第1章 5 第2课时 三角函数在实际问题中的应用(2)-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

☑同行学案学练测九年级数学下BS 第2课时 三角函数在 (教材P19 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 知识点一：与坡角、坡比有关的实际问题 命题角度1：已知坡比求解 1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比 是3：4，迎水坡面AB的长度是50m,则堤坝 高BC为() C A.30m B.40m C.50m D.60m 2.如图，在平地上种植树木时，要求棵距（相邻 两树间的水平距离)为4m.如果在坡度为 0.75的山坡上种树，也要求棵距为4m,那么 相邻两树间的坡面距离为() A.5m B.6 m C.7m D.8 m 命题角度2：已知坡角求解 3.(德州中考)某商场准备改善原有楼梯的安全 性能，把坡角由37减至30°，已知原楼梯长为 5米，调整后的楼梯会加长( )参考数据： sn87号os37 号tan37r≈ A.6米 B.3米C.2米 D.1米 4.(青海中考)如图是矗立在高速公路边水平地 面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据： AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°， ∠MBC=30°，则CD的长为 米.（结果保留根号） 多雾路段 谨慎驾驶D 30° 22 做神龙题得好成绩 实际问题中的应用（(2) 20练习) 知识点二：解直角三角形在实际生活中的应用 5.某建筑物的金属支架如图所示，根据要求AB 长为4m,C为AB的中点， 点B到D的距离比立柱CD B 的长小0.5m,∠BCD= 60°，则立柱CD的长为 D 地面 m. 6.(宁波中考)我国纸伞的制作工艺十分巧妙. 如图①，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始 终平分同一平面内两条伞骨所成的角 ∠BAC,且AB=AC,从而保证伞圈D能沿 着伞柄滑动.如图②是伞完全收拢时伞骨的 示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置， 且A,B,D'三点共线，AD'=40cm,点B为 AD'的中点.当∠BAC=140时，伞完全张开. (1)求AB的长. (2)当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿 着伞柄向下滑动的距离.（参考数据：sin70°≈ 0.94,cos70°≈0.34，tan70°≈2.75) B B(C) D ① ② 即能力提升>》》>>>>》>>难度等级中等题 7.如图，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景 平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡 由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A 点到水平面BC的垂直距离为1790m.DE∥ BC,BD=1700m,∠DBC=80°，求斜坡AE 的长度.（结果精确到1m,参考数据：sin29°≈ 0.485,sin80°≈0.985) A 2907 E D 80A B 8.(济宁中考)某地的一座人行天桥如图所示， 天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了 方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡 度，使新坡面的坡度为1：√3， (1)求新坡面的坡角a. (2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文 化墙PM是否需要拆除？请说明理由. M C PAB 第一章直角三角形的边角关系☑ 即培优创新 >》>>》>>>>难度等级综合题 9.[模型观念]（绍兴中考）拓展小组研制的智能 操作机器人，如图①，水平操作台为1，底座 AB固定，底座AB高为50cm,连杆BC的长 度为70cm,手臂CD的长度为60cm.点B, C是转动点，且AB,BC与CD始终在同一平 面内. (1)转动连杆BC,手臂CD,使∠ABC=143°， CD,示意图如图②，求手臂端点D离操作 台l的高度DE的长.（结果精确到1cm,参考 数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6) (2)物品在操作台l上，距离底座A端110cm 的点M处，转动连杆BC,手臂CD,手臂端点 D能否碰到点M?请说明理由， D B A ① ② 做神龙题得好成绩23培优专题2：走进四边形解直角三角形 ∠CBE=∠ACB=15°，则∠BED=30°，BE=CE.设BD 1.B2B3244A59 =x,则AB=BE=CE=2x,AD=DE=√3x,.AC= 6.C7.80 AD十DE+CE=2√3x+2x.'AC=30,.2√3x+2x= 8.（1)证明：△ABF≌△CBE,∴.∠ABF=∠CBE ,∠ABF+∠CBF=90°，∴.∠CBF+∠CBE=90°， 30,解得z=15W5-D≈5.49，即海岛B离此航线的最 2 即∠EBF=90°.(2)解：，△ABF≌△CBE,∠AFB 近距离约为5.49海里. =∠CEB.·∠FGA=∠EGB,∴.∠FAC=∠EBF=90°， 10.解：(1)BG/CD,∴∠GBA=∠BAC=30°.又，∠GBE 正方形ABCD的边长为1，CE=2,∴.AC=√2，AF= =15°，.∠ABE=45°.∠EAD=60°，∠BAC=30°， CR-2nAPC-怨-号 ,.∠BAE=90°，∴.∠AEB=45°，，∴.AB=AE=10W3.故 AE的长为10W3米.(2)在Rt△ADE中，sin∠EAD= 5三角函数的应用 第1课时三角函数在实际问题中的应用(1) DE=103× 2=15.又DF=1,.EF= 1.D 14 14,0.5-28(秒).故这面旗到达旗杆顶端需要28秒， 2.(403+120)3.A 4.解：如图，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.由 第2课时三角函数在实际问题中的应用(2) 题意，得∠CDF=37°，CD=200米，在Rt△CDF中， 1.A2.A sinCDF--需-sn7r=0.60,o∠CDF-2S-as7 3.D 4.(4√3-4) ≈0.80，.∴.CF≈200×0.60=120（米），DF≈200X0.80= 5.3.75[解析]如图，连接BD,作OB A 160(米).AB⊥BC,DF⊥BC,DE⊥AB,∴.∠B= ⊥CD于点O.∠BCD=60°，AB C ∠DFB=∠DEB=90°，.四边形BFDE是矩形，.BF= 长为4m,C为AB的中点，∴.QC= 0 DE,BE=DF=160米，∴.AE=AB-BE=300-160= 1 140(米).在Rt△ADE中，tan∠DAE=DE BC=1 m,OB-/30C-/3m.CD AE =tan65°≈ 为xm,则OD=DC-QC=(x一1)m, 地面 2.14,.DE≈140×2.14=299.6（米），∴.BF=DE=299.6米， BD=CD-0.5=(x-0.5)m,OB=√3m,由勾股定理，得 ∴.BC=BF+CF=299.6+120≈420（米），故革命纪念碑 (x-0.5)2=(x-1)2+(W3)2,解得x=3.75.故立柱CD 与党史纪念馆之间的距离约为420米. 的长为3.75m. 门口 6.解：(I):点B为AD'的中点，∴AB=号AD.:AD' 659 40cm,.AB=20cm.(2)如图，过点B作BE⊥AD于 E D人民英雄雕塑 点E.由题知AB=BD,.AD=2AE.,AP平分∠BAC, 37°↑ Bh ∠BAC=140,i∠BAE-号∠BAC=70:在RAABE中，本 革命纪念碑 F 党史纪念馆 AB=20cm,.AE=AB· cos70°≈20×0.34=6.8(cm), 5.D6.(2√3-2√2) .AD=2AE=13.6(cm). 7B[解折]在R△ACD巾，：np-S:AD- AC sinB' 在 .AD'=40cm,.40-13.6 =26.4(cm).故伞圈D沿着 AC Rt△ABC中，，sina= ..AB= AC AC AB sina 伞柄向下滑动的距离约为 sina ,…ADAC 26.4cm sing 7.解：如图，过点D作DF⊥BC于点F,A 二，放选B 延长DE交AC于点M.由题意，得M9E 北 EM⊥AC,DF=MC,∠AEM=29° 8.(70-10√3) 9.解：如图所示，由题意知， 在RADFB中，sns0r-BS则Dr 80° ∠BAC=30°，∠ACB=15°，作 =BD·sin80°，AM=AC-CM= BD⊥AC于点D,以点B为顶 1790-1700×sin80°.在Rt△AME中，sin29°= AM AE,故 点，BC为边，在△ABC内部作 AE=A4=1790-1700×sin80°≈238(m.答：斜坡 sin29 sin29 RAB6r中，mBF-票P=-B装 0.75 AE的长度约为238m. =276.8(m).,CE=8×(15+50)=520(m),∴.AB=CF =CE-EF≈243(m).答：隧道AB的长度约为243m. 8.解：(l),新坡面的坡度为1：√3，.tana=tan∠CAB= 1 北 C160° YD 37°yE 一3，∴a=30.答：新坡面的坡角&为30，(2)文化墙 PM不需要拆除.理由：如图，过点C作CD⊥AB于点D, 则CD=6.:坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为 B 1:3,..BD=CD=6,AD=6√3，.AB=AD-BD= 培优专题3：解直角三角形的几种基本模型 6√5一6<8，.文化墙PM不需要拆除. 1.√52.7 M 3.解：(1)在Rt△AOC中，，∠AOC=90°，∠AC0=30°，AC =8kmA0=号AC=号×8=4(km.(2)在 PAB D Rt△AOC中，，∠AOC=90°，∠ACO=30°，AC=8km, 9.解：(1)如图①，过点C作CP⊥AE于点P,过点B作BQ ⊥CP于点Q,则PQ=AB=50cm.:∠ABC=143°， 00-AC=45km在R△BC中，∠B0C=90, .∠CBQ=53°，.在Rt△BCQ中，CQ=BC·sin53°≈70 ∠BC0=45°，∴.∠B00=∠OBC=45°，.OB=OC=4W3km, ×0.8=56(cm).,CD∥l,.DE=CP=CQ+PQ=56+ ∴.AB=OB-OA=(4√5一4)km,∴.飞船从A处到B处的 50=106(cm).故手臂端点D离操作台1的高度DE的长 约为106cm.(2)能.理由如下：当点B,C,D共线且点D 平均建度为。a3m/。 在l上时，如图②，BD=BC+CD=70+60=130(cm),AB 4.(100+1003) =50cm.在Rt△ABD中，AB2+AD2=BD2,.AD=120cm 5.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D,在点A的正北方向 >110cm,'.手臂端点D能碰到点M. 上取点M,在点B的正北方向上取点N,由题意，得 ∠MAB=∠NBA=90°，∠MAC=60°，∠NBC=45°，AC =60√2海里，∴.∠CDA=∠CDB=90°.，'在Rt△ACD .0Q 中，∠CAD=∠MAB-∠MAC=90°-60°=30°，.CD= ?AC=302海里，：在R△BCD中，∠CBD=∠NBD日 EM MD I ① ② ∠NBC=90°-45°=45°，.BC=√2CD=60海里.，60÷ 50=1.2(小时)，∴.从B处到达C处需要1.2小时. 6利用三角函数测高 M 1.C2.A3.34.4055.12.7 609 6.B7.C8.(20√3-20)9.5.7 10.解：延长AD交FG于H,则四边形ABGH是矩形，AB= CD=GH=35m,AH=BG.设FH=xm.在Rt△AFH 6.8 中，AH=器孟G=DH=击-20，在 7.解：如图，延长CD,交AE于点E,可得DE⊥AE.在 Rt△AED中，AE=BC=40m,∠EAD=45°，'.ED=40m.在 R△F0G中，s5r-器2.1≈+35，=8.7， Rt△ABC中，∠BAC=90°-60°=30°，BC=40m,∴.AB= 1.120 x 403≈69.3(m),则CD=EC-ED=AB-ED=40√3-40 ≈29.3(m).答：这两座建筑物AB,CD的高度分别约为 .FG=FH十GH=84.7+35≈120(m).答：该信号发射 69.3m和29.3m. 塔顶端到地面的高度FG约为120m. 11.解：(1)由题意，得CD=8×15=120(m).在Rt△ACD 中，ADC=2SAC=CD·t6乙ADC=CD· tan60°=120X√3=120√3(m).答：无人机的高度AC是 1203m.(2)如图，过点B作BF⊥CD于点F,则四边 形ABFC是矩形，∴.BF=AC=120V3m,AB=CF.在 B C 同行学案学练测·13·