精品解析：河北省唐县第一中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题

数 学 试 题 试卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上． 2.作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交． 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设向量，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】因为向量， 由，可得，解得. 故选：C. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式以及两角和与差的余弦公式即可求解. 【详解】； ； 原式 . 故选：C 3. 在中，已知点是边上靠近点A的一个三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量加法的三角形法则即可求解. 【详解】由题可得， 故选：D． 4. 若角，均为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角公式及差角的正弦公式计算作答. 【详解】角，均为锐角，即，而，则，又，则， 所以，. 故选：B 5. 已知. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直及数量积的运算律得，结合向量数量积的定义求夹角余弦值. 【详解】由题设，可得. 故选：A 6. 在△ABC中，已知a=8，B=45°，C=75°，则b等于（ ） A. 4 B. 4 C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理求得角,进而利用正弦定理求得. 【详解】∵B=45°，C=75°，∴, ∴, 故选：. 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，通过两角差余弦公式求解即可； 【详解】因为，所以，因为，则角在第四象限， 所以， 则， 故选：C． 8. 为了得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【详解】， 将函数的图象向右平移个单位长度得的图象.即C对. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由向量既有大小又有方向判断选项A；由相等向量的定义判断选项B；分析当为零向量时的情况判断选项C；根据相等向量的传递性判断选项D. 【详解】向量不能比较大小，A错误； 表示向量大小相等，方向相同，所以，B正确； 若是零向量，零向量平行于任意向量，此时即使满足、，但和也可以不平行，C错误； 由得、与同向；由得、与同向，因此、与同向，即，D正确. 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，对于以下命题，其中正确的是（ ） A. 等式恒成立 B. 若，则 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，，，则满足条件的三角形有两个 【答案】AB 【解析】 【分析】由余弦定理可判断A，利用正弦定理边角互化可以判断出B，利用正、余弦定理分析判断C，对于选项D，根据条件，利用判断三角形解的个数的方法即可求解. 【详解】对于选项A. ,故选项A正确. 对于选项B. 在中，若，则，由正弦定理则，故选项B正确. 对于选项C. 若， 由正弦定理可得则， 则角为锐角,但不能确定角A，B是锐角.故选项C不正确. 对于选项D. 由于 ，此时三角形无解，故选项D不正确. 故选：AB 11. 已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象可以由图象向左平移个单位长度得到 C. D. 若函数在上至少有11个零点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先化简函数，根据正弦函数的图像和性质逐项进行验证即可判断求解. 【详解】因为 ， 对A，令，则，即的单调增区间为， 则在上单调递增，故选项正确； 对B，图象向左平移个单位长度得到， ，故选项正确； 对C，由于，故选项错误； 对D，若函数在上至少有11个零点， 即与在上至少有11个交点， 令，则或， 即或， 由于函数一个周期由两个点函数值为， 则在正好由11个交点，故的最小值为，故选项正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最小正周期为__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据周期公式可的结果. 【详解】函数的最小正周期为. 故答案为：. 13. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且 ，则______(结果用数值表示) 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式，结合数量积的定义式求解. 【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为， 即，故， 故答案为： 14. △的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________． 【答案】. 【解析】 【分析】方法一：由正弦定理可得，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，由为锐角，求得， ，利用三角形面积公式即可解出. 【详解】［方法一］：【最优解】边化角 因为，由正弦定理得， 因为，所以．又因为， 由余弦定理，可得， 所以，即为锐角，且，从而求得， 所以的面积为. 故答案为：. ［方法二］：角化边 因为，由正弦定理得，即，又，所以，．又因为， 由余弦定理，可得， 所以，即为锐角，且，从而求得， 所以的面积为. 故答案为：. 【整体点评】方法一：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积，该法是本题的最优解； 方法二：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 设是两个不共线的向量，已知． （1）求证：三点共线； （2）若且，求实数的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据，即可得证； （2）利用共线向量定理即可求解. 【小问1详解】 由已知，得， 因为， 所以，又与有公共点， 所以三点共线． 【小问2详解】 由（1），知，若，且， 可设， 所以， 即． 又是两个不共线的向量，所以， 解得． 16. 已知，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得的值； （2）利用二倍角的余弦公式可求得的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得结果. 【小问1详解】 解：因为，， 又，所以， 所以. 【小问2详解】 解：因为， ， 又因为，所以， 由（1）知，， 所以． 因为，，则，所以． 17. 函数（，）的部分图象如图所示， （1）求函数的解析式; （2）将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象，求满足不等式的解集. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式. （2）利用函数图象变换求得，再利用正弦函数性质求解不等式. 【小问1详解】 由函数的图象，得，的最小正周期， 由，得，由，得，而，则， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位长度，得， 再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得， 由，得，则，， 所以不等式的解集为. 18. 记锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，已知． （1）求角A； （2）若，求三角形周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面积公式，余弦定理，结合两角差的正弦公式，化简可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据正弦定理，可得，化简可得，根据锐角三角形，可求得角B的范围，根据正弦型函数的图象与性质，即可得答案. 【小问1详解】 由面积公式得，即， 由余弦定理得， 所以， 则， 所以，即， 因为，则， 所以，即 【小问2详解】 由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以， 所以，则， 所以三角形周长为 19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先计算的值，再由，利用向量数量积的运算律计算即可； （2）利用向量数量积的运算律计算并化简即可得证； （3）利用（2）的公式计算，设，求出，将转化成，结合二次函数的图象即可求得的值域. 【小问1详解】 因为的“完美坐标”为，则， 又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为， 所以,， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以 ， 即. 【小问3详解】 因为向量，的“完美坐标”分别为，， 由（2）得. 令，则， 因为，所以，即， 令， 因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的值域为. 【点睛】思路点睛：本题在求解与之相关的函数问题时，应按照新定义，准确写出函数解析式，对于较复杂的三角式，常常运用整体换元思想，将其转化成熟悉的函数，如二次函数、双勾函数等，利用这些函数的图象性质特征求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数 学 试 题 试卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上． 2.作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交． 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设向量，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 2. （ ） A. B. C. D. 3. 在中，已知点是边上靠近点A的一个三等分点，则（ ） A. B. C. D. 4. 若角，均为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 在△ABC中，已知a=8，B=45°，C=75°，则b等于（ ） A. 4 B. 4 C. 8 D. 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 为了得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，对于以下命题，其中正确的是（ ） A. 等式恒成立 B. 若，则 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，，，则满足条件的三角形有两个 11. 已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象可以由图象向左平移个单位长度得到 C. D. 若函数在上至少有11个零点，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最小正周期为__________. 13. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且 ，则______(结果用数值表示) 14. △的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 设是两个不共线的向量，已知． （1）求证：三点共线； （2）若且，求实数的值． 16. 已知，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 17. 函数（，）的部分图象如图所示， （1）求函数的解析式; （2）将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象，求满足不等式的解集. 18. 记锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，已知． （1）求角A； （2）若，求三角形周长的取值范围． 19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $