专题08矩形重难点题型汇编（十一大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

专题08 矩形重难点题型汇编 （十一大题型） 【题型1 利用矩形的性质求角度】.........................................................................................1 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】.................................................................................2 【题型3 利用矩形的性质求面积】........................................................................................3 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】.....................................................................5 【题型5 矩形与折叠综合应用】............................................................................................6 【题型6 添加条件对矩形的判定】......................................................................................8【题型7 矩形的判定-证明题】............................................................................................9【题型8 矩形的性质与判定综合】.........................................................................................11 【题型9 求矩形中最大值问题-梯子模型】..........................................................................12 【题型10 求矩形中最小值问题】..........................................................................................13 【题型11 矩形中动点问题-分类讨论】...............................................................................14 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，点E、F为对角线上两点，，，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E．已知，那么的度数为（    ） A．度 B．度 C．度 D．度 5．如图，矩形的顶点A，C分别在直线a，b上．若且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】 6．如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，点是矩形的对角线的中点，交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D． 9．如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，矩形的边与矩形的边交于点，连接．若，则的长（   ） A．3 B． C． D． 【题型3 利用矩形的性质求面积】 11．在矩形中，对角线，则矩形的面积为（  ） A．48 B．60 C．80 D．96 12．如图，直线过矩形对角线的交点O，分别交于点E、F，且，那么图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 13．如图，矩形中，对角线与相交于点O，过点C作，垂足为点E．若，．则矩形的面积为（   ） A．24 B．12 C．10 D．8 14．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，交的延长线于点E，已知，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 15．如图，在正方形中，点E在边上，以为边作矩形，使经过点C．若，则矩形的面积是（    ）    A．2 B．4 C． D． 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】 16．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O是坐标原点，点A、C的坐标分别是，，点B在第一象限，则点B的坐标是（    ）    A． B． C． D． 17．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为，则点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 18．将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（　　　） A．（4，2） B．（3，） C．（3，） D．（2，） 19．在平面直角坐标系中，矩形的位置如图所示，其中，点在第二象限，轴，，则顶点的坐标为(　　) A． B． C． D． 20．如图，四边形 OABC 是矩形，A（2，1），B（0，5），点 C 在第二象限，则点 C 的坐标是（     ） A．（1，3） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，4） 【题型5 矩形与折叠综合应用】 21．如图，矩形纸片中，，把纸片沿直线折叠，点落在处，交于点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 22．如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 23．如图，在矩形中，点E为上一点，连接，将沿折叠，使得点B的对应点恰好落在对角线上，若，，则的周长为（    ） A．3 B．5 C．12 D．16 24．如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片，使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 25．矩形中，，对角线、相交于点O，点E为上一点，将沿折叠，使点D落在对角线的点F处，则线段长为（   ） A． B． C．3 D．3.5 【题型6 添加条件对矩形的判定】 26．下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 27．如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点．小明准备用绳子和三角尺检查这个书架是否为矩形，下列验证方法错误的是（    ） A． B． C． D． 28．如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 29．已知四边形ABCD中，，，下列说法不正确的是(    ) A．如果，那么四边形是矩形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果，那么四边形是矩形 D．如果，那么四边形是矩形 30．如图，在中，，是上的两点，，连接，，，．为使得四边形是矩形，可以添加的一个条件是____________________（写出一种情况即可）． 【题型7 矩形的判定-证明题】 31．如图，在四边形中，，于点，于点，，求证：四边形是矩形． 32．在中，是边的中点，、分别在及其延长线上，，连接． (1)求证： (2)若，试判断四边形的形状，并说明理由． 33．如题，在中，过点作于点，点在边上，且，连接．若． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的度数． 34．如图，在平行四边形中，于点，点在线段的延长线上，且，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，则的长为________． 35．如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点，． 求证：平行四边形是矩形． 36．如图，在平行四边形中，，，延长至点，使．连接，交于点，连接，，．求证：四边形是矩形． 【题型8 矩形的性质与判定综合】 37．如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 38．如图，在中，，D是的中点，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 39．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 40．如图，在中，对角线、相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求矩形的面积． 41．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，OE＝OF． （1）求证：AECF； （2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积． 【题型9 求矩形中最大值问题-梯子模型】 42．如图，在平面直角坐标系，矩形的顶点在A、B分别在y轴和x轴的正半轴上滑动，C、D在第一象限内，若，则的最大值是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 43．如图，在矩形中，，以为斜边在矩形外部作直角三角形，为的中点，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C．8 D．9 44．如图，为矩形外一点，，，，则的最大值为____． 【题型10 求矩形中最小值问题】 45．如图，在矩形中，，，和分别是线段和上的动点，且，则的最小值是__________． 46．如图，在长方形中, ，，，则CE+DF的最小值是________． 47．如图，在矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿折叠形成，连接，，则的最小值是______． 48．如图，中，，，D是上一点，于点E，于点F，连接，则的最小值为______． 49．如图，矩形中，已知，，为的中点，连接、、，则的最小值为________． 【题型11 矩形中动点问题-分类讨论】 50．如图，在矩形中，，，连接，动点从点出发，沿运动．设点的运动路程为，的面积为．若与的对应关系如图所示，则的值为（    ） A． B．1 C． D．4 51．如图，在矩形中，，点E在线段上，且，动点P在线段上，从点A出发以的速度向点B运动，同时点Q在线段上．以的速度由点B向点C运动，当与全等时，v的值为（    ） A．2 B．4 C．4或 D．2或 52．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为________________________时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 53．如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以/秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以/秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒． (1)若P，Q两点同时出发． ①__________，__________； ②若t为何值时，四边形为矩形（写出过程）？ (2)若P点先运动3秒后停止运动．此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为__________时，三角形为直角三角形（直接写出答案）． 54．如图，在矩形中，．动点P、Q分别从点A、C以的速度同时出发．动点P沿向终点B运动，动点Q沿向终点D运动，交对角线于点O．设点P的运动时间为t（秒）．    (1)用含t的式子表示：______，______； (2)运动过程中，无论t为何值，四边形的面积______； (3)当四边形是矩形时，求出t的值． 55．如图，在四边形中，，， ，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为（单位：，），解答下列问题：    (1)______； (2)直接写出运动时间的取值范围及，的长度；（用含的式子表示） (3)连接，若，请求出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 矩形重难点题型汇编 （十一大题型） 【题型1 利用矩形的性质求角度】.......................................................................................1 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】................................................................................5 【题型3 利用矩形的性质求面积】.......................................................................................9 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】.....................................................................13 【题型5 矩形与折叠综合应用】...........................................................................................18 【题型6 添加条件对矩形的判定】......................................................................................22【题型7 矩形的判定-证明题】............................................................................................26【题型8 矩形的性质与判定综合】.........................................................................................31 【题型9 求矩形中最大值问题-梯子模型】..........................................................................37 【题型10 求矩形中最小值问题】..........................................................................................39 【题型11 矩形中动点问题-分类讨论】...............................................................................44 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由矩形性质得到，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在矩形中，， ． 2．如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到，，，证明是等边三角形，进而求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在矩形中，点E、F为对角线上两点，，，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先得出，根据矩形的性质得出，，再得出，进而求出，进一步可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E．已知，那么的度数为（    ） A．度 B．度 C．度 D．度 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，首先根据矩形的性质得到，，由此可得，然后根据，可以求出，，据此进而得到的度数，最后进一步求出答案即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故选：D． 5．如图，矩形的顶点A，C分别在直线a，b上．若且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查平行线的性质，矩形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解． 作，证明，根据平行线的性质与矩形性质即可求解． 【详解】解：如图，作， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】 6．如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用矩形对角线的性质证明为等边三角形，然后求出对角线，再由勾股定理求出 ． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 、相交于点， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 7．如图，点是矩形的对角线的中点，交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理，连接，根据矩形的性质可知，根据，可知，根据等腰三角形的三线合一定理可知，利用勾股定理即可求出． 【详解】解：如下图所示，连接， 四边形是矩形，点是的中点， 点、、三点共线，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ． 8．如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的定义，基本作图，熟练掌握以上知识点是关键．连接，可证，得到，再根据勾股定理得到，由线段和差得到，在中，利用勾股定理建立方程求出即可得到的长． 【详解】解：如图，连接， 由作图步骤可知，是的平分线， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， ， ， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，即 ． 9．如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，作于点，连接，先由矩形的性质证明，再根据勾股定理求得，由三角形的面积公式求出，由即可求出答案． 【详解】解：作于点，连接， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 故选：C． 10．如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，矩形的边与矩形的边交于点，连接．若，则的长（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，根据矩形的性质，旋转的性质，得到为等腰直角三角形，，勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵将矩形绕点顺时针旋转得到矩形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 故选B． 【题型3 利用矩形的性质求面积】 11．在矩形中，对角线，则矩形的面积为（  ） A．48 B．60 C．80 D．96 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理等知识 ，根据矩形的性质以及勾股定理求得的长是解题的关键． 利用矩形的对角线相等和勾股定理，求出另一条边的长度，再计算矩形面积． 【详解】解：∵ 在矩形中，对角线， ∴ 在中，，为斜边， 由勾股定理得：，即， ∴ 矩形面积． 故选A． 12．如图，直线过矩形对角线的交点O，分别交于点E、F，且，那么图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质与全等三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．首先根据题意得出，，然后进一步证明和全等，利用全等三角形性质得出，从而进一步求解即可 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 在和中， ，，， ， ， 等底同高的三角形面积相等， ， 阴影部分的面积是． 故选A． 13．如图，矩形中，对角线与相交于点O，过点C作，垂足为点E．若，．则矩形的面积为（   ） A．24 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．先根据矩形对角线的性质得到，由，根据即可求解． 【详解】解：∵矩形，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 14．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，交的延长线于点E，已知，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，易证，可得四边形为矩形，即可证明，可求得的长，根据是中位线可以求得的长度，即可求得矩形的面积，即可解题． 【详解】解：∵ ∴F是的中点， ∵D是中点， ∴是中位线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴ ∴， ∴四边形为矩形， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴矩形面积． 故选：A． 15．如图，在正方形中，点E在边上，以为边作矩形，使经过点C．若，则矩形的面积是（    ）    A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据正方形的性质求得，再根据矩形的性质得到即可求解． 【详解】解：连接，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的性质，得到与正方形和矩形面积的关系是解答的关键． 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】 16．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O是坐标原点，点A、C的坐标分别是，，点B在第一象限，则点B的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出点B的坐标即可． 【详解】解：∵四边形OABC是矩形， ∴OC=AB，CB=OA， ∵点A，C的坐标分别是（6，0），（0，3）， ∴AB=3，OA=6， ∴点B坐标为（6，3）， 故选：B． 【点睛】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出点B的坐标． 17．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为，则点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标． 【详解】解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为(10,8)， ∴AD=OC=10，DC=AO=8， ∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处， ∴AD=AF=10，DE=EF， 在Rt△AOF中,OF= =6， ∴FC=10−6=4， 设EC=x，则DE=EF=8−x， 在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2， 即(8−x)2=x2+42， 解得x=3，即EC的长为3， ∴点E的坐标为(10,3)． 故选择A． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠性质，勾股定理，掌握矩形的性质，折叠性质，勾股定理，利用勾股定理构造方程是解题关键． 18．将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（　　　） A．（4，2） B．（3，） C．（3，） D．（2，） 【答案】B 【分析】首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM，MO＝3，进而得出答案． 【详解】如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N， 过点C作CM⊥x轴于点M． ∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°， ∴∠EAO=∠COM， 又∵∠AEO=∠CMO=90°， ∴△AEO∽△OMC， ∴， ∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°， ∴∠BAN=∠EAO=∠COM， 在△ABN和△OCM中， ， ∴△ABN≌△OCM（AAS）， ∴BN=CM． ∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是， ∴BN， ∴CM， ∴， ∴MO=3， ∴点C的坐标是：（3，）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM的长是解题的关键. 19．在平面直角坐标系中，矩形的位置如图所示，其中，点在第二象限，轴，，则顶点的坐标为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质可得，，轴，轴，则可求点坐标． 【详解】解：四边形是矩形 ，，，，且轴， 轴，轴， ，，， 点横坐标为3，点纵坐标为2， 点坐标为， 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，熟练运用矩形的性质是本题的关键． 20．如图，四边形 OABC 是矩形，A（2，1），B（0，5），点 C 在第二象限，则点 C 的坐标是（     ） A．（1，3） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，4） 【答案】D 【分析】先分别过C和A作y轴的垂线，构造两组全等三角形，用矩形的相关性质即可证明，再利用两组三角形全等对应边相等CE=AF、BE=OF，结合已知坐标就能求得C点坐标． 【详解】解：过C作CE⊥y轴与E，过A作AF⊥y轴于F． ∴∠CEO=∠AFB=90° ∵四边形ABCO为矩形 ∴AB=OC，ABOC ∴∠ABF=∠COE ∴△OCE≌△BAF（AAS） 同理可得 ∴△BCE≌△OAF（AAS） ∴CE=AF，OE=BF，BE=OF ∵A（2，1），B（0，5） ∴AF=CE=2，BE=OF=1，OB=5 ∴OE=4, ∴点C的坐标为（-2，4） 故选：D． 【点睛】本题主要考查矩形性质的应用、三角形全等的判定与性质、坐标系与几何综合，易错点在于与坐标系综合中可能会出现的符号错误问题． 【题型5 矩形与折叠综合应用】 21．如图，矩形纸片中，，把纸片沿直线折叠，点落在处，交于点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由折叠得到，然后结合平行线的性质得到，推出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：由折叠得，， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 在直角三角形中，， ． 22．如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质，折叠的性质，平角的定义，计算解答． 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平角的定义，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵长方形纸片， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 故选：C． 23．如图，在矩形中，点E为上一点，连接，将沿折叠，使得点B的对应点恰好落在对角线上，若，，则的周长为（    ） A．3 B．5 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，是解题的关键．根据勾股定理求出，根据折叠得出，，最后求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， ∴ ． 故选：C． 24．如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片，使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键． 先根据矩形的性质求出的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵是翻折而成， ∴，是直角三角形， ∴， 在中，， 设， 在中，，即， 解得， 故选：D． 25．矩形中，，对角线、相交于点O，点E为上一点，将沿折叠，使点D落在对角线的点F处，则线段长为（   ） A． B． C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题关键．由矩形的性质和勾股定理，求得，进而得到，由折叠的性质可知，，，，设，利用勾股定理列方程，求出，再利用勾股定理，即可求出线段的长． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，，， 在中，， ， 由折叠的性质可知，，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， ， 在中，． 故选：B． 【题型6 添加条件对矩形的判定】 26．下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定定理，掌握由平行四边形证明矩形的方法是解题关键． 根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，逐项判断即可． 【详解】解：在平行四边形中， 当，则平行四边形是菱形，不一定是矩形，故错误； 当，则平行四边形是菱形，不一定是矩形，故错误； 当，这是平行四边形固有的性质，不能作为判定矩形的额外依据，故错误； 当，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，故正确． 故选：． 27．如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点．小明准备用绳子和三角尺检查这个书架是否为矩形，下列验证方法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据矩形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、不能判定平行四边形是矩形，故A选项符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，故B不符合题意； C、∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故C不符合题意； D、∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故D不符合题意； 故选：A． 28．如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的判定；根据矩形的判定条件进行解答即可． 【详解】解：添加条件为：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 故选：A． 29．已知四边形ABCD中，，，下列说法不正确的是(    ) A．如果，那么四边形是矩形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果，那么四边形是矩形 D．如果，那么四边形是矩形 【答案】B 【分析】根据题意可得对角线相等，且有一组对边平行，寻找构成平行四边形的条件即可求解． 【详解】解：A. ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又，则四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； B. 如果，那么四边形可以是等腰梯形，故该选项不正确，符合题意； C. ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又，则四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； D. ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， 又，则四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；    故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 30．如图，在中，，是上的两点，，连接，，，．为使得四边形是矩形，可以添加的一个条件是____________________（写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由平行四边形的性质可知，，，再证，则四边形是平行四边形，添加，由矩形的判定可得出结论． 【详解】解：添加的一个条件是：． 理由如下：∵四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形，添加的条件符合要求． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型7 矩形的判定-证明题】 31．如图，在四边形中，，于点，于点，，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】首先证明出，得到，然后结合即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：∵，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 32．在中，是边的中点，、分别在及其延长线上，，连接． (1)求证： (2)若，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)四边形是矩形，理由见解析 【分析】由证明三角形全等，由和是边的中点得到和是等腰三角形，再根据三角形内角和定理得出，再证明四边形是平行四边形，可得出结论； 【详解】（1）证明：， ， 是边的中点， ， 在和中， ， ． （2）解：四边形是矩形，理由如下： 和是边的中点， ， 和是等腰三角形， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是矩形． 【点睛】求解图形证明题一定要合理应用题目中包含的隐藏条件，比如对顶角相等，往往会成为解题的突破口． 33．如题，在中，过点作于点，点在边上，且，连接．若． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判定四边形是平行四边形，再有一个角是直角的平行四边形是矩形即可获证． （2）先根据勾股定理算出的长，发现，再根据等边对等角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴． ∵， ∴在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 34．如图，在平行四边形中，于点，点在线段的延长线上，且，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证； （2）先利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用三角形的面积公式求值即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴的面积为， ∴． 35．如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点，． 求证：平行四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知角相等推导出对角线相等，再根据“对角线相等的平行四边形是矩形”完成证明． 【详解】证明：∵ 四边形 是平行四边形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∵ 四边形 是平行四边形，且 ， ∴ 平行四边形 是矩形． 36．如图，在平行四边形中，，，延长至点，使．连接，交于点，连接，，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查矩形的判定、平行四边形的性质及判定、等腰三角形的判定等，先证明四边形是平行四边形，利用，，求得，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 【题型8 矩形的性质与判定综合】 37．如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等边对等角，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由，，得到四边形是平行四边形，进而，结合，可得，得证结论； （2）由，，得到，，根据可求出，根据矩形的性质得到，进而得到，最后根据角的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴． 38．如图，在中，，D是的中点，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形三线合一的性质得出，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由已知条件可得出，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出． 【详解】（1）证明：∵， D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）可知四边形是矩形． ∴，，， ∵D是的中点，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ 即， ∴． 39．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【详解】（1）证明： 中，，平分， ，， ，， ，， 四边形是矩形； （2）解：，平分，，， ． 在直角三角形中，由勾股定理得：． 四边形是矩形， ，． ， ． 40．如图，在中，对角线、相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟记判定与性质是解题的关键． （1）根据已知条件推知四边形是平行四边形，则，依据等量代换得到，则平行四边形是矩形； （2）利用“矩形的对角线相等且相互平分”的性质可证是等边三角形，得出，再利用勾股定理求得的长度，然后用矩形的面积公式列式计算即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ． 又点在的延长线上， ． 又， 四边形是平行四边形， ． 又∵， ， 平行四边形是矩形； （2）解：在矩形中，，， 是等边三角形， ， ， ∴， 四边形的面积． 41．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，OE＝OF． （1）求证：AECF； （2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）由矩形的性质得出OA=OC，根据OE=OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE=CF； （2）证出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC，即可得出矩形ABCD的面积． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴OA=OC， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（SAS）， ∴∠OAE=∠OCF， ∴AECF； （2）∵OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴OA=OB， ∵∠AOB=∠COD=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA=AB=6， ∴AC=2OA=12， 在Rt△ABC中，BC==， ∴矩形ABCD的面积=AB•BC==． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和求出BC是解决问题的关键． 【题型9 求矩形中最大值问题-梯子模型】 42．如图，在平面直角坐标系，矩形的顶点在A、B分别在y轴和x轴的正半轴上滑动，C、D在第一象限内，若，则的最大值是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，取的中点，连接，因为，所以当三点共线时，点到点的距离最大，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：取的中点，连接，如图： ∵， ∴当三点共线时，点到点的距离最大， ∵，是的中点 ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故选：A． 43．如图，在矩形中，，以为斜边在矩形外部作直角三角形，为的中点，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理及三角形三边关系，作出辅助线及熟知三级形三边关系是解题关键．取中点，连接，，根据矩形的性质可求，的长，根据勾股定理可求的长，根据直角三角形的性质可求的长，根据三角形三边关系可求得当点，点，点共线时，有最大值，即． 【详解】解：如图，取中点，连接，， 四边形是矩形， ，，， 点是中点，点是的中点， ，， ， 点是的斜边的中点， ， 根据三角形三边关系可得：， 当点，点，点共线时，最大值为． 故选：D． 44．如图，为矩形外一点，，，，则的最大值为____． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．取的中点，连接，由矩形的性质及直角三角形的性质求出，，根据，当三点共线时，有最大值，最大值为，即可解答． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∵点O是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 【题型10 求矩形中最小值问题】 45．如图，在矩形中，，，和分别是线段和上的动点，且，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】设，则，利用勾股定理列出与的函数关系式，进而求最值即可. 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∵矩形中， ∴， ∵， ∴开口向上， ∵， ∴当时，最小，此时最小，最小值为. 46．如图，在长方形中, ，，，则CE+DF的最小值是________． 【答案】 【分析】延长到点M，使得，连接，证明转化得到，当D，F，M三点共线时，取得最小值，勾股定理解答即可． 【详解】解：延长到点M，使得，连接， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接 ∵， ∴， 故当D，F，M三点共线时，取得最小值，且最小值为 故答案为：． 47．如图，在矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿折叠形成，连接，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，作点关于的对称点，连接，由于四边形是矩形，所以，，，则，，在中，，从而得，故当共线时，的值最小，最小值，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∵是定值， ∴ 当共线时，的值最小，最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 48．如图，中，，，D是上一点，于点E，于点F，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键． 连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴线段的最小值为． 故答案为：． 49．如图，矩形中，已知，，为的中点，连接、、，则的最小值为________． 【答案】10 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，取的中点，连接，，证明，得到，进而得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：取的中点，连接，， ∵，为的中点 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为10． 故答案为：10． 【题型11 矩形中动点问题-分类讨论】 50．如图，在矩形中，，，连接，动点从点出发，沿运动．设点的运动路程为，的面积为．若与的对应关系如图所示，则的值为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、从函数图象中获取信息，由矩形的性质结合勾股定理得出，根据当点在上运动且到达点时求出的值，再根据当点在上运动时，的面积不变，到达点处时，点的运动路程为，即可得出的值，从而得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴， 当点在上运动且到达点时，， ∴， 当点在上运动时，的面积不变，到达点处时，点的运动路程为， ∴， ∴， 故选：C． 51．如图，在矩形中，，点E在线段上，且，动点P在线段上，从点A出发以的速度向点B运动，同时点Q在线段上．以的速度由点B向点C运动，当与全等时，v的值为（    ） A．2 B．4 C．4或 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 当与全等时，有两种情况：①当时，，②当时，，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可． 【详解】解：当与全等时，有两种情况： ①当时，， ，， ，， ； 动点在线段上，从点出发以的速度向点运动， 点和点的运动时间为：， ∴； ②当时，， ，， ，， ， ， 综上，v的值为2或． 故选：D． 52．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为________________________时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 【答案】3s或6s或9s 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键； 根据矩形的性质，当以P、Q、C、D四点为顶点的四边形是矩形时，需满足，分情况讨论点Q的运动状态来建立方程． 【详解】解：根据题意可知，当点P到达点D时， 点Q的运动轨迹为． ∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴． 若，则四边形PQCD是矩形． 设运动时间为ts．由题意，得． 分三种情况讨论： ①当时，， ∴， 解得； ②当时，， ∴， 解得； ③当时，， ∴， 解得． 综上所述，当运动时间为3s或6s或9s时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 53．如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以/秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以/秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒． (1)若P，Q两点同时出发． ①__________，__________； ②若t为何值时，四边形为矩形（写出过程）？ (2)若P点先运动3秒后停止运动．此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为__________时，三角形为直角三角形（直接写出答案）． 【答案】(1)①，；②5 (2)6或 【分析】（1）①根据速度与时间的积可求得，再由可求得； ②当时，四边形为矩形，分别表示出，解方程即可； （2）分和两种情况讨论，利用矩形的判定与性质，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①由题意知，， 则， 故答案为：，； ②∵， ∴； 当时，四边形为平行四边形； ∵， ∴四边形为矩形； 即当时，四边形为矩形； ∵，， ∴， 解得：； 当t的值为5时，四边形为矩形； （2）解：P点先运动3秒后停止运动，此时； 当时，，不可能是直角； 当时，如图， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，过点Q作于M，则； ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上，当t为6或时，三角形为直角三角形． 故答案为：6或． 54．如图，在矩形中，．动点P、Q分别从点A、C以的速度同时出发．动点P沿向终点B运动，动点Q沿向终点D运动，交对角线于点O．设点P的运动时间为t（秒）．    (1)用含t的式子表示：______，______； (2)运动过程中，无论t为何值，四边形的面积______； (3)当四边形是矩形时，求出t的值． 【答案】(1)cm，cm (2)24 (3)2 【分析】（1）先根据矩形的性质求出，进而可得答案； （2）根据梯形面积公式解答即可； （3）根据矩形的性质可得，即，解方程即得答案． 【详解】（1）∵矩形，， ∴，， 由勾股定理得，cm， ∴cm， ∴cm，cm， 故答案为：cm，cm； （2）由题意知，， 故答案为：24； （3）∵四边形是矩形， ∴，即，解得，， ∴t的值为2． 【点睛】本题考查了矩形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、准确表示相关线段是解题的关键． 55．如图，在四边形中，，， ，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为（单位：，），解答下列问题：    (1)______； (2)直接写出运动时间的取值范围及，的长度；（用含的式子表示） (3)连接，若，请求出的值． 【答案】(1)10 (2)；； (3)当时，或 【分析】（1）作辅助线，构建矩形，利用勾股定理可得的长； （2）根据两动点P，Q运动路程和速度可得t的取值范围，根据点的运动可表示，的长度； （3）由，根据，可得，再结合（2）可得出结论． 【详解】（1）如图1，过点D作于E，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：. 故答案为：10； （2）∵点P从点A出发，以的速度向点D运动，， ∴点P运动到D的时间为：， 同理得：点Q运动到点B的时间为：， ∴； 由题意得，； （3）当，且时，如图1，    ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得． 当，且与不平行时，如图2，    作于点，依题意可得∶四边形是矩形， ∴， ∴． 作于点，依题意可得：四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 综上，当时，或． 【点睛】此题考查了平行四边形、矩形、勾股定理，直角三角形的性质等知识，综合性较强，难度适中．利用分类讨论和数形结合是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $