专题01 数与式、方程、不等式的综合运算与变形（复习讲义）（广东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题01 数与式、方程、不等式的综合运算与变形 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一 正负数与相反意义的量 题型二 实数的分类与无理数判断 题型三 科学记数法表示大数/小数 题型四 整式的运算（幂的运算、乘法公式） 题型五 因式分解 题型六 分式的概念、有意义条件与化简求值 题型七 一元一次方程（组）的解法与应用 题型八 一元二次方程根的判别式与解法 题型九 一元一次不等式（组）的解法与数轴表示 必备知识 知识1 相反意义的量与正负数表示 知识2 实数的分类（有理数、无理数） 知识3 数轴、相反数、绝对值、倒数 知识4 科学记数法的表示形式 知识5 实数的运算法则与运算顺序 知识6 整式的加减乘除及幂的运算性质 知识7 乘法公式与因式分解方法 知识8 分式的基本性质与运算规则 知识9 二次根式有意义条件与化简 知识10 一元一次方程（组）的解法 知识11 一元二次方程的解法与根的判别式 知识12 分式方程的解法与验根 知识13 一元一次不等式（组）的解法与解集表示 命题预测 预测1 正负数与相反意义的量 [广东省卷2025第1题/深圳2025第1题/广州2025第1题] 预测2 实数分类与无理数判断 [广州2025第1题高频] 预测3 科学记数法 [三地三年必考，选择第1-3题] 预测4 实数混合运算 [解答题第1题，三地必考] 预测5 整式运算（幂运算、公式） [选择填空高频] 预测6 因式分解 [省卷、广州填空必考，深圳选择常考] 预测7 分式化简求值 [解答题基础题，三地高频] 预测8 一元二次方程根的判别式 [选择填空必考] 预测9 分式方程求解与增根 [省卷、广州解答常考] 预测10 方程与不等式的实际应用 [省卷、广州解答题涉及] 命题 透视 命题形式： 选择题、填空题及解答题 考察能力： 运算能力、抽象能力、推理能力 热考角度 考点 广东省卷 广州卷 深圳卷 实数 2025：T1（正负数）、T2（科学记数法）、T3（二次根式乘法）、T14（三角函数+零指数幂）、T16（解分式方程） 2024：T1（有理数加法）、T3（科学记数法）、T16（实数的混合运算） 2025：T1（负无理数）、T3（二次根式加减）、T14（实数的混合运算） 2025：T1（正负数）、T4（正弦定义）、T14（实数的混合运算） 2024：T2（实数大小比较）、T3（科学记数法）、T16（1）（实数混合运算） 数的开方与二次根式 2025：T3（二次根式乘法） 2024：T7（算术平方根应用） 2025：T3（二次根式加减） 2025：T14（算术平方根） 2024：计算里涉及，无单独考察 代数式与整式 2025：T5（整式运算）2024：T5（整式运算） 2025：T3（整式运算）、T19（化简求值） 2025：T5（整式运算） 2024：T4（整式运算） 分式 2025：T16（解分式方程） 2024：T17（分式化简求值） 2025：T13（分式有意义的条件）、T19（分式化简求值） 2025：T11（分式减法） 2024：T16（2）（分式化简） 方程（组） 2025：T7（平均增长率）、T13（判别式）、T16（解分式方程） 2024：T9（解分式方程）、T13（判别式） 2025：T4（判别式）、T15（求二次函数参数） 2025：T7（分式方程应用）、T9（一元一次方程解） 2024：T9（一元二次方程解）、T14（解二元一次方程组） 不等式（组） 2025：T17（解不等式组） 2024：T10（一次函数与不等式） 2025：T6（一次函数与不等式）、T17（解不 2025：T15（解不等式组）、T17（不等式组应用） 2024：T17（任务2、3）（不等式的应用） 命题预测 1. 考情预测 · 根据近两年广东省内中考的趋势，2026年的中考中，“数与式、方程、不等式”板块仍是基础题和计算题的核心。 · 科学记数法、实数的性质与运算、整式与分式的化简求值、解方程（组）与不等式（组）是必考内容。 · 预计将继续加强运算能力的考查，并会将方程与不等式的知识融入实际应用问题（如方案选择、利润最值）中进行综合考查。 2. 备考建议 · 熟练掌握各类运算法则和性质，特别是幂的运算、乘法公式、分式化简等。 · 强化解一元一次方程（组）、一元二次方程、分式方程、一元一次不等式（组）的技能，并注意检验增根。 · 体会转化、数形结合、模型思想，提高在不同情境下准确运算和灵活应用的能力。 题型一 正负数与相反意义的量 1. 先规定一个量为正，另一个相反意义的量为负，明确相反关键词（如收入/支出、上升/下降）。 1. 表示时必须带上单位，区分“相反意义”与“数值相反”，结合实际场景判断正负。 1．（2025·广东·中考真题）某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正数和负数．根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答． 【详解】解：∵一只乒乓球的质量高于标准质量记作， ∴那么低于标准质量记作． 故选：A． 2．（2025·广东深圳·中考真题）节约水5吨记作吨，则浪费水2吨记作（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【分析】本题考查了正数与负数，利用相反意义量的定义判断即可． 【详解】解：如果节约用水5吨记作吨，那么浪费水2吨，记作吨， 故选：C． 题型二 实数的分类与无理数判断 1. 实数分有理数（整数、分数）和无理数，无理数仅3类：无限不循环小数、含π（化简后非有理数）、开方开不尽的数。 2. 注意区分：无限循环小数是有理数，带根号的数不一定是无理数（如√4=2是有理数）。 1．（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是负无理数的含义，根据负无理数的定义，需同时满足负数和无理数两个条件．对各选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A： 是无理数（无法表示为分数且是无限不循环小数），因此也是无理数．负号表明其为负数，故是负无理数． 选项B： 是整数，属于有理数，不符合无理数的条件． 选项C： 是整数，属于有理数，且非负数． 选项D： 是正整数，属于有理数，且非负数． 综上，只有选项A同时满足负数和无理数的条件， 故选A． 2．（2025·广东深圳·中考真题）实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ）    A． B．b C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了化简绝对值，求一个数的算术平方根，实数与数轴，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值，求算术平方根即可得到答案． 【详解】解；由题意得，， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2024·广东深圳·中考真题）如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小．根据数轴上右边的数总比左边的大即可判断． 【详解】解：由数轴知，， 则最小的实数为a， 故选：A． 题型三 科学记数法 1. 统一形式：（，n为整数），a不能是分数或负数。 2. 大数：n=整数位数-1（如123000，n=5）；小数：n为负，绝对值=小数点左边0的个数（如0.00012，n=-4）。 1．（2025·广东·中考真题）依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：3000亿． 故选：D． 2．（2024·广东·中考真题）年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故选：B． 3．（2025·广东广州·中考真题）近年来，城市电动自行车安全充电需求不断攀升．截至2023年5月底，某市已建成安全充电端口逾280000个，将280000用科学记数法表示为____________． 【答案】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为，其中，确定与的值是解题的关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 题型四 整式的运算（幂的运算、乘法公式） 1. 幂的运算：同底数幂相乘、相除，幂的乘方。 2. 乘法公式（平方差、完全平方）直接套用，注意符号和系数，去括号时负号要变号。 3. 合并同类项：只合并系数，字母及指数不变，避免漏项、错合。 1．（2025·广东深圳·中考真题）计算：． 【答案】7 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：先进行开方，去绝对值，零指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可. 【详解】原式 . 2．（2024·广东·中考真题）计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 3．（2023·广东·中考真题）（1）计算：； （2）已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先求出立方根及有理数的乘方运算，绝对值的化简，然后计算加减法即可； （2）将两个点代入解析式求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵一次函数的图象经过点与点， ∴代入解析式得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． 【点睛】题目主要考查实数的混合运算及待定系数法确定一次函数解析式，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 题型五 因式分解 1. 步骤：先提公因式（含系数、字母），再套公式（平方差、完全平方），优先提公因式。 2. 分解要彻底，直到每个因式不能再分解（如需分解为）。 1．（2025·广东·中考真题）因式分解：______． 【答案】 【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案． 【详解】解：a2b+ab2=． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 2．（2024·广东深圳·中考真题）已知实数a，b，满足，，则的值为______． 【答案】42 【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可． 【详解】 ． 故答案为：42． 【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（2024·广东广州·中考真题）已知，代数式：，，． (1)因式分解A； (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可； （2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①当选择A、B时： ， ； ②当选择A、C时： ， ； ③当选择B、C时： ， ． 【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法． 题型六 分式的概念、有意义条件与化简求值 1. 有意义条件：分母不为0（注意整体分母，如，）。 2. 化简：先对分子、分母因式分解，再约分，避免直接约分漏项。 3. 求值：先化简，再选使分母不为0的合适数值代入，不直接代入原式。 1．（2025·广东广州·中考真题）求代数式的值，其中． 【答案】 【分析】此题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，先把分式化成最简，然后把代入，通过二次根式的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 2．（2024·广东深圳·中考真题）先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型七 一元一次方程（组）的解法与应用 1. 一元一次方程：去分母（不含分母的项也要乘）、去括号、移项变号、合并同类项、系数化为1。 2. 方程组：用代入或加减消元法消去一个未知数，求解后验根，确保代入原方程左右相等。 1．（2025·广东深圳·中考真题）若关于的方程的解为，则__________． 【答案】4 【分析】本题考查了方程的解的定义、一元一次方程的解法，理解方程的解的意义，得到关于a的方程是解题关键．把代入关于x的方程，得到关于a的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴， 解得：， 故答案为：4． 2．（2024·广东深圳·中考真题）一元二次方程的一个解为，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，由题意可得，解方程即可得解． 【详解】解：∵一元二次方程的一个解为， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 题型八 一元二次方程根的判别式与解法 1. 先算判别式，判断根的个数：两不等实根，两相等实根，无实根。 2. 解法优先选因式分解法，再选直接开方、配方法，最后用公式法，结果要写全两个根。 1．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况． 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此． 故判别式恒为负数，方程无实数根， 故选：C． 2．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 故答案为：或． 3．（2025·广东·中考真题）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是_____． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况是解题的关键．先计算一元二次方程的根的判别式，得出，即可得到结论 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 4．（2024·广东·中考真题）如果关于x的方程有两个相等的实数根，则___________． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：1． 题型九 一元一次不等式（组）的解法与数轴表示 1. 解不等式：移项变号同方程，系数化为1时，系数为负则不等号反向。 2. 解不等式组：分别解每个不等式，取公共部分；数轴表示：实心点（≥、≤），空心点（>、<），方向标对。 1．（2025·广东广州·中考真题）解不等式组，并在数轴上表示解集． 【答案】，画图见解析 【分析】本题考查解不等式组和用数轴表示不等式组的解集，需要注意用数轴表示解集的时候实心点和空心点的区别．分别求出每一个不等式的解集，根据数轴，确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 则不等式组解集为． 2．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)每个篮球60元，每个足球50元 (2)当购买篮球4个的时候，所花费用最少 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设蓝球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． （2）设蓝球有个，则足球有个 ， 解得：， 设购买的总费用是元， ， ， 随着的减小而减小； ∵且为整数， 当最小值为4时，最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少． 3．（2025·广东深圳·中考真题）解一元一次不等式组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：__________， 由不等式②得：__________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为__________． 【答案】；；；见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定不等式组的解集， 【详解】解：， 解不等式①，得： 解不等式②，得： 在数轴上表示如下： 所以不等式组的解集为：， 故答案为：；； 知识1 相反意义的量与正负数表示 生活中具有相反意义的量（如收入与支出、上升与下降、零上与零下），可用正数和负数区分表示。 规定其中一种量为正，另一种相反的量为负；0既不是正数，也不是负数，是正负数的分界。 知识2 实数的分类（有理数、无理数） 有理数：整数（正整数、0、负整数）+ 分数（正分数、负分数），可表示为有限小数或无限循环小数。 无理数：无限不循环小数，常见如、、。 实数 = 有理数 + 无理数，实数与数轴上的点一一对应。 知识3 数轴、相反数、绝对值、倒数 数轴：三要素为原点、正方向、单位长度，可直观表示数的大小与位置。 相反数：数的相反数是；互为相反数的两数和为0，在数轴上关于原点对称。 绝对值：表示数在数轴上到原点的距离，；正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数，0的绝对值是0。 倒数：数的倒数是；互为倒数的两数积为1，0没有倒数。 知识4 科学记数法的表示形式 表示形式： 要求：，为整数； 大数：小数点左移几位，为正几；小数：小数点右移几位，为负几。 知识5 实数的运算法则与运算顺序 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内；同级运算从左至右。 运算法则： · 加法：同号相加取同号，绝对值相加；异号相加取绝对值大的符号，绝对值相减。 · 减法：减去一个数等于加它的相反数。 · 乘除：同号得正，异号得负，0乘除任何数得0。 知识6 整式的加减乘除及幂的运算性质 幂的运算（为整数）： ，，，， 整式加减：去括号，合并同类项（同类项：字母及指数相同）。 整式乘除：单项式乘除系数、字母分别运算；多项式乘除按分配律展开。 知识7 乘法公式与因式分解方法 乘法公式： · 平方差： · 完全平方： 因式分解：先提公因式→再用公式法（平方差、完全平方）→十字相乘法，分解至不能再分解为止。 知识8 分式的基本性质与运算规则 基本性质：分子、分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式值不变。 运算： · 加减：先通分，化为同分母分式再计算； · 乘除：先约分，再分子乘分子、分母乘分母； 前提：分式有意义⇨分母≠0。 知识9 二次根式有意义条件与化简 有意义条件：被开方数大于或等于0，即有意义⇨。 化简规则： · ，，； · 结果要求：不含可开方因数、分母不含根号。 知识10 一元一次方程（组）的解法 一元一次方程：步骤为去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 二元一次方程组： · 代入消元法：用一个未知数表示另一个，代入方程求解； · 加减消元法：通过系数变形，两式加减消去一个未知数。 知识11 一元二次方程的解法与根的判别式 解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。 根的判别式： · ⇨两个不相等实数根； · ⇨两个相等实数根； · ⇨无实数根。 知识12 分式方程的解法与验根 解法：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程求解。 验根：将解代入最简公分母，若公分母=0，为增根，必须舍去；公分母≠0，才是原方程的解。 知识13 一元一次不等式（组）的解法与解集表示 解法：步骤同方程，乘/除以负数时，不等号方向改变。 解集表示：用数轴表示，空心圈不含等号，实心点含等号。 不等式组：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）。 命题预测1：正负数与相反意义的量 [广东省卷2025第1题/深圳2025第1题/广州2025第1题] 1．（2024·广东·模拟预测）如果高于海平面100m记作，那么低于海平面50m应该记作（　　） A． B． C．m D．m 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的意义，“正负数一般用来表示具有相反意义的量”，据此即可求解﹒ 【详解】解：如果高于海平面100m记作，那么低于海平面50m应该记作﹒ 故选：B 2．（2024·广东·模拟预测）若支出元记作“元”，则收入元可记作（　　 ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的意义，熟练掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键． 根据正负数表示相反意义的量，支出用负数表示，那么收入就用正数表示． 【详解】解：因为支出元记作“元”， 所以收入元记作“元”． 故选：． 3．（2025·广东深圳·三模）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”意思：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数如果温度上升，记作，那么温度下降记作（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：温度上升，记作，那么温度下降记作， 故选：C． 4．（2025·广东东莞·模拟预测）北宋沈括在《梦溪笔谈》中提到“算法用赤筹、黑筹，以别正、负之数”，古人用红色、黑色算筹分别表示具有相反意义的正数和负数，下列各数中不是负数的是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据负数的定义，判断每个选项是否为负数，负数是小于的数．本题主要考查负数的定义，熟练掌握“小于的数是负数”是解题的关键． 【详解】解：是负数，是负数，不是负数，是负数． 故选： ． 5．（2025·广东广州·二模）下列各数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数，根据相反数的定义，有理数的乘方，绝对值的性质化简，再根据负数的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、，是正数，故本选项错误； B、，是正数，故本选项错误； C、是负数，故本选项正确； D、，是正数，故本选项错误． 故选：C． 6．（2025·广东深圳·三模）手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（单位：元），若小颖当天微信收支的最终结果是收入6元，则应表示为（　　） 转账——来自小明 微信红包——发给小红 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的实际意义以及有理数加法运算．根据正负数的意义以及有理数的加法法则求和即可． 【详解】解：根据题意可知，收入为正，支出为负，且（元） 则最终结果收入6元应表示为， 故选：B 7．（2025·广东清远·二模）中国是世界上最早使用负数的国家，若上升17米记作米，则米表示（　　） A．上升5米 B．下降5米 C．下降17米 D．上升17米 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．理解具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：上升17米记作米，则米表示下降5米， 故选：B． 命题预测2：实数分类与无理数判断 [广州2025第1题高频] 1．（2024·广东·模拟预测）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的识别及求算术平方根，无理数是指无限不循环小数，由此判断即可．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】A、是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、是无理数，故本选项符合题意； C、是无限循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（2024·广东阳江·二模）下列各数中，为负数的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查负数的识别．小于0的数即为负数，据此即可求得答案． 【详解】解：，，0不是负数； 是负数； 故选：D． 3．（2022·广东广州·三模）下列四个选项中，为无理数的是（    ） A．−2 B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据有理数及无理数的定义，即可对选项进行判断． 【详解】解：A. -2是有理数，不符合题意； B. 是有理数，不符合题意； C. 是无理数，符合题意； D. 0是有理数，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的实数的分类，掌握有理数及无理数的区分是考查的重点． 4．（20-21七年级下·北京海淀·期中）下列实数，，（相邻两个1之间依次多一个0），，，中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】无理数就是无限不循环小数，根据定义即可作出判断． 【详解】是分数，属于有理数， ，是整数，属于有理数， 无理数有，(相邻两个1之间依次多一个0)， ，，共4个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如，，(每两个8之间依次多1个0)等形式． 5．（2022·浙江金华·中考真题）在中，是无理数的是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据无理数的定义判断即可； 【详解】解：∵-2，，2是有理数，是无理数， 故选： C． 【点睛】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，如开方开不尽的数的方根、π． 命题预测3：科学记数法 [三地三年必考，选择第1-3题] 1．（2026·广东佛山·一模）国家知识产权局数据显示：截至2025年，我国国内有效发明专利达件，并连续多年位居全球第一．将数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，解题关键是正确确定和的值. 【详解】解：， 故选：C. 2．（2026·广东惠州·一模）惠州西湖新春灯会于2026年2月14日至3月3日共计接待游客60.3万人次，60.3万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：60.3万用科学记数法表示为． 3．（2026·广东广州·一模）广州地铁线网密度持续提升，某条线路日均客流量约为人次，这个数据原数是（    ） A．1250 B．12500 C．125000 D．1250000 【答案】D 【分析】根据科学记数法的定义，把科学记数法表示的数还原，只需将小数点按指数移动后得到原数； 【详解】解：． 4．（2025·广东揭阳·三模）华为某型号手机的芯片采用的是水平，，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法．原数的小数点需向右移动9位才能得到5，因此表示为． 【详解】． 故选：A． 5．（2025·广东揭阳·三模）梅花象征着坚韧不拔、奋勇当先的美好品质，很多描写梅花的诗句广为流传，比如“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知梅花花粉的直径约为米．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故选：D． 6．（2025·广东·二模）小病毒是一类已知最小的动物病毒，已知某种小病毒的直径约为， 即． 数据“” 用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：, 故选A． 7．（2024·广东清远·一模）已知：1纳米米，则纳米用科学记数法表示为______米． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，有理数的乘法． 根据1纳米米，用乘以即可． 【详解】∵1纳米米， ∴纳米米， 故答案为：． 8．（2025·广东广州·三模）数字用科学记数法表示为___________． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：． 故答案为：． 命题预测4：实数混合运算 [解答题第1题，三地必考] 1．（2026·广东深圳·一模）计算：． 【答案】2 【分析】先计算算术平方根和零指数幂，再计算绝对值和乘方，接着计算乘法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 2．（2026·广东深圳·一模）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 3．（2026·广东深圳·一模）计算．． 【答案】 【详解】解：． 4．（2026·广东佛山·一模）计算与解方程组 (1)； (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据实数的运算法则进行计算即可． （2）用加减消元法进行计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， ①②得：， 解得， 将代入①，得：， 解得， 故． 5．（2026·广东深圳·一模）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式化简、特殊角的三角函数值、绝对值化简和整数乘方的计算，分别计算出每一项的值，再合并得到最终结果． 【详解】解：原式 ． 6．（2026·广东惠州·一模）计算： 【答案】 【分析】先计算零指数幂、代入正弦值、求出负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减． 【详解】解： ． 7．（2026·广东中山·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先化简绝对值、零指数幂、负整数指数幂，再进行加减即可． 【详解】解：， ， ． 命题预测5：整式运算（幂运算、公式） [选择填空高频] 1．（2025·广东·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是同底数幂的乘除法则，合并同类项的法则，整数指数幂的运算，根据同底数幂的乘除法则，整数指数幂的运算，合并同类项的法则对各选项进行解答即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、原计算错误，不符合题意， 故选：C． 2．（2026·广东广州·模拟预测）求代数式的值，其中， 【答案】 【分析】原式利用完全平方公式及平方差公式化简，合并同类项，再利用单项式的除法法则化简得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 3．（2025·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的加减、化简求值与合并同类项，解题的关键是先化简再求值． 先去括号，再合并同类项，最后把x、y的值代入计算即可． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 4．（2025·广东佛山·三模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练的进行计算是解题的关键．先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当，时，原式． 5．（2025·广东东莞·模拟预测）已知．化简A． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算．利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可． 【详解】解： 6．（2025·广东东莞·模拟预测）计算及化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）先进行乘方运算，再进行乘法运算，最后进行减法运算即可； （）先去括号，再合并同类项即可； 本题考查了负整数指数幂，整式的混合运算，掌握负整数指数幂和整式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 7．（2024·广东·模拟预测）已知 (1)化简P； (2)若某圆锥的底面半径为a，母线长为b，且侧面积为，求P 的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的应用，圆锥侧面积公式， （1）根据完全平方公式和平方差公式展开计算合并即可； （2）根据圆锥侧面积公式即可求出，即可得出答案． 【详解】（1） ； （2）根据题意，得 ， 解得， ∴． 命题预测6：因式分解 [省卷、广州填空必考，深圳选择常考] 1．（2024·广东·模拟预测）若，，则（　　） A．12 B．6 C．3 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 先对所求式子进行因式分解，再将已知条件代入求值． 【详解】解：∵，， ∴ , 故选：． 2．（2026·广东深圳·一模）因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 3．（2026·广东佛山·一模）因式分解：_________； 【答案】 【详解】解：． 4．（2026·广东深圳·一模）因式分解：_________． 【答案】 【分析】先提取多项式的公因式，再利用完全平方公式完成因式分解． 【详解】解： 5．（2024·广东揭阳·一模）分解因式： _____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．观察式子，发现可化为，从而提取公因式，再利用平方差公式分解，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．（2024·广东广州·模拟预测）因式分解： ___________． 【答案】 【分析】此题主要考查因式分解，熟练掌握“十字相乘法”是解答此题的关键． 利用“十字相乘法”进行因式分解即可得出答案． 【详解】解：原式， 故答案为：． 7．（2024·广东·模拟预测）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式m，再用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（2024·广东·二模）若，则_________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解、代数式求值．先提公因式得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 命题预测7：分式化简求值 [解答题基础题，三地高频] 1．（2026·广东深圳·一模）先化简，再求值：，其中a，b满足． 【答案】， 【分析】先把对应分式的分子和分母分解因式，再把除法变成乘法后约分，接着计算分式减法化简，最后求出，并代入化简式子中求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 2．（2026·广东深圳·一模）先化简，再从，0，2中选一个合适的数代入求值． 【答案】； 【分析】先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，再代入一个使分式有意义的值进行计算即可. 【详解】解：原式 ； 由于， ， 当时，原式. 3．（2026·广东广州·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算法则对式子化简，再代入x的值，根据二次根式的运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 4．（2026·广东中山·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题主要考查分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 对分式先化简，再代入即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 当时， 原式＝． 5．（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值：，其中是方程的一个根． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值及一元二次方程的解法，熟练掌握分式的化简求值及一元二次方程的解法是解题的关键；由题意可先对分式进行化简，然后再求解方程，进而代值求解即可． 【详解】解：原式 ； 方程因式分解得：， 解得：， ∵是方程的一个根，且， ∴， ∴代入得：原式． 6．（2025·广东广州·模拟预测）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先将原式化简，再利用整体代入法. 由已知条件 得出 ，代入化简后的式子求值即可． 【详解】解：由题意得，分母 且 ， 解得 且 . 解方程 得 或 ，均满足分式有意义的条件， ∵， ∴， ∴， 原式 将代入得，原式． 7．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算—化简求值，先根据分式的运算法则把原式化简，再把x的值代入计算得到答案，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 8．（2024·广东广州·模拟预测）已知：． (1)化简； (2)若函数为反比例函数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的定义和分式的化简求值，正确计算是解答本题的关键． （1）根据分式的除法法则进行计算即可； （2）由反比例函数的定义求出，再代入（1）化简的结果进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵函数为反比例函数， ∴， ∴． 命题预测8：一元二次方程根的判别式 [选择填空必考] 1．（2026·广东中山·模拟预测）若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，需满足判别式大于零且二次项系数不为零，需注意二次项系数不为零的条件． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， 解得：， ∴k的取值范围且， 故选：B． 2．（2024·广东·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式．一元二次方程有两个不相等的实数根，；一元二次方程有两个相等的实数根，；一元二次方程没有实数根，．熟练掌握是解决问题的关键． 根据方程有两个相等的实数根，求解，即可得到答案． 【详解】解：∵x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． ∴． 故选：B． 3．（2026·广东佛山·一模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，的值可以是_____（写出一个即可）； 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据“一元二次方程有两个不相等的实数根”列出关于的不等式，解之即可得出的取值范围，然后在的范围内取值即可． 【详解】解：将方程整理得：， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的值可以是． 4．（2024·广东·模拟预测）下列结论正确的是_________ ①方程无实数根；②三角形的内心到三角形三边距离相等； ③；④“如果，那么”的逆命题一定是真命题； ⑤若二次三项式是完全平方式，则． 【答案】②③⑤ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、完全平方式、三角形的内心、无理数的估算，根据以上知识点逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①由可得，，，，故，故方程有实数根，错误； ②三角形的内心到三角形三边距离相等，正确； ③∵， ∴，即， ∴，正确； ④逆命题为：如果，那么，此命题为假命题，例如：，，此时，，，故原说错误； ⑤∵二次三项式是完全平方式， ∴，正确； 综上所述，正确的有②③⑤， 故答案为：②③⑤． 5．（2024·广东·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且则_________． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，利用根与系数的关系得，，再代入得，然后解方程并检验即可，解题的关键是熟悉：一元二次方程的两个根为，则，． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵， 即 把，，代入整理得， 解得， ∵方程有两个实数根， ∴ ∴， 解得：， ∵都满足， ∴． 6．（2024·广东汕头·一模）已知关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系： （1）用根的判别式即可得到取值范围； （2）由根与系数的关系得到的值，代入求出的值，留下符合的数即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根和， ， 解得：． （2）解：由根与系数的关系得：， ， ， 将代入得， 解得：或， ， ． 7．（2025·广东广州·模拟预测）编题训练，其中小明同学编的练习题是：设，方程的两个实数根是、，求的值． 小明同学对这道题的解答过程是：解：∵，∴已知方程是， 又∵，， ∴， ∴． (1)请你针对以上练习题的解答的正误做出判断，并简述理由． (2)请你对小明同学所编的练习题中的k另取一个适当的正整数，其他条件不变，求的值． 【答案】(1)错误，理由见解析 (2)当时，原式或当时，原式 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据使用根与系数的关系的前提条件为，而当时，，即可判断； （2）根据题意，分别计算，时，根据根与系数的关系进行计算即可求解． 【详解】（1）解：以上练习题的解答是错误的，时，． 故方程无实数根； （2）解：∵方程的两个实数根是、， ∴， ∴， 故可取或， 当时，方程为，则，， 原式； 当时，方程为，则，， 原式． 故当时，原式，或当时，原式． 命题预测9：分式方程求解与增根 [省卷、广州解答常考] 1．（2024·广东广州·二模）如果关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法和分式方程的解法，解不等式组可得，解分式方程可得，再结合已知不等式组和分式方程解的情况即可求解． 【详解】解：不等式组整理得：， 解得：， 由不等式组有且只有两个奇数解，得到， 解得：， 即整数，3，4，5，6，7，8，9， 分式方程去分母得：， 解得：， 由分式方程解为非负整数， 得到，6，8，之和为16， 故选：B． 87．（2025·广东河源·模拟预测）嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解、解分式方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设印刷不清的分母为，由题意得，得出，再逐项分析即可判断． 【详解】解：设印刷不清的分母为， 由题意得，， 解得：， A、当时，，符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，不符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选：A． 2．（2025·广东揭阳·一模）已知的半径是关于的方程的增根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【答案】A 【分析】本题主要考查分式方程的增根以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．根据题意得到，求出，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解：的半径是关于的方程的增根 ∴ ∴ ∴的半径是2， ∵圆心到直线的距离， 直线与的位置关系是相切． 故选：A． 3．（2025·广东汕尾·二模）若关于x的分式方程的解为，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了利用分式方程的解求参数．把代入方程，解方程即可求解． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得， 检验：当时，， ∴m的值为3 故选：D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）若关于的分式方程的解为2，则的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程，解决本题的关键是理解方程解的意义. 把方程的解代入方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可. 【详解】解：去分母得： 整理得： 因为分式方程的解为 故答案为：3． 5．（2025·广东揭阳·三模）若关于的分式方程无解，则的值是________ 【答案】2 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根，即进行求解即可． 【详解】解： 去分母，得：， 整理，得：； ∵方式方程无解，当分式方程有增根时，则：，解得， 把，代入，得：， 解得：； 故答案为：2． 命题预测10：方程与不等式的实际应用 [省卷、广州解答题涉及] 1．（2026·广东深圳·一模）随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品．某体育用品商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以元购进一批该款运动器材．商品上市后迅速售罄，商场随即又用元购进第二批同款运动器材．第二批购进的数量是第一批的倍，每套器材的进价比第一批多出元． (1)该商场两次共购进这种运动器材多少套？ (2)如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每套器材售价至少是多少元（结果取整数）？（） 【答案】(1)该商场两次共购进这种运动器材套； (2)每套器材售价至少是元． 【分析】（）设第一批购进运动器材套，则第二批购进套，根据题意可得，然后解分式方程并检验即可； （）设每套器材售价为元，由总利润率不低于可得，然后解不等式并检验即可． 【详解】（1）解：（1）设第一批购进运动器材套，则第二批购进套， 根据题意可得：， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则两次共购进：（套）， 答：该商场两次共购进这种运动器材套； （2）解：设每套器材售价为元， ∵成本为（元）， ∴利润为， 由总利润率不低于可得：， 解得， 因为取整数， 所以的最小值为， 所以每套器材售价至少是元． 2．（2026·广东深圳·一模）【阅读材料】 养成健康饮水的习惯 素材1 《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态．建议大家养成主动饮水的习惯．喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在． 素材2 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水过程中不计热量损失． 小贴士 接水过程不计热量损失，即：开水体积×开水的温度+温水的体积温水的温度=混合后的体积混合后的温度． 【问题解决】 (1)若用空杯先接了温水，后再接的开水，此时温水和开水混合后共有___________水； (2)小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题： ①小康接水的时间一共用了，得到一杯的水，求这杯水混合后的水温； ②若小康想得到一杯温度不低于的水（不计热量损失），求小康接开水的时间至少是多少秒？ 【答案】(1)温水和开水混合后共毫升水 (2)这杯水混合后的水温为；小康接开水的时间至少是秒． 【分析】（）根据题意列出算式，然后通过运算法则即可求解； （）设小康同学接了温水，则接了开水，根据题意得，解得，求出小康同学接了温水，开水，从而求得这杯水混合后的水温； 设小康接开水的时间是秒，由题意列出不等式，即可． 【详解】（1）解：， 答：此时温水和开水混合后共毫升水； （2）解：设小康同学接了温水，则接了开水， 根据题意得：， 解得：， ∴，， ∴小康同学接了温水，开水， ∴这杯水混合后的水温为； 设小康接开水的时间是秒，由题意得： ， 解得：， ∴接开水的时间至少是秒． 3．（2026·广东佛山·一模）阅读小明解不等式的过程： 解：不等号左右两边同乘以，得：    第一步 去括号，得：        第二步 移项，得：        第三步 合并同类项，得：        第四步 系数化为1，得：            第五步 请判断小明的解答过程是否正确．若不正确，请指出在哪一步首先出错，错误原因是什么？并写出正确的解答过程． 【答案】小明的解答过程不正确，第一步首先出错，错误原因和正确解答过程见详解 【分析】先根据不等式的基本性质和去括号法则，逐步检查小明的解题过程找出错误，再按照解一元一次不等式的正确步骤，求出原不等式的解集． 【详解】解：小明的解答过程不正确，第一步首先出错， 错误原因：不等式两边同乘负数时，不等号方向未发生改变， 正确解答过程：不等号左右两边同乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 4．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克14元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克16元． (1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要360元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要176元，求的值． (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1020元又不多于1028元，设购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案？哪种方案可让超市获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) 有3种购买方案．方案1：购买甲种蔬菜43千克，乙种蔬菜57千克；方案2：购买甲种蔬菜44千克，乙种蔬菜56千克；方案3：购买甲种蔬菜45千克，乙种蔬菜55千克．方案3可让超市获得最大利润，最大利润是490元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，以及一次函数的性质，解决本题的关键是根据题意由等量关系建立等式． （1）根据购买甲、乙两种蔬菜的金额列出二元一次方程组，求解m和n的值即可． （2）设购买甲种蔬菜x千克，则乙种蔬菜为千克，根据投入资金范围列出不等式组，求解x的取值范围，得到购买方案；利润函数为一次函数，根据系数判断增减性，从而找到最大利润即可． 【详解】（1）解：根据题意，得方程组： ， 化简①：除以5，得， 化简②：除以2，得， 两式相减，， 化简可得，，解得； 代入，解得； ∴． （2）解：设购买甲种蔬菜x千克，则乙种蔬菜千克， 投入资金为：， ∵投入资金不少于1020元又不多于1028元， ∴，即， 解得， x为正整数，即， 购买方案： 方案1：甲43千克，乙57千克； 方案2：甲44千克，乙56千克； 方案3：甲45千克，乙55千克； 设利润y元， 则利润， ∵，即y随x增大而增大， 当时，利润y最大为． 答：方案3可让超市获得最大利润，最大利润是490元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数与式、方程、不等式的综合运算与变形 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一 正负数与相反意义的量 题型二 实数的分类与无理数判断 题型三 科学记数法表示大数/小数 题型四 整式的运算（幂的运算、乘法公式） 题型五 因式分解 题型六 分式的概念、有意义条件与化简求值 题型七 一元一次方程（组）的解法与应用 题型八 一元二次方程根的判别式与解法 题型九 一元一次不等式（组）的解法与数轴表示 必备知识 知识1 相反意义的量与正负数表示 知识2 实数的分类（有理数、无理数） 知识3 数轴、相反数、绝对值、倒数 知识4 科学记数法的表示形式 知识5 实数的运算法则与运算顺序 知识6 整式的加减乘除及幂的运算性质 知识7 乘法公式与因式分解方法 知识8 分式的基本性质与运算规则 知识9 二次根式有意义条件与化简 知识10 一元一次方程（组）的解法 知识11 一元二次方程的解法与根的判别式 知识12 分式方程的解法与验根 知识13 一元一次不等式（组）的解法与解集表示 命题预测 预测1 正负数与相反意义的量 [广东省卷2025第1题/深圳2025第1题/广州2025第1题] 预测2 实数分类与无理数判断 [广州2025第1题高频] 预测3 科学记数法 [三地三年必考，选择第1-3题] 预测4 实数混合运算 [解答题第1题，三地必考] 预测5 整式运算（幂运算、公式） [选择填空高频] 预测6 因式分解 [省卷、广州填空必考，深圳选择常考] 预测7 分式化简求值 [解答题基础题，三地高频] 预测8 一元二次方程根的判别式 [选择填空必考] 预测9 分式方程求解与增根 [省卷、广州解答常考] 预测10 方程与不等式的实际应用 [省卷、广州解答题涉及] 命题 透视 命题形式： 选择题、填空题及解答题 考察能力： 运算能力、抽象能力、推理能力 热考角度 考点 广东省卷 广州卷 深圳卷 实数 2025：T1（正负数）、T2（科学记数法）、T3（二次根式乘法）、T14（三角函数+零指数幂）、T16（解分式方程） 2024：T1（有理数加法）、T3（科学记数法）、T16（实数的混合运算） 2025：T1（负无理数）、T3（二次根式加减）、T14（实数的混合运算） 2025：T1（正负数）、T4（正弦定义）、T14（实数的混合运算） 2024：T2（实数大小比较）、T3（科学记数法）、T16（1）（实数混合运算） 数的开方与二次根式 2025：T3（二次根式乘法） 2024：T7（算术平方根应用） 2025：T3（二次根式加减） 2025：T14（算术平方根） 2024：计算里涉及，无单独考察 代数式与整式 2025：T5（整式运算）2024：T5（整式运算） 2025：T3（整式运算）、T19（化简求值） 2025：T5（整式运算） 2024：T4（整式运算） 分式 2025：T16（解分式方程） 2024：T17（分式化简求值） 2025：T13（分式有意义的条件）、T19（分式化简求值） 2025：T11（分式减法） 2024：T16（2）（分式化简） 方程（组） 2025：T7（平均增长率）、T13（判别式）、T16（解分式方程） 2024：T9（解分式方程）、T13（判别式） 2025：T4（判别式）、T15（求二次函数参数） 2025：T7（分式方程应用）、T9（一元一次方程解） 2024：T9（一元二次方程解）、T14（解二元一次方程组） 不等式（组） 2025：T17（解不等式组） 2024：T10（一次函数与不等式） 2025：T6（一次函数与不等式）、T17（解不 2025：T15（解不等式组）、T17（不等式组应用） 2024：T17（任务2、3）（不等式的应用） 命题预测 1. 考情预测 · 根据近两年广东省内中考的趋势，2026年的中考中，“数与式、方程、不等式”板块仍是基础题和计算题的核心。 · 科学记数法、实数的性质与运算、整式与分式的化简求值、解方程（组）与不等式（组）是必考内容。 · 预计将继续加强运算能力的考查，并会将方程与不等式的知识融入实际应用问题（如方案选择、利润最值）中进行综合考查。 2. 备考建议 · 熟练掌握各类运算法则和性质，特别是幂的运算、乘法公式、分式化简等。 · 强化解一元一次方程（组）、一元二次方程、分式方程、一元一次不等式（组）的技能，并注意检验增根。 · 体会转化、数形结合、模型思想，提高在不同情境下准确运算和灵活应用的能力。 题型一 正负数与相反意义的量 1. 先规定一个量为正，另一个相反意义的量为负，明确相反关键词（如收入/支出、上升/下降）。 1. 表示时必须带上单位，区分“相反意义”与“数值相反”，结合实际场景判断正负。 1．（2025·广东·中考真题）某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·中考真题）节约水5吨记作吨，则浪费水2吨记作（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 题型二 实数的分类与无理数判断 1. 实数分有理数（整数、分数）和无理数，无理数仅3类：无限不循环小数、含π（化简后非有理数）、开方开不尽的数。 2. 注意区分：无限循环小数是有理数，带根号的数不一定是无理数（如√4=2是有理数）。 1．（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 2．（2025·广东深圳·中考真题）实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ）    A． B．b C． D． 3．（2024·广东深圳·中考真题）如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（    ） A．a B．b C．c D．d 题型三 科学记数法 1. 统一形式：（，n为整数），a不能是分数或负数。 2. 大数：n=整数位数-1（如123000，n=5）；小数：n为负，绝对值=小数点左边0的个数（如0.00012，n=-4）。 1．（2025·广东·中考真题）依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·中考真题）年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·中考真题）近年来，城市电动自行车安全充电需求不断攀升．截至2023年5月底，某市已建成安全充电端口逾280000个，将280000用科学记数法表示为____________． 题型四 整式的运算（幂的运算、乘法公式） 1. 幂的运算：同底数幂相乘、相除，幂的乘方。 2. 乘法公式（平方差、完全平方）直接套用，注意符号和系数，去括号时负号要变号。 3. 合并同类项：只合并系数，字母及指数不变，避免漏项、错合。 1．（2025·广东深圳·中考真题）计算：． 2．（2024·广东·中考真题）计算：． 3．（2023·广东·中考真题）（1）计算：； （2）已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式． 题型五 因式分解 1. 步骤：先提公因式（含系数、字母），再套公式（平方差、完全平方），优先提公因式。 2. 分解要彻底，直到每个因式不能再分解（如需分解为）。 1．（2025·广东·中考真题）因式分解：______． 2．（2024·广东深圳·中考真题）已知实数a，b，满足，，则的值为______． 3．（2024·广东广州·中考真题）已知，代数式：，，． (1)因式分解A； (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 题型六 分式的概念、有意义条件与化简求值 1. 有意义条件：分母不为0（注意整体分母，如，）。 2. 化简：先对分子、分母因式分解，再约分，避免直接约分漏项。 3. 求值：先化简，再选使分母不为0的合适数值代入，不直接代入原式。 1．（2025·广东广州·中考真题）求代数式的值，其中． 2．（2024·广东深圳·中考真题）先化简，再代入求值：，其中． 题型七 一元一次方程（组）的解法与应用 1. 一元一次方程：去分母（不含分母的项也要乘）、去括号、移项变号、合并同类项、系数化为1。 2. 方程组：用代入或加减消元法消去一个未知数，求解后验根，确保代入原方程左右相等。 1．（2025·广东深圳·中考真题）若关于的方程的解为，则__________． 2．（2024·广东深圳·中考真题）一元二次方程的一个解为，则______． 3．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为______． 题型八 一元二次方程根的判别式与解法 1. 先算判别式，判断根的个数：两不等实根，两相等实根，无实根。 2. 解法优先选因式分解法，再选直接开方、配方法，最后用公式法，结果要写全两个根。 1．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 2．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________． 3．（2025·广东·中考真题）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是_____． 4．（2024·广东·中考真题）如果关于x的方程有两个相等的实数根，则___________． 题型九 一元一次不等式（组）的解法与数轴表示 1. 解不等式：移项变号同方程，系数化为1时，系数为负则不等号反向。 2. 解不等式组：分别解每个不等式，取公共部分；数轴表示：实心点（≥、≤），空心点（>、<），方向标对。 1．（2025·广东广州·中考真题）解不等式组，并在数轴上表示解集． 2．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 3．（2025·广东深圳·中考真题）解一元一次不等式组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：__________， 由不等式②得：__________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为__________． 知识1 相反意义的量与正负数表示 生活中具有相反意义的量（如收入与支出、上升与下降、零上与零下），可用正数和负数区分表示。 规定其中一种量为正，另一种相反的量为负；0既不是正数，也不是负数，是正负数的分界。 知识2 实数的分类（有理数、无理数） 有理数：整数（正整数、0、负整数）+ 分数（正分数、负分数），可表示为有限小数或无限循环小数。 无理数：无限不循环小数，常见如、、。 实数 = 有理数 + 无理数，实数与数轴上的点一一对应。 知识3 数轴、相反数、绝对值、倒数 数轴：三要素为原点、正方向、单位长度，可直观表示数的大小与位置。 相反数：数的相反数是；互为相反数的两数和为0，在数轴上关于原点对称。 绝对值：表示数在数轴上到原点的距离，；正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数，0的绝对值是0。 倒数：数的倒数是；互为倒数的两数积为1，0没有倒数。 知识4 科学记数法的表示形式 表示形式： 要求：，为整数； 大数：小数点左移几位，为正几；小数：小数点右移几位，为负几。 知识5 实数的运算法则与运算顺序 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内；同级运算从左至右。 运算法则： · 加法：同号相加取同号，绝对值相加；异号相加取绝对值大的符号，绝对值相减。 · 减法：减去一个数等于加它的相反数。 · 乘除：同号得正，异号得负，0乘除任何数得0。 知识6 整式的加减乘除及幂的运算性质 幂的运算（为整数）： ，，，， 整式加减：去括号，合并同类项（同类项：字母及指数相同）。 整式乘除：单项式乘除系数、字母分别运算；多项式乘除按分配律展开。 知识7 乘法公式与因式分解方法 乘法公式： · 平方差： · 完全平方： 因式分解：先提公因式→再用公式法（平方差、完全平方）→十字相乘法，分解至不能再分解为止。 知识8 分式的基本性质与运算规则 基本性质：分子、分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式值不变。 运算： · 加减：先通分，化为同分母分式再计算； · 乘除：先约分，再分子乘分子、分母乘分母； 前提：分式有意义⇨分母≠0。 知识9 二次根式有意义条件与化简 有意义条件：被开方数大于或等于0，即有意义⇨。 化简规则： · ，，； · 结果要求：不含可开方因数、分母不含根号。 知识10 一元一次方程（组）的解法 一元一次方程：步骤为去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 二元一次方程组： · 代入消元法：用一个未知数表示另一个，代入方程求解； · 加减消元法：通过系数变形，两式加减消去一个未知数。 知识11 一元二次方程的解法与根的判别式 解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。 根的判别式： · ⇨两个不相等实数根； · ⇨两个相等实数根； · ⇨无实数根。 知识12 分式方程的解法与验根 解法：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程求解。 验根：将解代入最简公分母，若公分母=0，为增根，必须舍去；公分母≠0，才是原方程的解。 知识13 一元一次不等式（组）的解法与解集表示 解法：步骤同方程，乘/除以负数时，不等号方向改变。 解集表示：用数轴表示，空心圈不含等号，实心点含等号。 不等式组：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）。 命题预测1：正负数与相反意义的量 [广东省卷2025第1题/深圳2025第1题/广州2025第1题] 1．（2024·广东·模拟预测）如果高于海平面100m记作，那么低于海平面50m应该记作（　　） A． B． C．m D．m 2．（2024·广东·模拟预测）若支出元记作“元”，则收入元可记作（　　 ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．（2025·广东深圳·三模）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”意思：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数如果温度上升，记作，那么温度下降记作（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东东莞·模拟预测）北宋沈括在《梦溪笔谈》中提到“算法用赤筹、黑筹，以别正、负之数”，古人用红色、黑色算筹分别表示具有相反意义的正数和负数，下列各数中不是负数的是（   ） A． B． C．1 D． 5．（2025·广东广州·二模）下列各数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·广东深圳·三模）手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（单位：元），若小颖当天微信收支的最终结果是收入6元，则应表示为（　　） 转账——来自小明 微信红包——发给小红 A． B． C． D． 7．（2025·广东清远·二模）中国是世界上最早使用负数的国家，若上升17米记作米，则米表示（　　） A．上升5米 B．下降5米 C．下降17米 D．上升17米 命题预测2：实数分类与无理数判断 [广州2025第1题高频] 1．（2024·广东·模拟预测）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东阳江·二模）下列各数中，为负数的是（   ） A． B． C．0 D． 3．（2022·广东广州·三模）下列四个选项中，为无理数的是（    ） A．−2 B． C． D．0 4．（20-21七年级下·北京海淀·期中）下列实数，，（相邻两个1之间依次多一个0），，，中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2022·浙江金华·中考真题）在中，是无理数的是（    ） A． B． C． D．2 命题预测3：科学记数法 [三地三年必考，选择第1-3题] 1．（2026·广东佛山·一模）国家知识产权局数据显示：截至2025年，我国国内有效发明专利达件，并连续多年位居全球第一．将数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东惠州·一模）惠州西湖新春灯会于2026年2月14日至3月3日共计接待游客60.3万人次，60.3万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东广州·一模）广州地铁线网密度持续提升，某条线路日均客流量约为人次，这个数据原数是（    ） A．1250 B．12500 C．125000 D．1250000 4．（2025·广东揭阳·三模）华为某型号手机的芯片采用的是水平，，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东揭阳·三模）梅花象征着坚韧不拔、奋勇当先的美好品质，很多描写梅花的诗句广为流传，比如“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知梅花花粉的直径约为米．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·广东·二模）小病毒是一类已知最小的动物病毒，已知某种小病毒的直径约为， 即． 数据“” 用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·广东清远·一模）已知：1纳米米，则纳米用科学记数法表示为______米． 8．（2025·广东广州·三模）数字用科学记数法表示为___________． 命题预测4：实数混合运算 [解答题第1题，三地必考] 1．（2026·广东深圳·一模）计算：． 2．（2026·广东深圳·一模）计算： 3．（2026·广东深圳·一模）计算．． 4．（2026·广东佛山·一模）计算与解方程组 (1)； (2) 5．（2026·广东深圳·一模）计算：． 6．（2026·广东惠州·一模）计算： 7．（2026·广东中山·模拟预测）计算：． 命题预测5：整式运算（幂运算、公式） [选择填空高频] 1．（2025·广东·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东广州·模拟预测）求代数式的值，其中， 3．（2025·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 4．（2025·广东佛山·三模）先化简，再求值：，其中，． 5．（2025·广东东莞·模拟预测）已知．化简A． 6．（2025·广东东莞·模拟预测）计算及化简： (1) (2) 7．（2024·广东·模拟预测）已知 (1)化简P； (2)若某圆锥的底面半径为a，母线长为b，且侧面积为，求P 的值． 命题预测6：因式分解 [省卷、广州填空必考，深圳选择常考] 1．（2024·广东·模拟预测）若，，则（　　） A．12 B．6 C．3 D．1 2．（2026·广东深圳·一模）因式分解：______． 3．（2026·广东佛山·一模）因式分解：_________； 4．（2026·广东深圳·一模）因式分解：_________． 5．（2024·广东揭阳·一模）分解因式： _____． 6．（2024·广东广州·模拟预测）因式分解： ___________． 7．（2024·广东·模拟预测）因式分解：________． 8．（2024·广东·二模）若，则_________． 命题预测7：分式化简求值 [解答题基础题，三地高频] 1．（2026·广东深圳·一模）先化简，再求值：，其中a，b满足． 2．（2026·广东深圳·一模）先化简，再从，0，2中选一个合适的数代入求值． 3．（2026·广东广州·一模）先化简，再求值：，其中． 4．（2026·广东中山·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 5．（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值：，其中是方程的一个根． 6．（2025·广东广州·模拟预测）化简求值：，其中． 7．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中 8．（2024·广东广州·模拟预测）已知：． (1)化简； (2)若函数为反比例函数，求的值． 命题预测8：一元二次方程根的判别式 [选择填空必考] 1．（2026·广东中山·模拟预测）若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（   ） A． B．且 C． D．且 2．（2024·广东·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·广东佛山·一模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，的值可以是_____（写出一个即可）； 4．（2024·广东·模拟预测）下列结论正确的是_________ ①方程无实数根；②三角形的内心到三角形三边距离相等； ③；④“如果，那么”的逆命题一定是真命题； ⑤若二次三项式是完全平方式，则． 5．（2024·广东·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且则_________． 6．（2024·广东汕头·一模）已知关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)当时，求的值． 7．（2025·广东广州·模拟预测）编题训练，其中小明同学编的练习题是：设，方程的两个实数根是、，求的值． 小明同学对这道题的解答过程是：解：∵，∴已知方程是， 又∵，， ∴， ∴． (1)请你针对以上练习题的解答的正误做出判断，并简述理由． (2)请你对小明同学所编的练习题中的k另取一个适当的正整数，其他条件不变，求的值． 命题预测9：分式方程求解与增根 [省卷、广州解答常考] 1．（2024·广东广州·二模）如果关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 87．（2025·广东河源·模拟预测）嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东揭阳·一模）已知的半径是关于的方程的增根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 3．（2025·广东汕尾·二模）若关于x的分式方程的解为，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．9 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）若关于的分式方程的解为2，则的值为______． 5．（2025·广东揭阳·三模）若关于的分式方程无解，则的值是________ 命题预测10：方程与不等式的实际应用 [省卷、广州解答题涉及] 1．（2026·广东深圳·一模）随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品．某体育用品商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以元购进一批该款运动器材．商品上市后迅速售罄，商场随即又用元购进第二批同款运动器材．第二批购进的数量是第一批的倍，每套器材的进价比第一批多出元． (1)该商场两次共购进这种运动器材多少套？ (2)如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每套器材售价至少是多少元（结果取整数）？（） 2．（2026·广东深圳·一模）【阅读材料】 养成健康饮水的习惯 素材1 《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态．建议大家养成主动饮水的习惯．喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在． 素材2 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水过程中不计热量损失． 小贴士 接水过程不计热量损失，即：开水体积×开水的温度+温水的体积温水的温度=混合后的体积混合后的温度． 【问题解决】 (1)若用空杯先接了温水，后再接的开水，此时温水和开水混合后共有___________水； (2)小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题： ①小康接水的时间一共用了，得到一杯的水，求这杯水混合后的水温； ②若小康想得到一杯温度不低于的水（不计热量损失），求小康接开水的时间至少是多少秒？ 3．（2026·广东佛山·一模）阅读小明解不等式的过程： 解：不等号左右两边同乘以，得：    第一步 去括号，得：        第二步 移项，得：        第三步 合并同类项，得：        第四步 系数化为1，得：            第五步 请判断小明的解答过程是否正确．若不正确，请指出在哪一步首先出错，错误原因是什么？并写出正确的解答过程． 4．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克14元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克16元． (1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要360元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要176元，求的值． (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1020元又不多于1028元，设购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案？哪种方案可让超市获得最大利润，最大利润是多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $