精品解析：上海市松江二中2025-2026学年高二下学期3月学情调研数学试卷

松江二中2025学年第二学期3月学情调研 高二数学 202603 一､填空题（本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 若向量，，且，则实数__________. 【答案】1 【解析】 【分析】直接根据空间向量的数量积为零可得结果. 【详解】由向量，，且， 所以，得. 故答案为：1. 2. 已知随机变量服从二项分布，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】借助二项分布方差公式计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 3. 已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由题干条件计算圆锥的高，再求圆锥的母线，进而可求圆锥的侧面积. 【详解】由题得圆锥底面积，体积，解得， 母线长，故圆锥侧面积. 故答案为：. 4. 已知等差数列满足，则的通项公式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先列出等差数列的通项，结合已知条件求出公差，进而得出通项公式． 【详解】已知是等差数列，设公差为，则， ， ，解得， ． 故答案为：． 5. 已知双曲线C：的两焦点分别为，，P为双曲线C上一点，若，则=___________. 【答案】18或2##2或18 【解析】 【分析】先由双曲线的方程求出，再利用双曲线的定义列方程求解即可 【详解】由，得，则， 因为双曲线C：的两焦点分别为，，P为双曲线C上一点， 所以，即， 所以或， 因为， 所以或都符合题意， 故答案为：18或2 6. 若，则______（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】应用赋值法求得、，作差即可得. 【详解】令，则， 令，则， 所以. 故答案为： 7. 在无穷等比数列中，首项，公比，记，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意求得，利用等比数列的求和公式求得，再利用数列极限的运算法则求得的值． 【详解】由题意可得，则， ， 故有， 故答案为：． 8. 两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择的景点不同”，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出事件的对立事件和事件包含的样本点个数，再利用求解即可. 【详解】两位游客从4个景点中任选，每人有4种选择，总事件数：种． 事件的对立事件为“两位游客都不选择古汉台”，的事件数：种， 事件分为两种情况：甲选古汉台，乙选其余3个景点，3种； 乙选古汉台，甲选其余3个景点，3种； 共种事件， 所以． 9. 某校的5位老师甲、乙、丙、丁、戊排成一排照相，其中甲、乙必须相邻，且甲不站在两端，则不同的排法种数为________ 【答案】 【解析】 【分析】将甲、乙相邻的排列种数减去甲、乙相邻且甲站在两端的排列种数，即可得到答案. 【详解】先让甲、乙相邻共有种情况，再将甲、乙捆绑与其他三人排列共种情况， 所以甲、乙相邻共种情况. 甲、乙相邻且甲站在两端时：若甲在首位，则乙在第二位，其他三人全排列，有种排法；若甲在末位，则乙在倒数第二位，其他三人全排列，有种排法. 故共有种情况. 所以甲、乙相邻，且甲不站在两端，不同的排法种数为. 故答案为：. 10. 已知分别为椭圆的左，右焦点，是椭圆上两点，线段经过点，且，则椭圆的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，设，那么，结合椭圆的定义得，从而求得，再结合勾股定理求解离心率即可． 【详解】根据题意，不妨设，那么， 因为，所以， 因为，得， 所以，则， 因为，则，即， 所以，即，解得． 故答案为：． 11. 已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据递增数列的定义，需满足对任意的恒成立，故需要同时满足①当时，②，③时，联立三者求出的取值范围. 【详解】当时，， 而， 若是递增数列，则恒成立， 得到的最小值是，解得； 当时，， 若是递增数列，则恒成立， 即，解得，且，解得， 综上，，即. 故答案为：. 12. 若直角坐标平面上存在点，过点的直线满足以下两个条件：①点、到直线的距离之和为6；②满足条件①的直线有且仅有4条，则称点具有“性质”.那么由所有具有“性质”的点构成的平面图形其面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】分点与在直线同侧与异侧讨论即可. 【详解】当点与在直线同侧时， 如图所示，只需要它们的中点到的距离为3即可，此时与圆相切； 当点与在直线异侧时， 如图所示，过点作的平行线，则可得点到的距离为6， 则只能为或，即只能水平或竖直； 若有4 条过点的直线满足题意，则以上2种情况各有2条l符合，即点在圆O外， 且在点与连线为对角线的正方形内， 则位于如图阴影区域，其面积为. 故答案为：. 二､选择题（本大题共有4题，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分，共18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13. “”是“事件A与事件B互为对立事件”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确答案. 【详解】投掷一枚硬币3次，满足,但不一定是对立事件， 如：事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”， 则，，满足，但不是对立事件. 若事件A与事件B是对立事件，则为必然事件，再由概率的加法公式得； 所以“”是“事件A与事件B互为对立事件”的必要不充分条件； 故选：D 14. 若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作图，根据正方体的几何性质，利用异面直线的夹角的定义，可得答案. 【详解】①由题意作图如下： 由图易知为等腰直角三角形，则直线与的夹角为； ②由题意作图如下： 由图易知为等边三角形，则直线与的夹角为； ③由题意作图如下： 由图易知，因为，则直线与的夹角为. 而不管怎么找顶点，都无法得到直线AB与CD所成角为. 故选：A. 15. 已知点为平面中两定点，如图，经过点的双曲线和的焦点分别为正三角形和正方形的顶点，其中为边上的中点.设和的离心率分别为和，则正确的大小关系为（ ） A. B. C. D. 以上选项均有可能 【答案】C 【解析】 【分析】根据正三角形和正方形的性质，结合双曲线的定义和离心率公式进行运算比较即可. 【详解】设正三角形的边长为，则双曲线的焦距为，设半实轴长为， 因为点是边上的中点， 所以，所以， 所以由双曲线的定义有 ； 设正方形对角线长为，则双曲线的焦距为，设半实轴长为， 所以该正方形的边长为， 因为点是边上的中点， 所以， 所以由双曲线的定义有 ， 运用计算器，可得，， 所以. 故选：C 16. 已知数列满足，给出下列四个结论： ①存在，使得为常数列； ②对任意的为递增数列； ③对任意的既不是等差数列也不是等比数列； ④对于任意的，都有. 其中所有结论中正确的有（ ）个. A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】若为常数列，可得，显然不成立，可判断①；由，可判断②；若是等差数列，可得常数，得到矛盾；若是等比数列，根据递推公式，得到矛盾判断③；两边平方得，迭代计算可判断④. 【详解】对于①，若为常数列，则，根据递推公式， 可得，进而可得，解得，又， 故不存在，使得为常数列，故①错误； 对于②，对于，由递推公式，可得， 所以，，所以， 所以数列是递增数列，结论②正确； 对于③，若是等差数列，则为常数，可得常数， 则可得是常数数列，则，与矛盾， 故对任意的，既不是等差数列， 若是等比数列，则为常数。根据递推公式， 即为常数，则为常数数列，则可得，这与矛盾， 所以对任意的，不是等比数列； 综上所述：对任意的，既不是等差数列也不是等比数列，故③正确； 对于④，由， 当时，， 两边平方，得， 当时，， 所以当时，，故④正确. 因为②③④正确，所以正确的有个. 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知的展开式中，第2项的系数与第3项的系数之比是. （1）求的值； （2）求展开式中的常数项. 【答案】（1）10 （2）180 【解析】 【分析】（1）在展开式的通项中，令和分别得到第2项的系数与第3项的系数表达式，根据已知条件即可求出的值； （2）根据（1）求出的值，在通项中令的指数为0，确定常数项. 【小问1详解】 由题可得展开式的通项为， 令，则第2项的系数为， 令，则第3项的系数为， 所以第2项的系数与第3项的系数之比为， 解得：. 【小问2详解】 由（1）知，所以展开式的通项为， 令，解得， 故常数项为. 18. 如图，四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为菱形，且有，，，E为PC中点． （1）证明：平面BED； （2）求二面角的平面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，利用中位线证明，即可证明； （2）根据（1）的结果，可证明平面ABCD，作出二面角的平面角， 即可证明. 【小问1详解】 设AC与BD交于点O连接EO，因为E，O分别为PC，AC的中点， 所以， 又因为平面，平面BED， 所以平面BED； 【小问2详解】 过O作于F，连接EF， 因为，且平面 所以平面ABCD， 平面ABCD，所以， 又，平面， 所以平面EOF，又平面EOF，所以， 即∠EFO为二面角的平面角， 由，是边长为1的等边三角形，即， 在直角三角形EOF中，，即，． 所以所求二面角的正弦值为． 19. 我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n年绿洲面积为万平方千米． （1）求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系； （2）至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（） 【答案】（1） （2）6年 【解析】 【分析】（1）根据已知条件直接列式计算即可求解； （2）构造等比数列得到，结合题意列出不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得 ， 所以． 【小问2详解】 由（1）得， ． 又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， ， 即． 令，即， 两边取常用对数得， 所以 ， ， 至少经过6年，绿洲面积可超过60%． 20. 甲、乙两人各射击1 次击中目标的概率分别三分之二和四分之三，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每次射击是否击中目标相互之间也没有影响． （1）求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率． （2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率． （3）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击，问：乙恰好射击5次后被终止射击的概率是多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对立事件的概率公式进行求解即可； （2）根据积事件的概率公式，结合次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率公式进行求解即可； （3）乙恰好射击5次后被终止射击，说明最后两次没有射中，前二次至多有一次没有射中，然后根据独立试验同时发生的概率公式进行求解即可. 【详解】解：（1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件， 由题意知，每人各次射击是否击中目标相互之间没有影响， 所以射击4次，相当于4次独立重复试验， 故， 即甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为； （2）记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件， 记“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件， 记“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件，则 ； ； ． 又事件，相互独立， 故， 即两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为． （3）记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件， “乙第次射击为击中”为事件，， 则且． ． 即乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是． 【点睛】本题考查了独立试验同时发生概率公式的应用，考查了对立事件概率公式的应用，考查了次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率公式的应用，考查了数学阅读能力和运算能力. 21. 已知抛物线的焦点为． （1）若点在抛物线上，求的值； （2）设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； （3）设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求直线斜率的取值范围． 【答案】（1）6； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义求焦半径； （2）结合向量运算与韦达定理，通过判别式限制参数范围； （3）利用抛物线弦的纵坐标性质求点坐标，化简斜率表达式后分析取值范围. 【小问1详解】 点在抛物线上，代入得. 抛物线的焦点为，准线为. 由抛物线定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，故. 【小问2详解】 抛物线的焦点为，由， 得： 联立直线与抛物线，得， 故，. 因此，. 因在抛物线上，故. 直线与抛物线有两交点，判别式， 代入得：， 又，故. 【小问3详解】 设， 设直线的方程为， 由消去并化简得， ，则， 则，，故. 直线过，联立与抛物线，得， 故，，即. 同理，直线过，得，，即. 直线的斜率：， 令，，则. 令，. 函数在上递增： 当（即），，故； 当（即），，故. 综上所述，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松江二中2025学年第二学期3月学情调研 高二数学 202603 一､填空题（本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 若向量，，且，则实数__________. 2. 已知随机变量服从二项分布，则_____. 3. 已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为__________． 4. 已知等差数列满足，则的通项公式为_____． 5. 已知双曲线C：的两焦点分别为，，P为双曲线C上一点，若，则=___________. 6. 若，则______（用数字作答） 7. 在无穷等比数列中，首项，公比，记，则______． 8. 两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择的景点不同”，则______． 9. 某校的5位老师甲、乙、丙、丁、戊排成一排照相，其中甲、乙必须相邻，且甲不站在两端，则不同的排法种数为________ 10. 已知分别为椭圆的左，右焦点，是椭圆上两点，线段经过点，且，则椭圆的离心率为__________. 11. 已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是__________. 12. 若直角坐标平面上存在点，过点的直线满足以下两个条件：①点、到直线的距离之和为6；②满足条件①的直线有且仅有4条，则称点具有“性质”.那么由所有具有“性质”的点构成的平面图形其面积为______. 二､选择题（本大题共有4题，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分，共18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13. “”是“事件A与事件B互为对立事件”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 14. 若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（ ） A. B. C. D. 15. 已知点为平面中两定点，如图，经过点的双曲线和的焦点分别为正三角形和正方形的顶点，其中为边上的中点.设和的离心率分别为和，则正确的大小关系为（ ） A. B. C. D. 以上选项均有可能 16. 已知数列满足，给出下列四个结论： ①存在，使得为常数列； ②对任意的为递增数列； ③对任意的既不是等差数列也不是等比数列； ④对于任意的，都有. 其中所有结论中正确的有（ ）个. A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知的展开式中，第2项的系数与第3项的系数之比是. （1）求的值； （2）求展开式中的常数项. 18. 如图，四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为菱形，且有，，，E为PC中点． （1）证明：平面BED； （2）求二面角的平面角的正弦值． 19. 我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n年绿洲面积为万平方千米． （1）求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系； （2）至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（） 20. 甲、乙两人各射击1 次击中目标的概率分别三分之二和四分之三，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每次射击是否击中目标相互之间也没有影响． （1）求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率． （2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率． （3）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击，问：乙恰好射击5次后被终止射击的概率是多少？ 21. 已知抛物线的焦点为． （1）若点在抛物线上，求的值； （2）设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； （3）设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求直线斜率的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $