专题02 整式乘法16大题型（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材苏科版

专题02 整式乘法（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 单项式乘法 题型02 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型03 单项式乘法的应用 题型04 多项式乘法 题型05 （x+p）（x+q）型多项式乘法 题型06 多项式乘法中的化简求值 题型07 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型08 多项式乘多项式与图形面积 题型09 多项式乘法中的规律性问题 题型10 整式乘法混合运算 题型11 乘法公式 题型12 乘法公式与几何图形 题型13 通过对完全平方公式变形求值 题型14 求完全平方式中的字母系数 题型15 乘法公式中配方法求最值问题 题型16 乘法公式中的新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 单项式的乘法 掌握单项式乘法法则，能将系数、同底数幂分别相乘，正确处理符号与指数运算，避免漏乘字母、指数混淆及符号错误。 基础常考点，常出现在小题，也会和其他计算题一起考查 单项式乘法的应用 掌握单项式乘法法则，能运用其解决几何图形面积、体积计算及实际应用题，规范列式并准确计算。 基础常考点，注意应用的实际情况 多项式的乘法 掌握多项式与多项式相乘的法则，能按顺序逐项相乘、不重不漏，正确处理符号与合并同类项，提高运算准确性与熟练度。 重要考点，多项式乘法是必须掌握的计算法则，一般在计算题考查 整式乘法化简求值 熟练运用整式乘法法则进行化简，正确去括号、合并同类项，再代入数值计算，减少符号、漏乘与计算错误。 必考点之一，主要是先化简，再求值，解答题必有一道，一般5分左右 多项式乘法与图形面积 能利用多项式乘法推导并计算图形面积，建立几何直观与代数运算的联系，正确列式、化简并解决实际问题。 重要考点，注意多项式乘法与图形面积的表示 整式乘法混合运算 熟练运用单项式、多项式乘法法则，分清运算顺序，正确处理符号、括号与同类项合并，避免漏乘、错符号、乱合并等问题，提升综合运算准确性。 必考点之一，要注意混合运算的顺序 乘法公式 熟记平方差公式与完全平方公式的结构特征，能准确识别公式形式、正确套用公式计算，区分两个公式的差异，避免符号、系数及平方项错误，熟练进行公式的正用与逆用。 高频考点，掌握平方差公式和完全平方公式，所有题型均有可能考查； 乘法公式与几何图形 能通过几何图形的面积拼接、分割理解乘法公式的几何意义，会用面积法推导平方差和完全平方公式，结合图形正确列式计算，提升数形结合应用能力。 核心考点，也是期中考试的必考内容，一般在大题考查，分值在8分左右； 完全平方公式的变形求值 掌握完全平方公式的常见变形，熟练运用 a2+b2=(a+b)2−2ab 等关系，已知两数和、差、积中任意两个求第三个，避免符号与系数错误，提升灵活变形求值能力。 重要考点，一般在小题中考查，3分左右 知识点01 单项式乘单项式 1.单项式乘单项式的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 2.单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里 3.要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 知识点02 单项式乘多项式 【法则】单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 知识点013 多项式乘多项式 1.多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2.运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 知识点04 完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍. 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点05 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 知识点06 平方差公式 1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)= 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 知识点07 平方差公式的几何背景 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 题型一 单项式乘法 易｜错｜点｜拨 1、系数相乘时漏乘、符号搞错（负负得正、一正一负得负）。 2、同底数幂相乘把指数相加算成相乘，或漏掉字母因式。 3、只乘系数不乘字母，或只乘字母不乘系数。 4、有乘方时先算乘方再算乘法，顺序容易颠倒。 5、结果没按规范整理：同类字母没合并、系数没化简。 【典例】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘法运算，掌握单项式乘法法则：系数相乘，同底数幂相乘底数不变、指数相加进行计算是解题的关键． 根据单项式的乘法法则直接求解． 【详解】． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式与单项式的乘法运算，需运用单项式乘法法则：系数相乘，同底数幂相乘时底数不变，指数相加． 【详解】解： 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏·期中）计算： (1)　　； (2)　　； (3)　　； (4)　　． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题． （2）根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题． （3）根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题． （4）根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题． 【详解】（1）解：； 故答案为：． （2）解：； 故答案为：． （3）解：； 故答案为：． （4）解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的乘法法则是解决本题的关键． 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 【典例】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若＝－10，则m－n等于（   ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 【答案】B 【分析】首先根据单项式乘单项式的运算法则计算求出m，n的值，然后代入计算即可． 【详解】 ∴ ∴ 解得 ∴m－n=1-2=-1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握单项式乘单项式的运算法则是关键． 【变式1】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知，则代数式的值为（    ） A．0 B．2 C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，先求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·期中）若，则的值为 __． 【答案】4 【分析】先利用单项式乘单项式法则计算，再根据等式得到指数间关系，最后求出． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴①，②． ∴，得． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了整式的运算，掌握单项式乘单项式法则是解决本题的关键． 【变式3】（2025七年级下·江苏·专题练习）若，则求的值． 【答案】． 【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型三 单项式乘法的应用 【典例】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）边长分别为和a的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的运算的应用，关键是用代数式表示出阴影部分的面积．根据已知图形得出阴影部分的面积是：求出即可． 【详解】解：边长分别为和a的两个正方形，阴影部分的面积是： ， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）长和宽分别为，和，的长方形与长方形如图摆放，其中点B、C、E三点在同一条直线上，图中空白部分面积记为，阴影部分面积记为，若想要得到的值，只需要测量的线段为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法与图形面积，熟练掌握长方形的性质，三角形的面积公式，整式的加减运算是解决问题的关键． 依题意得，根据三角形和长方形的面积公式得，进而得，，则，据此即可得出答案． 【详解】解：依题意得， ， ， ∵，     ， ， ∴想要得到的值，只需要测量的线段和的长即可． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，边长分别为a和b的两个正方形拼接在一起，若，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法与图形面积，熟练掌握计算公式是解题的关键；图中阴影部分的面积等于一个梯形的面积减去两个直角三角形的面积，列式计算即可得答案． 【详解】解：去掉，补上，则剩余部分为一个直角梯形， 图中阴影部分的面积为： ∵， ∴图中阴影部分的面积为：， 故答案为： 【变式3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知用7个完全相同的长、宽分别为，的小长方形（如图1）和两个阴影长方形，拼成1个宽为10的大长方形（如图2）． (1)大长方形的长为________，阴影长方形的面积为________；（用含，的代数式表示） (2)若，求阴影长方形与阴影长方形的周长的和． 【答案】(1)； (2)44 【分析】本题主要考查了列代数式，整式的加减计算，单项式乘多项式，正确理解题意是解题的关键． （1）由图可知，大长方形的长为；阴影长方形的长为，宽为，再根据长方形的面积公式求解即可； （2）分别表示出阴影和阴影的长和宽，再求出阴影和阴影的周长和，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，大长方形的长为； 阴影长方形的长为，宽为， 则阴影长方形的面积． 故答案为：  ； （2）解：由题意，知阴影长方形的长为，宽为，阴影长方形的长为，宽为， ∴阴影长方形的周长为，阴影长方形的周长为， ∴阴影长方形与阴影长方形的周长的和为． ，则，即阴影长方形与阴影长方形的周长的和为44． 题型四 多项式乘法 易｜错｜点｜拨 1、漏项：相乘时没做到逐项相乘，少乘某一项。 2、符号错：括号前是负号时，每一项都要变号，经常只变一部分。 3、合并同类项错：该合并的没合并，或加减算反。 4、指数错：同底数幂相乘指数乱加、乱乘。 5、结果没按降幂 / 升幂整理，格式不规范。 【典例】（24-25七年级下·江苏·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了多项式乘多项式、单项式乘多项式以及整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则并按步骤进行计算； （1）先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可； （2）先分别根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则展开，再将展开式相加，合并同类项即可； （3）先分别根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则展开，再将展开式相减，合并同类项； （4）先分别根据多项式乘多项式法则展开，再将展开式相加，合并同类项； （5）先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解： ． （5）解： ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查多项式与多项式的乘法运算及整式的加减运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，之后合并同类项化简． （1）需要运用多项式乘法的分配律，将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，再合并同类项； （2）可以通过多项式乘法展开后合并同类项； （3）先计算多项式乘法，再去括号，最后合并同类项，注意去括号时符号的变化； （4）运用多项式乘法的分配律，将和分别与后面的三项式相乘，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查多项式乘多项式、单项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）直接利用单项式乘多项式法则进行计算； （2）先利用多项式乘多项式、幂的运算、单项式乘单项式法则进行计算，然后合并同类项即可； （3）先利用多项式乘多项式法则进行计算，然后合并同类项即可； （4）先利用多项式乘多项式法则进行计算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型五 （x+p）（x+q）型多项式乘法 【典例】（24-25七年级下·山东青岛·期中）试说明对于任何正整数n，式子的值都能被3整除． 【答案】见解析 【分析】先将原式展开并合并同类项进行化简，若化简结果为与某个整数的乘积，则可说明原式的值能被整除 【详解】证明：原式 又是正整数 是正整数 是的倍数 即对于任何正整数，式子的值都能被整除 【变式1】（24-25七年级下·江苏·期中）在整式的乘法中，不少运算是有规律可循的，只要细心探究，总结出规律．阅读下面的计算过程，回答问题 计算下列各式： ①；②． 解：①原式 ； ②原式 ． (1)观察上式，比较它们的计算结果，并填空：________． (2)用你发现的规律直接写出下列各式运算结果． ①________；     ②________； ③________；  ④________． 【答案】(1) (2)①②③④ 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式． （1）观察阅读材料得到结果即可； （2）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④． 故答案为：①；②；③；④． 【变式2】定义：对于依次排列的多项式（，，，是常数），当它们满足，且为常数时，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．如对于多项式，因为，所以，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． (1)已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子． (2)若a，b，c，d是一组平衡数，，请写出一组b，c的值， (3)当a，b，c，d之间满足什么数量关系时，它们是一组平衡数？请说明理由． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3)当时，a，b，c，d是一组平衡数 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键在于观察两个展开式中各项之间的关系，通过观察，我们会发现，． （1）直接根据定义计算的值； （2）根据定义表示平衡数的平衡因子，令一次项的系数为，代入可得结论； （3）根据（2）可得，，，之间满足的数量关系式． 【详解】（1）解： （2）由题意，得 ， 因为，，是常数，所以，即，所以，的值可以是．（答案不唯一，满足即可） （3）， ，，，都是常数，所以当时，是常数，即当时，，，，是一组平衡数 【变式3】（24-25七年级下·江苏·期末）计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 【答案】(1)，，，， (2)①；② (3)19，11，9，，， 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则即可得，然后总结规律即可； （2）根据上面的结果，归纳类推出一般规律即可得； （3）运用（1）的规律即可得． 【详解】（1）；； ；； ∴； （2）①； ②； （3）∵ ∴， ∵均为整数， ∴当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 综上所述，满足条件的k的值可以是19，11，9，，，． 题型六 多项式乘法中的化简求值 易｜错｜点｜拨 先按法则逐项相乘不重不漏，注意符号变号，再合并同类项化简，最后代入数值计算；易错在漏乘、符号错、代入时漏括号或运算顺序乱。 【典例】（2026七年级下·江苏·期中）先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)，； (2)；1 【详解】（1）解： ， 当， 时， 原式； （2）解： ， 当，时， 原式． 【变式1】（24-25七年级下·江苏·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】根据多项式的乘法法则化简原式后代入的值． 【详解】解：原式 当时，原式． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，正确化简各式是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可； （2）先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式； （2）解： ， ∵， ∴原式． 【变式3】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）老师布置了这样一道作业题：“先化简，再求值，其中”小明同学把“”错抄成“”，但他的计算结果却是正确的，你知道原因吗？ 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．利用多项式乘多项式，单项式乘多项式运算法则化简原式，可知该式的结果与的值无关，即可说明他的计算结果是正确的． 【详解】解： ； 则该式的结果与的值无关， ∴无论取何值，结果都为， ∴小明的计算结果是正确的． 题型七 已知多项式乘积不含某项求字母的值 易｜错｜点｜拨 1、展开后漏项、符号错，导致同类项合并错误。 2、不含某一项，是该项系数为 0，常把常数项、字母系数一起漏掉。 3、只合并部分同类项，没把对应项系数全部合并再令其为 0。 4、解方程求字母时计算出错，忽略系数含字母的情况。 5、忘记检验结果是否使原式有意义。 【典例】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为2，则的值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】根据题意先求出的值，即可得出，求出a、b的值，代入求值即可． 【详解】解：∵， 又∵展开式中不含x的二次项，且常数项为， ∴，解得：， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·山东聊城·期中）若乘积中不含和项，则（ ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先利用多项式乘多项式法则、合并同类项法则化简整式，再根据不含某项得到方程，求解方程得到结论． 【详解】解： ， ∵乘积中不含和项， ∴，， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·浙江·期末）已知，若b不影响W的取值，则常数______． 【答案】2 【分析】先根据整式乘法法则展开原式，合并同类项后，根据b不影响W的取值可知，W中所有含b的项的系数为0，据此列一元一次方程求解即可得到k的值． 【详解】解： ， 因为b不影响W的取值，所以含b的项的系数为0，即， 解得． 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，有这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把、看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为．故原式，∵代数式的值与的取值无关，∴，解得． 【理解应用】 （1）若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为________； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值； 【能力提升】 （3）将七张如图1的小长方形（长为，宽为）按图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个阴影部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，单项式乘以多项式在几何图形中的应用，多项式乘法中的无关型问题，正确理解题意是解题的关键． （1）把原式合并同类项，再令含x的项的系数为0，据此列式求解即可； （2）根据整式的相关计算法则求出的展开结果，，再令含x的项的系数为0，据此列式求解即可； （3）根据题意分别用a、b、的长表示出，进而表示出，再根据的值与的长无关列式求解即可． 【详解】解：（1）∵关于的代数式的值与的取值无关， ∴， ∴； （2）∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴； （2）由题意得，，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴， ∴． 题型八 多项式乘多项式与图形面积 【典例】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）一些平面几何图形的面积，可以用代数恒等式来表示． 例如：图①就可以用等式来表示该几何图形的面积． (1)请写出图②所表示的代数恒等式：__________________； (2)请写出图③所表示的代数恒等式：__________________； (3)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）图（2）中，大长方形面积为，图形中包括了两个边长为x的正方形，三个边长为x、y的长方形，一个边长为y的正方形，根据面积关系得出代数恒等式； （2）图（3）中，大长方形面积为，图形中包括了两个边长为x的正方形，五个边长为x、y的长方形，二个边长为y的正方形，根据面积关系得出代数恒等式； （3）根据题意，画出长为，宽为的长方形，再将图形划分，利用面积关系说明等式． 【详解】（1）解：由图（2）的面积关系可知，； 故答案为； （2）解：由图（3）的面积关系可知，； 故答案为； （3）解：以长为，宽为画长方形，如图所示， 由图可知，． 【变式1】（25-26八年级上·江西南昌·期中）有若干块图1中的长方形和正方形硬纸片，可以拼成如图所示的长方形． (1)用两种不同的方法，表示图2中长方形的面积； ①____________；②____________． 然后用①②的计算结果，用一个等式表示为____________． (2)用这种方法图3可以用一个等式表示为____________． 利用这个等式解决下面问题；若，，求的值． 【答案】(1)①；② (2)，36 【分析】（1）用两种不同的方法表示即可； （2）首先得到，然后整体代入求解． 【详解】（1）解：图2中长方形的面积可以表示为①；也可以表示为②； （2）解：图3可以用一个等式表示为； ∵，， ∴ ∴． 【变式2】（25-26七年级上·广东茂名·期末）综合与实践 【问题情境】 某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 【动手操作】 方法一：根据图1的方式，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制作一个无盖的长方体盒子． 方法二：根据图2方式，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制作一个有盖的长方体纸盒． 【问题解决】 (1)若，求用方法一制作的无盖长方体纸盒的体积； (2)用含的代数式表示方法二制作的有盖长方体纸盒的表面积，若，则该有盖的长方体纸盒的表面积为多少？ 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查几何图形，多项式乘以多项式计算，代数式求值，求立体图形的体积和表面积，根据题意正确得出立体图形的长宽高是关键． （1）根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长－两个小正方形的边长，再根据图形求出长方体纸盒的长宽高即可求出体积； （2）根据图2的裁剪，表示出长、宽、高进而求出体积． 【详解】（1）解：该长方体纸盒的底面正方形边长为：， 该长方体纸盒的体积为：； （2）解： 裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为：， 裁剪后折叠成长方体的高为：． 长方体纸盒的表面积为 ， 当时，表面积 【变式3】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）阅读理解：如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． 若选取1号卡片1张、2号卡片1张、3号卡片2张，拼成一个正方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系可说明图中所表示的数学等式为：； 知识应用：（1）填空：如图2，选取1号卡片2张、2号卡片2张、3号卡片5张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系可说明图中所表示的数学等式为 ； （2）填空：小明想拼出一个面积为的长方形，需选取1号卡片 张，2号卡片 张，3号卡片 张； （3）现有1号、2号、3号卡片各9张，请你设计：从这27张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形（按原卡片不重叠无缝隙），画出你的拼法设计； 拓展迁移： （4）将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，卡片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，卡片间有重叠，记图中阴影部分面积为．如果，求2号卡片的边长． 【答案】（1）；（2）4；3；8；（3）见解析；（4）2号卡片的边长为4 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方式的结构特征以及多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图形的面积即可； （2）根据多项式乘多项式的计算方法求出，再根据各种卡片的面积得出答案； （3）根据完全平方式的特点以及各个卡片的面积进行解答即可； （4）设长方形的长为x，则宽为，分别求出与，再求得，从而得解． 【详解】解：（1）拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为， ∴． （2）1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为， 所以需要1号卡片4张，2号卡片3张，3号卡片8张， 故答案为：4，3，8； （3）∵拼成的图形是正方形（按原卡片进行无空隙、无重叠拼接） ∴边长一定是完全平方式， ∵1号、2号、3号卡片各9张的总面积为：， ∴拼成的正方形的面积较大的是或或（面积更小的舍去）， 此时正方形的边长分别为：， ∵， ∴最大正方形的边长为， 画图如下： （4）设长方形的长为x，则宽为． 由题意：， ， ∴， ∴， ∴，即2号卡片的边长为4． 题型九 多项式乘法中的规律性问题 【典例】（24-25七年级下·江苏南京·期中）根据规律求解： (1)计算下列各式： ______； ______； ______； … 观察上面等式，把下面表示等式规律的内容填写完整； ______． 根据上面规律解决下列问题： (2)证明这个等式． (3)计算：； (4)直接写出：的计算结果． 【答案】(1)；；； (2)见解析 (3) (4) 【分析】此题考查了乘法公式的应用，会用规律进行逆向思维的应用是解决此题的关键． （1）根据乘法公式进行计算即可； （2）根据乘法公式进行证明即可； （3）令，由上述规律可得：，即可得到答案； （4）分别求出和，两式相减即可得到答案． 【详解】（1）解：； ； ； ； 故答案为：；；；； （2）证明：设， 则， 展开，，， 两式相加得：， 即； （3）解：令， 由上述规律可得：， 故 （4）解：令， ， ， 而， ， ． 【变式1】（25-26七年级下·江西九江·期中）课本再现：我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图）．此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下： (1)根据规律写出的展开式：___________． (2)根据规律写出的展开式：___________． (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)64 【分析】（1）根据给定的式子推导出的展开式即可； （2）将代入（1）中的结论，即可得出结果； （3）根据算式的特点，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴当时：； （3）解： ， 符合展开式（系数为）， ∴ ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d． （1）用含a的代数式表示b，c，d． （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【拓展探究】 （3）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （4）若，，试比较x，y的大小，并说明理由． （5）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且，．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1~31），请求出所有可能的m值． 【答案】（1）；（2）结论是0，理由见详解；（3）结论是，理由见详解；（4），理由见详解；（5）m的所有可能的值为14、16、19、26 【分析】本题主要考查整式运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据月历特征可进行求解； （2）根据题（1）可进行求解； （3）根据题（1）可进行求解； （4）分别根据多项式乘以多项式得出x、y的值，然后问题可求解； （5）由题意易得48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，然后根据题意得出a、b所有可能的值，进而问题可求解． 【详解】解：（1）由题意得：； （2）我发现的结论是0，理由如下： 由（1）可知： ； （3）我发现的结论是，理由如下： 由（1）可知： ； （4） ； ； ∵， ∴； （5）由题意得：48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48， ∵a，b可表示某月中两个日期的编号（1~31）， ∴当或24时，或2，此时； 当或16时，或3，此时； 当或12时，或4，此时； 当或8时，或6，此时； ∴m的所有可能的值为14、16、19、26． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数．                                                      1      1  1                                        1  2  1                               1  3  3  1                      1  4  6  4  1         1  5  10  10  5  1 (1)观察的展开式，各项系数和是______；猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和______（结果用含字母n的代数式表示）； (2)利用材料中的规律计算： ①写出的展开式 ② 【答案】(1)64， (2)①，②1 【分析】本题考查了数字的变化类、列代数式、多项式，解答本题的关键是明确题意，发现多项式系数的变化特点，求出所求式子的值． （1）由已知式子列出的展开式，再计算出各项系数和即可；根据规律发现可知，（n取正整数）的展开式的各项系数之和为； （2）①根据前面发现的规律，将所求式子变形，即可运用发现的规律解答本题即可； ②利用的展开式，将式子转化为，计算得1． 【详解】（1）解：， ∴各项系数和为：， ∵的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， ……， ∴（n取正整数）的展开式的各项系数之和为， 故答案为：64，． （2）解：① ； ②观察式子， 将原式与进行比较，可发现当，时，两者形式完全相同， ∴原式． 题型十 整式乘法混合运算 【典例】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查代数式的化简与求值，非负数的性质，掌握好相关知识是关键． 先按照整式混合运算的法则进行化简，再根据非负数的性质求出和的值，代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵，， ∴，且， ∴，， 当，时， 原式， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算和整式的乘法运算． （1）根据乘方、零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算即可； （2）先计算整式乘法，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得解； （2）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算加减即可得解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先进行积的乘方运算，再用单项式乘以单项式计算即可 （2）用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，最后合并同类项； （3）先计算单项式乘以多项式，最后合并同类项 【详解】（1）解：      ； （2）解： ； （3）解： ． 题型十一 乘法公式 易｜错｜点｜拨 1、混淆平方差与完全平方，把 (a+b)2当成 a2+b2。 2、完全平方漏中间 2ab 项，或符号搞错。 3、系数、括号没平方，如 (2a)2=2a2。 4、逆用公式时结构对不上强行套用。 5、符号处理错误：(−a−b)2 容易变号出错。 6、公式变形时加减搞反，如 a2+b2=(a+b)2+2ab。 【典例】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）化简． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用积的乘方和乘法公式计算即可； （2）变形后利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1】（24-25六年级下·山东泰安·期中）用乘法公式进行计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式进行求解； （2）利用完全平方公式进行求解； （3）利用平方差公式和完全平方公式进行求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式2】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算，最后合并同类项即可； （2）先根据平方差公式进行计算，最后合并同类项即可； （3）先根据积的乘方的逆运算化简，再根据平方差公式，完全平方公式进行计算即可； （4）先根据平方差公式，完全平方公式进行计算，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将式子变形为，再计算平方差公式，然后计算完全平方公式即可； （2）先计算多项式乘以多项式，再计算整式的加减即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型十二 乘法公式与几何图形 易｜错｜点｜拨 1、看图列代数式时边长看错、面积算错，把小正方形边长当成大正方形边长。 2、用面积法推导公式时，分割或拼接后漏算 / 多算某块面积。 3、把完全平方的几何模型当成平方差，或反过来，公式与图形不对应。 4、含字母边长列式时，符号、括号、系数忘记整体处理。 5、利用面积列等式后，化简计算出错，不会数形互化。 【典例】（24-25八年级上·江苏南通·期中）图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．    (1)图2中的阴影部分的面积为 ； (2)观察图2，三个代数式，，之间的等量关系是 ； (3)若，，则 ；（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据阴影部分的面积等于右边大正方形的面积减去左边矩形的面积进而得出答案； （2）由（1）中计算过程可得答案； （3）根据（2）中的等式可得答案． 【详解】（1）解：图2中的阴影部分为正方形，边长为，则面积为． 故答案为：； （2）解：左边图形的面积， 右边的大正方形面积， 则阴影部分的面积， 因此三个代数式，，之间的等量关系为： ； 故答案为：； （3）解：由（2）得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的背景知识以及完全平方公式的变形，解题的关键是认真观察图形，用不同的形式表示图形的面积． 【变式1】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）阅读下列材料： 利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求的最小值． 解：． 因为不论取何值，总是非负数，即．所以， 所以当时，有最小值，最小值是1. 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：__________=_____； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)如图1所示的长方形边长分别是，面积为；如图2所示的长方形边长分别是，面积为，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)64，8； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】（1）根据完全平方式即可确定； （2）先配方成，进一步求出最小值； （3）分别表示出和，再计算，即可比较大小． 【详解】（1）， 故答案为：64；8； （2）， 当时，的最小值为； （3）∵， ． ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了配方法的应用，完全平方公式，多项式乘多项式，单项式乘多项式等知识，熟练掌握配方法是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图a是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图b的形状，拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法① ．方法② ； (2)观察图b，请你写出三个代数式，，mn之间的等量关系是 ； (3)若，，利用（2）题中提供的等量关系计算： ； (4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来解释，如图C，它表示了，现有一个代数恒等式，请用一个几何图形的面积来解释它的正确性． 【答案】(1)， (2) (3) (4)见解析 【分析】（1）根据阴影部分的面积可以看作正方形的面积减去四个长方形的面积或边长为的正方形的面积，即可列式； （2）根据阴影部分的面积相等可得答案； （3）由（2）可得，代入，求值即可； （4）根据等式的意义画出符合要求的图形即可． 【详解】（1）解：方法①：大正方形的面积减去四个长方形的面积，即阴影部分的面积为，方法②：看作边长为的正方形的面积，即阴影部分的面积为， 故答案为：， （2）根据阴影部分的面积相等可得：，即，，mn之间的等量关系是：， 故答案为： （3）由（2）可得， 若，， 则， ∴， 故答案为： （4）如图所示， 图形面积可以表示为长为，宽为的大长方形的面积，即；还可看作四个正方形的面积与四个小长方形的面积之和，即， ∴． 【点睛】此题主要考查了整式的乘法与几何图形面积之间的联系，从几何的图形来解释多项式乘法的意义．解此类题目的关键是正确的分析图形，找到组成图形的各个部分，并用面积的两种求法作为相等关系列式子． 【变式3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2） (1)观察图2请你写出、、之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的结论，若，，则______； (3)拓展应用：若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别用含a和b的代数式表示可得出答案； （2）由（1）可得出，据此即可得出答案； （3）根据完全平方公式得出，再代入，据此即可得出答案． 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为，内部小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为， 由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和， 即． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴． ∴． 故答案为：； （3）解：∵ ， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查整式的化简求值、完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解题的关键． 题型十三 通过对完全平方公式变形求值 【典例】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)； 【答案】(1) 10 (2) 【分析】利用完全平方公式变形计算即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：. 【变式1】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）按要求完成下列计算： (1)已知：，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)7 (2)16 【分析】（1）利用完全平方公式的变形求解； （2）令，则，，代入原式求出，即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：令，则，， ， ， ， 解得， ． 【变式2】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）将完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．试通过完全平方公式变形，解决下列问题． (1)已知求的值； (2)如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和求图中阴影部分的面积； (3)若求的值． 【答案】(1)22 (2)2 (3)52 【分析】（1）利用完全平方公式变形计算即可； （2）设，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可； （3）先求出的值，再利用，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴； （2）解：设， 则：， ∴， ∴，即阴影部分的面积为2； （3）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·河南南阳·期中）用4块相邻两边长分别为，的小长方形，拼成如图所示的“回形”正方形． (1)根据图形，请你用等式表示，，之间的数量关系：______； (2)结合（1）中的结论，如果，，求的值； (3)结合以上结论，如果，求的值． 【答案】(1) (2)的值为15或 (3) 【分析】（1）用代数式表示图中各个部分的面积，再根据各部分的面积之间的关系，即可得出答案； （2）根据（1）中的结论，再利用平方差公式进行计算即可； （3）将和分别看作一个整体，结合（1）中结论即可求解． 本题主要考查了完全平方公式的几何背景以及平方差公式的运用，熟练掌握平方差和完全平方公式的计算方法进行求解是解决本题关键． 【详解】（1）解：由题可知，大正方形的面积等于四个长方形的面积加小正方形的面积， ． （2）解：，，， ． 或． ， ∴当时，； 当时，． 综上，的值为或． （3）解：设，，则， ． ． ． 故答案为：． 题型十四 求完全平方式中的字母系数 【典例】（25-26七年级下·江苏南通·期中）若是一个完全平方式，则k的值为（    ） A．或3 B．或4 C．5或3 D．5或 【答案】D 【分析】根据题意可得两平方项为，据此根据完全平方式的特点得到一次项系数满足的条件，解对应的方程即可． 【详解】解：∵多项式是完全平方式， ∴一次项系数满足， 当时，解得； 当时，解得； 因此的值为或． 【变式1】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知二次三项式是一个完全平方式，则__________． 【答案】5或 【详解】解：根据完全平方式特征可得， 解得或． 【变式2】（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）已知关于x，y的多项式是完全平方式，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了对完全平方式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：关于x，y的多项式是完全平方式， ， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·河北承德·期末）阅读理解：所谓完全平方式，就是对于一个整式如果存在另一个整式，使得，则称完全平方式．例如，，，则，均为完全平方式． (1)下列各式中是完全平方式的是 （只填序号）． ①；②；③；④ (2)将（1）中所选的完全平方式写成一个整式的平方的形式． (3)若是完全平方式，求的值． 【答案】(1)①④ (2)①；④； (3)． 【分析】（1）根据所谓完全平方式，就是对于一个整式如果存在另一个整式，使得，则称完全平方式解答即可； （2）根据幂的乘方的运算法则及完全平方式解答即可； （3）根据完全平方式解答即可． 【详解】（1）解：∵，对于一个整式如果存在另一个整式，使得， 故①属于完全平方式， ∵，对于一个整式如果不存在另一个整式，使得， 故②不属于完全平方式， ∵，对于一个整式如果不存在另一个整式，使得， 故③不属于完全平方式， ∵，对于一个整式如果存在另一个整式，使得， 故④属于完全平方式， 故答案为：①④； （2）解：①； ②； （3）解：∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方式，幂的乘方的运算法则，熟记完全平方公式是解题的关键． 题型十五 乘法公式中配方法求最值问题 【典例】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式 的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法∶ 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当 时，有最小值是 (2)多项式有最 （填“大”或“小”）值，该值为 (3)已知，求的最值 (4)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1)； (2)大；19 (3) (4)9 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）化成完全平方公式和的形式计算即可； （3）把原式化成再利用完全平方公式计算即可； （4）化成完全平方公式和的形式计算出、的值，再根据三角形三边关系判断即可． 【详解】（1） ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． 故答案为，； （2） ∵ ∴当时，的值最大，最大值是0． ∴． ∴当时，的值最大，最大值是． 故答案为：大，19； （3）∵， ， ∴ ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． （4）， ， 边长的范围为． ，，都是正整数， 边长的值为4，则的周长为 【变式1】（2024七年级下·江苏·期中）我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下： 解：， ，∴当时，的值最小，最小值是， ∴，∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是． 请你根据上述方法，解答下列各题． (1)知识再现：当______时，代数式的最小值是______； (2)知识运用：若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)， (2)，大， (3) 【分析】（1）根据完全平方公式将原式整理后即可确定最小值； （2）将等式右边配方后即可确定当取何值时能取到最小值； （3）首先得到有关的关系式，根据完全平方公式将原式整理后确定最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴当时有最大值； 故答案为：，大，； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为． 【点睛】本题考查完全平方公式及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·四川巴中·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1 ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1 ∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 （1）当x＝　 　时，代数式x2﹣6x+12有最小值；最小值是　 　； （2）若y＝﹣x2+2x﹣3，请判断y有最大还是最小值；这个值是多少？此时x等于哪个数？ （3）若﹣x2+3x+y+5＝0，则y+x=　 　（用含x，y的代数式表示） 请求出y+x的最小值． 【答案】（1）3，3；（2）有最大值-2，此时x＝1；（3）x²-2x-5，-6． 【分析】（1）配方后即可确定最小值； （2）将函数解析式配方后即可确定当x取何值时能取到最小值； （3）首先得到有关x＋y的关系式，然后配方确定最小值即可； 【详解】（1）∵x2−6x＋12＝（x−3）2＋3， ∴当x＝3时，有最小值3； 故答案为3，3． (2) ∵y＝−x2＋2x−3＝−（x−1）2−2， ∴当x＝1时有最大值−2； 故y＝﹣x2+2x﹣3有最大值-2，此时x＝1． (3) ∵−x2＋3x＋y＋5＝0， ∴x＋y＝x2−2x−5＝（x−1）2−6， ∵（x−1）2≥0， ∴（x−1）2−6≥−6， ∴当x＝1时，y＋x的最小值为−6． 故答案为：x2−2x−5，y＋x的最小值为−6． 【点睛】考查了完全平方公式的应用及非负数的性质，解题的关键是能够对二次三项式进行配方，难度不大． 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：的形式． 我们规定：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”、理由：因为，所以是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（填序号）． ①；②；③；④． 探究问题： （2）若（为常数），则的值________； （3）已知（是整数，是常数），当=______时，为“完美数”． 拓展应用： （4）已知实数满足，则的最小值是_______． 【答案】（1）①，③；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据“完美数”的定义即可求解； （2）根据配方法即可求解； （3）根据配方法写出两个式的平方和的形式即可求解； （4）根据配方法，以及非负数的性质即可求解． 【详解】解：（1）①， ∴是“完美数”， ② ∴不是“完美数”， ③ ∴是“完美数”， ④∵ ∴不是“完美数”， （2）∵ ∴ ∴； 故答案为：． （3） ∴当时， 则 故答案为：． （4）∵ ∴ ∴ ∵ ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了新定义，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 题型十六 乘法公式中的新定义问题 【典例】（24-25八年级上·河南许昌·期末）在学习有关整式的知识时我们发现-一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2-2x+3，由于x2-2x+3=（x-1）2+2，所以当x-1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2-2x+3的值是相等的．例如，当x-1=±1，即x=2或0时，x2-2x+3的值均为3；当x-1=±2，即x=3或-1时，x2-2x+3的值均为6．于是给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x-t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x=t对称．例如x2-2x+3关于x=1对称．请结合上面的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式x2-4x+6关于x= 上对称； (2)若关于x的多项式x2+2mx+3关于x=3对称，求m的值． 【答案】(1)2 (2)−3 【分析】（1）根据材料方法可得x2−4x＋6＝（x−2）2＋2，进行计算即可解答； （2）根据材料方法可得x2＋2mx＋3＝（x＋m）2＋3−m2，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： x2−4x＋6＝（x−2）2＋2， ∴多项式x2−4x＋6关于x＝2对称， 故答案为：2； （2）x2＋2mx＋3＝（x＋m）2＋3−m2， ∴多项式x2＋2mx＋3关于x＝−m对称， ∵关于x的多项式x2＋2mx＋3关于x＝3对称， ∴−m＝3， ∴m＝−3， ∴m的值为−3． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形和应用，熟练掌握完全平方式是解题的关键． 【变式1】定义：若，则称与是关于1的单位数． (1)3与______是关于1的单位数，与______（填一个含的式子）是关于1的单位数； (2)若，，判断与是否是关于1的单位数，并说明理由． 【答案】(1)4或2；或 (2)A与B是关于1的单位数．理由见解析 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵或， ∴3与4或2是关于1的单位数； ∵，， ∴与或是关于1的单位数， 故答案为：4或2；或； （2）解： ； 故与是关于1的单位数． 【变式2】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 【答案】(1)B是A的“友好多项式”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和新定义，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）先根据题意，利用多项式乘多项式法则，求出C，然后根据已知条件中的新定义进行判断即可； （2）先计算，再根据B是A的“特别友好多项式”，得到的结果只有两项，据此求解即可． 【详解】（1）解： B是A的“友好多项式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∴满足C的项数比A的项数多1， ∴B是A的“友好多项式”； （2）解： ， 依题意，乘积结果为两项式，故项与项的系数需为0，即且， 解得：． 【变式3】（24-25七年级下·四川成都·期中）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． 根据上述规定解决下列问题： (1)计算； (2)若是一个完全平方式，求常数的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1)14 (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式混合运算，完全平方公式的变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义计算求出，然后再根据完全平方公式，即可求出k的值； （3）原式利用题中的新定义计算得出，根据，得出，求出的值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得：． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式计算即可得解，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 根据完全平方公式的几何背景，结合面积之间的和差关系进行判断即可． 【解答】解：选项A中的阴影部分的面积可以用来解释， 故选：A． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若代数式可化为，则（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式将原代数式转化为给定形式，比较系数列方程求解． 【详解】由题知，， 又， ， 解得， ， 故选：C． 4．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）有足够多张如图所示的甲类、乙类正方形卡片和丙类长方形卡片，若要拼一个长为、宽为的大长方形，则需要乙类卡片的张数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了整式的乘法，计算，结果中项的系数即为需要乙类卡片的张数． 【详解】解：， 需要乙类卡片张， 故选：B． 5．（24-25七年级下·江苏常州·期中）若，则的值为____ ． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则将展开后再与对比，即可得出答案． 【详解】解：∵ ， 又∵， ∴． 6．（25-26八年级上·北京·期中）若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，先根据多项式乘多项式法则展开 ，得到一次项的系数，令其为零，解方程求出； 【详解】解：； ∵不含的一次项， ∴一次项系数， 解得； 故答案为：3 7．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如果，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，整体代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．先将所求代数式利用完全平方公式化为只含和的式子，再代入求值即可． 【详解】解：， ， 将代入， 原式． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏南通·期中）我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如下所示． 行数 的展开式 的展开式的各项系数 第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 …… …… …… 观察上面的规律可知，的展开式的第三项系数为______． 【答案】15 【分析】本题考查了数字类规律探索．观察发现，杨辉三角的第行与展开式的各项系数对应，进而得出的展开式中从左起第三项的系数为，即可求解． 【详解】解：观察发现，杨辉三角的第行与展开式的各项系数对应， 的展开式中从左起第三项的系数为， 的展开式中从左起第三项的系数为， 的展开式中从左起第三项的系数为， …… 观察发现，的展开式中从左起第三项的系数为， 则的展开式中从左起第三项的系数为， 故选：15． 9．（2025八年级上·河北石家庄·专题练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，掌握的变形是解题关键. 【详解】解：∵ ∴. 10．（25-26八年级上·江苏南通·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练运用单项式乘多项式法则展开并合并同类项． 利用单项式乘多项式法则展开各项，去括号后合并同类项化简原式，代入计算最终值． 【详解】解： ； 当时，原式． 11．（25-26八年级上·江苏南通·期中）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，，求（用含a，b的代数式表示） 【答案】（1），2；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先由完全平方公式和平方差公式进行展开，再进行合并，然后代入求值； （2）利用同底数幂的乘法逆运算和幂的乘方逆运算法则计算即可． 【详解】解：（1） 当，， 原式； （2）∵，， ∴． 12．（24-25七年级下·江苏南京·月考）某同学在计算一个多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式A； (2)求正确的计算结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式加减法和乘法的计算，熟练掌握多项式的运算法则，正确计算是解本题的关键． （1）根据多项式的加减法计算法则得出代数式A的值； （2）根据多项式的乘法计算法则得出正确的计算结果即可． 【详解】（1）根据题意得， ； （2） ． 13．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）观察下列式子： ， ， ， ， … (1)探索以上式子的规律，试写出第6个等式：________； (2)探索以上式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字类规律探索，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键； （1）根据前几个式子的规律，写出第6个等式，即可求解； （2）根据规律得出第个等式，根据平方差公式进行证明，即可求解． 【详解】（1）解：第1个等式为：， 第2个等式为：， 第3个等式为：， 第4个等式为：， 第5个等式为：， 第6个等式为：， 故答案为：． （2）解：根据（1）中式子的规律，第个等式为： 左边 右边， 左边右边， ∴成立． 14．（24-25七年级下·江苏南京·期中）在第八章我们学习了“平方差公式”和“完全平方公式”，，，，这四个代数式之间具有一定的关系． 【初步尝试】如果，，那么_____； 【灵活运用】如图，农场开辟出一块边长为11米的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜．在菜地中设计两个长和宽分别为、的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为2米，每个长方形的面积为35平方米．计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积． 【答案】[初步尝试]；[灵活运用]53平方米 【分析】本题考查了完全平方公式与几何面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． [初步尝试]结合题意，得，再把，，分别代入进行计算，即可作答． [灵活运用]由题意先得出，再运用，得出，结合图形，得阴影部分面积，进行化简，再代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：[初步尝试]∵， ∴， ，， ， ， 故答案为：； [灵活运用]∵在菜地中设计两个长和宽分别为、的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为2米，每个长方形的面积为35平方米， ∴， 则． （负值已舍去）， 阴影部分面积 （平方米）． 15．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）观察两个连续偶数的平方差：①，②，③… (1)写出第④个等式：_______； (2)填空：（_______）（_______）； (3)用含n的等式表示上述规律，并加以证明． 【答案】(1) (2)508，506 (3)；证明见解析 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，完全平方公式，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意写出第④个等式即可； （2）观察可知两个连续的偶数的平方的差等于两个偶数的平均数的4倍，据此根据几何此规律可得答案； （3）根据（2）的规律写出第n个等式，再利用完全平方公式把等式左边展开，并证明等式左右两边相等即可． 【详解】（1）解：由题意得，第④个等式为； （2）解：∵，， ∴； （3）解：第①个式子为， 第②个式子为， 第③个式子为， ……， 以此类推可知，第n个等式为， 证明如下： 左边 ， ∴等式左右两边相等， ∴． 期中重难突破练（测试时间：15分钟） 16．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的图形推导，根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， ， 故选：A． 17．（24-25八年级上·北京·期中）小冬以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】设，，由四个正方形的周长之和为40，面积之和为28，根据完全平方公式得出 ，求解即可． 本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的前提． 【详解】解：设，，由四个正方形的周长之和为40，面积之和为26可得， ，， 即，， 由①得，， ③-②得 ， 所以， 即长方形的面积为6， 故选：A． 18．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是，，长方形纸片乙的长和宽分别为和．现有这三种纸片各张，取其中的若干张三种图形都要取到拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，根据题意分情况讨论，即可求解． 【详解】解：共有以下6种拼法： ①∵， ∴可以用甲、丙正方形纸片各张，乙长方形纸片张拼出一个边长为正方形； ②∵， ∴可以用甲正方形纸片张，丙正方形纸片张，乙长方形纸片张拼出一个边长为正方形； ③∵， ∴可以用甲正方形纸片张，丙正方形纸片张，乙长方形纸片张拼出一个边长为正方形； ④∵， ∴可以用甲、丙正方形纸片各张，乙长方形纸片张拼出一个边长为正方形； ⑤∵， ∴可以用甲正方形纸片张，丙正方形纸片张，乙长方形纸片张拼出一个边长为正方形； ⑥∵， ∴可以用甲正方形纸片张，丙正方形纸片张，乙长方形纸片张拼出一个边长为正方形； 综上所述，共有6种不同的正方形， 故选：D． 19．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如果计算的结果不含项，那么和之间的数量关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据其运算法则进行计算，然后合并同类项，根据题意的结果不含项，即可求解． 【详解】解： ∵的结果不含项， ∴ 故选：C． 20．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）小刚把展开后得到，把展开后得到，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，利用完全平方公式得出、所对应的值，再进行化简计算即可．掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵展开后得到， ∴， ∵， 又∵展开后得到， ∴， ∴， ∴的值为． 故选：C． 21．（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知实数，满足，则的取值范围是______，的最小值为______． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式， 利用完全平方的非负性，通过和 推导出的取值范围．将化简为，然后根据的取值范围求最小值． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的取值范围为； ∵， ∴原式． ∵， ∴当最大时，表达式取最小值． ∵， ∴当时，最小值为． 故答案为：，． 22．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，正方形和正方形的面积和为15，D、A、E三点共线且，则图中阴影部分图形的面积为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、三角形的面积、完全平方公式等知识点，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，依题意得，，进而得，由此得，再求出，继而得，然后将，代入计算即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∵正方形和正方形的面积和为， ∴， ∵、A、三点共线且， ∴，即， ∵，，， ∴，解得：． ∵， ∴． 故答案为：． 23．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若，则值是__________． 【答案】17 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，求一个数的算术平方根，先求出的值， 进而利用完全平方公式求出的值，据此可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：17． 24．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，是我国古代数学重要的成就之一——“杨辉三角”或“贾宪三角”．该三角形图表两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个图表给出了（n为正整数）的展开式的系数规律．例如，此三角形中第2行中的2个数1，1，对应着展开式中各项的系数，此三角形中第3行中的3个数1，2，1，对应着展开式中各项的系数，若的展开式共有6项．那么各项的系数中最小的系数是______． 【答案】 【分析】根据题意得到规律第n行有n项，且指数为序号减1，得到的展开式共有6项，得到，然后根据规律写出的各项系数，进而比较求解即可． 【详解】第1行有1项，； 第2行有2项， 第3行有3项， 第4行有4项， … ∴第n行有n项， ∵的展开式共有6项 ∴ 根据题意得， ∴ ∴各项系数分别为32，，80，，10， ∴最小的为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式规律问题，中能依据“杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和”写出“杨辉三角”的第6行数是解题关键． 25．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）计算：_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平方差公式的运用．在原式的前面添上，即可连续运用平方差公式进行计算，进而得出计算结果． 【详解】解： ． 故答案为：2． 26．（25-26八年级上·江苏南通·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先算整式除法及平方差公式，再代入计算． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 27．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据多项式乘法运算法则展开原式，再合并同类项化简式子，然后根据绝对值的非负性求出 a 和 b 的值，代入化简后的式子计算即可得到最终结果； 【详解】解： ， ， ∴， 解得：， 将代入得，原式． 28．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示与的面积：________，________． (2)①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式． ②运用以上等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形： ． 运用上述方法计算． 【答案】(1)； (2) ① ② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握好平方差公式的结构特征并运用数形结合思想是解题关键． （1）用代数式表示图1和图2的面积即可； （2）①由得出等式； ②将转化为，然后运用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图1中的阴影面积可以看作两个正方形的面积差， ∴， 图2中的阴影面积为长方形的面积，其长为，宽为， ∴； （2）①∵， ∴； ②． 29．（18-19七年级下·江苏无锡·期中）[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出、、之间的等量关系是______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； [知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． （3）根据图③，写出一个代数恒等式：______； （4）已知，，利用上面的规律求的值． 【答案】（1）；（2）14；（3）；（4）9 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，以及对完全平方式进行了知识扩展，考查了学生灵活应变的能力． （1）观察图②大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积； （2）灵活利用上题得出的结论，灵活计算求解； （3）利用两种方式求解长方体的体积，得出关系式； （4）利用上题得出的关系式，进行变换，最终求出答案． 【详解】解：（1）用两种方法表示出个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积，可得：； 故答案为：； （2）由题（1）知：， ； （3）根据题意得：； 故答案为：； （4）由（3）可知， 把，代入得： ． ． 30．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）阅读下列材料 若x满足，求的值． 设，，则，， 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若x满足，求的值； (2)已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、为边作正方形． ①______，______；用含x的式子表示 ②求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)①；；②28 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，换元法，熟练掌握相关知识点，能理解并应用换元法求解是解题的关键； （1）按照题中提供的解法思路进行求解即可； （2）①根据正方形的边长为x，即可表示出与； ②先表示出阴影部分的面积，再分别求出和即可． 【详解】（1）设，， 则，， ， ， ， ， ； （2）四边形是长方形， ， 四边形是正方形，且边长为， ， ， ， 故答案为：；． ②阴影部分的面积， ， 长方形的面积是48， ，即， 设，，则，， ， ， 又， ，即， ， 阴影部分的面积是28． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 31．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法． （1）先由得到，再将代入计算即可； （2）根据完全平方公式得到，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即 ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 即， ∴． 32．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）观察下列各式： …………第1个等式 …………第2个等式 …………第3个等式 … 探索以上式子的规律： (1)写出第4个等式 ； (2)①填空，写出第n个等式： ；   ②请说明①中的等式成立． 【答案】(1) (2)①，；②见解析 【分析】本题考查多项式乘以多项式规律探究，完全平方公式，解题的关键是推出式子规律： （1）仿照题干式子，进行作答即可； （2）①根据已知等式，推出第n个等式即可；②利用多项式乘以多项式的法则展开即可得证． 【详解】（1）解：由题意，第4个等式为； 故答案为：； （2）①由题意，可得：第n个等式为：； ②∵， ， ∴． 33．（24-25七年级下·江苏·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，再计算加减即可； （2）先根据完全平方公式、平方差公式计算，再计算加减即可； （3）先将看做一个整体根据平方差公式计算，再计算完全平方公式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 34．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）利用图中边长分别为a、b的A型、B型正方形纸片和长为a宽为b的C型长方形纸片，可以拼出一些图形． (1)边长为的正方形，可由A型、B型正方形纸片各1张与C型长方形纸片_____张拼成； (2)用4张A型正方形纸片，9张B型正方形纸片，12张C型长方形纸片拼成一个大正方形（用含a、b的代数式表示）； (3)用6张A型正方形纸片，m张C型长方形纸片和5张B型正方形纸片可以拼成一个长方形，m的值为多少？（直接写出结果） 【答案】(1)2 (2) (3)或13或11或31 【分析】 本题考查多项式乘法与图形，解答本题的关键是明确题意，掌握多项式乘法法则． （1）求出边长为的正方形的面积，即可求出A型、B型正方形纸片各1张与C型长方形纸片的张数； （2）先求出所有纸片的面积，再写成完全平方式，即可得到正方形的边长； （3）先求出所有纸片的面积，再写成整式的乘积形式，即可得到m的值； 【详解】（1）解：（1）， ∵A型纸片的面积为、B型纸片的面积为，C型长方形纸片的面积为， ∴C型长方形纸片2张， 故答案为：2； （2）用4张A型正方形纸片，9张B型正方形纸片，12张C型长方形纸片拼成一个大正方形的面积为， ∴这个正方形的边长为； （3）6张A型正方形纸片，m张C型长方形纸片和8张B型正方形纸片拼成的长方形的面积为：， 因式分解：假设其分解为， 展开后比较系数得：，， ①可能的分解取，，， 则， 对应分解式为， 故； ②可能的分解取，，， 则， 对应分解式为， 故； ③可能的分解取，，，， 则， 对应分解式为， 故； ④可能的分解取，，，， 则， 对应分解式为， 故； 综上：或13或11或31． 35．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）阅读下面材料：本学期，我们在第9章图形的变换中学习了轴对称的相关知识，知道了像角，等腰三角形，正方形，圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，像、等代数式，当字母的取值均不相等，且都不为0时，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．我们称这样的代数式为神奇变换代数式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)下列代数式中是神奇变换代数式的有_____（填序号）． ①；②；③；④ (2)若关于、的代数式为神奇变换代数式，求的值． (3)已知关于的神奇变换代数式的值为6，且满足，求的值． 【答案】(1)②④ (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算、新定义，熟练掌握整式的运算法则及理解新定义是关键. （1）逐项验证每个代数式是否满足交换字母后值不变即可； （2）根据神奇变换代数式建立方程，求出a值即可； （3）根据神奇变换代数式先求出k值，代入原式可得，再利用求出值即可． 【详解】（1）解：①，交换字母后，和原式相反，不相等，不是神奇变换代数式； ②，交换字母后，和原式相等，是神奇变换代数式； ③，交换字母后，和原式相反，不相等不是神奇变换代数式； ④．交换字母后，和原式相等，是神奇变换代数式； 故答案为：②④； （2）解：∵关于、的代数式为神奇变换代数式， ∴， ∴， 解得： （3）解：∵关于的代数式是神奇变换代数式， ∴， ∴， 将代入， 则， 即， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 36．（24-25七年级下·山西运城·期中）综合与实践：数形结合是一种重要的数学思想方法．数学课上，老师准备了三种纸片，如图1中边长分别为a，b的正方形纸片A、B，以及宽为，长为的长方形纸片C，观察图形并解答下列问题： (1)用图1中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要A纸片______张，B纸片______张，C纸片______张． (2)观察图2，请写出下列三个代数式．之间的等量关系：______． 运用你所得的公式，计算：当，求的值． (3)现将一张A卡片放在B卡片的内部得图3，将一张A卡片和一张B卡片并列放置后构造新的正方形得图4．若图3和图4中阴影部分的面积分别为6和15，求图4的总面积． 【答案】(1)3，1，4 (2)； (3)36 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法计算，以及完全平方公式的几何背景，灵活运用完全平方公式变形是解题的关键． （1）根据多项式与多项式的乘法法则计算后可得答案； （2）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加4个矩形的面积可得答案；把代入结论公式求解即可； （3）由图3得，由图4得，然后利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴需要A纸片3张，B纸片1张，C纸片4张， 故答案为：3，1，4； （2）解：∵图2中大正方形面积，小正方形阴影面积， ∴， 当时， ； （3）解：由图3，得， 由图4，得， ∴， ∴图4总面积． 37．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）【阅读思考】我国数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图1是一个长，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的图形． 【归纳证明】观察图2中阴影部分面积的不同计算方法，请你写出一个、、三者之间的等量关系式是______，并说明理由： 【理解内化】应用“归纳证明”中的结论，尝试解决以下问题： 已知，，求的值； 【迁移应用】我市某公园有一块空地，如图3所示，其中、、、都是正方形，为了改善环境，增加美的效果，吸引更多的市民前来观光游览，公园管理员决定在每块区域都种上不同的花草．经测量：，，正方形的面积，求阴影区域的面积． 【答案】[归纳证明]，理由见解析；[理解内化] ；[迁移应用] 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． [归纳证明]用代数式分别表示图2中各个部分的面积，根据各个部分的面积与总面积之间的关系进行解答即可； [理解内化]利用进行计算即可； [迁移应用]设，，由题意得阴影部分的面积为，正方形的面积为，，根据求出的值即可． 【详解】解：[归纳证明]图2整体上是边长为的正方形，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，4个长方形的面积和为，所以有， 故答案为：； [理解内化]，， 根据前面证明公式， ； [迁移应用]设，，则阴影部分的面积为，正方形的面积为， ，即， ， ，即， ， 即阴影部分的面积为． 38．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么形如(，为实数)的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加、减、乘法运算与整式的、减、乘法运算类似， 例如计算：； ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． (1)填空： ① ， ② ； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)①2；② (2)49 (3) 【分析】本题主要是考查新定义运算问题及完全平方公式． （1）按照定义计算即可； （2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出和的值，再代入要求得式子求解即可； （3）按照定义计算及的值，再得出的值；由于个一组，剩下一项，单独计算，其余每相邻四项的和均为 0 ，从而可得答案． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：①2；②； （2）解：∵，是的共轭复数， ∴，， ∴． （3）解：由条件可知：， 即， ∴，， 解得：，， ∴， ∵， 有2024个加数，， ∴，则， ∴． 39．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图1是一个长为、宽为的长方形（）．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，直接写出代数式之间的关系： ． (2)若，则 ． (3)若，求的值． (4)如图，在长方形中，，点M和点N分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)20 (3)7 (4)17 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式，掌握完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用是解题的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可； （4）设，则，，由得，然后利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）由可得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴； 故答案为：20； （3）解：∵， ∴ ； （4）解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即． ∴图中阴影部分的面积为17． 40．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）阅读以下材料，回答下列问题： 小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：    也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数． 延续．上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为______． (2)计算所得多项式的一次项系数为______． (3)若计算所得多项式的一次项系数为0，则______． (4)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______． (5)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______． 【答案】(1)7 (2) (3) (4)5，10 (5)10， 【分析】（1）结合已知可得所得多项式的一次项系数，即可求解； （2）结合已知可得所得多项式的一次项系数，即可求解； （3）由所得多项式中不含一次项，可得，即可求解； （4）（5）根据题目中提供的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：7； （2）， 故答案为：； （3）由题意得，， 也就是，， 所以，； 故答案为：； （4） 一次项系数为：； 二次项系数为：． 故答案为：5，10； （5）． ． 一次项系数为：， 二次项系数为：． 故答案为：10；． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数是解决问题的关键． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式乘法（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 单项式乘法 题型02 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型03 单项式乘法的应用 题型04 多项式乘法 题型05 （x+p）（x+q）型多项式乘法 题型06 多项式乘法中的化简求值 题型07 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型08 多项式乘多项式与图形面积 题型09 多项式乘法中的规律性问题 题型10 整式乘法混合运算 题型11 乘法公式 题型12 乘法公式与几何图形 题型13 通过对完全平方公式变形求值 题型14 求完全平方式中的字母系数 题型15 乘法公式中配方法求最值问题 题型16 乘法公式中的新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 单项式的乘法 掌握单项式乘法法则，能将系数、同底数幂分别相乘，正确处理符号与指数运算，避免漏乘字母、指数混淆及符号错误。 基础常考点，常出现在小题，也会和其他计算题一起考查 单项式乘法的应用 掌握单项式乘法法则，能运用其解决几何图形面积、体积计算及实际应用题，规范列式并准确计算。 基础常考点，注意应用的实际情况 多项式的乘法 掌握多项式与多项式相乘的法则，能按顺序逐项相乘、不重不漏，正确处理符号与合并同类项，提高运算准确性与熟练度。 重要考点，多项式乘法是必须掌握的计算法则，一般在计算题考查 整式乘法化简求值 熟练运用整式乘法法则进行化简，正确去括号、合并同类项，再代入数值计算，减少符号、漏乘与计算错误。 必考点之一，主要是先化简，再求值，解答题必有一道，一般5分左右 多项式乘法与图形面积 能利用多项式乘法推导并计算图形面积，建立几何直观与代数运算的联系，正确列式、化简并解决实际问题。 重要考点，注意多项式乘法与图形面积的表示 整式乘法混合运算 熟练运用单项式、多项式乘法法则，分清运算顺序，正确处理符号、括号与同类项合并，避免漏乘、错符号、乱合并等问题，提升综合运算准确性。 必考点之一，要注意混合运算的顺序 乘法公式 熟记平方差公式与完全平方公式的结构特征，能准确识别公式形式、正确套用公式计算，区分两个公式的差异，避免符号、系数及平方项错误，熟练进行公式的正用与逆用。 高频考点，掌握平方差公式和完全平方公式，所有题型均有可能考查； 乘法公式与几何图形 能通过几何图形的面积拼接、分割理解乘法公式的几何意义，会用面积法推导平方差和完全平方公式，结合图形正确列式计算，提升数形结合应用能力。 核心考点，也是期中考试的必考内容，一般在大题考查，分值在8分左右； 完全平方公式的变形求值 掌握完全平方公式的常见变形，熟练运用 a2+b2=(a+b)2−2ab 等关系，已知两数和、差、积中任意两个求第三个，避免符号与系数错误，提升灵活变形求值能力。 重要考点，一般在小题中考查，3分左右 知识点01 单项式乘单项式 1.单项式乘单项式的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 2.单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里 3.要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 知识点02 单项式乘多项式 【法则】单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 知识点013 多项式乘多项式 1.多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2.运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 知识点04 完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍. 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点05 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 知识点06 平方差公式 1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)= 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 知识点07 平方差公式的几何背景 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 题型一 单项式乘法 易｜错｜点｜拨 1、系数相乘时漏乘、符号搞错（负负得正、一正一负得负）。 2、同底数幂相乘把指数相加算成相乘，或漏掉字母因式。 3、只乘系数不乘字母，或只乘字母不乘系数。 4、有乘方时先算乘方再算乘法，顺序容易颠倒。 5、结果没按规范整理：同类字母没合并、系数没化简。 【典例】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）计算：_____． 【变式3】（24-25七年级下·江苏·期中）计算： (1)　　； (2)　　； (3)　　； (4)　　． 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 【典例】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若＝－10，则m－n等于（   ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 【变式1】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知，则代数式的值为（    ） A．0 B．2 C．1 D．3 【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·期中）若，则的值为 __． 【变式3】（2025七年级下·江苏·专题练习）若，则求的值． 题型三 单项式乘法的应用 【典例】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）边长分别为和a的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）长和宽分别为，和，的长方形与长方形如图摆放，其中点B、C、E三点在同一条直线上，图中空白部分面积记为，阴影部分面积记为，若想要得到的值，只需要测量的线段为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2】（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，边长分别为a和b的两个正方形拼接在一起，若，，则图中阴影部分的面积为______． 【变式3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知用7个完全相同的长、宽分别为，的小长方形（如图1）和两个阴影长方形，拼成1个宽为10的大长方形（如图2）． (1)大长方形的长为________，阴影长方形的面积为________；（用含，的代数式表示） (2)若，求阴影长方形与阴影长方形的周长的和． 题型四 多项式乘法 易｜错｜点｜拨 1、漏项：相乘时没做到逐项相乘，少乘某一项。 2、符号错：括号前是负号时，每一项都要变号，经常只变一部分。 3、合并同类项错：该合并的没合并，或加减算反。 4、指数错：同底数幂相乘指数乱加、乱乘。 5、结果没按降幂 / 升幂整理，格式不规范。 【典例】（24-25七年级下·江苏·期中）计算： (1) (2) 【变式1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式2】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五 （x+p）（x+q）型多项式乘法 【典例】（24-25七年级下·山东青岛·期中）试说明对于任何正整数n，式子的值都能被3整除． 【变式1】（24-25七年级下·江苏·期中）在整式的乘法中，不少运算是有规律可循的，只要细心探究，总结出规律．阅读下面的计算过程，回答问题 计算下列各式： ①；②． 解：①原式 ； ②原式 ． (1)观察上式，比较它们的计算结果，并填空：________． (2)用你发现的规律直接写出下列各式运算结果． ①________；     ②________； ③________；  ④________． 【变式2】定义：对于依次排列的多项式（，，，是常数），当它们满足，且为常数时，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．如对于多项式，因为，所以，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． (1)已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子． (2)若a，b，c，d是一组平衡数，，请写出一组b，c的值， (3)当a，b，c，d之间满足什么数量关系时，它们是一组平衡数？请说明理由． 【变式3】（24-25七年级下·江苏·期末）计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 题型六 多项式乘法中的化简求值 易｜错｜点｜拨 先按法则逐项相乘不重不漏，注意符号变号，再合并同类项化简，最后代入数值计算；易错在漏乘、符号错、代入时漏括号或运算顺序乱。 【典例】（2026七年级下·江苏·期中）先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 【变式1】（24-25七年级下·江苏·期中）先化简，再求值：，其中 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)已知，求的值． 【变式3】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）老师布置了这样一道作业题：“先化简，再求值，其中”小明同学把“”错抄成“”，但他的计算结果却是正确的，你知道原因吗？ 题型七 已知多项式乘积不含某项求字母的值 易｜错｜点｜拨 1、展开后漏项、符号错，导致同类项合并错误。 2、不含某一项，是该项系数为 0，常把常数项、字母系数一起漏掉。 3、只合并部分同类项，没把对应项系数全部合并再令其为 0。 4、解方程求字母时计算出错，忽略系数含字母的情况。 5、忘记检验结果是否使原式有意义。 【典例】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为2，则的值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．16 【变式1】（24-25七年级下·山东聊城·期中）若乘积中不含和项，则（ ） A．3 B．1 C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江·期末）已知，若b不影响W的取值，则常数______． 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，有这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把、看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为．故原式，∵代数式的值与的取值无关，∴，解得． 【理解应用】 （1）若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为________； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值； 【能力提升】 （3）将七张如图1的小长方形（长为，宽为）按图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个阴影部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出的值． 题型八 多项式乘多项式与图形面积 【典例】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）一些平面几何图形的面积，可以用代数恒等式来表示． 例如：图①就可以用等式来表示该几何图形的面积． (1)请写出图②所表示的代数恒等式：__________________； (2)请写出图③所表示的代数恒等式：__________________； (3)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为． 【变式1】（25-26八年级上·江西南昌·期中）有若干块图1中的长方形和正方形硬纸片，可以拼成如图所示的长方形． (1)用两种不同的方法，表示图2中长方形的面积； ①____________；②____________． 然后用①②的计算结果，用一个等式表示为____________． (2)用这种方法图3可以用一个等式表示为____________． 利用这个等式解决下面问题；若，，求的值． 【变式2】（25-26七年级上·广东茂名·期末）综合与实践 【问题情境】 某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 【动手操作】 方法一：根据图1的方式，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制作一个无盖的长方体盒子． 方法二：根据图2方式，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制作一个有盖的长方体纸盒． 【问题解决】 (1)若，求用方法一制作的无盖长方体纸盒的体积； (2)用含的代数式表示方法二制作的有盖长方体纸盒的表面积，若，则该有盖的长方体纸盒的表面积为多少？ 【变式3】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）阅读理解：如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． 若选取1号卡片1张、2号卡片1张、3号卡片2张，拼成一个正方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系可说明图中所表示的数学等式为：； 知识应用：（1）填空：如图2，选取1号卡片2张、2号卡片2张、3号卡片5张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系可说明图中所表示的数学等式为 ； （2）填空：小明想拼出一个面积为的长方形，需选取1号卡片 张，2号卡片 张，3号卡片 张； （3）现有1号、2号、3号卡片各9张，请你设计：从这27张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形（按原卡片不重叠无缝隙），画出你的拼法设计； 拓展迁移： （4）将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，卡片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，卡片间有重叠，记图中阴影部分面积为．如果，求2号卡片的边长． 题型九 多项式乘法中的规律性问题 【典例】（24-25七年级下·江苏南京·期中）根据规律求解： (1)计算下列各式： ______； ______； ______； … 观察上面等式，把下面表示等式规律的内容填写完整； ______． 根据上面规律解决下列问题： (2)证明这个等式． (3)计算：； (4)直接写出：的计算结果． 【变式1】（25-26七年级下·江西九江·期中）课本再现：我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图）．此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下： (1)根据规律写出的展开式：___________． (2)根据规律写出的展开式：___________． (3)利用上述规律计算：． 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d． （1）用含a的代数式表示b，c，d． （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【拓展探究】 （3）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （4）若，，试比较x，y的大小，并说明理由． （5）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且，．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1~31），请求出所有可能的m值． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数．                                                      1      1  1                                        1  2  1                               1  3  3  1                      1  4  6  4  1         1  5  10  10  5  1 (1)观察的展开式，各项系数和是______；猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和______（结果用含字母n的代数式表示）； (2)利用材料中的规律计算： ①写出的展开式 ② 题型十 整式乘法混合运算 【典例】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1) (2) 【变式2】计算： (1)． (2)． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算： (1) (2) (3) 题型十一 乘法公式 易｜错｜点｜拨 1、混淆平方差与完全平方，把 (a+b)2当成 a2+b2。 2、完全平方漏中间 2ab 项，或符号搞错。 3、系数、括号没平方，如 (2a)2=2a2。 4、逆用公式时结构对不上强行套用。 5、符号处理错误：(−a−b)2 容易变号出错。 6、公式变形时加减搞反，如 a2+b2=(a+b)2+2ab。 【典例】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）化简． (1) (2) 【变式1】（24-25六年级下·山东泰安·期中）用乘法公式进行计算： (1)； (2)； (3) 【变式2】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）化简： (1)； (2)． 题型十二 乘法公式与几何图形 易｜错｜点｜拨 1、看图列代数式时边长看错、面积算错，把小正方形边长当成大正方形边长。 2、用面积法推导公式时，分割或拼接后漏算 / 多算某块面积。 3、把完全平方的几何模型当成平方差，或反过来，公式与图形不对应。 4、含字母边长列式时，符号、括号、系数忘记整体处理。 5、利用面积列等式后，化简计算出错，不会数形互化。 【典例】（24-25八年级上·江苏南通·期中）图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．    (1)图2中的阴影部分的面积为 ； (2)观察图2，三个代数式，，之间的等量关系是 ； (3)若，，则 ；（直接写出答案） 【变式1】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）阅读下列材料： 利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求的最小值． 解：． 因为不论取何值，总是非负数，即．所以， 所以当时，有最小值，最小值是1. 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：__________=_____； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)如图1所示的长方形边长分别是，面积为；如图2所示的长方形边长分别是，面积为，试比较与的大小，并说明理由． 【变式2】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图a是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图b的形状，拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法① ．方法② ； (2)观察图b，请你写出三个代数式，，mn之间的等量关系是 ； (3)若，，利用（2）题中提供的等量关系计算： ； (4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来解释，如图C，它表示了，现有一个代数恒等式，请用一个几何图形的面积来解释它的正确性． 【变式3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2） (1)观察图2请你写出、、之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的结论，若，，则______； (3)拓展应用：若，求的值． 题型十三 通过对完全平方公式变形求值 【典例】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)； 【变式1】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）按要求完成下列计算： (1)已知：，求的值； (2)已知，求的值． 【变式2】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）将完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．试通过完全平方公式变形，解决下列问题． (1)已知求的值； (2)如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和求图中阴影部分的面积； (3)若求的值． 【变式3】（25-26八年级上·河南南阳·期中）用4块相邻两边长分别为，的小长方形，拼成如图所示的“回形”正方形． (1)根据图形，请你用等式表示，，之间的数量关系：______； (2)结合（1）中的结论，如果，，求的值； (3)结合以上结论，如果，求的值． 题型十四 求完全平方式中的字母系数 【典例】（25-26七年级下·江苏南通·期中）若是一个完全平方式，则k的值为（    ） A．或3 B．或4 C．5或3 D．5或 【变式1】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知二次三项式是一个完全平方式，则__________． 【变式2】（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）已知关于x，y的多项式是完全平方式，则_______． 【变式3】（24-25七年级下·河北承德·期末）阅读理解：所谓完全平方式，就是对于一个整式如果存在另一个整式，使得，则称完全平方式．例如，，，则，均为完全平方式． (1)下列各式中是完全平方式的是 （只填序号）． ①；②；③；④ (2)将（1）中所选的完全平方式写成一个整式的平方的形式． (3)若是完全平方式，求的值． 题型十五 乘法公式中配方法求最值问题 【典例】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式 的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法∶ 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当 时，有最小值是 (2)多项式有最 （填“大”或“小”）值，该值为 (3)已知，求的最值 (4)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长． 【变式1】（2024七年级下·江苏·期中）我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下： 解：， ，∴当时，的值最小，最小值是， ∴，∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是． 请你根据上述方法，解答下列各题． (1)知识再现：当______时，代数式的最小值是______； (2)知识运用：若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【变式2】（24-25八年级上·四川巴中·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1 ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1 ∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 （1）当x＝　 　时，代数式x2﹣6x+12有最小值；最小值是　 　； （2）若y＝﹣x2+2x﹣3，请判断y有最大还是最小值；这个值是多少？此时x等于哪个数？ （3）若﹣x2+3x+y+5＝0，则y+x=　 　（用含x，y的代数式表示） 请求出y+x的最小值． 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：的形式． 我们规定：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”、理由：因为，所以是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（填序号）． ①；②；③；④． 探究问题： （2）若（为常数），则的值________； （3）已知（是整数，是常数），当=______时，为“完美数”． 拓展应用： （4）已知实数满足，则的最小值是_______． 题型十六 乘法公式中的新定义问题 【典例】（24-25八年级上·河南许昌·期末）在学习有关整式的知识时我们发现-一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2-2x+3，由于x2-2x+3=（x-1）2+2，所以当x-1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2-2x+3的值是相等的．例如，当x-1=±1，即x=2或0时，x2-2x+3的值均为3；当x-1=±2，即x=3或-1时，x2-2x+3的值均为6．于是给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x-t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x=t对称．例如x2-2x+3关于x=1对称．请结合上面的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式x2-4x+6关于x= 上对称； (2)若关于x的多项式x2+2mx+3关于x=3对称，求m的值． 【变式1】定义：若，则称与是关于1的单位数． (1)3与______是关于1的单位数，与______（填一个含的式子）是关于1的单位数； (2)若，，判断与是否是关于1的单位数，并说明理由． 【变式2】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 【变式3】（24-25七年级下·四川成都·期中）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． 根据上述规定解决下列问题： (1)计算； (2)若是一个完全平方式，求常数的值； (3)若，，求的值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若代数式可化为，则（   ） A．3 B． C．1 D． 4．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）有足够多张如图所示的甲类、乙类正方形卡片和丙类长方形卡片，若要拼一个长为、宽为的大长方形，则需要乙类卡片的张数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（24-25七年级下·江苏常州·期中）若，则的值为____ ． 6．（25-26八年级上·北京·期中）若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为______． 7．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如果，则的值为__________． 8．（25-26八年级上·江苏南通·期中）我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如下所示． 行数 的展开式 的展开式的各项系数 第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 …… …… …… 观察上面的规律可知，的展开式的第三项系数为______． 9．（2025八年级上·河北石家庄·专题练习）已知，求的值． 10．（25-26八年级上·江苏南通·期中）先化简，再求值：，其中． 11．（25-26八年级上·江苏南通·期中）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，，求（用含a，b的代数式表示） 12．（24-25七年级下·江苏南京·月考）某同学在计算一个多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式A； (2)求正确的计算结果． 13．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）观察下列式子： ， ， ， ， … (1)探索以上式子的规律，试写出第6个等式：________； (2)探索以上式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立． 14．（24-25七年级下·江苏南京·期中）在第八章我们学习了“平方差公式”和“完全平方公式”，，，，这四个代数式之间具有一定的关系． 【初步尝试】如果，，那么_____； 【灵活运用】如图，农场开辟出一块边长为11米的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜．在菜地中设计两个长和宽分别为、的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为2米，每个长方形的面积为35平方米．计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积． 15．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）观察两个连续偶数的平方差：①，②，③… (1)写出第④个等式：_______； (2)填空：（_______）（_______）； (3)用含n的等式表示上述规律，并加以证明． 期中重难突破练（测试时间：15分钟） 16．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·北京·期中）小冬以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 18．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是，，长方形纸片乙的长和宽分别为和．现有这三种纸片各张，取其中的若干张三种图形都要取到拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 19．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如果计算的结果不含项，那么和之间的数量关系为(    ) A． B． C． D． 20．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）小刚把展开后得到，把展开后得到，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 21．（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知实数，满足，则的取值范围是______，的最小值为______． 22．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，正方形和正方形的面积和为15，D、A、E三点共线且，则图中阴影部分图形的面积为_______． 23．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若，则值是__________． 24．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，是我国古代数学重要的成就之一——“杨辉三角”或“贾宪三角”．该三角形图表两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个图表给出了（n为正整数）的展开式的系数规律．例如，此三角形中第2行中的2个数1，1，对应着展开式中各项的系数，此三角形中第3行中的3个数1，2，1，对应着展开式中各项的系数，若的展开式共有6项．那么各项的系数中最小的系数是______． 25．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）计算：_____． 26．（25-26八年级上·江苏南通·期中）先化简，再求值：，其中． 27．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）先化简，再求值：，其中． 28．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示与的面积：________，________． (2)①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式． ②运用以上等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形： ． 运用上述方法计算． 29．（18-19七年级下·江苏无锡·期中）[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出、、之间的等量关系是______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； [知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． （3）根据图③，写出一个代数恒等式：______； （4）已知，，利用上面的规律求的值． 30．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）阅读下列材料 若x满足，求的值． 设，，则，， 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若x满足，求的值； (2)已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、为边作正方形． ①______，______；用含x的式子表示 ②求阴影部分的面积． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 31．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若，且． (1)求的值； (2)求的值． 32．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）观察下列各式： …………第1个等式 …………第2个等式 …………第3个等式 … 探索以上式子的规律： (1)写出第4个等式 ； (2)①填空，写出第n个等式： ；   ②请说明①中的等式成立． 33．（24-25七年级下·江苏·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 34．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）利用图中边长分别为a、b的A型、B型正方形纸片和长为a宽为b的C型长方形纸片，可以拼出一些图形． (1)边长为的正方形，可由A型、B型正方形纸片各1张与C型长方形纸片_____张拼成； (2)用4张A型正方形纸片，9张B型正方形纸片，12张C型长方形纸片拼成一个大正方形（用含a、b的代数式表示）； (3)用6张A型正方形纸片，m张C型长方形纸片和5张B型正方形纸片可以拼成一个长方形，m的值为多少？（直接写出结果） 35．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）阅读下面材料：本学期，我们在第9章图形的变换中学习了轴对称的相关知识，知道了像角，等腰三角形，正方形，圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，像、等代数式，当字母的取值均不相等，且都不为0时，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．我们称这样的代数式为神奇变换代数式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)下列代数式中是神奇变换代数式的有_____（填序号）． ①；②；③；④ (2)若关于、的代数式为神奇变换代数式，求的值． (3)已知关于的神奇变换代数式的值为6，且满足，求的值． 36．（24-25七年级下·山西运城·期中）综合与实践：数形结合是一种重要的数学思想方法．数学课上，老师准备了三种纸片，如图1中边长分别为a，b的正方形纸片A、B，以及宽为，长为的长方形纸片C，观察图形并解答下列问题： (1)用图1中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要A纸片______张，B纸片______张，C纸片______张． (2)观察图2，请写出下列三个代数式．之间的等量关系：______． 运用你所得的公式，计算：当，求的值． (3)现将一张A卡片放在B卡片的内部得图3，将一张A卡片和一张B卡片并列放置后构造新的正方形得图4．若图3和图4中阴影部分的面积分别为6和15，求图4的总面积． 37．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）【阅读思考】我国数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图1是一个长，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的图形． 【归纳证明】观察图2中阴影部分面积的不同计算方法，请你写出一个、、三者之间的等量关系式是______，并说明理由： 【理解内化】应用“归纳证明”中的结论，尝试解决以下问题： 已知，，求的值； 【迁移应用】我市某公园有一块空地，如图3所示，其中、、、都是正方形，为了改善环境，增加美的效果，吸引更多的市民前来观光游览，公园管理员决定在每块区域都种上不同的花草．经测量：，，正方形的面积，求阴影区域的面积． 38．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么形如(，为实数)的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加、减、乘法运算与整式的、减、乘法运算类似， 例如计算：； ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． (1)填空： ① ， ② ； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知，求的值． 39．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图1是一个长为、宽为的长方形（）．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，直接写出代数式之间的关系： ． (2)若，则 ． (3)若，求的值． (4)如图，在长方形中，，点M和点N分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，求图中阴影部分的面积． 40．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）阅读以下材料，回答下列问题： 小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：    也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数． 延续．上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为______． (2)计算所得多项式的一次项系数为______． (3)若计算所得多项式的一次项系数为0，则______． (4)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______． (5)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $