专项02 立体几何4大题型（大题专练）（天津专用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

专项02 立体几何 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近五年天津卷考情，立体几何为必考主干模块，大题固定第17题，分值15分，是中档得分关键． 命题趋势： 解答题以棱柱、棱锥为载体，核心考查线面关系证明、空间角计算、体积计算、动点探究，侧重建系法应用与逻辑、运算能力． 2026年预测：解答题延续固定考法，以直棱柱、正棱锥为载体，重点考查线面关系、空间角、体积计算，大概率搭配动点探究，难度中档，无偏怪题． 备考核心：熟记定理与公式，强化建系法、向量法训练；突破基础考点，兼顾延伸题型；规避常见易错点，提升步骤规范性与计算准确性． 题型01 利用空间向量求空间角 析典例·建模型 1．（25-26高三上·天津红桥·期末）如图，多面体中， 面为矩形，，， (1)求证:平面; (2)求 与所成角的余弦值； (3)求二面角的余弦值. 研考点·通技法 线面角、二面角常紧跟线面证明，解题步骤如下： 第一步：建系（优先天然垂直结构，以侧棱端点为原点，侧棱为z轴），标注坐标并验证，避免坐标错误。 第二步：求向量——直线方向向量为两点坐标差，平面法向量用方程组法求解，求解后验证（点积为0）。 第三步：计算角度——代入线面角、二面角公式，结合图形判断符号（多为锐角）。 第四步：验证角度范围，化简为最简根式或特殊角. 破类题·提能力 1．（25-26高三上·天津滨海新·月考）如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形．，底面为等腰三角形，，是的中点，． (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 2．（25-26高三上·天津南开·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，，与相交于点N，点M满足． (1)求证：； (2)若点B到平面的距离为； （i）求h； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 3．（25-26高三上·天津·月考）如图，是一个四棱锥，已知四边形是梯形，平面，，，，，点是棱的中点，点在棱上，. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 题型02 利用空间向量求空间距离 析典例·建模型 1．（25-26高三上·天津·月考）在直三棱柱中，，分别为中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 研考点·通技法 1、空间向量求空间距离这一题型主要出现在立体几何解答题的第二问或第三问，考查形式稳定且侧重基础应用，以直棱柱、棱锥等常见几何体为载体，命题重点集中在点到平面的距离，直线与平面、平面与平面平行时的距离问题均可转化为点面距求解，而异面直线距离等内容极少单独考查； 2、解题时只需先根据几何体的垂直特征规范建立空间直角坐标系，准确写出各点坐标，再求出对应平面的法向量，构造平面内一点到目标点的向量，最终通过计算该向量在法向量方向上的垂直投影长度即可得到距离，整体思路固定、步骤清晰，只要保证建系合理、坐标与法向量计算准确，避免运算失误，就能稳定拿到该题分数。 破类题·提能力 1．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足， ，，，平面. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 2．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）在如图所示的多面体中，底面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 3．（25-26高三上·天津西青·期末）在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，，，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 题型03 空间几何体的体积计算 析典例·建模型 1．（25-26高三上·天津·月考）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，是与的交点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 研考点·通技法 求体积、体积比，或结合线面关系、动点求体积最值，常与线面垂直结合考查 第一步：确定几何体类型，不规则几何体可分割为规则图形求和。 第二步：求底面积（规则图形直接用公式，不规则图形分割）；求高（直棱柱高为侧棱长，棱锥高优先用线面垂直找，不易求则用等体积法换底或利用空间向量求点面距）。 第三步：代入公式计算，体积比可简化为底面积或高的比。 第四步：验证计算准确性，动点问题结合参数范围求最值。 破类题·提能力 1．（24-25高三上·天津·期末）如图，平面，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求四面体的体积． 2．（25-26高三上·天津蓟州·期末）已知直三棱柱中，，，，分别为，的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 3．（25-26高三上·天津河东·月考）在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点，，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)求四面体的体积. 题型04 动点探究问题 析典例·建模型 1．（25-26高三上·天津·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，分别为的中点，平面平面． (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)若截面与交于点，且，求的值． 研考点·通技法 动点在棱上，探究动点位置、线面关系、角度/体积最值，多为大题后两问 第一步：建系，设比例参数（t∈[0,1]），用参数表示动点坐标，标注参数范围。 第二步：转化目标——线面关系转化为向量关系，列参数方程求解；最值问题转化为三角函数或二次函数求最值。 第三步：求解参数，验证范围，明确结论（存在/不存在）并说明理由。 第四步：规范书写，步骤连贯，不遗漏参数范围。 技巧：参数优先设t∈[0,1]，探究存在性优先假设存在，最值不用复杂求导，贴合中档难度 破类题·提能力 1．（2026·湖南邵阳·一模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，,平面为棱上的点． (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 2．（2025高三上·天津南开·专题练习）如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，． (1)证明：平面； (2)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 3．（2026·天津河北·一模）如图，直角梯形中，，，，四边形为矩形，底面，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)点P在棱上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． （建议用时：60分钟） 刷模拟 1．（2026·天津河西·一模）已知正方体的棱长为2，M，F分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 2．（2026·天津河东·一模）如图，已知多面体中，底面ABCD为直角梯形，点、、、在底面的垂足分别为A、B、C、D，，，，，，E为的中点，F在上且. (1)求BE与平面所成角的正弦值； (2)求平面FBC与平面的夹角的余弦值； (3)边上是否存在点M，使、E、M、F四点共面，若存在，求出DM的长度，若不存在，则说明理由. 3．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求平面与平面夹角的正弦值． 4．（2025·天津武清·模拟预测）如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，. (1)证明：与平面PAD； (2)求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值； (3)若Q为线段PC的中点，求三棱锥的体积. 5．（2025·天津南开·二模）如图，在几何体中，四边形为边长为2的正方形，四边形和四边形为矩形，且为棱上一点． (1)求证：； (2)当点为棱的中点时，求点到平面的距离； (3)当时，求平面与平面夹角的余弦值． 刷真题 1．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 2．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 3．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，    (1)求证：//平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 4．（2022·天津·高考真题）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 5．（2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角的正弦值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项02 立体几何 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近五年天津卷考情，立体几何为必考主干模块，大题固定第17题，分值15分，是中档得分关键． 命题趋势： 解答题以棱柱、棱锥为载体，核心考查线面关系证明、空间角计算、体积计算、动点探究，侧重建系法应用与逻辑、运算能力． 2026年预测：解答题延续固定考法，以直棱柱、正棱锥为载体，重点考查线面关系、空间角、体积计算，大概率搭配动点探究或截面问题，难度中档，无偏怪题． 备考核心：熟记定理与公式，强化建系法、向量法训练；突破基础考点，兼顾延伸题型；规避常见易错点，提升步骤规范性与计算准确性． 题型01 利用空间向量求空间角 析典例·建模型 1．（25-26高三上·天津红桥·期末）如图，多面体中， 面为矩形，，， (1)求证:平面; (2)求 与所成角的余弦值； (3)求二面角的余弦值. 【思路分析】 （1）证明直线垂直平面内的两条相交直线 即可由线面垂直判定定理求证； （2）以D为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. （3）求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，再由二面角的定义结合空间角向量法公式求解. 【规范答题】 （1）因为为矩形，所以, 又，则， 又平面， 所以平面. （2）由（1）可以D为原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系： 则 所以， 则与所成角的余弦值. （3）向量，设平面 的一个法向量为， 则，令 得； 向量，设平面 的一个法向量为， 则，令得. 设二面角的平面角为， 则由图可得. 研考点·通技法 线面角、二面角常紧跟线面证明，解题步骤如下： 第一步：建系（优先天然垂直结构，以侧棱端点为原点，侧棱为z轴），标注坐标并验证，避免坐标错误。 第二步：求向量——直线方向向量为两点坐标差，平面法向量用方程组法求解，求解后验证（点积为0）。 第三步：计算角度——代入线面角、二面角公式，结合图形判断符号（多为锐角）。 第四步：验证角度范围，化简为最简根式或特殊角. 破类题·提能力 1．（25-26高三上·天津滨海新·月考）如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形．，底面为等腰三角形，，是的中点，． (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）由题意在中，，， 故， 则，则，即； 又底面为等腰三角形，，是的中点， 则，而平面， 平面平面，平面平面，故平面， 平面，故； 平面，所以平面， 平面，故； （2）由（1）知两两垂直， 以点为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，则， ∴， 设平面法向量，则， 令，则，得， 设平面法向量，则， 令，则，可得， ∴， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由于. 设直线OB与平面所成角为， ， 即直线OB与平面所成角的正弦值为. 2．（25-26高三上·天津南开·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，，与相交于点N，点M满足． (1)求证：； (2)若点B到平面的距离为； （i）求h； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)（i）；（ⅱ）． 【解析】（1）由已知，以A为坐标原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 则， ，， 由得，即， 因为， 所以，即． （2）（i）由（1）得，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，又 ， 所以点B到平面的距离为， 解得，． （ⅱ）易知平面的一个法向量为． 由（1）和（i）得，， 设平面的一个法向量为，又 ， 则，即， 令，得， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 3．（25-26高三上·天津·月考）如图，是一个四棱锥，已知四边形是梯形，平面，，，，，点是棱的中点，点在棱上，. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则. 为平面的一个法向量， 因为，所以，所以， 因为平面，所以平面. （2）设为平面的一个法向量， 则， 令，则，故， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设为平面的一个法向量， 则, 因为，， 所以， 取，则，则. 为平面的一个法向量，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 题型02 利用空间向量求空间距离 析典例·建模型 1．（25-26高三上·天津·月考）在直三棱柱中，，分别为中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【思路分析】（1）建系，利用空间向量线面平行的证明方法可证明； （2）利用空间向量线面角坐标公式可得答案； （3）利用空间向量点面距坐标公式可得答案. 【规范解答】（1） 由题意得：两两垂直，故分别以为轴建立空间直角坐标系，可得：， 故， 设平面的一个法向量， 得，不妨令得：， 故平面的一个法向量， 又， 且， 所以，又平面 所以平面. （2），由小问1可知：平面的一个法向量. 直线与平面所成角， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. （3），由小问1可知：平面的一个法向量， 设点到平面的距离为， . 故点到平面的距离为. 研考点·通技法 1、空间向量求空间距离这一题型主要出现在立体几何解答题的第二问或第三问，考查形式稳定且侧重基础应用，以直棱柱、棱锥等常见几何体为载体，命题重点集中在点到平面的距离，直线与平面、平面与平面平行时的距离问题均可转化为点面距求解，而异面直线距离等内容极少单独考查； 2、解题时只需先根据几何体的垂直特征规范建立空间直角坐标系，准确写出各点坐标，再求出对应平面的法向量，构造平面内一点到目标点的向量，最终通过计算该向量在法向量方向上的垂直投影长度即可得到距离，整体思路固定、步骤清晰，只要保证建系合理、坐标与法向量计算准确，避免运算失误，就能稳定拿到该题分数。 破类题·提能力 1．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足， ，，，平面. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明过程详见解析；(2)；(3) 【解析】（1）因为平面，平面，所以. 又，，，平面，所以平面. 又平面，所以. 由已知条件可知，四边形是正方形，所以. 又，，平面，所以平面. （2）以点为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 因为， 可得，，，，，. 则，. 设平面的一个法向量为，则 ，即，所以，令，则， 所以平面的一个法向量为. 由（1）知，平面，所以为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3），平面的法向量为. 又，， 点到平面的距离为. 2．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）在如图所示的多面体中，底面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）取棱的中点，连接. 因为为的中点，所以∥，且. 因为，且，所以∥. 所以四边形是平行四边形，所以∥. 因为平面，平面 所以平面； （2）因为底面是边长为2的正方形，平面， 所以如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 由题可知，. 则. 所以. 设平面的法向量为，则. 令，则，所以平面的一个法向量为. 设直线与平面所成的角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）得. 设平面的法向量为，则. 令，则，所以平面的一个法向量为. 所以点到平面的距离为. 3．（25-26高三上·天津西青·期末）在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，，，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）如图建立空间坐标系 则，，，，， 平面的一条法向量为 因为，所以 又因为平面 所以平面 （2），， 设平面的一个法向量为， 所以， 令，则，所以 设与平面所成角为. 则. 所以与平面所成角的正弦值是. （3） 设点到平面的距离为，则 所以点到平面的距离为. 题型03 空间几何体的体积计算 析典例·建模型 1．（25-26高三上·天津·月考）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，是与的交点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 【思路分析】 （1）根据线面平行的判定定理证明； （2）建立恰当的空间直角坐标系，根据线面角的向量求法求得直线与平面所成角的正弦值，进而得到直线与平面所成角的余弦值； （3）根据点到平面的距离的向量求法求得点到平面的距离，根据已知条件求得的面积，利用锥体的体积公式求得三棱锥的体积. 【规范解答】 （1）如图所示，连接，并延长交于点，则为棱的中点，是的中点. 连接，则是的中位线，所以. 因为平面，平面，所以平面； （2）棱柱是直三棱柱，所以平面. 因为，所以. 所以两两垂直，因此，可分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 由题知：. 所以. 设平面的一个法向量是， 则，所以. 令，则，所以平面的一个法向量是， 设直线与平面所成的角为， 则. 所以. 故直线与平面所成角的余弦值为. （3）由（2）知，所以. 由（2）知平面的一个法向量是， 所以点到平面的距离为. 由题可知，， 又，所以， 所以的面积为. 所以三棱锥的体积为. 研考点·通技法 求体积、体积比，或结合线面关系、动点求体积最值，常与线面垂直结合考查 第一步：确定几何体类型，不规则几何体可分割为规则图形求和。 第二步：求底面积（规则图形直接用公式，不规则图形分割）；求高（直棱柱高为侧棱长，棱锥高优先用线面垂直找，不易求则用等体积法换底或利用空间向量求点面距）。 第三步：代入公式计算，体积比可简化为底面积或高的比。 第四步：验证计算准确性，动点问题结合参数范围求最值。 破类题·提能力 1．（24-25高三上·天津·期末）如图，平面，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求四面体的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）因为平面，且平面， 所以，，又， 则以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系 (如图)， 则，． 因为，， 又平面， 所以平面， 故是平面的一个法向量， 又，所以， 又因为平面，所以平面． （2）， 设为平面的一个法向量， 则，所以，令，可得． 又因为是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）因为，平面的一个法向量， 所以点E到平面的距离 ， 因为，， 又平面，，则平面， 又平面，所以，， 又，， 则， 在中：， ， ， 所以，所以， 所以， 所以四面体体积. 2．（25-26高三上·天津蓟州·期末）已知直三棱柱中，，，，分别为，的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）在直三棱柱中，平面，且， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，， 所以 易知平面的一个法向量为， 则，故， 又因为平面，故平面. （2）， 设平面的法向量为， 则，不妨设， 因为， 设平面的法向量为 则，不妨设， 则 因此，平面与平面夹角的余弦值为. （3）点到平面的距离 因为，为的中点 所以， 所以三棱锥的体积. 3．（25-26高三上·天津河东·月考）在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点，，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)求四面体的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）方法一：取的中点，连接，， 由是的中点，得，而，则. 又，于是四边形是平行四边形，， 在中，，，有， 又由平面，平面，得， 而，，平面， 因此平面，所以平面. 方法二：由已知平面，而，则直线，，两两垂直， 如图，以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 于是，，，，， 是的中点，所以，， 设是平面的一个法向量， 则，故可取， 因，则，所以平面. （2）由（1）方法二建系，则，， 设是平面的一个法向量， 则，故可取， 显然平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值是. （3）方法一：由（2）已知平面的一个法向量为， 且，则点到平面的距离， 又，，，， 所以. 方法二：由（1）知为点到面的距离，，， 故. 题型04 动点探究问题 析典例·建模型 1．（25-26高三上·天津·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，分别为的中点，平面平面． (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)若截面与交于点，且，求的值． 【思路分析】 （1）由等腰三角形三线合一，得到，根据面面垂直的性质得到平面，从而，又易证得，故证出； （2）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，由两平面的法向量夹角的余弦值的绝对值即为两平面夹角的余弦值； （3）根据共线求出E的坐标，求出的坐标，然后与法向量垂直，得到数量积为0即可算出. 【规范解答】 （1）为中点，. 又平面平面，且交线为平面， 平面，而平面，平面， ； 为中点，则有； ； （2）如图以为坐标原点，过作直线与平行， 以分别为轴建立空间直角坐标系， ， 则，. . 设平面的一个法向量为， 则有，令，可得. ，设平面的一个法向量为， 则有，可取， ， 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. （3）， . ． . 研考点·通技法 动点在棱上，探究动点位置、线面关系、角度/体积最值，多为大题后两问 第一步：建系，设比例参数（t∈[0,1]），用参数表示动点坐标，标注参数范围。 第二步：转化目标——线面关系转化为向量关系，列参数方程求解；最值问题转化为三角函数或二次函数求最值。 第三步：求解参数，验证范围，明确结论（存在/不存在）并说明理由。 第四步：规范书写，步骤连贯，不遗漏参数范围。 技巧：参数优先设t∈[0,1]，探究存在性优先假设存在，最值不用复杂求导，贴合中档难度 破类题·提能力 1．（2026·湖南邵阳·一模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，,平面为棱上的点． (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，点为棱上靠近点的三等分点. 【解析】（1）如图1，取棱的中点，连接，因为棱的中点，则． 又因为， 所以，则四边形为平行四边形，所以． 又因为平面平面，所以平面. （2）如图2，以点为坐标原点，分别以所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则． 则， 取线段的中点为，连接.因平面，平面，则， 又，则，因，平面，则平面， 因，则，可取平面的一个法向量为. 假设在棱上存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为， 设，则. 设为平面的一个法向量， 则，故可取. 设平面与平面的夹角为， 则． 解得（舍）或. 此时点为棱上靠近点的三等分点. 2．（2025高三上·天津南开·专题练习）如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，． (1)证明：平面； (2)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，. 【解析】（1）证明：正方形中，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面，平面 ，，又，， 中，， ，， ，，， 又，平面，平面， 平面. （2）以点为原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，， ，，， 设点，， ， ，， ，， 设平面的法向量为， ， 令，，，， 显然，平面的法向量为， ， 即，即， 解得或（舍去）， 所以存在点，且时，使得二面角的余弦值为. 3．（2026·天津河北·一模）如图，直角梯形中，，，，四边形为矩形，底面，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)点P在棱上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)． 【解析】（1）设的中点，连接， 则，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又，所以． 如图，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． ，，，，． ，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，故， 因为，所以， 又因为平面，所以平面． （2），，设平面的法向量为， 则，令，则，，故， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为； （3）设，， ， 设与平面所成角为， 则， 因为，， 所以的取值范围是． （建议用时：60分钟） 刷模拟 1．（2026·天津河西·一模）已知正方体的棱长为2，M，F分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)1 【解析】（1）如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 设是平面的一个法向量， 则，则，取，可得， 所以是平面的一个法向量． 因为，则，所以平面． （2）因为，， 设是平面的一个法向量， 则，令，可得， 所以是平面的一个法向量， 由（1）知是平面的一个法向量． 设平面与平面夹角为， 则． （3）因为，由（1）知是平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为， 因为是直角三角形，，， 所以， 所以． 2．（2026·天津河东·一模）如图，已知多面体中，底面ABCD为直角梯形，点、、、在底面的垂足分别为A、B、C、D，，，，，，E为的中点，F在上且. (1)求BE与平面所成角的正弦值； (2)求平面FBC与平面的夹角的余弦值； (3)边上是否存在点M，使、E、M、F四点共面，若存在，求出DM的长度，若不存在，则说明理由. 【答案】(1)；(2)；(3)存在， ，理由见解析. 【解析】（1）由题意得两两垂直， 以A为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，， ，，，，， 设BE与平面所成角为，， 易得平面的法向量为， 则， BE与平面所成角的正弦值为 （2）设平面FBC与平面的夹角为， 平面FBC的法向量为，，， 则有，令，则， 平面的法向量为，， 则有，令，则， 平面FBC与平面的夹角的余弦值 （3）设，平面的法向量， 若上存在点M，使、E、M、F四点共面，则有， ，， 则有，令，则， ，则，解得，， 故上存在点M，使、E、M、F四点共面，. 3．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）设，为中点， 是以为斜边的等腰直角三角形， 取的中点，底面是等腰梯形，. 连接 ， 在中，， 在中，. ， ，且平面， 平面； （2） 如图，建系，则 ， 设直线与所成角为， （3）设平面的法向量是 ，即，令，解得 设平面的法向量是 ，即令，解得 设平面与平面夹角为 故面与平面夹角正弦值为. 4．（2025·天津武清·模拟预测）如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，. (1)证明：与平面PAD； (2)求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值； (3)若Q为线段PC的中点，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）因，，，则， 又，四点共面，则， 因平面，平面，则平面. （2）如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系， 则，，，， 则， 设平面的法向量为 则，令，则， 易知为平面PAD的一个法向量， 则， 所以平面PBC与平面PAD夹角的余弦值为； （3）， 因Q为线段PC的中点， 则. 5．（2025·天津南开·二模）如图，在几何体中，四边形为边长为2的正方形，四边形和四边形为矩形，且为棱上一点． (1)求证：； (2)当点为棱的中点时，求点到平面的距离； (3)当时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）由题设可知，，平面， 所以平面． 以为坐标原点，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系， 则． 设，则， 又，有，故， 所以． （2）依题意，，，，， 设为平面的一个法向量， 则由得 令，则，从而． 设点到平面的距离为， 则． （3）当时，， 设为平面的一个法向量， 则由得 令，则，从而． 显然平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则． 刷真题 1．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）法一、在正方形中， 由条件易知，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵平面，∴平面； 法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的一个法向量， 则，令，则，所以， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； （2）同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则，即， 设平面与平面的夹角为， 则； （3）由（1）知平面，平面，∴， 易知， 又，则D到平面的距离为， 由棱锥的体积公式知：. 2．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 3．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，    (1)求证：//平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1） 连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且， 由棱台性质，//，于是//， 由可知，四边形是平行四边形，则//， 又平面，平面，于是//平面. （2）过作，垂足为，过作，垂足为,连接. 由面，面，故， 又，，平面，则平面. 由平面，故， 又，，平面，于是平面， 由平面，故.于是平面与平面所成角即. 又，，则， 故，在中，，则， 于是 （3）[方法一：几何法] 过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为. 由题干数据可得，，，根据勾股定理，， 由平面，平面，则， 又，，平面，于是平面. 又平面，则， 又，，平面，故平面. 在中，， 又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍， 即点到平面的距离是. [方法二：等体积法] 辅助线同方法一. 设点到平面的距离为. ， . 由，即. 4．（2022·天津·高考真题）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、 、、、，则， 易知平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. （2）解：，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，. 因此，直线与平面夹角的正弦值为. （3）解：，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，则， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 5．（2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角的正弦值． 【答案】（I）证明见解析；（II）；（III）. 【解析】（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则,,,,,,， 因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，， 所以,,, 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 因为，所以， 因为平面，所以平面； （II）由（1）得，， 设直线与平面所成角为， 则； （III）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为， 则， 所以二面角的正弦值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $