9.2提公因式法 课件2025-2026学年苏科版八年级数学下册

八年级下册 9.2　提公因式法 义务教育教科书 数学 授课教师 教学目标 1.理解公因式的概念，会找出多项式中的公因式 2.能用提公因式法分解因式，进一步强化运算能力；进一步理解因式分解的意义，感受整体思想的运用 3.通过类比数的公因数，类比乘法分配律，经历探索提公因式法的过程，体会因式分解与整式乘法的互逆关系 问题情境 我们在小学学过整数运算和分数运算，但在学习分数运算前，需要学习因数、公因数、分解质因数．类比是我们学习数学重要的方法．进入初中，我们学习了整式（单项式、多项式）、整式的运算，理解数式相通. 问题1 4和12的因数分别有哪些？它们的公因数又有哪些？对12如何分解质因数？ 问题情景 如何把多项式ab＋ac＋ad分解因式？ a b c d a b c a d a 从左往右看，可以得到 a(b＋c＋d)＝ab＋ac＋ad ① 从右往左看，可以得到 ab＋ac＋ad＝a(b＋c＋d) ② 因式分解 整式乘法 追问1　ab和ac的因式分别有哪些？它们的公因式是什么？ 多项式ab＋ac＋ad 的因式分别有哪些？它们的公因式是什么？ 公因式的定义： 　　多项式各项都含有的因式，称为各项的公因式． 　　　整数的运算 　　　因数 　　公因数 分解质因数 　　　分数的运算 整式的运算 　　　因式 　　　公因式 　　　因式分解 分式的运算 问题情境 活动　找出下列多项式各项的公因式． （1）a2b＋ab2； （2）3x2－6x3； （3）9abc－6a2b2＋12abc2． 问题2　如何确定多项式中各项的公因式？ 数学活动 定系数：取各项系数的最大公因数； 定字母：取各项都含有的相同字母； 定指数：相同字母取次数最低的那一个。 ＝ab·a＋ab·b ＝ab(a＋b) ＝3x2·1－3x2·2x ＝3x2(1－2x) ＝3ab·3c－3ab·2ab＋3ab·4c2 ＝3ab(3c－2ab＋4c2) 活动　找出下列多项式各项的公因式． （1）a2b＋ab2；（2）3x2－6x3；（3）9abc－6a2b2＋12abc2． 追问1　如果多项式的第一项系数是负数，比如将（2）变式为－3x2＋6x3，公因式的符号该如何确定？ 数学活动 公因式的符号通常取与首项系数相同的符号，即负号；此公因式为：−3x2 确定公因式方法 当多项式的各项系数都是整数时： 公因式的系数应取各项系数的最大公约数， 字母取各项相同的字母， 而且各字母的指数取次数最低的． 注：特别的，当多项式的第一项系数为负数时，通常把负号作为公因式的符号． 数学活动 提公因式法 如果多项式的各项含有公因式，那么就可以采用添括号的方法把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法． 符号语言：ab＋ac＋ad＝a(b＋c＋d). 数学建构 例1　把5x3－10x2分解因式． 追问　分解因式的方法是什么？如何确定公因式？如何检验结果是否正确？ 例题分析 解： 5x3－10x2 ＝5x2(x－2)． ＝5x2·x－5x2·2 把分解后的式子重新展开，看是否和原式一致 例2　把下列各式分解因式： （1）12ab2c－6abc ；　　　（2）－8m2＋12m． 追问　首项系数是负数的多项式，其公因式的系数如何确定？如何检验结果是否正确？ 例题分析 解：原式＝6ab·2bc－6ab·1 ＝6ab(2bc－1)； 原式＝－4m·2m＋(－4m)·(－3) ＝－4m(2m－3)． 如果第一项系数是负数时，应把 “－” 提取作为公因式的符号． 拓展　把下列各式分解因式： （1）15x(b＋c)－5y(b＋c)；　　（2）ab＋a＋b＋1． 追问1　这个多项式的公因式与之前的有什么不同？ 追问2　（2）可以转化成与（1）类似的形式吗？ 追问3　提取多项式公因式时，方法与提取单项式公因式有区别吗？ 例题分析 公因式可以是数字、也可以是单项式、多项式． 如果把前两项、后两项分别结合（括到括号里），此时ab＋a＝a(b＋1)，与后一个括号内的(b＋1)形成公因式． 1. 写出下列多项式各项的一个公因式： (1) 10ab + 5ac； (2) -3pq - 15pr； (3) 15xy + 25xy²； (4) 2 x³y - 6xy²。 2. 把下列各式分解因式： (1) 6a²b - 9ab² + 15ab； (2) -4a⁴ - 6a³ + 2a²； (3) 3a²y - 3ay + 6y； (4) -24x²y - 12xy² + 28y³。 公因式：5a 公因式：-3p 公因式：5xy 公因式：2 xy 解：原式 = 3ab (2a - 3b + 5) 解：原式 = 3y (a² - a + 2) 解：原式 = -2a²(2a² + 3a - 1) 解：原式 = -4y (6x² + 3xy - 7y²) 3. 把下列各式分解因式： (1) (a+3b)a - 5b(a+3b)； (2) 4ab(2x-y) + b(2x-y)； (3) (2c-1)d - c(1-2c)； (4) (m+n)a + 7(m+n)b 4. 把下列各式分解因式： (1) (x-y)² + 5(x-y)； (2) 8(v+w)² - 6(w+v)； (3) 12(x+y)² - 9(x+y)； (4) -4(x-y)² - 5(y-x)。 解：原式=(a+3b)(a−5b) 解：原式=b(2x−y)(4a+1) 解：原式=(2c−1)d+c(2c−1) =(2c−1)(d+c) 解：原式=(m+n)(a+7b) 解：原式=(x−y)(x−y+5) 解：原式=2(v+w)[4(v+w)−3] =2(v+w)(4v+4w−3) 解：原式=3(x+y)[4(x+y)−3] =3(x+y)(4x+4y−3) 解：原式=−4(x−y) 2+5(x−y) =(x−y)[−4(x−y)+5] =(x−y)(−4x+4y+5) 5. 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数 证明： 设三个连续自然数分别为n、n+1、n+2（n为自然数） 则前两个数的乘积为n(n+1)，后两个数的乘积为(n+1)(n+2) 它们的和为： n(n+1)+(n+1)(n+2) =(n+1)[n+(n+2)] =(n+1)(2n+2) =2(n+1) 2 因为2(n+1) 2是2的整数倍 所以该和一定为偶数 1.本节课你学到了哪些知识？ 2.如何确定公因式？提公因式法分解因式的步骤有哪些？分解因式时需要注意哪些易错点？ 3.还有其他的方法分解因式吗？你会从什么角度开启新的探究？ 课堂小结 课堂小结 提公因式法 公因式 —多项式中各项都含有的因式． 定义 确定方法 —定系数(先定符号)；定字母；定次数． 提公因式法的一般步骤 确定公因式 确定另一个公因式 写成两个因式的积的形式 $