16.2一元二次方程的解法（第3课时公式法）（教学课件）数学新教材北京版八年级下册

一、一元二次方程和它的的解法 第3课时公式法 第十六章 一元二次方程 学 习 目 标 1 2 理解一元二次方程求根公式的推导过程，掌握求根公式 能够用公式法解一元二次方程，并能判断方程根的情况。 3 明确公式法的适用条件，会将方程化为一般形式后确定 a,b,c 的值。 复习回顾 问题1：用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ 1 移项 → 二次项系数化为 1 → 配方 → 开平方 → 求解 问题2：用配方法解方程 x2+2x−3=0，复习配方法的操作 我们能否用配方法推导一元二次方程的通用解法？这就是今天要学习的公式法。 新知导入 2 思 考 用配方法解一元二次方程时，主要的步骤是什么？ ①移项，二次项系数化为1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程. 新知探究 探究1 3 推导一元二次方程求根公式 思 考 能按照这个步骤，推导出一个用来求一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的根的公式吗？ 新知探究 探究1 3 推导一元二次方程求根公式 ax 2 + bx + c = 0 x2+x+=0 方程两边同时除以 a，得 x2+x+)2=- 移项配方，得 （x+）2= 整理得 新知探究 探究1 3 推导一元二次方程求根公式 由于 a ≠ 0，有 4a 2 > 0，所以，当 b 2 - 4ac≥0 时，可以用开平方法，得x+= 当 b 2 - 4ac≥0 时，原方程的解为得 我们得到了一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的求根公式： 新知探究 3 梳理归纳 　　 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ，当△=b2-4ac ≥0 时，将a，b，c 代入式子 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根. 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0. 新知探究 探究2 3 公式法求一元二次方程的解的步骤 思 考 用公式法求一元二次方程的解时，应按照怎样的步骤进行？ 正确使用求根公式求解，应按照以下的步骤进行： ( 1 ) 把方程整理为一般形式 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )，确定 a，b，c 的值； ( 2 ) 计算式子 b 2 - 4ac 的值； ( 3 ) 当 b 2 - 4ac 0 时，把 a，b 和 b 2 - 4ac 的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解 . 典例解析 4 例3 用公式法解下列方程： （1）x(x+2)=4; (2)2(x2-)=2(x-2) 解：整理原方程，得 x2+2x-4=0 因为a=1,b=2,c=-4 所以b2-4ac=(2)2-4×1×（-4）=28＞0 代入求根公式，得 x===-± 所以，方程的根为 x1=-+,x2=- 解：整理原方程，得 2x2-2x+1=0 因为a=2,b=2,c=1 所以b2-4ac=(2)2-4×2×1=0 代入求根公式，得 x==== 所以，方程的根为 x1=x2= 新知进阶 5 1.利用求根公式解方程 2x 2 - 8x + 3 = 0. 解：由于 a = 2，b = - 8，c = 3，所以 b 2 - 4ac = ( - 8 ) 2 - 4 × 2 × 3 = 40 > 0. 代入公式，得 = 所以，方程的根是 新知进阶 5 2.解方程： 化简为一般式： 解： 即 ： 这里的a、b、c的值是什么？ 新知进阶 5 3.解方程： （精确到0.001）. 解： 用计算器求得： 课堂练习 6 1.已知三角形两边长分别为5和9，第三边长是方程x2－14x＋48＝0的根，则这个三角形的周长是________. 20或22 　 2.已知4个数据：－ ，2 ，a，b，其中a，b是方程x2－2x－1＝0的两个根，则这4个数据的中位数是(　　) A．1 B. C．2 D. A 课堂练习 6 C D 课堂练习 6 6.在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长. 解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实 数根， 所以Δ=b2－4ac=(b-2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0. 所以b=-10或b=2. 将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4； 将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）； 所以△ABC 的三边长为4，4，5， 其周长为4+4+5=13. 课堂练习 6 课堂练习 6 课堂练习 6 3x2＋5x＋1＝0 －1或0.5 3 0 课堂总结 7 核心概念 求根公式： 判别式 Δ=b2−4ac 决定根的情况：Δ>0 有两个不相等的实数根；Δ=0 有两个相等的实数根；Δ<0 无实数根。 公式法步骤：化为一般形式 → 确定系数 → 计算判别式 → 代入公式 → 写出根。 方法归纳 公式法是解一元二次方程的通用方法，适用于所有有实数根的方程。 当方程不是一般形式时，需先整理再用公式法。 感谢聆听! 3．一元二次方程x2－x－2＝0的根是(　　) A．x1＝x2＝2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝－1，x2＝2 D．x1＝1，x2＝－2 4．方程x2＋x－1＝0的根是(　　) A．1－ eq \r(5) B． eq \f(1－\r(5),2) C．－1＋ eq \r(5) D． eq \f(－1±\r(5),2) 5．一元二次方程x2－2 eq \r(3) x＋3＝0的解是 . 7．用公式法解下列方程： (1)x2－2x－3＝0；　　　　　　　　　　　　　(2)4x2－3x＝－1； 解：∵a＝1，b＝－4，c＝－2， ∴b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－2) ＝24>0， x＝＝， ∴x1＝2＋，x2＝2－； 解：方程化为2x2＋x－2＝0. ∵a＝2，b＝1，c＝－2， ∴b2－4ac＝1＋16＝17. x＝＝， ∴x1＝，x2＝. (3)x2－4x－2＝0; 　 (4)2x2＋x＝2. 8．用公式法解一元二次方程，得x＝ eq \f(－5±\r(52－4×3×1),2×3) ，则该一元二次方程是 . 9．若2x2－1与x互为相反数，则x的值为 . 10．已知x＝1是一元二次方程(m＋2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值为____. $