2026年浙江省杭州十五中学中考数学模拟试卷（3月份）

2026年浙江省杭州十五中中考数学模拟试卷（3月份） 一、选择题（共30分） 1．（3分）2026的倒数是（　　） A．2026 B． C． D．﹣2026 2．（3分）DeepSeek﹣V3是一款基于混合专家（MoE）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，DeepSeek的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（　　） A．6.71×1012 B．6.71×1011 C．67.1×1010 D．671×109 3．（3分）如果，则（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图是一个正三棱柱，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是（　　） A．（0，0） B．（2，1） C．（4，2） D．（5，0） 6．（3分）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 7．（3分）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中记载了一个问题，大意是：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a为常数，a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，下列结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 9．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，以CD为直径的圆与AD交于点E，则的长是（　　） A．3π B． C．4π D．5π 10．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝4cm2．正方形CDEF的顶点D，F分别在AC，BC边上，设CD＝CF＝x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共18分） 11．（3分）分解因式：x2+5x＝　 　 ． 12．（3分）不等式组的解集是　 　 ． 13．（3分）现有六张分别标有数字1，3，4，5，7，8的卡片，其中标有数字1，4，7的卡片在甲手中，标有数字3，5，8的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，则甲出的卡片数字比乙大的概率为　 　 ． 14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC＝CD，∠ADC＝100°，则∠AOD＝　 　 ． 15．（3分）若抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y＝x+2上，则m的值为　 　 ． 16．（3分）如图，在▱ABCD中，BC＝3，CD＝4，点E是CD边上的中点，将△ADE沿AE翻折得△AFE，连结BF，点B，F，E恰好在同一直线上，延长AF交BC于点G．则△BFG与四边形AGCD的面积比为　 　 ． 三、解答题（共72分） 17．（6分）计算：2cos60°﹣|1|（3﹣π）0． 18．（8分）解方程： （1）； （2）3x2+2x﹣2＝0． 19．（8分）京剧脸谱是一种内涵丰富的艺术表现形式，每个脸谱都有一种主色调，以显示剧中人物的性格特征，如关羽脸谱为红色，曹操是白色，包拯是黑色，窦尔敦是蓝色．美术课上，老师准备了如图所示的A、B、C、D四张不同的脸谱（大小、形状及背面完全相同），并将这四张脸谱背面朝上，洗匀放好． （1）文文从这四张脸谱中随机抽取一张，抽到的脸谱是D的概率为　 　 ； （2）文文从这四张脸谱中同时随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法求她抽到的脸谱中有一张是B的概率． 20．（8分）数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度BC．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离AB＝70米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据：） 21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC与OD相交于点E，连结BE． （1）求证：AE＝EC． （2）若AC＝8，DE＝2，求BE的长． 22．（10分）跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：①∵，又∵1000＜59319＜1000000， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵93＝729，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是　 　 位数； ②它的立方根的个位数字是　 　 ； ③19683的立方根是　 　 ． （2）求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 23．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示： x … ﹣1 2 4 m … y … y1 ﹣4 y2 y3 … （1）当y2＝﹣3时， ①求该二次函数图象的顶点坐标； ②若y1＜y3，求m的取值范围； （2）求证：． 24．（12分）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接AC． （1）如图1，求证：∠BAC＝∠DAC； （2）如图2，连接BC，延长DC交AB的延长线于点E，∠AEC的平分线分别交AC，BC于点F，G，求证：CF＝CG； （3）如图2，在（2）的条件下，若G是EF的中点，且，CD＝4，求线段CF的长． 2026年浙江省杭州十五中中考数学模拟试卷（3月份） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C． B C C C C B D C A 一、选择题（共30分） 1．（3分）2026的倒数是（　　） A．2026 B． C． D．﹣2026 【分析】利用倒数的定义求解即可． 【解答】解：2026的倒数是． 故选：C． 【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 2．（3分）DeepSeek﹣V3是一款基于混合专家（MoE）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，DeepSeek的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（　　） A．6.71×1012 B．6.71×1011 C．67.1×1010 D．671×109 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：6710亿＝671000000000＝6.71×1011． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（3分）如果，则（　　） A． B． C． D． 【分析】将拆分为，代入已知条件计算即可． 【解答】解：原式＝1， ∵， ∴原式＝1． 故选：C． 【点评】本题考查比例的性质，熟练掌握拆分法是解题的关键． 4．（3分）如图是一个正三棱柱，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据主视图的定义，画出该几何体的主视图即可． 【解答】解：从正面看，是一个矩形，矩形中间有一条纵向的虚线． 故选：C． 【点评】本题考查简单几何体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉． 5．（3分）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是（　　） A．（0，0） B．（2，1） C．（4，2） D．（5，0） 【分析】分别连接OA、DB、EC，其所在直线交于点G（4，2），即可得到答案． 【解答】解：如图，分别连接OA、DB、EC，其所在直线交于点G（4，2）， 则点G为所求的位似中心， 故选：C． 【点评】本题考查了确定位似中心，即延长对应点的连线，其交点即为位似中心，熟练掌握知识点是解题的关键． 6．（3分）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案． 【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E， ∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED， ∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16， 即△PCD的周长为16． 故选：C． 【点评】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解题的关键． 7．（3分）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中记载了一个问题，大意是：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用“五只雀、六只燕，共重16两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式求出答案． 【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为： ． 故选：B． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确表示出“互换一只恰好一样重”的等式是解题关键． 8．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a为常数，a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，下列结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2a）2﹣4a（a﹣3）＞0，解得a＞0，则可对A选项进行判断；由于抛物线的对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质，当x＞1时，y随x的增大而增大，从而可对B选项进行判断；由于当x＝1时，y＝﹣3，即二次函数的最小值为﹣3，从而可对C选项进行判断；由于抛物线开口向上，抛物线与x轴的两个交点分别位于y轴两侧，则可判断抛物线与y轴的交点在x轴下方，所以a﹣3＜0，由于x＝2时，y＝a﹣3，所以y＜0，从而可对D选项进行判断． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a为常数，a≠0）的图象与x轴有两个交点， ∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a（a﹣3）＞0， 解得a＞0， ∴抛物线开口向上，所以A选项不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线x1， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大，所以B选项不符合题意； ∵当x＝1时，y＝ax2﹣2ax+a﹣3＝a﹣2a+a﹣3＝﹣3， ∴二次函数的最小值为﹣3，所以C选项不符合题意； ∵抛物线开口向上，抛物线与x轴的两个交点分别位于y轴两侧， ∴抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴a﹣3＜0， ∴x＝2时，y＝ax2﹣2ax+a﹣3＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3＜0，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质． 9．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，以CD为直径的圆与AD交于点E，则的长是（　　） A．3π B． C．4π D．5π 【分析】取CD的中点O，连接OE，根据菱形的性质得∠D＝∠B＝60°，CD＝AB＝6，根据圆周角定理得∠COE＝2∠D＝120°，OC＝3，再根据弧长公式计算即可． 【解答】解：如图，取CD的中点O，连接OE， ∵菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°， ∴∠D＝∠B＝60°，CD＝AB＝6， ∴∠COE＝2∠D＝120°，OC＝3， ∴的长是4π． 故选：C． 【点评】本题主要考查了弧长的计算，圆周角定理，掌握菱形的性质和弧长公式是解题的关键． 10．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝4cm2．正方形CDEF的顶点D，F分别在AC，BC边上，设CD＝CF＝x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先由在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝4cm2，求得AB与BC的长，再分两种情况分别得出函数解析式，可作出判断：①当0＜x时；②当x≤2时． 【解答】解：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝4cm2， ∴AC×BC＝4， ∴AC＝BC＝2， 当0＜x时，y＝x2； 当x≤2时，设ED交AB于M，EF交AB于N，如图： ∵CD＝x， ∴AD＝2x， 在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠A＝45°， ∵四边形CDEF是正方形， ∴∠MDA＝∠MDC＝90°， ∴△AMD为等腰直角三角形， ∴DM＝2x， ∴EM＝x﹣（2x）＝2x﹣2， ∴S△EMN2， ∴y＝x2﹣2 ＝﹣x2+4x﹣4， ∴当x≤2时，y为开口向下的抛物线， 观察各选项，只有A符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并分段讨论是解题的关键． 二、填空题（共18分） 11．（3分）分解因式：x2+5x＝x（x+5）　 ． 【分析】通过观察可知此题的公因式是x，直接提取可得． 【解答】解：x2+5x＝x（x+5）． 【点评】此题考查的是提取公因式分解因式，关键是找出公因式． 12．（3分）不等式组的解集是　﹣2＜x≤2　 ． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解确定不等式组的解集． 【解答】解：不等式组的解集， 解不等式2x+4＞0，得x＞﹣2； 解不等式8﹣3x≥2，得x≤2； 所以不等式组的解集为﹣2＜x≤2， 故答案为：﹣2＜x≤2． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解”的原则是解答此题的关键． 13．（3分）现有六张分别标有数字1，3，4，5，7，8的卡片，其中标有数字1，4，7的卡片在甲手中，标有数字3，5，8的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，则甲出的卡片数字比乙大的概率为　　 ． 【分析】通过列举所有可能的结果，找出甲出的卡片数字大于乙出的卡片数字的情况数，再计算概率． 【解答】解：甲可能出的数字为：1，4，7；乙可能出的数字为：3，5，8； 所有等可能的结果共有：3×3＝9种，其中甲出的数字大于乙出的数字的结果有：甲4乙3，甲7乙3，甲7乙5，共3种； 因此概率为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了概率的求法，掌握概率的求法是解题的关键． 14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC＝CD，∠ADC＝100°，则∠AOD＝　60°　 ． 【分析】连接OB、OC，根据圆内接四边形的性质求出∠ABC，根据圆周角定理求出∠AOC，计算即可． 【解答】解：如图，连接OB、OC， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣100°＝80°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝160°， ∴∠AOB+∠BOC＝360°﹣160°＝200°， ∵AB＝BC＝CD， ∴， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠DOC＝100°， ∴∠AOD＝360°﹣100°×3＝60°， 故答案为：60°． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 15．（3分）若抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y＝x+2上，则m的值为　1或　 ． 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，然后代入直线y＝x+2中进行计算，即可解答． 【解答】解：y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3 ＝x2﹣6mx+9m2﹣9m2+6m2+5m+3 ＝（x﹣3m）2﹣3m2+5m+3， ∴抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点为（3m，﹣3m2+5m+3）， 把（3m，﹣3m2+5m+3）代入y＝x+2中得： ﹣3m2+5m+3＝3m+2， 整理得：3m2﹣2m﹣1＝0， 解得：m1＝1，m2， 故答案为：m的值为1或， 故答案为：1或． 【点评】本题考查了二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键． 16．（3分）如图，在▱ABCD中，BC＝3，CD＝4，点E是CD边上的中点，将△ADE沿AE翻折得△AFE，连结BF，点B，F，E恰好在同一直线上，延长AF交BC于点G．则△BFG与四边形AGCD的面积比为　1：8　 ． 【分析】延长AD，与BE的延长线交于点H，证明△ABF≌△BEC（AAS），可推出BF＝EC，AB＝BE＝4，证明△DEH≌△CEB（ASA），可得DH＝CB＝3，EH＝EB＝4，进而可得BF＝BG＝2，CG＝1，因为∠DAG＝∠5，证明△BFG∽△HFA，得，设△BFG的边BG上的高为h，则△AFH的边AH上的高为3h，▱ABCD的底边AD上的高为4h，则△BFG与四边形AGCD的面积比可求． 【解答】解：如图，延长AD，与BE的延长线交于点H， ∵在▱ABCD中，BC＝3，CD＝4， ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠1＝∠2，∠DAG＝∠5，∠3+∠C＝180°，∠C＝∠HDE， ∵将△ADE沿AE翻折得△AFE，点B，F，E恰好在同一直线上， ∴AD＝AF＝3，∠3＝∠4，DE＝EF， ∴AF＝BC， ∵∠4+∠AFB＝180°， ∴∠AFB＝∠C， 在△ABF和△BEC中， ， ∴△ABF≌△BEC（AAS）， ∴BF＝EC，AB＝BE＝4， ∵点E是CD边上的中点， ∴BF＝EC＝DE＝EF＝2， 在△DEH和△CEB中， ， ∴△DEH≌△CEB（ASA）， ∴DH＝CB＝3，EH＝EB＝4， ∴AH＝FH＝6， ∴∠DAG＝∠4， ∵∠4＝∠BFG， ∴∠5＝∠BFG， ∴BF＝BG＝2， ∴CG＝1， ∵∠DAG＝∠5， ∴△BFG∽△HFA， ∴， 设△BFG边的BG上的高为h，则△AFH的边AH上的高为3h，▱ABCD的底边AD上的高为4h， 则△BFG与四边形AGCD的面积比为， 故答案为：1：8． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定、翻折、等腰三角形的判定、全等三角形的性质和判定，熟知以上知识点，准确作出辅助线是正确解答此题的关键． 三、解答题（共72分） 17．（6分）计算：2cos60°﹣|1|（3﹣π）0． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案． 【解答】解：原式＝2（1）1 ＝111 ＝1． 【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 18．（8分）解方程： （1）； （2）3x2+2x﹣2＝0． 【分析】（1）按照解分式方程的一般步骤解方程，求出x，再进行检验即可； （2）先求出一元二次方程根的判别式，然后利用求根公式进行解答即可． 【解答】解：（1）， ， 2x+1＝x﹣2， 2x﹣x＝﹣1﹣2， x＝﹣3， 检验：当x＝﹣3时，x﹣2≠0， ∴原方程的解为：x＝﹣3； （2）3x2+2x﹣2＝0， a＝3，b＝2，c＝﹣2， Δ＝22﹣4×3×（﹣2） ＝4+24 ＝28＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ． 【点评】本题主要考查了解分式方程和一元二次方程，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元二次方程的一般步骤． 19．（8分）京剧脸谱是一种内涵丰富的艺术表现形式，每个脸谱都有一种主色调，以显示剧中人物的性格特征，如关羽脸谱为红色，曹操是白色，包拯是黑色，窦尔敦是蓝色．美术课上，老师准备了如图所示的A、B、C、D四张不同的脸谱（大小、形状及背面完全相同），并将这四张脸谱背面朝上，洗匀放好． （1）文文从这四张脸谱中随机抽取一张，抽到的脸谱是D的概率为　　 ； （2）文文从这四张脸谱中同时随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法求她抽到的脸谱中有一张是B的概率． 【分析】（1）直接运用概率公式求解即可； （2）先画出树状图，可知共有12种等可能的结果，再得到抽到的脸谱中有一张是B的结果种数，最后由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）从A、B、C、D四张不同的脸谱中随机抽取一张，抽到的脸谱是D的概率为； 故答案为：； （2）从这四张脸谱中同时随机抽取两张，作树状图如下： 由图知，共有12种等可能的结果，其中抽到的脸谱中有一张是B的结果数为6， ∴抽到的脸谱中有一张是B的概率为． 【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，画出树状图是解题的关键． 20．（8分）数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度BC．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离AB＝70米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据：） 【分析】延长BC交直线l于点F，过点A作AE⊥l，垂足为E，则BF⊥l，根据题意可得：AE＝BF＝40米，AB＝EF＝70米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，从而求出DF的长，再在Rt△CDF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：延长BC交直线l于点F，过点A作AE⊥l，垂足为E，则BF⊥l， 由题意得：AE＝BF＝40米，AB＝EF＝70米， 在Rt△ADE中，∠ADE＝45°， ∴DE40（米）， ∴DF＝EF﹣DE＝70﹣40＝30（米）， 在Rt△CDF中，∠CDF＝30°， ∴CF＝DF•tan30°＝3010（米）， ∴BC＝BF﹣CF＝40﹣1023（米）， ∴楼房高度约为23米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC与OD相交于点E，连结BE． （1）求证：AE＝EC． （2）若AC＝8，DE＝2，求BE的长． 【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据平行线的性质得到OD⊥AC，再根据垂径定理证明； （2）根据勾股定理列出方程，解方程求出⊙O的半径，根据三角形中位线定理求出BC，再根据勾股定理计算得到答案． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OD∥BC， ∴∠AEO＝∠ACB＝90°， ∴OD⊥AC， ∴AE＝EC． （2）解：设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2， ∵AC＝8， ∴AE＝EC＝4， 在Rt△AOE中，OE2+AE2＝OA2，即（r﹣2）2+42＝r2， 解得：r＝5， ∴OE＝3， ∵AE＝EC，AO＝OB， ∴OE是△ABC的中位线， ∴BC＝2OE＝6， 由勾股定理得：BE2． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理、勾股定理是解题的关键． 22．（10分）跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：①∵，又∵1000＜59319＜1000000， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵93＝729，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是　两　 位数； ②它的立方根的个位数字是　7　 ； ③19683的立方根是　27　 ． （2）求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【分析】（1）利用题干中的方法分步解答即可； （2）利用题干中的方法分步解答即可． 【解答】解：（1）①∵， ∵1000＜19683＜1000000， ∴10100， ∴能确定19683的立方根是个两位数． ②19683的个位数是3， ∵73＝343，能确定59319的立方根的个位数是7． ③若划去19683后面的三位683得到数19， 而， 则23， ∴2030， 由此确定19683的立方根的十位数是2， 因此19683的立方根是27． 故答案为：①两；②7；③27； （2）①∵， ∵1000＜110592＜1000000， ∴10100， ∴能确定110592的立方根是个两位数． ②19683的个位数是2， ∵83＝512，能确定110592的立方根的个位数是8． ③若划去110592后面的三位592得到数110， 而， 则45， ∴4050， 由此确定110592的立方根的十位数是4， 因此110592的立方根是48． 【点评】本题主要考查了实数的运算，立方根的意义，本题是阅读型，熟练掌握题干中的方法和立方根的意义是解题的关键． 23．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示： x … ﹣1 2 4 m … y … y1 ﹣4 y2 y3 … （1）当y2＝﹣3时， ①求该二次函数图象的顶点坐标； ②若y1＜y3，求m的取值范围； （2）求证：． 【分析】（1）①令x＝0，求得对应的y值，然后根据二次函数的对称性即可确定顶点坐标；②根据函数图象的对称性可得：离对称轴越远，函数值越大，得到x＝m对应的点比x＝﹣1对应的点距离对称轴远，列不等式|m﹣2|＞|﹣1﹣2|，解不等式即可得解； （2）令x＝2，得到，进而表示出a﹣b，结合a＞0即可得证． 【解答】（1）解：当y2＝﹣3时， ①当x＝0时，y＝﹣3， 当x＝4时，y＝y2＝﹣3， 由二次函数的对称性可知顶点坐标为（2，﹣4）． ②∵二次函数图象的对称轴为直线x＝2，且a＞0，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∴x＝m对应的点比x＝﹣1对应的点距离对称轴远， ∴|m﹣2|＞|﹣1﹣2|，即|m﹣2|＞3， ∴m﹣2＞3或2﹣m＞3， 解得m＞5或m＜﹣1， ∴m＞4， ∴m＞5． （2）证明：由条件可知4a+2b﹣3＝﹣4， ∴， ∵a＞0， ∴． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键． 24．（12分）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接AC． （1）如图1，求证：∠BAC＝∠DAC； （2）如图2，连接BC，延长DC交AB的延长线于点E，∠AEC的平分线分别交AC，BC于点F，G，求证：CF＝CG； （3）如图2，在（2）的条件下，若G是EF的中点，且，CD＝4，求线段CF的长． 【分析】（1）连接OC，易证∠ACO＝∠DAC＝∠BAC，即可得证； （2）先证CAO＝∠BCE，再根据∠CFG＝∠CAO+∠AEF，∠CGF＝∠BCE+∠CEF，据此得证； （3）取CE的中点Q，连接QG，根据，可得AD＝8，进而可求AC、AB、BC，再证△AFE∽△CGE，即可得解． 【解答】（1）证明：如图，连接OC， ∵DC切O于点C， ∴OC⊥CD， ∴∠OCB＝90°， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝90°， ∴∠OCB＝∠ADC， ∴∠ACO＝∠DAC， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠DAC； （2）证明：如图，连接OC， 由（1）知：∠OCE＝∠OCD＝90°，∠CAO＝∠ACO， ∴∠OCB+∠BCE＝90°， ∵AB是O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠OCE， ∴∠BCE＝∠ACO， ∴∠CAO＝∠BCE， ∵EF是∠AEC的平分线， ∴∠CEF＝∠AEF， ∴∠CFG＝∠CAO+∠AEF，∠CGF＝∠BCE+∠CEF， ∴∠CFG＝∠CGF， ∴CF＝CG； （3）解：如图，取CE的中点Q，连接QG， ∵G是EF的中点， ∴GQ∥CF，， ∴∠CGQ＝∠ACB＝90°， 由（2）知：CF＝CG， ∴， 由（2）知：∠DAC＝∠BAC＝∠BCE， ∴， ∴， ∴， ∴AD＝8， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，AD＝8， ∴， ∴， ∵∠CAE＝∠GCE，∠FEA＝∠CEG， ∴△AFE∽△CGE， ∴， ∴AF＝2CG， ∵CF＝CG， ∴AF＝2CF， ∵， ∴． 【点评】本题主要考查了圆的基本性质、切线的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/31 15:50:06；用户：邢连强；邮箱：13468187680；学号：36611160 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $