专题17 几何最值之隐形圆、四点共圆模型（几何模型讲义）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题17 几何最值之隐形圆、四点共圆模型 隐形圆的应用是中考中的常见题目，这类题目在条件中没有直接给出有关圆的信息，但我们通过分析和转化，最终都可以利用圆的知识求解，这类题目构思巧妙，综合性强，它将复杂的多边形问题转化为圆内问题，体现了转化和化归的数学思想，处理这类题目，关键在于能否把隐形圆找出来. 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 8 13 ‌ 隐形圆模型指的是题目给出的图形中没有画出圆，但动点轨迹满足圆的定义，或角度关系暗含四点共圆。通过构造辅助圆，将复杂的线段最值、动点轨迹问题转化为圆的基本性质问题（如圆外一点到圆上点的最值）。 模型常见类型对应的古老数学原理说明定点定长型欧几里得《几何原本》圆的定义到定点距离等于定长的点的集合，这是所有隐圆模型的逻辑起点。定弦定角型圆周角定理同弧所对的圆周角相等；定弦对定角轨迹是圆（含直径对直角）。 隐形圆模型可以把复杂的线段最值、角度问题，转化成圆的基本性质来解，可以大幅减少辅助线和计算量。 1．（2025•常熟市模拟）如图△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，，D为平面内一点，且∠BDA＝∠C，过点B作BE⊥BD，与DA的延长线相交于点E，则△BDE面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．（2025•梁溪区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知A（5，5），B（8，0），点P在以A为圆心，2为半径的圆上，P关于B的对称点为Q．连接OP，将OP绕点O逆时针旋转90°得到OR．连接RQ．则RQ的最小值是（　　） A．14 B．15 C． D． 3．（2024•泰安）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（　　） A．2 B． C． D．4 4．（2025•长春开学）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，OA是⊙O的半径，OA＝4．点P在⊙O上，将点P沿OA的方向平移到点Q，使PQ＝2，点B为OA的中点．当点P在⊙O上运动一周时，试探究点Q的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题：如图②，连结OP、BQ，由平行四边形的判定及性质推出点Q的运动路径是以点B为圆心、4为半径的圆，下面是部分证明过程： 证明：连结OP、BQ． 1°．当点P在直线OA外时， 证明过程缺失 2°．当点P在直线OA上时， 易知BQ＝OP＝4． 所以，点Q的运动路径是以点B为圆心、4为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】在上述问题的条件下，连结PB，记点M是线段BP的中点，如图②，若点P在⊙O上运动一周，则点M的运动路径长为 　　 ． 【拓展提升】如图③，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，点D在线段AB上，AD＝1，点P是平面内一点，AP＝2，点M是线段PD上的任意一点，连结CM，则线段CM长度的最大值为 　　 ． 5．（2025•江北区校级二模）在△ABC中，∠BAC＝120°，点D为CA延长线上一点，连接BD，使BD＝DC，点E在线段BC各上，连接DE交AB于点F． （1）如图1，若∠DEB＝60°，∠ACB＝α，求∠DFB的度数（用含α的代数式表示）； （2）如图2，点G在BC的下方，连接BG，CG．若∠DEB＝60°，CG＝CD，AB∥CG．求证：； （3）如图3，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转60°得到AQ，连接BQ、CQ、EQ．若，BE＝2CE，当BQ取最小值时，直接写出△CEQ的面积． 1）定点定长作圆： 平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定， 则点B的轨迹在以点A为圆心，AB长为半径的圆上(如图①). 依据的是圆的定义：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合. 推广：如图②，点E为定点，点F为线段BD上的动点(不含点B)，将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，则点B′的运动轨迹为以点E为圆心，以线段BE为半径的一段圆弧. 2）直角对直径 90°的圆周角所对的弦是直径(定弦对定角的特殊形式).如图②，△ABC中，∠C＝90°，点C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的⊙O(不包含A、B两点). 3）定弦对定角（非直角） 固定的线段只要对应固定的角度(可以不是90°)，那么这个角的顶点轨迹为圆的一部分. 4）四点共圆 如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB的中点O，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：OC＝OD＝OA＝OB，∴A、B、C、D四点共圆.即共斜边的两个直角三角形，直角顶点在斜边同侧或异侧，都可得到四点共圆.得到四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，这是证明角度相等重要的途径之一. 圆内接四边形对角互补，因此遇到四边形ABCD中的动点问题，若满足其中一组对角角度之和等于180°，可考虑作它的外接圆解题.如图③，在四边形ABCD中，满足∠ABC＋∠ADC＝180°，可知四边形ABCD有外接圆⊙O，其圆心O为任意一组邻边的垂直平分线的交点(点O为AB和BC垂直平分线的交点). 5）点圆最值 平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值.具体分以下三种情况讨论(规定：OD＝d，⊙O半径为r)： 当D点在⊙O外时，d>r，如图①、②：当D、 E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为d＋r，DE的最小值为d－r； 当D点在⊙O上时，d＝r，如图③、④：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值， DE的最大值为d＋r＝2r(即为⊙O的直径)，DE的最小值为d－r＝0(点D、E重合)； 若D点在⊙O内时，d<r，如图⑤、⑥：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为d＋r，DE的最小值为r－d. 6）线圆最值 如图，AB为⊙O的一条定弦，点C为圆上一动点. (1)如图①，若点C在优弧AB上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC的面积最大. (2)如图②，若点C在劣弧AB上，当CH⊥AB且CH的延长线过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC的面积最大. 例1如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为 　 　 ． 例2如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，M，N分别是AB边和BC的中点，若线段MN绕点M逆时针旋转得到线段MN′，连接BN′，如图2所示． （1）当线段MN绕点M逆时针旋转90°时，线段BN′的长＝　 　 cm； （2）如图3，连接DN′，则DN′长度的最小值是 　 　 cm． 例3（2025•苏州二模）自主式探究学习是学习数学学科的重要能力之一． 情境一：爱思考的小苏利用Al“DeepSeek”探究一些数学模型，以下是他和DeepSeek之间的部分聊天记录： 我正在整理数学笔记，你能给我讲讲米勒圆模型的概念和例子吗？ 已思考（用时10秒） 好的，很高兴能为你讲解米勒圆模型．这是一个在几何和数学问题中非常经典的模型，尤其在处理“最大张角”问题时非常有用． 一、米勒圆模型的概念 1．核心问题（生活场景）： 假设你在一条笔直的海岸线上观察海上的两座灯塔（点A和点B），你站在海岸线的哪个位置，才能使得看这两座灯塔的视角（即∠APB）最大？ 这就是著名的“米勒问题”或“最大张角问题”． 2．数学模型与结论： 米勒圆模型给出了这个问题的几何解答： •已知条件：给定一条定直线和直线外的两个定点A、B． •问题：在直线l上找一点P，使得∠APB最大． •结论： 1．作圆：过点A、B作一个与直线相切的圆． 2．切点即为所求：这个圆与直线l的切点P，就是使得∠APB最大的点． 3．理论依据：在直线上，点P位于由A、B形成的某个“米勒圆”（或称“等角圆”）上，根据“同弧所对的圆周角相等”以及“圆外角小于圆周角”的定理，可以证明这个切点处的视角是最大的． 3．米勒圆的方程（拓展理解）： 在平面直角坐标系中，对于两个定点A（x1，y1）和B（x2，y2），到这两点张角为定值θ（例如90°）的动点P（x，y）的轨迹是一个圆，这个轨迹圆就被称为点A、B的米勒圆或等角圆． 二、经典例子与应用 我们来看一个最经典、最常考的直角米勒圆模型． 例题： 在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），点B（3，0），点P是x轴上的一个动点， （1）当∠APB＝90°时，求点P的坐标． （2）在x轴上找一点P，使得∠APB最大． 求使得∠APB最大的点P． 根据米勒圆模型的结论，我们需要找到过A、B两点且与x轴相切的圆，其切点即为所求． 1．设圆心坐标： 由于圆过A（﹣1，0）和B（3，0）两点，根据圆的对称性，圆心O必在线段AB的垂直平分线上． AB的垂直平分线为：x＝1． 设圆心O的坐标为（1，a），半径为r． 2．建立方程： 因为圆与x轴相切，所以圆心到x轴的距离等于半径，即|a|＝r． 又因为圆经过点A（﹣1，0），所以OA＝r． OA2＝（1﹣（﹣1））2+（a﹣0）2＝（2）2+a2＝4+a2 r2＝a2 因此有方程：4+a2＝a2． 这个方程无解（4＝0不成立），说明在x轴上方或下方找不到这样的圆． 情境二：如图1，在正方形ABCD中，E为线段BC上一点，作AE⊥EF交CD与F点，细心的小苏发现F的轨迹并不是一直朝一个方向运动；他随后根据∠AEF，∠ABE，∠ECF的相等关系展开了研究． 请根据以上情境，完成下列问题清单： （1）接着情境二的图1，若AB＝4，试求CF的最大值； （2）接着情境一，如图2，在正方形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，DE，当∠AED取得最大值时，直接写出tan∠AED的值． （3）数学的模型往往服务于生活之中．如图三是一个摄影棚，在四边形ABCE中，AB⊥BC，AB∥CE，且AB＝3，BC＝4，CE＝5．CF是支架，CF⊥AE．G是在轨道BC上的移动点，点光源H在线段AG的中间，且射出的光与AG垂直，打在支架CF的I点处．随着G点的运动，试求解或证明： Ⅰ．Ⅰ点是三角形AGE的外心． Ⅱ．Ⅰ点经过的路径长． 例4（2025•雁塔区四模）问题提出 （1）如图①，直线l与⊙O相切于点A，D是直线l上一点，则∠BAC　＞　 ∠BDC；（填“＞”“＜”或“＝”） 问题探究 （2）如图②．正方形ABCD的边长为4，P是CD上一点，E是AB的中点，连接AP，EP，当∠APE最大时，求tan∠APE； 问题解决 （3）如图③，△ABC为某生态畜牧养殖区的配料区，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC边上一点，CD为右侧羊群生活区的围栏，CD的中点E为羊群生活区出入口，AD，BC，AB均为围墙，现该养殖区管理人员计划在AB边确定一点F为生态养殖区的出入口，在距出入口F的距离为2.5m的P点安装全天监控的摄像头进行实时监控羊群，且FP∥BC，并在BC边修建一处饲料加工车间G，规划内部路FG，GE便于运输．已知AD＝20m，CD＝16m，BC＝27m．是否存在F，G的位置，使得摄像头的监控效果最好（即∠CPD最大），且内部路FG+GE的长度最小，若存在，请求出CG和BF的长；若不存在，请说明理由． 例5（2025•西平县三模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，P是BC边上一点，过A，C，P三点的圆与AB交于点E，过点C作CH⊥AB交AB于点H，交该圆于点F，连接PF交AB于点Q． （1）求证：． （2）如图2，若AC＝PC，求证：AE＝FC． （3）若AC＝6，BC＝8，求EQ的最大值． 1．如图，⊙O的直径AB为8，P是AB上一动点，半径OC垂直于AB，AH⊥CP，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（　　） A．2π B． C．4π D． 2．如图，P是边长为1的正方形ABCD内的一个动点，且满足∠PBC+∠PDC＝45°，则CP的最小值是（　　） A． B． C． D． 3．（2025•坪山区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝BC，点E在线段CD上且满足CE＝4ED，AE与BD交于点F，若∠EAC＝∠DBC，则tan∠DBC＝　 　 ． 4．（2025•内乡县一模）如图，以C为公共顶点的Rt△ABC和Rt△CED中，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°，且点D在线段AB上，则∠ABE＝　 　 ，若AC＝10，CD＝9，则BE＝　 　 ． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为 　 　 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1﹣m，0），B（1+m，0），D（1，0），点C在以E（5，3）为圆心，1为半径的⊙E上运动，且始终满足∠ACB＝90°，则m的取值范围是　 　 ． 7．（2024•河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD＝1，则AE的最大值为 　 　，最小值为 　　 　． 8．如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是　 　 ． 9．（2025•龙凤区二模）如图，在△ABC中，，tan∠C＝2，则的最大值为　 　 ． 10．（2025•碧江区 校级模拟）如图，等边△ABC中，AB＝6，点D、点E分别在BC和AC上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，则CF的最小值为 　 　． 11．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝15°，BDAB，则∠BDC＝　 　 ． 12．如图，在边长为的等边三角形ABC中，点D是三角形内的一点，连接DA、DB、DC，且满足∠ACD＝∠BAD，点E为△BCD内部的一个动点，连接BE、CE、DE，则BE+CE+DE的最小值是 　　 　． 13．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为　 　 ． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点E是AC的中点，点F是斜边AB上任意一点，连接EF，将△AEF沿EF对折得到△DEF，连接DB，则△BDF周长的最小值是 　 　 ． 15．（2025秋•梁溪区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝1，点D为AB上的一个动点，以AD为直径作⊙O，交AC于点E，连接BE交⊙O于点F，M为AB中点，连接MF，则MF的最小值为　 　． 16．如图，在以A、B、C、D四点构成的四边形中，∠ABC＝90°，AB＝DB＝CB＝4．若P在线段AD上，且始终满足PD＝2PA，连接PC，则PC的最小值为 　 　 ． 17．半圆O与平面直角坐标系交于点A（﹣2，0），B（8，0），点C在上运动（不与A，B重合），连接AC、BC，∠CAB与∠CBA的平分线交于点D，则C从A点运动到B点的过程中，点D的运动路径长为　　 　 ． 18．（2025秋•槐荫区期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，以AD的中点O为圆心，1为半径作半圆交边AD于E、F，动点P在半圆上，若∠BPQ＝90°且BP＝2PQ，则当CQ最小时，△BCQ的面积为 　　 　． 19．（2025秋•邗江区期中）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，3），N（0，1），以A为圆心3为半径作圆，点M是⊙A上一动点，以MN为斜边作Rt△MBN，且，则OB的最小值为　 　 ． 20．（2025•泰州模拟）【初步感知】如图1，正方形ABCD中以CD为直径作圆，E在射线BC上，连接DE，AE，DE交圆于G点，连接AG． （1）求证：△ADG∽△EDA（提示：若证明有困难，可以先证明DG×DE＝DC2）； （2）求的最小值；（提示：关注第（1）问的相似） 【灵活运用】（3）如图2，在圆中内嵌正六边形ABCDEF，半径为1，其中G为弧ACD上任意一点，连接AG，FG，P在FG上且FP×FG＝1．连接BP，作BP⊥PQ交线段DF于Q点．当Q点存在时，试问AQ是否有最大值？如果有，请求出AQ最大时FQ的长．如果没有，请说明理由． 21．（2025秋•淮安期中）折纸起源于大约公元1世纪的中国，与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．某些折纸活动蕴含着丰富的数学内容．李老师在数学实验课上提出了这样的问题：如何在一张半径为10cm的圆形纸片上折出一个等边三角形呢？ 【初步尝试】 轩轩思考后，他先将圆形纸片对折一次得到直径AD，再将点A与点D重合对折一次得到直径EF，两条直径交于点O，将点D与点O重合再次对折得到折痕BC，依次连接AB，BC，AC，得到等边三角形ABC，如图1所示．（虚线为折痕） （1）下面是部分证明过程，请你补充完整： 证明：连接BO、OC，由翻折可得，OG＝GDOD， 又∵OB＝OD， ∴，即cos∠BOG， ∴∠BOG＝　 　 °， 同理∠COG＝60°， ∴∠BOC＝120°，由∠BOG＝∠COG＝60°得∠AOB＝∠AOC＝120°，（依据是　 　 ） ∴AB＝AC＝BC，故△ABC是等边三角形． （2）如图2，若折痕EF与AB、AC的交点为P、Q，则PQ＝　 　 ． 【深入探究】 （3）如图3，将圆片沿着BC折叠，使与直径EF相交于点M和点N，且FM＝MN＝NE，则折痕BC的长为　 　 cm； （4）如图4，将圆片沿着BE折叠，当∠FEB＝15°时，图中阴影部分的面积为　 　 cm2； 【思维进阶】 （5）如图5，点B是半圆O上的一个动点，将圆片沿着BE折叠，与直径EF交于点M，点P是的中点，则OP的最小值是　 　 cm． 22．（2025•海淀区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，对于点A和⊙O的弦BC，给出如下定义：若∠BAC＝90°，则称弦BC是点A的关联弦． （1）如图1，已知点A（0，1），，B2（0，﹣2），，B3（2，0），在⊙O上，在弦B1C1，B2C2，B3C3中，点A的关联弦是　 　 ； （2）如图2，已知点B2（0，﹣2），在⊙O上，弦B2C2是点A的关联弦，直接写出OA长度的取值范围　 　　 　　 　　 　 ； （3）直线分别与x轴和y轴交于点M，N，对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦BC，使得弦BC是点S的关联弦；对于点S，将其对应的关联弦BC的长度的最大值记为d，当点S在线段MN上运动时，直接写出d的取值范围　 　　 　　 　 ． 23．【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图，点A是⊙O外一点，点P在⊙O上，⊙O的半径为1，连结AP并延长至点Q，使得AP＝PQ，当点P在⊙O上运动一周时，试探究点Q的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用中位线的知识解决问题：如图①，连结AO并延长至点B，使得AO＝OB，连结OP、BQ，由中位线的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：连结AO并延长至点B，使得AO＝OB，连结OP、BQ． 10当点P在直线OA外时， 20当点P在直线OA上时， 易知BQ＝2OP＝2． 综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、2为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】在上述问题的条件下，记点M是线段PQ的中点，如图②．若点P在⊙O上运动一周，则点M的运动路径长为 　 　 ． 【拓展提升】如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．点P是平面内一点，DP＝2，连结AP并延长至点Q，使得，连结BQ、CQ，则△BCQ面积的最大值是 　 　 ． 24．（1）如图1，△ABC内接于⊙O，点D在上，∠CDB＝120°．若⊙O的半径为4，求点A到BC距离的最大值． （2）如图2所示，现计划建一个四边形空地ABCD，按规划要求：AB＝600m，∠ABC＝90°，∠BAD＝45°，且AD+BC＝AB，AC和BD是两条小路，记AC和BD的交点为E．现要使点A、B、E围成的三角形面积最大，求此时小路BD的长． 25．（2025•永寿县校级模拟）（1）如图1，已知在等边三角形ABC中，边长为8，D为BC上一点，且BD：CD＝5：3，则S△ADC＝　 　 ． （2）如图2，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝30°，AD⊥BC，AD＝4，求△ABC面积的最小值． （3）如图3，有一块四边形草地ABCD，AB＝150m，AD＝100m．已知∠B＝45°，∠BAD＝120°，∠D＝135°．在BC，CD上有E，F两点，且∠EAF＝60°，区里决定在△AEF区域内安排夜市集，但为了保证其他居民的休闲娱乐，所以要使夜市集的面积尽可能地小，△AEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 26．圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形． （1）已知：如图1，OA＝OB＝OC，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若∠AOB＝70°，则∠ACB＝　 　． 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝2． （2）已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和∠BEA的大小． （3）如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足∠BQA＝45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，若不存在，说明理由． 27．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于C点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接BC，D是线段BC上一点，BD＝3DC，作射线OD交抛物线于点E，H是抛物线上一点，连接OH，若OE平分∠COH，求H点的坐标； （3）在（2）的条件下，如图2，过点E作EF垂直于x轴于点F，在直线EF上存在点M，使得∠DMB＝45°，请直接写出点M的坐标． 28．（2025•鲁山县三模）如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD． （1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为 　 　 °，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为　 　 ； （2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由； （3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长． 29．（2025秋•碑林区校级期中）问题提出： （1）如图①，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D为边AC上任意一点，连接BD．若△ABD与△BCD面积相等，则线段BD＝　 　 ． 问题探究： （2）如图②，∠BAC＝90°，点M和N分别是射线AC和AB上的动点，且MN＝10．点P在∠BAC内，△PMN为等边三角形．连接AP．求线段AP的最大值． 问题解决： （3）如图③，矩形ABCD为一块试验田示意图，AB＝160m，BC＝120m．点E是边BC的中点，点F在边AB上，点G在矩形ABCD内，且∠GEF＝90°，△GEF的面积为2400m2．现计划修两条小路DG和AG（小路的宽度不计），预计在△GEF和△ADG中分别种植甲，乙两种经济作物．请问小路DG是否存在最小值？若存在，请求出DG的最小值，并求出此时△ADG的面积；若不存在，请说明理由． 30．（2025•碑林区校级模拟）（1）如图（1），平行四边形ABCD，连接AC、BD，则图中与△ABC面积相等的三角形有　　 　　 　 ； （2）如图（2），AB＝6，∠ACB＝30°，则△ACB的面积最大值是　　 　 ； （3）如图（3），市政部门计划在幸福林带修建一个四边形区域的大型游乐场，要求设计院按如下标准设计：AB段长度为600米，且满足CB＝CD，∠ADB＝∠DBC＝60°要求四边形的面积尽可能的大，并计划在AB上M处和C处设计两个门，沿CM建一个观光游览路线，并要求观光游览路线CM两侧的面积相等，问设计院能否按市政部门的要求设计出来？若能，求出CM的长或△MBC的面积；若不能，请说明理由． 31．（2025•咸阳模拟）【问题提出】 （1）如图1，在△ABC中，BC＝2AB，点D是BC边上一点，且AB＝2BD，连接AD，若AD＝3，则AC的长为　 　 ； 【问题探究】 （2）如图2，点E是菱形ABCD内一动点，AB＝4，∠B＝60°，连接AE、CE、DE，若∠CED＝90°，求线段AE的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，某游乐园有一块矩形空地ABCD，现要将其进行规划，沿对角线AC修建一条长廊，将△ABC区域修建成水上乐园，在△ACD区域内修建公共卫生间E和凉亭F（大小均忽略不计），再分别沿DE、CF，DF铺设三条小路，并沿AE铺设地下水管，为节省铺设地下水管的成本，要求水管的长度AE尽可能的小．已知AB＝60m，CF＝2DE，∠BAC＝2∠ACB，∠ADE＝∠ACF＝∠CDF．求水管长度AE的最小值． 32．（2025•淮阴区模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、AB的中点，G是边AD上一动点（不与点A、D重合）．线段BE关于BG对称的线段为BH，连接HF并延长交BG于点I，连接IE． （1）求∠BIH的度数； （2）若，连接EH，求线段EH的取值范围； （3）在第（2）问的条件下，连接AI、CI，M、N分别是CI、CD的中点，求3AI+2MN的最小值． 33．（2025•成都模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC的中点，过点A作BD的垂线，与BD延长线交于点E． （1）如图，若DE＝1，求AB的长； （2）点F在线段DC上，连接BF，将射线BF绕点B逆时针旋转30°，与射线AE交于点G． ①探究线段AB，AF，AG之间的数量关系，请写出结论并说明理由； ②若BC＝2，M，N为AB，BD的中点，延长GM，FN交于点H，求△MNH面积最大值． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 几何最值之隐形圆、四点共圆模型 隐形圆的应用是中考中的常见题目，这类题目在条件中没有直接给出有关圆的信息，但我们通过分析和转化，最终都可以利用圆的知识求解，这类题目构思巧妙，综合性强，它将复杂的多边形问题转化为圆内问题，体现了转化和化归的数学思想，处理这类题目，关键在于能否把隐形圆找出来. 2 模型趣事 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 15 ‌ 隐形圆模型指的是题目给出的图形中没有画出圆，但动点轨迹满足圆的定义，或角度关系暗含四点共圆。通过构造辅助圆，将复杂的线段最值、动点轨迹问题转化为圆的基本性质问题（如圆外一点到圆上点的最值）。 模型常见类型对应的古老数学原理说明定点定长型欧几里得《几何原本》圆的定义到定点距离等于定长的点的集合，这是所有隐圆模型的逻辑起点。定弦定角型圆周角定理同弧所对的圆周角相等；定弦对定角轨迹是圆（含直径对直角）。 隐形圆模型可以把复杂的线段最值、角度问题，转化成圆的基本性质来解，可以大幅减少辅助线和计算量。 1．（2025•常熟市模拟）如图△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，，D为平面内一点，且∠BDA＝∠C，过点B作BE⊥BD，与DA的延长线相交于点E，则△BDE面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据定弦定角模型求出点D的轨迹，再由题意得出△EBD∽△ABC，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，结合BD最大值为AC的长度即可求出S△EBD的最大值． 【解答】解：根据题意点D的运动轨迹在以AC中点O为圆心AC为直径的⊙O的优弧上． ∵∠BDA＝∠C，∠EBD＝∠ABC＝90°， ∴△EBD∽△ABC， ∴． ∵S△ABCAB•BC，BD的最大值为⊙O的直径AC的长度，AC3， ∴S△EBD的最大值为S＝（）2． 故选：B． 2．（2025•梁溪区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知A（5，5），B（8，0），点P在以A为圆心，2为半径的圆上，P关于B的对称点为Q．连接OP，将OP绕点O逆时针旋转90°得到OR．连接RQ．则RQ的最小值是（　　） A．14 B．15 C． D． 【分析】根据题意，轴对称，旋转的性质得到点A关于点B的对称点A1的横坐标为2×8﹣5＝11，纵坐标为0×2﹣5＝﹣5，即A1（11，﹣5），点Q在以点A1为圆心，2为半径的圆上，点R在以点A2为圆心，2为半径的圆上，由此得到RQ的最小值是A1A2的值减去QN的最大值，数形结合分析即可求解． 【解答】解：∵点A（5，5），B（8，0）， ∴点A关于点B的对称点A1的横坐标为2×8﹣5＝11，纵坐标为0×2﹣5＝﹣5， 即A1（11，﹣5）， ∵点P在以A为圆心，2为半径的圆上，P关于B的对称点为Q， ∴点Q在以点A1为圆心，2为半径的圆上， 如图所示，连接OA， ∵A（5，5）， ∴点A到x轴的距离为5，到y轴的距离为5， ∴∠AOB＝45°， 将OA绕点O逆时针旋转90°度得OA2，则∠AOA2＝90°， ∴OA2与x轴的负半轴的夹角为45°， ∴A2（﹣5，5）， ∴点R在以点A2为圆心，2为半径的圆上， ∴当点P在⊙A上顺时针运动时，根据轴对称的性质得到点Q在⊙A1上逆时针运动，点R在⊙A2上顺时针运动， 连接A1A2， ∴， ∵点Q，R的运动方向不同， ∴线段RQ与线段A1A2的关系是：相交与平行，如图所示， ∴如图3所述，当RQ∥A1A2时，延长RQ交⊙A1于点N，过点A1作A1M⊥RQ于点M， 当RN∥A1A2，时，RQ＝A1A2﹣QN， ∴QN最大时，RQ的值最小， ∴当QA1⊥NA1时，QN的值在四边形A1NRA2是平行四边形时最大， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2024•泰安）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（　　） A．2 B． C． D．4 【分析】法一：由动点可识别瓜豆模型，构造△AEQ∽△GEF，进而再证△AEG∽△QEF，所以可知AGQF，进而求出QF最小值即可． 法二：E作EM⊥BC，则点E、M、F、G四点共圆，从而得到AP＝MH，因为AG≥AP，所以求出MH的值即可得解． 【解答】解：法一：如图，过E作EQ∥BC，过A作AB的垂线交EQ于点Q， 则∠B＝∠AEQ＝60°， ∴∠AQE＝∠EFG＝30°， ∵∠GEF＝∠EAQ＝90°， ∴△AEQ∽△GEF， ∴， ∴， ∵∠AEG＝∠QEF＝60°+∠QEG， ∴△AEG∽△QEF， ∴sin30°， ∴AGQF， 过E作EH⊥BC于点H，则EH＝BE•sin60°＝4， ∵点F是BC上的一点， ∴QF⊥BC时最小，此时QF＝EH＝4， ∴AG最小值为2； 法二：如图，过E作EM⊥BC于点M，作MH⊥AB于点H，作AP⊥GM于点P， ∵∠EMF+∠EGF＝180°，∴点E、M、F、G四点共圆， ∴∠EMG＝∠EFG＝30°， ∵∠B＝60°， ∴∠BEM＝30°＝∠EMG， ∴MG∥AB， ∴四边形MHAP是矩形， ∴MH＝AP， ∵BE＝8， ∴EM＝BE•cos30°＝4， ∴MHEM＝2AP， ∴AG≥AP＝2， ∴AG最小值是2． 故选：C． 4．（2025•长春开学）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，OA是⊙O的半径，OA＝4．点P在⊙O上，将点P沿OA的方向平移到点Q，使PQ＝2，点B为OA的中点．当点P在⊙O上运动一周时，试探究点Q的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题：如图②，连结OP、BQ，由平行四边形的判定及性质推出点Q的运动路径是以点B为圆心、4为半径的圆，下面是部分证明过程： 证明：连结OP、BQ． 1°．当点P在直线OA外时， 证明过程缺失 2°．当点P在直线OA上时， 易知BQ＝OP＝4． 所以，点Q的运动路径是以点B为圆心、4为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】在上述问题的条件下，连结PB，记点M是线段BP的中点，如图②，若点P在⊙O上运动一周，则点M的运动路径长为 　　 ． 【拓展提升】如图③，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，点D在线段AB上，AD＝1，点P是平面内一点，AP＝2，点M是线段PD上的任意一点，连结CM，则线段CM长度的最大值为 　　 ． 【分析】【问题解决】利用平行四边形的判定与性质和圆的有关性质解答即可； 【结论应用】利用【问题解决】的结论得到点M的轨迹，再利用圆的周长公式解答即可； 【拓展提升】利用已有的结论得到点M的轨迹，再利用三边关系求最值． 【解答】【问题解决】证明：在线段OA上截取OB＝PQ，连结OP、BQ，如图②， 1°．当点P在直线OA外时， ∵PQ∥OA，PQ＝OB， ∴四边形POBQ为平行四边形， ∴QB＝OP＝4， ∴点Q的运动路径是以点B为圆心、4为半径的圆． 2°．当点P在直线OA上时， 易知：BQ＝OP＝4． ∴点Q在以点B为圆心、3为半径的圆上． 综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、4为半径的圆． 【结论应用】解：∵点M是线段PB的中点， 取OB的中点N，连接MN，则MN为△BOP的中位线， 则MNOP＝2， 故点M在以点N为圆心，MN长度为半径的圆上， 若点P在⊙O上运动一周，则点M的运动路径长为2π×2＝4π． 故答案为：4π； 【拓展提升】解：如图③中，连接AC，AM． ∵AB＝4，BC＝3，∠B＝90°， ∴AC4． 由题意M的轨迹是以点D为位似中心放大的一系列圆，CM取最大值时，点M应与点P重合，此时M所在轨迹圆最大，圆心是点A， 当点P在CA的延长线上时，CM的值最大，最大值＝2+5＝7． 故答案为：7． 5．（2025•江北区校级二模）在△ABC中，∠BAC＝120°，点D为CA延长线上一点，连接BD，使BD＝DC，点E在线段BC各上，连接DE交AB于点F． （1）如图1，若∠DEB＝60°，∠ACB＝α，求∠DFB的度数（用含α的代数式表示）； （2）如图2，点G在BC的下方，连接BG，CG．若∠DEB＝60°，CG＝CD，AB∥CG．求证：； （3）如图3，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转60°得到AQ，连接BQ、CQ、EQ．若，BE＝2CE，当BQ取最小值时，直接写出△CEQ的面积． 【分析】（1）根据三角形外角的性质得到∠ABC＝60°﹣∠ACB，再由∠DFB＝∠ABC+∠DEB求出结论． （2）先证明四边形BFCG为平行四边形得到BG＝FC．然后等腰三角形“三线合一”的性质得出BH＝HC，只须证明HCBG．在Rt△DHE中求出HEDE，再通过倒角法证明FE＝EC，进而由等腰三角形的性质求出ECBG．从而证得结论． （3）通过延长AE至F，使EF＝2AE，构造△ACE∽△FBE，然后推出∠ABF＝60°，再由定弦定角模型得出点B的轨迹，然后根据圆的性质得出B、Q、O三点共线时BQ取最小值，接着求出B′Q和GQ的长度，由S△C′EQS△B′EQ求出答案． 【解答】解：（1）∵∠DAB＝∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝60°﹣∠ACB＝60°﹣α， ∵∠DFB＝∠ABC+∠DEB，∠DEB＝60°， ∴∠DFB＝120°﹣α． （2）证明：如图，过点D作BC的垂线，H为垂足，连接DG，CF，过点E作FC的垂线，I为垂足． 由（1）知∠DFB＝120°﹣∠ACB． ∵BD＝CD，则∠DBC＝∠ACB， ∴∠BDF＝180°﹣∠DBC﹣∠DEB＝120°﹣∠DBC＝∠DFB， ∴BD＝BF＝CD， ∵AB∥CG，∠BAC＝120°， ∴∠DCG＝180°﹣∠BAC＝60°， 又∵CD＝CG， ∴BF＝CG，△CDG为等边三角形． ∵AB∥CG， ∴四边形BFCG为平行四边形． ∴BG＝CF， ∵∠BDG＝∠BDC﹣∠CDG＝180°﹣2∠ACB﹣60°＝120°﹣2∠ACB， ∴在等腰△BGD中，∠BGD＝（180°﹣∠BDG）÷2＝30°+∠ACB， ∴∠BGC＝∠BGD+∠DGC＝90°+∠ACB． ∵∠BGC+∠GCF＝180°，∠BCG＝∠DCG﹣∠ACB＝60°﹣∠ACB， ∴∠BCF＝180°﹣∠BGC﹣∠BCG＝30°． 在△CEF中，∠CFE＝∠DEB﹣∠ECF＝30°，则△CEF是等腰三角形． ∴FI＝CI，EC＝IC÷cos30°FCBG． ∵HE＝DE•cos60°， ∴HC＝HE+ECBG． 根据等腰三角形的性质，DH是又是△BCD的中线， ∴BC＝2HC＝DEBG． （3）如图，延长AE至F，使EF＝2AE，则AF＝3AE＝6． 根据以及∠AEC＝∠FEB，可得△ACE∽△FBE， ∴∠CAE＝∠BFE， ∴AC∥BF， ∴∠ABF＝180°﹣∠BAC＝60°， 根据定弦定角模型可知点B在以O为圆心，OA为半径的圆弧上． 作OH⊥AF，H为垂足，作QG⊥AF，G为垂足．延长OQ交⊙O于点B′， 点C对应的点为C′，． ∵BQ+OQ≥OB， ∴BQ≥OB﹣OQ，即点B和B′重合时，BQ取最小值． 由垂径定理得AH3． 根据圆周角定理得出∠AOF＝120°，OH平分∠AOF， 则OA＝AH÷sin60°＝2，OHOA． ∵GQ＝AQ•sin60°＝AE•sin60°， ∴OH＝GQ， 又∵OH⊥AF，GQ⊥AF， ∴四边形OHGQ是矩形， ∴OQ＝GH＝AH﹣AG＝32，QB′＝OB′﹣OQ＝22． ∴S△C′EQS△B′EQQB′•GQ＝3． 1）定点定长作圆： 平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定， 则点B的轨迹在以点A为圆心，AB长为半径的圆上(如图①). 依据的是圆的定义：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合. 推广：如图②，点E为定点，点F为线段BD上的动点(不含点B)，将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，则点B′的运动轨迹为以点E为圆心，以线段BE为半径的一段圆弧. 2）直角对直径 90°的圆周角所对的弦是直径(定弦对定角的特殊形式).如图②，△ABC中，∠C＝90°，点C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的⊙O(不包含A、B两点). 3）定弦对定角（非直角） 固定的线段只要对应固定的角度(可以不是90°)，那么这个角的顶点轨迹为圆的一部分. 4）四点共圆 如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB的中点O，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：OC＝OD＝OA＝OB，∴A、B、C、D四点共圆.即共斜边的两个直角三角形，直角顶点在斜边同侧或异侧，都可得到四点共圆.得到四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，这是证明角度相等重要的途径之一. 圆内接四边形对角互补，因此遇到四边形ABCD中的动点问题，若满足其中一组对角角度之和等于180°，可考虑作它的外接圆解题.如图③，在四边形ABCD中，满足∠ABC＋∠ADC＝180°，可知四边形ABCD有外接圆⊙O，其圆心O为任意一组邻边的垂直平分线的交点(点O为AB和BC垂直平分线的交点). 5）点圆最值 平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值.具体分以下三种情况讨论(规定：OD＝d，⊙O半径为r)： 当D点在⊙O外时，d>r，如图①、②：当D、 E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为d＋r，DE的最小值为d－r； 当D点在⊙O上时，d＝r，如图③、④：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值， DE的最大值为d＋r＝2r(即为⊙O的直径)，DE的最小值为d－r＝0(点D、E重合)； 若D点在⊙O内时，d<r，如图⑤、⑥：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为d＋r，DE的最小值为r－d. 6）线圆最值 如图，AB为⊙O的一条定弦，点C为圆上一动点. (1)如图①，若点C在优弧AB上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC的面积最大. (2)如图②，若点C在劣弧AB上，当CH⊥AB且CH的延长线过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC的面积最大. 例1如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为 　 　 ． 【分析】分析题意可知，点M是在以AM为半径，点A为圆心的圆上运动，连接AN，AM，以AM为半径，点A为圆心作圆，反向延长AN与圆交于点M′，以此得到M、A、N三点共线时，MN的值最大，再根据勾股定理分别算出AM、AN的值，则MN的最大值M′N＝AN+AM′＝AN+AM． 【解答】解：连接AN，AM，以AM为半径，点A为圆心作圆，反向延长AN与圆交于点M′，如图， ∵△ADE绕点A旋转， ∴点M是在以AM为半径，点A为圆心的圆上运动， ∵AM+AN≥MN， ∴当点M旋转到M′，即M、A、N三点共线时，MN的值最大，最大为M′N， ∵△ABC和△ADE都是等边三角形， 点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4， ∴AN⊥BC，AM⊥DE，BN＝3，DM＝2， 在Rt△ABN中，由勾股定理得， 在Rt△ADM中，由勾股定理得， 根据旋转的性质得，AM′＝AM， ∴M′N＝AN+AM′，即MN的最大值为． 故答案为：． 例2如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，M，N分别是AB边和BC的中点，若线段MN绕点M逆时针旋转得到线段MN′，连接BN′，如图2所示． （1）当线段MN绕点M逆时针旋转90°时，线段BN′的长＝　 　 cm； （2）如图3，连接DN′，则DN′长度的最小值是 　 　 cm． 【分析】（1）如图1，过点N′作N′E⊥AB交BA的延长线于点E，则∠E＝90°，结合旋转性质可证得△EN′M≌△BMN（AAS），即可运用勾股定理求得答案； （2）根据题意可得点N′始终在⊙M上，当点N′与点P重合时，DN′＝DP＝DM﹣MP为最小值．利用勾股定理可求得DM，进而可得出答案． 【解答】解：（1）如图1，过点N′作N′E⊥AB交BA的延长线于点E， 则∠E＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵M，N分别是AB边和BC的中点， ∴BMAB＝3cm，BNBC＝4cm， 在Rt△BMN中，MN5， ∵线段MN绕点M逆时针旋转90°得到线段MN′， ∴MN′＝MN，∠NMN′＝90°， ∴∠BMN+∠EMN′＝90°， ∵∠BMN+∠BNM＝90°， ∴∠EMN′＝∠BNM， 在△EN′M和△BMN中， ， ∴△EN′M≌△BMN（AAS）， ∴ME＝BN＝4，EN′＝BM＝3， ∴BE＝BM+ME＝3+4＝7， 在Rt△BN′E中，BN′（cm）， 故答案为：． （2）如图2，以M为圆心，5为半径作⊙M，连接DM交⊙M于P， ∵线段MN绕点M逆时针旋转得到线段MN′， ∴点N′始终在⊙M上， 当点N′与点P重合时，DN′＝DP＝DM﹣MP为最小值． 在Rt△ADM中，DM（cm）， ∵MP＝5cm， ∴DP＝（5）cm， ∴DN′的最小值为（5）cm， 故答案为：（5）． 例3（2025•苏州二模）自主式探究学习是学习数学学科的重要能力之一． 情境一：爱思考的小苏利用Al“DeepSeek”探究一些数学模型，以下是他和DeepSeek之间的部分聊天记录： 我正在整理数学笔记，你能给我讲讲米勒圆模型的概念和例子吗？ 已思考（用时10秒） 好的，很高兴能为你讲解米勒圆模型．这是一个在几何和数学问题中非常经典的模型，尤其在处理“最大张角”问题时非常有用． 一、米勒圆模型的概念 1．核心问题（生活场景）： 假设你在一条笔直的海岸线上观察海上的两座灯塔（点A和点B），你站在海岸线的哪个位置，才能使得看这两座灯塔的视角（即∠APB）最大？ 这就是著名的“米勒问题”或“最大张角问题”． 2．数学模型与结论： 米勒圆模型给出了这个问题的几何解答： •已知条件：给定一条定直线和直线外的两个定点A、B． •问题：在直线l上找一点P，使得∠APB最大． •结论： 1．作圆：过点A、B作一个与直线相切的圆． 2．切点即为所求：这个圆与直线l的切点P，就是使得∠APB最大的点． 3．理论依据：在直线上，点P位于由A、B形成的某个“米勒圆”（或称“等角圆”）上，根据“同弧所对的圆周角相等”以及“圆外角小于圆周角”的定理，可以证明这个切点处的视角是最大的． 3．米勒圆的方程（拓展理解）： 在平面直角坐标系中，对于两个定点A（x1，y1）和B（x2，y2），到这两点张角为定值θ（例如90°）的动点P（x，y）的轨迹是一个圆，这个轨迹圆就被称为点A、B的米勒圆或等角圆． 二、经典例子与应用 我们来看一个最经典、最常考的直角米勒圆模型． 例题： 在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），点B（3，0），点P是x轴上的一个动点， （1）当∠APB＝90°时，求点P的坐标． （2）在x轴上找一点P，使得∠APB最大． 求使得∠APB最大的点P． 根据米勒圆模型的结论，我们需要找到过A、B两点且与x轴相切的圆，其切点即为所求． 1．设圆心坐标： 由于圆过A（﹣1，0）和B（3，0）两点，根据圆的对称性，圆心O必在线段AB的垂直平分线上． AB的垂直平分线为：x＝1． 设圆心O的坐标为（1，a），半径为r． 2．建立方程： 因为圆与x轴相切，所以圆心到x轴的距离等于半径，即|a|＝r． 又因为圆经过点A（﹣1，0），所以OA＝r． OA2＝（1﹣（﹣1））2+（a﹣0）2＝（2）2+a2＝4+a2 r2＝a2 因此有方程：4+a2＝a2． 这个方程无解（4＝0不成立），说明在x轴上方或下方找不到这样的圆． 情境二：如图1，在正方形ABCD中，E为线段BC上一点，作AE⊥EF交CD与F点，细心的小苏发现F的轨迹并不是一直朝一个方向运动；他随后根据∠AEF，∠ABE，∠ECF的相等关系展开了研究． 请根据以上情境，完成下列问题清单： （1）接着情境二的图1，若AB＝4，试求CF的最大值； （2）接着情境一，如图2，在正方形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，DE，当∠AED取得最大值时，直接写出tan∠AED的值． （3）数学的模型往往服务于生活之中．如图三是一个摄影棚，在四边形ABCE中，AB⊥BC，AB∥CE，且AB＝3，BC＝4，CE＝5．CF是支架，CF⊥AE．G是在轨道BC上的移动点，点光源H在线段AG的中间，且射出的光与AG垂直，打在支架CF的I点处．随着G点的运动，试求解或证明： Ⅰ．Ⅰ点是三角形AGE的外心． Ⅱ．Ⅰ点经过的路径长． 【分析】（1）根据题意先判定求DF的最小值，即∠AFD取最大值，然后由米勒圆模型求出OA长度即可根据中位线性质通过OG求出DF的最小值． （2）根据米勒圆模型求出米勒圆半径和正方形边长的数量关系，然后通过tan∠AED＝tan∠AHD求出答案． （3）Ⅰ．由垂直平分线的性质得出AI＝GI＝EI即可判定点I为△AGE的外心； Ⅱ先判定点I的运动轨迹为KO+KN，然后通过米勒圆模型求出∠AGE最大时米勒圆的半径大小，然后由平行线分线段成比例求出KO的大小．再根据△NCQ∽△ACF求出CN和ON的长度，即可得到点I的经过的路径长． 【解答】解：（1）由于CF＝CD﹣DF，故求出DF的最小值即可得出CF的最大值． ∵tan∠AFD， ∴当∠AFD取最大值时，DF取最小值，CF取最大值． 如图，连接DE，由∠AEF+∠ADF＝180°，可知ADFE四点共圆，则∠AED＝∠AFD． 根据米勒圆模型，当△ADE的外接圆与BC相切时，即OG⊥BC，∠AED取最大值． 由垂径定理可知AG＝DG2． 此时OG＝AB﹣AO＝4﹣OA， 由勾股定理建立方程：OG2+AG2＝OA2，解得OA． ∴OG． ∵OG是△ADF的中位线， ∴DF＝3． ∴CF＝CD﹣DF＝1． 故CF的最大值为1． （2）如图，过A、D两点的⊙O与BC相切，连接AO，EO， EO的延长线交AD于点F，AO的延长线交CD于点H． 设正方形ABCD边长为2a，⊙O半径为R． ∴AF＝a，AO＝R，FO＝EF﹣OE＝2a﹣R． 同理（1），在Rt△AFO中，AO2＝AF2+FO2，即R2＝a2+（2a﹣R）2，解得Ra． ∴FOa． 易知FO为△ADH的中位线，则DHa， ∴tan∠AED＝tan∠AHD． （3）Ⅰ，证明：如图，连接AC． 在Rt△ABC中，AC5． ∴AC＝CE， ∴CF是AE的垂直平分线， 又∵HI为AG的垂直平分线， ∴AI＝GI＝EI， ∴点I为△AGE的外心． Ⅱ．如图，连接AC，过点P作PK∥BC交CF于点K，AC交PK于点Q，根据题意易知四边形ABCD为矩形． 根据题意当点G在BC上运动时，点H在PQ上运动，当H运动到点Q时，N为其在CF上的投射点． 从图中可以看出，在点G从点B向点C运动时，点I在从CF上先是从点K向点F运动，然后到达点O后开始反向运动至点N． 则点O为点I向KF方向到达的最远点． ∴点I运动的路程为：KO+ON． 根据米勒圆模型，当△AGE外接圆半径OG⊥BC时，∠AGE取最大值． 由于∠AOE＝2∠AGE且∠AOF＝∠EOF，则∠AOF＝∠EOF＝∠AGE，即此时∠AOF取最大值， ∴tan∠AOF，即FO取最小值，KO取最大值． 设△AGE外接圆半径为R． 在Rt△ADE中，DE＝CE﹣CD＝CE﹣AB＝2，AD＝4，则AE2，AF＝EF． 在Rt△CEF中，FC2． ∵OG⊥BC，CE⊥BC， ∴OG∥CE， ∴∠COG＝∠ECF， 由于cos∠ECF，OCR， ∵FO，FO+OC＝FC， ∴R＝2， 解得R＝20﹣10． ∴OC＝105． 由PK∥BC可得，解得OK5， ∵∠CQN＝∠CFA＝90°，∠NCQ＝∠ACF， ∴△NCQ∽△ACF， ∴， ∵AC5，CQ， ∴CN． ∴ON＝OC﹣CN＝（105）5． ∴OK+ON＝（5）+（5）＝1810． 故点I经过的路径长为1810， 例4（2025•雁塔区四模）问题提出 （1）如图①，直线l与⊙O相切于点A，D是直线l上一点，则∠BAC　＞　 ∠BDC；（填“＞”“＜”或“＝”） 问题探究 （2）如图②．正方形ABCD的边长为4，P是CD上一点，E是AB的中点，连接AP，EP，当∠APE最大时，求tan∠APE； 问题解决 （3）如图③，△ABC为某生态畜牧养殖区的配料区，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC边上一点，CD为右侧羊群生活区的围栏，CD的中点E为羊群生活区出入口，AD，BC，AB均为围墙，现该养殖区管理人员计划在AB边确定一点F为生态养殖区的出入口，在距出入口F的距离为2.5m的P点安装全天监控的摄像头进行实时监控羊群，且FP∥BC，并在BC边修建一处饲料加工车间G，规划内部路FG，GE便于运输．已知AD＝20m，CD＝16m，BC＝27m．是否存在F，G的位置，使得摄像头的监控效果最好（即∠CPD最大），且内部路FG+GE的长度最小，若存在，请求出CG和BF的长；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）需要利用圆的切线性质和圆周角定理来比较角的大小； （2）当A、E、P三点共圆时，且圆O与CD边相切时，∠APE最大，圆O的圆心O在AE的线段垂直平分线上，求tan∠AOG即为所求； （3）要结合角的大小与位置关系以及线段和的最值问题来求解CG和BF的长． 【解答】（1）解：连接OA， ∵直线l与⊙O相切于点A， ∴OA⊥l，即∠OAD ＝ 90°． 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，∠BAC是圆周角，∠BOC是圆心角，且∠BAC∠BOC． 而∠BDC是圆外角，设BD交圆于点M，连接MC，则∠BDC＝∠BMC﹣∠DCM． ∵∠BAC＝∠BMC（同弧所对圆周角相等）， ∴∠BAC＞∠BDC； （2）解：当A、E、P三点共圆时，且圆O与CD边相切时，∠APE最大， 圆O的圆心O在AE的线段垂直平分线上， 设OA＝OP＝r， 在Rt△AOG中，AO＝r，GO＝4﹣r，AG＝1， ∴r2＝1+（4﹣r）2， 解得r， ∴GO＝4﹣r， ∵∠AOG＝∠APE， ∴tan∠APE＝tan∠AOG； （3）作点E关于BC的对称点E'，连接DE'交BC于点G，此时FG+GE的长度最小（两点之间线段最短）． 当FE∥BC时，∠CPD最大． ∵FE∥BC， ∴△AFE∽△ABC， ∴， 由勾股定理得AB， ∴AB＝45m， ∵AE＝28m，AC＝36，AB＝45m， 代入得，， 解得AF＝35，FE＝21， BF＝AB﹣AF＝10m， ∵△E′CG∽△E′EF， ∴， ∴， 解得CG＝10.5m． 例5（2025•西平县三模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，P是BC边上一点，过A，C，P三点的圆与AB交于点E，过点C作CH⊥AB交AB于点H，交该圆于点F，连接PF交AB于点Q． （1）求证：． （2）如图2，若AC＝PC，求证：AE＝FC． （3）若AC＝6，BC＝8，求EQ的最大值． 【分析】（1）连接AP，AF，通过∠ACB＝90°，可知∠AFP＝90°，再推理出∠PFC＝∠EAF，即可得到． （2）连接AP，CE，AF，由AC＝PC，可知△ACP是等腰直角三角形，由此可推出△CEH与△AFH也都是等腰直角三角形，所以AH+EH＝FH+CH，即AE＝FC． （3）连接AP，PE，先用勾股定理求出AB的长，再得到PE与BP的数量关系，设PE＝3x，由△EPQ∽△CAP，可得到EQ是关于x的二次函数，求出该二次函数的最大值即为EQ的最大值． 【解答】（1）证明：如图1，连接AP，AF． ∵∠ACB＝90°，过A，C，P三点的圆过点F， ∴∠AFP＝90°， ∴∠AFC+∠PFC＝90°． ∵CH⊥AB于点H， ∴∠AHF＝90°， ∴∠AFC+∠EAF＝90°， ∴∠PFC＝∠EAF， ∴． （2）证明：如图2，连接AP，CE，AF． ∵AC＝PC，∠ACB＝90°， ∴∠CAP＝∠APC＝45°． ∵∠AFC＝∠APC＝45°，∠AHF＝90°， ∴AH＝FH． ∵∠AEC＝∠APC＝45°，∠CHE＝90°， ∴CH＝EH， ∴AH+EH＝FH+CH，即AE＝FC． （3）解：如图3，连接AP，PE． ∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°， ∴AB10． ∵∠ACB＝90°，过A，C，P三点的圆过点E， ∴∠AEP＝90°． ∵∠BEP＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B， ∴△BEP∽△BCA， ∴， ∴，即． 设PE＝3x，则BP＝5x， ∴CP＝BC﹣BP＝8﹣5x． 由（1）可知， ∴∠EPQ＝∠CAP． 又∵∠PEQ＝∠ACP＝90°， ∴△EPQ∽△CAP， ∴， ∴， ∴EQ， ∴EQ的最大值为． 1．如图，⊙O的直径AB为8，P是AB上一动点，半径OC垂直于AB，AH⊥CP，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（　　） A．2π B． C．4π D． 【分析】由直角对直径可以识别出点H是在以AC为直径的圆上运动，再根据题干数据计算即可得解． 【解答】解：∵AB＝8， ∴OA＝OC＝4， ∵OC⊥AB， ∴AC4， ∵AH⊥CP， ∴∠AHC＝90°， ∴点H是在以AC为直径的圆上运动， ∵点P从A到B， ∴点H的运动路径为半圆AC， ∴lACπd＝2， 即点H运动的路径长为2π， 故选：B． 2．如图，P是边长为1的正方形ABCD内的一个动点，且满足∠PBC+∠PDC＝45°，则CP的最小值是（　　） A． B． C． D． 【分析】在凹四边形BCDP中，证明∠BPD＝135°，得点P在正方形ABCD内，以A为圆心，AB为半径的圆弧上，进而得到当点A、P、C三点共线时，CP取得最小值，最小值为AC﹣AP，求出AC和AP的长度，即可得到结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°， 在凹四边形BCDP中， ∵∠BCD＝90°，∠PBC+∠PDC＝45°， ∴∠BPC+∠CPD＝360°﹣∠BCD﹣（∠PBC+∠PDC）＝225°， ∴∠BPD＝360°﹣（∠BPC+∠CPD）＝135°， 得点P在运动过程中，使得∠BPD＝135°， 即点P在正方形ABCD内，以A为圆心，AB为半径的圆弧上， 由图可得AP+CP≥AC， 当点A、P、C三点共线时，CP取得最小值，最小值为AC﹣AP， 在Rt△ABC中， ∵AB＝BC＝1， ∴AC， ∵AP＝AB＝1， ∴CP＝AC﹣AP． 故选：D． 3．（2025•坪山区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝BC，点E在线段CD上且满足CE＝4ED，AE与BD交于点F，若∠EAC＝∠DBC，则tan∠DBC＝　　 ． 【分析】由∠EAC＝∠DBC可知点A、B、C、F四点共圆，进而利用圆周角定理导角可得∠AFB＝∠ACB＝45°，∠BFC＝∠BAC＝90°，所以∠CFE＝∠DFE，进而利用角平分线性质定理可得，据此设参，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：∵∠EAC＝∠DBC，即∠FAC＝∠FBC， ∴点A、B、C、F四点共圆， ∴∠AFB＝∠ACB＝45°，∠BFC＝∠BAC＝90°， ∴∠DFE＝∠AFB＝45°， ∴∠CFE＝180°﹣∠BFC﹣∠DFE＝45°＝∠DFE， ∴EF平分∠DFC， ∴， 设DF＝1，则CF＝4， 设BF＝x，则BD＝BC＝x+1， 在Rt△BFC中，CF2+BF2＝BC2， 即x2+42＝（x+1）2， 解得x， ∴tan∠DBC； 故答案为：． 4．（2025•内乡县一模）如图，以C为公共顶点的Rt△ABC和Rt△CED中，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°，且点D在线段AB上，则∠ABE＝　30°　 ，若AC＝10，CD＝9，则BE＝　　 ． 【分析】根据题意可证明B、C、D、E四点共圆，可得∠DBE＝∠DCE＝30°，设BC＝x，则AB＝2x，由勾股定理得BC，设DE＝a，则CE＝2a，由勾股定理得CE，再根据∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝90°，再由勾股定理即可求得BE的值． 【解答】解：∵∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°， ∴∠DBC＝∠DEC＝60°， ∴B、C、D、E四点共圆， ∴∠DBE＝∠DCE＝30°， ∴∠ABE＝30°， 设BC＝x，则AB＝2x， 在Rt△ABC中， 由勾股定理得AB2＝AC2+BC2， ∵AC＝10， ∴（2x）2＝102+x2， 解得：x， ∴BC， 设DE＝a，则CE＝2a， 在Rt△CED中， 由勾股定理得CE2＝DE2+CD2， ∵CD＝9， ∴（2a）2＝a2+92， 解得：a， ∴DE，CE， ∵∠ABC＝60°，∠ABE＝30°， ∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝90°， 在Rt△CBE中， 由勾股定理得． 故答案为：30°，． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为 　　 ． 【分析】由折叠性质可知AC＝AC'＝3，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解． 【解答】解：∵∠C＝90°，CA＝CB＝3， ∴， 由折叠的性质可知AC＝AC'＝3， ∵BC'≥AB﹣AC'， ∴当A、C′、B三点在同一条直线时，BC'取最小值，最小值即为， 故答案为 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1﹣m，0），B（1+m，0），D（1，0），点C在以E（5，3）为圆心，1为半径的⊙E上运动，且始终满足∠ACB＝90°，则m的取值范围是　4≤m≤6　 ． 【分析】首先证明AD＝BD＝m，根据条件可知CD＝AD＝BD＝m，求出⊙D上到点E的最大距离与最小距离即可解决问题． 【解答】解：∵D（1，0），A（1﹣m，0），B（1+m，0）（m＞0），∴AD＝1﹣（1﹣m）＝m，BD＝m+1﹣1＝m， ∴AD＝BD＝m， ∵∠ACB＝90°， ∴CD＝AD＝BD＝m， 如图连接DE交⊙D于点P″，延长ED交⊙D于P′，此时EP′最大，EP″最小， ∵D（1，0），E（5，3）， ∴DE＝5， ∴EP′＝5+1＝6，EP″＝5﹣1＝4， ∴m的最大值为6，最小值为4， ∴4≤m≤6， 故答案为：4≤m≤6． 7．（2024•河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD＝1，则AE的最大值为 　2　 ，最小值为 　2　 ． 【分析】根据题意识别出点E是在以AB为直径的圆上运动，点D是在以C为圆心，以1为半径的圆上运动，所以当∠BAE最小，AE最大，∠BAE最大，AE最小，再根据已知长度计算就可以． 【解答】解：∵BE⊥AE， ∴∠BEA＝90°， ∴点E是在以AB为直径的圆上运动， ∵CD＝1，且CD是绕点C旋转， ∴点D是在以C为圆心，以1为半径的圆上运动， ∵ABAC＝3， ∴当cos∠BAE最大时，AE最大，当cos∠BAE最小时，AE最小． ①如图，当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC内部时，∠BAE最小，AE最大， ∵∠ADC＝∠CDE＝90°， ∴AD2， ∵， ∴∠CEA＝∠CBA＝45°， ∴DE＝CD＝1， 此时AE＝21，即AE的最大值为21， ②如图，当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC外部时，∠BAE最大，AE最小， 同理可得AD＝2，DE＝1， 此时AE＝21，即AE的最小值为21， 故答案为：21；21． 8．如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是 　4　 ． 【分析】线段CE为定值，点F到CE距离最大时，△CEF的面积最大，画出图形，即可求出答案． 【解答】解：∵线段CE为定值， ∴点F到CE的距离最大时，△CEF的面积有最大值． 在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，E是AB的中点， ∴AB＝2BC＝4，CE＝AEAB＝2，AC＝AB•cos30°＝2， ∴∠ECA＝∠BAC＝30°， 过点A作AG⊥CE交CE的延长线于点G， ∴AGAC， ∵点F在以A为圆心，AB长为半径的圆上， ∴AF＝AB＝4， ∴点F到CE的距离最大值为4， ∴， 故答案为：． 9．（2025•龙凤区二模）如图，在△ABC中，，tan∠C＝2，则的最大值为　10　 ． 【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图1，首先推导出；延长DC到E，使 EC＝CD＝x，连接BE，如图2，得到；由辅助圆：定弦定角模型，作△ABE的外接圆，如图3，当弦AE过圆心O，即AE是直径时，弦最大，最后由勾股定理可得AE＝10． 【解答】解：过点B作 BD⊥AC，垂足为D，如图1所示： ∵tan∠C＝2， ∴在Rt△BCD中，设DC＝x，则BD＝2x， 由勾股定理可得， ∴， 即， ∴， 延长DC到E，使 EC＝CD＝x，连接BE，如图2所示： ∴， ∵BD⊥DE，DE＝2x＝BD， ∴△BDE是等腰直角三角形，则∠E＝45°， 在△ABE中，AB＝5，∠E＝45°， 由辅助圆一定弦定角模型，作△ABE的外接圆，如图3所示： 由圆周角定理可知，点E在⊙O上运动，AE是⊙O的弦，求的最大值就是求弦AE的最大值， 根据圆的性质可知，当弦AE过圆心O，即AE是直径时，弦最大，如图4所示： ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， ∵∠E＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∵AB＝5， ∴BE＝AB＝5， 则由勾股定理可得AE10， 即的最大值为10； 故答案为：10． 10．（2025•碧江区 校级模拟）如图，等边△ABC中，AB＝6，点D、点E分别在BC和AC上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，则CF的最小值为 　2　 ． 【分析】首先证明∠AFB＝120°，推出点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2），连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小． 【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°， ∵BD＝CE， ∴△ABD≌△BCE（SAS） ∴∠BAD＝∠CBE， 又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE， ∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC， ∴∠AFE＝60°， ∴∠AFB＝120°， ∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2）， 连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝422． 故答案为2． 11．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝15°，BDAB，则∠BDC＝　45°　 ． 【分析】过点A作AM⊥BD于M．分别求出∠ADC，∠ADB，可得结论． 【解答】解：过点A作AM⊥BD于M． ∵AB＝AC＝AD， ∴∠CAD＝2∠CBD＝30°， ∴∠ADC＝∠ACD＝75°， ∵AB＝AD，AM⊥BD， ∴BM＝DM， ∵BDAB， ∴， ∴cos∠ABM， ∴∠ABM＝∠ADB＝30°， ∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝45°． 故答案为：45°． 12．如图，在边长为的等边三角形ABC中，点D是三角形内的一点，连接DA、DB、DC，且满足∠ACD＝∠BAD，点E为△BCD内部的一个动点，连接BE、CE、DE，则BE+CE+DE的最小值是 　22　 ． 【分析】将△CEB绕点C逆时针旋转60°得到△CB′E′，连接EE′，BB′，从而可得DE+CE+BE＝DE+EE′+B′E′≥B'D，所以求出B'D的最小值即可，再由题意可知点D运动轨迹是段圆弧，所以根据点圆最值求解即可． 【解答】解：将△CEB绕点C逆时针旋转60°得到△CB′E′，连接EE′，BB′， ∴△CEB≌△CEB′， ∴BE＝B′E′， ∵CEE′为等边三角形， ∴CE＝EE′， ∴DE+CE+BE＝DE+EE′+B′E′≥B'D， 当且仅当点D、E、E′、B′共线时取等， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠BAC＝60°， ∵∠ACD＝∠BAD， ∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝∠ACD+∠DAC＝60°， 在△DAC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠DCA）＝120°， ∴点D在以点AC为弦，圆心为点O，圆弧上运动， ∴B'D≥OB'﹣OD，当且仅当O、D、B'三点共线时取等， ∵∠AOC＝120°，AC＝2， ∴OA＝OC＝2， 如图，连接OB'，当 过O作OM⊥B'C于点M， ∵∠ACO＝30°，∠BCA＝∠BCB'＝60°， ∴∠OCB'＝150°， ∴∠OCM＝30°， ∴OMOC＝1，CMOC， ∴B'M＝B'C+CM＝3， 在Rt△B'OM中，B'O2， 此时B'D≥22， 即DE+CE+BE最小值为22． 故答案为：22． 13．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为 　　 ． 【分析】由∠AFC＝90°，得点F在以AC为直径的圆上运动，当点E与B重合时，此时点F与G重合，当点E与D重合时，此时点F与A重合，则点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为的长，然后根据条件求出所在圆的半径和圆心角，从而解决问题． 【解答】解：∵CF⊥AE， ∴∠AFC＝90°， ∴点F在以AC为直径的圆上运动， 以AC为直径画半圆AC，连接OA， 当点E与B重合时，此时点F与G重合， 当点E与D重合时，此时点F与A重合， ∴点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为的长， ∵点G为OD的中点， ∴OGODOA＝2， ∵OG⊥AB， ∴∠AOG＝60°，AG＝2， ∵OA＝OC， ∴∠ACG＝30°， ∴AC＝2AG＝4， ∴所在圆的半径为2，圆心角为60°， ∴的长为， 故答案为：． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点E是AC的中点，点F是斜边AB上任意一点，连接EF，将△AEF沿EF对折得到△DEF，连接DB，则△BDF周长的最小值是 　4　 ． 【分析】由翻折的性质可得，AF＝DF，C△DEF＝DF+FB+BD＝AF+FB+BD＝AB+BD，要求△BDF周长的最小值，即求BD的最小值，以点E为圆心，AE为半径作圆，连接BE，交⊙E于点D′，此时BD的长度最短，过E作EM⊥AB于点M，则EM，根据勾股定理求出AM，进而求出BM，再由勾股定理可求出BE，以此求出BD′，最后算出△BDF的周长即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2， ∴AB＝4， ∴AC， 如图，以点E为圆心，AE为半径作圆，连接BE，交⊙E于点D′， 此时BD的长度最小， ∵将△AEF沿EF对折得到△DEF，且点E是AC的中点， ∴AF＝D′F，AE＝A′E， ∵C△BD′F＝D′F+FB+BD′＝AF+FB+BD′＝AB+BD′， ∴此时△BDF的周长最小， 过E作EM⊥AB于点M， ∴EM， 由勾股定理可得AM， ∴BM＝AB﹣AM， 由勾股定理可得BE， ∴BD′＝BE﹣ED′， ∴△BDF周长的最小值是4． 故答案为：4． 15．（2025秋•梁溪区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝1，点D为AB上的一个动点，以AD为直径作⊙O，交AC于点E，连接BE交⊙O于点F，M为AB中点，连接MF，则MF的最小值为　2　 ． 【分析】由D动、E动可知F是动点，而M是定点，所以先找点F的轨迹，连接DE、AF，易得∠AFE＝∠ADE＝30°，则∠AFB＝150°，根据AB定长，则点F的轨迹是以AB为弦的圆弧，再利用点圆最值求解即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝1，∠A＝60°， ∴AB＝2， 连接DE， ∵AD是直径， ∴∠AED＝90°， ∵∠A＝60°， ∴∠ADE＝30°， 连接AF，则∠AFE＝∠ADE＝30°， ∴∠AFB＝150°， ∵AB为定长， ∴点F的轨迹是以AB为弦的圆弧，如图， ∴∠AO'B＝60°，即△AO'B为等边三角形， ∴O'A＝O'B＝AB＝2， ∵M是AB中点， ∴O'M 根据点圆最值可知当O、M、F三点共线时，MFmin＝O'F﹣O'M＝2； 故答案为：2． 16．如图，在以A、B、C、D四点构成的四边形中，∠ABC＝90°，AB＝DB＝CB＝4．若P在线段AD上，且始终满足PD＝2PA，连接PC，则PC的最小值为 　　 ． 【分析】由定点+定长识别出点A、C、D在以点B为圆心，4为半径的圆上，在利用PD＝2AP构造相似三角形，点P作PF∥DE，交AE于点F，进而得到AF，∠APF＝90°，所以点P在以AF中点O为圆心，AF为直径的圆上，当点P在线段OC上时，PC的长取得最小值，求解即可． 【解答】解：∵AB＝DB＝CB＝4， ∴点A、C、D在以点B为圆心，4为半径的圆上， 如图，以点B为圆心，4为半径作⊙B，作直径AE，连接DE，过点P作PF∥DE，交AE于点F， ∵PF∥DE， ∴△APF∽△ADE， ∴， ∵PD＝2PA， ∴APAD， ∴AFAE， ∵半径AB＝4， ∴直径AE＝2AB＝8， ∴AFAE， ∵AE为直径， ∴∠ADE＝90°， ∵PF∥DE， ∴∠APF＝∠ADE＝90°， ∴点P在以AF中点O为圆心，AF为直径的圆上，如图： 连接OP，OC， 则 OP＝OAAF， 当点P在线段OC上时，PC的长取得最小值，如图： ∵OA， ∴OB＝AB﹣OA， 又∠ABC＝90°，BC＝4， ∴在 Rt△OBC 中，， ∴PC 的最小值， 故答案为：． 17．半圆O与平面直角坐标系交于点A（﹣2，0），B（8，0），点C在上运动（不与A，B重合），连接AC、BC，∠CAB与∠CBA的平分线交于点D，则C从A点运动到B点的过程中，点D的运动路径长为　　 ． 【分析】作△ADB的外接圆，记为⊙F，连接FA，FB，可求∠ADB＝135°，则点D在以点F为圆心的上运动，那么C从A点运动到B点的过程中，点D的运动路径长为以F为圆心的的长度，由圆周角定理得：∠AFB＝360°﹣2∠ADB＝90°，与FA＝FB，AB＝8﹣（﹣2）＝10，那么在Rt△AFB中，由勾股定理求得，再由弧长公式即可求解． 【解答】解：作△ADB的外接圆，记为⊙F，连接FA，FB， 由题意得，AB为直径，则∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵∠CAB与∠CBA的平分线交于点D， ∴∠DAB＝∠CAD，∠ABD＝∠CBD， ∴2∠DAB+2∠DBA＝90°， ∴∠DAB+∠DBA＝45°， ∴∠ADB＝135°， ∴点D在以点F为圆心的上运动， ∴C从A点运动到B点的过程中，点D的运动路径长为以F为圆心的的长度， 由圆周角定理得：∠AFB＝360°﹣2∠ADB＝90°， ∵FA＝FB，AB＝8﹣（﹣2）＝10， ∴在Rt△AFB中，由勾股定理求得， ∴l； 故答案为：． 18．（2025秋•槐荫区期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，以AD的中点O为圆心，1为半径作半圆交边AD于E、F，动点P在半圆上，若∠BPQ＝90°且BP＝2PQ，则当CQ最小时，△BCQ的面积为 　6　 ． 【分析】根据题意可知点P在半圆上运动，而Q是随P的位置变化而变化，所以很明显的瓜豆模型——点在圆上，其中P是主动点，Q是从动点，连接OB，过点O作OO'⊥OB交CD于点O'，证△AOB∽△DO'O，再证△BPQ∽△BOO'，最后证△OBP∽△O'BQ，得到O'Q，因此可知点Q在以O'为圆心，为半径的圆上半圆上运动，进而求解即可． 【解答】解：连接OB，过点O作OO'⊥OB交CD于点O'，则∠BOO'＝90°， ∵正方形ABCD，O是AD中点， ∴AO＝ODADAB，∠A＝∠D＝90°， ∴∠AOB＝∠OO'D＝90°﹣∠DOO'， ∴△AOB∽△DO'O， ∴， ∴O'D1， ∵∠BPQ＝90°，BP＝2PQ， ∴∠BPQ＝∠BOO'，， ∴△BPQ∽△BOO' ∴∠PBQ＝∠OBO'，， ∴∠OBP＝∠O'BQ， ∴△OBP∽△O'BQ， ∴， ∵OP＝1， ∴O'Q， ∴点Q在以O'为圆心，为半径的圆上半圆上运动， 当O'、Q、C三点共线时，CQ最小， 此时CQ＝CD﹣O'D﹣OO'＝4﹣13，且△BCQ直角三角形， ∴S△BCQ6， 故答案为：6． 19．（2025秋•邗江区期中）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，3），N（0，1），以A为圆心3为半径作圆，点M是⊙A上一动点，以MN为斜边作Rt△MBN，且，则OB的最小值为　5　 ． 【分析】由动点问题可识别瓜豆模型，在AN上方构造Rt△AHN，且，可得H（﹣3，4），再证△ANM∽△HNB，可得BH长度，进而得点B运动轨迹，从而得解． 【解答】解：如图，连接AN，在AN上方构造Rt△AHN，且， 再过H作KL⊥y轴于点K，过A作AL⊥KL于点L， 则∠L＝∠AHN＝∠HKN＝90°， ∴∠AHL＝∠HNK＝90°﹣∠NHK， ∴△ALH∽△HKN， ∴， 设AL＝x，LH＝y，则HK＝3x，KN＝3y， ∵A（﹣4，3），N（0，1）， ∴， 解得， ∴H（﹣3，4）， ∴OH＝5； 如图，连接AM、BH，则AM＝3， ∵，且∠AHN＝∠MBN＝90°， ∴△AHN∽△MBN， ∴∠ANH＝∠MNB，， ∴∠ANM＝∠HNB，， ∴△ANM∽△HNB， ∴，即， ∴BH， ∴点B在以H（﹣3，4）为圆心，为半径的圆上， ∴OBmin＝OH﹣BH＝5； 故答案为：5． 20．（2025•泰州模拟）【初步感知】如图1，正方形ABCD中以CD为直径作圆，E在射线BC上，连接DE，AE，DE交圆于G点，连接AG． （1）求证：△ADG∽△EDA（提示：若证明有困难，可以先证明DG×DE＝DC2）； （2）求的最小值；（提示：关注第（1）问的相似） 【灵活运用】（3）如图2，在圆中内嵌正六边形ABCDEF，半径为1，其中G为弧ACD上任意一点，连接AG，FG，P在FG上且FP×FG＝1．连接BP，作BP⊥PQ交线段DF于Q点．当Q点存在时，试问AQ是否有最大值？如果有，请求出AQ最大时FQ的长．如果没有，请说明理由． 【分析】（1）先证明△CDG∽△EDC得到，进而推出，然后结合∠ADG＝∠EDA即可得出结论． （2）由（1）结论可知，然后判定当AG取最大值时，取最小值，再由AN＝AM+MG≥AG得出AN是AG的最大值，最后根据AD、AG与DM的比例关系求出的最小值． （3）先判定△AFP∽△GFA得到点P的轨迹为线段AR，然后通过△ABP∽△TPQ得出，结合正六边形的性质构造RT和AP的关系式，最后由一元二次方程根的判别式求出RT的最大值，进而求出FQ的长度． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，CD为圆的直径， ∴AD＝CD，∠CGD＝∠DCE＝90°． ∵∠CDG＝∠EDC，∠CGD＝∠DCE， ∴△CDG∽△EDC， ∴，即：． 又∵∠ADG＝∠EDA， ∴△ADG∽△EDA． （2）解：从（1）结论可知． 由于AD为定值，故当AG取最大值时，取最小值． 如图，M为CD中点，即为圆心，连接AM并延长交⊙M于N． ∵AN＝AM+MN＝AM+MG≥AG， ∴AN为AG的最大值． 在Rt△ADM中，AMDM． ∴AN＝AM+MN＝（1）DM． ∴.． （3）解：如图，连接AP，PE，PE交DF于R．过点Q作AE的垂线，垂足为点T． 由FP×FG＝1＝AF2可得． 又∵∠AFP＝∠GFA， ∴△AFP∽△GFA， ∴∠FAP＝∠AGF， ∵∠FAE＝∠AGF， ∴点P在AE上． ∴当点G在从点A沿着移动至点D时，点P从点A移动到点R． 根据正六边形的性质，易知AB＝1，四边形ABDE为矩形．∠AFD＝90°，∠FDE＝∠FAE＝30°． 在Rt△AFQ中，AQ，则当FQ取最大值时，AQ最大，由于RF为定值，即RQ取最大值时，AQ取最大值． 设TQa，RT＝a，RQ＝2a， ∵RF＝RE＝DE•tan30°，AE＝DF＝2AF•cos30°， ∴TE＝RE﹣RTa，AT＝AE﹣TEa． 在△ABP和△TPQ中，∠BAP＝∠PTQ＝90°，∠APB＝90°﹣∠TPQ＝∠TQP， ∴△ABP∽△TPQ． ∴． 设AP＝b，PT＝AT﹣APa﹣b． ∴， 整理得：b2﹣（a）ba＝0． 由于存在这样的点P，即方程有解，Δ＝（a）2﹣4a≥0，即0＜a2． 当a取最大值2时，RQ＝2a4． ∴FQ＝RF+RQ＝34． 故AQ有最大值，此时FQ的长为34． 21．（2025秋•淮安期中）折纸起源于大约公元1世纪的中国，与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．某些折纸活动蕴含着丰富的数学内容．李老师在数学实验课上提出了这样的问题：如何在一张半径为10cm的圆形纸片上折出一个等边三角形呢？ 【初步尝试】 轩轩思考后，他先将圆形纸片对折一次得到直径AD，再将点A与点D重合对折一次得到直径EF，两条直径交于点O，将点D与点O重合再次对折得到折痕BC，依次连接AB，BC，AC，得到等边三角形ABC，如图1所示．（虚线为折痕） （1）下面是部分证明过程，请你补充完整： 证明：连接BO、OC，由翻折可得，OG＝GDOD， 又∵OB＝OD， ∴，即cos∠BOG， ∴∠BOG＝　60　 °， 同理∠COG＝60°， ∴∠BOC＝120°，由∠BOG＝∠COG＝60°得∠AOB＝∠AOC＝120°，（依据是　等角的补角相等　 ） ∴AB＝AC＝BC，故△ABC是等边三角形． （2）如图2，若折痕EF与AB、AC的交点为P、Q，则PQ＝　　 ． 【深入探究】 （3）如图3，将圆片沿着BC折叠，使与直径EF相交于点M和点N，且FM＝MN＝NE，则折痕BC的长为　　 cm； （4）如图4，将圆片沿着BE折叠，当∠FEB＝15°时，图中阴影部分的面积为　（）　 cm2； 【思维进阶】 （5）如图5，点B是半圆O上的一个动点，将圆片沿着BE折叠，与直径EF交于点M，点P是的中点，则OP的最小值是　（）　 cm． 【分析】（1）由三角函数值反推角度可得∠BOG＝60°，根据等角的补角相等这一依据可得答案； （2）由折叠可知∠AOP＝90°，AO＝10cm，再由三角函数可得答案； （3）作弦M'N'∥MN且M'N'＝MN，连接OM'、OB，OD交BC于点Q，交M'N'于点O'，如图3所示，根据FM＝MN＝NE，可得MNFEcm，由对称性可知OQ＝O'QOO'，O'M'cm， ∴由勾股定理可知OO'cm，OQcm，进而可得BQcm，故BC＝2BQcm； （4）设所在圆的圆心为O'，连接O'E、O'B、O'O、O'G、BO，如图4所示，由折叠可知⊙O与⊙O'的半径都为10cm，即OB＝OE＝O'B＝O'E＝10cm，从而O'O必垂直平分BE，从而可得∠BEO'＝∠FEB＝15°，∠GEO'＝∠EGO'＝30°，∠GO'E＝120°，最后根据S阴影＝S扇形GEO'﹣S△GEO'可求答案； （5）如图5所示，O'O必垂直平分⊙O和⊙O'的公共弦BE，根据OB＝OE＝O'B＝O'E，导角可得∠OEB＝∠O'EB＝∠EBO'，进而推出EF∥BO'，因为点P是的中点，连接O'P，由垂径定理的推论可得O'P⊥FE，故得∠BO'P＝90°，故△BO'P为等腰直角三角形，PBO'B， 由三边关系知，当B、O、P三点共线时OP≥PB﹣OB取等号，进而可得OP的最大值． 【解答】解：（1）由cos∠BOG可知，∠BOG＝60°， ∵∠BOG＝∠COG＝60°， ∴180°﹣∠BOG＝180°﹣∠COG， 即∠AOB＝∠AOC，此依据为等角的补角相等， 故答案为：60°，等角的补角相等． （2）由折叠可知∠AOP＝90°，AO＝10cm， 故PQ＝2PO＝2AO•tan∠PAO＝20×tan30°cm， 故答案为：cm． （3）作弦M'N'∥MN且M'N'＝MN，连接OM'、OB， OD交BC于点Q，交M'N'于点O'，如图3所示： ∵FM＝MN＝NE， ∴MNFEcm，由对称性可知OQ＝O'QOO'，O'M'cm， ∴由勾股定理可知OO'cm， ∴OQcm，进而可得BQcm， 故BC＝2BQcm， 故答案为：． （4）设所在圆的圆心为O'，连接O'E、O'B、O'O、O'G、BO，如图4所示： 由折叠可知⊙O与⊙O'的半径都为10cm，即OB＝OE＝O'B＝O'E＝10cm， 故O'O必垂直平分BE，从而可得∠BEO'＝∠FEB＝15°，∠GEO'＝∠EGO'＝30°， ∴∠GO'E＝120°，作O'H⊥GE于点H， ∵GO'＝EO'＝10cm， ∴GE＝10cm，O'H5cm． 故S阴影＝S扇形GEO'﹣S△GEO'（）cm2， 故答案为：（）． （5）如图5所示，由（4）中证明可知O'O必垂直平分⊙O和⊙O'的公共弦BE， 又∵OB＝OE＝O'B＝O'E， ∴∠OEB＝∠O'EB＝∠EBO'， ∴EF∥BO'． 又∵点P是的中点，连接O'P， ∴由垂径定理的推论可得O'P⊥FE， ∴∠BO'P＝90°， 故△BO'P为等腰直角三角形，PBO'B， 由三边关系知，当B、O、P三点共线时OP≥PB﹣OB取等号， 即OP， 故答案为：（）． 22．（2025•海淀区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，对于点A和⊙O的弦BC，给出如下定义：若∠BAC＝90°，则称弦BC是点A的关联弦． （1）如图1，已知点A（0，1），，B2（0，﹣2），，B3（2，0），在⊙O上，在弦B1C1，B2C2，B3C3中，点A的关联弦是B1C1和B2C2 ； （2）如图2，已知点B2（0，﹣2），在⊙O上，弦B2C2是点A的关联弦，直接写出OA长度的取值范围　（1）≤OA＜2或2＜OA≤（1）　 ； （3）直线分别与x轴和y轴交于点M，N，对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦BC，使得弦BC是点S的关联弦；对于点S，将其对应的关联弦BC的长度的最大值记为d，当点S在线段MN上运动时，直接写出d的取值范围　2d≤4　 ． 【分析】（1）分别计算三条弦的端点和点A的距离，然后依据勾股定理的逆定理进行判定BC是否为直角三角形的斜边即可． （2）根据定弦定角模型确定点A的轨迹是在以BC为直径的部分圆弧上，由（AE﹣OE）≤OA＜OC2，可得OA的取值范围． （3）首先根据点S的关联弦BC的定义，得出其点S的关联弦最大值是以BC为斜边且OS为直角平分线的等腰直角三角形的斜边长度，然后由点S到原点O的距离远近判定出d的最大值为直径，d的最小值为2NK．根据tan∠ONM的值确定∠ONM＝30°，即可根据特殊角三角函数求出NK的长度，最后确定d的取值范围． 【解答】解：（1）从图中可以看出AC1⊥AB1，AC2⊥AB2， ∴∠B1AC1＝∠B2AC2＝90°， ∴弦B1C1，B2C2都是点A的关联弦． 对于弦B3C3，AB3，AC3，B3C3． ∵13，B317，13≠17， ∴∠B3AC3≠90°， ∴弦B3C3不是点A的关联弦． 故答案为：B1C1和B2C2． （2）如图，连接C2O，当弦B2C2是点A的关联弦时，∠B2AC2＝90°， 故点A在以B2C2为直径的圆上，由于∠B2AC2＝90°，所以点A的轨迹不包括B2、C2两个端点． 弦B2C2的中点为E，作直线EO交⊙E于F、G两点，则OE⊥弦B2C2，△FB2C2是等腰直角三角形． 当点A在圆上运动时，（AE﹣OE）≤OA＜2或2＜OA≤（AE+OE），即OF≤OA＜2或2＜OA≤OG． 由于B2C2，sin∠OB2C2． ∴OE＝1． ∴OF＝EF﹣OEOE1，OG＝EG+OE＝OE1． 故答案为：（1）≤OA＜2或2＜OA≤（1）． （3）对于直线，令x＝0，y＝﹣2；令y＝0，x．故点M坐标为（，0），点N坐标为（0，﹣2）． ∴OM，ON＝2． 如图，直线MN与⊙O的另一个交点为L，⊙O与x轴交于于点P和点Q，点D为点S的关联弦BC的中点，连接DS． 当点S在线段MN上运动时，∠BSC＝90°，根据直角三角形的性质，BC＝2DS． 由于DS≤OS+OD，DS最大值取（OS+DS），此时D、O、S三点共线，根据垂径定理，DS⊥BC，即DS是BC的垂直平分线． ∴点S的关联弦最大值为以S顶点的等腰直角三角形的斜边BC的长度，而且点S离圆心O越近，OS越小，BC的也越小． ①当点S在点N处时，点S的关联弦BC的最大值为PQ的长度，此时BC为⊙O的直径，则d最大值为：2×2＝4； ②当点S位于点K时，此时OK⊥MN，OK为OS的最小值，B′C′为d的最小值． 此时E为B′C′的中点，四边形EKLC′和EKNB′为正方形，B′C′＝NL． 则根据垂径定理得NL＝2NK， 由于tan∠ONM，则∠ONM＝30°． ∴NL＝2NK＝2ON•cos30°＝2×22． ∴d的最小值为2． 综合①②可知d的取值范围为：2d≤4． 23．【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图，点A是⊙O外一点，点P在⊙O上，⊙O的半径为1，连结AP并延长至点Q，使得AP＝PQ，当点P在⊙O上运动一周时，试探究点Q的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用中位线的知识解决问题：如图①，连结AO并延长至点B，使得AO＝OB，连结OP、BQ，由中位线的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：连结AO并延长至点B，使得AO＝OB，连结OP、BQ． 10当点P在直线OA外时， 20当点P在直线OA上时， 易知BQ＝2OP＝2． 综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、2为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】在上述问题的条件下，记点M是线段PQ的中点，如图②．若点P在⊙O上运动一周，则点M的运动路径长为 　3π　 ． 【拓展提升】如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．点P是平面内一点，DP＝2，连结AP并延长至点Q，使得，连结BQ、CQ，则△BCQ面积的最大值是 　12　 ． 【分析】【问题解决】通过证明PO是△ABQ的中位线，可得BQ＝2OP＝2； 【结论应用】过点M作MN∥OP交AB于N点，利用平行线的性质可得，从而得到M点在以N为圆心，为半径的圆上，所以M点的轨迹长即为圆的周长； 【拓展提升】过点Q作QG∥PD交AD的延长线于点G，根据平行线的性质可得，则Q点在以G为圆心，3为半径的圆上，当QG⊥BC时，△BCQ的面积有最大值． 【解答】解：【问题解决】 证明：连结AO并延长至点B，使得AO＝OB，连结OP、BQ． ①当点P在直线OA外时， ∵AP＝PQ， ∴PO是△ABQ的中位线， ∴BQ＝2OP＝2； ②当点P在直线OA上时， 易知BQ＝2OP＝2． 综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、2为半径的圆； 【结论应用】过点M作MN∥OP交AB于N点， ∵OP∥MN， ∴， ∵PM＝MQ，AP＝PQ， ∴， ∵OP＝1， ∴MN， ∴M点在以N为圆心，为半径的圆上， ∴M点的运动路径长为2π3π， 故答案为：3π； 【拓展提升】过点Q作QG∥PD交AD的延长线于点G， ∴， ∵， ∴， ∴QG＝3， ∴Q点在以G为圆心，3为半径的圆上， 当QG⊥BC时，△BCQ的面积有最大值， ∴△BCQ面积4×6＝12， ∴△BCQ面积的最大值为12， 故答案为：12． 24．（1）如图1，△ABC内接于⊙O，点D在上，∠CDB＝120°．若⊙O的半径为4，求点A到BC距离的最大值． （2）如图2所示，现计划建一个四边形空地ABCD，按规划要求：AB＝600m，∠ABC＝90°，∠BAD＝45°，且AD+BC＝AB，AC和BD是两条小路，记AC和BD的交点为E．现要使点A、B、E围成的三角形面积最大，求此时小路BD的长． 【分析】（1）圆上一点到弦的最大距离是半径+圆心到弦的距离，所以过点O作OH′⊥BC于点H′，并反向延长，交⊙O于点A'，利用锐角三角函数求OH即可得解； （2）利用第一问的思路，△ABE的底边AB是定值，所以当AB边上的高最大时，△ABE的面积最大，先证△AFC∽△BAD得到∠AEB＝135°，从而可以做出△AEB的外接圆，△ABE高的最值问题就转化到圆上一点到弦的最值问题，计算与第一问一致，再利用勾股求出AE'，从而得到AC'的长度，再利用相似得出的比例线段求出BD即可． 【解答】解：（1）连接OB，OC，过点A作AH⊥BC于点H， 过点O作OH′⊥BC于点H′，延长H'O，交⊙O于点A'，连接OA， ∵∠CDB＝120°， ∴∠CAB＝180﹣∠CDB＝60°（圆内接四边形对角互补）， ∴∠COB＝2∠CAB＝120°， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝30° ∴在RtΔOH'C中，OH'＝OC•sin∠OCB＝4sin30°＝2， ∵AH≤OA+OH'＝OA'， ∴OH'＝4+2＝6， ∴点A到BC距离的最大值为6； （2）延长AD，BC，交于点F． ∵∠ABC＝90°，∠BAD＝45°， ∴∠F＝45°＝∠BAD ∴BF＝AB＝600， ∴． ∵ ∴ ∴ 又∵∠F＝∠BAD， ∴△AFC∽△BAD， ∴，∠FAC＝∠ABD， ∵∠BAD＝45°＝∠FAC+∠CAB， ∴∠ABD+∠CAB＝45°， ∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°， 作△AEB的外接圆⊙O，连接OA，OB（定弦对定角辅助圆模型）， 则∠AOB＝360°﹣2×135°＝90°， ∴． 过点E作EH⊥AB于点H，过点O作OH′⊥AB于点H'；并延长交⊙O于点E'；，连接OE交AB于点P， ∵EH≤EP＝OE﹣OP≤OE′﹣OH′＝E′H′， ∴EH最大时为E'H'， ∴S△ABEmaxAB•E'H'， 连接AE'、BE'，则AE'＝BE'；延长交BC于C'， ∵AH'＝BH'＝OH'AB＝300， ∴E'H'＝OE'﹣OH'＝300300， 在Rt△AE'H'中，AE'300， ∵AH'＝BH'， ∴AE'＝BE'， ∴AC'＝2AE'＝600， ∴BD600， ∴此时小路BD的长为600m． 25．（2025•永寿县校级模拟）（1）如图1，已知在等边三角形ABC中，边长为8，D为BC上一点，且BD：CD＝5：3，则S△ADC＝　6　 ． （2）如图2，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝30°，AD⊥BC，AD＝4，求△ABC面积的最小值． （3）如图3，有一块四边形草地ABCD，AB＝150m，AD＝100m．已知∠B＝45°，∠BAD＝120°，∠D＝135°．在BC，CD上有E，F两点，且∠EAF＝60°，区里决定在△AEF区域内安排夜市集，但为了保证其他居民的休闲娱乐，所以要使夜市集的面积尽可能地小，△AEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题易得CD＝3，过A作AK⊥BC于点K，则AK＝4，再利用三角形面积公式求解即可； （2）易得∠BAC＝∠BOE＝30°，进而设⊙O的半径为r，则OE，BC＝r，再根据隐圆可知OE+OA≥AD，即，据此求解即可； （3）作∠MAB＝∠FAD，交CB的延长线于点M，易证△ABM∽△ADF，所以，导角易得∠MAE＝∠EAF＝60°，即AE平分∠MAF，所以S△AEFS△AEM，进而求出△AEM面积最小值即可得解，余下思路参考（2）中解法． 【解答】解：（1）如图，过A作AK⊥BC于点K， ∴AK＝AC•sin60°＝4， ∵BD：CD＝5：3， ∴CD， ∴S△ACD6； 故答案为：； （2）如图，连接OA，OB，OC，作OE⊥BC于点E． 设⊙O的半径为r，由圆周角定理可知，∠BOC＝2∠BAC＝60°， ∴， ∴∠BAC＝∠BOE＝30°， 在Rt△BOE中，r，， ∴BC＝r， ∵AD⊥BC， ∴OE+OA≥AD，即， ∴， ∴BC， ∴SBCmin•AD（2）×4＝32﹣16； （3）△AEF的面积存在最小值． 如图，作∠MAB＝∠FAD，交CB的延长线于点M． ∵∠ABE＝45°， ∴∠ABM＝180°﹣45°＝135°， ∴∠ABM＝∠D， ∴△ABM∽△ADF， ∴， ∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°， ∴∠DAF+∠BAE＝60°， ∴∠BAM+∠BAE＝60°， ∴∠MAE＝∠EAF＝60°， ∴AE平分∠MAF 作EN⊥AM于点N，EH⊥AF于点F，则EN＝EH， ∴， ∴S△AEFS△AEM， ∴△AME面积最小时，△AFE面积最小， 作AP⊥BC，则， 作△AME的外接圆⊙O，OQ⊥ME，连接OE，OA， 设⊙O的半径为rm． ∴∠QOE＝∠MAE＝60°， ∴OQrm，ME m， ∴OA+OQ≥AP，即rr， 解得r， ∴当A，O，Q三点共线时，r最小，最小为50， ∴， ∴S3750（m2）， ∴SS2500（m2）． 26．圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形． （1）已知：如图1，OA＝OB＝OC，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若∠AOB＝70°，则∠ACB＝　35°　 ． 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝2． （2）已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和∠BEA的大小． （3）如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足∠BQA＝45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，若不存在，说明理由． 【分析】（1）利用圆的定义知A，B，C三点共圆，再利用圆周角定理求解． （2）根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解． （3）因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出D点能够向右移动的最大距离，求出四边形的最大面积． 【解答】（1）以O为圆心，OA为半径作辅助圆，如图， ， ∵∠AOB＝70°， ∴∠ACB＝35°， 故答案为35°． （2）连接PB，PE，如图， ， Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝2． ∴AC＝4，∠BAC＝60°，BC＝2． ∵P为Rt△ABC斜边AC中点， ∴BP2， 线段AC平移到DF之后，AB＝AD＝PE＝2，BP＝AE＝2， ∴四边形ABPE为菱形， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BEA＝30°， ∵CF∥BD，且∠ABC＝90°， ∴四边形BDFC为直角梯形， ∴S（BD+CF）×BC6×26， （3）如图所示，以AB为斜边在AB的右侧作等腰直角三角形OAB，以O为圆心，OA为半径作⊙O， 当AC边沿BC方向平移a个单位至DF时， 满足∠BQA＝45°且此时四边形BADF的面积最大， ∴直线DF与⊙O相切于点Q， 连接OQ交AD于G，过点O作OH⊥AD于H， 则∠AHO＝∠OHG＝∠DQG＝90°，∠OAH＝45°，∠GDQ＝30°， ∵∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝2， ∴BC＝2，OA＝OB＝OQ， ∴AH＝OH＝1，HG，OG， ∴GQ，DG＝2GQ＝2， ∴AD＝AH+HG+GD＝121+2， ∴a＝1+2， 此时直角梯形ABFD的最大面积为： S（BF+AD）×AB（21+21+2）×2＝42． 27．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于C点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接BC，D是线段BC上一点，BD＝3DC，作射线OD交抛物线于点E，H是抛物线上一点，连接OH，若OE平分∠COH，求H点的坐标； （3）在（2）的条件下，如图2，过点E作EF垂直于x轴于点F，在直线EF上存在点M，使得∠DMB＝45°，请直接写出点M的坐标． 【分析】（1）将A、B两点从标代入易求解析式； （2）OE是∠COH的平分线，用角平分线定理，可求得H． （3）满足∠DMB＝45°，可构造圆，利用圆周角定理求得． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）代入解析式得： ；解得：． ∴解析式为：y＝﹣x2+3x+4． （2）当x＝0时，y＝4得C（0，4）． 设D（m，n），由BD＝3DC可得： ；解得：，即D（1，3）． ∴直线OD解析式为：y＝3x． 记OH与BC交点G（t，﹣t+4），作GM∥OD交y轴与M． ∴∠COD＝∠OHG，∠DOG＝∠OGM； ∵OE平分∠COH，即∠COD＝∠DOG； ∴∠OHG＝∠OGM； ∴OM＝OG． ∵GM∥OD， ∴， ∴． ∴，解得：t1＝0（舍），t2． ∴G（，）． ∴OH的解析式为：． H为抛物线与OH的交点： ；解得： （舍），； 即：H（3，4）． （3）E是抛物线与射线OD的交点： ；解得：（舍）；；即：E（2，6）． 设M（2，m），以BD为对角线作正方形BPDQ，则P（4，3），Q（1，0）如图2． 当M在⊙P上时，∠DMB∠DPB＝45°； 即：MP3；解得：m1＝3（舍）；m2＝3； 当M在⊙Q上时，∠DMB∠DQB＝45°； 即：MQ3；解得：m3（舍）；m4； ∴M1（2，3）；M2（2，）． 28．（2025•鲁山县三模）如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD． （1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为 　45　 °，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为 CD+BDAD ； （2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由； （3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长． 【分析】（1）由∠BAC＝90°，且AB＝AC，可得∠ACB＝∠ABC＝45°，由∠BAC＝∠BDC＝90°，推出A、B、C、D四点共圆，所以∠ADB＝∠ACB＝45°；由题意知△EAB≌△DAC，所以BE＝CD，由AE＝AD，∠EAD＝90°，可知△ADE是等腰直角三角形，推出CD+DB＝EB+BD＝DEAD； （2）如图2，将AD绕点A顺时针旋转90°交直线l于点E．易证△EAB≌△DAC（SAS），则BE＝CD，由AE＝AD，∠EAD＝90°，所以△ADE是等腰直角三角形，则DEAD，由BD﹣CD＝BD﹣BE＝DE，推出BD﹣CDAD； （3）当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，△ABD的面积最大． 【解答】解：（1）①如图，在图1中． ∵∠BAC＝90°，且AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， ∵∠BAC＝∠BDC＝90°， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴∠ADB＝∠ACB＝45°； ②由题意可知，∠EAD＝∠BAC＝90°， ∴∠EAB＝∠DAC， 又AE＝AD，AB＝AC， ∴△EAB≌△DAC（SAS）， ∴BE＝CD， ∵AE＝AD，∠EAD＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DEAD， ∵CD+DB＝EB+BD＝DE， ∴CD+DBAD； 故答案为45°，CD+DBAD； （2）线段AD，BD，CD的数量关系会变化，数量关系为BD﹣CDAD． 理由如下： 如图2，将AD绕点A顺时针旋转90°交直线l于点E． 则∠DAE＝∠CAB＝90°， ∴∠DAC＝∠EAB， 又AD＝AE，AC＝AB， ∴△EAB≌△DAC（SAS）， ∴BE＝CD， ∵AE＝AD，∠EAD＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DEAD， ∵BD﹣CD＝BD﹣BE＝DE， ∴BD﹣CDAD； （3）由（2）知，△CDA≌△BEA， ∴∠CDA＝∠AEB， ∵∠DEA＝45°， ∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°， ∴∠CDA＝∠AEB＝135°， ∴∠CDA+∠ABC＝135°+45°＝180°， ∴A、B、C、D四点共圆， 于是作A、B、C、D外接圆⊙O，如图， 当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，DG经过圆心，此时DG最长，因此△ABD的面积最大． 作DG⊥AB，则DG平分∠ADB，DB＝DA，在BD上截取一点H，使得CD＝DH＝1， ∵∠ADB＝∠ACB＝45°， ∴∠GDB＝22.5°，∠DBG＝67.5°， ∴∠DBC＝67.5°﹣45°＝22.5°， ∠HCB＝∠DHC﹣∠HBC＝45°﹣22.5°＝22.5°， ∴∠HCB＝∠HBC， ∴HB＝CH， ∴AD＝BD＝DH+BH＝1． 29．（2025秋•碑林区校级期中）问题提出： （1）如图①，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D为边AC上任意一点，连接BD．若△ABD与△BCD面积相等，则线段BD＝　2.5　 ． 问题探究： （2）如图②，∠BAC＝90°，点M和N分别是射线AC和AB上的动点，且MN＝10．点P在∠BAC内，△PMN为等边三角形．连接AP．求线段AP的最大值． 问题解决： （3）如图③，矩形ABCD为一块试验田示意图，AB＝160m，BC＝120m．点E是边BC的中点，点F在边AB上，点G在矩形ABCD内，且∠GEF＝90°，△GEF的面积为2400m2．现计划修两条小路DG和AG（小路的宽度不计），预计在△GEF和△ADG中分别种植甲，乙两种经济作物．请问小路DG是否存在最小值？若存在，请求出DG的最小值，并求出此时△ADG的面积；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据三角形中线的性质和直角三角形的面积公式解答即可． （2）通过构造AP≤AD+DP即可求出AP的最大值． （3）根据S△OEF＝S△QEP得出OG∥EF，从而得出点G的轨迹为以OE为直径的半圆，然后由DG+PG≥DP求出DG的最小值，最后通过S△ADGS△ADP即可求出此时△ADG的面积． 【解答】解：（1）∵S△ABD＝S△BCD， ∴AD＝CD， ∵BD是Rt△ABC的斜边中线，AC5， ∴BD2.5． 故答案为：2.5． （2）如图，点D为MN的中点，连接AD，DP． 根据斜边中线等于斜边的一半，AD5， 根据等边三角形的性质，DP＝NP•sin60°＝MN•sin60°＝5． ∵AP≤AD+DP＝5+5， ∴AP的最大值为5+5， （3）如图，过点E作AB的平行线交AC于点O，点P为OE中点，PH⊥CD． 根据题意可知OE为△ABC的中位线，OE∥AB，OE80（m）． ∵S△OEFOE•BE＝2400（m2）． ∴S△OEF＝S△GEF． ∴OG∥EF． ∴∠OGE＝∠GEF＝90°． ∴点G在以OE为直径的半圆上． 如图，点P为OE的中点，是的圆心． ∵GP＝OP40（m），DH＝CD﹣HC＝CD﹣PE＝120（m），PH＝CE60（m）． ∴DP60（m）． ∵DG+GP≥DP，即DG≥DP﹣GP＝6040（m）． ∴DG的最小值为（6040）m． ∵S△ADGS△ADP，S△ADPAD•DH＝7200（m2）． ∴S△ADG＝（7200﹣960）m2． 故DG存在最小值，DG的最小值为（6040）m，此时△ADG的面积为（7200﹣960）m2． 30．（2025•碑林区校级模拟）（1）如图（1），平行四边形ABCD，连接AC、BD，则图中与△ABC面积相等的三角形有　△ACD、△ABD、△BCD ； （2）如图（2），AB＝6，∠ACB＝30°，则△ACB的面积最大值是　18+9　 ； （3）如图（3），市政部门计划在幸福林带修建一个四边形区域的大型游乐场，要求设计院按如下标准设计：AB段长度为600米，且满足CB＝CD，∠ADB＝∠DBC＝60°要求四边形的面积尽可能的大，并计划在AB上M处和C处设计两个门，沿CM建一个观光游览路线，并要求观光游览路线CM两侧的面积相等，问设计院能否按市政部门的要求设计出来？若能，求出CM的长或△MBC的面积；若不能，请说明理由． 【分析】（1）由平行四边形的对角线平分平行四边形面积即可得解； （2）根据定弦对定角可知点C的运动轨迹，进而根据当点C、O、H共线时面积最大求解即可； （3）过点C作CE∥BD交AD延长线于点E，易得∠AEB＝30°，参考（2）中思路，进而再解三角形即可得解． 【解答】解：（1）由题可知S△ABCS平行四边形ABCD＝S△ACD＝S△ABD＝S△BCD， 故答案为：△ACD、△ABD、△BCD； （2）如图，可作△ABC的外接圆，圆心为O，连接OA、OB、OC， ∵AB＝6，∠ACB＝30°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝60°， ∴OA＝OB＝AB＝6， 过O作OH⊥AB于点H，过C作CG⊥AB于点G， 则CG≤OH+OC，当且仅当点C运动到点C'时，取等， 即此时C'、O、H三点共线，此时△ABC的面积最大； ∵OH＝OA•sin60°＝3，OC＝6， ∴C'H＝6+3， ∴SAB•C'H（6+3）＝18+9； 故答案为：18+9； （3）过点C作CE∥BD交AD延长线于点E， 则S△BCD＝S△ABE，且四边形BCED为菱形， ∴∠AEB＝30°， 作△ABE的外接圆，圆心为O， ∴点E的运动轨迹为以O为圆心的圆上， ∵AB＝600， ∴当AE＝BE时，S△ABE最大， 即此时点E运动到E'的位置，点D和点C分别在D'和C'位置， 如图，过点A作AH⊥BD′于点H， 则，，AD'＝200， ∴D'E'＝BD'， ∴AE'＝BE'， ∴， 此时． 31．（2025•咸阳模拟）【问题提出】 （1）如图1，在△ABC中，BC＝2AB，点D是BC边上一点，且AB＝2BD，连接AD，若AD＝3，则AC的长为　6　 ； 【问题探究】 （2）如图2，点E是菱形ABCD内一动点，AB＝4，∠B＝60°，连接AE、CE、DE，若∠CED＝90°，求线段AE的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，某游乐园有一块矩形空地ABCD，现要将其进行规划，沿对角线AC修建一条长廊，将△ABC区域修建成水上乐园，在△ACD区域内修建公共卫生间E和凉亭F（大小均忽略不计），再分别沿DE、CF，DF铺设三条小路，并沿AE铺设地下水管，为节省铺设地下水管的成本，要求水管的长度AE尽可能的小．已知AB＝60m，CF＝2DE，∠BAC＝2∠ACB，∠ADE＝∠ACF＝∠CDF．求水管长度AE的最小值． 【分析】（1）证△ABD∽△CBA即可得解； （2）由∠CED＝90°可得点E在以CD为直径的圆上，且在菱形ABCD内部．进而利用圆外一点到圆上最短距离求解即可； （3）先证∠CFD＝120°，进而可知作△CDF的外接圆⊙O，则点F在矩形ABCD内部的⊙O上，据此求解即可． 【解答】解：（1）∵AB＝2BD，BC＝2AB， ∴， ∵∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBA， ∴， ∴AC＝6； 故答案为：6； （2）∵∠CED＝90°， ∴点E在以CD为直径的圆上，且在菱形ABCD内部． 以CD为直径作⊙O，连接AC、OE、OA，OA交⊙O于点E'， ∵四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠B＝60°， ∴CD＝AD＝AB＝4，∠ADC＝60°，△ACD是等边三角形． ∵点O是CD的中点， ∴AO⊥CD，OD＝OC＝OE＝OE'＝2， ∴． ∵AE+OE≥OA，即AE+OE≥AE'+OE'， ∴当点E与点E'重合时，AE最小，此时， ∴AE的最小值为； （3）∵四边形ABCD是矩形，∠BAC＝2∠ACB， ∴∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∠ACD＝∠BAC＝60°，CD＝AB＝60m， ∴． ∵∠ACD＝∠ACF+∠DCF＝60°，∠ACF＝∠CDF， ∴∠CDF+∠DCF＝60°，则∠CFD＝120°， 作△CDF的外接圆⊙O，则点F在矩形ABCD内部的⊙O上，连接OC，OD、OF， ∴∠COD＝2（180°﹣∠CDF）＝120°， ∴∠OCD＝∠ODC＝30°， 则∠OCA＝∠ACD+∠OCD＝90°． 过点O作OH⊥CD于点H， 则DH＝CH＝30m，． 延长CA至点G，使得，连接GF、OG，OG交⊙O于点F′． ∴CF＝2DE，CG＝2DA，∠GCF＝∠ADE， ∴△CGF∽△DAE， ∴， 即GF＝2AE， ∴当GF最小时，AE取得最小值． ∵GF+OF≥OG，OG＝OF'+GF'， ∴当点F与点F'重合时，GF最小，GF的最小值＝OG﹣OF'， 在Rt△OCG中，，m， ∴， ∴GF最小m， ∴水管长度AE的最小值是． 32．（2025•淮阴区模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、AB的中点，G是边AD上一动点（不与点A、D重合）．线段BE关于BG对称的线段为BH，连接HF并延长交BG于点I，连接IE． （1）求∠BIH的度数； （2）若，连接EH，求线段EH的取值范围； （3）在第（2）问的条件下，连接AI、CI，M、N分别是CI、CD的中点，求3AI+2MN的最小值． 【分析】（1）根据点E、F、H都在⊙B上，由圆周角定理求出∠EHI＝45°，结合∠IJH＝90°．即可由直角三角形两锐角互余求解． （2）由（1）图中可知EF＜EH＜EK，求出EF和EK的值即可． （3）由∠EIH＝90°求出点I的运动轨迹为圆弧．构造△POI∽△IOD，结合MN为△CDI的中位线，求得3AI+2MN≥3AP，最后在Rt△APQ中由勾股定理求出AP即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，以点B为圆心，AB为半径作半圆交CB延长线于点K． 连接HE交BG于点J，根据折叠的性质可得：BI为HE的垂直平分线． 则∠IJH＝90°，BE＝BH＝BFAB． 点E、F、H都在⊙B上．由圆周角定理可得：∠EHI∠EBF＝45°． ∴∠BIH＝90°﹣∠EHI＝45°． （2）从（1）图中可知，当点G从点D向点A运动时，点H沿着⊙B从点F运动到点K． 根据直径为最大的弦长，又因为点G不与A、D重合，则EF＜EH＜EK． ∵EFBFAB＝2，EK＝2BE＝AB＝2． ∴2＜EH＜2． （3）由于∠EIH＝90°，则点I的运动轨迹为以EF为直径的⊙O上的圆弧．如图，在OD上截取OPOI． 根据正方形的性质，OIEFBFAB＝1，DO＝BD﹣BOAB﹣OIAB＝3． OPOI． 在△POI和△IOD中，∠POI＝∠IOD，，则△POI∽△IOD． ∴.即IPID． 由于M、N分别为IC、CD的中点，MN为△CDI的中位线，2MN＝ID． ∴3AI+2MN＝3（AIID）＝3（AI+IP）≥3AP． 过点P作PQ⊥AB，则PQ＝BQ＝BP•sin45°＝（OI+OP）sin45°． 在Rt△APQ中，AQ＝AB﹣BQ，AP． 故3AI+2MN的最小值为：3AP． 33．（2025•成都模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC的中点，过点A作BD的垂线，与BD延长线交于点E． （1）如图，若DE＝1，求AB的长； （2）点F在线段DC上，连接BF，将射线BF绕点B逆时针旋转30°，与射线AE交于点G． ①探究线段AB，AF，AG之间的数量关系，请写出结论并说明理由； ②若BC＝2，M，N为AB，BD的中点，延长GM，FN交于点H，求△MNH面积最大值． 【分析】（1）易得∠DAE＝30°，所以AD＝2DE＝2，AC＝4，进而求解AB即可； （2）在AG延长线上构造等腰三角形APF，即可得到AP，再证△PGF≌△ABF（AAS），得到PG＝AB，即可得解； （3）证△BNM∽△BDA∽△BFG，从而利用8字导角可得∠H＝∠FBG＝30°，再根据中位线可得MN，进而根据定弦对定角隐圆模型求解即可． 【解答】解：（1）∵D是AC中点，∠ABC＝90°， ∴AD＝BD＝CD， ∵∠BAC＝30°， ∴∠DBA＝30°， ∴∠ADE＝60°，∠DAE＝30°， ∵DE＝1， ∴AD＝2， ∴AC＝2AD＝4， ∴AB＝AC•cos30°＝2； （2）AB+AGAF，证明如下： 延长AG，在延长线上取一点P，使AF＝PF， 则∠GAF＝∠BAC＝∠APF＝30°， ∴∠AFP＝120°， ∴APAF， ∵∠GAF＝∠GBF＝30°， ∴A、G、B、F四点共圆， ∴∠PGF+∠AGF＝∠ABF+∠AGF＝180°， ∴∠PGF＝∠ABF， ∵∠P＝∠BAF＝30°，PF＝AF， ∴△PGF≌△ABF（AAS）， ∴PG＝AB， ∴AP＝AG+PG＝AG+ABAF， 即AB+AGAF； （3）如图，连接MN、GF， ∵M、N为AB、DB中点， ∴MN是△ABD中位线， ∴MN∥AD， ∴△BMN∽△BAD， 由（2）可知A、G、B、F四点共圆， ∴∠BGF＝∠BAD＝30°， ∴∠BGF＝∠BAD＝30°＝∠FBG＝∠ABD， ∴△BDA∽△BFG， ∴△BNM∽△BFG， ∴， 又∵∠FBN＝∠GBM， ∴△BFN∽△BGM， ∴∠BFN＝∠BGM， ∴∠H＝∠FBG＝30°， ∵BC＝2， ∴AC＝4， ∴AD＝2， ∴MN1， 根据定弦定角模型可知点H、M、N三点共圆，作△MNH的外接圆⊙O， 则∠MON＝2∠H＝60°， ∴△MON为等边三角形， ∴OM＝ON＝MN＝1， 过O作OK⊥MN于点K，并延长KO交⊙O，过H作HL⊥MN于点L， 则OT+OK≥HL， ∴当点H与T重合时，此时△MNH的高最大，即△MNH的面积最大， ∵OK＝OM•sin60°， ∴TK＝OT+OK， 此时S△MNHMN•HK， ∴△MNH面积最大值为． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $