精品解析：2026年陕西西安国际港务区铁一中陆港初级中学九年级下学期考前预测数学试题

【初2026届】数学 （满分：120分 时间：110分钟） 一．选择题（共8小题，每题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的倒数是（   ） A. B. C. D. 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，中，点在上，交于点，若，的面积为4，则四边形的面积为（ ） A. 7 B. 6 C. 9 D. 11 6. 已知一次函数的图象与一次函数的图象关于y轴对称，则的值是（　　） A. 5 B. C. 1 D. 7. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交圆O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ） A. 5 B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向下平移4个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二．填空题（共5小题，每题3分，计15分） 9. 在下列各数：，，，，，，（两个1之间依次多一个0），中，无理数有_____个． 10. 如图是某校数学兴趣小组活动室墙壁上的一幅图案的一部分，它是由边长相等的正方形、正三角形和正n（）边形密铺（无空隙、不重叠的拼接）而成，则该正n边形一个内角的度数为______°． 11. 如图（1）的矩形纸片折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处，如图（2），已知∠MPN=90º，PM=3，PN=4，那么矩形ABCD的周长为_____________． 12. 如图，平行四边形的顶点在反比例函数图象上，点在轴上，点C，D在轴上，与轴交于点，连接，若，则的值为______． 13. 如图，点C是射线上一点，，E是上的动点，且，连接，过E作，连接，则的最小值为_______． 三、解答题（共14小题，计81分，解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解不等式组： 16. 解方程：． 17. 如图，已知四边形，，，连接，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 19. 某微型货车最大载重量为，现接到装运一批设备的任务，已知1个A部件和3个B部件总质量为．2个A部件和1个B部件的质量相等，求1个A部件和1个B部件的质量各是多少千克． 20. 如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是转盘乙上的数字分别是（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）． （1）转动转盘，转盘甲指针指向负数的概率是__________； （2）若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，转盘乙指针所指的数字记为b，请用列表法或树状图法求满足的概率． 21. 初三数学小组准备用所学知识测量路灯的高度，路灯底端有花坛无法直接到达在路灯一侧有一棵高为3米的小树（米），小峰站在距离小树2米的处（米）观察发现，他的眼睛与小树的顶端、路灯的顶端在同一条直线上，小峰的眼睛距离地面米（米），小峰在小树的前方处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端，平面镜距离小树1米（米），请你帮助小峰计算路灯的高度．（结果精确到米） 22. 在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员，进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并绘制了下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： 类型 纯电 混动 氢燃料 油车 人数 3 5 百分比 （1）本次调查活动随机抽取了______人，表中_____，______． （2）请补全条形统计图． （3）请计算扇形统计图中“混动”所在扇形的圆心角的度数． 23. 某某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/、12元/，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的关系如图所示． （1）请求出乙种苹果销售额（单位：元）与销售量（单位：）之间的函数解析式，并写出的取值范围； （2）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元，求的值． 24. 如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E． (1)求证：∠DAC=∠DCE； (2)若AB=2，sin∠D=，求AE的长． 25. 综合实践 【问题情景】用石头打水漂是一项有趣的活动，抛掷出的石头与水面接触后弹起，石头在空中近似地形成一组抛物线的运动路径． 【问题提出】如图1，小亮站在河边的安全位置用一块石头打水漂，石头在空中飞行的高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系如图2所示．石头第1次与水面接触的点为，运动路径近似为抛物线，且．石头在水面上弹起后第2次与水面接触的点为，运动路径近似为抛物线，且．（小亮所站地面、水面在同一水平面，且石头近似看作点） （1）若点的坐标为，求抛物线的函数解析式． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若横坐标为6的位置冒出了一只水鸭，水鸭的头高出水面，则该石头能否飞越水鸭？ 【问题延伸】 （3）在横坐标为6的位置恰有一只水鸭游过，水鸭的头高出水面，如果石头能够飞越水鸭，求的取值范围． 26. 解答下面各题 （1）如图①，已知，，则的度数为______． （2）如图②，已知，且，求证； （3）如图③五边形为冬奥会花样滑冰场馆设计初稿．下方四边形为比赛场地，上方为候场区及观众席区，其中，，；射线为场馆外围围栏，．线段为场馆入口，且、、、四点共线．冬奥会吉祥物蒂娜（点）在场馆内沿线段进行表演，吉祥物米洛（点）在场馆外沿射线进行表演，并且满足．其中为观众席区域，点为幸运观众与吉祥物互动位置，为使观看和互动效果最佳，要在线段上且，为容纳更多观众，请问是否存在点使得面积最大；若存在，请求出观众席的最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【初2026届】数学 （满分：120分 时间：110分钟） 一．选择题（共8小题，每题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的倒数是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，依据“乘积为1的两个数互为倒数”这一概念计算即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的特征是解题关键． 轴对称图形是指图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，根据概念逐一判断即可． 【详解】解：选项A“≠”是不等号，不对称； 选项B“α”不对称； 选项C“”是全等符号，不对称； 选项D“Ω”具有竖直方向的对称轴，是轴对称图形， 故选：D． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，指数相加即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 4. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角度，与三角板有关的角度计算，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 由题意得，，那么，代入即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴， 故选：C． 5. 如图，中，点在上，交于点，若，的面积为4，则四边形的面积为（ ） A. 7 B. 6 C. 9 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到且，证明，得到，求出，进而求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：， 且， ， ，即， ， ， ， ， 的面积为4， ， ， ， ， ． 6. 已知一次函数的图象与一次函数的图象关于y轴对称，则的值是（　　） A. 5 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象和性质， 根据两个一次函数的图象关于y轴对称，得出它们与y轴的交点相同，进而可求出n的值，再在所得一次函数的图象上任意取一点，将其关于y轴的对称点坐标代入即可解决问题． 【详解】解：当，， ∴一次函数与y轴的交点坐标为. ∵一次函数的图象与一次函数的图象关于y轴对称，则将代入得，， 所以一次函数的解析式为． 令得，， 则点关于y轴的对称点坐标为． 将代入得， ， 解得， 所以． 故选：D． 7. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交圆O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设⊙O半径为r，根据勾股定理列方程求出半径r，由勾股定理依次求BE和EC的长． 【详解】解：连接BE， 设⊙O半径为r，则OA=OD=r，OC=r-2， ∵OD⊥AB， ∴∠ACO=90°，AC=BC= AB=4， 在Rt△ACO中，由勾股定理得：r2=42+（r-2）2， ∴r=5， ∴AE=2r=10， ∵AE为⊙O的直径， ∴∠ABE=90°， 由勾股定理得：BE=6， 在Rt△ECB中， 故选：C． 【点睛】本题考查的是垂径定理及圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 8. 在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向下平移4个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合判断平移后的抛物线的顶点所在的象限即可． 【详解】解：∵将抛物线沿轴向下平移4个单位， ∴平移后抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， ∵， ∴，， ∴平移后得到的抛物线的顶点一定在第四象限． 二．填空题（共5小题，每题3分，计15分） 9. 在下列各数：，，，，，，（两个1之间依次多一个0），中，无理数有_____个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次多1个1）．根据无理数的定义，逐一判断各数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； ，是整数，属于有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是有限小数，属于有理数； 中是无理数，减去有理数1后仍为无理数； （两个1之间依次多一个0）是特殊结构的无限不循环小数，属于无理数； ，是整数，属于有理数． 综上，无理数有、、、，共4个． 故答案为：4． 10. 如图是某校数学兴趣小组活动室墙壁上的一幅图案的一部分，它是由边长相等的正方形、正三角形和正n（）边形密铺（无空隙、不重叠的拼接）而成，则该正n边形一个内角的度数为______°． 【答案】150 【解析】 【分析】本题主要考查了镶嵌和正多边形的内角， 根据正方形的每一个内角为，正三角形的每一个内角为，可知正n边形的一个内角的度数为，可得答案． 【详解】解：正n边形的一个内角的度数． 故答案为：150． 11. 如图（1）的矩形纸片折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处，如图（2），已知∠MPN=90º，PM=3，PN=4，那么矩形ABCD的周长为_____________． 【答案】28.8 【解析】 【详解】考点：翻折变换（折叠问题）． 分析：根据勾股定理，得MN=5，进而可得出BC的长，根据直角三角形的面积公式的两种表示方法，可求出AB的长，根据矩形的周长=2（AB+BC）即可得出答案． 解答：解：由题意得，∠MPN=90°，PM=3cm，PN=4cm， 在RT△PMN中，MN2=PM2+PN2， ∴MN=5，BC=PM+PN+MN=3+4+5=12， 根据直角三角形的面积公式得，AB===2.4， 则矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=28.8． 故答案为28.8． 点评：本题考查了翻折变换的知识，本题的解答利用了折叠的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等及勾股定理，另外要注意掌握直角三角形的面积的两种表示方法． 12. 如图，平行四边形的顶点在反比例函数图象上，点在轴上，点C，D在轴上，与轴交于点，连接，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数k 的几何意义，正确表示平行四边形的面积是求解本题的关键．先求平行四边形面积，再求． 【详解】解：如图：作轴于，则四边形是矩形， 由反比例函数性质知，， ∵， ， ∴． 故答案为：． 13. 如图，点C是射线上一点，，E是上的动点，且，连接，过E作，连接，则的最小值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点B作的平行线，延长交于点F，取中点Q，连接，连接，证明，得到，斜边上的中线求出的长，勾股定理求出的长，根据，即可得出答案． 【详解】解：如图：过点B作的平行线，延长交于点F，取中点Q，连接，连接， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 点Q为的中点， ，， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理，斜边上的中线，添加辅助线构造全等三角形是解决此题的关键． 三、解答题（共14小题，计81分，解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】2026 【解析】 【详解】解：原式 ． 15. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据不等式的运算进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ， 解得； 故不等式组的解集为． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1进行计算，接着检验判断． 【详解】解：去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得． 检验：当时，， 所以是原方程的解． 17. 如图，已知四边形，，，连接，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】作直线的垂直平分线交于点O，再以为直径，点O为圆心，作⊙O，交于点P，根据圆周角定理的推论即可推出． 【详解】解：如图，点P即为所作． 【点睛】本题考查作图—线段垂直平分线，圆周角定理．掌握同弧或等弧所对圆周角相等是解题关键． 18. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，运用全等转化思想．解题关键是利用正方形的边和角的性质证明三角形全等，进而通过线段的和差关系推导结论；易错点是对正方形性质理解不全面，或全等三角形的对应关系判断错误． 先根据正方形性质得出，，结合已知，证明，得到．再由正方形中，通过，推出． 【详解】证明：四边形是正方形， ． ， ， ， ，即． 19. 某微型货车最大载重量为，现接到装运一批设备的任务，已知1个A部件和3个B部件总质量为．2个A部件和1个B部件的质量相等，求1个A部件和1个B部件的质量各是多少千克． 【答案】1个A部件的质量为，1个B部件的质量为 【解析】 【分析】设1个A部件的质量是，1个B部件的质量是，根据“1个A部件和3个B部件总质量为，2个A部件和1个B部件的质量相等”建立二元一次方程组求解 【详解】解：设1个A部件的质量是，1个B部件的质量是，根据题意得： ， ∴， 答：1个A部件的质量为，1个B部件的质量为． 20. 如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是转盘乙上的数字分别是（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）． （1）转动转盘，转盘甲指针指向负数的概率是__________； （2）若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，转盘乙指针所指的数字记为b，请用列表法或树状图法求满足的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）转盘甲被分为份，其中份标有负数，即可求出； （2）用列表法列出同时转到两个转盘，指针所指的数字所有可能出现的结果，共有种等可能出现的结果，其中两个转盘指针所指数字之和为正数的结果有种，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵转盘甲被分为份，其中份标有负数， ∴转动转盘甲次，指针指向负数的概率是 故答案为：； 【小问2详解】 同时转到两个转盘，指针所指的数字所有可能出现的结果如下： a＼b 共有种等可能出现的结果，其中两个转盘指针所指数字之和为正数的结果有种， （两个转盘指针所指数字之和为正数） 【点睛】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键． 21. 初三数学小组准备用所学知识测量路灯的高度，路灯底端有花坛无法直接到达在路灯一侧有一棵高为3米的小树（米），小峰站在距离小树2米的处（米）观察发现，他的眼睛与小树的顶端、路灯的顶端在同一条直线上，小峰的眼睛距离地面米（米），小峰在小树的前方处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端，平面镜距离小树1米（米），请你帮助小峰计算路灯的高度．（结果精确到米） 【答案】米 【解析】 【分析】过点C作于点G，交于Q，根据条件得出相关线段的长度，设米，证明，，利用相似三角形对应边成比例，列出方程求解． 【详解】解：如图，过点C作于点G，交于Q， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 米，，米， ∵米， ∴米， 设米，则米， 由光的反射可知，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴，即 解得， ∴路灯的高度为米． 22. 在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员，进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并绘制了下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： 类型 纯电 混动 氢燃料 油车 人数 3 5 百分比 （1）本次调查活动随机抽取了______人，表中_____，______． （2）请补全条形统计图． （3）请计算扇形统计图中“混动”所在扇形的圆心角的度数． 【答案】（1）；；； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，熟练掌握统计图，从中获取信息是解题的关键． （1）根据喜欢油车的人数和所占的百分比即可求出调查人数；结合条形统计图计算出喜欢混动和氢燃料的百分比，即可获得答案； （2）根据的值即可补全条形统计图； （3）用乘以喜欢混动的人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：人； ， ； ， ； 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：人， 【小问3详解】 解：． 23. 某某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/、12元/，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的关系如图所示． （1）请求出乙种苹果销售额（单位：元）与销售量（单位：）之间的函数解析式，并写出的取值范围； （2）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元，求的值． 【答案】（1） （2）当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）分别表示出甲的利润，乙的利润，再根据甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：当时，乙函数图象过，， 设乙种苹果销售额（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：， ∴， 解得：， ∴； 当时，乙函数图象过，， 设乙种苹果销售额（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：， ∴， 解得：， ∴； 综上所述：乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：， ∴，解得：， ∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：； ∴甲的利润为：元， 乙的利润为：元， 当甲、乙两种苹果的销售量均为时，甲乙的利润和为： ， 解得； ∴当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元． 24. 如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E． (1)求证：∠DAC=∠DCE； (2)若AB=2，sin∠D=，求AE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）由切线的性质可知∠DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知∠ACB=90°，根据同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性质可知∠B=∠OCB，由对顶角的性质可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE； （2）题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=，由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE=，于是可求得AE=． 【详解】解：（1）∵AD是圆O的切线， ∴∠DAB=90°． ∵AB是圆O的直径， ∴∠ACB=90°． ∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°， ∴∠DAC=∠B． ∵OC=OB， ∴∠B=∠OCB． 又∵∠DCE=∠OCB， ∴∠DAC=∠DCE． （2）∵AB=2， ∴AO=1． ∵sin∠D=， ∴OD=3，DC=2． 在Rt△DAO中，由勾股定理得AD==． ∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D，∴△DEC∽△DCA， ∴，即． 解得：DE=， ∴AE=AD﹣DE=． 25. 综合实践 【问题情景】用石头打水漂是一项有趣的活动，抛掷出的石头与水面接触后弹起，石头在空中近似地形成一组抛物线的运动路径． 【问题提出】如图1，小亮站在河边的安全位置用一块石头打水漂，石头在空中飞行的高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系如图2所示．石头第1次与水面接触的点为，运动路径近似为抛物线，且．石头在水面上弹起后第2次与水面接触的点为，运动路径近似为抛物线，且．（小亮所站地面、水面在同一水平面，且石头近似看作点） （1）若点的坐标为，求抛物线的函数解析式． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若横坐标为6的位置冒出了一只水鸭，水鸭的头高出水面，则该石头能否飞越水鸭？ 【问题延伸】 （3）在横坐标为6的位置恰有一只水鸭游过，水鸭的头高出水面，如果石头能够飞越水鸭，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）该石头能飞越水鸭；（3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象和性质及应用，抛物线与轴的交点，已知自变量求函数值，待定系数法求二次函数的解析式，通过代入法求解未知参数，比较抛物线上某一点的高度与障碍物的高度，判断能否飞越是解题的关键． （1）根据点在x轴上，将代入求出点坐标，接着把点代入求出即可求解； （2）先求出当时上点的坐标为，通过比较的大小判断石头能否飞起鸭子； （3）将代入得，然后将，代入得，解不等式确定的取值范围． 【详解】解：（1）点在x轴上，且在抛物线的图象上， ∴当时，在抛物线，得， 整理得，， 解得 ，， ∴， ∵点在抛物线的图象上， ∴， 解得，， ∴抛物线的函数解析式为：； （2）该石头能飞越水鸭，理由如下： 当时，在抛物线中， ， ∴水鸭所在点的坐标为， ∵， ∴该石头能飞越水鸭； （3）将代入得， 整理，得 将代入，得， 把代入上式，得， 由时，得，， ． 26. 解答下面各题 （1）如图①，已知，，则的度数为______． （2）如图②，已知，且，求证； （3）如图③五边形为冬奥会花样滑冰场馆设计初稿．下方四边形为比赛场地，上方为候场区及观众席区，其中，，；射线为场馆外围围栏，．线段为场馆入口，且、、、四点共线．冬奥会吉祥物蒂娜（点）在场馆内沿线段进行表演，吉祥物米洛（点）在场馆外沿射线进行表演，并且满足．其中为观众席区域，点为幸运观众与吉祥物互动位置，为使观看和互动效果最佳，要在线段上且，为容纳更多观众，请问是否存在点使得面积最大；若存在，请求出观众席的最大面积． 【答案】（1） （2）证明见详解 （3）存在，最大面积为 【解析】 【分析】（1）利用对角互补的四边形内接于圆判定四点共圆，再结合同弧所对的圆周角相等求出的度数； （2）根据已知相似三角形的性质得到对应角相等、对应边成比例，通过边角边（）相似判定定理证明； （3）先解求出边长，再通过相似三角形的判定与性质推导角度关系、线段比例，结合直角三角形斜边中线性质证得四点共圆，确定的固定度数；最后利用三角形外接圆的性质，结合垂线段最短的原理，求面积的最大值． 【小问1详解】 解：， 、、、四点共圆， 与均为所对应的圆周角， ； 【小问2详解】 证明：， ，， ，， ； 【小问3详解】 解：存在，此时， ，，， ，， ， 在中，， ， 又， ， ，， ， 在中，， 取中点为，由直角三角形斜边中线性质，得， 、、、、五点共圆， ， ， 作的外接圆，连接、、， ， 又， 是等边三角形， ， 过点作于点， ， 过点作于点， ， 即， ， 当且仅当、、共线时，等号成立． 【点睛】本题综合考查圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形以及三角形面积的最值问题，核心在于熟练运用四点共圆的判定与性质、相似三角形的判定定理，并结合直角三角形的性质、外接圆的性质求解最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $