二次函数的图像与性质 高频考点归纳 专项练 2026年数学中考一轮复习备考

二次函数的图像与性质 高频考点归纳 专项练 2026届初中数学中考一轮复习备考 一、单选题 1．已知是抛物线上的点，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知反比例函数的图象与一次函数的图象的交点在第一、三象限，则二次函数的图象可能为（ ） A． B． C． D． 3．对于抛物线，下列判断正确的是（   ） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．对称轴为直线 D．当时， 4．在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7 5．已知二次函数（为常数），其图象上有两点，，如果，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 6．直线与二次函数的图像的交点坐标分别为、，且．同时直线与一次函数图像的交点坐标为．以下说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．如图，在中，，，，点从点出发，沿着的路径以个单位长度的速度运动到点．同时，点从点出发，沿着的路径以2个单位长度的速度运动到点．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．连接，，设它们运动的时间为（单位：），的面积为，则下列关于的图象正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，，点E为中点，点F，G分别在边上（不与端点重合），且．设（），，则y关于x的函数图象为（   ） A． B． C． D． 9．如图，二次函数的图象的顶点与的点C重合，且经过点A，与交于点D，点B与点C的横坐标相同．若，则点D的坐标为（   ） A．B． C． D． 10．定义在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点，满足，为正整数，则称点为该函数的“倍值点”． ①点是一次函数的“2倍值点”； ②若二次函数存在唯一的“2倍值点”，则； ③反比例函数，总存在二个关于原点对称的“倍值点”； ④若函数的“倍值点”在以点为圆心，为半径的圆内部，则为不小于3的所有整数．上述说法正确的有（    ） A．① B．①④ C．①②③ D．①③④ 二、填空题 11．若某种礼炮的升空高度（）与飞行时间（）之间的函数关系式为，且礼炮升高到最高处时引爆，则礼炮引爆的时间为________． 12．抛物线的对称轴为直线________． 13．对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为__________． 14．抛物线，其中、满足，，若点，，在此抛物线上，则，，的大小关系为是______．（用“”连接） 15．已知抛物线的顶点为坐标原点，过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点、，连接．求边上的高的最大值为___________． 16．已知和是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点． （1）若，且，则的值为______； （2）若函数的图象与轴仅有一个交点，则的值为______． 三、解答题 17．已知抛物线（a，b，c是常数，，且）的最小值是． (1)若该抛物线的对称轴为直线，并且经过点，求抛物线对应的函数表达式． (2)若直线经过抛物线的顶点． ①求抛物线的顶点坐标； ②，是抛物线上的两点，且，求p的取值范围． 18．已知关于x的二次函数． (1)当函数图象经过点时． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上，求的值． (2)设点，是该函数图象上的两点，且．求证：． 19．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，点，是该抛物线上的两点，横坐标分别为，已知点，作点关于点的对称点． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； (3)设拋物线在两点之间的部分（含两点）为图象，当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的值． 20．在平面直角坐标系中，函数的图象记为，函数的图象记为，其中为常数，且，图象，合起来得到的图象记为． (1)当图象的最高点到轴距离为1时，求的值； (2)当时， ①若在图象上，求的值； ②当时，图象对应函数的最大值为2，最小值为，直接写出的取值范围； (3)若图象中随的增大而增大，以为顶点的直角三角形的三边与图象有两个交点时，直接写出的取值范围． 21．已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)当时，函数y的最大值为32． （ⅰ）求m的值； （ⅱ）若，（）是该抛物线上两点且位于其对称轴的两侧，在点M和点N之间的抛物线部分，最高点与最低点的纵坐标之差为2，求t的取值范围． 参考答案 1．C 本题考查了二次函数的图象性质，根据抛物线，得开口方向向上，对称轴为直线，则当，，当，则，据此进行逐项分析就，即可作答． 解：∵抛物线，且， ∴开口方向向上，对称轴为， ∴越靠近对称轴的所对的函数值越小， 则当，，故A、B选项不符合题意； 当，则，故C选项符合题意； 当，则，故D选项不符合题意； 故选：C 2．A 本题考查一次函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质. 根据反比例函数的图象与一次函数的图象的交点在第一、三象限，可知，，然后即可判断二次函数的图象开口方向和对称轴所在的位置，从而可以判断哪个选项符合题意． 解：反比例函数的图象与一次函数的图象的交点在第一、三象限， ，， 二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴左侧， 故选：A 3．C 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握的图象与性质是解题的关键． 根据的图象与性质判断即可． 解：由解析式可得，抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线， 故B错误，不符合题意；C正确，符合题意； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误，不符合题意； 当时，，故D错误，不符合题意， 故选：C． 4．D 本题考查了二次函数的最值问题，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入得出，结合对称轴在y轴的右侧，得，则在时，最小值，代入计算，即可作答． 解：∵二次函数（其中m为常数）的图像经过点， ∴， ∴， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴对称轴为直线 ∴， ∴， 则二次函数，且 ∴开口向上，对称轴为直线， ∴在时，最小值， 把代入， 得， ∴该二次函数有最小值7， 故选：D 5．C 本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识．由题意可知，抛物线的对称轴为直线，开口向上，可得点，到对称轴的距离分别为，，结合，可得，即可求解． 解：二次函数（为常数），的对称轴为直线，开口向上， 点，到对称轴的距离分别为，， ， ， 解得：， 故选：C． 6．B 本题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程的解，掌握函数的交点和方程解的关系是解题的关键． 选项A∶ 二次函数最小值为−1，但需注意题目中存在两个交点，故，而非；选项B∶ 利用根的和，结合的表达式直接求解；选项C、D∶ 需分的正负讨论，判断的范围是否唯一成立． 解：选项A：二次函数的最小值为，当时，方程有唯一解，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，题目中明确存在两个交点，故判别式必须大于0，即：，故选项A错误； 选项B：直线与抛物线交点的横坐标满足方程，根据韦达定理：， 若，则， 将代入一次函数方程， ，故选项B正确； 选项C：条件即， 由一次函数方程，解得：， 当时，，即与符号相反： 若，则， 若，则， 因此，的取值范围不唯一，选项C错误； 选项D：条件即， 同理，由，得，即与符号相同： 若，则， 若，则， 因此，的取值范围不唯一，选项D错误； 故选：B． 7．D 本题主要考查了二次函数图象的识别，勾股定理，解直角三角形，先利用勾股定理求出，则可求出运动时间为，分和两种情况，分别用含的式子表示出的面积，再结合函数图象即可得到答案． 解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴运动时间为， 当时，点P在上运动，点Q在上运动， ∴此时， ∵， ∴； 当时，如图所示，过点Q作于E， 由题意得，， ∴； 在，， ∴在，， ∴； ∴四个选项中只有D选项中的函数图象符合题意， 故选：D． 8．A 本题主要考查了二次函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，正方形的性质，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可得到，即可解答． 解：在正方形中，，点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设（），，则， ∴， ∴， ∵，且， ∴y关于x的函数图象为开口向下，顶点坐标为的抛物线，故选项A符合题意， 故选：A． 9．A 本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，一次函数与二次函数的交点问题，先求出二次函数的顶点坐标，得到，再根据平行四边形的面积求出，代入二次函数解析式即可求出，再求出直线的解析式为，联立，求解即可． 解：∵， ∴二次函数的图象的顶点为，即， ∵点在x轴上， ∴，即， ∵点B与点C的横坐标相同，四边形是平行四边形，且， ∴，， ∴， ∵二次函数的图象的顶点经过点A， ∴，即， ∴，即， ∴，则， ∴，二次函数的解析式为， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，则， 解得：或（舍去）， ∴，则， ∴， 故选：A． 10．A 本题主要考查了反比例函数的图象与性质、一次函数及二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能根据新定义列出关系式是关键．依据题意，根据“倍值点”的定义逐个判断分析可以得解． 解：对于①，由题意，，为正整数，点为该函数的“倍值点”， ． 又， 点是一次函数的“2倍值点”，故①正确． 对于②，由题意， “2倍值点”的， ． 联立方程组， ． 二次函数存在唯一的“2倍值点”， ． 或，②错误． 对于③，联立方程组， ． ． 为正整数， ． 反比例函数总存在二个的“倍值点”． 设其中一点为，另一个点为， ． 这两个“倍值点”不关于原点对称，故③错误． 对于④，联立方程组， ． 函数的“倍点”为． 点与点的距离为． 又当时， ．即， 又为正整数， 不合题意，故④错误． 故选：A． 11． 根据二次项系数小于，抛物线开口向下，最高点为二次函数的顶点，顶点的横坐标即为所求的引爆时间求解即可． 解：对函数解析式配方得． ∴抛物线开口向下，当时，取得最大值，即礼炮到达最高处引爆， ∴礼炮引爆的时间为． 12．1 将二次函数的一般式化为顶点式，即可求解对称轴． 解：， 抛物线的对称轴为直线． 13．或 本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数（ ）和二次函数（ ） ，我们要比较在取值从到时，它们各自最大值与最小值的差值情况．一次函数时，增大增大；二次函数 图象是开口向上的抛物线，对称轴是 ．我们通过分别计算两个函数在为和时的函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算的值．本题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在为和时的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解 ，同时要根据二次函数对称轴与、的位置关系进行分类讨论，避免漏解． 解：当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵， ∴，那么最大值与最小值的差为： ． 二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ． 情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ， ∴此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ， ∴ ， ∵ ， ∴解得 ． 情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ， ∵ ，解得 ． 情况三：当，即 时, 当时，． 当时，函数值 ； 当时，函数值 ． 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴（舍去）或（舍去） 综上所述， 或 故答案为：或 14． 本题考查了二次函数图象的性质，根据，，得出，对称轴直线在和之间，然后通过开口向下，则图象上的点离对称轴越远则的值越小即可求解，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线开口向下，对称轴在和之间， ∵，， ∴点到对称轴的距离为：，在和之间； 点到对称轴的距离为：，在和之间； 点到对称轴的距离为：，在和之间； ∵， ∴开口向下，则图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∴， ∴， 故答案为：． 15．4 设出、两点的坐标，并表示出三条直线的表达式，可以得出直线过定点，可知当与轴平行时，边上的高有最大值． 解：如图： 设点，， 则：直线的表达式为：， 直线的表达式为：， 直线的表达式为：， ， 过点分别作轴垂线，交轴于点， ∴， ∴， ∴， ， ， 则直线的表达式为：， 直线必过点， 当与轴平行时，边上的高有最大值，为． 16． 1 （1）根据题意是方程的两个根，且，，得到，结合，得到，因式分解即可； （2）根据题意，得，一定是抛物线的顶点，得到，，，故，得，从而得到，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点坐标应用，抛物线与一元二次方程，根与系数关系定理，因式分解，完全平方公式应用，熟练掌握抛物线性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）∵和是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点． ∴是方程的两个根，且，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：根据题意得， ∵函数的图象与轴仅有一个交点， ∴一定是抛物线的顶点， ∴，， ∴，， ∵和是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点． ∴是方程的两个根，且，， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：1． 17．(1) (2)①；② （1）根据题意可得抛物线的顶点为，设顶点式，再将点代入求值即可； （2）①根据二次函数的性质可得顶点为，将代入直线解析式，根据解方程，即可解答； ②将，代入抛物线解析式，利用解不等式即可． （1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为． 设抛物线对应的函数表达式为， 把代入，可得 解得， 抛物线对应的函数表达式为； （2）解：①根据， 可得二次函数的顶点为， 把代入， 得， 化简，得． ， ， ， ， 抛物线的顶点坐标为； ②设抛物线对应的函数表达式为． ，． ． ， ， ， ， ． 18．(1)①；② (2)证明见解析 （1）①把代入，得出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可；②根据平移方式求出平移后的两点坐标，代入①中所求关系式，得出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可； （2）把点，分别代入，结合得出，根据平方的非负数性质即可得出结论． （1）解：①∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴该二次函数的表达式为． ②∵， ∴点向右平移个单位的坐标为，向左平移个单位的坐标为， ∵点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上， ∴， 解得：． （2）证明：∵， ∴， ∵点，是该函数图象上的两点， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴． 19．(1) (2) (3)或 （1）将代入，即可求解； （2）根据抛物线的对称轴为直线，得出，进而求得，根据点是点关于点的对称点，进而利用中点坐标公式，即可求解； （3）根据解析式得出顶点坐标，根据，可得图象的最小值为，进而比较的大小，分情况讨论，结合题意列出关于的方程，解方程，即可求解． （1）解：将代入得 ， 解得：， ∴该抛物线所对应的函数解析式． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵两点关于该抛物线的对称轴对称，点，是该抛物线上的两点，横坐标分别为， ∴， 解得：， ∴点横坐标为， ∴，即． ∵点是点关于点的对称点， 设， ∴， ∴，， ∴． （3）解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， 即当时，最小值为，， ∵点，是该抛物线上的两点，横坐标分别为，， ∴，，图象的最小值为， ∴， 当时，即时，， ∴当时，最大值为， 同理可得，当时，最大值为， 依题意，当时，， 解得：（舍去）或， 当时，， 解得： 或（舍去）， 综上所述，或． 20．(1) (2)①的值为或；②的取值范围为 (3)的取值范围为或 （1）首先将配方成顶点式，然后得到顶点坐标为，然后根据题意得到求解即可； （2）①首先得到和的表达式，然后将分别代入求解判断即可； ②首先将和配方成顶点式，然后画出图象，将代入求出，然后结合图象求解即可； （3）首先由图象中随的增大而增大得到，然后分两种情况讨论，分别画出图象求解即可． （1）解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为 ∵图象的最高点到轴距离为1 ∴抛物线开口向下，即 ∴ ∴； （2）解：①当时，， ∵在图象 ∴将代入得， 解得或（舍去）； 将代入得， 解得（舍去）或； 综上所述，的值为或； ②∵， 当时，；当时，； 图象如图所示， ∵当时，图象对应函数的最大值为2，最小值为， ∴将代入得， 解得或（舍去） ∴由图象可得，的取值范围为； （3）解：， ∵图象中随的增大而增大， ∴ ∴ 如图所示，当的顶点坐标在线段上时， 此时以为顶点的直角三角形的三边与图象刚好有3个交点， ∴ 解得 ∵以为顶点的直角三角形的三边与图象有两个交点 ∴； 如图所示，以为顶点的直角三角形的三边与图象有两个交点时，此时与图象没有交点， 当时， ∴此时点在线段时， ∵， ∴线段所在直线的表达式为 ∴将代入得， ∴ ∵以为顶点的直角三角形的三边与图象有两个交点 ∴ 综上所述，的取值范围为或． 21．(1) (2)（ⅰ）2；（ⅱ） （1）将函数解析式化为顶点式求解即可； （2）（ⅰ）分情况讨论：若时，则当时，y的最大值为0，不符合题意；当时，由二次函数的性质可求出的值； （ⅱ）求出点M和点N之间的抛物线上的最高点的纵坐标为2，求出，，由或可求出答案． （1）解：∵， ∴该抛物线的顶点坐标是； （2）解：（ⅰ）由（1）知该抛物线的对称轴为直线． 当时，抛物线开口向上，因为， 所以当时，y的最大值为32，则，解得； 当时，抛物线开口向下，，则当时，y的最大值为0，这与y的最大值为32相矛盾，故不符合题意． 综上，m的值为2； （ⅱ）由（ⅰ）知该抛物线的表达式为， ∵抛物线的对称轴为直线，顶点为，∴y的最小值为0． ∵M，N两点在对称轴两侧， ∴， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为2， ∴点M和点N之间的抛物线上的最高点的纵坐标为2， 当时，得，解得，， 即抛物线上纵坐标为的点为和， 当时，则，解得， 当时，则，得，解得， 综上，t的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $