精品解析：山东省滕州市东郭中学2021-2022学年下学期（第4周） 周末培优八年级数学

山东省滕州市东郭中学2021-2022学年度第二学期周末培优 八年级数学（第4周） 一、单选题 1. 如图①，已知∠AOB，用直尺和圆规作∠AOB的平分线． 如图②，步骤如下： 第一步，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于点N． 第二步，分别以点M，N为圆心，以a为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． 第三步，画射线OC．射线OC即为所求． 下列说法正确的是（　　） A. a＞0 B. C. D. 2. 如图，在中，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，连接AD．若，的周长为11cm，则BC的长等于（ ） A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 3. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若AB＝9，CD＝2，则△ABD的面积是（　　） A. B. 9 C. 18 D. 4. 如图，在中，，，的面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5. 如图，已知，点P在边上，，点M、N在边上，，若，则（ ） A. 3 B. 5 C. 4 D. 6 6. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，在中，，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 8. 如图，以点B为圆心以任意长为半径画弧，分别交∠ABC的两边BA、BC于点D、E，分别以D、E为圆心以DE的长为半径画弧，两弧相交于点F，作射线BF，过点F作FG∥AB交BC于点G．若射线BA上存在点M，使FM＝FG，则当∠ABC＝40°时，∠FMB的度数是（　　） A. 140° B. 40° C. 20° D. 以上都不对 9. 如图，在中，，AD是BC边上的高，点E在AD上，且，若的面积为S，则的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，△ABC中，AB=6，AC=8，∠ABC与∠ACB的平分线BD、CD交于点D．过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F，则△AEF的周长为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 二、填空题 11. 如图，在△ABC中．AB=AC，∠B=76°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交射线BC于点D，连接AD．则∠CAD的度数是_____°． 12. 如图，在等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，过点D作于点E，若，则CE的长为______． 13. 如图，在中，点D是边BC上的一点．若，，则∠C的大小为____________． 14. 如图，在ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E，若AC＝8，BD＝5，则CE的长度是___________． 15. 如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点 O，MN 经过点 O，且 MN∥BC，分别交 AB、AC 于点 M、N．若 BM＝3cm，MN＝5cm，则 CN＝_____cm． 16. 如图，在中，分别垂直平分和，交于两点．，则______度． 17. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B=30°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，CE=3cm，则BE的长为 _____cm． 18. 如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若△ODE的周长为10cm，那么BC的长为 _____． 19. 如图1，将一张直角三角形纸片（已知，）折叠，使得点落在点处，折痕为．将纸片展平后，再沿着将纸片按着如图2方式折叠，边交于点．若是等腰三角形，则的度数可能是 __． 20. 如图，在中，，，是的中点，点、分别在边、上，且．下列结论正确的是 __．（填所有正确结论的序号） ①；②；③，分别表示和的面积，则；④；⑤ 三、解答题 21. 如图，在四边形中，，E为的中点，平分． （1）求证：平分； （2）求证：． 22. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A=∠BEC，且AD=BE． （1）求证：△ABD≌△ECB． （2）若∠BDC＝70°，求∠ADB的度数． 23. 沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气很混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一城镇，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为：，，，以沙尘暴中心为圆心周围25km以内为受影响区域． （1）请通过计算说明城镇C会受到沙尘暴影响的原因； （2）若沙尘暴中心的移动速度为20km/h，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？ 24. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，又DE是AB的垂直平分线，垂足为E． （1）求∠CAD的大小； （2）若BC＝3，求DE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省滕州市东郭中学2021-2022学年度第二学期周末培优 八年级数学（第4周） 一、单选题 1. 如图①，已知∠AOB，用直尺和圆规作∠AOB的平分线． 如图②，步骤如下： 第一步，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于点N． 第二步，分别以点M，N为圆心，以a为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． 第三步，画射线OC．射线OC即为所求． 下列说法正确的是（　　） A. a＞0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可得：为保证得到两弧的交点，所以半径a大于线段MN的一半，从而可得答案. 【详解】解：由角平分线的作图可得：， 故选D 【点睛】本题考查的是角平分线的作图，熟悉角平分线的作图的基本原理是解本题的关键. 2. 如图，在中，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，连接AD．若，的周长为11cm，则BC的长等于（ ） A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，再根据的周长为11cm，可得，然后由，即可求出BC的长． 【详解】解： AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D， 的周长为11cm， A、故选项错误，不符合题意； B、故选项错误，不符合题意； C、故选项正确，符合题意； D、故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握数形结合思想的应用． 3. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若AB＝9，CD＝2，则△ABD的面积是（　　） A. B. 9 C. 18 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质求出DE，根据三角形面积公式求出即可． 【详解】解：过D作DE⊥AB于E， ∵∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=2， ∴DE=CD=2， ∴△ABD的面积=×AB×DE=×9×2=9， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的面积，角平分线性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键． 4. 如图，在中，，，的面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，将军饮马问题，理解将军饮马问题，正确添加辅助线是解题关键．连接，，先证明，根据三角形面积公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到点C关于直线的对称点为点A，根据，即可求出的周长最小值为10． 【详解】解：连接，． ∵，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值为． 故选：C 5. 如图，已知，点P在边上，，点M、N在边上，，若，则（ ） A. 3 B. 5 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】过点P作于点D，再根据含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质以及线段的和差求解即可. 【详解】解：过点P作于点D， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解答本题的关键． 6. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确． ②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°． 又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠2=∠CAB=30°， ∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确． ③∵∠1=∠B=30°， ∴AD=BD． ∴点D在AB的中垂线上．故③正确． ④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°， ∴CD=AD． ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD． ∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD． ∴S△DAC：S△ABC．故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选D． 7. 如图，在中，，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】过点C作CD⊥AB交BA的延长线于D，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CAD＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】如图， 过点C作CD⊥AB交BA的延长线于D， ∵∠B＝∠ACB＝15°，AB＝AC＝4， ∴∠CAD＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°， ∴CD＝AC＝×4＝2， ∴△ABC的面积＝AB•CD＝×4×2＝4， 故选A. 【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等边对等角的性质，熟记性质是解题的关键． 8. 如图，以点B为圆心以任意长为半径画弧，分别交∠ABC的两边BA、BC于点D、E，分别以D、E为圆心以DE的长为半径画弧，两弧相交于点F，作射线BF，过点F作FG∥AB交BC于点G．若射线BA上存在点M，使FM＝FG，则当∠ABC＝40°时，∠FMB的度数是（　　） A. 140° B. 40° C. 20° D. 以上都不对 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，为的角平分线，如图，过点F作，使的点如图，有两种情况；①，，求的值，进而根据求解即可；②，，求的值，进而可求的值． 【详解】解：由题意知，为的角平分线，如图，过点F作，使的点如图，有两种情况； ∴ ① 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； ② 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； 综上所述，的值为或． 故选D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等，同位角．解题的关键在于对角平分线性质的应用，以及存在的两种情况． 9. 如图，在中，，AD是BC边上的高，点E在AD上，且，若的面积为S，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质证得BD=CD=BC，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵AB=AC，AD是BC边上的高， ∴AD⊥BC，BD=CD=BC， ∵，的面积为S， ∴S△ABE= AE·BD= ·AD·BC= ·AD·BC=， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的高、三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解答的关键． 10. 如图，△ABC中，AB=6，AC=8，∠ABC与∠ACB的平分线BD、CD交于点D．过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F，则△AEF的周长为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】由角平分线的定义可知，．由平行线的性质得出，，即可推出，，从而得出，．最后即可推出的周长，即可求出结果． 【详解】∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴的周长 ， ∴的周长为：14， 故选C． 【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定．利用数形结合的思想是解题的关键． 二、填空题 11. 如图，在△ABC中．AB=AC，∠B=76°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交射线BC于点D，连接AD．则∠CAD的度数是_____°． 【答案】38 【解析】 【分析】根据图示得出AC=CD，进而利用等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：由题意可得，AC=CD， ∵AB=AC，∠B=76°， ∴∠ACB=∠B=76°， ∵AC=CD， ∴∠CAD=∠CDA=∠ACB=38°， 故答案为：38． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 12. 如图，在等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，过点D作于点E，若，则CE的长为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可知，，，在中，根据含直角三角形的性质，求解即可． 【详解】解：在等边三角形ABC中，， ∵BD是AC边上的中线，∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，含直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解． 13. 如图，在中，点D是边BC上的一点．若，，则∠C的大小为____________． 【答案】34° 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和，可以先计算出∠ADB的度数，然后再根据AD=DC，∠ADB=∠C+∠DAC，即可得到∠C的度数． 【详解】解：∵AB=AD， ∴∠B=∠ADB， ∵∠BAD=44°， ∴∠ADB==68°， ∵AD=DC，∠ADB=∠C+∠DAC， ∴∠C=∠DAC=∠ADB=34°， 故答案为：34°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 14. 如图，在ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E，若AC＝8，BD＝5，则CE的长度是___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接BE，由题意易得AE=BE，BD=AD=5，则有AB=10，然后根据勾股定理可得BC=6，进而设CE=x，则有AE=BE=8-x，最后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】解：连接BE，如图所示： ∵AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E，BD＝5， ∴AE=BE，BD=AD=5， ∴AB=10， ∵∠C＝90°，AC＝8， ∴， 设CE=x，则有AE=BE=8-x， ∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理及线段垂直平分线的性质定理、解一元一次方程，熟练掌握勾股定理及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 15. 如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点 O，MN 经过点 O，且 MN∥BC，分别交 AB、AC 于点 M、N．若 BM＝3cm，MN＝5cm，则 CN＝_____cm． 【答案】2 【解析】 【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质证得∠MBO=∠BOM，∠NCO=∠CON，从而得出OM= BM，ON=CN，即可求出CN的值． 【详解】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB， ∵， ∴∠OBC=∠BOM，∠OCB=∠CON， ∴∠MBO=∠BOM，∠NCO=∠CON， ∴OM= BM＝3cm，ON=CN， ∵MN＝5cm， ∴CN＝ON=MN-OM=5-3=2cm， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，证出∠MBO=∠BOM，∠NCO=∠CON是解题的关键． 16. 如图，在中，分别垂直平分和，交于两点．，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质及等边对等角，数形结合求解角度即可． 【详解】解：在中，，则， 分别垂直平分和， ， 则， ， ． 17. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B=30°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，CE=3cm，则BE的长为 _____cm． 【答案】6 【解析】 【分析】由在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，可求得∠BAC的度数，由的垂直平分线d的性质可得AE=BE，即可得∠CAE=30°，由含30°角的直角三角形的性质可求得答案． 【详解】解：连接AE， 在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠BAC=60°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∴∠BAE=∠B=30°， ∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=30°， ∵CE=3cm， ∴AE=2CE=6cm， ∴BE=6（cm）． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 18. 如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若△ODE的周长为10cm，那么BC的长为 _____． 【答案】10cm 【解析】 【分析】由角平分线的性质、平行线的性质可得OD=BD，OE=CE，从而BC的长等于△ODE的周长，问题即解决． 【详解】∵BO平分∠ABC ∴∠ABO=∠DBO ∵OD∥AB ∴∠DOB=∠ABO ∴∠DBO=∠DOB ∴OD=BD 同理OE=CE ∵OD+DE+OE=10cm ∴BC=BD+DE+CE=OD+DE+OE=10cm 故答案为：10cm 【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定，关键是利用角平分线的性质、平行线的性质得到两个等腰三角形． 19. 如图1，将一张直角三角形纸片（已知，）折叠，使得点落在点处，折痕为．将纸片展平后，再沿着将纸片按着如图2方式折叠，边交于点．若是等腰三角形，则的度数可能是 __． 【答案】或 【解析】 【分析】由翻折可得AD=BD=B′D，∠BDC=∠B′DC，所以∠BDB′=4∠A，所以∠ADF=180°-4∠A，∠AFD=∠DCF+∠CDF=3∠A，若∠ADF是等腰三角形，有三种情况：①当AD=AF时，∠ADF=∠AFD，②当AD=DF时，∠AFD=∠A，③当DF=AF时，∠ADF=∠A，然后分别列式计算即可解决问题． 【详解】由翻折可知：，， ， ， ， ， ， ，， 若是等腰三角形，有三种情况： ①当时，， ， 解得； ②当时，， ， （不符合题意舍去）； ③当时，， ， 解得． 综上所述：的度数可能是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 20. 如图，在中，，，是的中点，点、分别在边、上，且．下列结论正确的是 __．（填所有正确结论的序号） ①；②；③，分别表示和的面积，则；④；⑤ 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】先根据等腰直角三角形的性质和等角的余角相等证得∠BAD=∠C=45°，∠BDE=∠ADF，根据全等三角形的判定与性质可判断①和②；再根据等腰直角三角形的判定与性质以及垂线段最短可判断③；由EF是变化的，AD为定值可判断④；再根据三角形的外角性质可判断⑤． 【详解】解：，，是的中点， ，，， ， ， 在和中， ， ，故①正确； ， ，故②正确； ， ， 是等腰直角三角形， ∴∠DEF=45°， 时，DE最小，且DE=DF=AB，则最小为， 当点与或重合时，DE最大，则最大为， ，故③正确； 是变化的，而为定值，故④错误； ， ， ，故⑤正确． 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质是解题的关键． 三、解答题 21. 如图，在四边形中，，E为的中点，平分． （1）求证：平分； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据角平分线的性质说明，再结合线段中点的意义说明，然后根据角平分线判断得出结论； （2）先根据分别证明，，分别得出，，结合可得出结论． 【小问1详解】 证明：如图，过点E作于点F， ∵，平分， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴ 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴， 即． 【点睛】本题考查了线段中点的有关计算，全等的性质和综合（），角平分线的性质定理，角平分线的判定定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 22. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A=∠BEC，且AD=BE． （1）求证：△ABD≌△ECB． （2）若∠BDC＝70°，求∠ADB的度数． 【答案】（1）见解析 （2）40° 【解析】 【分析】（1）根据AD∥BC，可得∠ADB=∠CBD，再利用角边角，即可求证； （2）根据△ABD≌△ECB，可得BD=BC，从而得到∠BCD=∠BDC=70°，进而得到∠CBD= =40°，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∵∠A=∠BEC，且AD=BE， ∴△ABD≌△ECB； 【小问2详解】 解：∵△ABD≌△ECB， ∴BD=BC， ∴∠BCD=∠BDC=70°， ∴∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=40°， ∴∠ADB=∠CBD=40°． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质定理是解题的关键． 23. 沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气很混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一城镇，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为：，，，以沙尘暴中心为圆心周围25km以内为受影响区域． （1）请通过计算说明城镇C会受到沙尘暴影响的原因； （2）若沙尘暴中心的移动速度为20km/h，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？ 【答案】（1）理由见解析； （2）沙尘暴影响该城镇持续的时间为． 【解析】 【分析】（1）过点C作，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，利用等面积法得出，根据题意以沙尘暴中心为圆心周围 以内为受影响区域，即可证明； （2）在AB边上找E、F两点，连接CE、CF，当，时，沙尘暴正好影响城镇C，根据勾股定理可得，利用直角三角形全等的判定及性质可得， ，由速度与时间、路程的关系即可得出影响的时间． 【小问1详解】 解：如图所示：过点C作， ∵ ，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 即 ， ∴， ∵以沙尘暴中心为圆心周围 以内为受影响区域，， ∴城镇C会受到沙尘暴影响； 【小问2详解】 解：如图所示：在AB边上找E、F两点，连接CE、CF， 当，时，沙尘暴正好影响城镇C， ∴， 在与中， ， ∴， ∴DE=DF， ∴ ， ∵沙尘暴中心的移动速度为， ∴， ∴沙尘暴影响该城镇持续的时间为． 【点睛】题目主要考查勾股定理及其逆定理的应用，全等三角形的判定和性质等，理解题意，利用勾股定理定理解决实际问题是解题关键． 24. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，又DE是AB的垂直平分线，垂足为E． （1）求∠CAD的大小； （2）若BC＝3，求DE的长． 【答案】（1）30° （2）1 【解析】 【分析】（1）先说明△ABD是等腰三角形，再根据三角形的内角和即可得出答案； （2）设DC的长为y，根据直角三角形的性质列出关于y方程，解出y即可． 【小问1详解】 解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∴∠B=∠EAD， 又∵AD是∠CAB的平分线， ∴∠CAD=∠EAD， 设∠CAD=x，则3x=90°， ∴x=30°， ∴∠CAD=30°； 【小问2详解】 ∵AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC=DE， 设DC=y，则DE=y，BD=3-y， 又∵∠B=30°， ∴y=， 解得y=1， ∴DE=1． 【点睛】本题主要考查中垂线的性质和角平分线的性质，关键是要牢记垂直平分线的性质和角平分线的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $