计算题专项突破之一元二次方程2025-2026学年北京版八年级数学下册（七大板块）

计算题专项突破之一元二次方程2025-2026学年 北京版八年级下册（七大板块） 板块一：直接开平方法解一元二次方程 1.解下列方程：4（x﹣1）2﹣36=0（直接开方法） 2.解方程：（x﹣2）20（开平方法）． 3.解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2（开平方法）． 4.解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）． 5.解关于x的方程：x2﹣3＝1+ax2（a≠1）（开平方法）． 板块二：：配方法解一元二次方程 1.用配方法解方程：． 2.用配方法解方程：4x2﹣8x﹣7＝0． 3.用配方法解一元二次方程： (1)（配方法）；(2)（配方法）． 4.解方程： (1)；(2)x2－6x＋2＝0． 5.（1）请用配方法解方程； （2）请用配方法解一元二次方程． 板块三：公式法解一元二次方程 1.用公式法解一元二次方程：（用公式法求解）． 2.用公式法解方程：． 3.解方程： (1)(2) 4.用公式法解下列方程： (1)；(2)． 5.用公式法解下列方程： (1)；(2)． 板块四：因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）． 2.用因式分解法解方程：x(x-1)=2(x-1)（因式分解法）． 3.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)． 4.解方程 (1)(2) 5.因式分解法解方程： (1)3（x-5）2=2（5-x）；(2)abx2-（a2+b2）x+ab=0 （ab≠0） ； 板块五：换元法解一元二次方程 1.解下列方程： (1)； (2)． 2.解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0时，我们将x2﹣1作为一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣3y＝0，解得y1＝0，y2＝3，当y＝0时，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1，当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝2或x＝﹣2，所以，原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2 模仿材料中解方程的方法，求方程（x2＋2x）2﹣2（x2＋2x）﹣3＝0的解． 3.（换元法）解方程： 解：设则原方程可化为 解得： 当时，，解得 当时，，解得 ∴原方程的根是， 根据以上材料，请解方程： (1)． (2) 板块六：用指定方法解一元二次方程 1.按照指定方法解下列方程： (1) （用直接开平方法）(2) （用因式分解法） (3) （用配方法）(4)（用求根公式法） 2.解方程： (1)．（直接开平方法）(2)（配方法） (3)（因式分解法）(4)（公式法） 3.解方程： (1)（直接开平方法 ）(2)；(公式法) (3)；(因式分解法)(4) (配方法) 板块七：用适当的方法解一元二次方程 1.用适当的方法解下列一元二次方程： （1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0；（2）x2﹣2x﹣15＝0． 2.用适当的方法解方程 （1）x2﹣x﹣1＝0；（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0． 3.用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣x﹣6＝0；（2）4（x﹣1）2＝9（x﹣5）2． 4.选用适当的方法解下列方程． （1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）；（2）x2+2x﹣5＝0． 5.用适当方法解下列方程： (1)(2) (3) (4)． 【答案】 计算题专项突破之一元二次方程2025-2026学年 北京版八年级下册（七大板块） 板块一：直接开平方法解一元二次方程 1.解下列方程：4（x﹣1）2﹣36=0（直接开方法） 【答案】x1＝4，x2＝﹣2． 【详解】解：∵ ∴（x﹣1）2＝9， ∴x﹣1＝±3， ∴x1＝4，x2＝﹣2 2.解方程：（x﹣2）20（开平方法）． 【答案】解：（x﹣2）20， （x﹣2）2， （x﹣2）2， x﹣2＝±， 所以x1，x2． 3.解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2（开平方法）． 【答案】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2， 开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2， 解得：x1＝1，x2＝﹣1． 4.解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）． 【答案】解：4（x+1）2＝9（x﹣2）2， ∴2（x+1）＝±3（x﹣2）， ∴x1＝8，x2． 5.解关于x的方程：x2﹣3＝1+ax2（a≠1）（开平方法）． 【答案】解：方程整理得：（a﹣1）x2＝﹣4，即x2， 当1﹣a＞0，即a＜1时，x＝±±； 当1﹣a＜0，即a＞1时，无解． 板块二：：配方法解一元二次方程 1.用配方法解方程：． 【答案】解：∵， ∴x2﹣2x+5＝4+5，即（x）2＝9， ∴x3或x3， ∴x1＝3，x2＝﹣3． 2.用配方法解方程：4x2﹣8x﹣7＝0． 【答案】解：4x2﹣8x﹣7＝0， 4x2﹣8x＝7， x2﹣2x， 配方得x2﹣2x+121， （x﹣1）2， x﹣1＝±， x＝1±， ∴x1＝1，x2＝1． 3.用配方法解一元二次方程： (1)（配方法）；(2)（配方法）． 【答案】(1)x1=，x2=(2)x1=，x2=3 （1） 解： ，   方程变形得：x2－3x=1， 配方得：x2－3x+ =1+ ，即（x－ ）2= ， 开方得：x－ =± ， 解得：x1= ，x2= ； （2） 解：移项得： 系数化1得： 两边加上一次项系数一半的平方得： 配方得： 开方得： 解得：x1=，x2=3． 4.解方程： (1)；(2)x2－6x＋2＝0． 【答案】(1)，(2)， （2）利用配方法解方程即可． （1） 解：∵， ∴， 解得，； （2） 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，． 5.（1）请用配方法解方程； （2）请用配方法解一元二次方程． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1） 两边同时除以2得：， 移项得：， 两边同时加上得：， 配方得：， 解得：； （2） 两边同时除以得：， 移项得：， 两边同时加上得：， 配方得：， 当时， 解得：， 当时， ， 当时， 该方程无实数根． 板块三：公式法解一元二次方程 1.用公式法解一元二次方程：（用公式法求解）． 【答案】， 【详解】解：∵a=2，b=7，c=－4， ∴△=－4×2×（－4）=81， ∴x= ， ∴，． 2.用公式法解方程：． 【答案】， 【详解】解：原方程化为一般形式，得，，则，，， ∴， ∴， ∴，． 3.解方程： (1)(2) 【答案】(1)=，=；(2)=，=-2． （1） 解：方程整理得：， 这里a=2，b=3，c=-3， ∵Δ=9+24=33＞0， ∴x=， 解得：=，=； （2） 解：方程整理得：， 分解因式得：， 解得：=，=-2． 4.用公式法解下列方程： (1)；(2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：，，， ， ， 原方程的解为：，； （2）解：，，， ， ， 原方程的解为：，． 5.用公式法解下列方程： (1)；(2)． 【答案】(1)方程无解(2)方程无解 【详解】（1）解： 化为一般式得：， ∴， ∴， ∴原方程无解； （2）解：， 化为一般式得， ∴， ∴， ∴原方程无解． 板块四：因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）． 【答案】解：∵2（x﹣3）＝3x（x﹣3）， ∴2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0， 则（x﹣3）（2﹣3x）＝0， ∴x﹣3＝0或2﹣3x＝0， 解得x1＝3，x2． 2.用因式分解法解方程：x(x-1)=2(x-1)（因式分解法）． 【答案】 【详解】解：x（x-1）=2（x-1）， 移项，得x（x-1）-2（x-1）=0， ∴（x-1）（x-2）=0， ∴x-1=0或x-2=0， 解得：=1，=2． 3.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴，即， ∴或， 解得． 4.解方程 (1)(2) 【答案】(1)， (2)， （1） ， 解：，，， ， ，； （2） ， 解：， ， 或 ，； 5.因式分解法解方程： (1)3（x-5）2=2（5-x）；(2)abx2-（a2+b2）x+ab=0 （ab≠0） ； 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：3（x-5）2=2（5-x） 方程变形为：， ∴， ∴， ∴； （2）解：abx2-（a2+b2）x+ab=0 ， ∵， ∴， ∴ 板块五：换元法解一元二次方程 1.解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)x1＝，x2＝，x3＝，x4＝ (2) 【详解】（1）解： 设 则 或 解得， ∴或 ∴或 解得，x1＝，x2＝，x3＝，x4＝； （2）解： 设， 则 ， 或， 解得，， 或， 或， 解得， 2.解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0时，我们将x2﹣1作为一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣3y＝0，解得y1＝0，y2＝3，当y＝0时，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1，当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝2或x＝﹣2，所以，原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2 模仿材料中解方程的方法，求方程（x2＋2x）2﹣2（x2＋2x）﹣3＝0的解． 【答案】x1＝﹣3，x2＝1，x3＝x4＝﹣1 【详解】解：设x2+2x＝m， 则m2﹣2m﹣3＝0， ∴（m﹣3）（m+1）＝0， ∴m﹣3＝0或m+1＝0， 解得m＝3或m＝﹣1， 当m＝3时，x2+2x＝3，即x2+2x﹣3＝0， ∴（x+3）（x﹣1）＝0， 则x+3＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝1； 当m＝﹣1时，x2+2x＝﹣1，即x2+2x+1＝0， ∴（x+1）2＝0， 解得x3＝x4＝﹣1； 综上，原方程的解为x1＝﹣3，x2＝1，x3＝x4＝﹣1． 3.（换元法）解方程： 解：设则原方程可化为 解得： 当时，，解得 当时，，解得 ∴原方程的根是， 根据以上材料，请解方程： (1)． (2) 【答案】(1)原方程的根是； (2)原方程的根是． 【详解】（1）设，则原方程可化为 解得∶ 当时，，解得 当时，，方程无解 原方程的根是； （2）设，则原方程可化为 去分母，可得 解得 当时，，解得 当时，，方程无解 经检验∶都是原方程的解 原方程的根是． 板块六：用指定方法解一元二次方程 1.按照指定方法解下列方程： (1) （用直接开平方法）(2) （用因式分解法） (3) （用配方法）(4)（用求根公式法） 【答案】(1)，(2)， (3)，(4) 【详解】（1）解：， ∴， 解得：，． （2）， ∴， ∴或， 解得：，． （3）， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：，． （4）， ∴， ∴， ∴， 解得：． 2.解方程： (1)．（直接开平方法）(2)（配方法） (3)（因式分解法）(4)（公式法） 【答案】(1)(2) (3)(4)， 【详解】（1）解：， 两边除以4得：， 两边开平方得：， ∴； （2）解：， ∴， ∴， 即， ∴ 所以； （3）解： ∴， ∴或， 所以． （4）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 3.解方程： (1)（直接开平方法 ）(2)；(公式法) (3)；(因式分解法)(4) (配方法) 【答案】(1)，(2)， (3)，(4)， 【详解】（1）解：由原方程得：， 解得，， 所以，原方程的解为，； （2）解：在方程中，，，， ， 解得，， 所以，原方程的解为，； （3）解：由原方程得：， 解得，， 所以，原方程的解为，； （4）解：由原方程得：， 得， 得， 得 解得，， 所以，原方程的解为，． 板块七：用适当的方法解一元二次方程 1.用适当的方法解下列一元二次方程： （1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0；（2）x2﹣2x﹣15＝0． 【答案】解：（1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0， 将方程变形，得（x+4）（x﹣1）＝0， 即x+4＝0，x﹣1＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝1． （2）x2﹣2x﹣15＝0， 将方程变形，得（x+3）（x﹣5）＝0， 则x+3＝0或x﹣5＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝5． 2.用适当的方法解方程 （1）x2﹣x﹣1＝0；（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0． 【答案】解：（1）Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0， x， 所以x1，x2； （2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0． （x+1）（x+1﹣3）＝0， x+1＝0或x+1﹣3＝0， 所以x1＝﹣1，x2＝2． 3.用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣x﹣6＝0；（2）4（x﹣1）2＝9（x﹣5）2． 【答案】解：（1）∵x2﹣x﹣6＝0， ∴（x﹣3）（x+2）＝0， 则x﹣3＝0或x+2＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣2； （2）∵4（x﹣1）2＝9（x﹣5）2， ∴4（x﹣1）2﹣9（x﹣5）2＝0， ∴[2（x﹣1）+3（x﹣5）][2（x﹣1）﹣3（x﹣5）]＝0， 则2（x﹣1）+3（x﹣5）＝0或2（x﹣1）﹣3（x﹣5）＝0， 解得x1＝13，x2． 4.选用适当的方法解下列方程． （1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）；（2）x2+2x﹣5＝0． 【答案】解：（1）方程移项得：2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0， 分解因式得：（x﹣1）（2x﹣3）＝0， 所以x﹣1＝0或2x﹣3＝0， 解得：x1＝1，x2； （2）方程整理得：x2+4x＝10， 配方得：x2+4x+8＝18，即（x+2）2＝18， 开方得：x+2±3， 解得：x1，x2＝﹣5． 5.用适当方法解下列方程： (1)(2) (3) (4)． 【答案】(1)，；(2)； (3)，；(4)，． 【详解】（1）， ， ， ，； （2）， ， ， ； （3）， ， ， ， ， ，； （4）， ， ， ， ，． 学科网（北京）股份有限公司 $