学易金卷：高二数学下学期期中模拟卷（北师大版，范围：选择性必修第二册第一章～2.6.1函数的单调性）

2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C D B C A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 AC ABD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．5 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）， ， 直线l的斜率为， 由题意知，解得， ，，即， 曲线在点处的切线方程为， 即；（7分） （2）由（1）知， 由得或，由得， 的单调递增区间为，，的单调递减区间为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）设事件“第次降落成功”，则“第次降落未成功”，， 由全概率公式得， 该操作员第二次降落成功的概率为.（6分） （2）由题意得， 当时， 即， 整理得， 又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，（11分） 故，即， 易知单调递增，所以.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由可得， ∵，∴，依此类推，， ∴，∴， ∴数列是首项为，公差为1的等差数列，（5分） ∴，即，（6分） （2），故对1，2，3… ，（9分） ∴ .（13分） 因为， 所以， 即.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）函数的定义域为， ．（1分） ①若，则当时，，所以函数在区间上单调递减； 当时，，所以函数在区间上单调递增． ②若，则当或时，， 所以函数在区间，上均单调递增； 当时，，所以函数在区间上单调递减． ③若，则当时，，所以函数在区间上单调递增． ④若，则当或时，， 所以函数在区间，上均单调递增； 当时，，所以函数在区间上单调递减． 综上所述， 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，函数在区间，上均单调递增，在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间，上均单调递增，在区间上单调递减．（8分） （2）不妨设，则可化为． 令，则函数在区间上单调递增． 所以在区间上恒成立．（13分） 即在区间上恒成立．（*） 因为，所以， 所以，要使（*）成立，只需， 解得． 故所求实数的取值范围为．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）由题意，得，； ， 所以2阶数列为．（4分） （2）因为，又，所以， 所以， 累加得，即， 所以．（9分） （3）因为，及，得， 又，所以，两边同除，得， 当时， ， 所以，时也满足， 所以，（14分） 令，则， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增 而，所以，即时，取得最小值为．（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版选择性必修第二册第一章～第二章（6.1函数的单调性）。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列满足，，则（    ） A． B． C．3 D．2 2．在等比数列中，若，，则（   ） A．6 B．9 C．15 D．81 3．已知函数，则在处的导数为（   ） A．2 B．0 C．4 D． 4．《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（    ） A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺 5．设等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知是函数的导函数，对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．若，，，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设在处可导，下列式子中与相等的是（    ） A． B． C． D． 10．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．为的最小值 D． 11．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在正项等比数列中，与是方程 的两个根，则________ . 13．在平面直角坐标系中，若过点且同时与曲线，曲线都相切的直线有两条，则点的坐标为__________． 14．已知数列满足，，令，数列的前n项和为，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 16．（15分） 某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. (1)求该操作员第二次降落成功的概率； (2)设第i次降落成功的概率为，求证：. 17．（15分） 已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)证明：对，. 18．（17分） 已知函数，其中． （1）讨论函数的单调性； （2）设，若对于任意的，，有，求实数的取值范围． 19．（17分） （新情境）已知给定数列，从第二项起后项与前项作差，得到新数列，定义这个新数列为数列的阶差数列，记为，继续上述操作，得到新数列，称为的阶差数列，记为，一般地，对任意，称数列为数列的阶差数列． (1)写出数列的阶差数列； (2)若数列的首项阶差数列，求的通项公式； (3)若数列的首项，且，求数列的最小值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：：北师大版选择性必修第二册第一章～第二章（6.1函数的单调性）。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列满足，，则（    ） A． B． C．3 D．2 2．在等比数列中，若，，则（   ） A．6 B．9 C．15 D．81 3．已知函数，则在处的导数为（   ） A．2 B．0 C．4 D． 4．《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（    ） A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺 5．设等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知是函数的导函数，对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．若，，，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设在处可导，下列式子中与相等的是（    ） A． B． C． D． 10．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．为的最小值 D． 11．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在正项等比数列中，与是方程 的两个根，则________ . 13．在平面直角坐标系中，若过点且同时与曲线，曲线都相切的直线有两条，则点的坐标为__________． 14．已知数列满足，，令，数列的前n项和为，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 16．（15分） 某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. (1)求该操作员第二次降落成功的概率； (2)设第i次降落成功的概率为，求证：. 17．（15分） 已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)证明：对，. 18．（17分） 已知函数，其中． （1）讨论函数的单调性； （2）设，若对于任意的，，有，求实数的取值范围． 19．（17分） （新情境）已知给定数列，从第二项起后项与前项作差，得到新数列，定义这个新数列为数列的阶差数列，记为，继续上述操作，得到新数列，称为的阶差数列，记为，一般地，对任意，称数列为数列的阶差数列． (1)写出数列的阶差数列； (2)若数列的首项阶差数列，求的通项公式； (3)若数列的首项，且，求数列的最小值． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列满足，，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【解析】因为，，所以，，， ， 所以是以3为周期的数列，则. 故选：C. 2．在等比数列中，若，，则（   ） A．6 B．9 C．15 D．81 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为，则，， . 故选：A. 3．已知函数，则在处的导数为（   ） A．2 B．0 C．4 D． 【答案】C 【解析】由可得， 令，可得，即， 解得，则， 所以. 故选：C. 4．《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（    ） A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺 【答案】D 【解析】由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，设公差为， 则，解得， 所以第30天织布（尺）． 故选：D． 5．设等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法一：因为等比数列的前n项和为，， 则公比，否则，，，不符题意； 所以，解得， 所以． 所以． 解法二：由，不妨设，，而，，也成等比数列， 则，即， 求得，故，所以． 故选：B． 6．已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使函数在上为增函数，需满足以下条件： （1）在上单调递增， 当时，为开口向下的二次函数，需对称轴； （2）由在上单调递增， 当时，，，得：对任意恒成立， 即对任意恒成立，令， 对任意恒成立， 所以在上单调递增，，故； （3）在处的左极限小于等于在处的右极限， 所以，即，即：. 综上：，即. 故选：C． 7．已知是函数的导函数，对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令 ①,则 ， ∵， ∴ ，即 ， ∴（c为常数）②， 由①②知， ， ∴ ，又，∴ ，即 ， ， 不等式 即，∴ 或， 即不等式的解集为， 故选：A. 8．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， ，， ，， ，， 设，， ， 设，，，， 在上是单调递增函数， ，，， 在上是单调递减函数， ，，， 为上的单调递减函数，， ，， ，即. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设在处可导，下列式子中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，，A满足； 对于B，，B不满足； 对于C，，C满足； 对于D，，D不满足. 故选：AC. 10．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．为的最小值 D． 【答案】ABD 【解析】数列的前项和为， 当时，， 当时，， 当时，也成立， ，故A正确； ，令，解得， 当时，，， ，故B正确； ，为开口向下的二次函数，对称轴为， ，，均为最大值，故C错误； ， 数列是首项为公差的等差数列， 数列奇数项组成的新数列是首项为，公差为的等差数列，项数为， ，故D正确． 故选：． 11．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，由，可得， 两式相减可得，故A正确； 对于B，由为偶函数，可得， 即，所以的图象关于直线对称， 由，两边求导得，即， 所以是以4为周期的周期函数， 则有，无法推出，故B错误； 对于C，由，两边求导得， 即，令，可得， 又，令，可得， 并联立，解得，故C正确； 对于D，由，当时，，又，可得， 当时，可得， 由，即， 所以，令，可得， 所以，令，可得，，， 由A知的周期为4，则，所以， ，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在正项等比数列中，与是方程 的两个根，则_________ . 【答案】5 【解析】因为与是方程 的两个根，所以， 因为为正项等比数列，所以， 所以， 故答案为：5. 13．在平面直角坐标系中，若过点且同时与曲线，曲线都相切的直线有两条，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】设点的坐标为，显然这两条曲线的公切线存在斜率，设为， 因此切线方程为， 设曲线的切点为，即， 由，所以过该切点的切线的斜率为， 则有， 设的切点为，即， 由，所以过该切点的切线的斜率为， 则有， 由题意可知：，于是有： ，得，或， 当时，则有，当时，则有， 由可解，. 故答案为：. 14．已知数列满足，，令，数列的前n项和为，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以，即，又当时，， 故数列是以3为首项3为公比的等比数列， ，. ， 上两式相减得， ， 对任意，恒成立，则， 当n为偶数，则恒成立， 令，则， 所以是关于的减函数，得， 所以； 当n为奇数，则， 因为是关于的减函数，得， 所以是关于的增函数，得， 所以. 综上可得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【解析】（1）， ， 直线l的斜率为， 由题意知，解得， ，，即， 曲线在点处的切线方程为， 即；（7分） （2）由（1）知， 由得或，由得， 的单调递增区间为，，的单调递减区间为.（13分） 16．（15分） 某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. (1)求该操作员第二次降落成功的概率； (2)设第i次降落成功的概率为，求证：. 【解析】（1）设事件“第次降落成功”，则“第次降落未成功”，， 由全概率公式得， 该操作员第二次降落成功的概率为.（6分） （2）由题意得， 当时， 即， 整理得， 又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，（11分） 故，即， 易知单调递增，所以.（15分） 17．（15分） 已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)证明：对，. 【解析】（1）由可得， ∵，∴，依此类推，， ∴，∴， ∴数列是首项为，公差为1的等差数列，（5分） ∴，即，（6分） （2），故对1，2，3… ，（9分） ∴ .（13分） 因为， 所以， 即.（15分） 18．（17分） 已知函数，其中． （1）讨论函数的单调性； （2）设，若对于任意的，，有，求实数的取值范围． 【解析】（1）函数的定义域为， ．（1分） ①若，则当时，，所以函数在区间上单调递减； 当时，，所以函数在区间上单调递增． ②若，则当或时，， 所以函数在区间，上均单调递增； 当时，，所以函数在区间上单调递减． ③若，则当时，，所以函数在区间上单调递增． ④若，则当或时，， 所以函数在区间，上均单调递增； 当时，，所以函数在区间上单调递减． 综上所述， 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，函数在区间，上均单调递增，在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间，上均单调递增，在区间上单调递减．（8分） （2）不妨设，则可化为． 令，则函数在区间上单调递增． 所以在区间上恒成立．（13分） 即在区间上恒成立．（*） 因为，所以， 所以，要使（*）成立，只需， 解得． 故所求实数的取值范围为．（17分） 19．（17分） 已知给定数列，从第二项起后项与前项作差，得到新数列，定义这个新数列为数列的阶差数列，记为，继续上述操作，得到新数列，称为的阶差数列，记为，一般地，对任意，称数列为数列的阶差数列． (1)写出数列的阶差数列； (2)若数列的首项阶差数列，求的通项公式； (3)若数列的首项，且，求数列的最小值． 【解析】（1）由题意，得，； ， 所以2阶数列为．（4分） （2）因为，又，所以， 所以， 累加得，即， 所以．（9分） （3）因为，及，得， 又，所以，两边同除，得， 当时， ， 所以，时也满足， 所以，（14分） 令，则， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增 而，所以，即时，取得最小值为．（17分） 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $