专题09 菱形重难点题型汇编（八大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

专题09 菱形重难点题型汇编 （八大题型） 【题型1 利用菱形的性质求角度】.........................................................................................1 【题型2 利用菱形的性质求线段长度】.................................................................................2 【题型3 利用等面积法求面积】............................................................................................4 【题型4 添加条件对菱形的判定】........................................................................................5 【题型5 菱形的判定-证明题】..............................................................................................6 【题型6 菱形的性质与判定综合】........................................................................................8 【题型7 求菱形中最小值问题】.............................................................................................10 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】...................................................................................11 【题型1 利用菱形的性质求角度】 1．如图所示，四边形是菱形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．将两个完全相同的菱形和按如图方式放置，点在边上，边和边交于点，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上的一点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用菱形的性质求线段长度】 6．如图，在菱形中，对角线相交于点O，．若，则的长是（   ） A．2.5 B．5 C．6 D．10 7．如图，已知菱形的两条对角线分别为和，则这个菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在边长为6的菱形中，，点E为对角线上一点，连接，，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，菱形的面积为16，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 10．如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【题型3 利用等面积法求面积】 11．如图，在菱形中，为对角线，，，则菱形的面积为（   ）． A． B． C． D． 12．如图，菱形的面积为6，E，F，G，H分别为边，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A．3 B．3.5 C．5 D．5.5 13．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（   ）    A．36 B．18 C．24 D．64 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B、D在y轴上，边、分别与x轴交于点F、E，若F、E为、中点，，，则四边形的面积是（    ）    A．10 B．15 C．20 D．25 15．如图，矩形的两条对角线相交于点，，，若，，则四边形的面积是（    ）    A．24 B．14 C．48 D．25 【题型4 添加条件对菱形的判定】 16．如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（    ） A． B． C． D． 17．如图，的对角线，交于点O，以下条件不能证明是菱形的是（   ） A． B． C． D． 18．如图，在中，E，F分别是的中点，连接．如果只添加一个条件即可证明四边形是菱形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 19．如图，在□ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA．添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件可以是（    ） A． B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND 20．如图，在四边形中，，垂足为O，，要使四边形为菱形，应添加的条件是______（只需写出一个条件即可）． 【题型5 菱形的判定-证明题】 21．在平行四边形中，点E、F分别在、上，且． (1)求证：； (2)若，求证：四边形为菱形． 22．如图，在四边形中，，点是对角线的中点． (1)尺规作图：在线段上确定点，使得； (2)在（1）的条件下，连接并延长交于，连接、，求证：四边形是菱形． 23．如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且． (1)求证：； (2)若，说明四边形为菱形． 24．如图，在中，，点D，E分别是，的中点，连接并延长至点，使得，连接，，．求证：四边形是菱形． 25．如图，在中，，是边上的中线，点E在的延长线上，连接，过点C作交的延长线于点F，连接，．求证：四边形是菱形． 【题型6 菱形的性质与判定综合】 26．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接EB，DF． (1)求证：四边形EBFD为菱形； (2)若，，求∠ABE的度数． 27．如图，矩形的对角线相交于点，点是的中点，交延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 28．如图，矩形纸片中，将它沿折叠，使C与A重合，若，且，试求：    (1)线段、的长； (2)若将折叠后的纸片平放在桌面上，则纸片覆盖桌面的面积是多少？ 29．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 30．如图，将沿AC翻折得到，． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作交延长线于点E，连接．若，，求的长． 31．如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接和． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【题型7 求菱形中最小值问题】 32．如图，在菱形中，对角线，，点分别是边边上的动点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 33．如图，的面积为，与交于点，分别过点作的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．5 34．如图，在菱形ABCD中，，E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（   ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．4 35．如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 36．如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】 37．如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形 38．如图①，在菱形中，动点P从点B出发，沿折线运动．设点P经过的路程为的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b等于（    ） A． B． C．5 D．4 39．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)用含有的代数式表示：______，______，______； (2)当为何值时，四边形是矩形？ (3)四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 40．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (2)只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？ 41．在四边形中，，，，．点P从点A出发，以的速度向终点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向终点B运动，当其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为． (1)若，求的长； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (3)探究：当线段的长为多少时，第（2）小题中的四边形是菱形？ 42．如图，在矩形中，，，延长到点，使．连接．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点运动的时间为秒．    (1)______； (2)连接，当四边形是菱形时，求的值； (3)连接、，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 菱形重难点题型汇编 （八大题型） 【题型1 利用菱形的性质求角度】........................................................................................1 【题型2 利用菱形的性质求线段长度】.................................................................................4 【题型3 利用等面积法求面积】...........................................................................................8 【题型4 添加条件对菱形的判定】.........................................................................................12 【题型5 菱形的判定-证明题】...............................................................................................17 【题型6 菱形的性质与判定综合】.......................................................................................21 【题型7 求菱形中最小值问题】.............................................................................................30 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】...................................................................................36 【题型1 利用菱形的性质求角度】 1．如图所示，四边形是菱形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边对等角和三角形内角和定理，由菱形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，由菱形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，由三角形内角和定理得出，最后由平角的定义即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 3．如图，在菱形中，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了菱形的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，，然后求出，然后利用角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． 故选：A． 4．将两个完全相同的菱形和按如图方式放置，点在边上，边和边交于点，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、平行线的性质，熟练掌握菱形的性质、平行线的性质，是解题的关键． 由题意可得，由菱形的性质可得，，由平行线的性质可得，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：， 四边形为菱形， ，， ， ， ， 故选：C． 5．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上的一点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理、等边对等角等知识点，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 由菱形的性质可得、，可得，由等边对等角以及三角形内角和定理求得的度数，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴、， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 【题型2 利用菱形的性质求线段长度】 6．如图，在菱形中，对角线相交于点O，．若，则的长是（   ） A．2.5 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】首先根据菱形的性质知，再由求出，得是等边三角形，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 7．如图，已知菱形的两条对角线分别为和，则这个菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设交于点O，根据菱形的性质可得，，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：设交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， 即这个菱形的边长为． 8．如图，在边长为6的菱形中，，点E为对角线上一点，连接，，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接交于点O，由菱形的性质证明为等边三角形，则，再证明是等腰直角三角形，设，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理，得． 解得 (负值已舍去)， ∴． 9．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，菱形的面积为16，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握菱形的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得，然后根据菱形的面积可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵菱形的面积为16， ∴， ∴， ∵点O为的中点，， ∴； 故选：A． 10．如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、菱形的性质，根据菱形的性质求出，根据折叠的性质求出， ，解直角三角形求出，再根据线段的和差求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 根据折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【题型3 利用等面积法求面积】 11．如图，在菱形中，为对角线，，，则菱形的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点，由菱形的性质可得，，．利用勾股定理可计算出，则，最后利用菱形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在直角中，， ∴， ∴． 12．如图，菱形的面积为6，E，F，G，H分别为边，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A．3 B．3.5 C．5 D．5.5 【答案】A 【分析】根据三角形中位线定理得，，，，证明四边形是矩形，进而得菱形的面积．四边形面积是，故可得结论． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ， ∵点、、、分别是边、、和的中点， ，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ， ∴， ∵，， ， ， ∴四边形是矩形， ∴菱形的面积， ， ， ∴四边形的面积为3． 13．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（   ）    A．36 B．18 C．24 D．64 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形对角线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质．由菱形对角线的性质可得，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可得，再应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，点O是的中点， ∵，， ∴， ∴菱形的面积为． 故选：C 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B、D在y轴上，边、分别与x轴交于点F、E，若F、E为、中点，，，则四边形的面积是（    ）    A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】A 【分析】过点A作于点H，利用已知条件求出边、、的值，再利用即可求出答案． 【详解】过点A作于点H，    ，，， ，，, 四边形是菱形， ，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、中点坐标和求不规则四边形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 15．如图，矩形的两条对角线相交于点，，，若，，则四边形的面积是（    ）    A．24 B．14 C．48 D．25 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可得，根据题意可得四边形是菱形，证明四边形是平行四边形，得出，根据对角线乘积的一半即可求出菱形的面积． 【详解】解： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 连接，则，    ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的面积为：． 故选：A 【点睛】本题考查矩形的性质和菱形的判定及性质，掌握以上知识是解题关键． 【题型4 添加条件对菱形的判定】 16．如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，该选项不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，该选项不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，该选项符合题意； D、因为四边形是平行四边形，所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以平行四边形是菱形，该选项不符合题意． 17．如图，的对角线，交于点O，以下条件不能证明是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定定理，根据每个选项所给条件，结合平行四边形的性质以及菱形的判定方法来判断是否证明平行四边形是菱形． 【详解】解：A项：在中，与是一组邻边，当时，满足菱形的定义， ∴可以证明是菱形，故不符合题意； B项：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形，故不符合题意； C项：∵四边形ABCD是平行四边形，且，满足菱形的判定条件， ∴可以证明是菱形，故不符合题意； D项：在中，对角线互相平分， ∴是平行四边形本身就具有的性质， 但仅由不能证明是菱形，故符合题意， 故选：D． 18．如图，在中，E，F分别是的中点，连接．如果只添加一个条件即可证明四边形是菱形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质．先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， A、当时，四边形是矩形，故本选项不符合题意； B、当时，无法得到四边形是菱形，故本选项不符合题意； C、当时，无法得到四边形是菱形，故本选项不符合题意； D、当时，，此时四边形是菱形，故本选项符合题意； 故选：D 19．如图，在□ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA．添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件可以是（    ） A． B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND 【答案】C 【解析】略 20．如图，在四边形中，，垂足为O，，要使四边形为菱形，应添加的条件是______（只需写出一个条件即可）． 【答案】或或或或或或（只需写出一个条件即可） 【分析】根据“对角线互相垂直的平行四边形为菱形”，通过添加条件证得，由一组对边相互平行且相等，从而证得四边形为平行四边形，即可解答． 【详解】解：可以添加的条件是：，理由如下： ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 同理，添加或，则，即四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ，， ，． 在和中， ． ． ． ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． 【题型5 菱形的判定-证明题】 21．在平行四边形中，点E、F分别在、上，且． (1)求证：； (2)若，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，即可通过“”证明； （2）由平行四边形得到，，从而可推出，从而得到四边形是平行四边形，再根据即可证明． 【详解】（1）证明∶∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵在和中， ， ∴． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． 22．如图，在四边形中，，点是对角线的中点． (1)尺规作图：在线段上确定点，使得； (2)在（1）的条件下，连接并延长交于，连接、，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作的垂直平分线，点M即为的垂直平分线与的交点； （2）证明得到，用对角线互相平分的四边形是平行四边形和对角线互相垂直的平行四边形是菱形，依次证明四边形是平行四边形和菱形即可． 【详解】（1）解：如图1所示，点即为所作的点； （2）解：， ． 是对角线的垂直平分线， ， 在和中 ． ． 又． 所以四边形是平行四边形， ． 所以四边形是菱形． 23．如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且． (1)求证：； (2)若，说明四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：连接交于点，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：由（1）得：四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形． 24．如图，在中，，点D，E分别是，的中点，连接并延长至点，使得，连接，，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】证明：点E是的中点， ． ， ∴四边形是平行四边形． 在中，，点D是的中点， ． ∴四边形是菱形． 【点睛】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 25．如图，在中，，是边上的中线，点E在的延长线上，连接，过点C作交的延长线于点F，连接，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】根据三线合一的性质可得出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，根据证明，得出，然后根据菱形的判定即可得证． 【详解】证明：是边上的中线， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． 【题型6 菱形的性质与判定综合】 26．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接EB，DF． (1)求证：四边形EBFD为菱形； (2)若，，求∠ABE的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)15° 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到BO=DO，∠OBF=∠ODE，证明△BOF≌△DOE（ASA），得到BF=DE，证得四边形EBFD为平行四边形，又因为EF⊥BD，得到四边形EBFD为菱形； （2）根据菱形的性质得到，所以，利用平行线的性质得到，求解即可得到∠ABE的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，BO=DO， ∴∠OBF=∠ODE， ∵EF⊥BD， ∴∠BOF=∠DOE=90°， 在△BOF和△DOE中， ∴△BOF≌△DOE（ASA）， ∴BF=DE， ∵BFDE， ∴四边形EBFD为平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形EBFD为菱形； （2）∵四边形EBFD为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握菱形的对角线平分对角是解题的关键． 27．如图，矩形的对角线相交于点，点是的中点，交延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． （1）根据矩形的性质得出，求出，根据平行线的性质得出，根据全等三角形的判定推出，根据全等三角形的性质得出，求出，根据菱形的判定得出即可； （2）求出是等边三角形，求出，求出，求出，求出，根据勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是菱形， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， 由勾股定理得：． 28．如图，矩形纸片中，将它沿折叠，使C与A重合，若，且，试求：    (1)线段、的长； (2)若将折叠后的纸片平放在桌面上，则纸片覆盖桌面的面积是多少？ 【答案】(1)线段AB、EF的长分别为4cm、 (2)纸片覆盖桌面的面积是 【分析】（1）由矩形的性质得，，由折叠得垂直平分AC，因为，，所以，由勾股定理得，求得，则，所以，可证明四边形是菱形，由，求得 （2）设点D的对应点为点H，连结、，则，，可根据“”证明，由，，求得，由，，求得，则，所以纸片覆盖桌面的面积是 此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明四边形是菱形是解题的关键． 【详解】（1）四边形是矩形， ，， 将矩形沿折叠，C与A重合，且， 垂直平分AC， ， ， ， ， 解得或不符合题意，舍去， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形， ， ， 解得， 线段、的长分别为、 （2）设点D的对应点为点，连结、，则，，   ， ， ， ，， ， ，， ， ， 纸片覆盖桌面的面积是 29．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是： （1）根据平行线的性质，角平分线的定义可得出，根据等角对等边得出，则，根据一组对边平行且相等是四边形是平行四边形可出四边形是平行四边形，然后结合邻边相等即可得证； （2）根据直角三角形斜边中线的性质求出，根据菱形的性质求出、，根据勾股定理求出，最后根据等面积法求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴． 30．如图，将沿AC翻折得到，． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作交延长线于点E，连接．若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据翻折，得到，，平行得到，进而推出，即可得证； （2）在中，勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：由翻折，得，，． ∵， ， ， ， ， 四边形是菱形． （2）四边形是菱形，， ． ，， 中，， ， 中，． 31．如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接和． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）利用矩形的性质结合三角形中位线定理得出，利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵点为的中点，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形，且， ∴，， 又∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知：四边形是菱形， ∴菱形的面积为：． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，理解矩形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质，三角形中位线定理是解决问题的关键． 【题型7 求菱形中最小值问题】 32．如图，在菱形中，对角线，，点分别是边边上的动点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，对称轴最短路径的计算，勾股定理等知识的运用，掌握菱形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键． 如图所示，在上取一点，使得，连接，，过点作于点，根据菱形的性质可得点关于的对称点为点，，则有，的最小值为的长度，在中，根据勾股定理可得，结合，即可求解． 【详解】解：如图所示，在上取一点，使得，连接，，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴点关于的对称点为点，， ∴， ∴， ∴的最小值为的长度， 设菱形的对角交于点，则， ∴在中，， ∴， ∴， 故选：D ． 33．如图，的面积为，与交于点，分别过点作的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】由题意可知，当垂直于菱形的一边时，有最小值，过点作于点，当点为的中点时，为的中位线，得，，证明平行四边形是矩形，得，求出，即可得出结论． 【详解】解：由题意知，，， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形； ∵点是的中点，点是四边形边上的动点， ∴当垂直于菱形的一边时，有最小值， 过点作于点， 当点为的中点时，连接， 则为的中位线， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴， 解得：， ∴， 即的最小值是． 34．如图，在菱形ABCD中，，E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（   ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短，由菱形的性质得，可证四边形为矩形，连接，则，当时时，最短，由勾股定理求出，再利用面积法即可求出的最小值，熟练掌握矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解： ∵四边形是菱形， ∴， ∵于点，于点， ∴四边形是矩形， 连接，则，当时，的值最小，    ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故选：A． 35．如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质．过点D作于点E，交于点M，连接，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而可得结论． 【详解】解：如图，过点D作于点E，交于点M，连接， ∵菱形中，，， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， 根据垂线段最短，此时最短，即最小， ∵菱形的边长为6， ∴， ∴． ∴的最小值是． 故选：D． 36．如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，勾股定理，是解题的关键． 作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，则，可得，根据，得，得,得,根据菱形性质和，可得，得，得，得取得最小值为17 ． 【详解】作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接， 则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，，且， ∴， ∴， ∴， ∴当点E在线段上时，取得最小值17． 故选：C． 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】 37．如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形 【答案】A 【分析】根据题意，分别证明四边形是菱形，平行四边形，矩形，即可求解． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵、， ∴ ∵对称， ∴， ∴ ∵对称， ∴， ∴， 同理， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， 如图所示，    当三点重合时，， ∴ 即 ∴四边形是菱形， 如图所示，当分别为的中点时， 设，则，， 在中，， 连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∵为中点， ∴，， ∴， 根据对称性可得， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形是矩形，      当分别与重合时，都是等边三角形，则四边形是菱形    ∴在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 38．如图①，在菱形中，动点P从点B出发，沿折线运动．设点P经过的路程为的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b等于（    ） A． B． C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，函数图象的识别，勾股定理等，理解函数图象与运动过程的关系是解题的关键．连接交于，由菱形的性质和函数图象得，，当时，，即可求解． 【详解】解：连接交于， 由图②得，， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 当时，， ， 故选：B． 39．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)用含有的代数式表示：______，______，______； (2)当为何值时，四边形是矩形？ (3)四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)四边形不能成为菱形，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，矩形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，掌握矩形的判定和性质以及菱形的性质是解题的关键． （）由题意得，，进而即可求解； （）由矩形的性质可得，进而即可求解； （）由菱形的性质可得，即得，可得，过点作于， 则四边形是矩形， 可得， ，即得，由勾股定理得，即可判断求解； 【详解】（1）解：由题意得，，， ∵，， ∴，， 故答案为：，，； （2）解：∵在四边形中，，， ∴当时，四边形是矩形， ∴， 解得， 即当时，四边形是矩形； （3）解：四边形不能成为菱形，理由如下： 若四边形是菱形，则， ∴， 解得， ∴， 过点作于，则四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形不能成为菱形． 40．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (2)只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？ 【答案】(1)当或秒时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形 (2)的速度为时，四边形可为菱形 【分析】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）计算得出当时，在边上，此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，再分两种情况：当四边形时平行四边形时；当四边形是平行四边形时；分别根据平行四边形的判定定理得出方程，求解即可； （2）设的速度为，由（1）可得，在边上，此时四边形可为菱形，结合，得出只需满足即可，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以的速度向终点运动， ∴秒时，， ∵， ∴， ∵， ∴点在上运动时间为（秒）， ∵， ∴点运动时间最长为（秒）， ∴当时，在边上，此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形， 分两种情况：当四边形时平行四边形时，如图： ， ∵，即， ∴只需要即可， ∵动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动， ∴秒时，， ∴， 解得：； 当四边形是平行四边形时，如图， ， 同理：， ∴只需即可， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当或秒时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； （2）解：设的速度为， 由（1）可得，在边上，此时四边形可为菱形， ∵， ∴只需满足即可， 由（1）可得：，， ∴，， 解得：，， ∴的速度为时，四边形可为菱形． 41．在四边形中，，，，．点P从点A出发，以的速度向终点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向终点B运动，当其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为． (1)若，求的长； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (3)探究：当线段的长为多少时，第（2）小题中的四边形是菱形？ 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）过点D作于点E，判定四边形是矩形，得到，，求得，利用勾股定理求的长即可； （2）根据题意，得点P从点A出发，以的速度向终点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向终点B运动，此时得到，继而得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，列出方程解答即可． （3）根据题意，当时，四边形是平行四边形，此时．根据 第（2）小题中的四边形是菱形，得到，结合，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点E， ∵，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：设运动时间为． 根据题意，得点P从点A出发，以的速度向终点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向终点B运动， ∴， ∴， ∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴． ∴， 解得， 故当时，四边形是平行四边形． （3）解：根据题意，当时，四边形是平行四边形， 此时．根据 第（2）小题中的四边形是菱形， 故， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的性质，勾股定理；平行四边形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 42．如图，在矩形中，，，延长到点，使．连接．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点运动的时间为秒．    (1)______； (2)连接，当四边形是菱形时，求的值； (3)连接、，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理直接计算即可； （2）根据菱形的性质可得答案； （3）分两种情形，当和时，分别计算梯形的面积即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得，， 故答案为：5； （2）∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴当四边形是菱形时，求t的值为； （3）当时，由题意知，，    ∴， 当时，则，    ∴， 综上． 【点睛】本题考查了矩形的性质，梯形的面积公式，勾股定理，菱形的性质，函数解析式等知识，运用分类思想是解（3）的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $