专题05 因式分解（专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 该专项以“概念-方法-应用”递进逻辑构建训练体系，通过8类题型系统覆盖因式分解全维度，融合提公因式、公式法及整体思想，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|题型1（5题）|定义判断要点（整式乘积形式）|从因式分解定义出发，建立概念认知| |方法应用|题型3-6（约20题）|提公因式步骤、公式法特征（平方差/完全平方）|通过公因式确定过渡到方法实操，强化运算能力| |综合拓展|题型7-8（10题）|整体思想、参数求解（待定系数法）|联结代数推理与实际应用，发展模型意识|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题5因式分解 内容概览 目常考题型精准突破 题型1判断是否是因式分解 题型2已知因式分解的结果求参数（重） 题型3公因式 题型4提公因式法分解因式（高频） 题型5平方差公式分解因式（高频） 题型6完全平方公式分解因式（重） 题型7因式分解在有理数筒算中的应用 题型8因式分解的应用（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1判断是否是因式分解 1.下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是() A.x+2x-2=x2-4 B.x2-X-2=xx-1-2 c.x2-1=xx- D.x2-2=x+V2x-V2 2.下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是() A.ax+1=ax+a B.X2+3x+2=xx+3+2 c.a-12=a2-2a+1 D.x2-9y2=x+3yx-3y] 3.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是() A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.x2-1+y2=x+1x-1+y2 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.x2+5x+4=xx+5t4 D.a2-4b2=a+2b川a-2b) 4.下列从左边到右边的变形中，因式分解正确的是() A.x2+1=xx+1 B.x+5川x-5=x2-25 C.x2+x+1=xx+1+1 D.-2x2-2xy=-2x(x+y 5.下列由左边到右边的变形中，是因式分解的是() A.m2-4=m+2m-2 B.a+3a-3=a2-9 c.a2-b2+1=a+b川a-b+1 D.2mR+2mr+2m=2mR+r ◆题型2已知因式分解的结果求参数 6.将口a2+b2因式分解的结果为-2a-b2a+b,那么“口”表示的数是 7.已知x+2是多项式x2-7x+m的一个因式，则它的另一个因式是 8.已知19x-30川13x-17-13x-17川11x-23可因式分解成ax+b8x+c,其中常数a,b,c均为 整数，则a+b+c= 9.若多项式x+mx-8因式分解的结果为x+4x-2,则常数m的值为， 10.仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式x-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为(x+n),得， x2-4x+m=x+3川x+n, 则x2-4x+m=x2+n+3x+3n, n+3=-4 m=3n: 解得n=-7,m=-21, ∴.另一个因式为x-7,m的值为-21， 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式x2+X+m有一个因式是x+2,求另一个因式以及m的值： (2)已知二次三项式2x2+3x+k有一个因式是x-3引，求另一个因式以及k的值. ◆题型3公因式 2/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.4a2与ab4c的公因式是 l2.多项式ab+abc中各项的公因式是 13.多项式8ab3-bc的公因式是() A.ab B.b C.b3 D.c 14.把多项式a+3ab分解因式时，应提取的公因式是 15.把多项式m3n4-mn*p因式分解时，提取的公因式是mn4,则k的值可能为() A.1 B.2 C.3 D.5 ◆题型4提公因式法分解因式 16.把多项式1+x1-x-x-1提取公因式x-1后，余下的部分是 17.因式分解：ab2-6ab= 18.因式分解：9x2-3xy= 19.因式分解： (1)a b-2ab2+ab (2)2xa-4-4-a 20.分解因式： (1)2y+3Xy= (2)2a+2+3ba+2= ◆题型5平方差公式分解因式 21.169x2y2-1=( )13xy-1. 22.己知416-1=48+148-1=…则按此规律推算416-1的结果一定能（) A.被12整除 B.被13整除 C.被14整除 D.被15整除 23.因式分解：(x+2y)2-(y+2x)2. 24.因式分解： y 21-14= 25.在实数范围内分解因式x4-36的结果正确的是() A.(x2+6)(x2-6) B.(x2+6)(x+V6)(x-V6) C.(x+6)(x+6)(x-6) D.以上答案都不对， ◆题型6完全平方公式分解因式 3/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26.阅读材料： 因式分解：x+y+2x+y+1. 解：将“x+y”看成整体，令x+y=A,则原式=A+2A+1=A+12.再将“A”还原，可以得到：原 式=x+y+1. 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法. 问题解决： (①)因式分解：1+2x-y+x-y: (2)因式分解：a2-4aa2-4a+8+16」 27.下面是某同学对多项式x2-6x+10x2-6x+8+1进行因式分解的过程. 解：设x2-6x=y,则原式=y+10川y+8+1(第一步) =y+18y+81(第二步) =y+92(第三步) =x2-6x+92(第四步) 回答下列问题： ()该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是 A.提取公因式 B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解 的最后结果 (3)请你模仿以上方法尝试对多项式x2-2xx2-2x+2+1进行因式分解. 28.分解因式：x2+4x+4= 29.因式分解：x2-6x+9= 30.探究不同情境，回答下面问题： (1)观察与发现-因式分解：x2+2x+1=_;x2+6x+9=_;4x2-12x+9=;9x2-24x+16=_. (2)归纳与猜想：若x+bx+C也可以分解成完全平方的形式，那么系数b、C之间有何数量关系？说明理由. (3)拓展与应用：若多项式y+1加上一个含字母y的单项式就能变形为一个完全平方式，请直接写出所有满 足条件的单项式 417 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型7因式分解在有理数简算中的应用 31.用简便方法计算：4.82×1.6+4.82×18.4-4.82×19 32.60×3.52-120×3.5×1.5+60×1.52结果为() A.240 B.242 C.232 D.225 33.设M=2022-2021×2023,N=2022-4044×2023+20232,则M与N的关系是() A.M>N B.M=N C.M<N D.M=+N 34.利用因式分解进行计算：202+2×101×196+982. 35.计算：123-23= ◆题型8因式分解的应用 36.老师布置了一个任务：对于非零实数a,b,满足a2-a=b2+b,探讨a-b的值.小光解得a-b=1, 但同桌认为小光的推理有问题.请你写出一组非零实数a,b,使原等式成立，但a-b≠1.如： 37.已知：x+y=6,Xy=-1,求：x+y的值为_ 38.己知n是正整数，利用因式分解证明：4n+32-2n+3?能被12整除. 39.三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类1块，B类4块，C类4块，小明用这些地砖拼成一 个正方形，那么小明拼成正方形的边长是() A n B n C m n A.m+2n B.2m+n C.2m+2n D.m+n 40.我们在研究数字规律时发现了一类特殊的数. 定义：如果一个正整数N可以写成(2k+1)-(2k-1)的形式(k为正整数)，那么称N为“奇异数”，k 称为N的层级.例如：当k=1时，3-1=8，所以8为“奇异数”，它的层级是1. (①)下列各数为“奇异数”的是 ；(填序号) ①16：②21：③32. (2)请说明：任意一个“奇异数”都能被8整除： (3)已知两个“奇异数”A,B,它们的层级分别为a,b(a,b为正整数，a>b). ①若A+B=64,a2+b2=40,求a-b的值： 林A·B ②若A+B =32,请直接写出所有符合条件的A和B的值. 5/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(25-26八年级下·陕西咸阳阶段检测)下列多项式能用完全平方公式分解因式的是() A.a2-2ab+4b2 B.x2-16y c.16(a+b)2-8(a+b)+1 D.-m2-4mn+4n2 2.(21-22七年级下贵州铜仁期中)对于任何整数m,多项式4m+5-9一定能被() A.8整除 B.m整除 c.m-1整除 D.2m-1整除 3.(25-26八年级下.宁夏银川期末)下列因式分解正确的是（) A.6x2-4xy=x 6x-4y B.x2-4y2=(x+4y(x-4y C.a2-2a+1=aa-2+1 D.2x(x+y-6y x+y=2 x+yx-3y 4.(25-26八年级下·陕西汉中.期末)已知x+2y-4=0,则2x2+8xy+8y的值为() A.8 B.16 c.50 D.32 5.(25-26八年级下·陕西咸阳·期末)下列各式中，由左向右的变形属于因式分解的是() A.X2+2X+3=XX+2+3 B.4x2-y=2x+y 2x-y C.x+12=x2+2x+1 D.-3到 6.(25-26七年级下·广东深圳期中)图1中有三种卡片，A种卡片是边长为的正方形，B种卡片是边长 为b的正方形，C种卡片是长为b、宽为的长方形.将图1中不同卡片“叠”在一起，可得面积之差，图2 是A种卡片与C种卡片叠放在一起的，阴影部分的面积S1=6,图3是C种卡片与B种卡片叠放在一起的图 形，其阴影部分的面积为S2=15,则a-b的值为() A 图1 图2 图3 A.8 B.9 c.10 D.11 7.(25-26八年级上：广东深圳·期末)利用因式分解可以生成密码，其方法为：先对给定多项式进行因式 分解，再对各因式赋值得到因式码，最后将因式码按照从小到大的顺序排列即可得到密码.例如多项式 x2y-4y,可分解因式得到yx+2x-2.若取x=15,y=12,可得y=12,x+2=17,x-2=13,其中 12,17,13即为各因式对应的因式码，将这些因式码按从小到大排序后即可得到密码121317.现有多项式 16p4-q4,当取P=3,q=2时，按照上述方法生成的密码是() 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4840 B.4820 C.8420 D.4480 二、填空题 8.(21-22七年级下·吉林长春阶段检测)已知a-b=6,ab=-1,则a2b-ab的值为一 9.(2022安徽马鞍山模拟预测)可以把代数式2ax2-12ax+18a分解因式为： 10.(25-26七年级下.四川成都期末)若2m+n=6,4m2-n2=24,则2m-n= 11. (21-22八年级下.宁夏银川·期中)对993-99进行因式分解，可得它等于三个连续整数的乘积，这三 个整数是 三、解答题 12.(21-22七年级下·浙江宁波·阶段检测)因式分解 (1)2m2n2-10mn (2x2+y2-4x2y2 13.(21-22七年级下·江苏准安期中)在2x+m2x2-x+n的运算结果中，x2项不存在，x的系数为 3,求m,n的值并对式子4mx2-n2进行因式分解 14.(25-26七年级下·河北承德·期末)按要求完成下列各小题： (1)简便运算：20262-2024×2028： (2)因式分解：m3-2m2+m: (3)先化简，再求值：2a+3b2a-3b-a-b2+aa-b,其中a=-2,b=-1. 15.(25-26七年级下·安徽安庆·阶段检测)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几 何图形的面积可以将一些多项式因式分解.例如：利用图1可以得到a+2b+b=(a+b)2. a h a b a b C 图1 图2 图3 (1)请把表示图2面积的多项式因式分解： (直接列出等式即可) (2)如图3，有足够数量的边长分别为，b的正方形纸片和长为b,宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将 多项式3a+8ab+4b2因式分解： (直接列出等式即可) (3)若x,y,z为实数，4x+2y+z=12,16x2+4y2+z2=400,利用(1)的结论求4Xy+2xz+yz的值： 717的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题5因式分解 内容概览 目常考题型精推突破 题型1判断是否是因式分解 题型2已知因式分解的结果求参数（重） 题型3公因式 题型4提公因式法分解因式（高频） 题型5平方差公式分解因式（高频） 题型6完全平方公式分解因式（重） 题型7因式分解在有理数筒算中的应用 题型8因式分解的应用（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1判断是否是因式分解 1.D 2.D 3.D 4.D 5.A ◆题型2已知因式分解的结果求参数 6. -4 7.X-9/-9+x 8.-11 9.2 1/5 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(1)另一个因式为x-1,m的值为-2 (②)另一个因式为2x+9,k的值为-27 ◆题型3公因式 11.a 12.ab 13.B 14.a 15.D ◆题型4提公因式法分解因式 16.-x+2 17.ab(b-6] 18.3x(3x-y) 19.(1)aba-2b+1 (2)a-42x+1 20. y2+3x a+22+3b ◆题型5平方差公式分解因式 21.13Xy+1 22.D 23.3(x+y)(y-x) 4.片*12倍2 25.B ◆题型6完全平方公式分解因式 26.(1)l1+x-y2 (2a-24 27.(1)C (2)不彻底：x-34 (3)x-14 215 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 28.x+22 29. (x-3)2 30.(1)x+12:x+32:2x-32:3x-42 (2) b2=4c,理由： 若x2+bx+c是完全平方式，设x2+bx+c=x+m2=x2+2mx+m2, .b=2m,c=m2, .b2=4c: (3)满足条件的单项式为2y或-2y或4y ◆题型7因式分解在有理数简算中的应用 31. 4.82 32.A 33.B 34.90000 35.14600 ◆题型8因式分解的应用 36. a=1,b=-1(答案不唯一) 37.234 38.证明：4n+32-2n+32 =4n+3+2n+34n+3-2n+3 =6n+6×2n =6n+1×2n =12nn+1, ,n是正整数， .12nn+1能被12整除，即4n+32-2n+32能被12整除. 39.A 3/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 40.(1)①③ (2证明：N=2k+12-2k-12, ∴.N=4k2+4k+1-4k2-4k+1=8k, k为正整数， ∴N是8的倍数，即任意一个“奇异数”都能被8整除 A=160A=96 3①4：②B=40或B=48 综合攻坚知能拔高 1.C 2.A 3.D 4.D 5.B 6.B 7.A 8. -6 9.2ax-3P 10. 4 11. 98 99 100 12.(1)2mnmn-5 (2)x+y2x-y2 13. m=1,n=2,4(x+1)(x-1) 14.(1)4 (2mm-12 415 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)4a2-10b2+ab,8 15.(1)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=a+b+c (2)3a2+8ab+4b2=3a+2ba+2b (3)-64 5/5 专题05 因式分解 常考题型·精准突破 题型1 判断是否是因式分解 题型2 已知因式分解的结果求参数（重） 题型3 公因式 题型4 提公因式法分解因式（高频） 题型5 平方差公式分解因式（高频） 题型6 完全平方公式分解因式（重） 题型7 因式分解在有理数简算中的应用 题型8 因式分解的应用（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1判断是否是因式分解 1．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，变形后不是整式乘积的形式，不符合题意． B．，变形后不是整式乘积的形式，不符合题意． C．，变形后不是整式乘积的形式，不符合题意． D．将多项式化为两个整式的乘积形式，符合题意． 2．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．的变形为整式乘法，右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解． B．，右边为和的形式，不是几个整式的积的形式，不属于因式分解． C．的变形为整式乘法，右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解． D．是将多项式化为几个整式的积的形式，属于因式分解． 3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式的积的形式，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A：是整式乘法，不是因式分解，故A不符合题意； 选项B：右边不是整式的积的形式，故B不符合题意； 选项C：中是分式，右边不是整式的积的形式，故C不符合题意； 选项D：符合因式分解的要求，故D符合题意． 4．下列从左边到右边的变形中，因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、等式右边含有不是整式， 不是因式分解． B、 变形为整式乘法， 不是因式分解． C、等式右边为和的形式， 不是因式分解． D、、D， 符合因式分解要求． 5．下列由左边到右边的变形中，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以因式分解的定义为判断依据，即多项式化为几个整式的积的恒等变形，进行解答，即可． 【详解】解：A、左边是多项式，右边是两个整式的积，变形正确，是因式分解，符合题意； B、左到右是整式乘法，将积化为多项式，不是因式分解，不符合题意； C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、左右两边不相等，变形错误，不是因式分解，不符合题意； ◆题型2 已知因式分解的结果求参数 6．将因式分解的结果为，那么“”表示的数是_______． 【答案】 【分析】设方框表示的数为，将因式分解的结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解：设“”表示的数是， 根据题意得 ， ， , ． 7．已知是多项式的一个因式，则它的另一个因式是________________． 【答案】/ 【分析】设出另一个因式，利用因式乘积展开后对应系数相等求解． 【详解】解：设多项式的另一个因式为，则， ， ， 解得：， 因此另一个因式为． 8．已知可因式分解成，其中常数均为整数，则________． 【答案】 【分析】将原式分解因式化简后对应系数求出，，的值，代入求解即可． 【详解】解： ， 根据题意得， ，，， ． 9．若多项式因式分解的结果为，则常数的值为______． 【答案】 【分析】因式分解与整式乘法互为逆运算，展开因式分解后的多项式，对比对应项的系数即可求出的值． 【详解】解：， ， 对比多项式同类项的系数可得． 10．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式有一个因式是（），求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为（），得， ， 则， ， 解得，， ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为 (2)另一个因式为，的值为 【分析】（1）设另一个因式为，结合整式的乘法与方程思想求解即可； （2）设另一个因式为，结合整式的乘法与方程思想求解即可. 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 解得：， ∴另一个因式为的值为． （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ， 解得：， ∴另一个因式为的值为． ◆题型3 公因式 11．与的公因式是________． 【答案】 【分析】根据公因式的定义，分别求出系数的最大公约数和相同字母的最低次幂，相乘即可得到公因式． 【详解】与的公因式为． 12．多项式中各项的公因式是__________． 【答案】 【分析】根据公因式的定义，确定多项式各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂，即可得到公因式． 【详解】解：多项式的第一项为，第二项为，各项系数的最大公约数是，相同字母为和，的最低次幂是次，的最低次幂是次， 因此各项的公因式为． 13．多项式的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据公因式的确定方法：先找系数最大公约数，再找公共相同字母，最后取相同字母的最低次幂即可得到结果． 【详解】解：多项式的公因式是． 14．把多项式分解因式时，应提取的公因式是_____． 【答案】 【分析】根据公因式的确定，一看系数：各项系数为整数时，提取各项系数的最大公因数；二看字母：取各项都含有的相同字母；三看字母指数：取相同字母的最低次幂，进行解答，即可． 【详解】解：多项式中，系数与的最大公因数是，两项都含有的相同字母是，的最低次数是， ∴分解因式时应提取的公因式是． 15．把多项式因式分解时，提取的公因式是，则k的值可能为（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】公因式中相同字母的次数取多项式各项中该字母的最低次数，据此确定k的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵提取的公因式为，多项式中第一项的次数为， ∴第二项中的次数满足， ∵选项中只有满足， ∴的值可能为． ◆题型4 提公因式法分解因式 16．把多项式提取公因式后，余下的部分是 _____． 【答案】 【详解】解： 把多项式提取公因式后，余下的部分是． 17．因式分解：________． 【答案】 【详解】解： 18．因式分解：_________． 【答案】 【详解】解：． 19．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提取公因式即可完成分解； （2）先凑出公因式，然后运用提取公因式法求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 20．分解因式： （1）_____ （2）_____． 【答案】 【详解】解：（1）原式， （2）原式． ◆题型5 平方差公式分解因式 21．( )． 【答案】 【分析】原式符合平方差公式的形式，利用平方差公式分解因式即可得到另一个因式． 【详解】解：． 22．已知则按此规律推算的结果一定能（     ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 【答案】D 【分析】对连续运用平方差公式分解因式即可得到答案． 【详解】解： ， ∵都是正整数， ∴一定能被15整除， ∴的结果一定能被15整除． 23．因式分解：． 【答案】 【分析】利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ． 24．因式分解：_____． 【答案】 【详解】解：． 25．在实数范围内分解因式的结果正确的是（   ） A． B． C． D．以上答案都不对． 【答案】B 【分析】本题考查实数范围内的因式分解，利用平方差公式逐步分解，需分解到每个因式都不能再分解为止． 【详解】解： ◆题型6 完全平方公式分解因式 26．阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将A还原即可； （2）设，则原式，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可． 【详解】（1）解：令， ， 将“A”还原，可以得到：； （2）解：令， 则 ， 将“B”还原，可以得到：． 27．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是_____． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_____． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)不彻底； (3) 【分析】（1）根据完全平方公式进行求解即可； （2）根据因式分解结果，结合完全平方公式进行判断即可； （3）根据题干提供的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是两数和的完全平方公式； （2）解：该同学因式分解的结果不彻底； 设，则原式 ， ∴因式分解的最后结果为：． （3）解：设，则： ． 28．分解因式：_______． 【答案】 【分析】利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 29．因式分解：________． 【答案】 【详解】解：． 30．探究不同情境，回答下面问题： (1)观察与发现—因式分解： ； ； ； ． (2)归纳与猜想：若也可以分解成完全平方的形式，那么系数、之间有何数量关系？说明理由． (3)拓展与应用：若多项式加上一个含字母的单项式就能变形为一个完全平方式，请直接写出所有满足条件的单项式． 【答案】(1)；；； (2) ，理由： 若是完全平方式，设， ∴，， ∴； (3)满足条件的单项式为或或 【分析】（1）根据完全平方公式分解因式即可； （2）根据完全平方公式的结构解答即可； （3）分两种情况分别解答； 【详解】（1）解：；；；． （2）略 （3）解：分两种情况讨论构造完全平方式： ①把和作为完全平方公式的两个平方项：需要补充的是中间的2倍交叉项，即， 此时、； ②把作为中间的2倍交叉项，1作为其中一个平方项：设补充的项为， 则，展开得，即单项式． ◆题型7 因式分解在有理数简算中的应用 31．用简便方法计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 32．结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察式子特征，提取公因式后可利用完全平方公式简化运算． 【详解】解： ． 33．设，，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出M、N的值，然后进行比较即可． 【详解】解： ， ， ． 34．利用因式分解进行计算：． 【答案】 【详解】解： ． 35．计算：______． 【答案】 【详解】解：． ◆题型8 因式分解的应用 36．老师布置了一个任务：对于非零实数，，满足，探讨的值．小光解得，但同桌认为小光的推理有问题．请你写出一组非零实数，，使原等式成立，但．如：___________． 【答案】 ，（答案不唯一） 【分析】将原等式整理因式分解后可得，满足且非零时，即可满足且原等式成立． 【详解】解：， ∵要求原等式成立且，为非零实数 ∴只需满足，且， ∴可取，得 验证：左边，右边，左边右边，且，符合要求． 37．已知：，求：的值为_____． 【答案】 【分析】先求出，再运用立方和公式变形解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 38．已知是正整数，利用因式分解证明：能被整除． 【答案】证明： ， ∵是正整数， ∴能被整除，即能被整除． 【分析】先利用平方差公式对原式进行因式分解，得到，由此证明分解后的式子含有因数，即可说明原式能被整除． 【详解】略 39．三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类1块，B类4块，C类4块，小明用这些地砖拼成一个正方形，那么小明拼成正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】拼成的正方形的面积等于三类砖的面积之和，求出三类砖的面积之和并分解因式即可得到答案． 【详解】解：， ∴小明拼成正方形的边长是． 40．我们在研究数字规律时发现了一类特殊的数． 定义：如果一个正整数可以写成的形式（为正整数），那么称为“奇异数”，称为的层级．例如：当时，，所以8为“奇异数”，它的层级是1． (1)下列各数为“奇异数”的是_________；（填序号） ①16；②21；③32． (2)请说明：任意一个“奇异数”都能被8整除； (3)已知两个“奇异数”，，它们的层级分别为，（，为正整数，）． ①若，，求的值； ②若，请直接写出所有符合条件的和的值． 【答案】(1)①③ (2)证明：， ， ∵为正整数， ∴是8的倍数，即任意一个“奇异数”都能被8整除． (3)①4；②或 【分析】（1）根据题中所给关系式逐一判断即可； （2）先对进行因式分解，再结合为正整数，即可证明； （3）①先根据题中所给条件求出，再结合求得，进而求解； ②根据和，得出，再因式分解得，分情况讨论进而求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴16是“奇异数”； ②∵不能写成的形式， ∴21不是“奇异数”； ③∵， ∴32是“奇异数”． （2）略． （3）解：由题意得：，， ①∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵ ， ∴， ， ∴． ②∵，，， ∴，即， ∴，即， ∵，为正整数，， ∴，且是16的正、负整数因数， 若， ，解得，， ，解得，， ，解得，舍去， 若， ，解得，舍去， ，解得，舍去， ，解得，舍去． 综上，或． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、多项式无法化为两数差的平方形式，不能用完全平方公式分解． B、为平方差形式，不能用完全平方公式分解． C、，能用完全平方公式分解． D、多项式无法化为两数和或差的平方形式，不能用完全平方公式分解． 2．（21-22七年级下·贵州铜仁·期中）对于任何整数，多项式一定能被（     ） A．整除 B．整除 C．整除 D．整除 【答案】A 【分析】利用平方差公式对多项式进行因式分解，结合为整数的条件判断可整除的常数因式． 【详解】解：， ∵是整数， ∴是的倍数， ∴多项式一定能被整除． 3．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，提公因式法，平方差公式对各选项逐一判断即可． 【详解】A项：的公因式是， 正确结果应为，原分解公因式未提尽，A错误； B项：，由平方差公式可得 ，与选项结果不符，B错误； C项：因式分解要求结果为几个整式的乘积形式，该选项右边是和的形式，不符合定义，C错误； D项：提取公因式，可得 ，分解正确，D正确． 4．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）已知，则的值为（     ） A．8 B．16 C．50 D．32 【答案】D 【分析】先对所求多项式因式分解，再将已知条件整理后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴将代入得原式． 5．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）下列各式中，由左向右的变形属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断各选项即可； 【详解】解：A：，右边是多项式加法的形式，不是几个整式的积，不符合因式分解的定义，所以A不符合题意； B：，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，所以B符合题意； C：，是整式的乘法运算，是从积的形式化为多项式，不属于因式分解，所以C不符合题意； D：，右边中不是整式，不符合因式分解的要求，所以D不符合题意． 6．（25-26七年级下·广东深圳·期中）图1中有三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形．将图1中不同卡片“叠”在一起，可得面积之差，图2是种卡片与种卡片叠放在一起的，阴影部分的面积，图3是种卡片与种卡片叠放在一起的图形，其阴影部分的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据图形阴影面积列出两个等式，再将两式相减化简，变形得到的值． 【详解】解：根据题意可知，，， 则， 由，， 可得， 故． 7．（25-26八年级上·广东深圳·期末）利用因式分解可以生成密码，其方法为：先对给定多项式进行因式分解，再对各因式赋值得到因式码，最后将因式码按照从小到大的顺序排列即可得到密码．例如多项式，可分解因式得到．若取，，可得，，，其中12，17，13即为各因式对应的因式码，将这些因式码按从小到大排序后即可得到密码121317．现有多项式，当取，时，按照上述方法生成的密码是（     ） A．4840 B．4820 C．8420 D．4480 【答案】A 【分析】先对给定多项式用平方差公式因式分解，再代入p、q的值计算各因式的结果，将结果从小到大排序后拼接得到密码，即可选出正确选项． 【详解】解：对多项式因式分解 再对用平方差公式分解，得 将，代入各因式计算： 得到因式码为，按从小到大排序后拼接得密码． 二、填空题 8．（21-22七年级下·吉林长春·阶段检测）已知，则的值为_____． 【答案】 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解，再整体代入已知条件计算． 【详解】解： ， 将，代入上式得 ，原式． 9．（2022·安徽马鞍山·模拟预测）可以把代数式分解因式为：______ ． 【答案】 【分析】分解因式先提取公因式，再利用完全平方公式分解，需保证分解彻底． 【详解】解： ． 10．（25-26七年级下·四川成都·期末）若，，则_______． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：， ， ， ． 11．（21-22八年级下·宁夏银川·期中）对进行因式分解，可得它等于三个连续整数的乘积，这三个整数是___________、___________、___________． 【答案】 【详解】解： ， ∴ 这三个整数是、、． 三、解答题 12．（21-22七年级下·浙江宁波·阶段检测）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 13．（21-22七年级下·江苏淮安·期中）在的运算结果中，项不存在，x的系数为3，求m，n的值并对式子进行因式分解． 【答案】 ，， 【分析】根据整式的乘法和因式分解计算． 【详解】解： ， ∵项不存在，x的系数为3， ∴， 解得， ∴． 14．（25-26七年级下·河北承德·期末）按要求完成下列各小题： (1)简便运算：； (2)因式分解：； (3)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1)4 (2) (3)，8 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 当，时， 原式 ． 15．（25-26七年级下·安徽安庆·阶段检测）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：____________；（直接列出等式即可） (2)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：________________________（直接列出等式即可） (3)若，，为实数，，，利用（1）的结论求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用两种方法表示出图2的面积，得出式子． （2）作出图形，根据图形进行因式分解即可． （3）由得，然后展开，代入数据计算即可； 【详解】（1）解：图2面积表示为：， 或表示为：， 所以有：． （2）如图所示． （3）， ． ， ． ∴． ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $