专题04 二次函数的图象与性质（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题04 二次函数的图象与性质 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一 二次函数解析式的确定（一般式、顶点式、交点式） 题型二 二次函数图象的基本性质判断（开口方向、对称轴、顶点坐标） 题型三 二次函数中、、的符号与图象特征的关联 题型四 二次函数的增减性与最值求解 题型五 二次函数图象与坐标轴的交点问题 题型六 二次函数的图象平移（左加右减、上加下减） 题型七 二次函数与一元二次方程、不等式的综合判断 必备知识 知识1 二次函数的三种表达式：一般式、顶点式、交点式 知识2 二次函数图象的开口方向与的关系，对称轴公式，顶点坐标求法（公式法、配方法） 知识3 由二次函数图象判断、、、、等的符号 知识4 二次函数增减性的判断（结合对称轴与开口方向） 知识5 二次函数最值的求解（顶点最值、区间最值） 知识6 二次函数图象的平移规律（只变顶点，不变） 知识7 二次函数与轴交点个数与的关系，与轴交点坐标求法 知识8 二次函数与一元二次方程、不等式的转化关系（函数值与0的大小关系） 命题预测 预测1 二次函数、、的符号判断 [常在A卷选择题] 预测2 待定系数法求二次函数解析式 [2024年25题、2025年26题] 预测3 二次函数的增减性与最值【高频考点】 预测4 二次函数的图象平移 [2024年25(3)题] 预测5 二次函数图象与坐标轴的交点问题 [两年必考] 预测6 二次函数的顶点式应用与性质分析 [2025年26(1)题] 预测7 二次函数与不等式的综合判断 [常在A卷选择题] 命题 透视 命题形式： 选择题、填空题及解答题（以B卷解答题压轴考查为主，基础性质偶现于选择/填空） 考察能力： 数形结合应用能力、运算求解能力、函数性质推理能力、几何与函数综合建模能力、分类讨论思想应用能力 热考角度 考点 2025年 2024年 二次函数的图象与基础性质（增减性、对称性） 无单独基础考题，融入T26综合压轴题考查 T23：二次函数增减性、图象上点的函数值大小比较、参数取值范围求解 二次函数的解析式求解 T26(1)：利用对称轴和图象上点的坐标，待定系数法求二次函数解析式 T25(1)：结合抛物线与x轴交点，求二次函数相关线段长（解析式基础应用） 二次函数与坐标轴的交点 融入T26综合压轴题，结合直线与抛物线交点考查 T25(1)：抛物线与x轴交点距离求解，核心考查交点性质 二次函数的最值与取值范围 T26(2)：结合抛物线与线段的公共点，求参数h的取值范围（最值衍生考点） T25(2)：结合三角形面积相等，求抛物线上点的参数值（取值范围应用） 二次函数的平移与图象变换 无单独考查，融入T26(3)抛物线与直线的位置关系考查 T25(3)：抛物线的平移变换，求平移后抛物线解析式及定点问题 二次函数与几何/直线综合应用 T26(3)：二次函数与直线垂直、中点坐标、角平分线结合，探究对称轴上的定点 T25(3)：二次函数与平移、等腰三角形、一次函数结合，判断抛物线是否过定点 命题预测 1. 考情预测 · 根据2024-2025年成都中考的命题趋势，2026年该专题仍是函数板块的压轴核心，分值占比高且难度大；基础性质（增减性、对称性、点的函数值比较）大概率在B卷填空题中单独考查，解析式求解、与坐标轴交点为基础必会考点，常融入综合题第一问；压轴解答题将延续“求解析式→结合线段/面积求参数范围→与几何图形/直线综合探究定点/存在性”的命题思路，重点考查二次函数与一次函数、几何图形（三角形、角平分线）的综合应用，平移变换、定点探究为高频考向，整体侧重数形结合和分类讨论思想的应用。 2. 备考建议 · 熟练掌握二次函数的三种解析式（一般式、顶点式、交点式）及待定系数法求解，牢记二次函数的核心性质（对称轴、增减性、最值、图象与坐标轴交点特征）；强化数形结合思想，能将函数的代数特征转化为图象几何特征，反之能根据图象信息推导函数解析式和参数范围；掌握二次函数与直线交点的求解方法（联立方程组），熟练解决与三角形面积、线段位置关系相关的参数求解问题；积累二次函数平移、定点探究、存在性问题的解题思路，注重分类讨论思想在复杂综合题中的应用；规范解题步骤，尤其是压轴题中解析式求解、几何条件转化的书写过程，避免因步骤疏漏导致失分。 题型一 二次函数解析式的确定 1. 根据已知条件选择合适解析式： · 已知三点选用一般式 ； · 已知顶点、对称轴或最值选用顶点式 ； · 已知与x轴两个交点选用交点式 。 1. 将对应点坐标代入所设解析式，建立方程或方程组。 1. 求解系数，注意 的限制条件。 1. 把求出的系数代回，写出完整二次函数解析式。 1. 图像平移类问题，先抓顶点坐标，按平移规律确定新顶点再写解析式。 1. 代入已知点检验，确认解析式正确。 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，下列说法正确的是（   ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．，两点间的距离为3 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点， ∴，解得， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， ∴当时，的值随值的增大而增大， 故A、B错误，D正确； ∵，对称轴为直线，点， ∴， ∴，故C错误． 故选：D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．当时，t的值为____；点在抛物线上，若，则的取值范围为____． 【答案】 2 【分析】此题考查了二次函数的性质．将及点，代入抛物线，解得，即可得到t的值；根据确定对称轴的取值范围，进而可确定的取值范围． 【详解】解：将点，代入抛物线，得 ， 解得， ∴； ∵， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴， 解得， ∴，即， 当时，； 当时，， ∴的取值范围是． 故答案为：2；． 3．（2024·四川攀枝花·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为． (1)若，且点在函数的图象上，求此时函数的最小值； (2)若函数的图象经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)若函数的图象的对称轴为，点在函数的图象上，且总有，求m的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合的思想进行解答． （1）根据待定系数法求出函数解析式，然后配方成顶点式，即可求解； （2）把，代入抛物线解析式得出，的关系，然后求出对称轴，由函数的增减性求出的取值范围即可； （3）由，得到离对称轴越远，函数值越大，则点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，得出关于m的不等式，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：当，且点在函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴函数图象开口向上， ∴当时，有最小值为2； （2）解：∵过， ∴， ∴， ∴对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ， 解得， 又 ∴； （3）解：∵点，在抛物线上， ∵， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，在抛物线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴， 解得． 题型二 二次函数图象的基本性质判断 1. 由二次项系数a判断开口方向，a>0向上，a<0向下，|a|大小决定开口宽窄 2. 由对称轴公式x=-b/(2a)确定对称轴，结合对称轴位置判断b的符号 3. 依据顶点坐标确定函数最值，结合开口方向判断增减性 4. 由常数项c确定函数与y轴的交点坐标 5. 利用判别式Δ判断函数图象与x轴的交点个数 6. 结合图象位置，判断a、b、c及特殊点函数值的符号 7. 利用函数对称性，根据对称点坐标分析图象特征 8. 遵循平移规律，判断图象平移后的解析式与性质变化 1．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选：B． 2．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 3．（2026·四川泸州·一模）抛物线的顶点坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，熟练掌握一般式化顶点式的过程是解题关键． 通过配方法将一般式转化为顶点式来求解． 【详解】解：， ∴顶点坐标为． 故答案为：． 题型三 二次函数中、、的符号与图象特征的关联 1. 由抛物线开口方向判断a的符号，开口向上a>0，开口向下a<0 2. 由对称轴位置判断ab的符号，对称轴在y轴左侧时ab同号，在右侧时ab异号，对称轴为y轴时b=0 3. 由抛物线与y轴交点位置判断c的符号，交点在y轴正半轴c>0，在原点c=0，在负半轴c<0 4. 代入特殊点判断代数式符号，x=1时对应y=a+b+c，x=-1时对应y=a−b+c，结合函数值正负判断符号 5. 结合抛物线与x轴交点个数，由判别式Δ=b²−4ac的正负判断符号关系 6. 利用对称轴公式转化等量关系，结合已知符号推导未知系数符号 1．（2025·四川德阳·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的性质及二次函数与一次函数的交点，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．根据抛物线与x轴的交点及开口方向确定系数符号，结合对称轴公式和交点坐标分析各结论的正确性即可． 【详解】解：∵抛物线过点和（）， ∴设抛物线为， ∴， ∴，， ∵且， ∴，， ∴，结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，结论②错误； 由题意，第一种情况，若， ∵对称轴直线， ∴对称点的横坐标为， ∴两点间的横向距离为， ∵， ∴，即， 第二种情况，若， ∵该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）如图，     ∴，故结论③不正确； 当时，方程的根为和， 即， ∵， ∴不等式的解集为，结论④正确． 综上，正确结论为①④，共2个， 故选：B． 2．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】首先由抛物线开口向上得到，然后由对称轴得到，然后由抛物线与y轴交于负半轴得到，即可判断①；由对称轴为直线得到，然后将代入抛物线得到，代入得到，然后根据得到，即可判断②；设抛物线对称轴与x轴交于点E，将代入抛物线得到，求出，然后求出，得到，得到，即可判断③；分别将和代入方程，整理求出和或6，进而求解即可． 【详解】∵抛物线开口向上 ∴ ∵对称轴为直线 ∴ ∵抛物线与y轴交于负半轴 ∴ ∴，故①错误； ∵对称轴为直线 ∴ ∵在抛物线上 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故②正确； 如图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点E， 将代入 将，代入得， ∴ ∵ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是钝角三角形，故③正确； ∵ ∴当时，， ∴方程转化为 解得； ∴当时，， ∴方程转化为 解得或6； ∵方程的两根为、 ∴，，故④正确． 综上所述，其中正确结论有3个． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和x轴交点问题，解直角三角形，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，即得，进而可判断，即可判断结论①；当时，，即，可判断结论②；根据二次函数与x轴的交点结合二次函数的对称性即可判断结论③④，可得答案. 【详解】解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴， ∴， 又∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 由函数的图象可得：当时，，即， 即，故结论②错误； ∵二次函数的图象交x轴于A，B两点，点A，点B， ∴关于x的方程的解是，，，故结论③④正确； 综上，结论正确的有3个， 故选：C. 4．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，且，当时，则的取值范围为．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据函数图象结合二次函数的性质，先判断的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为，则当时，，即可判断②；根据，，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据，结合函数图象分析，即可得出，进而判断⑤，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则 ∴， 又∵抛物线与轴交点坐标是，即， ∵，即， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， ∴另一个交点坐标为， ∴当时，，故②错误； ∵，在抛物线的图象上， ∴， 又∵， ∴， ∴即， ∵，即， ∴， ∴即， 当时，取得最大值，最大值为， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， 即， ∵ 对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小， 又∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确； ∵若点在抛物线上，且， ∴，， ∵存在， ∴，， 即，，， 解得：，故⑤正确； 故正确的有①③④⑤，共4个． 故选：C． 题型四 二次函数的增减性与最值求解 1. 先确定开口方向：由a的正负判断，a>0开口向上，a<0开口向下。 2. 找准对称轴：公式为，以对称轴为分界判断增减性。 3. 增减性判断：开口向上时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧增大；开口向下则相反。 4. 最值分两类：无范围限制时，顶点处取最值；有自变量取值范围时，看区间是否包含对称轴。 5. 含范围求最值：包含对称轴则顶点为最值，不包含则看端点函数值，比较大小确定。 6. 计算验证：代入顶点或端点坐标求函数值，规范写出最值及对应x的值。 1．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，化成顶点式的方法是解题的关键． ①当时，求出的值即可判断；②把函数解析式化为顶点式求出最大值即可判断；③根据函数的性质即可判断． 【详解】解：①当时，，故①正确； ②， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，故②错误； ③由②可知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，高度随着时间的增大而减小，故③正确， ∴正确的个数有 2 个， 故选：C． 2．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为______． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，从函数图象中获取信息，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键，根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，最值结合对称轴判断②；作点关于对称轴的对称点，连接，的长即为的最小值，勾股定理求出的长，判断③，对称性结合增减性，判断④即可． 【详解】解：由图象和题意可知：，当时，， ∴， ∴，；故①错误， 当时，函数取得最小值为：， ∴对于任意实数m，， ∴的值不小于2，故②正确； 作点关于对称轴的对称点，连接， 则：， ∴当点在上时，的值最小为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为；故③正确； ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，满足且， ∴， ∴点离对称轴远， ∴；故④正确； 故答案为：②③④． 3．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 【答案】(1)三边长分别为 (2)三边长分别为 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设垂直于墙的一边长，根据矩形围栏的面积为列出方程，解方程并选取合适的解即可； （2）设矩形围栏的面积为．根据矩形围栏的面积列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长， 则 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，（符合题意） 三边长分别为：． （2）解：设矩形围栏的面积为． 则有 当时．有最大值 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 题型五 二次函数图象与坐标轴的交点问题 1. 与y轴交点：令x=0，得y=c，交点坐标为(0,c)，由c的符号判断交点位置。 2. 与x轴交点：令y=0，解一元二次方程ax²+bx+c=0，根即为交点横坐标。 3. 判别式判断交点个数：Δ>0有两个不同交点，Δ=0有一个交点，Δ<0无交点。 4. 交点相关计算：利用韦达定理求两根和、积，计算交点间距离。 5. 结合图像取舍：根据图像象限与题意，排除不符合实际的根。 6. 特殊交点：过原点时c=0，对称轴为y轴时b=0。 1．（2025·四川乐山·中考真题）已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数中，， 则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线为，故①正确． 令， 则， 当时，则， 则二次函数的图象与轴有两个交点，故②正确． 点到对称轴直线的距离为，二次函数的图象开口向上，则距离对称轴越远的点，函数值越大， 故若，则，故③错误． 联立与， 则， 整理得：， 则，解得：， 令，对称轴为直线， ∵当时，二次函数的图象与的图象有两个交点， 故当时，， 解得：． 解得：，故④正确， 综上：①②④正确， 故选：C 2．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围． 【详解】解：∵函数图象关于轴对称，当时，， ∴当时，；当时，． 画出函数图象： 当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分． 当时，，是一条为，过的射线． 根据对称性画出时的函数图象． 联立（时），得， 当，即时，直线与（）相切． 当直线过时，． 结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 故选：A． 3．（2025·四川达州·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质以及二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，可得，根据抛物线与x轴交于点，点，当时，即可逐一判断，进而求解. 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点，点，当时， ∴抛物线的对称轴是直线，，， 故结论③④正确； ∴，即，， 故结论②正确； ∴， 故结论①正确； 综上，说法正确的有4个； 故选：D. 4．（2023·四川资阳·中考真题）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象开口向上可得：， 由于图象与轴交于负半轴，可知：， 根据对称轴公式：可知：， ， ， ，故①正确； 抛物线过点， ， ， ， 即：，故②正确； 当时，取得最小值， ， （为任意实数），故③错误； 抛物线开口向上，对称轴为直线，若点是图象上任意两点，且， 则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离， 根据图象可知：，故④正确； 其中正确的结论是：①②④， 故选：C． 5．（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（     ） ①；②抛物线的顶点坐标为； ③；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、根的判别式、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由有两实根，，可得，即可得，故可判断①又抛物线的对称轴是直线，进而抛物线的顶点为c)，再结合，可得，故可判断②；依据题意可得，又，进而可得，从而可以判断③；由，故，即对于函数，当时的函数值小于当时的函数值，再结合，抛物线的对称轴是直线，从而根据二次函数的性质即可判断④． 【详解】解：由题意，∵有两实根， ． ∴得，． ∴，故①正确． ， ∴抛物线的对称轴是直线． ∴抛物线的顶点为． 又， ∴，即． ∴． ∴． ∴顶点坐标为，故②正确． ∵， ∴． 又， ， ∴，故③错误． ， ， ∴对于函数，当时的函数值小于当时的函数值． ∵，抛物线的对称轴是直线， 又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ， ， ∴，故④错误． 综上，正确的有①②共2个． 故选：B． 题型六 二次函数的图象平移（左加右减、上加下减） 1. 先将二次函数化为顶点式 ，明确原顶点坐标 。 2. 遵循平移口诀：左右平移变括号（左加右减），上下平移变常数（上加下减）。 3. 向左/右平移 个单位： 替换为 ；向上/下平移 个单位：整体 或 。 4. 平移后根据新顶点坐标，直接写出平移后的解析式。 5. 反向平移时，按相反方向、相同单位逆向变换。 6. 代入特殊点验证，确保解析式与平移后图像一致。 1．（2025·四川眉山·中考真题）如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出，当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出S，据此可判断①；当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，据此可判断②；求出当时，t的值，可得的长，再利用勾股定理求出的长，据此可判断③；可求出P在上时，；函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则，据此可判断④． 【详解】解：由图2可知当点P运动到B点时，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）； ∵动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， ∴当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上， ∴此时， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴当时，，故①正确； 当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为，故②错误 在中，当时，解得或， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故③错误； ∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； 点P在上运动时， 函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ∴， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 2．（2024·四川巴中·中考真题）若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为______．（少选得1分，错选得0分，选全得满分） ① ②当时，代数式的最小值为3 ③对于任意实数，不等式一定成立 ④，为该二次函数图象上任意两点，且．当时，一定有 【答案】①③④ 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，抛物线的平移，抛物线的增减性的应用，利用的应用二次函数的性质是解本题的关键． 由二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．可得，可得①符合题意；由，可得，结合，可得②不符合题意；由对称轴为直线，结合，可得③符合题意；分三种情况分析④当时，当时，满足，当时，不满足，不符合题意，舍去，可得④符合题意； 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线， 而二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称． ∴， ∴，故①符合题意； ∴， ∴ ， ， ∵， ∴当时，取最小值，故②不符合题意； ∵， ∴对称轴为直线， ∵， 当时，函数取最小值， 当时，函数值为， ∴， ∴对于任意实数，不等式一定成立，故③符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， 当时，满足， ∴， ∴， 当时，不满足，不符合题意，舍去，故④符合题意； 综上：符合题意的有①③④； 故答案为：①③④． 3．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若的面积与的面积相等，求的值； (3)延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)抛物线与交于定点 【分析】（1）根据题意可得，整理得，即可知则有； （2）由题意得抛物线：，则设，可求得，结合题意可得直线解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点E，则，即可求得，进一步解得点，过D作于点H，则，即可求得； （3）设可求得直线解析式为，过点D作，可得，结合题意得设抛物线解析式为，由于过点，可求得抛物线解析式为，根据解得，即可判断抛物线与交于定点． 【详解】（1）解：∵抛物线：与轴交于A，B两点， ∴，整理得，解得 ∴ 则； （2）当时，抛物线：， 则 设，则， 设直线解析式为， ∵点D在直线上， ∴，解得， 则直线解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点E，则， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴，解得， ∴点， 过点D作于点H，则， 则； （3）设直线解析式为， 则，解得， 那么直线解析式为， 过点D作，如图， 则， ∵， ∴， ∵将沿方向平移得到， ∴ 由题意知抛物线平移得到抛物线，设抛物线解析式为， ∵点，都落在抛物线上   ∴ 解得， 则抛物线解析式为 ∵ 整理得，解得， ∴抛物线与交于定点． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、两点之间的距离、一次函数的性质、求正切值、二次函数的平移、等腰三角形的性质和抛物线过定点，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的应用． 4．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)点E的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在下方时，可证明点P与点C关于抛物线对称轴对称，据此根据对称性可得点P坐标；当点P在上方时，设直线交x轴于H，则可证明，设，利用两点距离计算公式可得，解得，则；求出直线解析式为，联立直线解析式和抛物线解析式求出点P的坐标即可； （3）先由对称性求出由对称性可得，求出，，则；则可推出将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线，据此打得到新抛物线解析式为；再分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可． 【详解】（1）解；把代入到中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；如图2-1所示，当点P在下方时， ∵， ∴， ∴点P与点C关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴点P的坐标为； 如图2-2所示，当点P在上方时，设直线交x轴于H， ∵， ∴， ∴ 设， ∴， 解得， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：由（2）可得原抛物线对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可得， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线， ∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为， 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，两点距离计算公式等等，解（2）的关键在于分两种情况讨论求解，解（3）的关键在于利用平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解． 题型七 二次函数与一元二次方程、不等式的综合判断 1. 数形结合为核心，以抛物线图像为依据，关联方程根与不等式解集。 2. 抛物线与x轴交点的横坐标，对应一元二次方程的实数根；判别式Δ的正负，直接对应交点个数与方程根的情况。 3. 解一元二次不等式时，看抛物线在x轴上方/下方的区间：开口向上时，y>0取交点外侧，y<0取交点内侧；开口向下则相反。 4. 结合对称轴、顶点坐标，判断方程根的分布与函数值的正负范围。 5. 利用特殊点（x=±1、顶点）的函数值，判断代数式符号及参数范围。 6. 结合图像象限与自变量实际意义，舍去不符合题意的解，规范书写解集。 1．（2024·四川·中考真题）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴负半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，可得，故②正确；当时，二次函数图象位于轴下方，即当，所对应的，故③正确． 【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴负半轴，即，故①正确，符合题意； ②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意； ③根据图象可知，当时，图象位于轴下方，即当，所对应的，故③正确，符合题意； 综上所述，①②③结论正确，符合题意． 故选：D． 2．（2024·四川·中考真题）【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．    【答案】（1）2；；（2）①；②或 【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解； ②根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：，， 解得：，， 故答案为：2；； （2）①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得：， ∴； ②∵与x轴有两个不同的交点，， 由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图像上滑动， 顶点为， 当时， 解得：或， 抛物线与x轴交两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，， ∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． ∴在 上， 当顶点在下方时，； 综上可得：或． 知识1 二次函数的三种表达式：一般式、顶点式、交点式 一、一般式 1.适用场景：已知任意三点坐标 2.关键信息 开口方向与大小： 决定 与 轴交点： 对称轴： 顶点纵坐标： 2、 顶点式 1.适用场景：已知顶点/最值/对称轴 2.关键信息 顶点坐标： 对称轴：直线 最值：当 时， 取最值 三、交点式 1.适用场景：已知与 轴两个交点 、 2.关键信息 与 轴交点：、 对称轴：直线 四、通用核心 1.三种形式可互相转化 的作用始终一致：决定开口方向与抛物线形状 3.求解析式均用待定系数法，根据已知点选择最简形式 知识2 二次函数图象的开口方向与的关系，对称轴公式，顶点坐标求法（公式法、配方法） 一、开口方向与 的关系 对于 ： ：抛物线开口向上，有最小值 ：抛物线开口向下，有最大值 越大，抛物线开口越窄； 越小，开口越宽 二、对称轴公式 对称轴：直线 三、顶点坐标求法 1.公式法（直接算） 顶点坐标： 横坐标： 纵坐标： 2.配方法（化顶点式） 将一般式配方成： 顶点坐标： 步骤：提二次项系数→配方→凑完全平方→整理成顶点式 四、核心结论 开口只由** 的符号**决定 对称轴、顶点均由 、、 共同确定 顶点是抛物线最高点或最低点，对应函数的最值 知识3 由二次函数图象判断、、、、等的符号 一、判断 的符号 开口向上 开口向下 越大，开口越窄。 二、判断 的符号 依据对称轴： 口诀：左同右异 对称轴在 轴左侧：、 同号 对称轴在 轴右侧：、 异号 对称轴是 轴： 三、判断 的符号 看抛物线与 轴交点 交点在 轴正半轴 交点在 轴负半轴 抛物线过原点 四、判断 的符号 看与 轴交点个数 与 轴有 2 个交点 与 轴有 1 个交点（相切） 与 轴 无交点 五、特殊代数式符号（赋值法） ：当 时的函数值 ：当 时的函数值 ：当 时的函数值 ：当 时的函数值 看图象上对应横坐标的点： 点在 轴上方 → 式子为正 点在 轴下方 → 式子为负 点在 轴上 → 式子 = 0 六、常用组合判断 符号：综合 各自符号即可 ：用对称轴 与 比较大小推导 知识4 二次函数增减性的判断（结合对称轴与开口方向） 一、基础前提 二次函数 对称轴：直线 增减性只由开口方向+对称轴位置共同决定，与、无直接关系 二、开口向上（） 对称轴左侧（）： 随 增大而减小 对称轴右侧（）： 随 增大而增大 顶点处取最小值，是增减性分界点 三、开口向下（） 对称轴左侧（）： 随 增大而增大 对称轴右侧（）： 随 增大而减小 顶点处取最大值，是增减性分界点 四、关键结论 1.增减性以对称轴为分界线，两侧单调性一定相反 2.自变量取值需在同一侧区间内，增减规律才成立 3.顶点是函数的最值点，也是增减性的转折点 知识5 二次函数最值的求解（顶点最值、区间最值） 一、顶点最值（全体实数范围内） 对于 1.判断依据：由开口方向 决定最值类型 ，开口向上 ⇒ 有最小值，无最大值 ，开口向下 ⇒ 有最大值，无最小值 2.最值位置：在对称轴 对应的顶点处 3.计算方法 公式法：最值 顶点式 ：最值就是 二、区间最值（自变量在指定范围 内） 核心思路：看对称轴与区间的位置关系 1.先求对称轴： 2.分三种情况 对称轴在区间内（） 顶点取一个最值（最小/最大由 定） 另一个最值在离对称轴更远的端点处 对称轴在区间左侧（） 函数在区间上单调，最值在两端点 、 处 对称轴在区间右侧（） 函数在区间上单调，最值在两端点 、 处 三、通用解题步骤 1.确定开口方向 2.求出对称轴与顶点 3.对比对称轴与自变量取值区间 4.计算顶点与区间端点的函数值，比较得最值 5.实际问题需验证自变量是否符合实际意义 四、高频易错点 1.忽略自变量区间，直接用顶点最值 2.不判断对称轴位置，盲目代端点计算 3.实际问题中未验证取值是否合理 知识6 二次函数图象的平移规律（只变顶点，不变） 一、核心总原则 1.二次函数平移只改变顶点坐标， 完全不变 2.抛物线的开口方向、开口大小、形状均不改变 3.优先用顶点式 分析平移，最直观 二、平移口诀（核心） 左加右减（对），上加下减（对常数） 三、顶点式具体平移规则 设原函数：，顶点 1.左右平移（沿x轴） 向左平移个单位： 向右平移个单位： 2.上下平移（沿y轴） 向上平移个单位： 向下平移个单位： 四、一般式平移方法 先将 配方化为顶点式→按平移规则变换→再还原为一般式 （全程始终不变） 五、关键结论 平移前后顶点坐标按平移方向直接加减，无需重新计算系数，仅调整顶点位置即可。 六、高频易错点 1.左右平移是对单独的 加减，而非对整体式子 2.切勿改变的值，混淆平移与伸缩变换 知识7 二次函数与轴交点个数与的关系，与轴交点坐标求法 一、与 轴交点个数 对于 ，令 ，得一元二次方程 ： ⇨ 方程有两个不相等实数根 ⇨ 抛物线与 轴有两个不同交点 ⇨ 方程有两个相等实数根 ⇨ 抛物线与 轴有一个交点（顶点在轴上） ⇨ 方程无实数根 ⇨ 抛物线与 轴无交点 2、 与 轴交点坐标求法 1.方法：令 ，代入解析式求 2.结果：抛物线与 轴交点为 3.规律：交点位置由 决定， 在正半轴， 在负半轴， 过原点 知识8 二次函数与一元二次方程、不等式的转化关系（函数值与0的大小关系） 一、核心思想 数形结合：二次函数 的函数值与0的大小关系，直接对应一元二次方程的解、一元二次不等式的解集，分界点为抛物线与轴交点的横坐标。 二、二次函数 ↔ 一元二次方程 令函数值，即： 方程的实数根、 ⇨ 抛物线与轴交点的横坐标 决定根的个数 ⇨ 决定抛物线与轴交点个数 三、二次函数 ↔ 一元二次不等式（函数值与0比较） 设方程的两根为，结合**开口方向（的符号）**判断解集： （） · ⇨ 抛物线在轴上方对应的取值范围 （开口向上）： 或 （取两边） （开口向下）：（取中间） （） · ⇨ 抛物线在轴下方对应的取值范围 （开口向上）：（取中间） （开口向下）： 或 （取两边） 3.含等号情况（） · 解集包含抛物线与轴交点的横坐标（即方程的根）。 四、特殊情况 ：抛物线与轴相切， 为顶点横坐标； 无解（），反之同理。 ：抛物线与轴无交点， 为全体实数（）或无解（）， 反之。 五、记忆口诀 开口向上，大于0取两边，小于0取中间； 开口向下，大于0取中间，小于0取两边。 命题预测1：二次函数、、的符号判断 [常在A卷选择题] 1．（2025·四川成都·二模）已知抛物线的图象及对称轴如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与系数关系即可得，掌握二次函数的性质，数学结合思想是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 故A结论正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 故B结论正确； ∵， ∴， 故C结论错误，符合题意； 当时，，当时，， ∴ ∴ ∴， ∴ 故D结论正确； 故选：B． 2．（2024·四川成都·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，下列结论中，错误的结论是（　　） A． B． C．图象的对称轴为直线 D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数的性质，掌握判断利用数形结合方法是解题的关键． 根据图象二次函数图象与坐标轴的交点，判断A、B选项；根据二次函数图象与x轴的交点，得出对称轴为直线，判断C选项；根据对称轴和图象性质，判断D选项． 【详解】解：A、由图象知：抛物线与y轴正半轴相交， ∴，故此选项不符合题意； B、抛物线与轴有两个交点， ∴，故此选项不符合题意； C、∵抛物线与轴交于，两点， ∴对称轴为直线，故故此选项不符合题意； D、根据图象和对称轴，当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（2025·四川达州·一模）如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤；⑥．其中错误结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图象的关系，结合图象逐项分析，结合已知条件得出结论是解题的关键． ①根据抛物线开口向上，对称轴，与y轴交点分别判断出a，b，c的正负 ②根据对称轴得到，判断的大小关系 ③根据时，，比较与0的大小； ④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等结合②的结论判断即可 ⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论； ⑥根据，得到，可判断⑥结论． 【详解】解：①由抛物线开口向上得 ， 根据对称轴为直线，可知， 抛物线与y轴交点位于x轴下方，可知 ，故①正确； ②由得，故②错误； ③经过 又由①得， ，故③正确； ④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等 当时，，即 即， 经过，即经过 故④正确； ⑤当时,, 当时， 函数有最小值 化简得，故⑤正确； ⑥∵，， ∴，故⑥错误， 综上所述，错误结论有2个． 故选：B． 4．（2025·四川南充·二模）二次函数，当时，随的增大而减小．点，都在这个函数图象上．下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的增减性并结合已知可得出，，即可判断①、②；把A、B的坐标代入函数解析式，并结合不等式的性质，即可判断③、④，根据作差法即可判定⑤． 【详解】解∵当时，随的增大而减小， ∴，故①错误； ，即， ∴， ∴，故②正确； ∵在上， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在该范围内成立，故③正确； ∵在上， ∴， ∵， ∴， 又，则， ∴，即， 在该范围内成立，故④正确； ∵，， ∴， ∴，故⑤正确， 故选：D． 5．（2025·四川绵阳·一模）已知：抛物线（均为常数）与x轴交于点和点，且，抛物线与y轴的正半轴的交点在的下方，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及过特殊点时系数，，所满足的关系是解题的关键． 根据抛物线与轴的交点和点，且，以及与轴交点在下方，利用根与系数的关系确定，，的符号和关系，逐一分析各结论． 【详解】解：抛物线与轴交于点和点， 和是方程的两个根， 根据根与系数的关系有：，， 抛物线与轴正半轴交于点且在下方， 且， 由且，得， ， 且， ， ， ，， ，故正确； ，， ，， ， ， ，故正确； ， ，， ，故错误； ， 由得，即， ，故正确； 故答案为． 命题预测2：待定系数法求二次函数解析式 [2024年25题、2025年26题] 1．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，对称轴是直线，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值； (3)如图2，点E是抛物线上一点，点D在x轴上，若平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，求出点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为；设，则，，求出，得出，，表示出，再由二次函数的性质求解即可； （3）由题意可设，，分三种情况：当为对角线时；当为边时，平行四边形为时；当为边时，平行四边形为时；分别利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，令，则， 解得：，， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入直线解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为； 设，则，， 在中，当时，， 解得，即， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为； （3）解：由题意可设，， ∵平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，， ∴当为对角线时，由平行四边形的性质可得， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为； 当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为； 当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得， 解得：或， 此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、求一次函数的解析式、二次函数综合—线段周长问题、二次函数综合—特殊的四边形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 2．（2024·四川成都·三模）抛物线：与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标是，过点作直线轴，垂足为点，交直线于点，当，，三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长； (3)如图2，将抛物线水平向左平移，使抛物线恰好经过原点，得到抛物线，直线：交抛物线于、，若，求原点到距离的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用交点式求解即可； （2）讨论点在之间时，点与点重合时，点在之间时三种情况即可； （3）先利用构造相似得出，利用一次函数得出，联立一次函数与抛物线解析式得出，，判断出一次函数过定点，即可解决． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于点，， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴， 解得：， 所以抛物线的表达式为； （2）由抛物线的表达式知，点， 设直线的表达式为， 代入和， 得， 解得， 所以直线的表达式为：， 由题意得，点，点，点， 则， ①当点在之间时， 存在点是的中点， 则， 化简得：， 解得：（舍去）或， 则； ②当点与点重合时，不存在； ③当点在之间时， 存在点是的中点， 则， 化简得：， 解得：（舍去）或， 则， 综上，或； （3）∵抛物线水平向左平移，使抛物线恰好经过原点，抛物线与正半轴交于点， ∴抛物线向左平移个单位即可得抛物线， ∴抛物线的表达式为， 设点和点，且点在点左侧， 根据，可知图形有两种情况： 当如下图时，过点作轴于点，过点作轴于点，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 化简得：； 当如下图时，过点作轴于点，过点作轴于点，    同理可得； 综上，， 联立与， 得：， 化简得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴直线过定点， ∴原点到距离的最大值即点到点的距离， 即． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，涉及二次函数性质，待定系数法求解析式，铅锤法表示线段，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等，分类讨论及数形结合是关键． 3．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B．连接．设点Q是第一象限内抛物线上的一个动点，轴交于点N． (1)若点A、点B在直线上时， ①求抛物线的表达式； ②求的最大值，并求取最大值时点N的坐标； (2)我们发现：当取最大值时，点N恰好是的中点．请你说明理由． 【答案】(1)①；②最大值为， (2)取最大值时，点N是的中点．理由见解析 【分析】主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，属二次函数与一次函数综合．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）①由待定系数法即可求解； ②设点，则点，则，即可求解； （2）求出，有最大值，此时，即可求解． 【详解】（1）解：①点、点在直线上时，则点、的坐标分别为：、． 则，解得：， 则抛物线的表达式为：； ②设点，则点， 则， ， 故有最大值， 当时，的最大值为，此时点； （2）解：设直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ， 故有最大值，此时， 即， 联立直线和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则的中点坐标得横坐标为：， 点恰好是的中点． 4．（2025·四川绵阳·一模）如图，有一抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升，水面宽． (1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】(1) (2)能 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数的应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）先设 ，点，再根据得出答案； （2）先求出船航行所用时间，再求出水面上涨的距离，并与比较得出答案． 【详解】（1）解：设 ，点， 代入得 ， ∵， ∴， 解得， ∴ ； （2）解：， ， ∴， ∴ 船能安全通过． 5．（2024·四川凉山·二模）如图①，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点，设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点）．其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当m为何值时，面积S取得最大值？请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点Q，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2，理由见解析 (3)存在，或 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，连接，过点M作轴交于E，过点M作分别交直线于G、F，先求出直线的解析式，进而得到，则点M在运动过程中的长保持不变，故要使的面积最大，则最大，即要使最大，进一步推出当最大时，最大，即此时的面积最大，求出，则，再用m表示出，然后结合二次函数的性质求解即可； （3）设，根据勾股定理得到，根据等腰三角形的性质得到，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：当m为2时，的面积最大，理由如下： 如图，连接，过点M作轴交于E，过点M作分别交直线于G、F， 设直线的解析式为， 把，代入得∶ ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴点M在运动过程中的长保持不变，要使的面积最大，则最大，即要使最大， ∵， ∴当最大时，最大，即此时的面积最大， ∵点M的横坐标为m， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大，即此时的面积最大； （3）解：设， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点Q的坐标为或． 命题预测3：二次函数的增减性与最值【高频考点】 1．（2024·四川成都·二模）某同学用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格，请你根据获得的信息分析下列四个结论，错误的是（    ） … 0 1 2 3 … … 0 0 … A． B．抛物线与轴的交点为和 C．若点，在该抛物线上，当时，则 D．对于任意实数，总成立 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与轴的交点；根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等可判断A；根据二次函数的与x轴交点可判断B；根据二次函数的值与该点到对称轴的距离可判断C；根据二次函数的最值可判断D． 【详解】解：A．由函数图象关于对称轴对称，得，在函数图象上， ， ，故A正确，不符合题意； B．当时，，当时，， 抛物线与轴的交点为和，故B正确，不符合题意； C．二次函数图象以为对称轴，抛物线开口向上； 点，在抛物线图象上，， ，即， 当时， ，此时， 当时， ，此时， 当时，此时无解， ∴综上所述：．故C正确，不符合题意． D．顶点为，函数有最小值，即最小值是， 对于任意实数（），则，即总成立，故D错误，符合题意； 故选：D． 2．（2025·四川乐山·二模）已知二次函数，常数满足，则当时，该二次函数的最小值为（）． A．1 B．2 C．5 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．通过配方将二次函数化为顶点式，确定对称轴和顶点坐标，再根据与对称轴的位置关系讨论最小值． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点为 当时， 若，则包含顶点，最小值为1； 若，则函数在上递减，最小值为当时， ∴最小值为1或 故选：D． 3．（2025·四川南充·一模）如图，在中，，，点M为外部一点，，，则线段长度的最小值是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】将绕点顺时针旋转得到线段，连结，，作于，通过证明，，及求最小值即可，设，则，可求出，利用勾股定理可写出关于x的二次函数，利用二次函数性质求最值，进而可求出最小值． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，，作于， ， ∵，， ， ， ∵， ∴， ∵， ， 在中， ∵， ∴， ， ∵， ， ∵， ∴设，则，． ， ， 当时，有最小值为48， 故的最小值为，即长度的最小值是． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，直角三角形性质，利用函数求最值，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 4．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，已知，两点，连接，设线段的长为，若点在二次函数的图象上，则当时，的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据函数图象上点的坐标特征得，则，，继而得到，推出，再根据二次函数的最值、并计算当时和当时的函数值，即可得出结论． 【详解】解：∵，，且点在二次函数的图象上， ∴， ∴，， ∴， ∵在内始终为正数， ∴， ∵， ∴函数的图象开口向下， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，当时，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题是二次函数与几何结合的综合应用，考查了函数图象上点的坐标特征，两点间的距离，二次函数的最值等知识点．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 5．（2025·四川广元·一模）如图，在矩形中，，，为中点，连接、，为上的动点，连接，为的中点，连接，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查动点最值问题，中点公式，两点间距离公式，适当建系是解题的关键． 根据题意，以为原点建立坐标系，利用待定系数法得到直线的解析式，接着可设，根据中点公式得到，再由两点间距离公式结合二次函数最值求解即可． 【详解】如图：以为原点建立坐标系， 则，，，， 设直线的解析式为， ，解得， 所以直线的解析式为， 则可设 为的中点， ，即， ， 则当时，取得最小值，最小值为． 故答案为：． 6．（2025·四川南充·一模）如图，已知，，抛物线与x轴交于C，D两点，点C在D点左侧，当抛物线顶点M在线段上移动时，点C的横坐标最小值为．设的最大值为m，最小值为n，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，顶点坐标公式，最值问题，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，当点C横坐标最小时，顶点M与A重合，代入点C坐标求出a；求的值，即求当时函数值，因为抛物线顶点在直线即上，另设抛物线解析式为，即，当时，，对此函数在范围内求最值，然后求最大值与最小值的差即可． 【详解】解：点横坐标最小时，顶点与点重合， 则抛物线的解析式为：， 此时点，代入上式， ， 解得：， 则， ∵抛物线在移动过程中形状、开口方向都不变， ∴抛物线中， 求的值，即求当时函数值， ∵抛物线顶点在线段上， ∴设抛物线解析式为， ∵设解析式为，代入，， ，解得， ∴解析式为， ∴， 即抛物线解析式为， 当时， ， ∴对称轴为， 当时， 当时，最大，； 当时，值最小，； ． 故答案为：． 7．（2026·四川泸州·一模）2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力．某商场以元/件的进价购进一批坦克模型，当该坦克模型售价为元/件时，第一周销售件，第二、三周该坦克模型十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到件． (1)求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； (2)经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场可获得最大利润，最大利润为多少？ 【答案】(1)第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为 (2)当该坦克模型每件降价元时，商场第四周销售该坦克模型可获最大利润元 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用． （1）设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为，根据题意列出方程求解的值即可； （2）设该坦克模型每个的售价降价元，根据题意利润与函数关系式，根据函数开口方向以及函数顶点坐标判断最大利润所对应得值，即可得出答案． 【详解】（1）解：设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为， 依题意，得：， 解得：或（舍去）， 答：第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为20%． （2）解：设当该坦克模型每件降价元时，商场第四周销售该坦克模型可获利元， 依题意，得：， 整理得， ∵ ∴当时，有最大值，为， 答：当该坦克模型每件降价1元时，商场第四周销售该坦克模型可获最大利润元． 命题预测4：二次函数的图象平移 [2024年25(3)题] 1．（2024·四川成都·模拟预测）关于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．对称轴在轴的右侧 B．与轴的交点坐标为 C．顶点坐标为 D．是由抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数，， ∴该函数图象开口向上，对称轴是直线， ∴对称轴在轴的右侧，故选项A说法正确，不符合题意； 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，故选项B说法正确，不符合题意； ∴顶点坐标为，故选项C说法正确，不符合题意； 抛物线向左平移2个单位，得，再向下平移1个单位得到，与原函数解析式不同，故选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 2．（2025·四川绵阳·一模）将抛物线经过下列哪种变换可以得到抛物线（   ） A．先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数图象的平移，根据函数图象平移的法则解答即可；原抛物线应为，通过平移得到，根据平移规律，左加右减，上加下减，即可求解． 【详解】解：∵ 的顶点为，而的顶点为， ∴ 需向右平移5个单位，再向下平移1个单位． 故选：D． 3．（2025·四川成都·二模）定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足时，则的取值范围是_______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象的平移和二次函数的最值问题，根据条件分类讨论函数值绝对值最大的情况是解决问题的关键点． 根据二次函数的平移得出，当时，，当时，，当时，，然后分三种情况分析，结合函数草图及二次函数的性质求解即可． 【详解】解：函数的图象向上平移个单位，得到的函数解析式为， 当时，， 当时，， 当时，， 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，此时，在对称轴右侧，即，即， ∴， 此时，不等式组无解，不符合题意； 当时， 此时，，即，，即， ∴， ∴， ∴， , 解得：， ∴； 当时， 此时，，即， ，即， ∵ ∴， ∴， ∴， , 解得：， ∴； 综上可得：或， 故答案为：或． 4．（2026·四川泸州·一模）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为___________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的平移问题，熟练掌握平移口诀是解题关键． 根据二次函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”进行变换． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，得到；再向上平移1个单位长度，得到 ． 故答案为：． 5．（2025·四川成都·二模）如图，将抛物线平移，得到的新抛物线经过点和．在第三象限内新抛物线上取点，设点在原抛物线上的对应点为． (1)求新抛物线的表达式； (2)若，求点的坐标； (3)若点在第四象限内新抛物线上移动，试探究四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的最大值． 【答案】(1) (2) (3)四边形的面积是定值，这个定值为15 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，二次函数图象的平移，运用待定系数法求函数拭，正确求出函数关系式是解答本题的关键． （1）设平移后新抛物线的表达式为，再把和代入解析式，解出关于的方程组即可； （2）求出抛物线的顶点平移到抛物线的顶点，得到平移方式，设，则，运用待定系数法求出和的解析式，根据可得，求出的值即可解答； （3）连接，，，证明，，求出，可得结论． 【详解】（1）解：抛物线平移得到新抛物线， 设新抛物线的表达式为， 把和代入可得：， 解得， 新抛物线的表达式为； （2）解：新抛物线的表达式为， 抛物线的顶点平移到抛物线的顶点， 抛物线平移得抛物线的平移方式为：向右平移2个单位，向下平移4个单位， 设，则， 设的解析式为，它过和， 则， 解得， 设解析式为，它过和， 则， 解得， ， ， ， 经检验：是原方程的根， 当时，，， ； （3）解：连接，，，设和交于点，和的交点为E， 设的解析式为，它过， 则， 解得， ∴的解析式为； 设的解析式为，它过和， 则， 解得， ∴设的解析式为， 联立方程组， 解得，， ∴, ∴，，， ∵， 是直角三角形， ， 平移过程中，点的对应点为点，点的对应点为， ，， ， 四边形的面积是定值，这个定值为15． 6．（2025·四川广元·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的一动点，连接，求的面积取最大值时，点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，连接，点D是线段上的一动点（不包括端点），点E是抛物线上的一点，使得以点O、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）过作轴，交于点，求出直线的函数解析式为，则设点，则，则，然后由，再根据二次函数的性质即可求解； （）求出平移后，设点，然后分以为对角线时，，，以为对角线时，，，即可求解． 【详解】（1）解：把点和点分别代入中， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 由（）得抛物线的解析式为， 当时，， ∴， 设直线的函数解析式为， 和得，， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设点，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积取最大值，此时点的坐标为； （3）解：∵， ∴平移后， ∵点是线段上的一动点， ∴设点， 以为对角线时，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 以为对角线时，，， ∴，即， ∵， ∴ ∴ 解得或（舍去）， ∴； 以为对角线时，满足条件的点不存在， 综上所述，点的坐标为或． 命题预测5：二次函数图象与坐标轴的交点问题 [两年必考] 1．（2024·四川雅安·三模）二次函数是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表： 其中，，有下列结论∶①；②；③；④关于x的方程 的两根为和，其中正确的是（   ） A．①②③④ B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程；从表中获取信息确定出开口方向与对称轴是关键． 由表知当自变量取与1时的函数值相等，可确定抛物线的对称轴为直线，从而可判断①；由表中数据及函数对称轴可确定各系数的符号，从而可判断②；根据对称轴及时，，可判断③；由二次函数与一元二次方程的关系可判断④，最后可确定答案． 【详解】解：当与时，都有， ， ， 即，故①正确； 当时，，而当时，，则； 故由表知：，且， ， ，故②正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线，且， ， 当时，， 即，故③正确； 当与时，都有， 抛物线与直线有两个交点， 即关于x的方程 有两根，且分别为和，故④正确； 即四个结论均正确； 故选：A． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标． 根据二次函数图象的开口方向，顶点的位置、与轴交点的位置可对的符号进行判断，进而可对结论进行判断；根据抛物线的对称轴及与x轴的交点可对二次函数图象上的点的位置进行判定，进而可对结论进行判断；根据二次函数的图象与轴的两个交点坐标可对结论，结论进行判断，据此可得出此题的答案． 【详解】解：二次函数图象的开口向上， ， 二次函数图象的顶点在第三象限， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点在轴的负半轴上， ， ，故结论正确，符合题意； 对于，当时，， 点在二次函数的图象上， 二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 二次函数的图象与轴的另一个交点为， 点在轴下方的抛物线上， ，故结论正确，符合题意； 二次函数的图象与轴的两个交点坐标分别为，， ，消去得：，故结论正确，符合题意； 二次函数图象的开口向上，与轴的两个交点坐标分别为，， 当时，二次函数图象的在轴的下方， ，即：，故结论错误，不符合题意； 综上所述：结论正确， 故选：． 3．（2025·四川成都·二模）二次函数的图象与x轴交于M，N两点，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．M，N两点之间的距离为7 D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与坐标轴的交点问题，根据二次函数的解析式可得抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为，即可判断A、B，从而可得当时，y的值随x值的增大而增大，即可判断D，求出二次函数与轴的交点的横坐标即可判断C，从而得解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于M，N两点， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为，故A错误，不符合题意；B正确，符合题意； ∴当时，y的值随x值的增大而增大，故D错误，不符合题意； 令，则， 解得：或， ∴M，N两点之间的距离为，故C错误，不符合题意； 故选：B． 4．（2025·四川广元·模拟预测）如图，函数 的图象过点和，给出下列结论：①；②当时，x的取值范围是；③；④，其中结论正确的有（     ）． A．①③④ B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知二次函数的图象与系数的关系、x轴上点的坐标特点等知识是解答此题的关键． 根据图像可知函数开口向下，对称轴无法确定，时，函数图象在x轴上方，可判断①②，结合图象时，可判断③；由根与系数的关系可确定④． 【详解】由图可知，二次函数开口向下，对称轴无法确定，故①无法判断； 由图可知，时，x的取值范围是正确，故②正确； 当时，，即，故③正确； 由题知方程的两根为或， 则， 即，所以， 又由求根公式，即， 则， ，故④正确． 故选：D． 5．（2025·四川成都·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，则下列说法错误的是（    ） A． B．函数图象的对称轴是直线 C．函数图象与x轴有两个交点 D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法，二次函数图象与坐标轴的交点．把点代入函数解析式，即可求出m的值，判断A选项；根据二次函数的解析式可求出对称轴，判断B选项；求出的值，根据其正负性，判断C选项，根据二次函数的图象及性质判断D选项． 【详解】解：将代入， 得， 解得， 故A选项正确，不符合题意； 二次函数的图象的对称轴为直线， 故B选项正确，不符合题意； ， 二次函数解析式为， ， 二次函数图象与x轴没有交点， 故C选项不正确，符合题意； 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，y的值随x值的增大而增大， 即当时，y的值随x值的增大而增大， 故D选项正确，不符合题意． 故选：C 6．（2025·四川泸州·模拟预测）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知点，的坐标分别为，，连结，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为(　　) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系，理解互为相关函数的定义是解题的关键，本题是选择题使用排除法更简单．求出二次函数的相关函数的解析式，结合图像分析选项中的几个关键点，，再解方程结合图象判断即可． 【详解】二次函数的相关函数为， 大致函数图像如下： 如图1所示，当线段与二次函数的相关函数的图象有1个公共点时， ∵二次函数的对称轴为， ∴当时，，则 解得， 如图2所示，当线段与二次函数的相关函数的图象有3个公共点时， ∵抛物线与轴交点纵坐标为1， ∴，解得； ∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象有2个公共点； 如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象有3个公共点， ∵二次函数经过点， ∴， 如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象有2个公共点， ∵抛物线y=经过点， ∴，解得， ∴时，线段与二次函数的相关函数的图象有个公共点． 综上所述，的取值范围是或． 故选：C． 7．（2025·四川广元·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴的交点坐标为，，有下列结论：①；②若点，，均在该二次函数的图象上，则；③若方程的两个实数根为，且，则；④若m为任意实数，则．其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题综合考查二次函数的图象与性质、二次函数的对称性、二次函数与一元二次方程的关系等知识点．利用交点式确定二次函数表达式，结合开口方向分析系数符号判断①； 根据对称轴与点的位置关系判断函数值大小，判断②； 根据平移后的二次方程根的分布与原函数交点的关系，判断③；根据二次函数最小值与不等式的关系，判断④． 【详解】解：二次函数与轴交点为和， 设表达式为：， ∵， ∴， ∴，故结论①正确． 对称轴为直线，开口向上，函数值随离对称轴距离增大而增大： 到对称轴距离为3，3到对称轴距离为1，6到对称轴距离为4， ∴，结论②正确． 方程的解是对应函数向下平移1个单位后的图象与轴交点的横坐标， 原函数在和处与轴相交，平移后交点必在原交点外侧，即且．结论③正确． 二次函数最小值在顶点处取得：， 若m为任意实数，则，即．结论④错误． 故选：C． 8．（2025·四川广元·一模）若二次函数的图象与轴只有一个交点，如图所示，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与轴交点的个数与其所对应一元二次方程根的判别式之间的关系是解题的关键．先利用二次函数与轴只有一个交点时判别式的性质，列出关于的方程求出的可能值，再结合图象中抛物线对称轴的位置，通过对称轴公式推断出的正负，最终确定的唯一值． 【详解】解：∵二次函数的图象，与轴只有一个交点， 其中， ∴ ∴， 结合图象，抛物线的对称轴在轴的负半轴， ∴二次函数对称轴公式为：， ∴， 故． 故答案为：． 8．（2025·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为2的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标； (3)一次函数：（）图象交二次函数于，两点，抛物线上是否存在定点，连接，，当点与点，不重合时，总有，若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）根据题意得到，，由三角形面积得到，，再利用待定系数法即可求解； （2）连接交于点，利用待定系数法求出直线的解析式为，利用平行四边形的性质得到，，设，利用中点坐标公式可得，代入点到，求出的值得到点的坐标，设，利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案； （3）过点作轴的平行线，过点分别作此平行线的垂线，垂足为，设，，联立一次函数和抛物线的解析式，整理得，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，进而表示出，，再通过证明，推出，设，根据图形的坐标列出等式，结合点是定点，求出的值，得出点的坐标，再检验是否符合题意即可解答． 【详解】（1）解：抛物线：（）， 当时，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：如图，连接交于点， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：，， 当时，， 设，则， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴； 当时，， 设，则， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴； ∴综上所述，点的横坐标为或． （3）解：如图，过点作轴的平行线，过点分别作此平行线的垂线，垂足为， 设，， 联立， 消去整理得：， ∴，， ∴， ， 设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵点是定点， ∴，，， 解得：，， 经检验，在抛物线上，符合题意； ∴抛物线上存在定点，点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、待定系数法求解析式、平行四边形的性质、一元二次方程根与系数的关系、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，运用数形结合的思想解决问题是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的辅助线构造能力，同时涉及的运算量较大，适合有能力解决压轴题的学生． 命题预测6：二次函数的顶点式应用与性质分析 [2025年26(1)题] 1．（2025·四川成都·一模）二次函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．对称轴为直线 B．的最小值为 C．对应的函数值为 D．当时，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解图示，掌握二次函数图象的性质是关键． 根据二次函数与坐标轴的交点，对称轴直线的计算判定A选项；运用待定系数法得到解析式，将一般式化为顶点式可判定B选项；根据自变量值求函数值可判定C选项；根据最值的计算可判定D选项；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴的两个交点为， ∴对称轴直线为，故A选项正确，不符合题意； 根据题意，二次函数经过， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∴的最小值为，故B选项正确，不符合题意； 当时，，故C选项正确，不符合题意； 当时，，当时，，当时，， ∴当时，则，故D选项错误，符合题意； 故选：D ． 2．（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，抛物线与交于点，过点A作轴的平行线，分别交两抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点．则下列结论：①；②；③为等腰直角三角形；④当时，．其中结论正确的是（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是关键．把点坐标代入，求出的值，即可判断①；得到函数解析式，将代入中，求出点的横坐标，然后求出点的坐标即可求出和的长，从而判断②；求出、、的长，可判断③；求出两个二次函数图象另一个交点坐标，结合图象即可判断④． 【详解】解：抛物线与交于点， ， 解得：，故①正确； 将代入中，得 ， 解得：，， ∴点的坐标为， ， 是抛物线的顶点， ， ， ，故②错误； ∵点是抛物线的顶点， ， ，，， ∴ 不是等腰直角三角形，故③错误； 联立， 解得：或， ∴两个抛物线的交点为和， 由图象可知：当时，，故④错误． 故选：A． 3．（2025·四川绵阳·一模）关于抛物线，下列说法中正确的是（）． A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与x轴无交点 D．函数的最大值是3 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数系数与图像的关系，理解并掌握二次函数中系数与图像开口，对称轴，与x，y轴交点的特点，顶点坐标的计算方法是解题的关键． 根据二次函数的性质直接逐个判断即可得到答案． 【详解】A．在抛物线中，由于，所以该抛物线开口向下，故该选项错误，不符合题意； B．在抛物线中，对称轴是直线，而不是直线，故该选项错误，不符合题意； C．令，即，解得．这表明抛物线与轴有两个交点，故该选项错误，不符合题意； D．因为抛物线中，所以抛物线开口向下，函数有最大值．当时，函数的最大值是，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 4．（2025·四川成都·二模）已知二次函数图象的顶点为，若点的坐标为，则与之间的关系式为________；设点所在的定直线为，二次函数图象上有两个不同点，，连接，若线段与定直线没有公共点，则的取值范围为________． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、配方法将函数解析式化成顶点式、二次函数与直线的位置关系等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 通过配方法将二次函数化成顶点式确定顶点坐标，然后消去m即可解答；由二次函数的定义可得，再根据对称性可得，进而得到直线上纵坐标为t的点的横坐标为；然后分点A在店B的右侧和左侧两种情况解答即可． 【详解】解：∵，顶点的坐标为， ∴， ∴； ∴ ∵设点所在的定直线为， ∴直线解析式， ∵点A在二次函数图象上， ∴， ∵A，B两点纵坐标相同， ∴A，B两点关于对称轴对称， ∴则， ∵直线解析式， ∴直线上纵坐标为t的点的横坐标为， ∵线段与定直线没有公共点， ∴当点A在店B的右侧时，即，有，解得：； 当点A在店B的左侧时，即，有，解得：． 综上，m的取值范围为或． 故答案为：，或． 5．（2024·四川成都·一模）将抛物线：向左平移（）个单位长度后，再向下平移个单位长度，得到新的抛物线，若，，为抛物线图象上的三点，则，，的大小关系________．（请用“”表示） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据平移的性质先求得新的抛物线的解析式，得到对称轴为直线，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得新的抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，，为抛物线图象上的三点， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， ∵抛物线的开口向上， ∴， 故答案为：． 6．（2024·四川广元·一模）已知点，， 都在二次函数 的图象上，则的大小关系是_____．（请用“>”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴开口向下，对称轴为直线， ∴关于直线对称点为， ∵，y随x的增大而增大， ∵， ∴，即， 故答案为：． 命题预测7：二次函数与不等式的综合判断 [常在A卷选择题] 1．（2025·四川成都·模拟预测）已知拋物线的顶点坐标为，下列说法正确的是（  ） A． B．当时，二次函数有最小值为3 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据顶点坐标可把解析式化为顶点式，再由当时，，可判断A；根据函数开口向上结合顶点坐标可判断B、C；求出抛物线与x轴的两个交点坐标即可判断D． 【详解】解：在中，当时，， 根据题意可知，抛物线的函数表达式为，将代入，可得，故A错误； 由顶点坐标和知，抛物线开口向上， 当时，二次函数有最小值为，故B错误； 由抛物线的顶点坐标知对称轴为直线，由知抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大，故C错误； 令，则，则或 或 抛物线与轴的交点坐标为和 结合拋物线的图象知当时，，故D正确． 故选：D． 2．（2025·四川成都·三模）已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … 0 … y … 3 n 0 3 … 以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③关于x的方程的根为和；④当时，x的取值范围是或．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 【详解】解：由表格可知：和的函数值相同， ∴对称轴为直线；故②正确； ∴和的函数值相同， ∴， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴该抛物线的开口向上；故①正确； ∵和的函数值均为0， ∴关于x的方程的根为和；故③正确； 当时，x的取值范围是或；故④正确； 故选D． 3．（2025·四川泸州·二模）已知二次函数的图象与x轴有两交点，当且该函数图象与轴两交点的横坐标，满足：，时，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质、利用不等式组求字母取值范围等知识点，熟练掌握二次函数各系数与图象之间的关系是解题的关键． 中根据开口方向及，的范围可判断出对应y的取值，从而建立不等式组求解即可． 【详解】解：当时，，即二次函数开口向上， ∵， ∴当时，；当时，， ∴，解得：， ∵， ∴当时，；时，， ∴，解得：， ∴． 故选：B． 4．（2025·四川南充·二模）已知抛物线与直线在之间有个公共点，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，利用不等式求自变量或函数值的范围，掌握知识点的应用是解题的关键． 先根据题意画出图象，通过抛物线与直线在之间有个公共点，则，最后解出不等式组即可． 【详解】解：如图， 由直线得，当时，，当时，， ∵抛物线与直线在之间有个公共点， ∴， 解得：， 故选：． 5．（2025·四川成都·二模）已知一次函数：，二次函数：，当时，恒成立，则的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，先联立方程组求得两个函数的交点横坐标为，，然后分和两种情况，利用一次函数和二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由得： 整理，得， 解得，， 由题意，， 当时，一次函数y随x的增大而增大，二次函数图象开口向上， 若时，恒成立， 则， 解得，即； 当时，一次函数y随x的增大而减小，二次函数图象开口向下， 若时，恒成立， 则， 解得，即， 综上，满足条件的a的取值范围为且， 故答案为：且． 6．（2022·四川眉山·一模）函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的是______． 【答案】③④ 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数图象综合，根据抛物线与轴没有交点即可判断①；由图象可得，当时，，即可判断②；由图象可得，当时，，即可判断③；由图象可得，当时，，即可判断④，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴没有交点， ∴，故①错误； 由图象可得，当时，，故，故②错误； 由图象可得，当时，，故，故③正确； 由图象可得，当时，，即，故④正确； 综上所述，正确的是③④， 故答案为：③④． 7．（2025·四川南充·三模）二次函数，当时，对于每一个的值，始终成立，则的取值范围是_____． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，注意数形结合思想的应用； 记，则得对称轴为直线．分；两种情况，结合二次函数z在时的增减情况即可求解． 【详解】解：， 记，则对称轴为直线． 当时，如图1．当时，随的增大而增大． 当时，．则，成立． 即．解得． ． 当时，如图2．当时，随的增大而减小． 当时，，则成立． 即．而恒成立． 综上，或时，始终成立． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04二次函数的图象与性质 目录 01析·考情目标 02筑·专题框架 03攻·重难考点 题型一二次函数解析式的确定（一般式、顶点式、交点式》 题型二二次函数图象的基本性质判断（开口方向、对称轴、顶点坐标） 题型三二次函数中a、b、c的符号与图象特征的关联 真题动向 题型四二次函数的增减性与最值求解 题型五二次函数图象与坐标轴的交点问题 题型六二次函数的图象平移（左加右减、上加下减） 题型七二次函数与一元二次方程、不等式的综合判断 知识1二次函数的三种表达式：一般式y=ax2+bx+c(a≠0)、顶点式 y=a(&-h)2+k(a≠0)、交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 知识2二次函数图象的开口方向与a的关系，对称轴公式x=一 b ,顶点 坐标求法（公式法、配方法) 必备知识 知识3由二次函数图象判断a、b、c、△=b2-4ac、a+b+c等的符号 知识4二次函数增减性的判断（结合对称轴与开口方向） 知识5二次函数最值的求解（顶点最值、区间最值） 知识6二次函数图象的平移规律（只变顶点，a不变】 知识7二次函数与x轴交点个数与△的关系，与y轴交点坐标求法 知识8二次函数与一元二次方程、不等式的转化关系（函数值与0的大小关系） 预测1二次函数a、b、c的符号判断[常在A卷选择题] 预测2待定系数法求二次函数解析式[2024年25题、2025年26题] 预测3二次函数的增减性与最值【高频考点】 命题预测 预测4二次函数的图象平移[2024年25(3)题] 预测5二次函数图象与坐标轴的交点问题[两年必考] 预测6二次函数的顶点式应用与性质分析[2025年26(1)题] 预测7二次函数与不等式的综合判断[常在A卷选择题] 01 析·考情目标 1/30 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 命题形式： 选择题、填空题及解答题（以B卷解答题压轴考查为主，基础性质偶现于选择/填空） 命题 考察能力： 透视 数形结合应用能力、运算求解能力、函数性质推理能力、几何与函数综合建模能力、分类讨论思 想应用能力 考点 2025年 2024年 二次函数的图象与基础 T23:二次函数增减性、图象上点 无单独基础考题，融入T26综合 性质（增减性、对称 的函数值大小比较、参数取值范围 压轴题考查 性) 求解 T26(1):利用对称轴和图象上点 T25(1):结合抛物线与x轴交点， 二次函数的解析式求解 的坐标，待定系数法求二次函数 求二次函数相关线段长（解析式基 解析式 础应用) 热考 二次函数与坐标轴的交 融入T26综合压轴题，结合直线 T25(1):抛物线与x轴交点距离求 的 与抛物线交点考查 解，核心考查交点性质 角度 T26(2)：结合抛物线与线段的公 T25(2):结合三角形面积相等，求 二次函数的最值与取值 共点，求参数h的取值范围（最 抛物线上点的参数值（取值范围应 范围 值衍生考点) 用) 二次函数的平移与图象 无单独考查，融入T26(3)抛物线 T25(3):抛物线的平移变换，求平 变换 与直线的位置关系考查 移后抛物线解析式及定点问题 T26(3):二次函数与直线垂直、 T25(3):二次函数与平移、等腰三 二次函数与几何/直线综 中点坐标、角平分线结合，探究 角形、一次函数结合，判断抛物线 合应用 对称轴上的定点 是否过定点 1.考情预测 根据2024-2025年成都中考的命题趋势，2026年该专题仍是函数板块的压轴核心，分值占 比高且难度大基础性质（增减性、对称性、点的函数值比较）大概率在B卷填空题中单 独考查，解析式求解、与坐标轴交点为基础必会考点，常融入综合题第一问；压轴解答题 将延续“求解析式→结合线段/面积求参数范围→与几何图形直线综合探究定点/存在性”的 命题 命题思路，重点考查二次函数与一次函数、几何图形（三角形、角平分线）的综合应用， 平移变换、定点探究为高频考向，整体侧重数形结合和分类讨论思想的应用。 预测 2.备考建议 熟练掌握二次函数的三种解析式（一般式、顶点式、交点式）及待定系数法求解，牢记二 次函数的核心性质（对称轴、增减性、最值、图象与坐标轴交点特征）；强化数形结合思 想，能将函数的代数特征转化为图象几何特征，反之能根据图象信息推导函数解析式和参 数范围；掌握二次函数与直线交点的求解方法（联立方程组），熟练解决与三角形面积、 线段位置关系相关的参数求解问题；积累二次函数平移、定点探究、存在性问题的解题思 路，注重分类讨论思想在复杂综合题中的应用；规范解题步骤，尤其是压轴题中解析式求 2/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解、几何条件转化的书写过程，避免因步骤疏漏导致失分。 02 筑·专题框架 -般式：y=ax2+bx+c 基本形式O 顶点式：y=a(x-h)2+k 交点式：y=a(x-c1)(x-c2） 开口方向：由a决定 图象特征○ b 二 对称轴：直线x= 2a 顶点坐标 增减性：对称轴两侧相反 三、核心性质O 最值：顶点处取最大/最小值 与y轴交点：(0，c) 四、与坐标轴交点O 与c轴交点：判别式△判定 五、平移规律○ 上加下减，左加右减 03 攻•重难考点 题 动 ●。。 ◆题型一二次函数解析式的确定 皮方法 1. 根据已知条件选择合适解析式： 已知三点选用一般式y=ax2+bx+c(a≠0)： 已知顶点、对称轴或最值选用顶点式y=a(x-h)+k(a≠0)； 已知与x轴两个交点选用交点式y=a(x一x1)(x一x2)(a≠0)。 2. 将对应点坐标代入所设解析式，建立方程或方程组。 3.求解系数，注意a≠0的限制条件。 3/30 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.把求出的系数代回，写出完整二次函数解析式。 5. 图像平移类问题，先抓顶点坐标，按平移规律确定新顶点再写解析式。 6. 代入已知点检验，确认解析式正确。 1.(2025·四川成都·模拟预测)如图，二次函数y=ax2-2x+c的图象与x轴相交于点A(-1,0),B与y 轴相交于点C(0,-3),下列说法正确的是() B A.抛物线的对称轴为直线x=2 R能物线的限点坐标为行一 C,A,B两点间的距离为3 D.当x>1时，y的值随x值的增大而增大 2.(2025·四川成都·模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，点(1，m),（3,n)在抛物线 y=c2+bx+c(a>0)上，设抛物线的对称轴为直线x=t,当m=n时，t的值为；点(x,m)(x。≠1)在 抛物线上，若m<n<c,则的取值范围为， 3,(2024·四川攀枝花·中考真题)在平面直角坐标系xOy中，己知二次函数的表达式为 y=ar2+bx+3(a>0). 备用图 (1)若a=1,且点(2,3)在函数的图象上，求此时函数的最小值： (2)若函数的图象经过点(-1，-1)，当自变量x的值满足x≥-1时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)若函数的图象的对称轴为x=2,点A(m,y),B(m+1,2)在函数的图象上，且总有y1>y2,求m的取值 范围， 4/30 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ◆题型二二次函数图象的基本性质判断 点方法 1.由二次项系数a判断开口方向，a>0向上，a<0向下，|a大小决定开口宽窄 2.由对称轴公式x=-b/(2)确定对称轴，结合对称轴位置判断b的符号 3.依据顶点坐标确定函数最值，结合开口方向判断增减性 4.由常数项c确定函数与y轴的交点坐标 5.利用判别式△判断函数图象与x轴的交点个数 6.结合图象位置，判断a、b、c及特殊点函数值的符号 7.利用函数对称性，根据对称点坐标分析图象特征 8.遵循平移规律，判断图象平移后的解析式与性质变化 1.(2025·四川·中考真题)对于抛物线y=2(x-1)+3,下列说法正确的是( A.抛物线的开口向下 B.抛物线的顶点坐标为(（1,3) C.抛物线的对称轴为直线x=-1 D.当x>-3时，y随x的增大而增大 2.(2024·四川凉山·中考真题)描物线yx-+e经过(-2)(0，行为]三点，则 5 ,y2,乃的大小关系正确的是( A.1>y2>y3B.y2>y3>y C.y3>1>y3 D.y1>y3>y2 3.(2026·四川泸州·一模)抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标是 题型三二次函数中α、b、c的符号与图象特征的关联 皮方法 1. 由抛物线开口方向判断a的符号，开口向上a>0,开口向下a<0 2. 由对称轴位置判断ab的符号，对称轴在y轴左侧时ab同号，在右侧时ab异号，对称轴为y轴时 b=0 3. 由抛物线与y轴交点位置判断c的符号，交点在y轴正半轴c>0,在原点c=0,在负半轴c<0 4.代入特殊点判断代数式符号，x=1时对应y=a+b+c,x-1时对应y=a-b+c,结合函数值正负判断符号 5.结合抛物线与x轴交点个数，由判别式△=b2-4ac的正负判断符号关系 6.利用对称轴公式转化等量关系，结合已知符号推导未知系数符号 1.(2025·四川德阳·中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a>0)过点 (1,0),(m,0),且2<m<3,该抛物线与直线y=a+c(k,c是常数，k≠0)相交于A(x1,y1),B(x2,y)两 5/30 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点（点A在点B左侧）.下列说法：①bc<0;②3a+b>0;③点A'是点A关于直线x=- 的对称点，则 2a 3<AA<4;④当x,=4时，不等式2+(b-k)x<0的解集为0<x<4,其中正确的结论个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2025·四川宜宾·中考真题)如图，O是坐标原点，已知二次函数y=x°+bx+c(a≠0)的图象与x轴 交于A、C两点，与y轴交于B点，顶点为D,对称轴为直线x=-2,其中A(2,0),B(0,c),且 -3<c<-2.以下结论：①c>0;②号<6<1，③a4CD是钝角三角形，④若方程a2+6-2列x+G=0 的两根为X、(x<x),则-2<x<4-2N7,6<x,<4+2V7,其中正确结论有() B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(2025·四川广安·中考真题)如图，二次函数y=ax+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的图象交x 轴于A,B两点，点A的坐标是(-1,0)，点B的坐标是(n,0),有下列结论：①abc<0;②4a+c>2b；③ 关于x的方程x++c=0的解是=-1，七=m,④-力-”，1.其中正确的有《） 2a2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(2025·四川遂宁·中考真题)如图，已知抛物线y=a2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)的对称轴 是直线x=1,且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4,0)，与y轴交点坐标是(0，m)且2<m<3,有下列结 论：①c<0:②90-动+c>0:@}<:④关于*的元=次方程m+6+62-02 27 有两个不相等实根；⑤若点A(x,y1),B(x2,y2),C(x,y)在抛物线y=2+bx+c上，且 6/30 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3 n<,<n+1<x2<n+2<x<n+3,当，<y?<y,时，则n的取值范围为-三<n<0.其中正确的有 2 m 4 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ◆题型四二次函数的增减性与最值求解 点方法 1.先确定开口方向：由a的正负判断，a>0开口向上，a<0开口向下。 2. 找准对称轴：公式为x=一品，以对称轴为分界判断增减性。 3.增减性判断：开口向上时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧增大；开口向下则相反。 4.最值分两类：无范围限制时，顶点处取最值；有自变量取值范围时，看区间是否包含对称轴。 5. 含范围求最值：包含对称轴则顶点为最值，不包含则看端点函数值，比较大小确定。 6.计算验证：代入顶点或端点坐标求函数值，规范写出最值及对应×的值。 1.(2025·四川巴中·中考真题)从地面竖直向上抛出一小球，小球高度h(m)与小球运动时间t(s)之间 的关系式是h=30t-5t(0≤t≤6)，有下列结论： ①小球运动时间是ls时，高度为25m; ②小球运动中高度可以是50m; ③当3≤t≤6时，高度h随着时间t的增大而减小. 其中正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 2.(2025·四川资阳·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线 y=c+bx+c(a≠0)与y轴相交于点A(0,2),且抛物线的对称轴为直线x=-1.给出以下4个结论：① abc<0;②对于任意实数m,am2+bm+c+a的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则OP+AP的最 小值为25；④若点(xy),(x2y)在抛物线上，满足x1<x且x+x+2>0,则一定有y1<2·其中，所 有正确结论的序号为· 7/30 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3,(2025·四川巴中·中考真题)如图，计划用长为40m的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长 25m). 2边 (1)矩形围栏的面积为150m时，三边分别长多少m? (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少m? 题型五二次函数图象与坐标轴的交点问题 皮方法 1.与y轴交点：令x=0,得y=C,交点坐标为(O,c),由c的符号判断交点位置。 2.与x轴交点：令y=0,解一元二次方程ax2+bx+c=0,根即为交点横坐标。 3.判别式判断交点个数：△>0有两个不同交点，△=0有一个交点，△<0无交点。 4.交点相关计算：利用韦达定理求两根和、积，计算交点间距离。 5.结合图像取舍：根据图像象限与题意，排除不符合实际的根。 6.特殊交点：过原点时c=0,对称轴为y轴时b=0。 1.(2025·四川乐山·中考真题)已知二次函数y=x2+4x+m的图象经过A(x,y)、B(x,y)两点，有下 列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=-2; ②当m<4时，二次函数的图象与x轴有两个交点； ③若<y,则k,+2>x+2: ④当x≥-2时，二次函数的图象与y=2x-1的图象有两个交点，则-1≤m<0. 其中，正确的结论有（) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(2025·四川南充·中考真题)已知某函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，y=x2-2x;当x>2 时，y=2x-4,若直线y=x+b与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是( 8/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. 4b<0 B.、9 b<-1 4 4 D.6≤-1或b>0 3.(2025·四川达州·中考真题)如图，抛物线y=a2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A1,0),点B(3,0),下 列结论：①abc<0;②4a+b=0;③b2-4ac>0;④a-b+c>0,正确的个数为() B 3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(2023·四川资阳·中考真题)如图，抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-2,且过点 (1,0).现有以下结论：①abc<0;②5a+c=0;③对于任意实数m,都有2b+bm≤4a-am2;④若点 A(x,y1),B(x,y)是图象上任意两点，且x+2<x+2,则y1<乃，其中正确的结论是() x=-2 A.①② B.②③④ C.①②④ D.①②③④ 5.(2024·四川雅安·中考真题)已知一元二次方程ax2+bx+c=0有两实根x=-1,x2=3,且abc>0, 则下列结论中正确的有( ①2a+b=0;②抛物线y=a2+bx+c的顶点坐标为1， 4c 3 ③a<0;④若m(am+b)<4a+2b,则0<m<1. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ◆题型六二次函数的图象平移（左加右减、上加下减） 臣方法 1.先将二次函数化为顶点式y=a(x-h)2+k,明确原顶点坐标(h,k)。 2.遵循平移口诀：左右平移变括号（左加右减），上下平移变常数（上加下减）。 9/30 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.向左/右平移m个单位：x替换为x±m;向上/下平移n个单位：整体+n或-n。 4.平移后根据新顶点坐标，直接写出平移后的解析式。 5. 反向平移时，按相反方向、相同单位逆向变换。 6. 代入特殊点验证，确保解析式与平移后图像一致。 1.(2025·四川眉山·中考真题)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，CD=V2,动点P 在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边 作正方形DPEF,设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S.当点P由点B运动到点A时，如图 2,S是关于t的二次函数.在3个时刻，t,t(1<t<t)对应的正方形DPEF的面积均相等，下列4个 结论：①当t=1时，S=3;②点P在线段BA上时S=2t-16t+34；③AD=4V2;④t1+t,=4.其中正 确结论的个数为( S个 图1 图2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(2024·四川巴中·中考真题)若二次函数y=+bx+c(a>0)的图象向右平移1个单位长度后关于y 轴对称.则下列说法正确的序号为·（少选得1分，错选得0分，选全得满分》 05=2 a .5 当)≤a≤一时，代数式a+b-5动+8的最小值为 2 ③对于任意实数m,不等式am2+bm-a+b≥0一定成立 ④P(xy),Q(x,y)为该二次函数图象上任意两点，且x1<x2·当x+x,+2>0时，一定有y1< 3.(2024·四川成都·中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L:y=ax2-2ax-3a(a>0)与 x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C,D是抛物线第四象限上一点， 10/30