专题07 三角形的中位线重难点题型汇编（七大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

专题07 三角形的中位线（七大题型） 【题型1:利用三角形的中位线求线段的长度】.....................................................................1 【题型2:利用三角形的中位线求角度】................................................................................6 【题型3:利用三角形的中位线求周长】.................................................................................10 【题型4:利用三角形的中位线求面积】................................................................................12 【题型5:利用三角形的中位线求最值】.................................................................................17 【题型6:与三角形中位线有关的规律探究】 .....................................................................26 【题型7:三角形中位线的实际应用】...................................................................................30 【题型1:利用三角形的中位线求线段的长度】 1．如图，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，，，两边中点的距离，则，两点间的距离是（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　） A．2 B． C．1 D． 3．如图，四边形中，，，，点E，F，G分别是的中点，连接，则的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 4．如图，在中，F，E分别是和的中点，连接，点G是的中点，连接并延长，交的延长线于点D．若，则的长为（　　） A．12 B．8 C．10 D．6 5．如图，点是内一点，，，，点，，，分别是，，，的中点，若四边形DEFG的周长为，则长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，已知，点，分别为，的中点，平分交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，平分交于点交延长线于点为的中点，连接，则的长为（   ） A．4 B． C．3 D． 【题型2:利用三角形的中位线求角度】 8．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在四边形中，，E、F、G分别是、、的中点，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，点D，E，F分别是的中点，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在四边形中，E，F分别是边，的中点，若，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．如图，点、分别是边、的中点，将沿着对折，点落在边上的点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型3:利用三角形的中位线求周长】 13．如图，在中，对角线相交于点，是的中点，若的周长为，，则的周长为（    ） A．16 B．21 C．13 D．18 14．如图，D，E，F分别是三边的中点，若的周长为20，则的周长为（   ） A．5 B．10 C．20 D．40 15．如图，在中，点分别是边的中点，若的周长是6，则的周长是（    ）    A．8 B．10 C．12 D．24 16．如图，已知的周长为，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，，依此类推，则第个三角形的周长为（　　）    A． B． C． D． 【题型4:利用三角形的中位线求面积】 17．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，若的面积是48，则图中阴影部分的面积是（    ）    A．8 B．10 C．12 D．16 18．如图，在中，D，E分别是边的中点．若的面积等于8，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 19．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（    ） A．15 B．20 C．30 D．35 20．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形的边长分别为3，4，H为线段的中点，则图中阴影部分的面积是（    ）    A．12 B．6 C．7 D． 21．如图，在四边形中，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是__． 【题型5:利用三角形的中位线求最值】 22．如图，，．点C是线段上的点，且，点D在射线上运动，过点D作交射线于点E，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D． 23．如图，在菱形中，E，F分别是边，上的动点，连接，，P，Q分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 24．如图，在中，，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到点F，则长的最小值是（   ） A． B． C．3 D． 25．如图，在矩形中，是边上的一个动点，，分别是，的中点，连接，则的最小值为（　　） A．4 B． C． D．5 26．如图，在中，，，是斜边上的一个动点，且在上（不包含端点）运动的过程中，始终保持，分别是的中点，连接，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 27．在四边形中，，，，，点P是线段上的动点，连接，求当周长取得最小值时的长（    ） A．3 B． C．2 D． 28．如图，在中，，线段的两个端点分别在边上滑动，且．若分别是的中点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．3.5 D．4 29．如图，在菱形中，，，点G是线段上的动点，点M是线段上的动点，点E，F分别是线段，的中点，则线段的最小值是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【题型6:与三角形中位线有关的规律探究】 30．如图，依次连接周长为1的小等边三角形各边的中点，得到第二个小等边三角形，再依次连接第二个小等边三角形各边的中点，得到第三个小等边三角形……按这样的规律，第2023个小等边三角形的周长为（    ）    A． B． C． D． 31．如图，是边长为2的等边三角形，取边的中点E，作，，得到四边形，它的面积记作；取边的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，…，照此规律作下去，则的值为（     ）    A． B． C． D． 32．如图，在菱形中，边长为1，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形边中点，可得四边形；按此规律继续下去，则四边形的面积是_____． 【题型7:三角形中位线的实际应用】 33．如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 34．（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________． 证明：过点作，与的延长线交于点． （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________． 35．[教材呈现]如图是人教版八年级下册数学教材P48页的部分内容：如图，，分别是的边，的中点，求证：，且． [定理证明]乐乐给出如下部分证明： 证明：如图1，延长至点，使得，连接…… (1)请你根据乐乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线） (2)[定理应用]如图2，在四边形中，，，，，点，，分别是，，的中点，求的长： (3)如图3，在四边形中，点，，，分别是，， 的中点，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 36．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为点D，M是边AB的中点，AB＝20，AC＝10，求线段DM的长． 37． 【问题原型】如图①，在△ABC中，CD是AB边的中线，CD＝，求证：． 【结论应用】如图②，△ABC中，点D是AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△A′CD，连结A′B．求证：A′B∥CD． 【应用拓展】如图③，在▱ABCD中，∠A<90°,点E是边AB的中点，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，连结BA′并延长，交CD于点F．若AB＝5，AD＝3，，则A′F的长_____． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 三角形的中位线（七大题型） 【题型1:利用三角形的中位线求线段的长度】.....................................................................1 【题型2:利用三角形的中位线求角度】................................................................................6 【题型3:利用三角形的中位线求周长】.................................................................................10 【题型4:利用三角形的中位线求面积】................................................................................12 【题型5:利用三角形的中位线求最值】.................................................................................17 【题型6:与三角形中位线有关的规律探究】 .....................................................................26 【题型7:三角形中位线的实际应用】...................................................................................30 【题型1:利用三角形的中位线求线段的长度】 1．如图，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，，，两边中点的距离，则，两点间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形中位线的性质进行求解． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴为的中位线， ∴． 2．如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据三角形中位线的性质得到，然后根据直角三角形的性质得到，进而根据求解即可． 【详解】解： E，F分别是，的中点，， ， ，， ， ． 3．如图，四边形中，，，，点E，F，G分别是的中点，连接，则的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】连接，勾股定理求出的长，再根据三角形的中位线定理，即可得出结果. 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵点E，G分别是的中点， ∴. 4．如图，在中，F，E分别是和的中点，连接，点G是的中点，连接并延长，交的延长线于点D．若，则的长为（　　） A．12 B．8 C．10 D．6 【答案】B 【分析】由三角形中位线定理可得，，由平行线的性质可得，证明，可得，从而得到的长度． 【详解】解： 分别是和的中点， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ． 5．如图，点是内一点，，，，点，，，分别是，，，的中点，若四边形DEFG的周长为，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中位线定理可知，四边形是平行四边形，根据平行四边形的周长是，可以求出，根据中位线定理可知，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：点，，，分别是，，，的中点， 、分别是和的中位线， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为， ， ， 又点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， . 故选：A. 6．如图，在中，已知，点，分别为，的中点，平分交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理，等腰三角形的判定等证明即可求解． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴是的中位线，， ，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在中，平分交于点交延长线于点为的中点，连接，则的长为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】延长交的延长线于点，证明，可得，，在中可求得，即可得的长，再可得为的中位线，即可求得的长． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴为的中位线， ∴． 【题型2:利用三角形的中位线求角度】 8．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的内角和定理，结合三角形中位线定理可得，由平行线的性质可得的度数，根据三角形的内角和定理以及等边对等角，计算即可得的度数． 【详解】解：∵是对角线的中点，点、分别是、的中点， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．如图，在四边形中，，E、F、G分别是、、的中点，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得是的中位线，是的中位线，继而求出，由得，即可解答． 【详解】解：∵E、F、G分别是、、的中点，， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．如图，在中，点D，E，F分别是的中点，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线的性质，平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由点D，E，F分别是的中点，可得都是的中位线，利用中位线的性质即可求解题目． 【详解】解：∵点D，E，F分别是的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴， 同理， ∴． 故选：C． 11．如图，在四边形中，E，F分别是边，的中点，若，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，熟练掌握中位线定理并作出正确的辅助线是解决本题的关键．连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可． 【详解】解：连接，    ∵E、F分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 12．如图，点、分别是边、的中点，将沿着对折，点落在边上的点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点、分别是边、的中点可知是的中位线，故可求出，再由翻折变换的性质可知，由平角的性质即可求解． 【详解】解：∵点、分别是边、的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵是经过翻折变换得到的， ∴， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查图形翻折变换的性质，三角形中位线的判定和性质，平行线的性质，平角的性质．熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解题的关键． 【题型3:利用三角形的中位线求周长】 13．如图，在中，对角线相交于点，是的中点，若的周长为，，则的周长为（    ） A．16 B．21 C．13 D．18 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质以及三角形中位线定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，且周长为， ∴，， ∵点是的中点， ∴，为的中位线， ∴， ∴的周长． 14．如图，D，E，F分别是三边的中点，若的周长为20，则的周长为（   ） A．5 B．10 C．20 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理，先根据三角形中位线定理求出的周长，再利用同样的定理求出三边中点围成的三角形的周长即可． 【详解】解：∵D，E，F分别是，，的中点， ∴，，， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 15．如图，在中，点分别是边的中点，若的周长是6，则的周长是（    ）    A．8 B．10 C．12 D．24 【答案】C 【分析】利用三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵点D、E分别是边的中点， ∴，，， ∴，，， ∴的周长． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，是解题的关键． 16．如图，已知的周长为，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，，依此类推，则第个三角形的周长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理求出第二个三角形的周长、第三个三角形的周长，总结规律，得到答案，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半， ∴第二个三角形的周长为的周长， 第三个三角形的周长为， 第四个三角形的周长为， ， 第个三角形的周长， 故选：． 【题型4:利用三角形的中位线求面积】 17．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，若的面积是48，则图中阴影部分的面积是（    ）    A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用是边上的中线，是的中点依次求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ， ， 是的中点， ， ， ∴阴影部分的面积为12， 故选：C． 18．如图，在中，D，E分别是边的中点．若的面积等于8，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的面积计算，正确的识别图形是解题的关键. 根据三角形的面积公式即可得到结论. 【详解】解：由题意可得： 是的中点， 故选： A． 19．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（    ） A．15 B．20 C．30 D．35 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，长方形的性质，中位线定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明， ，得出，，从而得出的面积等于长方形的面积；利用全等三角形的性质以及中位线定理得出长方形的长和宽，计算即可． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， ， ， D，E分别为，的中点， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， D，E分别为，的中点， 是的中位线， ， 的面积是30． 故选：C． 20．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形的边长分别为3，4，H为线段的中点，则图中阴影部分的面积是（    ）    A．12 B．6 C．7 D． 【答案】B 【分析】连接，根据正方形的性质可得，根据勾股定理求出，，即可求出的面积，最后根据三角形中线的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，，， ∴，，， ∴的面积， ∵H为线段的中点， ∴图中阴影部分的面积， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理以及三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分． 21．如图，在四边形中，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是__． 【答案】27 【分析】本题考查中点四边形，三角形中位线定理，矩形的判定，关键是由三角形中位线定理判定四边形是矩形．由三角形中位线定理推出，，得到四边形是平行四边形，由，，，推出，得是矩形，即可求出四边形的面积． 【详解】解：，分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：，， ，， 四边形是平行四边形， ，分别是，的中点， 是的中位线， ，， ，， ， 四边形是矩形， 四边形的面积． 故答案为：27． 【题型5:利用三角形的中位线求最值】 22．如图，，．点C是线段上的点，且，点D在射线上运动，过点D作交射线于点E，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形中位线定理，矩形的判定与性质，直角三角形的性质．分别取的中点，连接，易证是的中位线，得到， ，根据直角三角形的性质可得，当时，有最小值，即有最小，即可得到有最小值，证明四边形是矩形，得到，进而得到，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，分别取，的中点，连接， 则是的中位线， ∴， ， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 当时，有最小值，即有最小值， ∵为定值， ∴有最小值， 此时，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：A． 23．如图，在菱形中，E，F分别是边，上的动点，连接，，P，Q分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】由三角形中位线定理可得，则当有最小值时，有最小值，即当时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可求的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵P，Q分别为，的中点， 是的中位线， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，根据垂线段最短，有最小值， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ， ∴， 解得：， ， ∵四边形是菱形，， ， ， ∴， 的最小值为， 的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的性质，勾股定理解直角三角形，垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练求解． 24．如图，在中，，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到点F，则长的最小值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理．将绕点顺时针旋转得到，则此时、、在同一直线上，得出点的运动轨迹为线段，当时，的长度最小，由直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，则此时、、在同一直线上， ，，， ， ， 随着点的运动，总有，， ，即、、三点在同一直线上， 点的运动轨迹为线段， 当时，的长度最小， 在中，，，，， ， ， 故选：C． 25．如图，在矩形中，是边上的一个动点，，分别是，的中点，连接，则的最小值为（　　） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【分析】题目主要考查三角形中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，最短路径问题及勾股定理，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 根据三角形中位线的性质得出，再由直角三角形斜边中线的性质得出，作点D关于的对称点H，然后连接交于点，连接，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形，，，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 作点D关于的对称点H，然后连接交于点，连接，如图所示： ∴， ∴， ∴的最小值即为， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 26．如图，在中，，，是斜边上的一个动点，且在上（不包含端点）运动的过程中，始终保持，分别是的中点，连接，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，判定四边形是矩形，推出，由三角形中位线定理得到，因此，当时，最小，由勾股定理求出的长，由三角形面积公式，得到的面积，求出，即可得到的最小值是． 【详解】解：连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴当最小时，最小，当时，最小， 此时的面积， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，关键是判定四边形是矩形，得到，由三角形中位线定理得到，由三角形面积公式求出的最小值． 27．在四边形中，，，，，点P是线段上的动点，连接，求当周长取得最小值时的长（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、轴对称的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，过点A作于点E，过点D作于点F，证明四边形是矩形，则，，证明，得到，由勾股定理得到，作点B关于直线的对称点G，连接交于点P，则此时，此时取得最小值为，证明四边形是矩形，则，，求出周长取得最小值为，再由三角形中位线定理求出答案即可. 【详解】解：过点A作于点E，过点D作于点F， ∵， ∴,， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∴， 作点B关于直线的对称点G，连接交于点P，则此时， ∴， 此时取得最小值为，即长，此时周长取得最小值为， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴周长取得最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A 28．如图，在中，，线段的两个端点分别在边上滑动，且．若分别是的中点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质．如图，连接，则当C，M，N三点在同一条直线上时，取最小值，根据三角形斜边中线的性质求得，，即可求得的最小值． 【详解】解：如图，连接． ． 分别是的中点， ． 当点在同一直线上时，取得最小值， 的最小值． 故选：B． 29．如图，在菱形中，，，点G是线段上的动点，点M是线段上的动点，点E，F分别是线段，的中点，则线段的最小值是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质等知识，利用垂线段最短求出的最小值是解题的关键．先利用菱形的性质求出，根据垂线段最短可知，根据中位线的性质可知从而得解． 【详解】解：连接、，与交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，， 又∵， ∴， ∵点G是线段上的动点，， ∴， ∵点E，F分别是线段，的中点，即是的中位线， ∴， ∴， 故选：B． 【题型6:与三角形中位线有关的规律探究】 30．如图，依次连接周长为1的小等边三角形各边的中点，得到第二个小等边三角形，再依次连接第二个小等边三角形各边的中点，得到第三个小等边三角形……按这样的规律，第2023个小等边三角形的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得第二个三角形的周长为，同理可得，第三个三角形的周长是，即可得到规律，从而可得第2023个小等边三角形的周长． 【详解】解：如图所示：   ， 分别为的中点， 分别为的中位线， ， 的周长， 第二个三角形的周长为， 同理可得，第三个三角形的周长是， …… 第2023个小等边三角形的周长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理及应用，熟练掌握三角形中位线定理，得出相应的规律是解题的关键． 31．如图，是边长为2的等边三角形，取边的中点E，作，，得到四边形，它的面积记作；取边的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，…，照此规律作不去，则的值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形和菱形，根据中点和平行的条件可求出四边形的边长为三角形的一半为1，高为三角形高的一半为，求出的值，同理求出、的值，找出规律列出的表达式．熟练掌握中位线的性质和菱形面积的计算方法，通过求菱形面积找出规律是解题关键． 【详解】解：是中点，，, 是的中位线， 是边长为2的等边三角形， ， 四边形是菱形， 是边长为2的等边三角形， 的高：， 菱形的高为：, ， 同理得：四边形是菱形，， 菱形的高为：， ， ， ， ， 故选C． 32．如图，在菱形中，边长为1，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形边中点，可得四边形；按此规律继续下去，则四边形的面积是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的性质、矩形的判定是解题的关键．连接、交于点，根据菱形的性质得到，，根据等边三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理、矩形的判定得到四边形为矩形，求出四边形的面积，总结规律，关键规律解答即可． 【详解】解：解：如图，连接、交于点， 四边形为菱形， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 顺次连接菱形各边中点，可得四边形， ，，，，， 四边形为矩形， 四边形的面积为， 则四边形的面积是， 故答案为：． 【题型7:三角形中位线的实际应用】 33．如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键． 利用三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴(米) ． 故选：D． 34．（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________． 证明：过点作，与的延长线交于点． （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________．    【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2），；详见解析；（3）18米 【分析】（1）根据三角形的中位线定理直接阐述即可； （2）过点作，与的延长线交于点，证明，再证四边形是平行四边形，即可证明结论； （3）直接利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半； （2）求证：，． 证明：∵点分别是的中点， ∴，， 过点作，与的延长线交于点． ∴， 在和中， ． ，． ，． 四边形是平行四边形， ，， 又， ，． 故答案为：，； （3）∵点分别是的中点，米， ∴，即：米 故答案为：18米． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题． 35．[教材呈现]如图是人教版八年级下册数学教材P48页的部分内容：如图，，分别是的边，的中点，求证：，且． [定理证明]乐乐给出如下部分证明： 证明：如图1，延长至点，使得，连接…… (1)请你根据乐乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线） (2)[定理应用]如图2，在四边形中，，，，，点，，分别是，，的中点，求的长： (3)如图3，在四边形中，点，，，分别是，， 的中点，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）如图1，延长至点，使得，连接，先利用证明，再证明四边形是平行四边形，可证明结论； （2）如图2，根据点，，分别是，，的中点，可得出，，，，再根据，，由平行的性质可求出，再利用勾股定理即可求出的长； （3）如图3，连接，根据点，，，分别是，， 的中点，可得，；，，由平行线的性质和等量代换可推出，，最后利用平行四边形的判定即可证明结论． 【详解】（1）证明：如图1，延长至点，使得，连接， ∴， ∵点是的边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵点是的边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 即，． （2）解：∵如图2，点，，分别是，，的中点，，，，， ∴，， ，， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，． ∴的长为． （3）证明：如图3，连接， ∵点，，，分别是，， 的中点， ∴，， ，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查四边形综合题，考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质，邻补角的定义等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． 36．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为点D，M是边AB的中点，AB＝20，AC＝10，求线段DM的长． 【答案】． 【分析】延长AD交BC于E，如图，先利用勾股定理计算出AC=，再证明△CDA≌△CDE得到AD=ED，CE=CA=10，然后利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：延长AD交BC于E，如图， 在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°， ∴BC=， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠ECD， ∵CD⊥AD， ∴∠CDA=∠CDE=90°， 在△CDA和△CDE中， ， ∴△CDA≌△CDE（ASA）， ∴AD=ED，CE=CA=10， ∵点M是AB的中点， ∴DM为△ABE的中位线， ∴， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．构建中位线定理的基本图形是解决问题的关键． 37． 【问题原型】如图①，在△ABC中，CD是AB边的中线，CD＝，求证：． 【结论应用】如图②，△ABC中，点D是AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△A′CD，连结A′B．求证：A′B∥CD． 【应用拓展】如图③，在▱ABCD中，∠A<90°,点E是边AB的中点，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，连结BA′并延长，交CD于点F．若AB＝5，AD＝3，，则A′F的长_____． 【答案】[问题原型]证明见解析；[结论应用]证明见解析；[应用拓展] 【分析】[问题原型] 由等腰三角形的性质可得∠ACD=∠CAD，∠DBC=∠DCB，由三角形内角和定理可得结论； [结论应用]由折叠的性质可得AD=A'D=BD，CD⊥AA'，可得∠AA'B=∠AOD=90°，可得结论； [应用拓展]由折叠的性质可得AE=A'E=BE，AA'⊥DE，AO=A'O，可得∠AA'B=90°=∠AOE，可证，由勾股定理可求EO的长，由三角形中位线定理可求A'B，即可求解． 【详解】问题原型：证明：是边的中线，． ， ，， ， ， ； 结论应用：证明：如图②，连接， 点是的中点， ， 将沿翻折得到△， ，， ，， ， ； 应用拓展：如图③，连接，过点作于， ，， ， ， ， 点是边的中点， ， ， ， 将沿翻折得到△， ，，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线等知识，求出的长是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $