精品解析：辽宁省阜新市实验中学2024-2025学年九年级下学期限时作业数学试卷

2024~2025学年度9年级（下）数学限时作业 一．选择题（共10小题） 1. 在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 2. 我国神舟十九号载人飞船身高米，捆绑了四个米直径的助推器，起飞的重量已经达到了约千克，是我国第一型垂直转运火箭，于10月30日4时27分在酒泉卫星发射中心发射成功．其中用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图为一个积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一抛物线的形状、开口方向与y＝﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（　　） A. y＝+1 B. y＝﹣1 C. y＝ D. y＝﹣1 7. 下表是几种液体在标准大气压下的沸点： 液体名称 液态氧 液态氢 液态氮 液态氦 沸点/ 则沸点最高液体是（ ） A. 液态氧 B. 液态氢 C. 液态氮 D. 液态氦 8. 如图，在平行四边形中，，，以点为圆心、为半径画弧交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 10. 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题） 11. 方程的解是_______ 12. 如图，已知中，点D、E、F分别边、、上，，．如果，，那么_________． 13. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上，点在轴左侧的抛物线上，且，则点的坐标为_____________. 14. 如图，为的直径，、为上的两点，若，则的度数为______． 15. 如图，在平行四边形中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交于点；交于点N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，连接并延长交线段于点F，由作图的结果可得的周长为_________． 三．解答题（共8小题） 16. （1）计算：． （2）已知实数满足，求的值． 17. 如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． （1）数学书和语文书共80本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文各多少本； （2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本? 18. 某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试（测试满分为10分），并将这20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析，并制成了如下统计图表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲组 8 8 乙组 8.3 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：________，________，_________； （2）该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计测试成绩达到9分及以上的人数； （3）现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 19. 项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价元 61 60 59 58 57 日销售量个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为_____． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 20. 如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到米）（参考数据：，） （1）求液压杆顶端B到底盘的距离的长； （2）求的长． 21. 如图，是外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5， ，求的长． 22. 如图，在中，，．将线段绕点C顺时针旋转得到线段，过点D作，垂足为E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，的平分线与的延长线相交于点F，连接，的延长线与的延长线相交于点P，证明：； （3）在（2）的条件下，连接，当 时是等腰三角形． 23. 法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小麓对“倍根方程”的根的特征的进行了探究． 定义：如果关于x一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若函数的图象与函数的图象相交于A，B两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的2倍，则称函数与函数互为“倍根函数”． （1）若是“倍根方程”，求k的值； （2）一次函数与反比例函数互为“倍根函数”，求k和b满足的数量关系； （3）已知是“倍根方程”，点是函数图象上一点，且，当时，的最大值和最小值的差是3，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度9年级（下）数学限时作业 一．选择题（共10小题） 1. 在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握正多边的外角和等于360°是解题的关键． 根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出，然后可得每一个外角为，进而即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴ ∴ ∴这个正多边形的一个外角为， 所以这个多边形的边数为， 故选：C． 2. 我国神舟十九号载人飞船身高米，捆绑了四个米直径的助推器，起飞的重量已经达到了约千克，是我国第一型垂直转运火箭，于10月30日4时27分在酒泉卫星发射中心发射成功．其中用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：， 故选：C． 3. 如图为一个积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图即从左边看到的图形，正视图即从正面看到的图形，俯视图即从上面看到的图形是解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看这个几何体，看到的图形为． 故选：A． 4. 垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形的概念：如果一个图形绕着一点旋转后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 5. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘多项式的运算法则计算即可得出答案． 【详解】解：A. ，计算错误，故此选项不符合题意； B. ，计算错误，故此选项不符合题意； C. ，计算正确，故此选项符合题意； D. ，计算错误，故此选项不符合题意； 故选C． 6. 一抛物线的形状、开口方向与y＝﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（　　） A. y＝+1 B. y＝﹣1 C. y＝ D. y＝﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的形状、开口方向与y＝﹣4x+3相同，首先确定a的值，再利用顶点式即可解决问题． 【详解】解：∵抛物线的形状、开口方向与y＝﹣4x+3相同， ∴a＝， ∵顶点为（﹣2，1）， ∴抛物线解析式为y＝+1． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的性质，顶点式的确定，正确理解抛物线的形状、开口方向与y＝﹣4x+3相同，活用顶点坐标是解题的关键． 7. 下表是几种液体在标准大气压下的沸点： 液体名称 液态氧 液态氢 液态氮 液态氦 沸点/ 则沸点最高的液体是（ ） A. 液态氧 B. 液态氢 C. 液态氮 D. 液态氦 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数的大小比较可直接进行求解． 【详解】解：由“两个负数比较，绝对值越大反而小”可知：， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握两个负数的大小比较是解题的关键． 8. 如图，在平行四边形中，，，以点为圆心、为半径画弧交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质、扇形面积公式、三角形面积公式、以及解直角三角形，过点作于点，根据解直角三角形求得，从而求得，最后根据列式求解，即可解题． 【详解】解：过点作于点， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 9. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 【答案】A 【解析】 分析】甲方案：利用对角线互相平分得证； 乙方案：由，可得,即可得， 再利用对角线互相平分得证； 丙方案:方法同乙方案． 【详解】连接交于点 甲方案：四边形是平行四边形 四边形为平行四边形． 乙方案： 四边形是平行四边形 ，， 又 (AAS) 四边形为平行四边形． 丙方案: 四边形是平行四边形 ，，， 又分别平分 ， 即 （ASA） 四边形为平行四边形． 所以甲、乙、丙三种方案都可以． 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键． 10. 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺列方程组即可． 【详解】解：由题意得 故选A． 二．填空题（共5小题） 11. 方程的解是_______ 【答案】x=9 【解析】 【分析】观察可得最简公分母是x（x-3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】解：方程的两边同乘x（x-3），得 3x-9=2x， 解得x=9． 检验：把x=9代入x（x-3）=54≠0． ∴原方程的解为：x=9． 故答案为：x=9． 12. 如图，已知中，点D、E、F分别在边、、上，，．如果，，那么_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定与性质，根据得到，根据比例的性质可得，再根据证出，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， 故答案为：． 13. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上，点在轴左侧的抛物线上，且，则点的坐标为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质，作出合适的辅助线是解题的关键．延长交轴于点，过点作轴，利用，证得为等腰三角形，求得点坐标，求出直线解析式，然后联立抛物线解析式即可求解． 【详解】解：延长交轴于点，过点作轴，如图所示， 点在抛物线上，代入， 解得， 点， ，令，即， 解得， ， ， ， ， ， ， 点, 设直线解析式为，将点，点，代入解析式求得 直线解析式为， 联立直线和抛物线解析式得， 解得，， 其中即为点的坐标， 点D坐标为． 故答案为：． 14. 如图，为的直径，、为上的两点，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角、同圆中相等的弧所对的圆周角相等，掌握这两个知识点是解题的关键．连接，由直径所对的圆周角是直角得，即可求得的度数，由同圆中相等的弧所对的圆周角相等即可得的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵是直径， ∴．而， ∴． ∴． 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交于点；交于点N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，连接并延长交线段于点F，由作图的结果可得的周长为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质和角平分线的概念得到，过点B作交于点H，然后根据含角直角三角形的性质得到，利用勾股定理求出，进而得到，即可求出的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 根据作图可得，平分， ∴， ∴， 如图所示，过点B作交于点H， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，尺规作角平分线，含角直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三．解答题（共8小题） 16. （1）计算：． （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，分式的化简求值，含特殊角的三角函数值的混合运算等知识． （1）先计算负整数指数幂，零指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后计算乘除法，最后再计算加减法即可． （2）先利用因式分解法解一元二次方程求出a值，再进行分式的混合运算，最后代入a值分别计算即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）， ，． ． ①当时，原式， ②当时，原式， 原式的值为． 17. 如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． （1）数学书和语文书共80本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文各多少本； （2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本? 【答案】（1）数学书有35本，语文书有45本 （2）87本 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设书架上数学书有本，则有语文书有本，根据题意列出关于的一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）设摆放数学书本，根据题意列出关于的一元一次不等式并求解，即可获得答案． 【小问1详解】 解：设书架上数学书有本，则有语文书有本， 根据题意得 ， 解得（本）， ∴（本）， 答：书架上数学书有35本，语文书有45本； 【小问2详解】 设摆放数学书本， 根据题意，可得， 解得， 即数学书最多还可以摆87本． 18. 某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试（测试满分为10分），并将这20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析，并制成了如下统计图表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲组 8 8 乙组 8.3 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：________，________，_________； （2）该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计测试成绩达到9分及以上的人数； （3）现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 【答案】（1）8.3 8.5 7 （2）估计测试成绩达到9分及以上的人数有144名 （3） 【解析】 【分析】（1）从折线统计图中可以看出，甲组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人，根据平均数的定义计算可得甲组的平均数；从条形统计图中可以看出，乙组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人；根据中位数的定义可以得到乙组的中位数为、众数为； （2）计算出抽取的人中得分及以上的人的数量占总人数的比例为，用九年级总人数计算出九年得分及以上的人的数量； （3）运用列表法表示出随机抽出人总共有种情况，其中抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的有种情况，从而得到抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为． 【小问1详解】 解：从折线统计图中可以看出，甲组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人， 甲组的平均数为， 从条形统计图中可以看出，乙组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人， 乙组的中位数为， 乙组中出现次数最多的数据是， 乙组的众数为， 故答案为，，； 【小问2详解】 （名） 答：估计测试成绩达到9分及以上的人数有144名； 【小问3详解】 将甲组满分为10分的一名学生记为A，乙组满分为10分的两名学生分别记为B，C，列表如下： A B C A B C 共有6种等可能的结果，其中所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果有共4种， ∴所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，条形统计图、折线统计图以及样本估计总体，掌握中位数、众数平均数的计算方法是正确解答的前提，列举出所有可能出现的结果是计算概率的关键． 19. 项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价元 61 60 59 58 57 日销售量个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具日销售量与销售单价之间的函数关系式为_____． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而得出该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）根据“每日利润（销售单价进价）日销售量房租、水电费、人工费等运营成本”可得，解得，，进而可得当销售单价为65元时日销售量为20个，销售单价为50元时日销售量为50个，由于，再结合“为了尽快减少库存”，即可得出答案． 【详解】解：（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系， 故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得：， 该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 故答案为：； （2）根据题意，得： ， 解得：，， 当销售单价为65元时，日销售量为20个， 当销售单价为50元时，日销售量为50个， ，且为了尽快减少库存， ， 答：该益智玩具的销售单价应定为50元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），一元二次方程的应用（营销问题），用表格表示变量间的关系，求一次函数解析式，解二元一次方程组，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并根据题中的数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． 20. 如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到米）（参考数据：，） （1）求液压杆顶端B到底盘的距离的长； （2）求的长． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）根据，代入数进行计算，即可求解； （2）利用，先求出米，再利用，求出米，问题得解． 本题考查了解直角三角形的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：液压杆与底盘夹角为β．已知液压杆米，， 在中， ∴， ∴米， 即的长为2.55米； 【小问2详解】 解：在中，，米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴米， ∴（米）， 即的长为米． 21. 如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5， ，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，因为，所以，由是的直径，得，推导出，即可证明是的切线； （2）因为的半径为5，所以，，由，， ，则，由勾股定理求得，再证明 ，得，则，且，于是得，求解即可． 【小问1详解】 证明：连接，则， ， ， ， 是的直径， ， ， 是的半径，且， 是的切线． 【小问2详解】 解：的半径为5， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ，且， ， 解得， 的长为． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 22. 如图，在中，，．将线段绕点C顺时针旋转得到线段，过点D作，垂足为E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，的平分线与的延长线相交于点F，连接，的延长线与的延长线相交于点P，证明：； （3）在（2）的条件下，连接，当 时是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）15°或30° 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、旋转的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、旋转的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键． （1）可证得，，从而，进而证得； （2）可证得从而，进而证得，从而得出； （3）由题意可分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵是的平分线， ∴， 由（1）知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可分： ①当是以的等腰三角形时，则有：， ∴等边三角形， ∴， ∴； ②当是以的等腰三角形时，如图所示： ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③当时，则， ∴， ∵，且点P在的延长线上， ∴此种情况是不成立的； 综上所述：当或时，是等腰三角形； 故答案为：或． 23. 法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小麓对“倍根方程”的根的特征的进行了探究． 定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若函数的图象与函数的图象相交于A，B两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的2倍，则称函数与函数互为“倍根函数”． （1）若是“倍根方程”，求k的值； （2）一次函数与反比例函数互为“倍根函数”，求k和b满足的数量关系； （3）已知是“倍根方程”，点是函数图象上一点，且，当时，的最大值和最小值的差是3，求a的值． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求方程的根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）联立方程组，得到，设两个函数的交点为，，根据一元二次方程的根与系数关系得到，，消去，即得答案； （3）对于方程，由“倍根方程”的定义可得， ，化简得，进一步推得，所以，再根据二次函数性质可求得的最大值和最小值，由此列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：， ，， 当时，即， 解得， 当时，即， 解得， 或； 【小问2详解】 解：由得，， 设两个函数的交点为，，由“倍根函数”可知，， ①， ②， 得，， ； 【小问3详解】 解：方程的两根为，，其中， 由“倍根方程”可知或， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，最小， 当时，最大， 的最大值和最小值的差是3， ， 解得． 【点睛】本题考查了新定义问题，解一元二次方程，一元二次方程的根与系数关系，一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数的图象与性质，正确理解题意是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $