专题05平行四边形重难点题型汇编（十大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

专题05 平行四边形重难点题型汇编 （十大题型） 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】..........................................1 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】......................................4 【题型3 利用平行四边形求面积】...............................................7 【题型4 平行四边形的性质与坐标】.............................................12 【题型5 平行四边形中的最值问题】.............................................15 【题型6 平行四边形中的折叠问题】.............................................20 【题型7 平行四边形的判定条件】...............................................25 【题型8求与已知三点组成平行四边形的点的个数】................................28【题型9 平行四边形的判定与动点】.............................................32【题型10 平行四边形的判定与性质综合】.......................................39 .【题型1 利用平行四边形的性质求角度】 1.如图，将平行四边形的边延长，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形两组对角分别相等可得，再根据邻补角互补可得的度数。 【详解】解：∵四边形是平行四边形， , , , 故选：A． 2．如图，在中，于点E，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键。根据平行四边形的性质得到，进而求出，再由垂直的定义得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴, ∵, ∴, ∵， ∴, ∴, 故选：A． 3.如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则的度数是______。 【答案】/度 【分析】设，由平行四边形的性质得 ，可得，，由得,，得出，根据列方程求得即可得解。 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴, ∴,, ∵, ∴,, ∴, ∵， ∴,, ∴， ∴ 又∵， ∴, ∴, 解得， ∴． 4.在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则______° 【答案】/135度 【分析】根据等边对等角可得的度数，则由三角形外角的性质可得的度数，由平行四边形的对边相等，对角相等可得，则可证明，得到，求出的度数，进而求出的度数即可得到答案。 【详解】解：∵，， ∴, ∴; ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴, ∴, ∴． 5.如图所示，同一平面内的与的周长相等，且，，则的度数为_____。 【答案】/35度 【分析】本题考查了平行四边形的性质、周长的计算以及等腰三角形的判定与性质，掌握平行四边形的对边相等、对角相等，以及平行线的同旁内角互补是解题的关键。根据平行四边形性质，在中，；在中，由可得，进而求出；其次，利用两平行四边形周长相等，推导出，形成等腰三角形；最后，利用三角形内角和定理，计算得． 【详解】解：在平行四边形中，，，， ∴, 在平行四边形中，，，， ∵, ∴, ∴, ∵与的周长相等， 即， ∴, ∴， ∴， ∴． 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】 6．如图，在平行四边形中，平分与交于点，平分∠ABC与交于点，若，，则长为（    ） A．8 B．10 C．13 D．16 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质得到，再由角平分线的定义和平行线的性质可证明，得到，据此求出的长即可得到答案。 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴, ∴； ∵平分与交于点，平分∠ABC与交于点， ∴， ∴， ∴, ∴, ∴． 7.如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由翻折得出，，求出，根据勾股定理求出，进而求出结论。 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ,, 点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上， ,, , , , ． 8.如图，在平行四边形中，，，．的周长是（   ） A．16 B．32 C． D．24 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质：对边相等，对角线互相平分，分别求出 、、 的长，即可求出 的周长。 【详解】解：∵ 四边形 是平行四边形， ∴,,． ∵,, ∴,． ∴的周长． 9.如图，在中，已知，，的平分线交于点，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形与角平分线，熟练掌握相关性质是解题的关键； 利用平行四边形的性质以及角平分线的性质，得到相等的角，进而推出相等的边，从而求得AE的长。 【详解】解：四边形是平行四边形，， ,, ． 平分， ， ， , ; 故选：B． 10.如图，已知的对角线与相交于点．若，，则的长度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系，解题的关键是得出的长。 直接利用平行四边形对角线互相平分得出的长，再利用三角形三边关系得出答案。 【详解】解：四边形是平行四边形， , , , 在中，的取值范围是，即． 故选：D． 【题型3 利用平行四边形求面积】 11．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E是的中点，连接并延长交于点F，已知，则平行四边形的面积是（    ） A．96 B．48 C．72 D．36 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键。 根据平行四边形的性质得到，，得到，根据点E是的中点，得到，利用相似三角形性质计算即可。 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, 又， , ． 故选：A． 12.如图，平行四边形中，点O是对角线上的任意一点，，，则面积一定相等的四边形有（   ）对。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，平行四边形的一条对角线可以把平行四边形分成两个全等的三角形，两条对角线把平行四边形的面积一分为四，同时充分利用等量相加减是解题的关键。由于在平行四边形中，已给出条件，，因此，、把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，我们知道，一条对角线可以把一个平行四边形的面积一分为二，据此可从图中获得，，，根据等量相减原理知，从而得到结论。 【详解】解：∵平行四边形中为对角线，，， ∴四边形、、、均为平行四边形， ∴，，． ， ∴， ∴，，，， 综上，面积一定相等的四边形有5对。 故选：D． 13.如图，四边形是平行四边形，若平行四边形的面积是，则阴影部分的面积_________________。 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键。根据平行四边形的性质可得，再证得，可得，从而得到阴影部分的面积等于，即可求解。 【详解】解：四边形是平行四边形， ,,, ,,, , ， 阴影部分的面积等于． 故答案为：． 14.如图是一个平行四边形，，点F是的中点，三角形的面积是6平方厘米，则三角形的面积是______平方厘米。 【答案】9 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质。连接，根据平行四边形的性质可得，再由，可得平方厘米，然后根据点F是的中点，即可求解。 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，三角形的面积是6平方厘米， ∴平方厘米， ∵点F是的中点， ∴平方厘米。 故答案为：9 15.如图，在平行四边形中的长度是长度的倍，三角形的面积是平方厘米。则阴影部分的面积是____________平方厘米。 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识。连接，由四边形是平行四边形，可得，推出，再根据的长度是长度的倍，可得，，进而求出，最后根据面积的和差即可求解。 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ， ，即， 的长度是长度的倍， ,, , ， 故答案为：． 【题型4 平行四边形的性质与坐标】 16.如图，平行四边形的顶点M坐标是，顶点N坐标是，则顶点P坐标是______。 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，以及考查坐标与图形的性质等知识点。 根据平行四边形的性质和各顶点的位置求解即可。 【详解】∵平行四边形的顶点M坐标是，顶点N坐标是， ∴P点的纵坐标是3，横坐标为， ∴顶点P坐标是． 故答案为：． 17.如图，平行四边形的顶点O，A，C的坐标分别是，则点B的坐标为______。 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，过C作轴于M，过B作轴于N，由A、C的坐标得到，，，判定，推出，，求出，即可得到点B的坐标。 【详解】解：过C作轴于M，过B作轴于N， ∵A，C的坐标分别是，， ∴, ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵, ∴, ∴, ∴, ∴点B的坐标为． 故答案为：． 18.如图，已知平行四边形的对角线与交于坐标原点，点的坐标为，则点的坐标是______。 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，关于原点对称的点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握和运用平行四边形的性质及关于原点对称的点的坐标特点。 根据平行四边形的性质，可知点A与点C关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点，即可得点的坐标。 【详解】解：∵平行四边形的对角线与交于坐标原点， ∴点和点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 19.如图，在平面直角坐标系中， 点A， B的坐标分别是，， C是平面内一点，为得到，则顶点C的坐标为_______。 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出，，然后结合点B的坐标即可求解。 【详解】解：∵， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴,, ∵B的坐标是，， ∴，即， 故答案为：． 20.如图，四边形AOBC为平行四边形，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（4，1），则点C坐标为_____。 【答案】（6，4） 【分析】根据平行四边形的对边相互平行且相等的性质求得点C的坐标。 【详解】解：∵四边形AOBC为平行四边形， ∴AC∥OB且AC＝OB． 设C（a，b）， ∵点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（4，1），点O的坐标为（0，0）， ∴b﹣3＝1﹣0, a﹣2＝4﹣0, ∴b＝4, a＝6． ∴点C坐标为（6，4）。 故答案是：（6，4）。 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的性质等知识点，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，注意：数形结合思想的运用。 【题型5 平行四边形中的最值问题】 21．如图，在中，，，P为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线长度的最小值为（　　） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是作高线构造等腰直角三角形。 由平行四边形的性质可知O是、的中点，最短也就是最短，所以过O作的垂线，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出的最小值。 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴,, ∵最短也就是最短， 过O作于， ∵, ∴是等腰直角三角形， ∴, ∴的最小值． 故选：C． 22.如图，在中，，，．H、G分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键。连接，过点作于，由平行四边形的性质得到，得出，求出，求出，由三角形中位线定理得到，当时，有最小值，即有最小值，当点与点重合时，的最小值为，得到 的最小值为，即可得到答案。 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 四边形是平行四边形，， , , , , , 分别为的中点， , 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 23.如图，为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形以及平行四边形的性质，勾股定理等知识点，连接，，与交于点，根据可得当，最小，据此即可求解。 【详解】解：如图，连接，，与交于点， 由题意得：，， , , 四边形是平行四边形， ， 当，即时，最小， 此时，的最小值为． 故选：C． 24.如图，在中，，，，点在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是（    ）     A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】此题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定和性质。由平行四边形的对角线的交点是的中点O，当时，最小，即最小，证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可求解。 【详解】解：平行四边形的对角线的交点是的中点O，当时，最小，即最小。 ∵，， ∴， 又∵四边形的平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 故选：B． 25.如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，勾股定理，平行四边形的性质，关键是构造直角三角形先求出长，然后求出的长度，再根据折线与线段重合时，线段的长度最短解题。 【详解】解：如图，连接；过点M作，交的延长线于点E； ∵四边形为平行四边形， ∴, ∵点M为的中点，， ∴,, ∴ , ∴, 由勾股定理得：， ∴, 由翻折变换的性质得：， 当折线与线段重合时，线段的长度最短， 此时， 故选C． 【题型6 平行四边形中的折叠问题】 26．如图，将平行四边形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若此时将边沿进行折叠，点又恰好落在点处，则平行四边形的较小内角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据平行线的性质得，，根据对称的性质得，，，，继而得到，然后在中，根据三角形内角和定理列出关于的一元一次方程，求解即可。 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴,, ∵将平行四边形沿折叠，点恰好落在边上的点处， ∴，， ∵将边沿进行折叠，点又恰好落在点处， ∴，， ∴, ∴, ∵在中，， ∴, 解得：， ∴,, ∴平行四边形的较小内角为． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，对称的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握：两个图形关于某直线成轴对称，则它们的对应边相等，对应角相等。 27.如图，在平行四边形纸片中，，，将纸片沿对角线折叠，点落在点处，与交于点，连接．若，则的长为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，正方形的性质与判定，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；过点作于点，根据折叠的性质以及已知条件得出四边形是正方形，进而得出，在中，勾股定理，即可求解。 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴, ∵，将纸片沿对角线折叠，点落在点处，与交于点， ∴, ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴ 又∵， ∴, 在中， ∴ ∵折叠， ∴ ∴, 在中， ∴在中，， 故选：D． 28.如图。将沿过点A的直线l折叠，使点D落到边上的中点处，直线l交边于点E，连接．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，先由平行四边形的性质和折叠的性质证明得到，再由线段中点的定义得到，根据等边对等角和三角形内角和定理证明，再利用勾股定理求解即可。 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵, ∴, , , ∴． 29.如图，将平行四边形沿折痕折叠，使点与点重合，若，则的周长为（        ）      A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由折叠性质可得，将周长转化为，则问题可解。 【详解】解：∵， ∴, 根据折叠的性质可知， ，则的周长为： ． 故选C． 【点睛】本题考查翻折变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握图形翻折的性质。 30.如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处。若，，则的周长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到，，再根据是等边三角形，即可得到的周长为． 【详解】由折叠可得，， ∵四边形是平行四边形 ∴, 又∵， ∴, ∴, ∴, 由折叠可得， ∴ ∴是等边三角形， ∴的周长为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定，解题时注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等。 【题型7 平行四边形的判定条件】 31.依据图中所标数据，能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理分别判断即可。 【详解】解：A、∵，， ∴一组对边平行，另一组对边不平行， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故A不符合题意； B.∵,, ∴一组对边平行，另一组对边相等， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故B不符合题意； C.∵,, ∴一组对边平行且相等， ∴图中的四边形是平行四边形，故C符合题意； D.∵, ∴一组对边相等， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故D不符合题意。 32.下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．, B．, C．, D．, 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定。需根据平行四边形的判定定理逐一分析选项。 【详解】解：A、，，相邻角相等无法保证对边平行或对角相等，不能判定为平行四边形，本选项不符合题意； B.，，邻边相等可能形成筝形或菱形，但无法保证对边相等或平行，不能判定为平行四边形，本选项不符合题意； C.，，两组对边分别相等，符合“两组对边相等的四边形是平行四边形”的判定定理，可判定为平行四边形，本选项符合题意； D.，，一组对边平行且另一组对边相等可能形成等腰梯形，而非平行四边形，本选项不符合题意； 故选：C． 33.在四边形中，已知，添加以下条件不能证明四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行四边形的判定定理逐项验证即可。 【详解】解：在四边形中，， A.当时，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； B.当时，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； C., , 又， , 则表明， 由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； D.当时，必有，这是已知条件推导得到的必然结论，该条件没有提供新的有效信息，无法推出另一组对边平行或，即不能判定四边形是平行四边形，符合题意。 34.如图，已知，增加下列条件可使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理。根据平行四边形的判定定理即可求解。 【详解】解：A．∵，， ∴四边形是平行四边形；   故选项正确，符合题意；   B．增加不能判定四边形是平行四边形；故选项不符合题意； C．增加不能判定四边形是平行四边形；故选项不符合题意；    D．增加不能判定四边形是平行四边形；故选项不符合题意； 故选：A． 35.如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定方法进行判断即可。 【详解】解：A．根据，无法判断四边形是平行四边形，故A错误； B．根据，无法判断四边形是平行四边形，故B错误； C．根据，无法判断四边形是平行四边形，故C错误； D．∵, ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故D正确。 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 【题型8求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 36.在平面直角坐标系中，已知A，B，C，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标可以是________________________。 【答案】或或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是掌握①数形结合思想的运用，②分类讨论方法的运用。根据题意画出符合条件的三种情况，根据图形结合平行四边形的性质，A、B、C的坐标求出即可。 【详解】解：如图， 如图有三种情况：①平行四边形， ∵A, B, C, ∴, ∴, 则D的坐标是； ②平行四边形， ∵A, B, C, ∴, ∴, 则D的坐标是； ③平行四边形， ∵A, B, C, ∴的纵坐标是，横坐标是， 则D的坐标是， 故答案为或或． 37.在平面直角坐标系中，已知点，，请确定点C的坐标，使得以A，B，C，O为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的所有点C的坐标是______。 【答案】或或 【分析】分两种情况：①当为平行四边形的边时，②当为平行四边形的对角线时，讨论可得点C的坐标。 【详解】解：①当为平行四边形的边时，， ∵,,, ∴点C坐标为或； ②当为平行四边形的对角线时，， 故答案为：或或． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质，解答本题的关键是要注意分两种情况进行求解。 38.已知点A(3，0)B(﹣1，0)C(2，3），以A、B、C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是_____。 【答案】(﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3） 【分析】首先画出坐标系，再分别以AC、AB、BC为对角线通过线段平移作出平行四边形，进而可得D点坐标。 【详解】解：如图， 以BC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向左平移1个单位，B点对应的位置为（﹣2，3）就是第四个顶点D1； 以AB为对角线，将BC向下平移3个单位，再向右平移1个单位，B点对应的位置为（0，﹣3）就是第四个顶点D2； 以AC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向右平移4个单位，C点对应的位置为（6，3）就是第四个顶点D3； ∴第四个顶点D的坐标为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3）， 故答案为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3）。 【点睛】本题考查图形与坐标，平行四边形的判定与性质，平移的性质，掌握平行四边形的判定与性质，平移的性质是解题关键。 39.如图，点A、B、C的坐标分别是（0，2）（2，2）（0，-1），那么以点A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标是：________。    【答案】（2，-1）或（-2，-1）或（2，5） 【分析】分情况讨论，当平行四边形的一组对边平行于x轴时，可得点D的坐标为（2，-1）或（-2，-1），当平行于x轴的AB为平行四边形的对角线时，可得点D的坐标为（2，5）。注意不要遗漏可能组成平行四边形的情况。 【详解】解：①如下图：当以AB为边时，点D的坐标为（2，-1）；    ②如下图：当以AB为边时，点D的坐标也可以为（-2，-1）；    ③如下图：当以AB为对角线时，点D的坐标为（2，5）；    【点睛】本题考查平行四边形的判定、坐标与图形的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键。 【题型9 平行四边形的判定与动点】 40.如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动。规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒。 （1）若P，Q两点同时出发。 ①时，用t分别表示出和的长：___________，___________； ②若运动过程中，当时，求t的值； （2）若P点先运动2秒后停止运动，此时Q点从C点出发，到达D点后立即停止运动，则是否存在t值，使得为直角三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由。 【答案】(1)①，；②4 (2）存在，或 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的定义，勾股定理，平行四边形的判定和性质，矩形的性质和判定等知识，构造出直角三角形是解本题的关键。 （1）①由题意可得出答案；②由平行四边形的性质得出，则可得出答案； （2）当时，，不可能为直角；分两种情况，当为直角时，当为直角时，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案。 【详解】（1）解：①当时，点P在上运动，点Q在上运动， 由题意得，，， 故答案为：，； ②当时， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴, ∴; （2）解：当时，， 由题意知不可能为直角， 当为直角时，四边形是矩形， ∴，如图1， 则， ∴; 当为直角时，如图，过点P作于点M， 则四边形是矩形， ∴,, ∴, 设， ∵,, ∴, 解得：， ∴, ∴, 综上，或时，为直角三角形。 41.如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动，若其中一点到达终点时，则另一点随之停止运动。从运动开始，经过多少时，? 【答案】经过或时， 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先确定两点运动的时间，设经过时，，分两种情况：当四边形为平行四边形时，，，当四边形为等腰梯形时，，讨论求解即可。 【详解】解：根据题意，点运动到点需要24秒，点运动到点需要秒， 设经过时，， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴, 解得； ②当四边形为等腰梯形时，， 过点作，交于点，过点作，交于点，则， ∴， ∴， ∵，，即， ∴，， ∴, 在和中， ， ∴, ∴, ∴ ∴, 解得； 综上所述，经过或时，． 42.如图，在平行四边形中，，是的平分线，点M从点E出发，沿方向以的速度向点D运动，点N从点C出发，沿方向运动，以的速度向点B运动，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t秒。 （1）求的长； （2）是否存在以M，E，B，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边： （1）利用平行四边形的性质得出，再利用角平分线的定义得出即可得出结论； （2）利用平行四边形的性质即可得出，再分两种情况讨论计算即可得出结论； 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴; （2）由（1）知，， ∵, ∴, 由运动知，，， ∵， ∴要使以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形，只要， 当点N在边上时，， ∴, ∴, 当点N在边的延长线上时，， ∴, ∴（舍去）， 综上所述，当时，以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形； 43.已知：如图，在直角梯形中，，动点P从A点开始沿边向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C点开始沿边向B以3cm/秒的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒 （1）t为何值时，四边形是平行四边形？ （2）t为何值时，四边形是等腰梯形？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形、等腰梯形的判定与性质应用，掌握对各种图形的认识，同时学会数形结合的数学解题思想是解题的关键。 （1）四边形为平行四边形，即，列出等式求解； （2）四边形为等腰梯形，即，过点作交于F，根据勾股定理列出等式即可得出。 【详解】（1）由题意得：，， ， ， 要使四边形为平行四边形，只需保证， ∴, 解得：， ∴当秒时，四边形为平行四边形； （2）由（1）知， 所以要使四边形为等腰梯形，即的时， 如图所示： 在和中， ∵， ∴ ∴， ∴，即 解得：， 即当时，四边形为等腰梯形。 44.如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，为坐标原点，点A的坐标是，线段交轴于点，点的坐标是，线段，动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，当点运动到点时，点随之停止运动，运动时间为秒。 (1）用t的代数式表示：_______，_______； （2）若以为顶点的四边形是平行四边形时，求的值； （3）若为等腰三角形，直接写出的值。 【答案】(1)； (2)6或 (3)4或6或 【分析】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形、等腰三角形的定义以及勾股定理，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键。 （1）由平行四边形的性质结合题意得到，，，，进而可求解； （2）根据平行四边形的性质，结合题意，分点P在A的右侧时和点P在A的左侧时两种情况，分别列方程求解即可； （3）先利用勾股定理求得，再根据等腰三角形的定义分，，三种情况求解即可。 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，点A的坐标是， ∴,, ∵线段， ∴, 由题意，，，， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴以为顶点的四边形是平行四边形时，， 当点P在A的右侧时，， ∴，解得； 当点P在A的左侧时，， ∴，解得， 综上，满足题意的t值为6或； （3）解： ∵点的坐标是， ∴，则， 若为等腰三角形，分三种情况：如图， 当时，，则； 当时，，则； 当时，， 在中，由勾股定理得， 解得，则， 综上，满足题意的t值为4或6或． 【题型10 平行四边形的判定与性质综合】 45.如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； (2）若，求的长。 【答案】(1）见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可。 （2）根据平行四边形的性质求解即可。 【详解】（1）证明：，， ． ， , ． 平分， , ． 为边的中点， ． 在和中， , ， 四边形是平行四边形。 （2）解：平分， ， ，， , ， ． , , ， ． 四边形是平行四边形， ． 46.在中，连接，，的角平分线与交于点E，与交于点F，连接，． （1）求证：； （2）若，求的面积。 【答案】(1）见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，而，所以，则，所以，由，得，因为，所以，即可根据“角边角”证明； （2）作于点G，于点H，设，由，得， ，则，所以，则，可证明，，则四边形是平行四边形，，， ，因为，所以 ，则，，由，求得，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的角平分线与交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, 在和中， ， ∴． （2）解：作于点G，于点H，设， ∵， ∴， ∴,, ∵， ∴, ∵, ∴， ∴， ∴, ∴, ∵, ∴,, ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴, , ∵, ∴ , ∴, ∴, ∴, ∵，且， ∴, ∴, ∴, ∴的面积是． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键。 47.已知：如图，在中，中线，交于点O，G，H分别是，的中点，连结，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； (2）若，，，求的周长。 【答案】(1）见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线定理及平行四边形的判定与性质是解题的关键。 （1）根据三角形中位线定理可得，，，，所以且，即可证明结论； （2）根据平行四边形的对角线互相平分，可得，，进而可求得，，根据三角形中位线定理可求得，即可求得答案。 【详解】（1）证明： ，是中线， ，， 且， G，H分别是，的中点， 且， 且， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ，， G，H分别是，的中点， ，， ,, , 的周长是． 48.如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． （1）求证：； （2）若时，的面积为，求的面积。 【答案】(1）见解析 (2)12 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质及三角形中线的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键。 （1）先利用证明，得出，，再利用即可证明； （2）根据等腰三角形的性质及角的和差关系得出，即可证明，根据全等三角形的性质得出，，即可证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质及三角形中线的性质即可得答案。 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， , ∴，， 在和中，， ∴． （2）解：， ， , ,, ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ∵, ∴， ∴． 49．如图，在四边形中，，点在上，． （1）求证：四边形是平行四边形； (2）若，求的长。 【答案】(1）见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键； （1）根据已知得出，进而根据，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可得证； （2）根据题意得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，即可求解。 【详解】（1）证明：， ； 又， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形，， ; ， ; , ,; , ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平行四边形重难点题型汇编 （十大题型） 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】..........................................1 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】......................................2 【题型3 利用平行四边形求面积】...............................................3 【题型4 平行四边形的性质与坐标】.............................................4 【题型5 平行四边形中的最值问题】.............................................5 【题型6 平行四边形中的折叠问题】.............................................6 【题型7 平行四边形的判定条件】...............................................8 【题型8求与已知三点组成平行四边形的点的个数】................................9【题型9 平行四边形的判定与动点】.............................................9【题型10 平行四边形的判定与性质综合】.......................................11 .【题型1 利用平行四边形的性质求角度】 1．如图，将平行四边形的边延长，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，于点E，若，则为（   ） A． B． C． D． 3．如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则的度数是______． 4．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则______° 5．如图所示，同一平面内的与的周长相等，且，，则的度数为_____． 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】 6．如图，在平行四边形中，平分与交于点，平分∠ABC与交于点，若，，则长为（    ） A．8 B．10 C．13 D．16 7．如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，，，．的周长是（   ） A．16 B．32 C． D．24 9．如图，在中，已知，，的平分线交于点，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 10．如图，已知的对角线与相交于点．若，，则的长度可能是（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用平行四边形求面积】 11．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E是的中点，连接并延长交于点F，已知，则平行四边形的面积是（    ） A．96 B．48 C．72 D．36 12．如图，平行四边形中，点O是对角线上的任意一点，，，则面积一定相等的四边形有（   ）对． A．2 B．3 C．4 D．5 13．如图，四边形是平行四边形，若平行四边形的面积是，则阴影部分的面积_________________． 14．如图是一个平行四边形，，点F是的中点，三角形的面积是6平方厘米，则三角形的面积是______平方厘米． 15．如图，在平行四边形中的长度是长度的倍，三角形的面积是平方厘米．则阴影部分的面积是____________平方厘米． 【题型4 平行四边形的性质与坐标】 16．如图，平行四边形的顶点M坐标是，顶点N坐标是，则顶点P坐标是______． 17．如图，平行四边形的顶点O，A，C的坐标分别是，则点B的坐标为______． 18．如图，已知平行四边形的对角线与交于坐标原点，点的坐标为，则点的坐标是______． 19．如图，在平面直角坐标系中， 点A， B的坐标分别是，， C是平面内一点，为得到，则顶点C的坐标为_______． 20．如图，四边形AOBC为平行四边形，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（4，1），则点C坐标为_____． 【题型5 平行四边形中的最值问题】 21．如图，在中，，，P为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线长度的最小值为（　　） A．6 B．8 C． D． 22．如图，在中，，，．H、G分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C． D． 23．如图，为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 24．如图，在中，，，，点在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是（    ）     A．4 B．6 C．8 D．10 25．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型6 平行四边形中的折叠问题】 26．如图，将平行四边形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若此时将边沿进行折叠，点又恰好落在点处，则平行四边形的较小内角为（   ） A． B． C． D． 27．如图，在平行四边形纸片中，，，将纸片沿对角线折叠，点落在点处，与交于点，连接．若，则的长为（   ） A．4 B． C． D． 28．如图．将沿过点A的直线l折叠，使点D落到边上的中点处，直线l交边于点E，连接．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 29．如图，将平行四边形沿折痕折叠，使点与点重合，若，则的周长为（        ）      A．8 B．10 C．12 D．16 30．如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为（  ） A． B． C． D． 【题型7 平行四边形的判定条件】 31．依据图中所标数据，能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．B．C． D． 32．下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 33．在四边形中，已知，添加以下条件不能证明四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 34．如图，已知，增加下列条件可使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 35．如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形,则应添加的条件是（    ）      A． B． C．D． 【题型8求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 36．在平面直角坐标系中，已知A，B，C，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标可以是________________________． 37．在平面直角坐标系中，已知点，，请确定点C的坐标，使得以A，B，C，O为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的所有点C的坐标是______． 38．已知点A(3，0)、B(﹣1，0)、C(2，3)，以A、B、C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是_____． 39．如图，点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（2，2）、（0，-1），那么以点A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标是：________．    【题型9 平行四边形的判定与动点】 40．如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒． (1)若P，Q两点同时出发． ①时，用t分别表示出和的长：___________，___________； ②若运动过程中，当时，求t的值； (2)若P点先运动2秒后停止运动，此时Q点从C点出发，到达D点后立即停止运动，则是否存在t值，使得为直角三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 41．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动，若其中一点到达终点时，则另一点随之停止运动.从运动开始，经过多少时，? 42．如图，在平行四边形中，，是的平分线，点M从点E出发，沿方向以的速度向点D运动，点N从点C出发，沿方向运动，以的速度向点B运动，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)求的长； (2)是否存在以M，E，B，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 43．已知：如图，在直角梯形中，，动点P从A点开始沿边向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C点开始沿边向B以3cm/秒的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒 (1)t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)t为何值时，四边形是等腰梯形？ 44．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，为坐标原点，点A的坐标是，线段交轴于点，点的坐标是，线段，动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，当点运动到点时，点随之停止运动，运动时间为秒． (1)用t的代数式表示：_______，_______； (2)若以为顶点的四边形是平行四边形时，求的值； (3)若为等腰三角形，直接写出的值． 【题型10 平行四边形的判定与性质综合】 45．如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 46．在中，连接，，的角平分线与交于点E，与交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，求的面积． 47．已知：如图，在中，中线，交于点O，G，H分别是，的中点，连结，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的周长． 48．如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． (1)求证：； (2)若时，的面积为，求的面积． 49．如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $