精品解析：山东青岛市胶州市李哥庄中学2025-2026学年第二学期阶段性教学质量检测九年级数学试题

2025-2026学年度第二学期阶段性教学质量检测 九年级数学试题 （满分120分，时间120分钟） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2， 故选：A． 2. “九达天衢”写成篆体，四个篆体字中可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，正确理解轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、“九”写成篆体后，整体形状不对称，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 选项B、“达”写成篆体后，左右两侧形状不一致，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 选项C、“天”写成篆体后，能找到一条直线，使该字沿中间竖直方向对折后两部分完全重合，是轴对称图形； 选项D、“衢”写成篆体后，左右结构不对称，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 故选：C． 3. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 4. 如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系内两点间的距离公式，菱形的性质，坐标与图形．结合菱形的性质求出是解题关键．由两点间的距离公式结合菱形的性质可求出，从而可求出，即得出顶点的坐标为． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴．　 ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴顶点的坐标为． 故选C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确， 【详解】解：A、，A错误． B、和不是同类二次根式，， B错误． C、， C正确． D、， D错误． 故选C 6. 如图，在中， ， ，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据切线的性质得出，再利用直角三角形两个锐角互余求得，然后利用圆周角定理求得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连结， ∵ ，以为直径的半圆交于点， ∴， ∵与半圆相切于点， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，弧长公式，直角三角形两个锐角互余，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 7. 如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是先把向右平移3个单位长度得到再把绕点顺时针旋转得到则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出图形是解决问题的关键，根据平移变换，旋转变换的性质画出图像即可解决问题． 【详解】解：如图所示： 观察图像可知： 故选：C． 8. 如图，点为的对角线上一点， ，，连接并延长至点，使得，连接 ，则 为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键． 解法一：连接BD交AC于O，由平行四边形的性质推出， ，判定是的中位线，推出，求出，即可得到答案； 解法二：延长和，交于点，先证，得到，再证，得到，即可求得结果； 解法三：作交于点H，证明出，得到，，然后证明出四边形 是平行四边形，得到． 【详解】解：解法一：连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 解法二：延长和，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴ ∴， ∵ ，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ． 解法三：作交于点H ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴，， ∴四边形 是平行四边形， ∴． 故选：B． 9. 如图，将矩形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，AB=， ．折叠后，点B落在边上的B1处，点C落在边上的C1处．则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】和对折，两三角形全等，和对折，两三角形也全等，根据含30°角的直角三角形的性质，勾股定理可证明是等边三角形，即可求出． 【详解】解：∵和对折， ∴， ∴， ∵， ∴ 又即 ∴（负值舍去）， ， ∵ ， ∴ 又， ∴ 又 ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查图形的翻折变换，矩形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 10. 已知二次函数的图象经过，两点，若，，则的值可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线，由于抛物线过，两点，易知关于对称轴对称的点为，可知在上方，可得，然后解不等式后进行判断． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 而，两点，则关于对称轴对称的点为：， ∵在上方， ∴， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共21分） 11. 因式分解____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： 故答案为： 12. ________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】先根据负整数指数幂的运算法则计算第一项，再根据绝对值的性质化简绝对值，最后合并计算得到结果． 【详解】解： ． 13. 某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为___________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的应用，掌握加权平均数的意义及计算是关键． 按照加权平均数的计算公式计算即可． 【详解】解：由题意得小李的最终成绩为：（分）， 故答案为： ． 14. 如图，在正五边形内，以为边作等边 ，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边三角形的性质，求扇形的面积，熟练掌握相关公式是解题的关键．先求出正五边形的一个内角的度数，根据等边三角形的性质，结合角的和差关系，求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵ 为等边三角形， ， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积即为扇形的面积：； 故答案为：． 15. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列分式方程即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为： 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关键． 16. 如图，在直线： 上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接， ，则 面积的最大值是________． 【答案】3 【解析】 【分析】设，则，将三角形面积用代数式的形式表示出来，然后根据二次函数的最值，即可求解． 【详解】解：依题意，设，则， 则 ∴ ∵，二次函数图象开口向下，有最大值， ∴当时 面积的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例数与一次函数的性质，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 三、解答题 17. 如图，已知四边形，．请用尺规作图法，在边上求作一点E，在边上求作一点F，使四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）     【答案】 如图，点E，F即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，尺规作图——作已知线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，作出线段的垂直平分线是解题的关键．连接，作线段的垂直平分线分别交，于点E，F，连接 、，即可． 【详解】理由：设 交于点O， 根据作法得： ， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 18. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、实数的运算、零指数幂及特殊角的三角函数值，熟知实数的运算法则及解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值和零指数幂，再计算绝对值，最后计算加减法即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得 ， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 19. 中国空间站已搭载多种生物进行空间生命科学研究．生物活动课上，小晨所在小组的成员将5种上过太空的生物依次写在五张完全相同的卡片正面，随机选择一张进行讨论学习．现将卡片背面朝上洗匀，放置在桌面上．（是动物，是植物） （1）若小晨随机抽取一张卡片，抽中动物的概率是______； （2）若小轩从中随机抽取一张，不放回，小宇再从剩余的卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求他们两人都抽中植物的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先确定总卡片数和动物卡片数，再根据概率公式计算抽中动物的概率． （2）用树状图列出不放回抽样的所有等可能结果，再找出两人都抽中植物的结果数，最后代入概率公式计算． 【小问1详解】 解：总卡片数 ，动物卡片数 ， ∴（抽中动物）； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知共有20种等可能的结果，其中两人都抽中植物的有2种结果， 故所求概率． 20. 嵩岳寺塔位于河南省郑州市登封市嵩山南麓嵩岳寺内，建于北魏正光年间．某数学兴趣小组想测量该塔的高度，并制定了测量方案，在实地测量后，撰写了活动报告，报告部分内容如下表： 测量嵩岳寺塔的高度 测量工具 测角仪 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 步骤如下： ①先在该塔正前方广场地面处测得塔尖的仰角（）为 ； ②然后操控无人机飞到点的正上方米的点处，测得塔尖的仰角为． …… 已知四点在同一个平面内，求嵩岳寺塔的高度．（结果精确到1米，参考数据： ，） 【答案】嵩岳寺塔的高度约为37米 【解析】 【分析】过点作，垂足为，则四边形 是矩形，可得米，设米，则米，米，再根据解直角三角形列方程即可解答． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，则四边形 是矩形， ∴米． 由题意可知，， ∴ ， 设米，则米，米． 在中，， 解得． 经检验，是原方程的解， ∴米． 答：嵩岳寺塔的高度约为37米． 21. 如图，在中， ，D是的中点， ， ， （1）求证：四边形 是矩形； （2）若， ，求的长． 【答案】（1） 证明：∵ ，D是的中点， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形 （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的判定即可证明； （2）根据矩形的性质和三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵D是的中点， ∴ ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴． 22. 某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 （1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ （2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． ①请求出W与m的函数关系式； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 【答案】（1）2880元 （2）①； ②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下： 由①可知，， ，一次函数 随的增大而减小， 当 时， 取最大值，（元）， ， 服装店第二次获利不能超过第一次获利． 【解析】 【分析】（1）根据条件，购进 恤衫件，购进 恤衫件，列出方程组解出、值，最后求出获利数； （2）①根据条件，可列，整理即可； ②由①可知，，一次函数 随的增大而减小，当 时， 取最大值计算出来和第一次获利比较即可． 【小问1详解】 解：设购进A种T恤衫件，购进B种T恤衫件，根据题意列出方程组为： ， 解得， 全部售完获利（元）． 【小问2详解】 ①设第二次购进种 恤衫件，则购进种 恤衫件，根据题意，即， ， ②略 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意列出函数解析式是解本题的关键． 23. 2022年北京冬奥会开幕式主火炬台由96块小雪花形态和6块橄榄枝构成的巨型“雪花”形态，在数学上，我们可以通过“分形”近似地得到雪花的形状．操作：将一个边长为1的等边三角形（如图①）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图②，称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图③），称为第二次分形．不断重复这样的过程，就得到了“科赫雪花曲线”． （1）【规律总结】每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的 倍；每一次分形后，三角形的边长都变为原来的 倍； （2）【问题解决】试猜想第n次分形后所得图形的边数是 ；周长为 （用含n的代数式表示） 【答案】（1）4； （2）； 【解析】 【分析】(1)根据第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长是，第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长是，可得答案； (2)由(1)可得第n次分形后所得图形的边数是，边长为，所以周长为． 【小问1详解】 解：等边三角形的边数为3，边长为1，第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长是， 第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长是，…， ∴每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的4倍； 每一次分形后，三角形的边长都变为原来的倍． 故答案为：4；； 【小问2详解】 解：第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长是， 第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长是，…， 所以第n次分形后所得图形的边数是，边长为， 所以周长为． 故答案为：；． 【点睛】此题考查图形的变化规律，解题关键是找出图形之间的联系，得出运算规律． 24. 新华社天津3月29日电（记者周润健、张泽伟）29日，2024年全国室内田径锦标赛在天津开赛，女子铅球决赛中，河北队选手巩立姣投出19米35轻松夺冠．铅球从出手到落地的过程中，其运动轨迹（不考虑其他因素）可以近似的看成是抛物线的一部分．某运动员在训练时，铅球在空中的竖直高度y（米）与水平距离为（米）之间的部分对应数值如下表所示： x 0 3 6 9 12 y （1）出手时铅球的竖直高度是______米，铅球在空中的最大高度是______米； （2）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式； （3）该运动员在比赛时，投出的铅球在空中的竖直高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，请判断该运动员在比赛和训练时，哪次投出的铅球更远一些，并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 训练时投出的铅球更远一些，理由如下： 对于， 令，则，解得： 或 （舍去）； 对于， 令，则，解得： 或 （舍去）， ∵ ， ∴训练时投出的铅球更远一些． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用—投球问题、求函数解析式、从图表获取信息等知识点，读懂题意、列出函数关系式是解题的关键． （1）直接根据表格数据以及二次函数图像的性质解答即可； （2）用待定系数法即可求出函数关系式； （3）分别求出训练和比赛铅球落地时x的值，然后进行比较即可． 【小问1详解】 解：根据表格中数据可知，出手时铅球的竖直高度是米， 抛物线对称轴为直线 ， ∴顶点坐标为， ∴铅球在空中的最大高度是米． 故答案为：、． 【小问2详解】 解：设抛物线解析式为， 把代入解析式得：，解得：． ∴抛物线的函数表达式为． 【小问3详解】 略 25. 如图，在矩形中，， ，点P从点A出发沿方向匀速运动，速度为 ；同时，线段从出发沿方向匀速运动，速度为，交于点E，交延长线于点M；连接交于点Q，连接 ．设运动时间为（）．解答下列问题： （1）当t为何值时，四边形为矩形？ （2）设四边形的面积为，求y与t的函数关系式； （3）在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使 平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据四边形为矩形时， ，建立关于t的方程求解即可； （2）根据，得到，进而得到， ，求出 ，根据的面积为，即可求解； （3）根据，得到，进而得到 ，证明，即，建立关于t的方程求解即可． 【小问1详解】 解：四边形为矩形， ， ， 【小问2详解】 解：， 在和 中 ， ； 【小问3详解】 解：当 平分时， 则 又 ， 由（2）知， ， 又， ， ， 又， ， ， ， 时， 平分． 【点睛】本题考查了矩形的判定性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质，平行线的性质，动点问题及一元一次方程的实际应用，熟练掌数形结合的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期阶段性教学质量检测 九年级数学试题 （满分120分，时间120分钟） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. “九达天衢”写成篆体，四个篆体字中可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中， ， ，以 为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是先把向右平移3个单位长度得到再把绕点顺时针旋转得到则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点为的对角线上一点， ，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ） A. B. 3 C. D. 4 9. 如图，将矩形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，AB=， ．折叠后，点B落在边上的B1处，点C落在边上的C1处．则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 2 10. 已知二次函数的图象经过，两点，若，，则的值可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 二、填空题（每小题3分，共21分） 11. 因式分解____________． 12. ________． 13. 某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为___________分． 14. 如图，在正五边形内，以 为边作等边 ，再以点A为圆心， 长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________． 15. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程_____． 16. 如图，在直线： 上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接， ，则 面积的最大值是________． 三、解答题 17. 如图，已知四边形， ．请用尺规作图法，在边上求作一点E，在边上求作一点F，使四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）     18. （1）计算：； （2）解不等式组：． 19. 中国空间站已搭载多种生物进行空间生命科学研究．生物活动课上，小晨所在小组的成员将5种上过太空的生物依次写在五张完全相同的卡片正面，随机选择一张进行讨论学习．现将卡片背面朝上洗匀，放置在桌面上．（是动物，是植物） （1）若小晨随机抽取一张卡片，抽中动物的概率是______； （2）若小轩从中随机抽取一张，不放回，小宇再从剩余的卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求他们两人都抽中植物的概率． 20. 嵩岳寺塔位于河南省郑州市登封市嵩山南麓嵩岳寺内，建于北魏正光年间．某数学兴趣小组想测量该塔的高度，并制定了测量方案，在实地测量后，撰写了活动报告，报告部分内容如下表： 测量嵩岳寺塔的高度 测量工具 测角仪 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 步骤如下： ①先在该塔正前方广场地面处测得塔尖的仰角（）为 ； ②然后操控无人机飞到点的正上方米的点处，测得塔尖的仰角为． …… 已知四点在同一个平面内，求嵩岳寺塔的高度 ．（结果精确到1米，参考数据： ，） 21. 如图，在中，，D是的中点， ， ， （1）求证：四边形 是矩形； （2）若， ，求的长． 22. 某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 （1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ （2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． ①请求出W与m的函数关系式； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 23. 2022年北京冬奥会开幕式主火炬台由96块小雪花形态和6块橄榄枝构成的巨型“雪花”形态，在数学上，我们可以通过“分形”近似地得到雪花的形状．操作：将一个边长为1的等边三角形（如图①）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图②，称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图③），称为第二次分形．不断重复这样的过程，就得到了“科赫雪花曲线”． （1）【规律总结】每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的 倍；每一次分形后，三角形的边长都变为原来的 倍； （2）【问题解决】试猜想第n次分形后所得图形的边数是 ；周长为 （用含n的代数式表示） 24. 新华社天津3月29日电（记者周润健、张泽伟）29日，2024年全国室内田径锦标赛在天津开赛，女子铅球决赛中，河北队选手巩立姣投出19米35轻松夺冠．铅球从出手到落地的过程中，其运动轨迹（不考虑其他因素）可以近似的看成是抛物线的一部分．某运动员在训练时，铅球在空中的竖直高度y（米）与水平距离为（米）之间的部分对应数值如下表所示： x 0 3 6 9 12 y （1）出手时铅球的竖直高度是______米，铅球在空中的最大高度是______米； （2）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式； （3）该运动员在比赛时，投出的铅球在空中的竖直高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，请判断该运动员在比赛和训练时，哪次投出的铅球更远一些，并说明理由． 25. 如图，在矩形中，， ，点P从点A出发沿方向匀速运动，速度为 ；同时，线段从出发沿方向匀速运动，速度为，交 于点E，交延长线于点M；连接交于点Q，连接 ．设运动时间为（）．解答下列问题： （1）当t为何值时，四边形为矩形？ （2）设四边形的面积为，求y与t的函数关系式； （3）在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使 平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $