山东德州市2025-2026学年高三下学期一模考试数学试题

高三数学模拟题参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.D2.B3.C4.A5.C6.D7.B8.B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.ACD 10.ABD 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.-113.2145g 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 解：(1)因为平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.BC⊥CD,BCC平面ABCD, 所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM. 2分 又因为DM⊥CM,BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.…4分 而DMC平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.…5分 (2)以D为坐标原，点，DA的方向为x轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系D-y之，…6分 因为MC=MD,由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1), AM=(-2,1,1),AB=(0,2,0),DA=(2,0,0)…7分 设n=(x,y,z)是平面MAB的法向量，则 |n·AM=0,n-2x+y+之=0， 即 n·AB=0.2y=0. 可取n=(1,0,2).…9分 DA是平面MCD的法向量，…10分 设平面MAB与平面MCD所成角为0， cos0-lcos<n,DA>InDA5 15 sind=215 5 …12分 所以平面MAB与平面MCD所成角的正弦值是2,5 13分 高三数学试题答案第1页（共6页） 16.(15分) 解：(1)因为sinC=sinA+B)=7V2 10, …1分 所以sinAcosB+-cosAsinB=7V2 10 …2分 又A-B)-=将所以co-o1snB- 10 …3分 联立得sinAcosB=2 5,cosAsinB=3√2 10: …4分 (2)由(1)可得anA-sinAcosB4 /tanB cosAsinB-3,即tanA=号 3tanB,…6分 所以tanC=-tan(A+B)=tanA十tanB_3tanB+tanB =7, tanAtanB-1 …8分 4 3tanB-1 所以4tan2B-tanB-3=0, 解得tanB=l或tanB=一3 4y…9分 因为角B为镜角，所以anB=1,anA=分， …10分 (3)因为△ABC外接圆的周长为2πR=5元.即2R=5.…11分 由tanA=,得sinA三号， 12分 因为iAC=2R,所以号-75=5，解得a=4,c=72 2 …14分 47√2 510 所以△ABC的面积为acsinB三2ac义号三7am 15分 17.(15分) 解：1D当p-号时，PA,)智PA)=号a,PA,)3a,PA,)=3, 侧号+号++a=1,解得a=易 1 …2分 由题意，得PB1A,)=C×号 …3分 PBA0）-Cg分-4分 31 P(BA)=C(2)+C(2)=2 …5分 高三数学试题答案第2页（共6页） 由全板率公式，得PB)-立PB1A,)PA,)-号1-p)+办+ -a2+2 =160 69 4 …7分 (2假设存在p,使E(X)=30+2ap十a(1-p)=2 又&+ap十a(1-p)+a(1-p)2=1, 0十1=2(p22p十方十2)，… b 化简得2的-5印日十3=0 即2p3-5p2十3p-1=0…10分 令h(p)=2p3-5p2+3p-1 则h'(p)=6p2-10p+3 因为h'(0)=3>0,h'(1)=-1<0,所以在(0,1)上存在po,使得h'(po)=0…11分 所以h'(p,)=6p,2-10p+3=0即p2=10p。-3 6 且h'(p)在(0，p)为正，在(po,1)为负 从而h(p)在(0，p0)为增函数，在(po,1)为减函数…12分 h(p)ax=h(po)=2po3-5p02+3p。-1 =2.10p。-3.p,-5p,2+3p-1 6 18po2p0-5p02+3p。二1 、 3p。2+2p。-1 5 3(p。-5 14分 所以当p∈(0,1)时，h(p)ar<0 即不存在力值，使得E(X)=2… 15分 18.(17分) c=1 1 9 解：（1曲2+46-1… 1分 a2=b2+c2 a=2 得 2分 b=√3 高三数学试题答案第3页（共6页） 所以精调C的标准方程为号+号1 …3分 (2)(1)当直线1与x轴重合时，显然成立； 当直线1与x轴不重合时，设直线1方程为x=ty十1，A(x1,y1),B(x2y2). [x=ty+1, 联立22，侍9=0， -6t -9 则y1+y2=32+4y1y2=3t2+4 △=144(t2+1).… 4分 EwM十kB=y1十y2 x1-4x2-4 =,y1+y2 ty1-3ty2-3 2ty1y2-3(y1+y2） (ty1-3)(ty2-3) …6分 因为2y2-3(y1十yg)=20X-9)_3XC=602=0 3t2+4 3t2+4 所以kM十k你=0.…7分 故MA,MB的倾斜角互补，所以∠OMA=∠OMB. …8分 (i)由AF=λFB,则-y1=入y2.… …9分 可得y1+y)2_（-y2十y)2C-1D2 y1y2 -λy2 一入 -《+-2》.1分 因为A∈[2,2]，所以-以+-2)[-20] 12分 又因为十y2一42 y1y2 3t2+4 所以宁re[o …13分 |AB|=√1十t|y1-y2|=√1+t√(y1+y2)2-4y1y2= 12(t2+1) 3t2+4 …15分 令w=2+1,则u∈[1，号] 81=2g-号 …17分 高三数学试题答案第4页（共6页） 19.(17分) 解：(1)因为 f.'x)=2msin-1(x-cosx-至)-2 nc-1(x-至)sin(x-至)…1分 =2nsim(x-至cos(x-子sin*6x-牙)-cos2az-f) =nsin(2x-空(sin-6x-)-cosa-2(z-) …2分 当xe0,]时，则sm红-至)0，eosx-音≥0，可得in2x-受0， 且lsin(z-军)1≤cos(x-平)，则sin2-2(z-平)≤cos2a-(x-至， 即sin2m-2x-cos2m-2x≤0， 可得f.'()≥0，所以函数f.(x)(n≥2)在0，上单调递增…4分 (2)(i)若n=1,则f1(x)=1,即a1=1; …5分 若n≥2，由(1)可知：f.)n≥2)在0，上单调递增， f(+)=sin"(+cos"(x)=cos"()+sin"()-f () 可知∫n(x)是一个周期为的周期函数，… …6分 又因为f.(3-x)=sin(牙-x)十cos“(牙-x)=sin(x-T)+os(x-T)=f.(x） 可知∫.x)关于x=对称，… 8分 则f.)在x=牙处取到最大值，在x=0或x=处取到最小值， 可得e=m*0-子+s产0系》=2x号)”=2X安-是 2-1, …9分 1 综上所述：a,一2气，n∈N …10分 bn十1_2m+1 ()b=2(1og2。+1)=2n,b,2m …11分 b1+1.b2+1 方法一：数学归纳法证明不等式61·。 6n+1 =3.5.?.2t>n+成立， Γ246 2n 当n=1时，左边=多，右边=反，因为>反，所以不等式成立，…13分 假设当n=k时不等式成立， 高三数学试题答案第5页（共6页） 的公-是名…2结T, 61 b2 2k1 则当n=k十1时， 左边6十1.6+1..b+1.611 61 62 bk bk+1 357 =2·4·6 ,2k+1.2k+3k+·2k+2 … 2k+3 2k2k+21 (2k+3)2 /4(k+1)2+4(k+1)+1 =4k+1) 4(k+1) 1 =√兔+1)+1+4k+D>√k+1)+ 所以当n=k十1时，不等式也成立，… 16分 综上所述：可证得不等式恒成立；… 17分 方法二：构造新数列方法证明不等式 令cn=Vn+I 12分 √n on+1 mcm=n十1-√n十12m十1-2√n十n 2n √n 2n =/4n2+4n+1-√4n2+4u>0 14分 2n 所以十>6， bn 即5t十12,6，+l5,+14…b.+1、n+巨 b11’b2√2’b3√3 …, …16分 6t1.bt1.b:+12....n打-√n+, 、bm1√23 综上所述：可证得不等式恒成立. 17分 方法三T=(22.(…22y …13分 >·学…2，+ 2m2n+1 15分 -2×(2m+2)=n+1 16分 ∴.Tm>√n十1… 17分 高三数学试题答案第6页（共6页）+ ■ 高三数学答题卡 姓名 座号 贴条形码区 考生号 由考生本人负责粘贴 注 1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号、座号， 考生禁填 并将条形码粘贴在指定位置上。 意 2.选择题答案必须使用2B铅笔按（填涂样例）正确填涂：非选择题答案必须使用0,5毫米的黑色签字笔书写 缺考标记 ☐ 事 字体工整、笔迹清晰。 3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 缺考考生由监考员粘贴条形码 项 保持卡面清洁、不折叠、不破损。 并用2B铅笔填涂该缺考标记。 选择题答题区域（须用2B铅笔填涂） 填涂样例 错误填涂✉©之 正确填涂■ 选择题（每题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][c][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][c][D] 3[A][B][c][D 7[A][B][C][D] 4[A][B][c][D] 8[A][B][C][D] 选择题（每题6分，共18分） 9 [A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 非选择题答题区域 (须用0.5毫米的黑色签字笔书写) 填空题（每题5分，共15分） 12. 13. 14 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ ■ 数学 第1页共8页 ■ ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 15.（本小题满分13分) M 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ ■ ■ ■ ■ ■ 数学 第2页共8页 ■ ■ ■ ◆ 2 邀黄姓名 座号 考生务必将姓名、座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座号的每个书写框只能填写 个阿拉伯数字。 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 16.（本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ ■ ■ ■ ■ ■ 数学 第3页共8页 ■ ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 二 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ ■ ■ ■ ■ 数学 第4页共8页 + ■ ■ 日 高三数学答题卡 姓名 座号 贴条形码区 ::·: 考生号 由考生本人负责粘贴 非选择题 (须用0.5毫米的黑色签字笔书写) 18.（本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ ■ ■ ■ ■ 数学 第5页共8页 ■ ■ ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请接上一页继续作答 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ ■ ■ ■ ■ ■ 数学 第6页共8页 邀绩姓名 座号 考生务必将姓名、座号用0：5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座号的每个书写框只能填写 个阿拉伯数字。 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ ■ ■ ■ ■ 数学 第7页共8页 + ■ ■ ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请接上一页继续作答 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ ■ ■ ■ ■ 数学 第8页共8页高三数学试题 2026.3 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1一2页，第Ⅱ卷3一4 页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上， 第I卷选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 r 1.命题“Vx∈[2，+∞)，x2≥4”的否定为 A.]xt[2,+∞)，x2<4 B.3x∈[2，+∞)，x2≤4 C.]xt[2,+o∞)，x2≥4 D.3x∈[2，十o∞)，x2<4 2设复数e 1+,则之 3-i A.2-i B.2+i C.1-2i D.1+2i 3.为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积x(单位：dm)与水生植物的株数y(单位：株) 之间的相关关系，收集了4组数据，如表格所示，得到y与x的线性回归方程y=1.2x一2， 则m= 3 4 6 7 y 2 2.5 4.5 m A.5 B.6 C.7 D.8 拟 4.数列{an}中，a1=2,对Vm,n∈N,有am+n=am十am,若ak+1十ak+2十ak+3十+…十ak+1o=270, 则及= A.8 B.9 C.10 D.11 5.若平面向量a,b,c两两夹角相等，且|a=1,|b=2,c|=3,则a+b+c= A.√3 B.36 C.√3或6 D.3或36 6.已知随机变量X-N,),且Y~B3,p),P(X≥)=，且2E(X)=D(2),则p= A C.3 D.2 高三数学试题第1页（共4页） ?已知双曲线C:之-21(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线L与 C在第一，四象限的交点分别为A,B,与y轴交点为D,AF,=|DF,-1F,R,则 双曲线的离心率为 A号 C.5 D.√6 8.已知函数f(x)=xe,g(x)=ex(1十lnx),若f(x1)=g(x2)=m,m>0,则lnm的最大 值为 A B.1 C.2 D.e2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为2，E,F分别是棱AB,A1D1的中点，则 A.异面直线AB1与CD所成角的大小为45 B直线AC与平面ABBA1所成角的正弦值为6 C.CF⊥平面DD1E D四面体BCEF的体积为号 10.函数f(x)=Acos(ax十p)(A>0,u>0,lp<)的部分图象如图所示，则 A.g-3 Bf(x)的图象关于点(，0)对称 5元 C函数fx在区间-，-没上单调递塔 D,若f)在区间[一)上恰有一个最大值和一个最小值，则实数a的取值范围为(，红] 6’3 11.已知数列{an}满足am+1=an(an十2)，且a1=t,则 A.存在唯一的实数t,使得{an}为常数列 B.当一1<t<0时，{an}为递减数列 C.当a3<0时，t的取值范围为(-2,0) D.当t=1时，bn=log2am,{bnm}前n项和为Sm,则Sn<2”一1 高三数学试题第2页（共4页） 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.设集合A={1,a,b},B={a2,a,ab},若A=B,则a3+b3= 13.已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,准线L与x轴的交点为M,点A在抛物线C 上，过点A作AB⊥L于B,|AM=√2AF|,若△AFM的面积为2，则p= 14.在矩形ABCD中，已知AB=2AD=4,E是AB的中点， 将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE,F为线段DE的 中点，连接A1C,EC.当A1F与平面CDE所成角为60 时，三棱锥A1CDE外接球的表面积为 A 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与平面CMD垂直，且DM⊥MC, (1)证明：平面AMD⊥平面BMC; (2)当MC=MD时，求平面MAB与平面MCD所成角的正弦值. D 16.(本小题满分15分) 已知△ABC为锐角三角形，sin(A一B)= 10'sinC=7 10 (1)求sinAcosB; (2)求tanA; (3)若△ABC外接圆的周长为5π，求△ABC的面积， 高三数学试题第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 在某工厂的产品质量检测中，设随机变量X表示从一批产品中随机抽取的不合格产品 数量.已知抽取到X个不合格产品的分布列为： X 0 1 2 3 P a(1-p)2 a(1-p) a ap 每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概 率均为，且各个产品返工是否成功相互独立.事件A,表示抽取的产品中有1个不合格 产品(i=0,1,2,3),事件B表示抽取的产品中返工成功的数量比返工失败的数量多. (1)若力=}，求a,并根据全概率公式求P(B): (2)是否存在p值且p∈(0,1)，使得E(X)=2,请说明理由. 18.(本小题满分17分) 已知能圆C子 +片-1a>6>0)的焦距为2，点1,3在C上，0为坐标原点 (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C右焦点F的直线1与椭圆交于A,B两点. (i)若点M的坐标为(4,0)，证明：∠OMA=∠OMB; (i)若A应=λF成，当入∈[2,2]时，求弦长AB的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知函数f,x)=sin产(x-子)十cos(x-系)，n∈N. 1证明：/.x)n≥2)在0，上单调递增， 公记1.最小值为6=20g2+,数列的的前0项积为工 (i)求{an}的通项公式； (i)证明：对任意的n∈N*,Tm>√n+1成立. 高三数学试题第4页（共4页）