专题10 正方形重难点题型汇编（九大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

专题10 正方形重难点题型汇编 （九大题型） 【题型1 利用正方形的性质求角度】....................................................................................1 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】.........................................................................4【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】.........................................................................9 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】...............................................................14 【题型5 正方形的判定证明】............................................................................................19 【题型6 正方形的性质与判定综合】..................................................................................25 【题型7 求正方形形中最值问题】.....................................................................................39 【题型8 正方形中“十字架”模型】.................................................................................46 【题型9 正方形中“半角”模型】.....................................................................................54 【题型1 利用正方形的性质求角度】 1．两个正方形按如图所示位置摆放，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质和同角的余角相等进行解答即可． 【详解】解：如图， 由题意可得，， ∴， ∴， ∴ 2．如图，在正方形中，为上一点．若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是关键． 由正方形的性质可得．根据三角形的内角和定理求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查正方形、等腰三角形的性质以及等边三角形的性质．根据题意知是等腰三角形，，根据三角形内角和定理及等腰三角形性质求底角即可． 【详解】解：四边形是正方形，是等边三角形， ；，， ， 同理， ∴， 故选：B． 4．如图，在正方形中，点为对角线上一点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正方形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的判定和性质．求出，根据三角形外角的性质即可求出答案． 【详解】解：正方形中，，， ， ，， ， 故选：B． 5．如图，以正方形的一边向形外作等边，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先由正方形的性质得到，，再证明得到，由等边三角形的性质推出，，据此求出的度数，进而求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】 6．如图，E 是正方形的边上一点，九年（3）班同学仿照教材例题的做法，把绕点A顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为20，， 则的长为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键． 利用旋转的性质得出四边形的面积等于正方形的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵绕点A顺时针旋转到的位置， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∵四边形的面积为20， ∴， ∴， ∵， ∴中，． 故选：D． 7．如图，已知在边长为2的正方形中，点E为对角线上一点，且，过点E作交于点F，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解决本题的关键． 根据正方形的性质可得，，，进而证明，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形为正方形，且边长为2， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故选C． 8．如图，在矩形中，，，点E，F分别在边和上（均不与D端点重合），点G在矩形内部，连接，四边形为正方形，连接，若，则的长为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形和正方形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握矩形和正方形的性质． 可得，设，则，然后在中运用勾股定理建立方程，即可求解，则即可求解，再在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴． 故选：B． 9．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，四边形和四边形都是正方形，如果，那么等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，先证明得到，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故选：C． 10．如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．若，，则的长是（  ） A．3 B．12 C．10 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 连接，证明，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】∵正方形中，E是边上一点，将沿翻折至， ∴， 连接，    ∵， ∴， ∴ 设， 则， ∴， 解得， 故选：A． 【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】 11．若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的面积与对角线的关系，利用公式“正方形面积等于对角线平方的一半”直接计算． 【详解】解：∵正方形对角线长为，且面积， ∴． 故选：A． 12．如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为，阴影部分的面积为，则正方形③的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式运算的应用，正方形的面积，根据阴影面积可得阴影长，进而可得正方形②的边长，利用长方形的边长的和差，即可得答案．利用线段的和差得出边长是解题的关键． 【详解】解：∵正方形①的边长为，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的长为：， ∴正方形②的边长为： ∴正方形③的边长为：， ∴正方形③的面积为：． 故选：D． 13．如图，四边形是正方形，是延长线上一点．已知，，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质等知识点，灵活运用勾股定理求直角三角形的边是解题的关键． 先根据正方形的性质和勾股定理可求得，再根据正方形的性质求面积即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，是延长线上一点， ∴， ∴， ∴正方形的面积为． 故选B． 14．如图，正方形的边长为8，分别交，于点，，在上任取两点，，那么图中阴影部分的面积是（　　） A．48 B．40 C．32 D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，理解正方形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．过点作直线于点，交于点，过点作于点，证明四边形和是四边形都是矩形得，，则，由三角形面积公式得，，则，根据“”即可得出答案． 【详解】解：过点作直线于点，交于点，过点作于点，如图所示： 四边形是正方形，且边长为8， ，，，， ， ， ，， ，， 四边形和四边形都是矩形， ，， ， 由三角形的面积公式得：，， ， ． 故选：C． 15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的面积是（ ） A．13 B．28 C．34 D．36 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识．作轴于．只要证明，推出，，由，，推出，，推出，再利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：作轴于． 四边形是正方形， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ， ， 正方形的面积， 故选：C． 16．如图，正方形的边长为，正方形边长为，将这两个正方形并排放在一起，连接，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，由四边形，四边形是正方形，得，，然后通过即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：． 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】 17．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，顶点A的坐标是，轴，点B、C在第一象限，则顶点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，写出坐标系中点的坐标，根据正方形的性质得到，从而得到点B的横坐标为，纵坐标为1，进而得出点C的横坐标为2，纵坐标为． 【详解】解：正方形的边长为3，顶点A的坐标是，轴，点B、C在第一象限， ，点B的横坐标为，纵坐标为1， 点C的横坐标为2，纵坐标为， ， 故选：C． 18．如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中点坐标公式等，正确添加辅助线以及熟练掌握和运用相关内容是解题的关键． 结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标． 【详解】如图，过点E作x轴的垂线，垂足为H．过点G作x轴的垂线，垂足为M，连接、交于点， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵, ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵在正方形中，对角线，相交于点， ， ∵点F与点O关于点对称， ∴点F的坐标为， 故选：D． 19．如图，正方形的顶点，在坐标轴上，将正方形绕点第1次逆时针旋转得到正方形，依此方式，连续旋转至第2023次得到正方形．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点的坐标可得，由正方形的性质可得，，从而得到，连接，由勾股定理可得，由旋转的性质可得，由将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，得到相当于线段绕点逆时针旋转，依次得到，由可得点的坐标每8次一个循环，再由可得点和重合，从而得解． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是正方形， ，， ， 如图，连接， 由勾股定理得：， 由旋转的性质得：， 将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于线段绕点逆时针旋转，依次得到， ， 点的坐标每8次一个循环， ， 点和重合， 由图可得：， 点的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理、点的坐标规律的探索，熟练掌握以上知识点，得到点的坐标每8次一个循环是解题的关键． 20．如图，正方形的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为，以为边构造菱形，将菱形与正方形组成的图形沿y轴翻折，此时点F的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，坐标与轴对称，根据正方形的性质求出点坐标，的长，根据菱形的性质，求出点的坐标，根据关于y轴对称的点的特点，求出点F的对应点的坐标即可． 【详解】解：∵点B的坐标为， ∴， ∵正方形， ∴， ∴，， ∵菱形， ∴轴，， ∴， ∴将菱形与正方形组成的图形沿y轴翻折，此时点F的对应点的坐标为； 故选B． 21．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，C在第一象限，将正方形ABCD绕点A旋转，当D的坐标为(3，2)时，则C点的坐标是（    ） A．(5，1) B．(5，2) C．(5，3) D．(5，4) 【答案】C 【分析】如图：过D作DE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点G，与ED的延长线交于点F，证明△ADE≌△DCF，进而求解． 【详解】解：如图：过D作DE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点G，与ED的延长线交于点F ∵D的坐标为（3，2） ∴OE=GF=3，DE=2， ∵AD=CD= ∴ ∵∠ADC=90° ∴∠ADE+∠CDF=90° ∴∠ADE+∠DAE=90° ∴∠DAE=∠CDF， ∵∠AED=∠CFD=90° ∴ΔΑDΕ≌ΔDCF（AAS） ∴AE=DF=1，DE=CF=2， ∴EF=2+1=3，CG=3+2=5， ∴C（5，3）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、直角坐标系中点的坐标的特征，作出辅助线、构造直角三角形是解答本题的关键． 【题型5 正方形的判定证明】 22．如图，在中，，且，点D、E分别是边的中点，连接，过点B作，过点E作交于点F，求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【分析】由已知条件推出四边形为平行四边形，是的中位线，由三角形中位线的性质可得出，，从而得出，由线段的中点可得出，再结合已知条件可得出，则可证明四边形为正方形． 【详解】证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵点D、E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴, ∵,, ∴， ∴四边形为正方形． 23．如下图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，，．求证：四边形ABCD是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形与正方形的判定、全等三角形的判定与性质，掌握矩形中一组邻边相等即可判定为正方形是解题的关键． 通过已知角的关系推导出，再结合和公共边，证明，从而得到，进而判定矩形为正方形． 【详解】证明：∵，，， ∴． 在和中： ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 24．如图，菱形的三个顶点E，F，G分别在矩形的边上，且，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】此题考查正方形的判定、菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识． 证明，得到，证明，即可得到四边形是正方形． 【详解】证明∶∵四边形是矩形，四边形是菱形， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形 25．如图，已知菱形的对角线交于点是对角线所在直线上的两点，且 ，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了菱形的判定和性质和正方形的判定，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键； 根据菱形的性质可得，进而可得，即得四边形是菱形，再证明即可得解． 【详解】证明：四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 又， ， 菱形是正方形． 26．如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． (1)求证：四边形为矩形； (2)当，求证：四边形为正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的意义，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和角平分线的意义，垂直的意义，可得，进而证明即可； （2）利用等腰三角形的性质可得，进而证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵是外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形． 27．已知矩形，平分交的延长线于点E，过点E作，垂足F在边的延长线上，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质，根据矩形的性质得到，根据角平分线的性质得到，推出四边形是矩形，求得，于是得到结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． 28．如图，在中，，的平分线交于点，，．求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的证明，根据，可得四边形为平行四边形；结合可得四边形为矩形，进而得，再由平分得，即可求证； 【详解】证明：∵，． ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为矩形． ∴， ∵平分， ∴， ∴四边形为正方形． 【题型6 正方形的性质与判定综合】 29．如图，在矩形中，点，分别在，上．将矩形分别沿，翻折后点，均落在点处，此时，，三点共线，若． (1)求证：矩形为正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由翻折得，，，则，所以，而，即可证明，而四边形是矩形，所以四边形是正方形； （2）由翻折和正方形的性质得出，根据，得出，，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】（1）证明：由翻折得，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形，且， 四边形是正方形． （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的长是8． 【点睛】此题重点考查正方形的判定、折叠的性质、勾股定理、矩形的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 30．如图，在矩形中，的平分线交于点于点于点与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论； （3）连接，证明，设，则，可得为等腰直角三角形，，则，即可求解． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴． ∵， ∴ ∴四边形是矩形． ∵平分， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）证明：∵，而由（1）得 ∴， ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∴由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，二次根式的运算，熟悉正方形的性质与判定是解题的关键是解决问题的关键． 31．如图，在中，的平分线交于点D，， (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质与判定，等角对等边，熟知菱形的判定定理和正方形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线的定义推出，则可得到，据此可得结论； （2）可证明四边形是正方形，再根据正方形对角线相等，且正方形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ，， 四边形是平行四边形． 平分 ． ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （2）解：如图所示，连接， 由（1）可知，四边形是菱形． ，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 32．如图（1），在平面直角坐标系中，轴于，轴于，点，，过点作分别交线段、于、两点． (1)若，求证：． (2)如图（2），且，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为 【分析】本题是一道全等三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法，正确的寻找出全等的条件是解决此类问题的关键． （1）根据条件证出四边形为边长为4的正方形，然后证明即可； （2）将绕点顺时针旋转，证出，根据全等三角形的面积相等得出，然后利用进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为边长为4的正方形， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：将绕点顺时针旋转， ∴， 又∵， ∴点、、三点共线， 又∵， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由（1）知四边形为边长为4的正方形， ∴， ∴， ∴的值为． 33．如图，正方形ABCD的边长为4，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过A作AF⊥AE，交CB延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）若DE＝1，求△AFE的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】 （1）正方形的边长相等，四个角相等，即，，根据条件还能证，故能证明． （2），，根据勾股定理能求出的长． 【详解】 （1）证明：， ， ， ． ，， ． （2）解：， ． ，，， ． 的面积为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，熟悉相关性质是解题的关键． 34．如图，点为矩形和正方形的公共顶点，点在矩形的边上，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，是的中点，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）依托矩形、正方形内角为的性质，推导等角，用证三角形全等，得出线段相等关系； （2）先利用全等求长度，通过勾股定理算出、；再过点作，证得对应线段相等，最后证，得到，从而求出长． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 在和中： ， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作，交于， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，． ∵为中点， ∴． 由得， ∴． 在中， ． ∵四边形是正方形， ∴，． ∴， 在中，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中： ， ∴， ∴． 在和中： ， ∴， ∴． ∵， ∴． 35．如图，在正方形中，点，点分别在边．上且满足，点是对角线的中点，连接． (1)求证：． (2)若． ①求证：． ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用证明，即可； （2）①延长交分别于点，作于点，则，，，进而推出，，进而得到，即可； ②证明，，进而得到，推出，三角形的中线的性质得到，证明，推出，进而得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：①延长交分别于点，作于点，如图， 则，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴； ②由①可知：，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴． 36．已知，如图1，正方形和正方形，三点、、在同一直线上，连接和． (1)线段和线段的数量关系为______； (2)将正方形，绕点顺时针旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由； (3)若在图2中连接和，且，，求______．(直接写出结果)． 【答案】(1)； (2)成立，理由见解析； (3) 【分析】（1）利用正方形四边相等、四角为直角的性质，得到、，且，通过判定，再根据全等三角形对应边相等，直接得出． （2）旋转后正方形的边长与直角性质不变，仍有、，通过角的和差推导得到，再次用证明，故的结论依然成立． （3）先由全等三角形对应角相等，推出，结合直角三角形的角度关系，证明；再对四个直角三角形分别应用勾股定理，将与的表达式相加，转化为，最后代入、，计算得． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：结论成立，理由如下： ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴，即（1）中的结论成立． （3）解：如图，连接、，设、交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴． 【题型7 求正方形形中最值问题】 37．如图，在正方形中，点，分别在边、上，连接，．若，，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】延长到P使，连接，，，证明，推出，当点A、F、P在一条直线上时，取得最小值，利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，延长到P使，连接，，， 在正方形中，，， 在和中， ， ， ， ， ， ，当点A、F、P在一条直线上时，取得最小值， 的长为的最小值， ， ，， ，即的最小值为． 38．如图，在正方形中，，对角线，相交于点，点，分别是，上的两个动点，，则线段的最小值为________． 【答案】 【分析】先证明，得到是等腰直角三角形，由勾股定理得，当时，取最小值，即取得最小值，再由等腰三角形的性质以及直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】解：在正方形中，对角线、交于点O， ，，， ∵， ∴ 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 当时，取最小值，即取得最小值， ，， ， ∴ 线段的最小值为． 39．如图，在正方形中， ，E是边上一点，且，P是对角线上一动点，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、路径最短问题、勾股定理，掌握利用轴对称解决路径最短问题时解题的关键． 由正方形的性质可知，点B与点D关于对称，由轴对称的性质可知，当点E、P、D在一条直线上时，有最小值，最后根据勾股定理求得最小值即可． 【详解】解：连接交于点，如图所示： 在正方形中，点B与点D关于对称， 、， ， ， ， 由两点之间线段最短可知：当点E、P、D在一条直线上时，有最小值， 最小值为， 在中，， 因此的最小值是． 故答案为：． 40．如图，正方形的边长为为正方形内一个动点，且，点在边上运动，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】首先由辅助圆-直径对直角，确定点在以为直径的上运动，然后作点关于的对称点，得到，从而由定点到圆周上动点距离最值求法，当四点共线时，的值最小，连接，交于，交于，则的值最小，为的长，然后作，通过构建直角三角形，由勾股定理求得的长，代入计算即可求解． 【详解】解：正方形的边长为为正方形内一个动点，且， 点在以为直径的右侧半圆上运动，其中圆心为线段的中点， 作点关于的对称点，如图所示： ， 由定点到圆周上动点距离最值求法，当四点共线时，的值最小， 连接，交于，交于，如图所示： 则的值最小为的长，即， ， ， 作，垂足为，如图所示： 则四边形是矩形， ，， ， ， 在中，，，由勾股定理可得， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、辅助圆-直径对直角、动点最值-点圆模型、正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，明确两点之间线段最短是解题的关键． 41．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，若，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，二次函数的性质，勾股定理，正方形中的旋转变换，涉及三角形全等的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点作交于点，连接，过作于，根据四边形是正方形，将线段绕点顺时针旋转至线段，可得，，又，即可证明，得，四边形是平行四边形，故，设，可得，由二次函数性质可得答案． 【详解】解：如图，过点作交于点，连接，过作于， 四边形是正方形， ． ， 四边形是矩形， ，，， ． 将线段绕点顺时针旋转至线段， ，， ， ， ， ，， ∴， ， ， 四边形是平行四边形， ． 设，则，， ， ， 当时，最小为， 最小为． 故答案为：． 42．如图，在边长为的正方形中，若分别是边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用，理解点的运动，得到点在以为直径的圆弧上运动，掌握正方形的性质，勾股定理的计算是关键． 根据正方形的性质可证，得到，即，则点在以为直径的圆弧上运动，根据两点之间线段最短，得当点共线时，，此时的值最小，结合勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点在以为直径的圆弧上运动，如图所示，取的中点，以点为圆心，以为半径画弧， ∴根据两点之间线段最短，得当点共线时，，此时的值最小， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： ． 【题型8 正方形中“十字架”模型】 43．【问题背景】在正方形中： 如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等（无需证明）； (1)如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【思考应用】 (2)如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交，于，．若正方形的边长为2，，则_____； 【继续探索】 (3)如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (4)如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为，则_____． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）过点A作，则有四边形是平行四边形，然后可得，进而问题即可得证； （2）连接，交于点K，由折叠的性质可知，同理可得，进而根据勾股定理可进行求解； （3）延长，交的延长线于点I，同理①可得：，然后通过证明，进而根据全等三角形的性质及直角三角形斜边中线定理可进行求解； （4）由题意易得，，则有，然后根据完全平方公式及线段的和差关系可进行求解． 【详解】（1），证明如下： 过点A作，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）连接，交于点K，如图所示： 由折叠的性质可知：， 同理②可得：， 在正方形中，， ∴； （3）延长，交的延长线于点I，如图所示： 同理（1）可得：， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴点D为的中点， ∵， ∴， ∴； （4）同理①可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：（负根舍去）； 44．如图，在正方形中，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、，正方形的边长为6． (1)如图1，当点M和点C重合时，若，求的面积为 ； (2)在（1）的条件下求线段的长度； (3)如图2，当点在边上时，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)；答案见解析； 【分析】（1）求得，利用三角形面积公式即可得解； （2）证，得，，由勾股定理得，再等积法求解即可； （3）过点作于，证，得，进而得出结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ， ∴的面积为； （2）解：四边形是正方形， ，， ，点和点重合， ，，， ， 在和中，， ， ，， ， ， ∴， 由勾股定理得：， ， ∵， ∴； （3）解：线段、、之间的数量关系为：，理由如下： 过点作于，如图2所示： 则四边形为矩形， ，， ， ，， ， 在和中，， ， ， ，即． 45．已知在正方形中，E为边上一点，F为边上一点． (1)如图1，若，与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)如图2，G为边上一点，满足，垂足为H，延长至点M，使． ①求证：四边形是平行四边形． ②当时，请直接写出正方形的边长__________． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）由正方形的性质得到，证明，得到，可证明，则； （2）①由正方形的性质得到，，可证明，得到，则可证明，得到，则，再由，即可证明四边形是平行四边形；②如图所示，在上取一点K，使得，连接，由平行四边形的性质得到，则，求出，得到，则，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 设交于T， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； ②如图所示，在上取一点K，使得，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即正方形的边长为． 【题型9 正方形中“半角”模型】 46．如图，在正方形中，E、F分别是边上的点，连接，且，将绕点D逆时针旋转，得到．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，旋转的性质，根据正方形的性质和旋转的性质可得，可证明B、C、M三点共线，可证明，据此利用即可证明． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴B、C、M三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 47．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整 原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． (1)【思路梳理】延长至，使， ，， ， ，， 又， ， 根据______，易证______，得 (2)【类比引申】如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系______时，仍有． (3)【联想拓展】如图3，在中，，，点、均在边上，且；猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）延长至，使，证明可得，，则，进而根据证明可得，进而即可证明； （2）当时，，同（1）进行证明即可； （3）作，并使，连接，证明，推出是直角三角形，利用勾股定理和等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：延长至，使， ，， 在和中， ， ，， 又， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：当时，，理由如下： 延长至，使，如图， ∵，， ∴， 在和中， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：； （3）解：猜想：．理由如下： 作，并使，连接，如图， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ， ， ， 是直角三角形， ， ． 48．在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图①，在中，，，点、在边上，且，，，求的长． 解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，，． ，，即，． 在和中， ，， ① ，，． 又 ② ， 在中，． ，， ③ ． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：________；“②”处应填：________；“③”处应填：________； 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图③，在正方形中，点、分别在边、上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接、，分别与对角线交于、两点．探究、、的数量关系并证明； 【拓展应用】 如图④，在矩形中，点、分别在边、上，且．探究、、的数量关系：________（直接写出结论，不必证明）． 【答案】问题解决：见解析；知识迁移：，证明见解析；拓展应用：，证明见解析 【分析】问题解决：由旋转的特征得，，，，证明得出，再由勾股定理计算即可得解； 知识迁移：将绕点逆时针旋转，得到，过点作交于，连接，由旋转的性质可得，，，证明得出，证明得出，，证明得出，最后再由勾股定理即可得解； 拓展应用：延长交延长线于，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，连接、，作交 延长线于，则，由全等三角形的性质可得，，证明为等腰直角三角形，得出，由知识迁移可得，由全等三角形的性质可得，，由勾股定理可得，即可得解． 【详解】问题解决：解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，， ． ， ，即，． 在和中， ， ， ． 又， 在中，． ，， ； 知识迁移：，证明如下： 如图，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交于，连接， ， 由旋转的性质可得：，，， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∵为正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴； 拓展应用：，证明如下： 如图，延长交延长线于，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，连接、，作交 延长线于， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由知识迁移可得：， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 49．综合与实践 (1)问题情境：如图①，在正方形中，点；分别在，上，．把绕点逆时针旋转得到，使与重合，探究出，，之间的等量关系，并说明理由； (2)问题探究：如图②，已知，，点，分别在，上，．若，都不是直角，则当与满足数量关系 时，；（直接写出结论，不用证明） (3)拓展应用：如图③，在中，，，点，均在边上，且．若，，求的长． 【答案】(1)，理由见详解； (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件证明，进而得到，即可得到答案； （2）先作辅助线，把绕点旋转到，使与重合，根据（1），要使，需证明，因此需证明、、在一条直线上，即，即； （3）先作辅助线，把绕点旋转到，使和重合，连接，根据已知条件证明，设，则，，然后在中根据勾股定理即可求出的值，即的长． 【详解】（1）解：结论： 由旋转得，，，， ∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）结论： 把绕点旋转到，使与重合， 则，，， ∵， ∴， ∴、、在一条直线上， 和（1）类似，， 在和中， ∴（）， ∴， ∵， ∴； （3）∵中，，， ∴， 由勾股定理得： ， 如图，把绕点旋转到，使和重合，连接， 则，，， ∵， ∴ ， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 【点睛】本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形． 50．（1）【发现证明】如图1，在正方形中，点E，F分别是边上的动点，且，求证：． 小明发现，当把绕点A顺时针旋转至，使与重合时能够证明，请你给出证明过程． （2）【类比引申】①如图2，在正方形中，如果点E，F分别是延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由； ②如图3，如果点E，F分别是延长线上的动点，且，则之间的数量关系是______（不要求证明）； （3）【联想拓展】如图1，若正方形的边长为6，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）①不成立，，理由见解析；②；（3） 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质、旋转的基本性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用． （1）证明 ，可得出，则结论得证； （2）①将绕点A顺时针旋转至根据可证明 ，可得，则结论得证； ②将绕点A逆时针旋转至，证明 ，可得出，则结论得证； （3）求出，设，则，，在中，得出关于x的方程，解出x则可得解． 【详解】（1）证明：把绕点A顺时针旋转至，如图1， ，，， ， ，D，G三点共线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：①不成立，此时，理由如下： 如图2，将绕点A顺时针旋转至， ，，，， ， 在和中， ， ， ； ②如图3，将绕点A逆时针旋转至， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 故答案为：； （3）解：由（1）可知， 正方形的边长为6， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， ， ． 51．探究问题： (1)方法感悟：如图甲，在正方形中，点E，F分别为边上的点，且满足，连接，求证：． 感悟解题方法，并完成下列填空： 延长到点G，使，连接． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即______． 又∵， ∴______． ∴______． ∴． (2)方法迁移：如图乙，将沿斜边翻折得到，点E，F分别为边上的点，且．试猜想之间有什么数量关系？并证明你的猜想． (3)问题拓展：如图丙，在四边形中，，E，F分别为上的点，且满足，请问：与满足什么关系，可使得？直接写出答案． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，折叠的性质： （1）证明，得到，证明，得到，即可； （2）延长到点G，使，同法（1），即可得出结论； （3）当，可得到，证明方法同法（2）． 【详解】（1）证明：延长到点G，使，连接． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即． 又∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：，证明如下： 如图所示，延长到点G，使， 由翻折的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：当，可得到； 延长到点G，使， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 52．【发现问题】 （1）如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的动点，且．试判断BE，EF，DF之间的数量关系．小明把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合，发现．请你给出证明过程． 【类比延伸】 （2）如图②，在正方形ABCD中，若E，F分别是边CB，DC延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，如果E，F分别是边BC，CD延长线上的动点，且，直接写出EF，BE，DF之间的数量关系． 【拓展应用】 （4）在（1）中，若正方形ABCD的边长为6，，求EF的长． 【答案】（1）见解析（2）不成立，理由见解析（3）（4）的长是5 【分析】（1）由旋转的性质可得，进而证得，从而得出，进一步得出结论； （2）把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合，可证得，进而证得，进一步得出结果； （3）与（2）的证法类似，可得到结论； （4）根据勾股定理求得的值，进而求得，设，则，．根据，得到关于的方程，求得的值，即可得到答案． 【详解】解：（1）证明：由旋转的性质可得， ． 又， 三点共线． ， ， ， ． 又， ， ． （2）不成立． 理由：如图，把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合． ， F，G，D三点共线． 由旋转的性质可知， ， ． 又， ， ． （3）． （4）由（1）知，． 在中，， ． 设，则， ． 在中，， 即， 解得， 的长是5． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是旋转三角形，构造全等三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 正方形重难点题型汇编 （九大题型） 【题型1 利用正方形的性质求角度】....................................................................................1 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】.........................................................................2【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】.........................................................................4 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】................................................................5 【题型5 正方形的判定证明】.............................................................................................6 【题型6 正方形的性质与判定综合】..................................................................................9 【题型7 求正方形形中最值问题】.....................................................................................12 【题型8 正方形中“十字架”模型】.................................................................................14 【题型9 正方形中“半角”模型】.....................................................................................16 【题型1 利用正方形的性质求角度】 1．两个正方形按如图所示位置摆放，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，为上一点．若，则（   ）． A． B． C． D． 3．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则等于（    ）    A． B． C． D． 4．如图，在正方形中，点为对角线上一点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，以正方形的一边向形外作等边，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】 6．如图，E 是正方形的边上一点，九年（3）班同学仿照教材例题的做法，把绕点A顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为20，， 则的长为（    ） A．4 B． C．6 D． 7．如图，已知在边长为2的正方形中，点E为对角线上一点，且，过点E作交于点F，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，，点E，F分别在边和上（均不与D端点重合），点G在矩形内部，连接，四边形为正方形，连接，若，则的长为（   ） A．4 B． C． D． 9．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，四边形和四边形都是正方形，如果，那么等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 10．如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．若，，则的长是（  ） A．3 B．12 C．10 D．5 【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】 11．若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（   ） A． B． C． D． 12．如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为，阴影部分的面积为，则正方形③的面积为（   ） A． B． C． D． 13．如图，四边形是正方形，是延长线上一点．已知，，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 14．如图，正方形的边长为8，分别交，于点，，在上任取两点，，那么图中阴影部分的面积是（　　） A．48 B．40 C．32 D．24 15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的面积是（ ） A．13 B．28 C．34 D．36 16．如图，正方形的边长为，正方形边长为，将这两个正方形并排放在一起，连接，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】 17．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，顶点A的坐标是，轴，点B、C在第一象限，则顶点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 18．如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 19．如图，正方形的顶点，在坐标轴上，将正方形绕点第1次逆时针旋转得到正方形，依此方式，连续旋转至第2023次得到正方形．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 20．如图，正方形的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为，以为边构造菱形，将菱形与正方形组成的图形沿y轴翻折，此时点F的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 21．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，C在第一象限，将正方形ABCD绕点A旋转，当D的坐标为(3，2)时，则C点的坐标是（    ） A．(5，1) B．(5，2) C．(5，3) D．(5，4) 【题型5 正方形的判定证明】 22．如图，在中，，且，点D、E分别是边的中点，连接，过点B作，过点E作交于点F，求证：四边形为正方形． 23．如下图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，，．求证：四边形ABCD是正方形． 24．如图，菱形的三个顶点E，F，G分别在矩形的边上，且，求证：四边形是正方形． 25．如图，已知菱形的对角线交于点是对角线所在直线上的两点，且 ，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 26．如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． (1)求证：四边形为矩形； (2)当，求证：四边形为正方形． 27．已知矩形，平分交的延长线于点E，过点E作，垂足F在边的延长线上，求证：四边形是正方形． 28．如图，在中，，的平分线交于点，，．求证：四边形为正方形． 【题型6 正方形的性质与判定综合】 29．如图，在矩形中，点，分别在，上．将矩形分别沿，翻折后点，均落在点处，此时，，三点共线，若． (1)求证：矩形为正方形； (2)若，求的长． 30．如图，在矩形中，的平分线交于点于点于点与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 31．如图，在中，的平分线交于点D，， (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 32．如图（1），在平面直角坐标系中，轴于，轴于，点，，过点作分别交线段、于、两点． (1)若，求证：． (2)如图（2），且，，求的值． 33．如图，正方形ABCD的边长为4，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过A作AF⊥AE，交CB延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）若DE＝1，求△AFE的面积． 34．如图，点为矩形和正方形的公共顶点，点在矩形的边上，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，是的中点，求和的长． 35．如图，在正方形中，点，点分别在边．上且满足，点是对角线的中点，连接． (1)求证：． (2)若． ①求证：． ②求证：． 36．已知，如图1，正方形和正方形，三点、、在同一直线上，连接和． (1)线段和线段的数量关系为______； (2)将正方形，绕点顺时针旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由； (3)若在图2中连接和，且，，求______．(直接写出结果)． 【题型7 求正方形形中最值问题】 37．如图，在正方形中，点，分别在边、上，连接，．若，，则的最小值为____________． 38．如图，在正方形中，，对角线，相交于点，点，分别是，上的两个动点，，则线段的最小值为________． 39．如图，在正方形中， ，E是边上一点，且，P是对角线上一动点，则的最小值是_____． 40．如图，正方形的边长为为正方形内一个动点，且，点在边上运动，连接，则的最小值为_____． 41．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，若，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段的最小值为______． 42．如图，在边长为的正方形中，若分别是边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为_____． 【题型8 正方形中“十字架”模型】 43．【问题背景】在正方形中： 如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等（无需证明）； (1)如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【思考应用】 (2)如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交，于，．若正方形的边长为2，，则_____； 【继续探索】 (3)如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (4)如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为，则_____． 44．如图，在正方形中，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、，正方形的边长为6． (1)如图1，当点M和点C重合时，若，求的面积为 ； (2)在（1）的条件下求线段的长度； (3)如图2，当点在边上时，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 45．已知在正方形中，E为边上一点，F为边上一点． (1)如图1，若，与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)如图2，G为边上一点，满足，垂足为H，延长至点M，使． ①求证：四边形是平行四边形． ②当时，请直接写出正方形的边长__________． 【题型9 正方形中“半角”模型】 46．如图，在正方形中，E、F分别是边上的点，连接，且，将绕点D逆时针旋转，得到．求证：． 47．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整 原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． (1)【思路梳理】延长至，使， ，， ， ，， 又， ， 根据______，易证______，得 (2)【类比引申】如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系______时，仍有． (3)【联想拓展】如图3，在中，，，点、均在边上，且；猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程． 48．在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图①，在中，，，点、在边上，且，，，求的长． 解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，，． ，，即，． 在和中， ，， ① ，，． 又 ② ， 在中，． ，， ③ ． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：________；“②”处应填：________；“③”处应填：________； 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图③，在正方形中，点、分别在边、上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接、，分别与对角线交于、两点．探究、、的数量关系并证明； 【拓展应用】 如图④，在矩形中，点、分别在边、上，且．探究、、的数量关系：________（直接写出结论，不必证明）． 49．综合与实践 (1)问题情境：如图①，在正方形中，点；分别在，上，．把绕点逆时针旋转得到，使与重合，探究出，，之间的等量关系，并说明理由； (2)问题探究：如图②，已知，，点，分别在，上，．若，都不是直角，则当与满足数量关系 时，；（直接写出结论，不用证明） (3)拓展应用：如图③，在中，，，点，均在边上，且．若，，求的长． 50．（1）【发现证明】如图1，在正方形中，点E，F分别是边上的动点，且，求证：． 小明发现，当把绕点A顺时针旋转至，使与重合时能够证明，请你给出证明过程． （2）【类比引申】①如图2，在正方形中，如果点E，F分别是延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由； ②如图3，如果点E，F分别是延长线上的动点，且，则之间的数量关系是______（不要求证明）； （3）【联想拓展】如图1，若正方形的边长为6，，求的长． 51．探究问题： (1)方法感悟：如图甲，在正方形中，点E，F分别为边上的点，且满足，连接，求证：． 感悟解题方法，并完成下列填空： 延长到点G，使，连接． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即______． 又∵， ∴______． ∴______． ∴． (2)方法迁移：如图乙，将沿斜边翻折得到，点E，F分别为边上的点，且．试猜想之间有什么数量关系？并证明你的猜想． (3)问题拓展：如图丙，在四边形中，，E，F分别为上的点，且满足，请问：与满足什么关系，可使得？直接写出答案． 52．【发现问题】 （1）如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的动点，且．试判断BE，EF，DF之间的数量关系．小明把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合，发现．请你给出证明过程． 【类比延伸】 （2）如图②，在正方形ABCD中，若E，F分别是边CB，DC延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，如果E，F分别是边BC，CD延长线上的动点，且，直接写出EF，BE，DF之间的数量关系． 【拓展应用】 （4）在（1）中，若正方形ABCD的边长为6，，求EF的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $