第八章 成对数据的统计分析（复习讲义）数学人教A版选择性必修第三册

第八章成对数据的统计分析（复习讲义） 1、成对数据的统计相关性 ①结合实例,了解样本相关系数的统计含义,了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系. ②结合实例,会通过相关系数比较多组成对数据的相关性. 2、一元线性回归模型 ①结合具体实例,了解一元线性回归模型的含义,了解模型参数的统计意义,了解最小二乘原理,掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法,会使用相关的统计软件. ②针对实际问题,会用一元线性回归模型进行预测. 3、列联表与独立性检验 ①通过实例,理解列联表的统计意义. ②通过实例,掌握列联表、独立性检验及应用. 知识点1成对数据的统计相关性 (1)散点图：将样本中n个数据点(i＝1,2,…,n)描在平面直角坐标系中得到的统计图叫散点图． (2)正相关 从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势,我们就称这两个变量正相关． (3)负相关 当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减少的趋势,则称这两个变量负相关． (4)线性相关关系 如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,就称这两个变量线性相关． (5)回归分析：由一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法． (6)样本相关系数r ①r＝ ②当r>0时,表明成对样本数据正相关； 当r<0时,表明成对样本数据负相关． r的绝对值越接近1,表明成对样本数据的线性相关程度越强；r的绝对值越接近0,表明成对样本数据的线性相关程度越弱． 知识点2一元线性回归模型及应用 1．最小二乘法求经验回归直线,使得样本数据点到经验回归直线的竖直距离平方和最小的方法叫最小二乘法． 2．经验回归方程 方程＝x＋是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的经验回归方程,其图形称为经验回归直线,其中,是待定参数． 称为样本点的中心． (3)残差分析 ①作残差图：作图时纵坐标为残差,横坐标可以选为样本编号,或xi数据,或yi数据,这样作出的图形称为残差图；②残差分析：残差比较均匀地分布在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适,这样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高,经验回归方程的预报精度越高． (4)决定系数R2 用R2＝1－来刻画回归的效果,对于已经获取的样本数据,R2表达式中的 (yi－)2与经验回归方程无关．因此R2越大,表示残差平方和 (yi－i)2越小,即模型的拟合效果越好；R2越小,表示残差平方和越大,即模型的拟合效果越差．在经验回归模型中,表示解释变量对于响应变量变化的贡献率,越接近1,表示拟合的效果越好． 知识点3列联表与独立性检验 (1)分类变量：为了表述方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为分类变量． (2)列联表：列出两个分类变量的频数表,称为列联表．假设有两个分类变量X和Y,它们的可能取值分别为和,其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 构造一个随机变量= ,其中n＝为样本容量． (4)独立性检验的基本步骤 ①提出零假设：X和Y相互独立,并给出在问题中的解释． ②根据抽样数据整理出2×2列联表,计算的值,并与临界值比较． ③根据检验规则得出推断结论． ④在X和Y不独立的情况下,根据需要,通过比较相应的频率,分析X和Y间的影响规律． ( 题型一变量的相关关系 ) 【例1】（2024-2025广西桂林高二上学期期末）根据如下两组数据,下列说法正确的是（    ） 5 6 7 8 9 10 Y 5 4.8 3.5 4 3 2 2 4 6 7 9 3 4 9 7 11 A．和呈正相关,和呈正相关 B．和呈负相关,和呈负相关 C．和呈正相关,和呈负相关 D．和呈负相关,和呈正相关 【答案】D 【解析】由所给数据可知,当增大时减小,和呈负相关；当增大时和增大,和呈正相关.故选D. 【变式1-1】（2025天津河西区高三下学期模拟）对变量,有观测数据,得散点图；对变量,有观测数据,得散点图2．由这两个散点图可以判断（   ） A．变量与正相关,与正相关 B．变量与正相关,与负相关 C．变量与负相关,与正相关 D．变量与负相关,与负相关 【答案】B 【解析】由变量,的散点图,知随增大,也增大,变量与正相关, 由变量,的散点图,知随增大,减小,与负相关.故选B. 【变式1-2】下列变量之间的关系不是相关关系的是（    ） A．光照时间和果树亩产量 B．降雪量和交通事故发生率 C．每亩田施肥量和粮食亩产量 D．圆的面积和半径 【答案】D 【解析】列表解析 选项 是否是相关关系 原因 A 是 果树亩产量与光照时间有关,是相关关系． B 是 降雪量的大小对交通事故发生率有影响,是相关关系． C 是 粮食亩产量与每亩田施肥量有关,是相关关系． D 否 圆的面积S和半径r是函数关系． 故选D. ( 题型二相关系数 ) 【例2】（2024-2025甘肃临夏州高二下学期期末）已知10个成对数据的散点图如图所示,并对进行线性回归分析.若在此图中去掉点后,再次对进行线性回归分析,则下列说法正确的是（    ） A．相关系数变大 B．变量与的线性相关程度变低 C．相关系数变小 D．变量与呈负相关 【答案】A 【解析】去掉点后,散点图中点的分布更接近一条直线,因此变量与的线性相关程度变强,故选项B错误；由散点图,点的分布从左下角到右上角,故变量与呈正相关,故选项D错误；因为变量与呈正相关,且相关性变强,所以相关系数变大,故A正确,C错误.故选A. 【变式2-1】（2026辽宁省实验中学高三上学期期中）已知四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为,,则线性相关程度最强的是（    ） A．A组 B．B组 C．C组 D．D组 【答案】B 【解析】线性相关系数的绝对值越接近于1,相关程度就越强,因为, 经过比较可知,最大,所以组的线性相关程度最强.故选B. 【变式2-2】（2025-2026黑龙江齐齐哈尔高二上学期期末）通过随机抽样,得到变量和变量的7对数据,并绘制成散点图如图所示,已知变量和变量线性相关,且回归直线是图中直线,则下列说法正确的是（   ）    A．直线的斜率是负数 B．变量与变量正相关 C．相关系数 D．若去掉图中点后,剩余数据的相关系数变大 【答案】AC 【解析】对于A、B、C：由图可知直线的斜率是负数,所以变量与变量负相关,相关系数,故A、C正确,B错误；对于D：若去掉图中点后,剩余的数据会更集中,相关程度会更高,相关系数的绝对值变大,又,所以相关系数变小,故D错误.故选AC. 【变式2-3】（2024-2025江苏淮安市九校高二下学期学情调查）某景区试卖一款纪念品,现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据,如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 (1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值； (2)计算与的相关系数； 参考数据：. 参考公式：相关系数. 【解析】（1）由题可知, ； （2）计算得, 故. ( 题型三一元线性回归模型 ) 【例3】（2025-2026黑龙江龙东十校联盟高二上学期期末）已知变量和满足经验回归方程,且变量和之间的一组相关数据如下表所示,则下列说法错误的是（   ） 5 6 9 12 8 7 2.4 A． B．当时, C．变量和呈负相关 D．该经验回归直线必过点 【答案】D 【解析】选项A：因为变量和满足经验回归方程,又,,所以,解得,故A正确；选项B：因为变量和满足经验回归方程,当时,,故B正确；选项C：因为变量和满足经验回归方程,,所以变量和呈负相关,故C正确；选项D：由选项A知,,,该经验回归直线必过点,不一定过样本点,故D错误.故选D. 【变式3-1】（2024-2025贵州铜仁市高二下学期月考）若变量线性相关,由数据求得回归方程为,则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由回归直线过样本中心点,得,,代入,得,方程两边同时乘5,得.故选D． 【变式3-2】某软件科技公司近8年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示． x 3 4 5 6 6 7 8 9 y 根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系,且相关系数,用最小二乘法求线性回归方程（,用分数表示）,．（参考数据：．） 【答案】 【解析】, , 由条件可知, 得,所以. ( 题型四求回归直线方程 ) 【例4】（2025-2026四川仁寿高二上学期12月月考）某种机械设备随着使用年限的增加,它的使用功能逐渐减退,使用价值逐年减少,通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用,称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8 失效费（单位：万元） 3 4 5 6 7 (1)根据上表数据,计算与的相关系数,并说明与的线性相关性的强弱． （已知：,则认为与线性相关性很强；,则认为与线性相关性一般；,则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001） (2)求关于的线性回归方程,并估算该种机械设备使用10年的失效费． 附：样本的相关系数,经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为,． 【解析】（1）由表知,,, , ,, , 故,认为与线性相关性很强； （2）由（1）知,, 又,, 故关于的线性回归方程为, 当时,,即估算10年的失效费为8.5万元． 【变式4-1】（2025-2026辽宁葫芦岛市高二上学期期末）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销,统计了连续5个月的月销售量（单位：千件）与售价（单位：元/件）的情况如下表所示． 售价（元/件） 48 49 50 51 52 月销售量（千件） 10 9 9 7 5 (1)求相关系数,并说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系（当时,可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则,没有很强的线性相关性）（精确到0.01）； (2)建立关于的线性回归方程,并估计当售价为53元/件时,该商品的月销售量为多少千件？ 参考公式：① ② ③ 参考数据： 【解析】（1）由已知得,, 则样本相关系数为, 因为,所以与有很强的线性相关性,可以用线性回归模型拟合. （2）由题意得,所以, 所以关于的经验回归方程：, 当时,, 故估计当售价为53元/件时,该商品的月销售量为4.4千件. 【变式4-2】（2026福建漳州市高三12月月考）某市航空公司为了解每年航班正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响,对近8年（2017年～2024年）每年航班正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理,得到下面的一些统计量的值. 600 592 43837.2 93.8 (1)求关于的经验回归方程,若该市航空公司预计2025年航班正点率为,请估算2025年顾客对该市航空公司投诉的次数； (2)根据数据统计,该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为,现从该市所有顾客中随机抽取4人,记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为,求的分布列和数学期望. 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 【解析】（1）, 则, 所以, 所以关于的经验回归方程为； 当时,, 所以2025年顾客对该市航空公司投诉的次数约为次； （2）可取,,   ,, ,, , 所以分布列为 所以. （另解：服从,）. ( 题型五求非线性回归方程 ) 【例5】（2026河北七校高三上学期联考）为了提高利润,某果园每年投入一定的资金,对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图,这是2016年至2025年该果园每年的投资金额（单位：万元）与年利润增量（单位：万元）的散点图． 模型①由最小二乘法可求得与的经验回归方程为； 模型②由图中样本点的分布,可以认为样本点集中在曲线的附近,令,则,且有． (1)根据所给的统计量,求模型②中关于的经验回归方程； (2)已知2025年的投资金额为20万,年利润增量为40万,分析这两种模型在2025年时哪个模型的预报效果更好． 参考公式与数据：． 【解析】（1）由,得, 则,, 所以模型②中关于的经验回归方程为. （2）模型①,,当时,年利润增量, 模型②,,当时,, 因此年利润增量,而, 所以模型②的预报效果更好. 【变式5-1】（2026河南洛阳市高三12月月考）随着国内人均收入的增加,居民的健康意识也不断增加,健身器材行业发展迅速,下面为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元）. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 4.1 4.4 4.8 5.5 6.3 (1)由上面数据可知,可用指数型函数模型拟合与的关系,请建立关于的回归方程（,的值精确到）； (2)数据显示2024年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为,用频率估计概率,现从2024年购买过体育用品类的中国消费者中国随机抽取3人,记购买过运动防护类的消费者人数为,求的分布列与数学期望. 参考数据： 其中. 参考公式：对于一组数据,,,,其经验回归直线的斜率与截距的最小二乘法公式为：,. 【解析】（1）由 ,则模型线性化为：, ,,, 由,, 得：, 由,, 得：, 代入最小二乘法估计公式,得： , , , 故关于的回归方程为：. （2）由题意知： 服从二项分布,即. 由二项分布的概率计算公式得： , , , , 故的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 【变式5-2】（2025福建省厦门高三12月月考）台州是全国三大电动车生产基地之一,拥有完整的产业链和突出的设计优势某电动车公司为了抢占更多的市场份额,计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令,数据经过初步处理得：,,,,,,.现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型,其中a,b,m,n均为常数. (1)请从相关系数的角度,分析哪一个模型拟合程度更好? (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据,求出y关于x的回归方程,并预测年广告费为6（百万元）时,产品的年销售量是多少? 附：①相关系数,回归直线中公式分别为,； ②参考数据：,,, 【解析】（1）设模型①和②的相关系数分别为, 由题意可得：, , 所以,由相关系数的意义可得,模型②的拟合程度更好. （2）因为, 又由,, 得, 所以,即回归方程为, 当时,, 因此当年广告费为6（百万元）时,产品的销售量大概是13（百万辆）. ( 题型六分类变量与列联表 ) 【例6】（2024-2025山西省太原市、阳泉市高二下学期期末）在统计中,研究两个分类变量之间的关联性时常用的图是（   ） A．散点图 B．残差图 C．频率分布直方图 D．等高堆积条形图 【答案】D 【解析】在统计中,研究两个分类变量之间的关联性时常用的图是等高堆积条形图, 散点图是研究两个变量之间相关关系时用,残差是研究拟合效果时用到的,频率分布直方图是研究频率分布时用到的,故选D 【变式6-1】（2024-2025福建厦门高二下学期期末）校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中被调查的男女生人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的,女生选学生物学的人数占女生人数的.若依据小概率值的独立性检验认为选学生物学和性别有关,则调查人数中男生不可能有（   ）人. 附表： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 其中,,. A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】A 【解析】设总人数为,则男生选学生物学的人数为,女生选学生物学的人数为, 则列联表为： 男生 女生 合计 选生物学 不选生物学 合计 m m 2m 因此,即,又为的倍数,所以男生最少有人.故选A 【变式6-2】（2025-2026黑龙江齐齐哈尔市高二1月质量检测）某校对“学生性别和喜欢刷视频是否有关”作了一次调查,得到如下列联表： 不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计 男生 女生 总计 若通过计算,可得根据小概率值的独立性检验,认为学生是否喜欢刷视频与性别有关联,则正整数的最小值为（   ） 附：,. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A．80 B．100 C．120 D．150 【答案】B 【解析】完成列联表如下： 不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计 男生 女生 总计 则,解得. 又为正整数,且是5的倍数,可得的最小值为100.故选B. 【变式6-3】为考查、两种药物预防某疾病的效果,进行动物实验,分别得到如下等高条形图：根据图中信息,在下列各项中,说法最佳的一项是（    ） A．药物的预防效果优于药物的预防效果 B．药物的预防效果优于药物的预防效果 C．药物、对该疾病均有显著的预防效果 D．药物、对该疾病均没有预防效果 【答案】B 【解析】根据两个表中的等高条形图知,药物实验显示不服药与服药时患病差异较药物实验显示明显大,所以药物的预防效果优于药物的预防效果,故选B. ( 题型七独立性检验 ) 【例7】（2026湖北云学联盟高三12月月考）某中学对学生钻研奥数课程的情况进行调查,将每周独立钻研奥数课程超过6小时的学生称为“奥数迷”,否则称为“非奥数迷”,从调查结果中随机抽取100人进行分析,得到数据如表所示： 奥数迷 非奥数迷 总计 男 24 36 60 女 12 28 40 总计 36 64 100 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 (1)对照列联表,根据小概率的独立性检验,是否为“奥数迷”与性别有关？ (2)现从抽取的“奥数迷”中,按性别采用分层抽样的方法抽取3人参加奥数闯关比赛,已知其中男、女学生独立闯关成功的概率分别为,在恰有两人闯关成功的条件下,求两人性别相同的概率． 参考数据与公式：,其中． 【解析】（1）零假设：“奥数迷”与性别无关 根据表中数据计算得 根据小概率的独立性检验,没有充分的证据推断不成立,因此可以认为“奥数迷”与性别无关． 没有90%的把握认为是否为“奥数迷”与性别有关. （2）根据分层抽样,抽取的男生人数为2人,女生人数为1人, 记“恰有两人闯关成功”为事件,“没有女生闯关成功”为事件, 则, . 由条件概率的公式得, 故在恰有两人闯关成功的条件下,两人性别相同的概率为 【变式7-1】（2026安徽高三上学期12月名校阶段检测）为研究甲、乙两种治疗方案的疗效,从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 (1)根据小概率值的独立性检验,分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； (2)在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人,再从这8名患者中随机抽取4人,设表示4名患者中效果不明显的人数,求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【解析】（1）零假设为：治疗效果与选择甲、乙方案无关联, , 根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,故治疗效果与选择甲、乙方案有关联． （2）根据分层随机抽样方法可知,从效果明显的患者中抽取名,从效果不明显的患者中抽取名, 的取值分别为0,1,2, 则, 所以的分布列为 0 1 2 ． 【变式7-2】（2024-2025贵州新高考协作体高二下学期月考）为了解居民体育锻炼情况,某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查．统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄,得到如下的频数分布表． 次数 年龄 每周次 每周次 每周次及以上 (1)若把年龄在的锻炼者称为青年,年龄在的锻炼者称为中年,每周体育锻炼不超过次的称为体育锻炼频率低,不低于次的称为体育锻炼频率高,请完成以下列联表,并判断在犯错误概率不超过的前提下,能否认为体育锻炼频率的高低与年龄有关联； 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 体育锻炼频率高 合计 (2)从每周体育锻炼次及以上的样本锻炼者中,按照表中年龄段采用分层随机抽样的方法抽取人,再从这人中随机抽取人,记这人中年龄在与的人数分别为、,记,求的分布列与期望． 参考公式：,． 附： 【解析】（1）零假设体育锻炼频率的高低与年龄无关, 由题意得如下列联表： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 体育锻炼频率高 合计 , 根据小概率值的独立性检验推断不成立, 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关,此推断犯错误的概率不大于. （2）由表格中的数据可知,四个年龄段的人比为, 利用分层抽样的方法抽取的人中,年龄分别在、的人数为、, 由题意可知,随机变量的可能取值有、、, 则,, , 所以随机变量的分布列如下表所示： 所以. ( 基础巩固通关测 ) 一、单选题 1．为了研究高中学生中性别与对乡村音乐态度（喜欢和不喜欢两种态度）的关系,运用2×2列联表进行独立性检验,得到的结论是有99%的把握认为性别与喜欢乡村音乐有关系,则的值可以为（    ） A．2.853 B．3.841 C．6.758 D．6.451 【答案】C 【解析】有的把握认为性别与喜欢乡村音乐有关系,则．故选C． 2．（2025-2026天津第一学期质量监测）甲、乙、丙、丁四位同学各自对x,y两变量的线性相关性做试验,分别求得样本相关系数r,如下表： 甲 乙 丙 丁 r 则试验结果中x,y两变量有更强线性相关性的是（   ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【解析】由已知,丙的相关系数的绝对值为,是四人中最大的且最接近1, 因此丙同学的试验结果中x,y两变量有更强的线性相关性．故选C. 3．（2025福建厦门外国语学校高三下学期保送考试）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图,在10℃至35℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可知,随着温度的增加,发芽率的增长速度越来越慢,符合对数型函数的特征.故选D. 4．（2026湖北恩施高三质量监测）根据分类变量与的观测数据,计算得到,依据小概率值（）的独立性检验,则（    ） A．变量与不独立 B．变量与独立 C．变量与不独立,这个结论犯错误的概率不超过0.1 D．变量与独立,这个结论犯错误的概率不超过0.1 【答案】B 【解析】因为,所以在显著性水平下,没有充分证据拒绝原假设,因此我们认为变量与是独立的,故选B. 5．（2026福建莆田市高三上学期检测）下列命题正确的是（    ） A．线性回归直线必过样本数据的中心点； B．当相关系数时,两个变量负相关； C．甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80,则模型乙的拟合效果更好； D．残差图中残差点所在的水平带状区域越宽,则回归方程的预报精确度越高； 【答案】A 【解析】选项A:回归直线的定义规定回归直线必过样本数据的中心点,所以选项A正确； 选项B：当相关系数时,说明两个变量正相关,所以选项B错误；选项C:模型的决定系数越大,说明残差平方和越小,拟合效果越好,,所以模型甲的拟合效果更好,所以选项C错误；选项D:残差图中残差点所在的水平带状区域越宽,说明观测值与预报值之间的差距越大,数据分布越分散, 因此回归方程的预报精确度就越差,所以选项D错误．故选A. 6．（2025-2026广西桂林市高二期末质量检测）已知为随机变量X和Y的样本相关系数,为随机变量M和N的样本相关系数,则下列说法正确的是（   ） A．若,则X和Y负相关 B．若,则M和N线性不相关 C．若,,则X和Y的线性相关程度比M和N的线性相关程度强 D．若越接近1,则M和N的线性相关程度越弱 【答案】B 【解析】A,若,则X和Y正相关,故A错误；B,若,则M和N线性不相关,故B正确； C,若,,则,所以X和Y的线性相关程度比M和N的线性相关程度弱,故C错误；D,若越接近1,则M和N的线性相关程度越强,故D错误.故选B 7．（2026天津市高三上学期期末）车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素,汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程（单位：）与某品牌轮胎凹槽深度（单位：）的数据,并对这些数据进行了初步处理.现有两种模型可供选用,模型I为线性回归模型,利用最小二乘法,可得到关于的经验回归方程为,模型I的决定系数为0.95,模型II为非线性经验回归方程,模型II的决定系数为0.99,则以下说法正确的是（    ） A．若选用模型I,则两个变量正相关 B．若选用模型I,当自变量每增加1个单位时,因变量一定减少1.14个单位 C．若选用模型II,则此品牌轮胎行驶里程越多,其轮胎凹槽深度一定越大 D．模型II的拟合效果比模型I的拟合效果好 【答案】D 【解析】模型I所得经验回归方程为,因为,则两个变量负相关,故A不正确； 若选用模型I,当自变量每增加1个单位时,因变量估计减少1.14个单位,故B不正确；若选用模型II,则此品牌轮胎行驶里程越多,其轮胎凹槽深度可能越小,故C不正确；由于模型I的决定系数为0.95,模型II的决定系数为0.99,由于,则模型II的拟合效果比模型I的拟合效果好,故D正确.故选D. 8．（2026广东适应性测试）下列是某商品2025年前5个月的平均价格与月份的统计数据： 月份代码 1 2 3 4 5 平均价格（单位：元） 17 16 20 18 19 用方程拟合上述数据,当残差平方和最小时,（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6 【答案】D 【解析】当时,,残差的平方为； 当时,,残差的平方为； 当时,,残差的平方为； 当时,,残差的平方为； 当时,,残差的平方为； 所以残差平方和 ,对于二次函数开口向上,故在对称轴时取到最小值,故D正确.故选D. 二、多选题 9．（2024-2025辽宁锦州市高二下学期期末）统计学里一般用线性相关系数衡量两个变量与之间线性相关性强弱,下列关于相关系数的叙述中,正确的是（   ） A． B．当与正相关时, C．越小,得出的与之间的回归直线方程越没有价值 D．越大,具有相关关系的两个变量与的线性相关程度越强 【答案】ABC 【解析】对于A,相关系数的为,故A正确；对于B,当与正相关时,,故B正确；对于C,越小,说明两个变量之间的线性相关性越弱,因为回归直线方程是基于变量之间的线性关系建立的, 当线性相关性弱时,用回归直线来描述变量之间的关系就不准确,即意味着回归直线方程越没有价值,故C正确；对于D,越大,具有相关关系的两个变量与的线性相关程度越强,故D错误.故选ABC 10．（2024-2025安徽合肥市六校联盟高二下学期期末）某医疗机构通过抽样调查（样本容量）,利用2×2列联表和统计量研究患肺癌是否与吸烟有关计算得,由小概率临界值表知,现给出四个结论,其中错误的是（   ） A．根据小概率值的独立性检验,认为“患肺癌与吸烟无关” B．在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌 C．若老张吸烟,那么他有99%的可能性患肺癌 D．有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关” 【答案】ABC 【解析】由题,所以根据小概率值的独立性检验,认为“患肺癌与吸烟有关”, 即有的把握认为“患肺癌与吸烟有关”,故选项D正确,其余都是错误的．故选ABC． 11．（2026河南开封市高三质量检测）以下是不同成对样本数据的散点图,则下列说法正确的是（   ） A．图（1）中成对样本数据呈负相关 B．图（1）中成对样本数据的线性相关程度比图（2）中强 C．图（1）中成对样本数据的相关系数大于图（2）中成对样本数据的相关系数 D．若从图（2）样本中抽取一部分,则这部分的相关系数不变 【答案】AB 【解析】对于A：图（1）中,随着增大,整体呈减小趋势,因此成对样本数据呈负相关,A正确； 对于B：图（1）中数据点更贴近直线,线性相关程度比图（2）（数据点分散）强,B正确；对于C：图（1）的线性相关性强,负相关的相关系数接近−1；图（2）线性相关性弱,相关系数绝对值小（接近 0）. 因此图（1）的相关系数（负数,绝对值大）小于图（2）的相关系数（接近 0）,C错误； 对于D：从图（2）中抽取部分样本,数据分布会改变,相关系数会变化,D错误.故选AB. 三、填空题 12．（2026湖北随州市高三上学期期末）假设某超市今年上半年每个月的销售额（单位：万元）与广告支出（单位：万元）的经验回归方程为．若该超市计划明年5月份的销售额为10万元,则估计该超市明年5月份的广告支出为 万元． 【答案】2.5 【解析】由,得,则估计该超市明年5月份的广告支出为2.5万元. 13．（2026河北沧州市八县高三上学期模拟）利用变量的5组实验数据,求得关于的经验回归方程为,若这5组数据对应的点都在该回归直线上,则相关系数为 . 【答案】 【解析】由经验回归方程知与负相关,因为这5组数据对应的点都在回归直线上,所以相关系数为. 14．（2026陕西咸阳市高三上学期模拟）某单位为了解日用电量（单位：千瓦时）与当天平均温度（单位：摄氏度）之间的关系,随机统计了4天的日用电量与当天的平均温度,绘制了如下表格,由表中数据可得线性回归方程,则实数 . 5 15 24 60 40 20 【答案】4 【解析】由表数据可得,所以线性回归方程必过点,所以,解得. 四、解答题 15．（2024-2025河南郑州市中牟县高二下学期期末）随着季节的变化,某种生物的繁殖量也发生变化,某研究员对所在地区该生物2025年1月至5月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值）,结果如下表： 月份 1 2 3 4 5 繁殖量/千个 1.5 2 3.5 8 15 (1)据上表数据,计算与的相关系数（精确到0.01）,并说明与的线性相关性的强弱；（若,则认为与线性相关性很强,否则认为与线性相关性较弱） (2)利用最小二乘法建立关于的线性回归方程,并计算5月份该生物繁殖量的残差. 参考数据：,,. 参考公式：对于一组数据,其相关系数,其经验回归直线中,,. 【解析】（1）由已知得,,, ,, , 故, 所以与的线性相关性很强. （2）因为,,,, , 所以, 所以关于的线性回归方程为, 当时,, 所以5月份该生物繁殖量的残差为. 16．（2025广西桂林市高三下学期质量检测）春节将至,某商家统计了去年某商品的日营销费用x（单位：百元）与日销售量y（单位：百件）,为今年的营销方案制定提供相关的数据参考,得到的数据如下表： 日营销费用x/百元 2 3 4 5 6 日销售量y/百件 1 1.1 1.5 1.8 2.1 已知y与x线性相关. (1)根据上表数据,求y关于x的经验回归方程； (2)请利用（1）中的经验回归方程,试估计当今的日销售费用为1000元时,日销售量为多少百件. 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（）.其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,. 【解析】（1）, , 则, 所以 故关于的经验回归方程为. （2）将代入,得, 故当今年的日营销费用为1000元时,日销售量约为3.24百件. 17．（2026河北省吴桥中学高三一模）2025年7月15日,搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭成功发射,标志着我国航天事业又迈上了一个新台阶.某中学为了解学生对我国航天事业发展的关注度,随机地从该校学生中抽取一个容量为200的样本进行调查,调查结果如下表： 性别 关注情况 高度关注 非高度关注 女学生 30 男学生 90 以频率估计概率,若在这200名学生中随机抽取1人,该学生高度关注我国航天事业发展的概率为． (1)求的值； (2)根据小概率值的独立性检验,判断该校学生对航天事业发展的高度关注是否与学生性别有关． 参考公式：,其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）因为在这200名学生中随机抽取1人,该学生高度关注我国航天事业发展的概率为, 所以,解得． 又,解得,所以 （2）由（1）得,列联表如下： 性别 关注情况 合计 高度关注 非高度关注 女学生 70 30 100 男学生 90 10 100 合计 160 40 200 零假设为；该校学生高度关注我国航天事业发展与学生性别无关． , 因为依据小概率值的独立性检验,判断不成立, 即认为该校学生高度关注我国航天事业发展与学生性别有关,此推断犯错误的概率不大于． 18．（2026江西省部分学校高三1月测试）2025年高中“双休”政策出台后,某地区为研究高中生周末在家自律情况与学习成绩变化的关系,认定周末每天学习不低于2小时,视为“自律”；每天学习低于2小时,视为“不自律”．该地区随机调查了800名高中生周末在家学习的情况,得到如下列联表． 学习成绩变化情况 自律情况 合计 自律 不自律 进步 560 40 600 退步 40 160 200 合计 600 200 800 (1)从这800名学生中随机抽取1名学生,若该学生是自律的,求该学生的学习成绩是进步的概率； (2)根据小概率值的独立性检验,分析学习自律是否与学习进步有关． 附：,． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【解析】（1）解：记事件A表示“抽取1名学生,该学生是自律的”, 事件B表示“抽取1名学生,该学生的学习成绩是进步的”, 根据表格中的数据,可得,, 则, 故从这800名学生中随机抽取1名学生,若该学生是自律的,则该学生学习成绩是进步的概率为． （2）记零假设为：学习自律与学习进步无关, 由表中数据,可得, 故根据小概率值的独立性检验,可推断不成立, 即认为学习自律与学习进步有关,该推断犯错误的概率不超过0.001． 19．（2026海南省海口市高三上学期一模）儿童的身高随年龄的增加而增加,已知某城市1-5岁儿童的平均身高如下表所示． 年龄x/岁 1 2 3 4 5 平均身高y/cm 76.0 86.5 97.5 103.5 111.5 (1)儿童的平均身高y与年龄x之间是相关关系还是函数关系？请依据判断求出平均身高y关于年龄x的回归直线方程（或函数解析式）； (2)能否用第（1）问求出的关系式预测该城市30岁市民的平均身高？若能,请求出预测值；若不能,请简要说明理由． 参考数据：． 参考公式：对于一组数据,,…,,其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：,． 【解析】（1）解：相关关系 得 ∴ （2）不能 因为该回归模型是基于儿童数据建立的,仅适用于描述该年龄段的统计规律,对30岁成年人的预测超出了模型的适用范围． ( 能力提升进阶练 ) 一、单选题 1．（重庆市九龙坡区高三调研）已知变量和的成对样本数据的经验回归方程为,且,当增加1个样本数据后,重新得到的经验回归方程的斜率为,则在新的经验回归方程的估计下,样本数据所对应的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】由,可得增加1个样本数据后的平均数为,因为,所以,则增加1个样本数据后的平均数为,所以,解得, 所以新的经验回归方程为,则当时,,样本点的残差为.故选B. 2．（2026吉林省高三上学期调研）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平,采用简单随机抽样的方法抽取100名学生．通过测验得到如下的列联表： 单位：人 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲 40 10 50 乙 30 20 50 合计 70 30 100 附：,其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 下列结论正确的是（    ） A．依据小概率值的独立性检验,认为两校学生的数学成绩优秀率无差异 B．依据小概率值的独立性检验,认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 C．依据小概率值的独立性检验,认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 D．依据小概率值的独立性检验,认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 【答案】B 【解析】零假设为：两校学生的数学成绩优秀率无差异, A,若,因为,故有充分的证据推断不成立,即两校学生的数学成绩优秀率有差异,故A错误；B,若,因为,故有充分的证据推断不成立,即两校学生的数学成绩优秀率有差异,故B正确；C,若,因为,故没有充分的证据推断不成立,即两校学生的数学成绩优秀率无差异,故C错误；D,若,因为,故没有充分的证据推断不成立, 即两校学生的数学成绩优秀率无差异,故D错误.故选B. 3．千百年来,我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化,总结了丰富的“看云识天气”的经验,并将这些经验编成谚语,如“天上钩钩云,地上雨淋淋”“日落云里走,雨在半夜后”小波同学为了验证“日落云里走,雨在半夜后”,观察了地区的100天日落和夜晚天气,得到如下列联表（单位：天）,并计算得到,下列小波对地区天气的判断不正确的是（    ） 日落云里走夜晚天气 下雨 未下雨 出现 25 5 未出现 25 45 参考公式： 临界值参照表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．夜晚下雨的概率约为 B．未出现“日落云里走”,夜晚下雨的概率约为 C．有99%的把握判断“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关 D．出现“日落云里走”,有99%的把握判断夜晚会下雨 【答案】D 【解析】选项A：根据列联表可知：100天中有50天下雨,50天未下雨, 因此夜晚下雨的概率约为,故选项A正确； 选项B：未出现“日落云里走”,夜晚下雨的概率约为,故选项B正确； 选项C：因为 ,所以据小概率值的独立性检验, 可以认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关,故选项C正确； 选项D：依据小概率值的独立性检验,可判断“日落云里走,雨在半夜后”的说法犯错误的概率小于0.01,但不代表一定会下雨,故选项D错误.故选D. 4．为考察两个变量x,y的相关性,搜集数据如表,则两个变量的线性相关程度（　　） x 5 10 15 20 25 y 103 105 110 111 114 （参考数据：,,,≈15.8,≈9.01） A．很强 B．很弱 C．无相关 D．不确定 【答案】A 【解析】由题可知样本量 ,所以＝15, ＝108.6,又因为,,,,≈15.8,所以 ＝, 因为相关系数很接近于1,故两个变量的线性相关程度很强.故选A. 5．（2026广东汕头市高三1月质量监测）如果散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上,则下列结论错误的是（    ） A．解释变量和响应变量线性相关 B．相关系数 C．决定系数 D．残差平方和等于1 【答案】D 【解析】直线对应的函数为一次函数,故解释变量和响应变量是一次函数关系,故A正确.因为样本点都落在直线上,所以样本相关系数,所以,所以B 正确.决定系数和残差平方和都能反映模型的拟合程度,故决定系数,残差平方和为0,故C正确,D错误,故选D. 6．设两个相关变量和分别满足,,,2,…,6,若相关变量和可拟合为非线性回归方程,则当时,的估计值为（    ） A．32 B．63 C．64 D．128 【答案】C 【解析】令,则 ,,, 所以 ,,所以,即, 所以当时, .故选C. 7．（2026天津市红桥区高三11月期中）某产品的研发费用x万元与销售利润y万元的统计数据如表所示, 研发费用x (万元) 4 2 3 5 利润y (万元) 49 26 39 m 根据上表可得回归方程.中的 .据此模型预计研发费用为6万元时,利润为65.5, 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意：.所以.又由已知数据,,.又经过,所以. 所以,.故选C. 8．（2026浙江永嘉中学高三上学期联考）将收集到的6组数据对制作如图所示的散点图（点旁数据为该点坐标）,由最小二乘法计算得回归直线方程：,相关系数为,相关指数为；残差分析确定点对应残差过大,把它去掉后,再用剩下的5组数据计算得回归直线方程：,相关系数为,相关指数为.则以下结论中,不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】从散点图可以看出,两个变量是正相关,故A正确；从散点图可以看出,回归直线的斜率是正数,且的斜率大于的斜率,故 B和C正确；从散点图可以看出,去掉“离群点”后,相关性更强,拟合的效果更好,值越大,模型的拟合效果越好,所以,故D错误；故选D. 二、多选题 9．（2026浙江省金华市十校高三上学期期末）已知变量与变量的一组观测数据如下表,根据表格数据得到经验回归直线为,则下列选项正确的是（   ） 1 2 3 4 5 9 8 7 6 6 A．变量与变量的中位数之和为10 B．变量与变量的样本相关系数 C． D．直线必过点 【答案】AC 【解析】由表中数据可知,变量与变量的中位数分别为3,7,故中位数之和为10,故A正确； 由表可知,当变量变大时,变量有变小的趋势,所以变量与变量成负相关,样本相关系数,故B错误；由数据可知变量与负相关,故,回归直线必过样本中心点, 经计算,代入回归直线方程得,则, 因为,所以,故,故C正确；由表中数据可得,而直线必过点,故D错误.故选AC. 10．（2026四川广安市高三一诊）为了研究关于的线性相关关系,收集了5组样本数据（见下表）： 1 2 3 4 5 0.3 0.8 1 1.2 1.7 假设经验回归方程为,则（    ） （参考公式：相关系数为） A． B．当时,对应的残差为0.08 C．样本数据的第40百分位数为0.8 D．去掉点后,与的样本相关系数不变 【答案】AD 【解析】选项A：,.将代入回归方程可得,,所以,故A正确；选项B：当时,代入回归方程可得, 所以残差,故B错误；选项C：将样本数据值从小到大排列：0.3,0.8,1,1.2,1.7, 第40百分位数的位置：,则第40百分位数为第2个数和第3个数的平均值：,故C错误；选项D： . , , 所以.去掉点后, ,. . , , 所以.故去掉点后,与的样本相关系数不变,故D正确.故选AD. 11．某同学研究两个变量与的关系,收集了以下5组数据： 1 2 3 4 5 1 4 1 9 10 根据上表数据,求得相关系数为,经验回归方程为,决定系数为．后经检查发现当时记录的有误,实际值应为,修正数据后,求得新相关系数为,新回归方程为,新决定系数为,则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由题意知,数据修正前：, ,, , ,, 数据修正后：, ,, , ,,, 因此,,,而,则, 所以ABD正确,C错误．故选ABD． 三、填空题 12．（2026河北衡水市高三摸底检测）已知某种生物存在具有明显差异的两种类型,且两种类型的数量比为,现按分层随机抽样的方法抽取容量为25的样本,统计该种生物的两项指标和得到样本,,,2,3,…,25.已知类型样本的变量的均值,的均值,,B类型样本的变量的均值,的均值,.记总样本的均值为,的均值为,且.若与存在线性相关,其线性回归方程为,则的预测值的方差估计值 . 附：,. 【答案】 【解析】两种类型的数量比为,现按分层随机抽样的方法抽取容量为25的样本, 则两种类型的数量为,两种类型的数量为, 设类型样本的方差为,类型样本的方差为,总样本的方差为, ,,,,, ,, ,, ,, , , ,,, ,. ,,, ,,,的预测值的方差估计值. 13．（2026河北省邢台市高三上学期调研）一组数据组的散点图趋向于落在中间下凸且递增的某条曲线附近,现用模型拟合数据组,其中,设,变换后的线性回归方程为,则 , . 【答案】 【解析】由,两边同时取对数,可得, 因为变换后的线性回归方程为,可得, 即,所以,又因为,且, 所以, 因为,可得,所以. 14．有两个分类变量和,其中一组观测值为如下的2×2列联表： 总计 15 50 总计 20 45 65 其中,均为大于5的整数,则时,在犯错误的概率不超过的前提下为“和之间有关系”.附： 【答案】9 【解析】由题意知：,则, 解得或,因为且,,综上得,,所以. 四、解答题 15．（2026湖北十堰市高三元月调研）某生态农场用精准农业技术种植番茄,研究两种智能灌溉系统（型与型）对果实品质的影响.农场随机选取200株番茄,记录灌溉类型及果实糖度达标情况,得如下列联表： 灌溉系统 糖度达标 糖度不达标 合计 型 62 38 100 型 45 55 100 合计 107 93 200 (1)根据小概率值的独立性检验,判断番茄果实糖度达标与灌溉类型是否有关联； (2)该农场同时测试无土栽培技术对产量的影响,已知单株番茄产量（）为,通过测试得到使用无土栽培时的分布列为： 1 1.5 2 0.2 0.5 0.3 使用传统土壤栽培时的分布列为： 0.8 1.2 1.6 0.4 0.4 0.2 从这两种方式栽培的番茄中随机各抽取1株,若使用无土栽培技术与使用传统土壤栽培时番茄的产量相互独立,求抽到的2株番茄总产量大于的概率. 附：,其中. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【解析】（1）零假设为番茄果实糖度达标与灌溉类型没有关联, 根据列联表中的数据,经计算得到, 根据小概率值的独立性检验,推断不成立, 即认为番茄果实糖度达标与灌溉类型有关联,此推断犯错误的概率不大于0.05. （2）令使用无土栽培的单株番茄产量为,使用传统土壤栽培的单株番茄产量为, 抽到的2株番茄总产量为,则, 则 , 所以抽到的2株番茄总产量大于的概率为0.28. 16．针对“中学生追星问题”,某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”在高二某班作了一次调查,若从该班级中随机抽取1名学生,设“抽取的学生追星”,“抽取的学生是女生”,且,,． (1)求； (2)若该班有45名同学,请完成列联表,并根据小概率值的独立性检验,判断中学生追星是否与性别有关？ 追星 不追星 合计 男生 女生 合计 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 公式：,其中． 【解析】（1）根据条件概率公式, , , 由, 则, 则, 代入,解得 （2）由,总人数人,则女生有人； 由可知追星人数一共人； 由可知,追星的人中女生占一半,因此追星的男生女生各人, 则不追星的女生是人,不追星的男生是人,表格如下： 追星 不追星 合计 男生 10 20 30 女生 10 5 15 合计 20 25 45 零假设为：中学生追星与性别无关, 又, 故依据的独立性检验,认为中学生追星和性别有关. 17．（2026湖北黄冈市高三上学期期末）有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动,为了解男女学生参与答题意愿的差异,男生、女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”,“学生为男生”,据统计. (1)根据已知条件,完成下列列联表,并依据小概率值的独立性检验,能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 (2)网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立,且每次答对的概率均为. （i）若答题活动设置且道题,甲仅答对其中10道题的概率最大,求的值. （ii）若答题活动设置4道题,且答题规则如下：每次答一题,一旦答对,则结束答题；答错则继续答题,直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动,用表示在本次答题的题目数量,求的分布列和期望. 参考公式与数据：,其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）因为,所以愿意报名参加答题活动人数为, 又因为,所以愿意报名参加答题活动的男生人数为,愿意报名参加答题活动的女生人数为,则可得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关, 则, 依据小概率值的独立性检验,我们推断不成立, 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联,此推断犯错误的概率不大于0.001； （2）（i）设随机变量Y为甲答对题目的个数,则. 则, 假设最有可能答对题目的数量是10次,则 即： 解得,又,则； （ii）的所有可能取值为：1,2,3,4, , 所以的分布列为： X 1 2 3 4 P 故. 18．（2026河北省五个一名校联盟高三上学期期末）某社交平台对用户行为进行分析,收集了每位用户每日的活跃时间（单位：小时）和发布内容数量（单位：条）.为分析两变量间的相关性,需对数据进行标准化处理.现随机抽取名用户,得到数据,定义标准化变量与的相关系数为. (1)证明：且. (2)基于历史数据,用户活跃时间,设平台服务成本为随机变量,当时,,当时,,当时,,若在变化,且0.9544,求的期望的取值范围. (3)设维向量与的数量积定义为,模长定义为与的夹角满足.设x,y标准化变量对应的向量分别为为向量与的夹角.该平台还记录了每位用户的好友数量（单位：人）,其标准化变量对应的向量,）.已知活跃时间与发布内容数量的相关系数为,发布内容数量与好友数量的相关系数为,设与的夹角为与的夹角为,且,求活跃时间与好友数量的相关系数的取值范围. 附相关公式：与的相关系数. 【解析】（1）证明：由,得, 将代入上式,得,同理得, 由,及相关系数, 得 因为,所以． （2）设,则． 因为,所以, 则． 因为,所以,故的取值范围是． （3）由（1）知, ,则,故． 因为,所以, 且均为锐角,则． 由及余弦函数在上单调递减, 可得, 即 则,即． 故活跃时间与好友数量的相关系数的取值范围是． 19．（2026湖南省名校联考联合体高三上学期联考）某人工智能研发公司为了开拓新产品市场,从最新研发的经典A型和卓越型两款机器人中（卓越型是A型的优化版）,随机各抽取30台进行越野驾驶性能对比测试,测试在同等环境中进行,评定结果分为优秀和良好两种.得到了如下数据：经典A型优秀为7台,卓越型优秀为20台. (1)完成下面2×2列联表,并根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析两款机器人的测试结果是否与越野驾驶性能优化有关. 款类 测试结果 总计 优秀 良好 型 20 30 A型 7 30 总计 (2)该公司为了进一步测试卓越型机器人的汉语智能性能,组织机器人队与人类队（母语为汉语）进行诗词抢答赛,每局比赛只有胜和负两种情况（无平局）,每局人类战胜机器人的概率为胜者记2分,负者记1分.每个挑战者只能挑战一局,每局胜负不受其他因素的影响. （i）求三局比赛中,人类队累计得分X的分布列和数学期望； （ii）若采用“比赛赛满局,胜方至少获得局胜利”的赛制,人类队取胜的概率为；若采用“比赛赛满局,胜方至少获得局胜利”的赛制,人类队取胜的概率为,比较与的大小,并说明其统计意义. 参考公式： 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【解析】（1）依题意,列出2×2列联表如下： 款类 测试结果 总计 优秀 良好 型 20 10 30 A型 7 23 30 总计 27 33 60 零假设为：测试结果与越野驾驶性能优化无关.根据表中数据可得： , 根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立, 即认为测试结果与越野驾驶性能有关联,此推断犯错误的概率不大于0.001. （2）（i）X的所有可能取值为3,4,5,6, ,, ,. ∴X的分布列为 3 4 5 6 ∴数学期望. （ii）设“赛满局人类队获胜”为事件C,要使事件C发生,有两种情况：第一阶段赛满局人类队胜,记为事件,和第一阶段赛满局人类队负,记为事件, ∴,, ①若第一阶段人类队胜,则人类队在前局至少胜局,分为人类队至少胜局和人类队恰好胜局, （a）若人类队至少胜局,无论后面两局结果如何,最终人类队获胜； （b）若人类队恰好胜局,且后面两局中人类队均负的概率为, ∴（其中）. ②若第一阶段赛满局人类队负,即前局人类胜局数,要使总赛满局后人类获胜,需满足：前局胜局,且后局全胜, 前局胜局的概率为,后局全胜的概率为, 因此 所以 代入,化简得, 所以 统计意义：对于单局胜率小于的挑战者,增加比赛总场次会降低其最终获胜的概率. ( 2 / 50 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章成对数据的统计分析（复习讲义） 1、成对数据的统计相关性 ①结合实例,了解样本相关系数的统计含义,了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系. ②结合实例,会通过相关系数比较多组成对数据的相关性. 2、一元线性回归模型 ①结合具体实例,了解一元线性回归模型的含义,了解模型参数的统计意义,了解最小二乘原理,掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法,会使用相关的统计软件. ②针对实际问题,会用一元线性回归模型进行预测. 3、列联表与独立性检验 ①通过实例,理解列联表的统计意义. ②通过实例,掌握列联表、独立性检验及应用. 知识点1成对数据的统计相关性 (1)散点图：将样本中n个数据点(i＝1,2,…,n)描在平面直角坐标系中得到的统计图叫 ． (2)正相关 从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现 的趋势,我们就称这两个变量正相关． (3)负相关 当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现 的趋势,则称这两个变量负相关． (4)线性相关关系 如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点 ,就称这两个变量线性相关． (5)回归分析：由一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法． (6)样本相关系数r ①r＝ ②当r>0时,表明成对样本数据 ； 当r<0时,表明成对样本数据 ． r的绝对值越接近1,表明成对样本数据的线性相关程度 ；r的绝对值越接近0,表明成对样本数据的线性相关程度 ． 知识点2一元线性回归模型及应用 1．最小二乘法求经验回归直线,使得样本数据点到经验回归直线的 的方法叫最小二乘法． 2．经验回归方程 方程＝x＋是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的经验回归方程,其图形称为经验回归直线,其中,是待定参数． 称为样本点的中心． (3)残差分析 ①作残差图：作图时纵坐标为 ,横坐标可以选为样本编号,或xi数据,或yi数据,这样作出的图形称为 ；②残差分析：残差比较均匀地分布在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适,这样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高,经验回归方程的预报精度越高． (4)决定系数R2 用R2＝1－来刻画回归的效果,对于已经获取的样本数据,R2表达式中的 (yi－)2与经验回归方程无关．因此R2越大,表示残差平方和 (yi－i)2 ，即模型的拟合效果 ；R2越小,表示残差平方和 ,即模型的拟合效果 ．在经验回归模型中,表示解释变量对于响应变量变化的贡献率,越接近1,表示拟合的效果越好． 知识点3列联表与独立性检验 (1)分类变量：为了表述方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为分类变量． (2)列联表：列出两个分类变量的 ,称为列联表．假设有两个分类变量X和Y,它们的可能取值分别为和,其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 构造一个随机变量= ,其中n＝ 为样本容量． (4)独立性检验的基本步骤 ①提出零假设：X和Y相互独立,并给出在问题中的解释． ②根据抽样数据整理出2×2列联表,计算的值,并与临界值比较． ③根据检验规则得出推断结论． ④在X和Y不独立的情况下,根据需要,通过比较相应的频率,分析X和Y间的影响规律． ( 题型一变量的相关关系 ) 【例1】（2024-2025广西桂林高二上学期期末）根据如下两组数据,下列说法正确的是（    ） 5 6 7 8 9 10 Y 5 4.8 3.5 4 3 2 2 4 6 7 9 3 4 9 7 11 A．和呈正相关,和呈正相关 B．和呈负相关,和呈负相关 C．和呈正相关,和呈负相关 D．和呈负相关,和呈正相关 【答案】D 【解析】由所给数据可知,当增大时减小,和呈负相关；当增大时和增大,和呈正相关.故选D. 【变式1-1】（2025天津河西区高三下学期模拟）对变量,有观测数据,得散点图；对变量,有观测数据,得散点图2．由这两个散点图可以判断（   ） A．变量与正相关,与正相关 B．变量与正相关,与负相关 C．变量与负相关,与正相关 D．变量与负相关,与负相关 【变式1-2】下列变量之间的关系不是相关关系的是（    ） A．光照时间和果树亩产量 B．降雪量和交通事故发生率 C．每亩田施肥量和粮食亩产量 D．圆的面积和半径 ( 题型二相关系数 ) 【例2】（2024-2025甘肃临夏州高二下学期期末）已知10个成对数据的散点图如图所示,并对进行线性回归分析.若在此图中去掉点后,再次对进行线性回归分析,则下列说法正确的是（    ） A．相关系数变大 B．变量与的线性相关程度变低 C．相关系数变小 D．变量与呈负相关 【答案】A 【解析】去掉点后,散点图中点的分布更接近一条直线,因此变量与的线性相关程度变强,故选项B错误；由散点图,点的分布从左下角到右上角,故变量与呈正相关,故选项D错误；因为变量与呈正相关,且相关性变强,所以相关系数变大,故A正确,C错误.故选A. 【变式2-1】（2026辽宁省实验中学高三上学期期中）已知四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为,,则线性相关程度最强的是（    ） A．A组 B．B组 C．C组 D．D组 【变式2-2】（2025-2026黑龙江齐齐哈尔高二上学期期末）通过随机抽样,得到变量和变量的7对数据,并绘制成散点图如图所示,已知变量和变量线性相关,且回归直线是图中直线,则下列说法正确的是（   ）    A．直线的斜率是负数 B．变量与变量正相关 C．相关系数 D．若去掉图中点后,剩余数据的相关系数变大 【变式2-3】（2024-2025江苏淮安市九校高二下学期学情调查）某景区试卖一款纪念品,现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据,如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 (1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值； (2)计算与的相关系数； 参考数据：. 参考公式：相关系数. ( 题型三一元线性回归模型 ) 【例3】（2025-2026黑龙江龙东十校联盟高二上学期期末）已知变量和满足经验回归方程,且变量和之间的一组相关数据如下表所示,则下列说法错误的是（   ） 5 6 9 12 8 7 2.4 A． B．当时, C．变量和呈负相关 D．该经验回归直线必过点 【答案】D 【解析】选项A：因为变量和满足经验回归方程,又,,所以,解得,故A正确；选项B：因为变量和满足经验回归方程,当时,,故B正确；选项C：因为变量和满足经验回归方程,,所以变量和呈负相关,故C正确；选项D：由选项A知,,,该经验回归直线必过点,不一定过样本点,故D错误.故选D. 【变式3-1】（2024-2025贵州铜仁市高二下学期月考）若变量线性相关,由数据求得回归方程为,则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】某软件科技公司近8年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示． x 3 4 5 6 6 7 8 9 y 根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系,且相关系数,用最小二乘法求线性回归方程（,用分数表示）,．（参考数据：．） ( 题型四求回归直线方程 ) 【例4】（2025-2026四川仁寿高二上学期12月月考）某种机械设备随着使用年限的增加,它的使用功能逐渐减退,使用价值逐年减少,通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用,称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8 失效费（单位：万元） 3 4 5 6 7 (1)根据上表数据,计算与的相关系数,并说明与的线性相关性的强弱． （已知：,则认为与线性相关性很强；,则认为与线性相关性一般；,则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001） (2)求关于的线性回归方程,并估算该种机械设备使用10年的失效费． 附：样本的相关系数,经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为,． 【解析】（1）由表知,,, , ,, , 故,认为与线性相关性很强； （2）由（1）知,, 又,, 故关于的线性回归方程为, 当时,,即估算10年的失效费为8.5万元． 【变式4-1】（2025-2026辽宁葫芦岛市高二上学期期末）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销,统计了连续5个月的月销售量（单位：千件）与售价（单位：元/件）的情况如下表所示． 售价（元/件） 48 49 50 51 52 月销售量（千件） 10 9 9 7 5 (1)求相关系数,并说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系（当时,可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则,没有很强的线性相关性）（精确到0.01）； (2)建立关于的线性回归方程,并估计当售价为53元/件时,该商品的月销售量为多少千件？ 参考公式：① ② ③ 参考数据： 【变式4-2】（2026福建漳州市高三12月月考）某市航空公司为了解每年航班正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响,对近8年（2017年～2024年）每年航班正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理,得到下面的一些统计量的值. 600 592 43837.2 93.8 (1)求关于的经验回归方程,若该市航空公司预计2025年航班正点率为,请估算2025年顾客对该市航空公司投诉的次数； (2)根据数据统计,该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为,现从该市所有顾客中随机抽取4人,记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为,求的分布列和数学期望. 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ( 题型五求非线性回归方程 ) 【例5】（2026河北七校高三上学期联考）为了提高利润,某果园每年投入一定的资金,对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图,这是2016年至2025年该果园每年的投资金额（单位：万元）与年利润增量（单位：万元）的散点图． 模型①由最小二乘法可求得与的经验回归方程为； 模型②由图中样本点的分布,可以认为样本点集中在曲线的附近,令,则,且有． (1)根据所给的统计量,求模型②中关于的经验回归方程； (2)已知2025年的投资金额为20万,年利润增量为40万,分析这两种模型在2025年时哪个模型的预报效果更好． 参考公式与数据：． 【解析】（1）由,得, 则,, 所以模型②中关于的经验回归方程为. （2）模型①,,当时,年利润增量, 模型②,,当时,, 因此年利润增量,而, 所以模型②的预报效果更好. 【变式5-1】（2026河南洛阳市高三12月月考）随着国内人均收入的增加,居民的健康意识也不断增加,健身器材行业发展迅速,下面为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元）. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 4.1 4.4 4.8 5.5 6.3 (1)由上面数据可知,可用指数型函数模型拟合与的关系,请建立关于的回归方程（,的值精确到）； (2)数据显示2024年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为,用频率估计概率,现从2024年购买过体育用品类的中国消费者中国随机抽取3人,记购买过运动防护类的消费者人数为,求的分布列与数学期望. 参考数据： 其中. 参考公式：对于一组数据,,,,其经验回归直线的斜率与截距的最小二乘法公式为：,. 【变式5-2】（2025福建省厦门高三12月月考）台州是全国三大电动车生产基地之一,拥有完整的产业链和突出的设计优势某电动车公司为了抢占更多的市场份额,计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令,数据经过初步处理得：,,,,,,.现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型,其中a,b,m,n均为常数. (1)请从相关系数的角度,分析哪一个模型拟合程度更好? (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据,求出y关于x的回归方程,并预测年广告费为6（百万元）时,产品的年销售量是多少? 附：①相关系数,回归直线中公式分别为,； ②参考数据：,,, ( 题型六分类变量与列联表 ) 【例6】（2024-2025山西省太原市、阳泉市高二下学期期末）在统计中,研究两个分类变量之间的关联性时常用的图是（   ） A．散点图 B．残差图 C．频率分布直方图 D．等高堆积条形图 【答案】D 【解析】在统计中,研究两个分类变量之间的关联性时常用的图是等高堆积条形图, 散点图是研究两个变量之间相关关系时用,残差是研究拟合效果时用到的,频率分布直方图是研究频率分布时用到的,故选D 【变式6-1】（2024-2025福建厦门高二下学期期末）校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中被调查的男女生人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的,女生选学生物学的人数占女生人数的.若依据小概率值的独立性检验认为选学生物学和性别有关,则调查人数中男生不可能有（   ）人. 附表： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 其中,,. A．20 B．30 C．35 D．40 【变式6-2】（2025-2026黑龙江齐齐哈尔市高二1月质量检测）某校对“学生性别和喜欢刷视频是否有关”作了一次调查,得到如下列联表： 不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计 男生 女生 总计 若通过计算,可得根据小概率值的独立性检验,认为学生是否喜欢刷视频与性别有关联,则正整数的最小值为（   ） 附：,. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A．80 B．100 C．120 D．150 【变式6-3】为考查、两种药物预防某疾病的效果,进行动物实验,分别得到如下等高条形图：根据图中信息,在下列各项中,说法最佳的一项是（    ） A．药物的预防效果优于药物的预防效果 B．药物的预防效果优于药物的预防效果 C．药物、对该疾病均有显著的预防效果 D．药物、对该疾病均没有预防效果 ( 题型七独立性检验 ) 【例7】（2026湖北云学联盟高三12月月考）某中学对学生钻研奥数课程的情况进行调查,将每周独立钻研奥数课程超过6小时的学生称为“奥数迷”,否则称为“非奥数迷”,从调查结果中随机抽取100人进行分析,得到数据如表所示： 奥数迷 非奥数迷 总计 男 24 36 60 女 12 28 40 总计 36 64 100 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 (1)对照列联表,根据小概率的独立性检验,是否为“奥数迷”与性别有关？ (2)现从抽取的“奥数迷”中,按性别采用分层抽样的方法抽取3人参加奥数闯关比赛,已知其中男、女学生独立闯关成功的概率分别为,在恰有两人闯关成功的条件下,求两人性别相同的概率． 参考数据与公式：,其中． 【解析】（1）零假设：“奥数迷”与性别无关 根据表中数据计算得 根据小概率的独立性检验,没有充分的证据推断不成立,因此可以认为“奥数迷”与性别无关． 没有90%的把握认为是否为“奥数迷”与性别有关. （2）根据分层抽样,抽取的男生人数为2人,女生人数为1人, 记“恰有两人闯关成功”为事件,“没有女生闯关成功”为事件, 则, . 由条件概率的公式得, 故在恰有两人闯关成功的条件下,两人性别相同的概率为 【变式7-1】（2026安徽高三上学期12月名校阶段检测）为研究甲、乙两种治疗方案的疗效,从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 (1)根据小概率值的独立性检验,分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； (2)在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人,再从这8名患者中随机抽取4人,设表示4名患者中效果不明显的人数,求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【变式7-2】（2024-2025贵州新高考协作体高二下学期月考）为了解居民体育锻炼情况,某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查．统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄,得到如下的频数分布表． 次数 年龄 每周次 每周次 每周次及以上 (1)若把年龄在的锻炼者称为青年,年龄在的锻炼者称为中年,每周体育锻炼不超过次的称为体育锻炼频率低,不低于次的称为体育锻炼频率高,请完成以下列联表,并判断在犯错误概率不超过的前提下,能否认为体育锻炼频率的高低与年龄有关联； 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 体育锻炼频率高 合计 (2)从每周体育锻炼次及以上的样本锻炼者中,按照表中年龄段采用分层随机抽样的方法抽取人,再从这人中随机抽取人,记这人中年龄在与的人数分别为、,记,求的分布列与期望． 参考公式：,． 附： ( 基础巩固通关测 ) 一、单选题 1．为了研究高中学生中性别与对乡村音乐态度（喜欢和不喜欢两种态度）的关系,运用2×2列联表进行独立性检验,得到的结论是有99%的把握认为性别与喜欢乡村音乐有关系,则的值可以为（    ） A．2.853 B．3.841 C．6.758 D．6.451 2．（2025-2026天津第一学期质量监测）甲、乙、丙、丁四位同学各自对x,y两变量的线性相关性做试验,分别求得样本相关系数r,如下表： 甲 乙 丙 丁 r 则试验结果中x,y两变量有更强线性相关性的是（   ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（2025福建厦门外国语学校高三下学期保送考试）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图,在10℃至35℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026湖北恩施高三质量监测）根据分类变量与的观测数据,计算得到,依据小概率值（）的独立性检验,则（    ） A．变量与不独立 B．变量与独立 C．变量与不独立,这个结论犯错误的概率不超过0.1 D．变量与独立,这个结论犯错误的概率不超过0.1 5．（2026福建莆田市高三上学期检测）下列命题正确的是（    ） A．线性回归直线必过样本数据的中心点； B．当相关系数时,两个变量负相关； C．甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80,则模型乙的拟合效果更好； D．残差图中残差点所在的水平带状区域越宽,则回归方程的预报精确度越高； 6．（2025-2026广西桂林市高二期末质量检测）已知为随机变量X和Y的样本相关系数,为随机变量M和N的样本相关系数,则下列说法正确的是（   ） A．若,则X和Y负相关 B．若,则M和N线性不相关 C．若,,则X和Y的线性相关程度比M和N的线性相关程度强 D．若越接近1,则M和N的线性相关程度越弱 7．（2026天津市高三上学期期末）车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素,汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程（单位：）与某品牌轮胎凹槽深度（单位：）的数据,并对这些数据进行了初步处理.现有两种模型可供选用,模型I为线性回归模型,利用最小二乘法,可得到关于的经验回归方程为,模型I的决定系数为0.95,模型II为非线性经验回归方程,模型II的决定系数为0.99,则以下说法正确的是（    ） A．若选用模型I,则两个变量正相关 B．若选用模型I,当自变量每增加1个单位时,因变量一定减少1.14个单位 C．若选用模型II,则此品牌轮胎行驶里程越多,其轮胎凹槽深度一定越大 D．模型II的拟合效果比模型I的拟合效果好 8．（2026广东适应性测试）下列是某商品2025年前5个月的平均价格与月份的统计数据： 月份代码 1 2 3 4 5 平均价格（单位：元） 17 16 20 18 19 用方程拟合上述数据,当残差平方和最小时,（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6 二、多选题 9．（2024-2025辽宁锦州市高二下学期期末）统计学里一般用线性相关系数衡量两个变量与之间线性相关性强弱,下列关于相关系数的叙述中,正确的是（   ） A． B．当与正相关时, C．越小,得出的与之间的回归直线方程越没有价值 D．越大,具有相关关系的两个变量与的线性相关程度越强 10．（2024-2025安徽合肥市六校联盟高二下学期期末）某医疗机构通过抽样调查（样本容量）,利用2×2列联表和统计量研究患肺癌是否与吸烟有关计算得,由小概率临界值表知,现给出四个结论,其中错误的是（   ） A．根据小概率值的独立性检验,认为“患肺癌与吸烟无关” B．在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌 C．若老张吸烟,那么他有99%的可能性患肺癌 D．有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关” 11．（2026河南开封市高三质量检测）以下是不同成对样本数据的散点图,则下列说法正确的是（   ） A．图（1）中成对样本数据呈负相关 B．图（1）中成对样本数据的线性相关程度比图（2）中强 C．图（1）中成对样本数据的相关系数大于图（2）中成对样本数据的相关系数 D．若从图（2）样本中抽取一部分,则这部分的相关系数不变 三、填空题 12．（2026湖北随州市高三上学期期末）假设某超市今年上半年每个月的销售额（单位：万元）与广告支出（单位：万元）的经验回归方程为．若该超市计划明年5月份的销售额为10万元,则估计该超市明年5月份的广告支出为 万元． 13．（2026河北沧州市八县高三上学期模拟）利用变量的5组实验数据,求得关于的经验回归方程为,若这5组数据对应的点都在该回归直线上,则相关系数为 . 14．（2026陕西咸阳市高三上学期模拟）某单位为了解日用电量（单位：千瓦时）与当天平均温度（单位：摄氏度）之间的关系,随机统计了4天的日用电量与当天的平均温度,绘制了如下表格,由表中数据可得线性回归方程,则实数 . 5 15 24 60 40 20 四、解答题 15．（2024-2025河南郑州市中牟县高二下学期期末）随着季节的变化,某种生物的繁殖量也发生变化,某研究员对所在地区该生物2025年1月至5月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值）,结果如下表： 月份 1 2 3 4 5 繁殖量/千个 1.5 2 3.5 8 15 (1)据上表数据,计算与的相关系数（精确到0.01）,并说明与的线性相关性的强弱；（若,则认为与线性相关性很强,否则认为与线性相关性较弱） (2)利用最小二乘法建立关于的线性回归方程,并计算5月份该生物繁殖量的残差. 参考数据：,,. 参考公式：对于一组数据,其相关系数,其经验回归直线中,,. 16．（2025广西桂林市高三下学期质量检测）春节将至,某商家统计了去年某商品的日营销费用x（单位：百元）与日销售量y（单位：百件）,为今年的营销方案制定提供相关的数据参考,得到的数据如下表： 日营销费用x/百元 2 3 4 5 6 日销售量y/百件 1 1.1 1.5 1.8 2.1 已知y与x线性相关. (1)根据上表数据,求y关于x的经验回归方程； (2)请利用（1）中的经验回归方程,试估计当今的日销售费用为1000元时,日销售量为多少百件. 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（）.其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,. 17．（2026河北省吴桥中学高三一模）2025年7月15日,搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭成功发射,标志着我国航天事业又迈上了一个新台阶.某中学为了解学生对我国航天事业发展的关注度,随机地从该校学生中抽取一个容量为200的样本进行调查,调查结果如下表： 性别 关注情况 高度关注 非高度关注 女学生 30 男学生 90 以频率估计概率,若在这200名学生中随机抽取1人,该学生高度关注我国航天事业发展的概率为． (1)求的值； (2)根据小概率值的独立性检验,判断该校学生对航天事业发展的高度关注是否与学生性别有关． 参考公式：,其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（2026江西省部分学校高三1月测试）2025年高中“双休”政策出台后,某地区为研究高中生周末在家自律情况与学习成绩变化的关系,认定周末每天学习不低于2小时,视为“自律”；每天学习低于2小时,视为“不自律”．该地区随机调查了800名高中生周末在家学习的情况,得到如下列联表． 学习成绩变化情况 自律情况 合计 自律 不自律 进步 560 40 600 退步 40 160 200 合计 600 200 800 (1)从这800名学生中随机抽取1名学生,若该学生是自律的,求该学生的学习成绩是进步的概率； (2)根据小概率值的独立性检验,分析学习自律是否与学习进步有关． 附：,． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 19．（2026海南省海口市高三上学期一模）儿童的身高随年龄的增加而增加,已知某城市1-5岁儿童的平均身高如下表所示． 年龄x/岁 1 2 3 4 5 平均身高y/cm 76.0 86.5 97.5 103.5 111.5 (1)儿童的平均身高y与年龄x之间是相关关系还是函数关系？请依据判断求出平均身高y关于年龄x的回归直线方程（或函数解析式）； (2)能否用第（1）问求出的关系式预测该城市30岁市民的平均身高？若能,请求出预测值；若不能,请简要说明理由． 参考数据：． 参考公式：对于一组数据,,…,,其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：,． ( 能力提升进阶练 ) 一、单选题 1．（重庆市九龙坡区高三调研）已知变量和的成对样本数据的经验回归方程为,且,当增加1个样本数据后,重新得到的经验回归方程的斜率为,则在新的经验回归方程的估计下,样本数据所对应的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2026吉林省高三上学期调研）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平,采用简单随机抽样的方法抽取100名学生．通过测验得到如下的列联表： 单位：人 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲 40 10 50 乙 30 20 50 合计 70 30 100 附：,其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 下列结论正确的是（    ） A．依据小概率值的独立性检验,认为两校学生的数学成绩优秀率无差异 B．依据小概率值的独立性检验,认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 C．依据小概率值的独立性检验,认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 D．依据小概率值的独立性检验,认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 3．千百年来,我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化,总结了丰富的“看云识天气”的经验,并将这些经验编成谚语,如“天上钩钩云,地上雨淋淋”“日落云里走,雨在半夜后”小波同学为了验证“日落云里走,雨在半夜后”,观察了地区的100天日落和夜晚天气,得到如下列联表（单位：天）,并计算得到,下列小波对地区天气的判断不正确的是（    ） 日落云里走夜晚天气 下雨 未下雨 出现 25 5 未出现 25 45 参考公式： 临界值参照表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．夜晚下雨的概率约为 B．未出现“日落云里走”,夜晚下雨的概率约为 C．有99%的把握判断“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关 D．出现“日落云里走”,有99%的把握判断夜晚会下雨 4．为考察两个变量x,y的相关性,搜集数据如表,则两个变量的线性相关程度（　　） x 5 10 15 20 25 y 103 105 110 111 114 （参考数据：,,,≈15.8,≈9.01） A．很强 B．很弱 C．无相关 D．不确定 5．（2026广东汕头市高三1月质量监测）如果散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上,则下列结论错误的是（    ） A．解释变量和响应变量线性相关 B．相关系数 C．决定系数 D．残差平方和等于1 6．设两个相关变量和分别满足,,,2,…,6,若相关变量和可拟合为非线性回归方程,则当时,的估计值为（    ） A．32 B．63 C．64 D．128 7．（2026天津市红桥区高三11月期中）某产品的研发费用x万元与销售利润y万元的统计数据如表所示, 研发费用x (万元) 4 2 3 5 利润y (万元) 49 26 39 m 根据上表可得回归方程.中的 .据此模型预计研发费用为6万元时,利润为65.5, 则（    ） A． B． C． D． 8．（2026浙江永嘉中学高三上学期联考）将收集到的6组数据对制作如图所示的散点图（点旁数据为该点坐标）,由最小二乘法计算得回归直线方程：,相关系数为,相关指数为；残差分析确定点对应残差过大,把它去掉后,再用剩下的5组数据计算得回归直线方程：,相关系数为,相关指数为.则以下结论中,不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026浙江省金华市十校高三上学期期末）已知变量与变量的一组观测数据如下表,根据表格数据得到经验回归直线为,则下列选项正确的是（   ） 1 2 3 4 5 9 8 7 6 6 A．变量与变量的中位数之和为10 B．变量与变量的样本相关系数 C． D．直线必过点 10．（2026四川广安市高三一诊）为了研究关于的线性相关关系,收集了5组样本数据（见下表）： 1 2 3 4 5 0.3 0.8 1 1.2 1.7 假设经验回归方程为,则（    ） （参考公式：相关系数为） A． B．当时,对应的残差为0.08 C．样本数据的第40百分位数为0.8 D．去掉点后,与的样本相关系数不变 11．某同学研究两个变量与的关系,收集了以下5组数据： 1 2 3 4 5 1 4 1 9 10 根据上表数据,求得相关系数为,经验回归方程为,决定系数为．后经检查发现当时记录的有误,实际值应为,修正数据后,求得新相关系数为,新回归方程为,新决定系数为,则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2026河北衡水市高三摸底检测）已知某种生物存在具有明显差异的两种类型,且两种类型的数量比为,现按分层随机抽样的方法抽取容量为25的样本,统计该种生物的两项指标和得到样本,,,2,3,…,25.已知类型样本的变量的均值,的均值,,B类型样本的变量的均值,的均值,.记总样本的均值为,的均值为,且.若与存在线性相关,其线性回归方程为,则的预测值的方差估计值 . 附：,. 13．（2026河北省邢台市高三上学期调研）一组数据组的散点图趋向于落在中间下凸且递增的某条曲线附近,现用模型拟合数据组,其中,设,变换后的线性回归方程为,则 , . 14．有两个分类变量和,其中一组观测值为如下的2×2列联表： 总计 15 50 总计 20 45 65 其中,均为大于5的整数,则时,在犯错误的概率不超过的前提下为“和之间有关系”.附： 四、解答题 15．（2026湖北十堰市高三元月调研）某生态农场用精准农业技术种植番茄,研究两种智能灌溉系统（型与型）对果实品质的影响.农场随机选取200株番茄,记录灌溉类型及果实糖度达标情况,得如下列联表： 灌溉系统 糖度达标 糖度不达标 合计 型 62 38 100 型 45 55 100 合计 107 93 200 (1)根据小概率值的独立性检验,判断番茄果实糖度达标与灌溉类型是否有关联； (2)该农场同时测试无土栽培技术对产量的影响,已知单株番茄产量（）为,通过测试得到使用无土栽培时的分布列为： 1 1.5 2 0.2 0.5 0.3 使用传统土壤栽培时的分布列为： 0.8 1.2 1.6 0.4 0.4 0.2 从这两种方式栽培的番茄中随机各抽取1株,若使用无土栽培技术与使用传统土壤栽培时番茄的产量相互独立,求抽到的2株番茄总产量大于的概率. 附：,其中. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16．针对“中学生追星问题”,某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”在高二某班作了一次调查,若从该班级中随机抽取1名学生,设“抽取的学生追星”,“抽取的学生是女生”,且,,． (1)求； (2)若该班有45名同学,请完成列联表,并根据小概率值的独立性检验,判断中学生追星是否与性别有关？ 追星 不追星 合计 男生 女生 合计 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 公式：,其中． 17．（2026湖北黄冈市高三上学期期末）有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动,为了解男女学生参与答题意愿的差异,男生、女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”,“学生为男生”,据统计. (1)根据已知条件,完成下列列联表,并依据小概率值的独立性检验,能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 (2)网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立,且每次答对的概率均为. （i）若答题活动设置且道题,甲仅答对其中10道题的概率最大,求的值. （ii）若答题活动设置4道题,且答题规则如下：每次答一题,一旦答对,则结束答题；答错则继续答题,直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动,用表示在本次答题的题目数量,求的分布列和期望. 参考公式与数据：,其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（2026河北省五个一名校联盟高三上学期期末）某社交平台对用户行为进行分析,收集了每位用户每日的活跃时间（单位：小时）和发布内容数量（单位：条）.为分析两变量间的相关性,需对数据进行标准化处理.现随机抽取名用户,得到数据,定义标准化变量与的相关系数为. (1)证明：且. (2)基于历史数据,用户活跃时间,设平台服务成本为随机变量,当时,,当时,,当时,,若在变化,且0.9544,求的期望的取值范围. (3)设维向量与的数量积定义为,模长定义为与的夹角满足.设x,y标准化变量对应的向量分别为为向量与的夹角.该平台还记录了每位用户的好友数量（单位：人）,其标准化变量对应的向量,）.已知活跃时间与发布内容数量的相关系数为,发布内容数量与好友数量的相关系数为,设与的夹角为与的夹角为,且,求活跃时间与好友数量的相关系数的取值范围. 附相关公式：与的相关系数. 19．（2026湖南省名校联考联合体高三上学期联考）某人工智能研发公司为了开拓新产品市场,从最新研发的经典A型和卓越型两款机器人中（卓越型是A型的优化版）,随机各抽取30台进行越野驾驶性能对比测试,测试在同等环境中进行,评定结果分为优秀和良好两种.得到了如下数据：经典A型优秀为7台,卓越型优秀为20台. (1)完成下面2×2列联表,并根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析两款机器人的测试结果是否与越野驾驶性能优化有关. 款类 测试结果 总计 优秀 良好 型 20 30 A型 7 30 总计 (2)该公司为了进一步测试卓越型机器人的汉语智能性能,组织机器人队与人类队（母语为汉语）进行诗词抢答赛,每局比赛只有胜和负两种情况（无平局）,每局人类战胜机器人的概率为胜者记2分,负者记1分.每个挑战者只能挑战一局,每局胜负不受其他因素的影响. （i）求三局比赛中,人类队累计得分X的分布列和数学期望； （ii）若采用“比赛赛满局,胜方至少获得局胜利”的赛制,人类队取胜的概率为；若采用“比赛赛满局,胜方至少获得局胜利”的赛制,人类队取胜的概率为,比较与的大小,并说明其统计意义. 参考公式： 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 ( 30 / 30 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $