学易金卷：高二数学下学期期中模拟卷（苏教版，范围：选择性必修第二册第6～8章）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D A B D A D D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD AB ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．8 13．/ 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因为， 又正态分布中，， 所以本次知识竞赛预期的平均成绩大约为86-3=83；（6分） （2）记小王答对题的数量为，则， 由题意得， 则， 所以， .（13分） 16．（15分） 【解析】（1）朗诵节目不在排头，也不在排尾，则朗读节目有种排法， 然后再排剩余的5个节目，共有种排法， 根据分步乘法计数原理，6个节目共有种排法.（4分） （2）三个唱歌节目捆绑共种排法，再和其它三个节目进行排列， 共有种不同排法.（8分） （3）先排三个唱歌和一个朗诵，共种排法，两个舞蹈节目不相邻，插入个空有种排法， 所以符合条件的排法共种排法， 6个节目的所有排法有种， 所以两个舞蹈节目不相邻的概率.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）证明：，. 底面，底面，. 平面平面， 平面. 平面，；（3分） （2）①依题意可知，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 由题， 则 设平面的法向量为，平面的法向量， 则有，取. ，取，则，故. 设平面与平面所成的锐二面角的平面角为， ，即；（9分） ②设，则， 设，则，解得， 即，则， ， 化简得：，平方得， 解得，又因，故舍去， 故不存在点，使得与面所成的角为．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）记“抛掷一次骰子，出现点数为”为事件，其中， 则， 则小明得1分的概率为，小宇得1分的概率为， 的取值有0，1，2，3， 所以的分布列为： 0 1 2 3 ；（8分） （2）假设小明设置的为大点数中的任意一个，记“每次抛掷出现大点数”为事件，则“每次抛掷出现小点数”为事件， 则， 则小明获胜的概率 假设小明设置的为小点数中的任意一个，记“每次抛掷出现大点数”为事件，则“每次抛掷出现小点数”为事件， 则， 则小明获胜的概率 所以无论设置哪个“重点点数”，小明获胜的概率均为定值. 又，，则，即小明获胜的概率大于， 所以小明获胜的概率大于小宇获胜的概率.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）由题意可知，当，范数为奇数时，的个数为偶数， 即中0的个数为0或2， 所以根据乘法原理和加法原理可得，.（3分） （2）由题意可知，当为奇数时，在中要使范数为奇数，则0的个数一定为偶数，其余位置为或， 所以可按0的个数为分情况讨论， 根据乘法原理和加法原理可得， 因为①， ②， 所以得， 所以.（8分） （3）当为偶数时，在向量中，要使范数为奇数，则的个数一定为奇数，其余位置为或， 所以可按0的个数为分情况讨论， 所以， ， 解法一：因为， 所以 .（17分） 解法二：因为③， ④， 得， 又因为， 所以 .（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第二册第6~8章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．从集合中任取两个不同的数组成复数，其中虚数有（ ） A．14个 B．9个 C．12个 D．16个 2．向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术圣地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中有3个被誉为最值得参观的洞窟．现游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，则至少选中2个最值得参观洞窟的概率为（   ） A． B． C． D． 5．如图，二面角的大小为，棱l上有两点A，B，线段和分别在面和内，且，.若，，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D． 6．子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有印有“温、良、恭、俭、让”5个字的书签各2张，10张书签的颜色和图案互不相同.从10张书签中抽取4张分给4位同学，每人一张书签，恰有2位同学分到的书签上汉字相同的分配方案有（   ） A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种 7．已知在棱长为1的正四面体中，，，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知袋中有除颜色外其他都相同的小球9个，其中黑球6个，红球3个，从中摸4个球，方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为.下列说法中，正确的有（    ） A． B．，其中 C． D． 10．已知，则下列命题正确的有（   ） A． B． C．若，则 D． 11．如图，正方体的棱长为2，点在侧面的边界及其内部运动.下列说法正确的是（   ） A．若点为线段上的动点，当时， B．若点为线段上的动点，当时，点到平面的距离为 C．若点为底面的中心，且，则面积的最大值为 D．若，则点的轨迹的长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设有编号为1，2，3，4的四个球和编号为1，2，3，4的四个盒子，现将这四个球放入这四个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的种数为______． 13．随机变量，相互独立，且，，则________. 14．已知半径为2的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 为了增强市民的交通意识，某社区举办了一次交通规则知识竞赛.经统计发现，参加本次知识竞赛的社区居民的竞赛成绩近似服从正态分布. (1)若有15.865%参赛社区居民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估计本次知识竞赛预期的平均成绩. (2)参加了知识竞赛的社区居民可继续参加该社区组织的答题赠话费活动，活动规则如下：每人需回答3道题，每答对一道题获得30元话费.已知能参加了知识竞赛的居民小王答对每道题的概率均为，且每道题答对与否相互独立.记小王获得话费为元，求的数学期望和方差. 参考数据：若随机变量，则，，. 16．（15分） 为提高和展示学生的艺术水平，也为了激发学生的爱国热情，某校开展国庆文艺汇演，共有6个节目，其中有两个舞蹈，三个唱歌，一个朗诵，现在要安排演出次序.（结果用数值作答） (1)若朗诵节目不在排头，也不在排尾，有多少种不同排法？ (2)若三个唱歌节目必须相邻，有多少种不同排法？ (3)求两个舞蹈节目不相邻的概率. 17．（15分） 如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，． (1)求证：； (2)若，且，， ①求平面与平面所成锐二面角的大小； ②在棱上是否存在点，使得与平面所成的角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 18．（17分） 为弘扬科学精神，普及概率知识，学校开展“趣味数学挑战赛”活动，小明和小宇参与了基于特制教具的概率游戏.该教具是一款可设置某一数字（下称“重点点数”）出现概率更高的特制骰子，其余五个数字出现的概率相同.记“重点点数”的概率为常数，点数1、2、3为小点数.点数4、5、6为大点数. (1)游戏一：两人将点数6设置为“重点点数”，每局游戏中拋掷一次骰子，如果出现大点数则小明得1分，否则小宇得1分.3局游戏结束后，记小明的得分为变量，若，求的分布列与期望； (2)游戏二：每局游戏中，由小明设置“重点点数”，随后抛掷两次骰子，如果两次均出现大点数或均出现小点数则小明胜，否则小宇胜.试证明：无论设置哪个点数为“重点点数”，小明获胜的概率均为定值，且大于小宇获胜的概率. 19．（17分） 我们称元有序实数组为n维向量，为该向量的范数．已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为． (1)求和的值； (2)求的值； (3)当为偶数时，求（用表示）． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第二册第6~8章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．从集合中任取两个不同的数组成复数，其中虚数有（ ） A．14个 B．9个 C．12个 D．16个 2．向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术圣地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中有3个被誉为最值得参观的洞窟．现游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，则至少选中2个最值得参观洞窟的概率为（   ） A． B． C． D． 5．如图，二面角的大小为，棱l上有两点A，B，线段和分别在面和内，且，.若，，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D． 6．子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有印有“温、良、恭、俭、让”5个字的书签各2张，10张书签的颜色和图案互不相同.从10张书签中抽取4张分给4位同学，每人一张书签，恰有2位同学分到的书签上汉字相同的分配方案有（   ） A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种 7．已知在棱长为1的正四面体中，，，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知袋中有除颜色外其他都相同的小球9个，其中黑球6个，红球3个，从中摸4个球，方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为.下列说法中，正确的有（    ） A． B．，其中 C． D． 10．已知，则下列命题正确的有（   ） A． B． C．若，则 D． 11．如图，正方体的棱长为2，点在侧面的边界及其内部运动.下列说法正确的是（   ） A．若点为线段上的动点，当时， B．若点为线段上的动点，当时，点到平面的距离为 C．若点为底面的中心，且，则面积的最大值为 D．若，则点的轨迹的长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设有编号为1，2，3，4的四个球和编号为1，2，3，4的四个盒子，现将这四个球放入这四个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的种数为______． 13．随机变量，相互独立，且，，则________. 14．已知半径为2的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 为了增强市民的交通意识，某社区举办了一次交通规则知识竞赛.经统计发现，参加本次知识竞赛的社区居民的竞赛成绩近似服从正态分布. (1)若有15.865%参赛社区居民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估计本次知识竞赛预期的平均成绩. (2)参加了知识竞赛的社区居民可继续参加该社区组织的答题赠话费活动，活动规则如下：每人需回答3道题，每答对一道题获得30元话费.已知能参加了知识竞赛的居民小王答对每道题的概率均为，且每道题答对与否相互独立.记小王获得话费为元，求的数学期望和方差. 参考数据：若随机变量，则，，. 16．（15分） 为提高和展示学生的艺术水平，也为了激发学生的爱国热情，某校开展国庆文艺汇演，共有6个节目，其中有两个舞蹈，三个唱歌，一个朗诵，现在要安排演出次序.（结果用数值作答） (1)若朗诵节目不在排头，也不在排尾，有多少种不同排法？ (2)若三个唱歌节目必须相邻，有多少种不同排法？ (3)求两个舞蹈节目不相邻的概率. 17．（15分） 如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，． (1)求证：； (2)若，且，， ①求平面与平面所成锐二面角的大小； ②在棱上是否存在点，使得与平面所成的角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 18．（17分） 为弘扬科学精神，普及概率知识，学校开展“趣味数学挑战赛”活动，小明和小宇参与了基于特制教具的概率游戏.该教具是一款可设置某一数字（下称“重点点数”）出现概率更高的特制骰子，其余五个数字出现的概率相同.记“重点点数”的概率为常数，点数1、2、3为小点数.点数4、5、6为大点数. (1)游戏一：两人将点数6设置为“重点点数”，每局游戏中拋掷一次骰子，如果出现大点数则小明得1分，否则小宇得1分.3局游戏结束后，记小明的得分为变量，若，求的分布列与期望； (2)游戏二：每局游戏中，由小明设置“重点点数”，随后抛掷两次骰子，如果两次均出现大点数或均出现小点数则小明胜，否则小宇胜.试证明：无论设置哪个点数为“重点点数”，小明获胜的概率均为定值，且大于小宇获胜的概率. 19．（17分） 我们称元有序实数组为n维向量，为该向量的范数．已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为． (1)求和的值； (2)求的值； (3)当为偶数时，求（用表示）． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．从集合中任取两个不同的数组成复数，其中虚数有（ ） A．14个 B．9个 C．12个 D．16个 【答案】D 【分析】利用分步乘法计数原理计算即可. 【详解】根据题意，若复数表示虚数，则； 第一步，从中任取一个数作为，共有4种方法； 第二步，在剩下4个数中任取一个作为，共有4种方法， 所以共有种. 故选：D. 2．向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，结合共面向量与向量运算的性质，可得答案. 【详解】充分性证明：由不平行，则可作为所在平面内的一组基底， 由，则必定共面，所以充分性成立； 必要性证明：由共面，且不平行，当共线时，， 则不存在两个非零常数，使得，所以必要性不成立. 综上，该条件是充分非必要条件. 故选：A. 3．的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据二项式的通项公式确定展开式中的奇数次幂项的系数和的表达式，列方程求解即可. 【详解】的展开式的通项公式为， 则的展开式中的奇数次幂项的系数和为， 故，则， 故选：B 4．莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术圣地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中有3个被誉为最值得参观的洞窟．现游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，则至少选中2个最值得参观洞窟的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合组合数公式，分别求得基本事件的总数为种，再求得至少选中2个最值得参观洞窟的个数为种，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】从8个洞窟中选出4个洞窟，共有种不同的选法， 其中至少选中2个最值得参观的洞窟，有种选法， 由古典概型的概率计算公式，可得至少选中2个最值得参观洞窟的概率. 故选：D. 5．如图，二面角的大小为，棱l上有两点A，B，线段和分别在面和内，且，.若，，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D． 【答案】A 【分析】由图得，再根据向量数量积的运算律和定义代入数据即可得到答案. 【详解】由题意得， 所以． 因为，二面角的大小为， 所以，． 因为， 所以， 所以. 故选：A. 6．子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有印有“温、良、恭、俭、让”5个字的书签各2张，10张书签的颜色和图案互不相同.从10张书签中抽取4张分给4位同学，每人一张书签，恰有2位同学分到的书签上汉字相同的分配方案有（   ） A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种 【答案】D 【分析】先从10张书签中选出4张，其中两张相同，另外两张各不相同，再分配给4位同学. 【详解】第一步，先从10张书签中选出4张，由题可知选到的4张书签中有两张汉字相同，其余两张各不相同， 共有种不同的选法； 第二步，将抽到的4张书签分给4位同学有种不同的分法， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方案共有：种. 故选：D. 7．已知在棱长为1的正四面体中，，，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，向量、、表示和，再利用数量积的运算律及夹角公式计算可得. 【详解】设，因为，， 所以， ， 所以， ， ， 设向量与的夹角为，则 ∴直线和夹角的余弦值为． 故选：D 8．甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出事件，根据全概率公式得到，，再利用条件概率公式计算得到答案. 【详解】设第一次取出红球的事件为，第二次取出的球是白球的事件为， 取到甲袋，乙袋的事件分别为，， 则， ， 则. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知袋中有除颜色外其他都相同的小球9个，其中黑球6个，红球3个，从中摸4个球，方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为.下列说法中，正确的有（    ） A． B．，其中 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据二项分布、超几何分布的相关概念及性质，分别计算出、的概率、期望和方差，再逐一分析选项. 【详解】选项A，方案一中，有放回地摸球，每次摸取到红球的概率为， 摸次球，则取得红球个数， 所以，故选项A正确. 选项B，方案一中，，. 方案二中，不放回地摸球，取得红球个数服从超几何分布，，，， 则，. 当时，，， 所以，故选项B错误. 选项C，，，所以，故选项C正确. 选项D，， . 可得，即，故选项D正确. 故选：ACD. 10．已知，则下列命题正确的有（   ） A． B． C．若，则 D． 【答案】AB 【分析】根据排列数性质变形化简右侧等式后可判断A的正误，将组合数利用阶乘展开计算后可判断B的正误，根据组合数的性质可判断C的正误，根据上下标的关系可求或，计算后可判断D的正误. 【详解】对于，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，若，则或，故C错误； 对于，解得，又，所以或， 当时，； 当时，，故D错误． 故选：AB． 11．如图，正方体的棱长为2，点在侧面的边界及其内部运动.下列说法正确的是（   ） A．若点为线段上的动点，当时， B．若点为线段上的动点，当时，点到平面的距离为 C．若点为底面的中心，且，则面积的最大值为 D．若，则点的轨迹的长度为 【答案】ACD 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，由求出的坐标，然后计算即可得出A选项；设平面的法向量为，根据题意建立方程组求出法向量为的坐标，然后利用向量法求点到面的距离即可得出选项B；对于C，取的中点，连接，结合图形以及已知条件即可分析得出选项C；选项D，根据题意分析，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，结合已知条件分析即可得出结论. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示：    则， 对于AB选项，由知： ， 则， ，A正确； ，， 设平面的法向量为， 则， 取，得， 故平面的一个法向量为， 又，则点到平面的距离为： ，故B错误； 对于C，取的中点， 连接， 如图所示，      因为正方体的棱长为2， 所以，，， 平面，平面，平面， 所以，， ， 所以，， 所以，， 由可得平面， 所以，所以点的轨迹为线段， 又， 所以面积的最大值: ，故C正确； 对于D，平面，平面， 所以，都是直角三角形. 又， 所以， 因为，所以， 在侧面中以点为坐标原点， 以所在的直线分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，    则，设， 则， 整理得到，圆， 所以点在以为圆心，以为半径的圆上， 又因为在侧面（含边界）上运动， 所以点的轨迹是圆上的一段劣弧（分别是圆与的交点）， 因为，， 所以， 则点的轨迹长度为，故D正确， 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设有编号为1，2，3，4的四个球和编号为1，2，3，4的四个盒子，现将这四个球放入这四个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的种数为______． 【答案】8 【分析】由组合数与错位排列两个知识点结合判断，先选出一个球与盒子编号相同，再计算其余三个球的错位排列数。 【详解】先确定恰好编号相同的那个球和盒子，从个球中选个，有种选法， 假设选中号球放入号盒子，此时剩下号球和号盒子，要求这个球的编号与盒子编号均不相同， 即求个元素的错位排列数，个元素的错位排列（记为）有种情况：和. 因此，总投放方法种数为. 故答案为： 13．随机变量，相互独立，且，，则________. 【答案】/ 【分析】先根据正态分布的性质得出，再利用二项分布的概率公式求出，最后利用概率的乘法公式即可. 【详解】由题意可得，， ， 因随机变量，相互独立，则. 故答案为：. 14．已知半径为2的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据内切球半径求得正四面体的棱长，利用向量数量积运算以及球的几何性质求得的取值范围. 【详解】设正四面体的棱长为，设是等边三角形的中心，连接， 则平面，且球的球心， ， 则， 所以，解之得， 所以,， 由向量运算的三角形法则可得， 所以， 而，则． 由题设可知，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 为了增强市民的交通意识，某社区举办了一次交通规则知识竞赛.经统计发现，参加本次知识竞赛的社区居民的竞赛成绩近似服从正态分布. (1)若有15.865%参赛社区居民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估计本次知识竞赛预期的平均成绩. (2)参加了知识竞赛的社区居民可继续参加该社区组织的答题赠话费活动，活动规则如下：每人需回答3道题，每答对一道题获得30元话费.已知能参加了知识竞赛的居民小王答对每道题的概率均为，且每道题答对与否相互独立.记小王获得话费为元，求的数学期望和方差. 参考数据：若随机变量，则，，. 【答案】(1)83； (2)， 【分析】（1）根据正态分布的对称性求出，再根据期望方差，得到平均成绩；（2）利用二项分布的数学期望、方差公式与性质计算即得. 【详解】（1）因为， 又正态分布中，， 所以本次知识竞赛预期的平均成绩大约为86-3=83； （2）记小王答对题的数量为，则， 由题意得， 则， 所以， . 16．（15分） 为提高和展示学生的艺术水平，也为了激发学生的爱国热情，某校开展国庆文艺汇演，共有6个节目，其中有两个舞蹈，三个唱歌，一个朗诵，现在要安排演出次序.（结果用数值作答） (1)若朗诵节目不在排头，也不在排尾，有多少种不同排法？ (2)若三个唱歌节目必须相邻，有多少种不同排法？ (3)求两个舞蹈节目不相邻的概率. 【答案】(1)480 (2)144 (3) 【分析】（1）特殊元素（朗诵节目）优先考虑，再排其它的即可； （2）相邻元素用捆绑法解题即可； （3）不相邻元素用插空法求出符合条件的所有排法，再用古典概型求概率即可. 【详解】（1）朗诵节目不在排头，也不在排尾，则朗读节目有种排法， 然后再排剩余的5个节目，共有种排法， 根据分步乘法计数原理，6个节目共有种排法. （2）三个唱歌节目捆绑共种排法，再和其它三个节目进行排列， 共有种不同排法. （3）先排三个唱歌和一个朗诵，共种排法，两个舞蹈节目不相邻，插入个空有种排法， 所以符合条件的排法共种排法， 6个节目的所有排法有种， 所以两个舞蹈节目不相邻的概率. 17．（15分） 如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，． (1)求证：； (2)若，且，， ①求平面与平面所成锐二面角的大小； ②在棱上是否存在点，使得与平面所成的角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；（2）不存在，理由见解析 【分析】（1）依题意可证出平面，即可证得； （2）①建立空间直角坐标系确定各点坐标，求出两个平面的法向量，由平面夹角公式即可求出； ②设得出点的坐标，再根据线面角的向量公式列出方程，求解即可判断满足条件的点是否存在. 【详解】（1）证明：，. 底面，底面，. 平面平面， 平面. 平面，； （2）①依题意可知，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 由题， 则 设平面的法向量为，平面的法向量， 则有，取. ，取，则，故. 设平面与平面所成的锐二面角的平面角为， ，即； ②设，则， 设，则，解得， 即，则， ， 化简得：，平方得， 解得，又因，故舍去， 故不存在点，使得与面所成的角为． 18．（17分） 为弘扬科学精神，普及概率知识，学校开展“趣味数学挑战赛”活动，小明和小宇参与了基于特制教具的概率游戏.该教具是一款可设置某一数字（下称“重点点数”）出现概率更高的特制骰子，其余五个数字出现的概率相同.记“重点点数”的概率为常数，点数1、2、3为小点数.点数4、5、6为大点数. (1)游戏一：两人将点数6设置为“重点点数”，每局游戏中拋掷一次骰子，如果出现大点数则小明得1分，否则小宇得1分.3局游戏结束后，记小明的得分为变量，若，求的分布列与期望； (2)游戏二：每局游戏中，由小明设置“重点点数”，随后抛掷两次骰子，如果两次均出现大点数或均出现小点数则小明胜，否则小宇胜.试证明：无论设置哪个点数为“重点点数”，小明获胜的概率均为定值，且大于小宇获胜的概率. 【答案】(1)分布列见解析，期望为2； (2)证明见解析. 【分析】（1）记“抛掷一次骰子，出现点数为”为事件，其中，根据已知求出小明、小宇得1分的概率，由的取值有0，1，2，3并求出对应概率，写出分布列并求出期望； （2）假设小明设置的为大点数中的任意一个，记“每次抛掷出现大点数”为事件，则“每次抛掷出现小点数”为事件，求出对应概率，进而得到的值，假设小明设置的为小点数中的任意一个，记“每次抛掷出现大点数”为事件，则“每次抛掷出现小点数”为事件，求出对应概率，进而得到的值，即可得结论. 【详解】（1）记“抛掷一次骰子，出现点数为”为事件，其中， 则， 则小明得1分的概率为，小宇得1分的概率为， 的取值有0，1，2，3， 所以的分布列为： 0 1 2 3 ； （2）假设小明设置的为大点数中的任意一个，记“每次抛掷出现大点数”为事件，则“每次抛掷出现小点数”为事件， 则， 则小明获胜的概率 假设小明设置的为小点数中的任意一个，记“每次抛掷出现大点数”为事件，则“每次抛掷出现小点数”为事件， 则， 则小明获胜的概率 所以无论设置哪个“重点点数”，小明获胜的概率均为定值. 又，，则，即小明获胜的概率大于， 所以小明获胜的概率大于小宇获胜的概率. 19．（17分） 我们称元有序实数组为n维向量，为该向量的范数．已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为． (1)求和的值； (2)求的值； (3)当为偶数时，求（用表示）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据定义可知，当，范数为奇数时，中0的个数为0或2，根据乘法原理和加法原理求解即可； （2）当为奇数时，要使范数为奇数，则0的个数一定为偶数，可按0的个数为分情况讨论，再根据和的展开式得到的通项公式即可求解； （3）同（2），按0的个数分情况讨论，利用新定义求出的通项公式，再根据组合数的性质化简求解即可. 【详解】（1）由题意可知，当，范数为奇数时，的个数为偶数， 即中0的个数为0或2， 所以根据乘法原理和加法原理可得，. （2）由题意可知，当为奇数时，在中要使范数为奇数，则0的个数一定为偶数，其余位置为或， 所以可按0的个数为分情况讨论， 根据乘法原理和加法原理可得， 因为①， ②， 所以得， 所以. （3）当为偶数时，在向量中，要使范数为奇数，则的个数一定为奇数，其余位置为或， 所以可按0的个数为分情况讨论， 所以， ， 解法一：因为， 所以 . 解法二：因为③， ④， 得， 又因为， 所以 . 【点睛】难点点睛：本题的难点在于理解新定义，学会类比的方法从特殊到一般，其次对组合数，二项式定理的灵活应用，化简变形要求较高，属于难题. 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 口 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 11[A][B][CI[D] 三、 填空题（每小题5分，共15分) 12 射 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) A E D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）