学易金卷：高一数学下学期期中模拟卷（苏教版，范围：必修第二册第9～12章）

2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算法则，结合求模公式及共轭复数的概念，即可得答案. 【详解】由题意， 则z的共轭复数 2．已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据共线向量定理及相关性质、充分必要条件的定义求解判断即可. 【详解】若存在实数，使，则共线； 若，则同向； 所以“存在实数，使”是“”的必要不充分条件. 3．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式和正弦的差角公式，对原式进行化简，可得结果. 【详解】 . 故选：D. 4．已知的面积为，，，则（    ）． A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由余弦定理和三角形面积公式即可求得结果. 【详解】设中角所对的边分别为， 因为的面积为，，所以， 又，所以，结合上式得：， 由余弦定理得：，故. 故选：A 5．在梯形中，，点是线段（含端点）上的动点，设，若，则（        ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】如图建立平面直角坐标系，设，据此可得各点坐标，然后由平面向量坐标运算可得答案. 【详解】如图建立平面直角坐标系，设. 则，. 从而，设，其中， 则，又， 则，从而，因， 则. 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知结合两角和的余弦公式和同角三角函数的商数关系，可得，，然后结合两角差的余弦公式和倍角公式求解即可． 【详解】已知，， 则，， 即， 则， 所以. 故选：B． 7．已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．－2 【答案】A 【分析】根据给定条件，用基底向量分别表示，再利用数量积的运算律列式求出最大值. 【详解】在边长为2的菱形中，由，得，由点在线段上， 令，由点在线段上， ，得， 则， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 8．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理将角化边得到，再由余弦定理得到，从而表示出，最后由面积公式及二次函数的性质计算可得. 【详解】因为， 由余弦定理可得， 所以，所以， 又，所以， 又， 所以， 所以 ， 所以当，即时，取得最大值，且. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，且，则 【答案】BCD 【分析】对于A：举反例即可；对于B：利用复数的平方等于复数模的平方，即可求得结果； 对于C、D设出复数，，利用复数的运算即可求得结果. 【详解】对于A：若，但是，故A错误； 对于B：因为，所以，故，故选项B正确； 对于C：设，因为，得到， 故或，若，则，解得：，故， 同理若，得，故C正确； 对于D：设则，由， 所以，故，故D正确； 故选:BCD 10．在锐角中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于选项A，将两个等式利用和差的正弦公式展开，即可求得的值；对于选项B，根据条件求出的值，进而可得到的关系；对于选项C，根据先求出其余弦值，进而得到正切值；对于选项D，首先将展开，然后根据求出. 【详解】对于选项A： 因为， 所以① ②， 所以，所以A正确； 对于选项B： 因为，. 所以，即，所以B正确； 对于选项C： 因为，所以. 所以，所以C正确； 对于选项D： 因为，. 又，所以， 化简得，所以解得. 又是锐角，所以，所以，D正确. 故选：ABD. 11．著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是（ ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】选项A用表示，代入数量积公式；选项B用表示，代入数量积公式；选项C由求出，代入模长公式计算；选项D根据欧拉线定理得到. 【详解】因为是的重心，， 又， ，选项A正确； 因为是的外心， ，， ， 选项B错误； 若，， 可得， ， 则，选项C正确； 根据已知条件，，即， ， 所以，选项D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知非零向量满足，则向量与的夹角为_____. 【答案】/ 【分析】由可得，由可得，利用平面向量数量积的定义求解夹角即可. 【详解】因为，所以，展开整理得， 由得，所以， 所以，则， 设向量与的夹角为，则， 又，所以． 13．已知，且满足，则，则______． 【答案】/ 【分析】运用降幂公式、两角和的余弦公式进行化简，结合角的范围可得，进而可求，利用二倍角公式和齐次化即可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得， 即，所以， 所以，得， 所以． 故答案为： 14．如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】设，利用余弦定理及三角恒等变换将表示为的函数，再利用正弦函数的性质求出最大值. 【详解】在中，，设，则，， 在中，，则， 由余弦定理得 ， 因，则， 故当，即时，，所以的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数． (1)若，求的最大值和最小值； (2)设为锐角，且，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，对函数解析式进行恒等变换，再根据定义域，求出值域，求出最大值和最小值. （2）根据同角三角函数的平方关系，和两角和的余弦公式，求出的余弦值，判断角的值. 【详解】（1）由题意得， 当时，， 所以的最大值是2，最小值是. （2）则，同理， 由，得， 因为为锐角，所以，则. 16．（15分） 的内角为，角的角平分线为在上. (1)用表示； (2)若为边上一点，且，试确定点的位置，并说明理由. 【答案】(1) (2)为的中点，理由见解析 【分析】（1）先根据角平分线定理得出，由此推出，再利用向量加法和减法法则，将用与表示出来． （2）设，先求出关于与的表达式，再计算，得到一个含$λ$的式子．最后根据已知，建立方程求解，从而确定的位置． 【详解】（1）由角平分线定理得，所以， 所以 （2）设.因为， 所以 因为，所以，解得.故为的中点. 17．（15分） 已知. (1)求的值； (2)若为锐角，求的值. 【答案】(1)；. (2) 【分析】（1）根据题意，求得，利用正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，先求得的值，进而求得的值； （2）求得，得到，结合，利用两角差的正弦公式，即可求解. 【详解】（1）因为，可得， 又因为，所以， 所以， ， 所以. （2）因为，且为锐角，可得， 又因为，可得， 所以 . 18．（17分） 巴张高速公路（巴东至张家界）于2025年1月开工，计划于2030年正式建成． 该高速公路在巴东境内横跨长江，需要重新修建一座桥梁，称为巴东长江二桥（以下简称二桥），目前二桥的起点和终点已经确定．如图1所示，设二桥起点为C，终点为D，为了测量二桥CD的长度（南北走向），小明同学选择了长江南岸的A，B两个观测点，AB相距2千米． 在A处测得二桥北岸D位于其北偏东60°的方向，二桥南岸C位于其南偏东75°的方向，观测点B位于其南偏东60°．在观测点B处测得南岸C处位于其北偏东60°，北岸D位于其北偏东15°的方向． (1)求二桥CD的长度． (2)为了优化二桥周边环境，政府部门将对扇形区域CBH进行改造．如图2所示，点P、Q在弧上，点M、N分别在BH、BC上，且PQ∥CH，四边形MNPQ为矩形．拟将矩形MNPQ所在区域建成一所主题公园，求公园面积的最大值． 【答案】(1)2千米 (2)平方千米 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理解三角形，求出边长可得结果. （2）利用三角恒等变换表示出面积和之间的关系，根据角度的变化范围可求面积的最大值. 【详解】（1） 如图所示，过点作，过点作， 点在点的正北方向，点在点的正南方向，点在点的正北方向. 根据题意可知，所以, 由题意得，， 所以，故， 在中，由正弦定理得，即 ，故， 因为， 所以. 在中，， 由正弦定理可得，，解得． 在中，， 由余弦定理可得，解得， 所以二桥的长度是2千米. （2） 由（1）知扇形所在区域半径，圆心角. 如图，取线段的中点，连接交于，连接． 设. 根据垂径定理可知，故． 在中，由得，， 所以， 则矩形的面积， 由得， 所以当，即时，公园面积的最大值为平方千米． 19．（17分） 设两个非零向量、，，，方向逆时针旋转到方向所成的角为.定义伪叉积：.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的、、、，满足，. (1)设，，计算和； (2)设，，求证：； (3)设四边形有外接圆，圆心为，半径为，对角线、相互垂直且交点为，，、交于，、分别为、的中点，求三角形的面积的最大值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算求出的余弦值，进而可得出的正弦值，结合题中定义可求得和的值； （2）不妨设射线、分别为角、的终边，则，设，，则，，利用题中定义结合两角差的正弦公式化简可证得结论成立； （3）建立合适的平面直角坐标系，利用向量叉乘将三角形的面积转化为，最后利用基本不等式即可求出其最大值. 【详解】（1）如下图所示： 由平面向量数量积的坐标运算可得， 则为锐角，且， 结合图形可知，， . （2）不妨设射线、分别为角、的终边，则， 设，，则，， 则 ， 故. （3）以点为坐标原点，直线、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设，由题意知， . 由垂径定理知， ， ， 当且仅当时等号成立， 则， 当且仅当时等号成立， 综上所述三角形的面积的最大为. 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第二册第9~12章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（    ） A． B． C． D． 2．已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（   ） A． B． C． D． 4．已知的面积为，，，则（    ）． A． B． C． D．1 5．在梯形中，，点是线段（含端点）上的动点，设，若，则（        ） A．0 B． C． D．1 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．－2 8．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，且，则 10．在锐角中，，，则（    ） A． B． C． D． 11．著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是（ ） A． B． C．若，则 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知非零向量满足，则向量与的夹角为_____. 13．已知，且满足，则，则______． 14．如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数． (1)若，求的最大值和最小值； (2)设为锐角，且，求的值． 16．（15分） 的内角为，角的角平分线为在上. (1)用表示； (2)若为边上一点，且，试确定点的位置，并说明理由. 17．（15分） 已知. (1)求的值； (2)若为锐角，求的值. 18．（17分） 巴张高速公路（巴东至张家界）于2025年1月开工，计划于2030年正式建成． 该高速公路在巴东境内横跨长江，需要重新修建一座桥梁，称为巴东长江二桥（以下简称二桥），目前二桥的起点和终点已经确定．如图1所示，设二桥起点为C，终点为D，为了测量二桥CD的长度（南北走向），小明同学选择了长江南岸的A，B两个观测点，AB相距2千米． 在A处测得二桥北岸D位于其北偏东60°的方向，二桥南岸C位于其南偏东75°的方向，观测点B位于其南偏东60°．在观测点B处测得南岸C处位于其北偏东60°，北岸D位于其北偏东15°的方向． (1)求二桥CD的长度． (2)为了优化二桥周边环境，政府部门将对扇形区域CBH进行改造．如图2所示，点P、Q在弧上，点M、N分别在BH、BC上，且PQ∥CH，四边形MNPQ为矩形．拟将矩形MNPQ所在区域建成一所主题公园，求公园面积的最大值． 19．（17分） 设两个非零向量、，，，方向逆时针旋转到方向所成的角为.定义伪叉积：.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的、、、，满足，. (1)设，，计算和； (2)设，，求证：； (3)设四边形有外接圆，圆心为，半径为，对角线、相互垂直且交点为，，、交于，、分别为、的中点，求三角形的面积的最大值. 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 口 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 11[A][B][CI[D] 三、 填空题（每小题5分，共15分) 12 射 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) D A H M B B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 6 7 C B D A B B A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 10 11 BCD ABD ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 口.君w 08 13. 14.4+2√5/2√3+4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解析】(1)由题意得 f闭=simr-cosr+25sinxcosr=-6os2x+5sin2x=25 in2.r-1。 2 -zcos2.x)-2sin(2x-), 当xe0引时.2x-e-gg.sin2x-名e小， 6 6’6 6 所以∫(x)的最大值是2，最小值是-1.(6分) 2)ae0孕则sina=-csa-5,同理co5B-3西 5 10 cos(+B)-cosa cos B-sina sin cos(55 5105102 因为a,B为锐角，所以a+B∈(0，)，则a+B=元.(13分) 4 16.(15分) 【保新10)由平分战定者肥是宁所以D-c, 1/5 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以0=西+8D=西+号C=西+C-丽-号西+兮C7分) 2)设4E=4c因为ED-团+而=-2ac+号西+写4C-号B+{日c, 所uD而-[居西+g刘ac居西+c +号亚c行丽c非-号6 因为D而-弓所以；音-号解得入=5救E为4C的中点15分) 93 17.(15分) 【样折】1)因为a[任小，可两c<0 又因为sina= v10 10 所以ama=V-(-而 10 所以sin2a=2 sin=2x10x-3i0=-3 -x( )= 10 10 5 cos2a =1-2sima=1-2x(4 10 -5 所以tan2a=sin2a。3 .(7分) cos 2a 4 2因为a很小1B为线角，可利a+B层》 3 又因为sin(a+B)=- 5 可得cos(a+B)=-V1-sin2(a+)=- 2W5 5 5 所以sin(a-β)=sin[2a-(a+B)]=sin2acos(a+B)-cos2asin(a+β) (-9-2-515分 3 5 5 25 18.(17分) 【解析】(1) D R 如图所示，过点A作PQ∥CD,过点B作BR∥CD, 2/5 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 点P在点A的正北方向，点Q在点A的正南方向，点R在点B的正北方向， 根据题意可知∠PAD=60°，∠QAC=75°，∠QAB=60°，所以∠BAC=75°-60°=15°， 由题意得，∠RBD=15°，∠RBC=60°，∠RBA=∠QAB=60°， 所以LABC=60°+60°=120°，故LACB=45°， 在4C水，由正弦定里得9，即方S，放C-2315 2 BC 2 因为sin15°=sin(45"-30)=sin45cos30-sim30cos45=5x5_1x2-V6-V2 2222 所以BC=V5-1. 在△ABD中，AB=2,∠DAB=180°-60°-60°=60°，∠ADB=60°-15°=45°， AB BD 由正弦定理可得， sin45sin60°，解得BD=V6. 在△BCD中，BC=V3-1,BD=√6，∠DBC=60°-15°=45°， 由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·c0s45°=4，解得CD=2, 所以二桥的长度是2千米.(8分) (2) D 4 E M B 由(1)知扇形所在区域半径R=BC=√3-1，圆心角LCBH=120° 如图，取线段PQ的中点E,连接BE交MN于F,连接BQ. 设∠EBQ=0,0∈(0°，60) 根据垂径定理可知∠BEQ=90°，故E0=Rsin0,PQ=2Rsin0,BE=Rcos0. 在RtaBFM中，由MF=EQ=Rsin0,∠MBF=60°得，BF=M=Rsin0 33, 所以EF=BE-BF=Rcos0-Rsin9 3/5 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则矩形MNPO的面积S=PQ-EF=2Rsin0-(Rcos0-Rsin日)=Rsin29+R 3 cos20、R? 3 V55sn20+os291 R22R2 sin(20+30)- R2 由0∈(0°，60)得20+30°∈(30°，150)， 所以当m20+30=1,即0=30所，公园面积的经大省为2R.公-5--452平方千米 (17分) 19.(17分) 【解析】(1)如下图所示： 3 ab 11 11 由平面向量数量积的坐标运算可得cos∠AOB 10x13V130' 则∠40B为锐角，且sin∠A0B=V1-cos∠A0B=1-150=0 1213 结合图形可如，5-月风m2x-∠408=-月内m∠408=-iox而×=-3， xa-风m408=而x=34分 (2)不妨设射线OA、OB分别为角、B的终边，则6=B-a+2kπk∈Z), 设d=m,l=n,则a=(mcosa,msina),方=(ncosB,nsin B), axB=asin0 -asin(B-a+2kz)=mnsin(B-a) =mn(sin B cosa-cosβsina)=mcosa·nsinβ-msin a·n cos B=xy2-x2y, 故a×b=xy2-x2y1·(9分) (3)以点E为坐标原点，直线AC、DB所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 4/5 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 设∠AFD=0(0<0<π)，由题意知OA=|OB=2,OE=1, SwxN-报a+FG×西+D] =专Fix丽+(CxF历+(xfFD+面xFC] Fx历-FCx丽-报x而)Fcx丽 =5oSR)小=a 由垂径定理知OM⊥AC,ON⊥BD,OM+ON=OE=1, 14CI=2VOA -OM =214-OMP BD=2/OBP -IONP =24-ION ACBDI=44-0M)(4-ION)=416-4(OM+ONP)+OMON=412+IOMO 2 s22+ OM+ON =7, 2 当且仅当1OM1=oM=5时等号成立， 则Sm）(Suo）子 7 当且仅当OM=ON=5时等号成立， 综上所述三角形FMN的面积的最大为}(17分) 5/5 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第二册第9~12章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（    ） A． B． C． D． 2．已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（   ） A． B． C． D． 4．已知的面积为，，，则（    ）． A． B． C． D．1 5．在梯形中，，点是线段（含端点）上的动点，设，若，则（        ） A．0 B． C． D．1 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．－2 8．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，且，则 10．在锐角中，，，则（    ） A． B． C． D． 11．著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是（ ） A． B． C．若，则 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知非零向量满足，则向量与的夹角为_____. 13．已知，且满足，则，则______． 14．如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数． (1)若，求的最大值和最小值； (2)设为锐角，且，求的值． 16．（15分） 的内角为，角的角平分线为在上. (1)用表示； (2)若为边上一点，且，试确定点的位置，并说明理由. 17．（15分） 已知. (1)求的值； (2)若为锐角，求的值. 18．（17分） 巴张高速公路（巴东至张家界）于2025年1月开工，计划于2030年正式建成． 该高速公路在巴东境内横跨长江，需要重新修建一座桥梁，称为巴东长江二桥（以下简称二桥），目前二桥的起点和终点已经确定．如图1所示，设二桥起点为C，终点为D，为了测量二桥CD的长度（南北走向），小明同学选择了长江南岸的A，B两个观测点，AB相距2千米． 在A处测得二桥北岸D位于其北偏东60°的方向，二桥南岸C位于其南偏东75°的方向，观测点B位于其南偏东60°．在观测点B处测得南岸C处位于其北偏东60°，北岸D位于其北偏东15°的方向． (1)求二桥CD的长度． (2)为了优化二桥周边环境，政府部门将对扇形区域CBH进行改造．如图2所示，点P、Q在弧上，点M、N分别在BH、BC上，且PQ∥CH，四边形MNPQ为矩形．拟将矩形MNPQ所在区域建成一所主题公园，求公园面积的最大值． 19．（17分） 设两个非零向量、，，，方向逆时针旋转到方向所成的角为.定义伪叉积：.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的、、、，满足，. (1)设，，计算和； (2)设，，求证：； (3)设四边形有外接圆，圆心为，半径为，对角线、相互垂直且交点为，，、交于，、分别为、的中点，求三角形的面积的最大值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $