的形式呢？ 解： x2+4x-2=0 x2+4x=2 移项 x2+4x+4=2+4 两边都加上4 （x+2）2=6 整理得 x+2=± 用开平方法得 x+2= x+2=- x=-2 x=--2 新知探究 探究1 3 配方法 梳理归纳 　　 配方法的定义 配方法解方程的基本思路 把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解． 像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法. 新知探究 探究1 3 配方法 思 考 进行配方的变形时，变形的步骤有规律吗？ 在对形如 x 2 + px 的式子进行配方时，加上的一项应是( ) 2，也就是加上的一项应是“原式一次项系数的一半的平方” x2+px+( )2=(x+ )2 新知探究 探究1 3 配方法 问题二：1. 当二次项的系数不是 1 时，配方法应当怎样进行呢？ 2. 用配方法求出方程 2x 2 - 12x + 7 = 0 的解 . 新知探究 探究1 3 配方法 问题二：用配方法求出方程 2x 2 - 12x + 7 = 0 的解 . 解： 2x 2 - 12x + 7 = 0 x2-6x+=0 方程两边同时除以二次项的系数 2 x2-6x=- 移项 x2-6x+32=- 两边加上32 （x-3）2= 整理得 x-3= x-3=- x=+3 x=- x-3=± 新知探究 探究1 3 配方法 思 考 用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？ 移项时需注意改变符号. 用配方法解一元二次方程的一般步骤. ①移项，二次项系数化为1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程. 新知探究 3 梳理归纳 　　 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p. ①当p>0时,则 ,方程的两个根为 ②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为 x1=x2=-n. ③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根. 典例解析 4 例1： 用配方法解方程x2＋6x＝0. 解：配方，得_______________________， (________)2＝________. 由此可得_____________， x1＝________，x2＝________. x2＋6x＋9＝0＋9 　 x＋3 　 9 　 x＋3＝±3 　 0　 -6 　 典例解析 4 例2： 用配方法解方程：x2－5x＋4＝0. 典例解析 4 例3： 用配方法解方程：2x2－x－1＝0. 2x2－x＝1 1 新知进阶 5 1．用配方法解方程：x2＋4x＋1＝0. 新知进阶 5 2．用配方法解方程：x2－1＝8x. 新知进阶 5 3．用配方法解方程：3x2－3＝－8x. 课堂练习 6 1.解下列方程： 解：（1）移项，得 x2－8x=－1, 配方，得 x2－8x+42=－1+42 , ( x－4)2=15 由此可得 即 课堂练习 6 2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－6k＋12 的值必定大于零. 解：k2－6k＋12=k2－6k＋9＋3 =（k－3）2＋3 因为（k－3）2≥0，所以（k－2）2＋3≥3. 所以k2－6k＋12的值必定大于零. 课堂练习 6 3.若a,b,c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状. 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 所以，△ABC为直角三角形. 0 课堂总结 7 核心概念 开平方法适用于形如 x2=m (m≥0) 或 (x+n)2=m (m≥0) 的方程。 解题步骤：化为标准形式 → 开平方 → 解一元一次方程 → 写出方程的解。 当 m<0 时，方程无实数解。 方法归纳 遇到 (x+n)2=m 的形式，将 (x+n) 看作整体开平方，体现整体思想。 开平方后得到两个一元一次方程，需分情况求解，体现分类讨论思想。 感谢聆听! eq \f(25,4) eq \f(5,2) eq \f(1,16) eq \f(1,4) 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2 填空： (1)x2＋2x＋________＝(x＋________)2； (2)y2－5y＋________＝(y－________)2； (3)x2－eq \f(1,2)x＋________＝(x－________)2. 解：移项，得x2－5x＝－4. 配方，得x2－5x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＝－4＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))2＝eq \f(9,4). 由此可得x－eq \f(5,2)＝±eq \f(3,2)，x1＝4，x2＝1. x2－eq \f(1,2)x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2 x－eq \f(1,4) 由此可得________________， x1＝________，x2＝________. x－eq \f(1,4)＝±eq \f(3,4) －eq \f(1,2) eq \f(9,16) 解：移项，得______________. 二次项系数化为1，得______________. 配方，得_________________________， (________)2＝________. 解：移项，得x2＋4x＝－1. 配方，得x2＋4x＋4＝－1＋4，(x＋2)2＝3. 由此可得x＋2＝±eq \r(3)， x1＝eq \r(3)－2，x2＝－eq \r(3)－2. 解：移项，得x2－8x＝1. 配方，得x2－8x＋16＝1＋16，(x－4)2＝17. 由此可得x－4＝±eq \r(17)， x1＝eq \r(17)＋4，x2＝－eq \r(17)＋4. 解：移项，得3x2＋8x＝3. 二次项系数化为1，得x2＋eq \f(8,3)x＝1. 配方，得x2＋eq \f(8,3)x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,3)))2＝eq \f(25,9). 由此可得x＋eq \f(4,3)＝±eq \f(5,3)，x1＝eq \f(1,3)，x2＝－3. $