期中检测必考题型（三）——乘法公式应用与拓展（3大考点8类题型）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

期中检测必考题型（三）——乘法公式应用与拓展（3大考点8类题型） 目录 一.知识回顾 1 【知识点一】乘法公式 1 【知识点二】乘法公式与最值 2 二.考点与题型精析 2 【考点一】平方差公式 2 【题型 1】构造平方差公式进行运算（4题） 2 【题型 2】平方差与图形面积问题（4题） 2 【考点二】完全平方公式 4 【题型 3】利用完全平方公式变形求值（4题） 4 【题型 4】利用完全平方公式变形求值（4题） 5 【题型 5】利用完全平方公式变形求值（4题） 5 【题型 6】完全平方公式与面积问题（4题） 5 【考点三】乘法公式综合应用与探究 7 【题型 7】乘法公式与规律探究（4题） 7 【题型 8】利用完全平方公式求最值（5题） 8 一.知识回顾 【知识点一】乘法公式 类型 运算法则 拓展延伸 平方差公式 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差. 完全平方公式 两数和（差）的平方等于这两数的平方和与这两数积的2倍的和（差）. （1） （2） （3） 【知识点二】乘法公式与最值 （1） 通过配方法求最值：得出最小值为； （2） 通过公式变形求最值：。 二.考点与题型精析 【考点一】平方差公式 【题型 1】构造平方差公式进行运算（4题） 1．（25-26八年级上·山东临沂·期末）的个位数是（    ） A．6 B．8 C．4 D．2 2．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）的个位数字为（ ） A．9 B．7 C．3 D．1 3．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）简便运算：___________． 4．（24-25八年级下·江苏南京·月考）已知实数，满足：，，则_____． 【题型 2】平方差与图形面积问题（4题） 1．（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）将边长分别为，的小正方形和大正方形按如图所示摆放.若，则图中阴影部分的总面积为_______. 3．（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． （1）请用含a，b的代数式表示________，________； （2）写出利用图形的面积关系所揭示的整式乘法公式：________； （3）利用这个公式说明既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 4．（24-25七年级上·江苏常州·期中）综合与实践 【阅读材料1】著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，几何问题也可以转化为代数问题解决． 如常用两种方法计算同一图形面积，得到等式．将边长为b的正方形如图1所示放置在边长为a的正方形中， _______（用含有a，b的代数式表示）；如图2沿虚线分割成两个形状大小相同的梯形，则_______，那么可以构建等式_______． 【阅读材料2】如图3，学校打算用长的篱笆围成长方形生物园饲养小兔．怎样围可使小兔的活动范围尽可能大？可以用以下方法探索： 将围栏抽象成长方形，设一边为，面积为，用含的代数式表示_______； 小学时我们通过列举计算S的值，观察S随x的变化规律可归纳出当长方形周长固定时，长和宽相差越_______（填“大”或“小”），面积越大：即当_______时，S最大． 【深入思考】归纳以上结论：若，则当_______（填a，b满足的关系）时，的值最大，请结合以上材料利用数轴说明． 【实践应用】如图5，为扩大小兔活动范围，现决定利用一面长度为n（）的墙扩大范围，篱笆总长12m，要求使长方形的一边包含整个墙，请直接写出当长方形一边长x满足何条件时（用含有n的式子表达），围成的面积最大． 【考点二】完全平方公式 【题型 3】利用完全平方公式变形求值（4题） 1．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知，则计算的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）若实数满足，则（    ）． A．2026 B．1013 C． D． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若，则值是__________． 4．（25-26七年级下·江苏扬州·月考）已知，则的值_____． 【题型 4】利用完全平方公式变形求值（4题） 1．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知，，求下列代数式的值． （1）； （2）； （3）． 2．（25-26八年级上·江西赣州·期末）已知，，利用乘法公式求下列各式的值： （1）； （2）． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，．求 （1）的值； （2）的值 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若，且． （1）求的值； （2）求的值． 【题型 5】利用完全平方公式变形求值（4题） 1．（25-26八年级上·河南新乡·期末）已知，则代数式的值为___________． 2．（25-26八年级上·四川德阳·月考）若，则___________． 3．（20-21八年级上·北京海淀·开学考试）已知，则___________________，_______． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，则____________．（用含的代数式表示） 【题型 6】完全平方公式与面积问题（4题） 1．（25-26九年级下·浙江台州·月考）如图，矩形的周长为16，在它的每条边上各画一个以该边为边的正方形．若四个正方形的面积和是，则矩形的面积是（    ） A．13 B．15 C．26 D．30 2．（25-26八年级上·北京西城·期末）如图，某街心公园有一块长为，宽为的长方形绿地，绿地的北侧是一个长为，宽为的长方形休闲区，绿地的东、西两侧各有一个边长为的正方形喷泉区．已知休闲区的宽与绿地的宽的和为，休闲区的面积与两个喷泉区的面积的和为，那么绿地的面积为______． 3．（25-26八年级上·福建福州·期末）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为 ． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若满足，求的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米，求的长． 4．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式． （1）请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式： 利用图1，可以得到等式：________________； 利用图2，可以得到等式：________________； 利用图3，可以得到等式：________________． （2）请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式__________； （3）结合用（2）中你得到的等式解决问题：若实数，，满足，，求的值； 【考点三】乘法公式综合应用与探究 【题型 7】乘法公式与规律探究（4题） 1．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，它的发现比欧洲早五百年左右．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等．人们发现，当是大于5的自然数时，这个规律依然成立，那么的展开式中各项的系数的和为______． 3．（25-26七年级下·江苏南京·月考）我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请你细心观察下列各式，探究其中的规律，回答问题： ， ， ， ， … （1）请根据上述规律填空：＝ ＝ ； （2）我们知道，任何一个两位数都可以表示为（个位数字为小于10的自然数b，十位数字为小于10的正整数a），根据上述规律写出： ，并说明你写的规律是正确的． 4．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）【发现规律】；；；…… （1） 【验证规律】 （2）请你用含正整数n的等式表示你所发现的规律并进行验证； 【拓展延伸】 （3）已知比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是t，则的值为 ． 【题型 8】利用完全平方公式求最值（5题） 1．（24-25八年级上·河南南阳·月考）探求多项式 的最小值时，我们可以这样处理： 解：原式 ∵无论x取什么数，都有的值为非负数， 的最小值为0，此时． 的最小值是． 即当时，原多项式有最小值． 根据上面的解题思路，多项式 的最值情况为（   ） A．有最小值22 B．有最小值24 C．有最大值22 D．有最大值24 2．（2024·江苏南通·一模）已知实数m，n满足，则的最大值为（    ） A．24 B． C． D． 3．（25-26七年级下·湖南永州·月考）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ∵， 当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是1； ∴的最小值是1． 根据上述方法，解答问题： 知识运用：若，当____时，y有最___值（填“大”或“小”），这个值是____ ． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）阅读下列材料： 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． 可知当时，有最小值，最小值是． 再例如；求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值，最大值是． （1）【直接应用】代数式的最小值为______； （2）【类比应用】若多项式，试求M的最小值； （3）【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①， ，． 当时，多项式的最小值为； ②， ，． 当时，多项式的最大值为17． 根据上述材料解决下列问题： （1）求多项式的最小值，并求出相应的x的值； （2）求多项式的最大值，并求出相应的x的值： （3）如果多项式的最小值是，那么p的值为_______； （4）如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边米，那么当____时，该花坛的面积最大，最大面积是_____平方米． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中检测必考题型（三）——乘法公式应用与拓展（3大考点8类题型） 目录 一.知识回顾 1 【知识点一】乘法公式 1 【知识点二】乘法公式与最值 2 二.考点与题型精析 2 【考点一】平方差公式 2 【题型 1】构造平方差公式进行运算（4题） 2 【题型 2】平方差与图形面积问题（4题） 4 【考点二】完全平方公式 9 【题型 3】利用完全平方公式变形求值（4题） 9 【题型 4】利用完全平方公式变形求值（4题） 11 【题型 5】利用完全平方公式变形求值（4题） 13 【题型 6】完全平方公式与面积问题（4题） 15 【考点三】乘法公式综合应用与探究 19 【题型 7】乘法公式与规律探究（4题） 19 【题型 8】利用完全平方公式求最值（5题） 23 一.知识回顾 【知识点一】乘法公式 类型 运算法则 拓展延伸 平方差公式 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差. 完全平方公式 两数和（差）的平方等于这两数的平方和与这两数积的2倍的和（差）. （1） （2） （3） 【知识点二】乘法公式与最值 （1） 通过配方法求最值：得出最小值为； （2） 通过公式变形求最值：。 二.考点与题型精析 【考点一】平方差公式 【题型 1】构造平方差公式进行运算（4题） 1．（25-26八年级上·山东临沂·期末）的个位数是（    ） A．6 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 原式中的3变形为，反复利用平方差公式计算得到结果为，再求出2的幂的个位数的规律，即可解答． 解： … ， ∵，，，，，末尾是2，4，8，6四个一组循环， ， ∴的个位数是6， 即的个位数是6， 故选：A． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）的个位数字为（ ） A．9 B．7 C．3 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方差公式计算，有理数的乘方运算，解题关键是掌握平方差公式． 先利用平方差公式计算，化简算式后，再求出（为正整数）的个位数字的规律，然后利用规律求解． 解： ∵，，，，，… ∴（为正整数）的个位数字以3，9，7，1，四个数为一循环， ， ∴的个位数字为， 故选：B． 3．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）简便运算：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，有理数的乘方运算，熟练运用平方差公式是解决此题的关键．先变形，然后再计算即可得解． 解： ， 故答案为： ． 4．（24-25八年级下·江苏南京·月考）已知实数，满足：，，则_____． 【答案】1 【分析】本题考查了运用平方差公式进行整式求值的能力，关键是能准确理解并变形运用该知识．先将两式相减并变形为，可得，代入计算即可． 解：，， ， 两式相减得，， 即， 变形得，， ， 即， ， 故答案为：1． 【题型 2】平方差与图形面积问题（4题） 1．（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的图形推导，根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可得到答案； 解：由图形可得， ， 故选：A． 2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）将边长分别为，的小正方形和大正方形按如图所示摆放.若，则图中阴影部分的总面积为_______. 【答案】 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，解题的关键是线段的和差问题，再利用面积公式计算． 利用图形可得到两个阴影部分面积的高，求出面积的表达式，用面积公式计算即可. 解：∵边长分别为，的小正方形和大正方形如图放置， ∴大三角形的高为： ，小三角形的高为： ∴图中阴影部分的总面积为： ∵ ∴ 图中阴影部分的总面积 故答案为：10 . 3．（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． （1）请用含a，b的代数式表示________，________； （2）写出利用图形的面积关系所揭示的整式乘法公式：________； （3）利用这个公式说明既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 【答案】（1），；（2）；（3）见分析 【分析】本题考查平方差公式和图形面积． （1）将图1看成大正方形减去小正方形，将图2看成一个长方形，即可解答； （2）根据即可解答； （3）根据（2）中得出的公式，将化为含有因数3、5、17的式子即可证明． 解：（1）解：，， （2）解：∵， ∴； （3）解： ， ， ∴既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 4．（24-25七年级上·江苏常州·期中）综合与实践 【阅读材料1】著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，几何问题也可以转化为代数问题解决． 如常用两种方法计算同一图形面积，得到等式．将边长为b的正方形如图1所示放置在边长为a的正方形中， _______（用含有a，b的代数式表示）；如图2沿虚线分割成两个形状大小相同的梯形，则_______，那么可以构建等式_______． 【阅读材料2】如图3，学校打算用长的篱笆围成长方形生物园饲养小兔．怎样围可使小兔的活动范围尽可能大？可以用以下方法探索： 将围栏抽象成长方形，设一边为，面积为，用含的代数式表示_______； 小学时我们通过列举计算S的值，观察S随x的变化规律可归纳出当长方形周长固定时，长和宽相差越_______（填“大”或“小”），面积越大：即当_______时，S最大． 【深入思考】归纳以上结论：若，则当_______（填a，b满足的关系）时，的值最大，请结合以上材料利用数轴说明． 【实践应用】如图5，为扩大小兔活动范围，现决定利用一面长度为n（）的墙扩大范围，篱笆总长12m，要求使长方形的一边包含整个墙，请直接写出当长方形一边长x满足何条件时（用含有n的式子表达），围成的面积最大． 【答案】[阅读材料1]；；；[阅读材料2]，小，；[深入思考]；[实践应用] 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，整式的乘法与图形的面积； [阅读材料1]图1，根据大正方形的面积减去小正方形的面积；图2根据两个梯形的面积和计算，进而得出等式； [阅读材料2]根据长方形的面积公式计算即可求解，根据列举计算S的值，观察S随x的变化规律可归纳出当长方形周长固定时，长和宽相差越小（填“大”或“小”），面积越大； [深入思考]仿照例题，构造边长为的长方形与边长为的正方形，通过比较面积，求得面积最大时，； [实践应用]根据题意表示出长方形的另一边，进而根据面积最大时，正方形的面积大于长方形的面积，得出的关系式，即可求解． 解：[阅读材料1]如图1，，如图2，， ∴ 故答案为：；；． [阅读材料2]设一边为，面积为，用含的代数式表示； 小学时我们通过列举计算S的值，观察S随x的变化规律可归纳出当长方形周长固定时，长和宽相差越小，面积越大； ∴ 解得，即当时，S最大． 故答案为：，小，． [深入思考]∵ 设，则， 当相差越小时，越大 ∴ 如图，设，四边形是正方形，边长为，， ∵，求的最大值，则大于 设为原点，则长方形的面积为，正方形的面积为， ∴当时，，此时面积最大，即取得最大值 故答案为：． [实践应用] 长方形一边长为，则另一边长为， ∴，即时，面积最大， 【考点二】完全平方公式 【题型 3】利用完全平方公式变形求值（4题） 1．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知，则计算的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题可通过换元法结合完全平方公式的变形进行求解，利用完全平方公式中平方和与乘积的关系转化计算． 解：设， ∵，且 又∵ ∴ 即 移项得 ∴ 即 故选：C． 2．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）若实数满足，则（    ）． A．2026 B．1013 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值．可通过换元法结合完全平方公式的变形求解，核心是利用完全平方公式中与、的关系推导计算． 解：设，， ∵， 又∵，且由完全平方公式得， ∴将，代入得：， 即， 解得， ∴， 即， 故选：D． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若，则值是__________． 【答案】17 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，求一个数的算术平方根，先求出的值， 进而利用完全平方公式求出的值，据此可得的值． 解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：17． 4．（25-26七年级下·江苏扬州·月考）已知，则的值_____． 【答案】36 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的代数式表示阴影部分的面积是解决问题的关键．设a=x-2021，b=x-2023，进而得出则，再进行计算即可． 解：设，则， 所以， 即， 所以， 即． 故答案为：36 【题型 4】利用完全平方公式变形求值（4题） 1．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知，，求下列代数式的值． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（）由，然后代入即可求解； （）由，然后代入即可求解； （）由，然后代入即可求解． 解：（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解：由（）得， ∵， ∴， ∴ ． 2．（25-26八年级上·江西赣州·期末）已知，，利用乘法公式求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了整式乘法的公式，掌握完全平方公式的形式和变形是解题的关键． （）利用完全平方公式变形计算即可； （）利用完全平方公式变形计算即可． 解：（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴或． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，．求 （1）的值； （2）的值 【答案】（1）157；（2） 【分析】本题考查多项式的乘法及完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式的各种变形是关键． （1）根据多项式乘多项式求出，然后利用完全平方公式进行求解即可； （2）先求出的值，再开平方进行求解即可． 解：（1）解： 将代入上式得，， ∴， 将和代入上式得， 原式； （2）解：∵， ∴将和代入上式得， 原式， ∴． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的乘法． （1）先由得到，再将代入计算即可； （2）根据完全平方公式得到，再代入计算即可． 解：（1）解：∵， ∴， 即 ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 即， ∴． 【题型 5】利用完全平方公式变形求值（4题） 1．（25-26八年级上·河南新乡·期末）已知，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式及代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 由已知方程变形得出 ，再利用完全平方公式计算所求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴两边除以得，，即， ∴． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·四川德阳·月考）若，则___________． 【答案】2 【分析】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，利用完全平方公式展开所求表达式，并代入已知条件计算，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 解：∵， ∴， 故答案为：． 3．（20-21八年级上·北京海淀·开学考试）已知，则___________________，_______． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，根据求出，，再变形后代入，即可求出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵， ∴， ∴， 除以a得：， ∴两边平方得：， ∴， ∵， ∴， ∴两边乘以2得：， ∴， 故答案为：，． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，则____________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，要对公式能够灵活变形，能够进行公式间的相互转化是解题的关键． 首先要注意看出，即：和互为倒数，同时要注意底数2与4之间的关系，即．然后把所求的式子整理为和所给等式相关的式子． 解：， ． 故答案为：． 【题型 6】完全平方公式与面积问题（4题） 1．（25-26九年级下·浙江台州·月考）如图，矩形的周长为16，在它的每条边上各画一个以该边为边的正方形．若四个正方形的面积和是，则矩形的面积是（    ） A．13 B．15 C．26 D．30 【答案】B 【分析】设，，根据周长和面积知，，利用求出的值即可得出答案． 解：设，， 由题意得，，， ，， ， ， 则长方形的面积是15平方米． 2．（25-26八年级上·北京西城·期末）如图，某街心公园有一块长为，宽为的长方形绿地，绿地的北侧是一个长为，宽为的长方形休闲区，绿地的东、西两侧各有一个边长为的正方形喷泉区．已知休闲区的宽与绿地的宽的和为，休闲区的面积与两个喷泉区的面积的和为，那么绿地的面积为______． 【答案】72 【分析】本题考查完全平方公式的几何应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 列代数式表示休闲区的面积与两个喷泉区的面积，由题意得，再根据完全平方公式求出的值，即可求解绿地的面积． 解：由题意得， 休闲区的面积为， 两个喷泉区的面积为， ， ， ． ， ， ， 绿地的面积为． 故答案为72． 3．（25-26八年级上·福建福州·期末）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为 ． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若满足，求的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）长为米 【分析】本题考查完全平方公式的实际应用，利用完全平方式的变形求值是解题关键． （1）阴影面积为两个小正方形，也可以看作大正方形减去两个矩形，由此得到等式； （2）利用（1）的结论进行计算即可； （3）将看作，看作，则，，利用（1）的结论进行计算即可． （4）设，，由题意可得，，利用完全平方公式计算得． 解：（1）解：观察图②可知，阴影部分为两个小正方形，面积和为，也可以用大正方形减去两个矩形得到，即， ∴运算为：； （2）解：由（1）的结论得：， 又∵，， ∴； （3）解：设，，则， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论得：， ∴， ∴； （4）解：设，， ∵于点， ∴（平方米），（平方米），（平方米），平方米， ∵种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ∴， ∴，即米， 答：长为米． 4．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式． （1）请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式： 利用图1，可以得到等式：________________； 利用图2，可以得到等式：________________； 利用图3，可以得到等式：________________． （2）请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式__________； （3）结合用（2）中你得到的等式解决问题：若实数，，满足，，求的值； 【答案】（1）；；；（2）；（3）3 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方式的几何背景、求代数式的值，解决本题的关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，得到相等关系． （1）用两种不同的方式表示大正方形的面积， （2）根据这两个面积相等列出等式即可； （3）根据（2）得结论，可得，再代入已知计算，即可求解． 解：（1）解：利用图1，可以得到等式：； 利用图2，可以得到等式：； 利用图3，可以得到等式：； （2）类比（1）可得： （3）， ， 即： ， ， 解得． 【考点三】乘法公式综合应用与探究 【题型 7】乘法公式与规律探究（4题） 1．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的运用，熟练掌握多项式的乘法运算和数字的变化规律是解题关键．根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案． 解：∵①， ②， ③， …， ， ． ，，，，，，的乘方运算，其末位数字分别为，，，，每个为一组，依次循环． ， 的末位数字为， 的末位数字为， 即的计算结果的末位数字为． 故选：B． 2．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，它的发现比欧洲早五百年左右．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等．人们发现，当是大于5的自然数时，这个规律依然成立，那么的展开式中各项的系数的和为______． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，规律型：数字的变化类．能依据“杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和”写出“杨辉三角”的第七行数是解题关键．的展开式的系数对应第七行的数，据图写出第七行的数求和即可． 解：根据题意可知第七行的数为：1，6，15，20，16，6，1， ∴的展开式中各项的系数分别为：1，6，15，20，16，6，1， ∴的展开式中各项的系数的和为． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·江苏南京·月考）我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请你细心观察下列各式，探究其中的规律，回答问题： ， ， ， ， … （1）请根据上述规律填空：＝ ＝ ； （2）我们知道，任何一个两位数都可以表示为（个位数字为小于10的自然数b，十位数字为小于10的正整数a），根据上述规律写出： ，并说明你写的规律是正确的． 【答案】（1），；（2），说明见分析 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类问题，能根据已知算式得出规律是解此题的关键． （1）根据已知算式得出规律，再得出即可； （2）根据已知算式得出规律，再求出即可． 解：（1）解： 故答案为：，； （2）解：， 证明：， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）【发现规律】；；；…… （1） 【验证规律】 （2）请你用含正整数n的等式表示你所发现的规律并进行验证； 【拓展延伸】 （3）已知比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是t，则的值为 ． 【答案】（1）21；（2），验证见分析；（3） 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式的应用，数字类规律的探索，负整数指数幂，正确理解题意，找出规律是解题的关键． （1）根据题干的等式找出规律即可求解； （2）根据题干的等式找出规律即可求解； （3）设整数为，则由题意得，利用完全平方公式化简得到，而是6的倍数，故余数为3，再由负整数指数幂求解即可． 解：（1）； ； ； …… ∴， 故答案为：21； （2）； ； ； …… ∴， ∵ ， ∴结论成立； （3）设整数为， 则由题意得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型 8】利用完全平方公式求最值（5题） 1．（24-25八年级上·河南南阳·月考）探求多项式 的最小值时，我们可以这样处理： 解：原式 ∵无论x取什么数，都有的值为非负数， 的最小值为0，此时． 的最小值是． 即当时，原多项式有最小值． 根据上面的解题思路，多项式 的最值情况为（   ） A．有最小值22 B．有最小值24 C．有最大值22 D．有最大值24 【答案】D 【分析】本题考查配方法及完全平方的非负性，根据题干中给定的方法，将转化为完全平方公式和一个数值的和的形式，根据非负性进行求解即可． 解：， 因为无论x取什么数，都有的值为非负数， 所以的最小值为0，此时， 所以有最大值为0， 所以的最大值是． 所以当时，原多项式的最大值是． 故选：D． 2．（2024·江苏南通·一模）已知实数m，n满足，则的最大值为（    ） A．24 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质．先将所求式子化简为，然后根据及求出，进而可得答案． 解： ； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故选：B． 3．（25-26七年级下·湖南永州·月考）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ∵， 当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是1； ∴的最小值是1． 根据上述方法，解答问题： 知识运用：若，当____时，y有最___值（填“大”或“小”），这个值是____ ． 【答案】 3 大 6 【分析】本题考查了利用完全平方公式的应用；将化为，仿照已知，即可求解；会仿照已知进行配方，利用完全平方公式的性质进行求最值是解题关键． 解： ， ∵ 当时，的值最大，最大值是0， ∴， ∴当时，的值最大，最大值是； ∴的最大值是． 故答案：，大，． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）阅读下列材料： 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． 可知当时，有最小值，最小值是． 再例如；求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值，最大值是． （1）【直接应用】代数式的最小值为______； （2）【类比应用】若多项式，试求M的最小值； （3）【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【答案】（1）；（2）最小值为；（3）围成的菜地的最大面积是 【分析】本题主要考查了完全平方式，偶次方的非负性，熟练掌握完全平方式、偶次方的非负性是解题的关键． （1）把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用完全平方式把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可； （3）设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米，利用矩形的面积公式可得，再利用完全平方式把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 解：（1）解：由题意得，， 对于任意实数x都有， ∴， 当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：． （2）解：由题意，∵ ， 当，时，M有最小值，最小值为； （3）解：由题意，设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米， ， 当时，S有最大值，最大值是， 围成的菜地的最大面积是． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①， ，． 当时，多项式的最小值为； ②， ，． 当时，多项式的最大值为17． 根据上述材料解决下列问题： （1）求多项式的最小值，并求出相应的x的值； （2）求多项式的最大值，并求出相应的x的值： （3）如果多项式的最小值是，那么p的值为_______； （4）如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边米，那么当____时，该花坛的面积最大，最大面积是_____平方米． 【答案】（1）当时，代数式的最小值为4；（2）当时，代数式的最大值为55；（3）；（4）5，25． 【分析】考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）根据阅读材料对进行配方即可求出答案； （2）根据阅读材料对进行配方即可求出答案； （3），根据阅读材料和已知条件即可求出答案； （4）由题意得到长方形的面积，根据阅读材料和已知条件即可求出答案． 解：（1）解：， ， ． 当时，代数式的最小值为4； （2）解： ， ， ． 当时，代数式的最大值为55； （3）， ， ， 当时，代数式的最小值为， 多项式的最小值是， ， ， ． 故答案为：； （4）米， （米， 长方形的面积， ， 长方形的面积， 当时，长方形的面积的最大值为25， 即时，该花坛的面积最大，最大面积是25平方米． 故答案为：5，25． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $