河北省唐县第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

2024--2025学年高一 5月考数学试题 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1. 已知 a为实数，若复数    2 1 1z a a i    为纯虚数，则 2021 1 a i i   =（ ） A． i B． -i C．1 D． -1 2. 设 , ,   是三个不同平面，且 ,l m      ，则“ //l m”是“ / /  ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图所示，正方形 A B C O   的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则 原图形的周长为（ ） A. 6cm B. 8cm C.  1 2 cm D.  2 1 3 cm 4．在∆ABC中，内角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c，已知 cosc a B ，则∆ABC 的形状为（ ） A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 5. 已知D为∆ABC所在平面内的一点，4 3 ,AB AD E   为CD的中点，则 AE   （ ） A. 4 13 2 AB AC   B. 1 42 3 AB AC   C. 2 13 2 AB AC   D. 1 22 3 AB AC   6．若 π 3 3cos sin cos 3 2 2          ，则cos2 （ ） A． 6 3 7  B． 6 3 7 C． 1 7  D． 1 7 7．点M 在∆ABC所在平面内，下列说法正确的是（ ） A．若 0ACAB      ，则∆ABC为锐角三角形 B．若点 M是∆ABC的重心，则�� + �� = �� C．若 1 23 3     AM AB AC，则 �∆��� �∆��� = 1 3 D．若∆ABC为边长为 2的正三角形，点M 在线段 BC上运动，则 ( ) 3AM AB AC      8．如图，底面����是边长为 2的正方形，半圆面��� ⊥底面����，点�为圆弧��上的 动点．当三棱锥� − ���的体积最大时，二面角� − �� − �的余弦 值为（ ） A． 2 5 B． 5 5 C． 5 3 D．2 5 5 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得 6分，有选错的得 0分，部分选对的得部分分． 9. 已知向量  4,3a    ，  7,1b   ，下列说法正确的是（ ） A. (a  +b  )⊥a  B. 125a b    C. 与向量a  平行的单位向量是 4 3, 5 5      D. 向量a  在向量b  上的投影向量为 1 2 b  10. 若复数 3 5i 1 i z   ，则（ ） A. 4 iz   B. | | 17z  C. z在复平面内对应的点位于第四象限 D. 复数满足 | | 1  ，则 | |z 的最大值为 17 1 11. 如图，正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 2，E，F分别是 AD， 1DD的中点，点 P是底面 ABCD 内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 存在点 P，使得 //FP 平面 1 1ABC D B. 过 , ,B E F三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C. 异面直线 BA1与 EF所成的角的大小为60 D. 若�1�//平面�1��1，则点 P的轨迹的长度为 2 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12..已知圆锥底面半径为 2，侧面展开图是圆心角为 2π 3 的扇形，则此圆锥的母线长为 . 13．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为 了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到 一座建筑物 AB，高约为 36m，在它们之间的地面上的点 M（B， M，D三点共线）处测得建筑物顶 A、教堂顶 C的仰角分别是 45°和 60°，在建筑物顶 A处测得教堂顶 C的仰角为 15°，则 可估算圣．索菲亚教堂的高度 CD约为 m． 14. 三棱锥P ABC 的顶点都在球O的球面上，且 π2 3, 3, 6 AB AC ABC    ，若三棱锥 P ABC 的体积最大值为 3 3 2 ，则球O的表面积为_____. 四、解答题：本题共 6小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）在平面直角坐标系中，已知 (1,2)A ， (3,5)B ， (4, )C m . （1）若 A，B，C三点共线，求实数 m的值； （2）若 90BAC  ，以 ABC△ 的边 AC所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体， 求该几何体的表面积. 16．(15分）如图，在四棱锥� − ����中，底面����为矩形，平面��� ⊥平面����，�� ⊥ ��，�� = ��， E，F分别为��, ��的中点． (1)求证：��//平面���； (2)求证：平面��� ⊥平面���． 17．(15分）在△ ABC中，内角 , ,A B C的对边分别为 , , 2 , 2 sin 3sina b c c b A B ， ． (1)求 sinC； (2)若△ ABC的面积为 3 7 2 ，求 AB边上的中线CD的长． 18. (17分）已知函数    2 33cos sin cos 0 2 f x x x x       ，  f x 图象的相邻对称轴之间的距离为 π 2 ．（1）求  f x 的解析式和函数  f x 的单调递增区间；； （2）将函数  f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 12 ，纵坐标伸长为原来的 2倍，再向左平移 π 12 个 单位得  g x 的图象，若关于 x的方程  g x m 在 π π, 12 6     上只有一个解，求实数m的取值范围． 19. (17分）如图，已知三棱台 1 1 1ABC ABC 中，平面 1 1ABB A 平面 1 1BCC B ， ABCV 是以 B为直角顶点的等腰 直角三角形，且 1 1 1 12 2 2 2AB AA A B BB    . （1）证明： 1AB 平面 1 1BBC C； （2）求直线 1AB 与平面 ABC所成角的大小；