专题11 解直角三角形之实际应用模型（几何模型讲义）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题11 解直角三角形之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构 造直角三角形。 2 模型趣事 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 15 ‌ “背靠背”模型通常指在三角形内部作高，构造出的两个直角三角形共用一条高（公共直角边），且分别位于这条高的两侧。这种结构像两个人背对背站立，互相支撑，故得名“背靠背”。人们在无法直接靠近底部时，在两个不同位置测仰角，自然就形成了两个直角三角形背靠着同一条高的图形。 “母抱子”模型因解题时需在三角形外部作高，构造出的两个直角三角形呈现“大三角形（母）包含小三角形（子）”的嵌套结构，形似母亲怀抱孩子，故得名。本质是利用公共高建立方程。通过设公共高为未知数，分别在两个直角三角形中表示底边，再根据底边之间的和差关系列方程求解。‌‌‌ “拥抱模型”因两个直角三角形共用一条边（通常是高），且形状像两个图形“面对面”或“一个环抱另一个”，故得名“拥抱”。从远处一点测仰角，走近一段距离再测仰角，就自然形成了：一个大直角三角形，里面“抱”着一个小直角三角形，共用一条竖直高。本质是利用公共边建立方程。通过设公共边为未知数，分别在两个三角形中利用三角函数表示其他边，再根据线段和差关系列方程求解。 该模型常用于初中几何题中，用于求解古代丈量山高、塔高、河宽，近代测绘、航海、军事测距，是现实测量问题自然形成的几何图形。 1．（2025•宁夏）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为EF，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（　　） A．CH的长，∠EDH的度数 B．AB的长，∠ECH的度数 C．CH的长，∠ECH的度数 D．AB的长，∠ECH，∠EDH的度数 2．（2025•武汉）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A，B的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面120m的P处，测得A处的俯角为45°，B处的俯角为22°，则A，B之间的距离是 　 m．（tan22°取0.4） 3．（2025•威海）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠1的度数，大楼底部点A的俯角∠2的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数．若∠1＝45°，∠2＝52°，∠3＝65°，CD＝10m，求大楼的高度AB．（精确到1m）． 参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3；sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1． 4．（2025•济南）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度AB为21m，倾斜角为40°，右边滑梯的高度DF为11m，倾斜角为32°，支架AC，NF都与地面垂直，AN，MD都与地面平行，两支架之间的距离CF为3m（点B，C，F，E在同一条直线上） （1）求两滑梯的高度差； （2）两滑梯的底端分别为B，E，求BE的长．（结果精确到0.01m．参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839） 5．（2025•宿迁）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点A、B处，选取河对岸的一块石头C作为测量点（点A、B、C在同一水平面内），小明同学在点A处测得∠BAC为42°，小军同学在点B处测得∠ABC为61°，两人之间的距离AB为60米，求此河流的宽度． （参考数据：sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80） 1）背靠背模型： 条件：若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高AC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边AC是解题的关键． 【等量关系】AC为公共边，CD＋BC＝BD 2）母抱子模型 条件：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高AC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边AC是解题的关键． 【等量关系】AC为公共边，BC－CD＝DB. 3）拥抱模型 条件：分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键. 【等量关系】BC为公共边. 例1（2025•深圳）如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为（　　） A． B．3 C． D． 例2（2025•内蒙古）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处，从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为　　 m（结果保留根号）． 例3（2025•新疆）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树CD的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角∠EFG； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角∠MNG． 实验图示 测量数据 1．AD＝4m 2．BD＝10m 3．BH＝13.5m 4．∠EFG＝43° 5．∠MNG＝21.8° 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．AE，CD，FB，NH均与地面垂直． 参考数据：sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40；sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度EM的值． 例4（2025•陕西）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡面的夹角β为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22m．已知DE＝1.7m，点A，B，C在同一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直．求信号杆的高AB．（参考数据：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17） 例5（2025•安徽）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为23.8°，测得点D的仰角为36.9°．已知AB＝13.20m，求AD的长（精确到0.1m）． 参考数据：sin23.8°≈0.40，cos23.8°≈0.91，tan23.8°≈0.44，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75． 1．（2025•长春）如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到达海拔高度为n米的点A处，测得山峰顶端B的仰角为α，则A、B两点之间的距离为（　　） A．（m﹣n）sinα米 B．米 C．（m﹣n）cosα米 D．米 2．（2024•德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° （AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（　　）米． A．20 B．15 C．12 D．10+5 3．（2024•深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子厂AB的高度为（　　） （参考数据：，， A．22.7m B．22.4m C．21.2m D．23.0m 4．（2025•扬州）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tanα＝ 　 ． 5．（2025•绥化）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1：（斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比），堤坝高BC＝15m，则迎水坡面AB的长度是　 ． 6．（2025•辽宁）如图，为了测量树AB的高度，在水平地面上取一点C，在C处测得∠ACB＝51°，BC＝6m，则树AB的高约为　 m（结果精确到0.1m．参考数据：sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23）． 7．（2025•眉山）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若AB、AC的长都为2m，当α＝65°时，人字梯顶端离地面的高度是　 m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 8．（2024•盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为 　 m．（精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 9．（2024•绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD＝50m，则这栋楼的高度为　 　 m（结果保留根号）． 10．（2025•成都）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为63.4°．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，1.73） 11．（2025•广安）随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为30°，A，C两点的距离为24m．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB（结果精确到0.1m）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，） 12．（2025•德州）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行200m到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡AB的坡角α＝16°，缆车的行驶路线BC与水平面的夹角β＝37°，这座山的高度CD＝296m，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线BC的长（结果取整数）． （参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 13．（2025•海南）现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座AB、立柱BC、伸缩杆CD和灯臂DE组成，A、B、C三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．AC垂直于AF，AF与水平线l平行，CD与l的夹角为∠1，DE与l的夹角为∠2．经测量：AB为12cm，BC为26cm，DE为30cm，∠BCD＝154°，∠CDE＝63°． （1）填空：∠1＝　 °，∠2＝　 °； （2）已知点E到AF的距离EM为50cm时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆CD的长度．（参考数据：sin26°＝0.44，cos26°＝0.90，sin37°＝0.60，cos37°＝0.80） 14．（2025•遂宁）在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度CF，在A处用高为1.6米的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α＝37°，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角β＝50°．求摩天轮CF的高度．（结果精确到0.1米） （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 15．（2025•烟台）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向 14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离； （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）． 16．（2025•吉林）综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度项目提出：如图是某城市规划展览馆，树人中学的3D打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作3D打印模型提供数据． 项目报告表 时间：2025年5月29日 项目分析 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D打印模型的高度 测量工具 测角仪、皮尺 项目⁢实施 任务一 测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图． 1．测出测角仪的高CD＝1.4m． 2．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角∠ACE＝61°． 3．测出测角仪CD底端D处到展览馆AB底端B处之间的距离DB＝42m． 任务二 计算实际高度 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆AB的高度．（结果精确到1m） （参考数据：sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804） 任务三 换算模型高度 将该城市规划展览馆AB的高度按1：400等比例缩小，得到其3D打印模型的高度约为　19　 cm．（结果精确到1cm） 项目结果 为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三． 17．（2025•天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，且CD＝EF＝1.7m．在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为31°，CE＝32m．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度（结果取整数）． 参考数据：tan22°≈0.4，tan31°≈0.6． 18．（2025•内江）在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔AD的高度（如图甲）．他们设计了如下方案：如图乙，点B、D、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角（∠ABD）为45°，在C处测得桥塔顶部A的仰角（∠ACD）为30°，又测得BC＝80m，AD⊥BC，垂足为D，求桥塔AD的高度（结果保留根号）． 19．（2025•青岛）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点A，B，C，D，E在同一平面内．点B，C，D在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部A测得博学楼的顶部E的俯角为22°，另一组成员沿BD方向从厚德楼底部B点向博学楼走15米到达C点，在C点测得博学楼顶部E的仰角为42°，求博学楼DE的高度． （参考数据：sin22°，cos22°，tan22°，sin42°，cos42°，tan42°） 20．（2025•资阳）如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD．在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i＝1：3，米，CD⊥BD．（点A，B，C，D在同一竖直平面内）． （1）求平台BN的高度； （2）求建筑物的高度（即CD的长）． 21．（2025•青海）数学实践 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成65°夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷． 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成65°夹角？ 【模型建立】 环节一：数据收集 两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为65°． 环节二：数学抽象 如图：已知线段AB与CD交于点O，AB，CD与直线l分别交于点E，F，AB＝CD＝1.8m，BE＝DF＝0.3m，∠AEF＝∠CFE＝65°，EF＝0.6m，求OE的长度．（结果精确到0.1，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 【模型求解】 【问题总结】 交叉点O距顶端A的长度即OA为 　 m时，支架与地面形成65°夹角，这样更贴合作物的生长规律． 22．（2025•凉山州）某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM＝3米，∠BOM＝18.17°．（参考数据：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，结果精确到1米） （1）求直吊臂OB的长； （2）直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM＝36°时，货物M上升了多少米？ 23．（2025•滨州）【活动背景】 如图，建筑物AC，BD的高度不可直接测量．为测量建筑物AC，BD的高度，技术员小李用皮尺测得A，B之间的水平距离为150m，用测角仪在C处测得D点的俯角为35°．测得B点的俯角为43°． 【问题解决】 （1）请运用技术员小李提供的数据求出建筑物AC，BD的高度（结果保留整数）； （参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93） （2）请再设计一种测量建筑物AC，BD高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物AC，BD的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪．） 24．（2025•南京）如图，码头B位于码头A的南偏东30°方向，A，B之间的距离为40km，灯塔P在AB的中点处．轮船甲从A出发，沿正南方向航行，轮船乙从B出发，沿正东方向航行．当甲航行到C处时，乙航行了相同的距离到达D处，此时，C，P，D三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离AC． （参考数据：） 25．（2025•湖南）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB＝19分米，CD＞AB．在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE＝13分米，一件连衣裙MN挂在点E处（点M与点E重合），且直线MN⊥l． （1）如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该连衣裙MN的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧），若∠BAE＝76.1°，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？ （结果保留整数，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04） 26．（2025•东营）五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为4.4m，楼间距为19m，太阳光线与水平线的夹角为70°． ②一楼窗户下端距离地面的高度为1.4m． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角α为30°，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图，AB⊥BC，DE⊥BC，BC＝4.4m，BE＝19m，∠ACB＝70°，∠α＝30°． 测量工具 卷尺 参考数据 1.73，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到lm）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到0.1m）． 27．（2025•长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上．已知AB＝800m． （1）求∠ACB的度数； （2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 28．（2025•重庆）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上． （参考数据：1.41，1.73，2.24，2.65） （1）求BD的长度（结果保留小数点后一位）； （2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 解直角三角形之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构 造直角三角形。 2 模型趣事 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 15 ‌ “背靠背”模型通常指在三角形内部作高，构造出的两个直角三角形共用一条高（公共直角边），且分别位于这条高的两侧。这种结构像两个人背对背站立，互相支撑，故得名“背靠背”。人们在无法直接靠近底部时，在两个不同位置测仰角，自然就形成了两个直角三角形背靠着同一条高的图形。 “母抱子”模型因解题时需在三角形外部作高，构造出的两个直角三角形呈现“大三角形（母）包含小三角形（子）”的嵌套结构，形似母亲怀抱孩子，故得名。本质是利用公共高建立方程。通过设公共高为未知数，分别在两个直角三角形中表示底边，再根据底边之间的和差关系列方程求解。‌‌‌ “拥抱模型”因两个直角三角形共用一条边（通常是高），且形状像两个图形“面对面”或“一个环抱另一个”，故得名“拥抱”。从远处一点测仰角，走近一段距离再测仰角，就自然形成了：一个大直角三角形，里面“抱”着一个小直角三角形，共用一条竖直高。本质是利用公共边建立方程。通过设公共边为未知数，分别在两个三角形中利用三角函数表示其他边，再根据线段和差关系列方程求解。 该模型常用于初中几何题中，用于求解古代丈量山高、塔高、河宽，近代测绘、航海、军事测距，是现实测量问题自然形成的几何图形。 1．（2025•宁夏）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为EF，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（　　） A．CH的长，∠EDH的度数 B．AB的长，∠ECH的度数 C．CH的长，∠ECH的度数 D．AB的长，∠ECH，∠EDH的度数 【分析】延长DC交EF于点H，根据三角函数的定义得到CH，DH，由CD＝DH﹣CH，求出EH，即可求出EF，即可得到答案． 【解答】解：如图，延长DC交EF于点H． 由题意知CD＝AB，FH＝2+1.5＝3.5（米）， 在Rt△ECH中，∠AHC＝90°，tan∠ECH， ∴CH， 在Rt△AEH中，∠AHE＝90°，tan∠EDH， ∴DH， ∵CD＝DH﹣CH， ∴AB， ∴EH， ∴EF＝EH+FH＝（3.5）（米）． 故选：D． 2．（2025•武汉）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A，B的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面120m的P处，测得A处的俯角为45°，B处的俯角为22°，则A，B之间的距离是 　 m．（tan22°取0.4） 【分析】根据题意可得：PD∥CB，从而可得∠PAC＝∠DPA＝45°，∠DPB＝∠PBC＝22°，然后分别在Rt△PAC和Rt△PBC中，利用锐角三角函数的定义求出AC和BC的长，从而进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：PD∥CB， ∴∠PAC＝∠DPA＝45°，∠DPB＝∠PBC＝22°， 在Rt△PAC中，PC＝120m， ∴AC120（m）， 在Rt△PBC中，∠PBC＝22°， ∴BC300（m）， ∴AB＝BC﹣AC＝300﹣120＝180（m）， ∴A，B之间的距离约是180m， 故答案为：180． 3．（2025•威海）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠1的度数，大楼底部点A的俯角∠2的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数．若∠1＝45°，∠2＝52°，∠3＝65°，CD＝10m，求大楼的高度AB．（精确到1m）． 参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3；sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1． 【分析】过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，则四边形CDHG是矩形，根据矩形的性质得到GH＝CD＝10m，CG＝DH，根据等腰直角三角形的性质得到CG＝AG，设CG＝AG＝DH＝xm，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H， 则四边形CDHG是矩形， ∴GH＝CD＝10m，CG＝DH， ∵∠1＝45°， ∴CG＝BG， 设AH＝xm， ∴AG＝（x+10）， 在Rt△ACG中， ∵∠2＝52°， ∴CGm， ∴BG＝CGm， ∴BH＝BG+GH＝（10）m， 在Rt△BDH中，∠3＝65°， ∴tan65°2.1， ∴x≈1.8，AH≈1.8，BH≈19.1， ∴AB＝BH+AH≈21（m）． 答：大楼的高度AB约为21m． 4．（2025•济南）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度AB为21m，倾斜角为40°，右边滑梯的高度DF为11m，倾斜角为32°，支架AC，NF都与地面垂直，AN，MD都与地面平行，两支架之间的距离CF为3m（点B，C，F，E在同一条直线上） （1）求两滑梯的高度差； （2）两滑梯的底端分别为B，E，求BE的长．（结果精确到0.01m．参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839） 【分析】（1）通过解Rt△ABC，求出AC，再通过AC﹣DF即可求出两滑梯的高度差； （2）通过解Rt△ABC，求出BC，通过解Rt△EFD，求出EF，再通过BE＝BC+CF+EF，代入数值计算即可得出答案． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°， ∵sin∠B， ∴AC＝AB×sin∠B＝AB×sin40°≈21×0.643＝13.503m， ∴AC﹣DF＝13.503﹣11＝2.503≈2.50m， 答：两滑梯高度差为2.50m； （2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°， ∵cos∠B， ∴BC＝ABcos∠B＝ABcos40°≈21×0.766＝16.086m， 在Rt△EFD中，∠DEF＝90°，∠DEF＝32°， ∵tan∠DEF， ∴， ∴BE＝BC+CF+EF＝16.086+3+17.6＝36.686≈36.69m， 答：BE长36.69m． 5．（2025•宿迁）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点A、B处，选取河对岸的一块石头C作为测量点（点A、B、C在同一水平面内），小明同学在点A处测得∠BAC为42°，小军同学在点B处测得∠ABC为61°，两人之间的距离AB为60米，求此河流的宽度． （参考数据：sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80） 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，解Rt△ADC表示出CD＝0.9x，再解Rt△CDB求出x，即可求解CD． 【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D， 设AD＝x米，则由题意得 BD＝（60﹣x）米， 在Rt△ADC中，∠BAC＝42°，， ∴CD＝tanA•AD＝0.9x， ∵在Rt△CDB中，∠ABC＝61°，， ∴， 解得：x＝40， ∴CD＝0.9×40＝36（米）， 答：此河流的宽度为36米． 1）背靠背模型： 条件：若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高AC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边AC是解题的关键． 【等量关系】AC为公共边，CD＋BC＝BD 2）母抱子模型 条件：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高AC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边AC是解题的关键． 【等量关系】AC为公共边，BC－CD＝DB. 3）拥抱模型 条件：分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键. 【等量关系】BC为公共边. 例1（2025•深圳）如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为（　　） A． B．3 C． D． 【分析】根据正弦三角函数的概念，结合图形，可得到结果． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，BC＝10米，AC＝30米， ∴sinA． 故选：D． 例2（2025•内蒙古）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处，从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为　　 m（结果保留根号）． 【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据题意可得：EF∥AB，从而可得∠FCA＝∠CAB＝60°，∠ECB＝∠CBA＝30°，然后分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出AD和BD的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：如图：过点C作CD⊥AB，垂足为D， 由题意得：EF∥AB， ∴∠FCA＝∠CAB＝60°，∠ECB＝∠CBA＝30°， 在Rt△ACD中，CD＝90m， ∴AD30（m）， 在Rt△BCD中，BD90（m）， ∴AB＝AD+BD＝120（m）， ∴湖泊两端A，B的距离为120m， 故答案为：120． 例3（2025•新疆）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树CD的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角∠EFG； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角∠MNG． 实验图示 测量数据 1．AD＝4m 2．BD＝10m 3．BH＝13.5m 4．∠EFG＝43° 5．∠MNG＝21.8° 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．AE，CD，FB，NH均与地面垂直． 参考数据：sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40；sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度EM的值． 【分析】延长BF交MN于点P，先利用三角函数求出PF的长度，再根据相似得出EM的长度． 【解答】解：延长BF交MN于点P， ∵∠MNG＝21.8°，NF＝BH＝13.5m， ∴PF＝NFtan21.8°≈13.5×0.40≈5.4m， ∵BP∥AE， ∴， ∴， ∴EM＝2.16m， 答：校徽的高度约为2.16m． 例4（2025•陕西）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡面的夹角β为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22m．已知DE＝1.7m，点A，B，C在同一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直．求信号杆的高AB．（参考数据：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17） 【分析】理解题意，得出∠DBH＝∠BDE＝72.5°，再在Rt△DBH 中，运用HD＝BD×sin72.5°，BH＝BD×cos72.5°，代入数值进行计算，得出HD，BH的值，然后证明四边形EDHI是矩形，故EI＝HD＝20.9m，根据∠AEI＝45°，∠AIE＝90°，得∠EAI＝45°，AI＝EI＝20.9m，把数值代入AB＝AI+IH﹣BH进行计算，即可作答． 【解答】解：过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H，如图所示： ∵AB，DE均与水平线FC垂直， ∴DE∥AC， ∴∠DBH＝∠BDE＝72.5°， ∵DH⊥AC， ∴∠DHI＝90°， 在Rt△DBH中，， 则HD＝BD×sin72.5°＝22×0.95＝20.9（m）， 在Rt△DBH中，BD＝22m，， 则BH＝BD×cos72.5°＝22×0.30＝6.6（m）， ∵过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H，DE∥AC， ∴∠EDH＝∠DHI＝∠HIE＝90°， ∴四边形EDHI是矩形， ∴EI＝HD＝20.9m， ∴∠AEI＝45°，∠AIE＝90°， ∴∠EAI＝45°， ∴AI＝EI＝20.9m， ∴AB＝AI+IH﹣BH＝20.9+1.7﹣6.6＝16（m）， 信号杆的高AB为16m． 例5（2025•安徽）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为23.8°，测得点D的仰角为36.9°．已知AB＝13.20m，求AD的长（精确到0.1m）． 参考数据：sin23.8°≈0.40，cos23.8°≈0.91，tan23.8°≈0.44，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75． 【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为点E，根据题意可得：四边形ABCE为矩形，从而可得CE＝AB＝13.20m，然后先在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，即可解答． 【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为点E， 由题意得：四边形ABCE为矩形， 所以CE＝AB＝13.20m， 在Rt△ACE中，， 所以（m）， 在Rt△ADE中，， 所以（m）， 因此，AD的长约为37.5m． 1．（2025•长春）如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到达海拔高度为n米的点A处，测得山峰顶端B的仰角为α，则A、B两点之间的距离为（　　） A．（m﹣n）sinα米 B．米 C．（m﹣n）cosα米 D．米 【分析】根据题意，结合图形，Rt△ABC中，AB，得到结果． 【解答】解：∵依题意，在Rt△ABC中，BC＝（m﹣n）米，∠ACB＝90°，∠BAC＝α， ∴AB， 故选：B． 2．（2024•德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° （AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（　　）米． A．20 B．15 C．12 D．10+5 【分析】设过点A的水平线于CD交于点E，在Rt△BCD中，用CD表示BD，在Rt△ACE中，用CD表示AE，再利用AE＝BD列方程即可求出CD． 【解答】解：设过点A的水平线于CD交于点E，如图， 由题意，知：四边形ABDE是矩形DE＝AB＝10米，AE＝BD， 在Rt△BCD中， BDCD， 在Rt△ACE中， AE（CD﹣DE（CD﹣10）， ∴（CD﹣10）CD， 解得CD＝15（米）， 故选：B． 3．（2024•深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子厂AB的高度为（　　） （参考数据：，， A．22.7m B．22.4m C．21.2m D．23.0m 【分析】根据题意可得：EF＝BM＝1.8m，CD＝BN＝1.5m，DF＝5m，EM＝BF，BD＝CN，EM⊥AB，CN⊥AB，然后设BD＝CN＝xm，则EM＝BF＝（x+5）m，分别在Rt△AEM和Rt△ACN中，利用锐角三角函数的定义求出AM和AN的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：EF＝BM＝1.8m，CD＝BN＝1.5m，DF＝5m，EM＝BF，BD＝CN，EM⊥AB，CN⊥AB， 设BD＝CN＝xm， ∴EM＝BF＝DF+BD＝（x+5）m， 在Rt△AEM中，∠AEM＝45°， ∴AM＝EM•tan45°＝（x+5）m， 在Rt△ACN中，∠ACN＝53°， ∴AN＝CN•tan53°x（m）， ∵AM+BM＝AN+BN＝AB， ∴x+5+1.8x+1.5， 解得：x＝15.9， ∴ANx＝21.2（m）， ∴AB＝AN+BN＝21.2+1.5＝22.7（m）， ∴电子厂AB的高度约为22.7m， 故选：A． 4．（2025•扬州）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tanα＝ 　　 ． 【分析】延长AN，交直线BC于点E，设DN＝xcm，则 CN＝CD﹣DN＝（9﹣x）cm，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得x的值，再根据平行线的性质可得∠DAN＝∠AEF＝α，然后根据正切的定义计算即可得． 【解答】解：如图，延长AN，交直线BC于点E， 由题意得：AD＝BC＝CD＝9cm，∠D＝90°，AD∥BC，AN∥FG， 设DN＝xcm，则CN＝CD﹣DN＝（9﹣x）cm， ∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为α的斜坡上时，水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为 （9﹣x）cm的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为xcm的长方体的体积的一半之和， ∴， 解得x＝4， 即DN＝4cm， ∵AN∥FG， ∴∠AEF＝∠F＝α， ∵AD∥BC， ∴∠DAN＝∠AEF＝α， ∴； 方法2：由等积法可得（9+NC）×9＝7×9×9， 解得NC＝5， ∴DN＝4cm， ∵AN∥FG， ∴∠AEF＝∠F＝α， ∵AD∥BC， ∴∠DAN＝∠AEF＝α， ∴； 故答案为：． 5．（2025•绥化）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1：（斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比），堤坝高BC＝15m，则迎水坡面AB的长度是　15m ． 【分析】根据坡度的概念求出AC，再根据勾股定理求出AB． 【解答】解：∵斜坡AB的斜面坡度i＝1：， ∴BC：AC＝1：， ∵BC＝15m， ∴AC＝15m， 由勾股定理得：AB15（m）， 故答案为：15m． 6．（2025•辽宁）如图，为了测量树AB的高度，在水平地面上取一点C，在C处测得∠ACB＝51°，BC＝6m，则树AB的高约为　7.4　 m（结果精确到0.1m．参考数据：sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23）． 【分析】在Rt△ABC中，由AB＝BC×tan∠CAB即可求解． 【解答】解：由题意得AB⊥BC，∠ACB＝51°，BC＝6m， 在Rt△ABC中，tan∠ACB，即tan51°， AB≈6×1.23＝7.4（m）， 故答案为：7.4． 7．（2025•眉山）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若AB、AC的长都为2m，当α＝65°时，人字梯顶端离地面的高度是　1.8　 m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 【分析】过点A作AD⊥BC，在Rt△ADC中，求出AD即可． 【解答】解：∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴AD＝AC•sin65°＝2×0.91≈1.8（m）， ∴人字梯顶端离地面的高度1.8m． 故答案为：1.8． 8．（2024•盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为 　17　 m．（精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【分析】令AB的延长线与PQ的延长线交于点C，先求出PC，从而得到QC，BC，再利用AB＝AC﹣BC即可求出AB． 【解答】解：如图，令AB的延长线与PQ的延长线交于点C， 由题意，知AC＝30m，PQ＝26.6m，∠APC＝37°，∠BQC＝45°， 在Rt△APC中， PC40（m）， ∴QC＝PC﹣PQ＝40﹣26.6＝13.4（m）， 在Rt△BQC中， BC＝QC＝13.4m， ∴AB＝AC﹣BC＝30﹣13.4＝16.6≈17（m）， 故答案为：17． 9．（2024•绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD＝50m，则这栋楼的高度为 　（50+50）　 m（结果保留根号）． 【分析】根据题意可得：AD⊥BC，然后分别在Rt△ACD和Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出CD和BD的长，从而利用线段和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：AD⊥BC， 在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AD＝50m， ∴CD＝AD•tan60°＝50（m）， 在Rt△ABD中，∠BAD＝45°， ∴BD＝AD•tan45°＝50（m）， ∴BC＝BD+CD＝（50+50）m， ∴这栋楼的高度为（50+50）m， 故答案为：（50+50）． 10．（2025•成都）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为63.4°．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，1.73） 【分析】根据题意，易得，∠CAB＝∠ACD＝90°，∠ABC＝30°，CD＝60米，分别解Rt△ACD，Rt△ABC，进行求解即可． 【解答】解：由题意，得：∠CAB＝∠ACD＝90°，∠ABC＝30°，CD＝60米， 在Rt△ACD中，AC＝CD•tan63.4°≈120米； 在Rt△ABC中，米， 答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米． 11．（2025•广安）随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为30°，A，C两点的距离为24m．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB（结果精确到0.1m）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，） 【分析】根据题意可得：DB∥AE∥CO，从而可得∠DBC＝∠BCO＝36.9°，∠EAC＝∠ACO＝30°，然后在Rt△ACO中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出AO和CO的长，再在Rt△BCO中，利用锐角三角函数的定义求出BO的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：DB∥AE∥CO， ∴∠DBC＝∠BCO＝36.9°，∠EAC＝∠ACO＝30°， 在Rt△ACO中，AC＝24m， ∴AOAC＝12（m），COAO＝12（m）， 在Rt△BCO中，BO＝CO•tan36.9°≈120.75＝9（m）， ∴AB＝BO﹣AO＝912≈3.6（m）， ∴无人机从A点到B点的上升高度AB约为3.6m． 12．（2025•德州）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行200m到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡AB的坡角α＝16°，缆车的行驶路线BC与水平面的夹角β＝37°，这座山的高度CD＝296m，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线BC的长（结果取整数）． （参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【分析】（1）过点B作BE⊥AD于E，根据正弦的定义求出BE； （2）过点B作BF⊥CD于F，根据矩形的性质求出DF，进而求出CF，再根据正弦的定义计算即可． 【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AD于E， 在Rt△ABE中，∠A＝α＝16°，AB＝200米， 则BE＝AB•sinA≈200×0.28＝56（m）， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为56m； （2）如图，过点B作BF⊥CD于F， 则四边形BEDF为矩形， ∴DF＝BE＝56m， ∵CD＝296m， ∴CF＝CD﹣DF＝296﹣56＝240（m）， 在Rt△CBF中，∠CBF＝β＝37°， 则BC400（m）， 答：车的行驶路线BC的长约为400m． 13．（2025•海南）现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座AB、立柱BC、伸缩杆CD和灯臂DE组成，A、B、C三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．AC垂直于AF，AF与水平线l平行，CD与l的夹角为∠1，DE与l的夹角为∠2．经测量：AB为12cm，BC为26cm，DE为30cm，∠BCD＝154°，∠CDE＝63°． （1）填空：∠1＝　64　 °，∠2＝　53　 °； （2）已知点E到AF的距离EM为50cm时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆CD的长度．（参考数据：sin26°＝0.44，cos26°＝0.90，sin37°＝0.60，cos37°＝0.80） 【分析】（1）根据题意，由∠BCD＝154°，利用三角形的外角的性质，可求得∠1的度数，利用平角的定义，可得到∠2的度数； （2）在Rt△EDH中，利用EH＝DE•cos∠HED，求得EH的长，得到MH的长，即可知AG，结合已知条件，得到CG长，在Rt△CGD中，利用三角函数求得CD长即可． 【解答】解：（1）如图，延长AC交DG于G点，延长ME交DG于H点， ∴∠CGD＝90°，∠EHD＝90°， ∵∠BCD＝154°， ∴∠1＝∠BCD﹣∠CGD＝154°﹣90°＝64°， ∵∠CDE＝63°， ∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠CDE＝180°﹣64°﹣63°＝53°， 故答案为：64，53； （2）∵∠2＝53°，∠EHD＝90°， ∴∠HED＝37°， ∵在Rt△EDH中，DE＝30cm，cos∠HED， ∴EH＝DE•cos∠HED＝30×cos37°≈24（cm）， ∵EM＝50cm ∴MH＝EM+EH＝74（cm）， ∴AG＝MH＝74cm， ∵AC＝AB+BC＝12+26＝38（cm）， ∴CG＝AG﹣AC＝36（cm）， ∵在Rt△CGD中，∠GCD＝90°﹣∠1＝26°，cos∠GCD， ∴CD40（cm）， 答：此时伸缩杆CD的长度约为40cm． 14．（2025•遂宁）在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度CF，在A处用高为1.6米的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α＝37°，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角β＝50°．求摩天轮CF的高度．（结果精确到0.1米） （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 【分析】连接DE，延长线交CF于点G，设CG＝xm，在Rt△CEG中，利用tanβ求出EG，然后在Rt△CDG中，利用tanα求出x即可解答． 【解答】解：连接DE，延长线交CF于点G， ∴DG⊥CF， ∵DA⊥AF，BE⊥AF，CF⊥AF， ∴四边形DEBA和四边形EGFB是矩形， ∴DE＝AB＝30m，BE＝GF＝1.6m， 设CG＝xm，在Rt△CEG中，tan∠CEG＝tanβ， ∴EG， ∴DG＝DE+EG＝30， 在Rt△CDG中，tan∠CDG＝tanα， ∴0.75， 解得x≈60.85， 经检验x是方程的解， ∴CF＝CG+GF＝60.85+1.6＝62.45≈62.5（m）， 答：摩天轮CF的高度约为62.5米． 15．（2025•烟台）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向 14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离； （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）． 【分析】（1）过点B作 BE⊥AC于点E，设BE＝x，根据题意得出EC＝ED+DC＝x+5，解Rt△BCE，得出，建立方程，即可求解； （2）求得AE的距离，计算AC的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E， 设BE＝x， 依题意，∠EBC＝53°，∠EBD＝45°，CD＝105， ∴∠C＝90°﹣∠EBC＝37°，ED＝x， ∴EC＝ED+DC＝x+5， 在Rt△BCE中，EC， ∴， 解得：x＝15， ∴渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里； （2）在Rt△ABE中，∠ABE＝14°，BE＝15， ∴AE＝BE•tan14°≈15×0.25＝3.75， ∴AC＝AE+DE+DC＝15+3.75+5＝23.75， 23.75÷10＝2.375小时＝142.5分钟， 从14：30，经过142.5分钟是16：52：30，在17：30之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A． 16．（2025•吉林）综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度项目提出：如图是某城市规划展览馆，树人中学的3D打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作3D打印模型提供数据． 项目报告表 时间：2025年5月29日 项目分析 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D打印模型的高度 测量工具 测角仪、皮尺 项目⁢实施 任务一 测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图． 1．测出测角仪的高CD＝1.4m． 2．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角∠ACE＝61°． 3．测出测角仪CD底端D处到展览馆AB底端B处之间的距离DB＝42m． 任务二 计算实际高度 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆AB的高度．（结果精确到1m） （参考数据：sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804） 任务三 换算模型高度 将该城市规划展览馆AB的高度按1：400等比例缩小，得到其3D打印模型的高度约为　19　 cm．（结果精确到1cm） 项目结果 为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三． 【分析】任务一，在Rt△AEC中利用三角函数求出AE长，结合测角仪的高度，得到结果； 任务二，利用所给的比例对计算出的结果进行换算即可． 【解答】解：任务二，计算实际高度， ∵依题意，四边形EBDC为矩形， ∴CE＝DB＝42m，EB＝CD＝1.4m， ∵在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝61°， ∴AE＝CE•tan∠ACE＝42×tan61°≈75.8（m）， ∴AB＝AE+EB＝75.8+1.4＝77（m）， 答：该城市规划展览馆AB的高度约为77m； 任务三，换算模型高度， 设3D打即模型的高度为xm， ∵x：77＝1：400， 解得x＝0.1925， ∴3D打即模型的高度为0.1925m， ∵0.1925m＝19.25cm≈19cm， ∴3D打即模型的高度约为19cm， 故答案为：19． 17．（2025•天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，且CD＝EF＝1.7m．在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为31°，CE＝32m．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度（结果取整数）． 参考数据：tan22°≈0.4，tan31°≈0.6． 【分析】延长DF与AB相交于点G，根据题意可得DG∥CA，得出DF＝1.7m，在Rt△FGB中，，可得．在Rt△DGB中，，可得，根据GF+DF＝GD列式计算即可． 【解答】解：如图，延长DF与AB相交于点G， 根据题意可得四边形GAEF和四边形FECD是矩形，∠GDB＝22°，∠GFB＝31°，∠DGB＝90°， ∴AG＝EF＝CD＝1.7m，DF＝CE＝32m， 在Rt△FGB中，， ∴， 在Rt△DGB中，， ∴． ∵GF+DF＝GD， ∴． ∴． ∴AB＝AG+GB≈1.7+38.4≈40（m）， 答：世纪钟建筑AB的高度约为40m． 18．（2025•内江）在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔AD的高度（如图甲）．他们设计了如下方案：如图乙，点B、D、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角（∠ABD）为45°，在C处测得桥塔顶部A的仰角（∠ACD）为30°，又测得BC＝80m，AD⊥BC，垂足为D，求桥塔AD的高度（结果保留根号）． 【分析】设AD＝xm，解Rt△ABD得到BD＝xm，解Rt△ACD得到CDxm，再由BC＝BD+CD＝80m，得到xx＝80，解方程即可得到答案． 【解答】解：设AD＝xm， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABD中，∠ABD＝45°， ∴BD（m）， 在Rt△ACD中，∠ACD＝30°， ∴CD（m）， ∵BC＝BD+CD＝80m， ∴xx＝80， 解得x＝4040， ∴AD＝（4040）m， 答：桥塔AD的高度为（4040）m． 19．（2025•青岛）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点A，B，C，D，E在同一平面内．点B，C，D在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部A测得博学楼的顶部E的俯角为22°，另一组成员沿BD方向从厚德楼底部B点向博学楼走15米到达C点，在C点测得博学楼顶部E的仰角为42°，求博学楼DE的高度． （参考数据：sin22°，cos22°，tan22°，sin42°，cos42°，tan42°） 【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：EF＝BD，BF＝DE，BC＝15米，AG∥EF，从而可得∠GAE＝∠AEF＝22°，然后设CD＝x米，则EF＝BD＝（x+15）米，分别在Rt△DCE和Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出DE和AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：如图：过点E作EF⊥AB，垂足为F， 由题意得：EF＝BD，BF＝DE，BC＝15米，AG∥EF， ∴∠GAE＝∠AEF＝22°， 设CD＝x米，则EF＝BD＝BC+CD＝（x+15）米， 在Rt△DCE中，∠ECD＝42°， ∴DE＝CD•tan42°x（米）， ∴DE＝BFx米， 在Rt△AEF中，∠AEF＝22°， ∴AF＝EF•tan22°（x+15）米， ∵AF+BF＝AB， ∴（x+15）x＝19， 解得：x＝10， ∴DEx＝9（米）， ∴博学楼DE的高度约为9米． 20．（2025•资阳）如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD．在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i＝1：3，米，CD⊥BD．（点A，B，C，D在同一竖直平面内）． （1）求平台BN的高度； （2）求建筑物的高度（即CD的长）． 【分析】（1）过点B作BE⊥AM于E，根据坡度的概念得到AE＝3BE，再根据勾股定理求出BE； （2）延长CD交AM于F，设CD＝x米，根据正切的定义用x表示出AF、EF，根据题意列式计算得到答案． 【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AM于E， ∵斜坡AB的坡度为1：3， ∴， ∴AE＝3BE， 在Rt△ABE中，AB2＝BE2+AE2，即（10）2＝BE2+（3BE）2， 解得：BE＝10， 答：平台BN的高度为10米； （2）如图，延长CD交AM于F， 则CF⊥AM， ∴四边形BEFD为矩形， ∴DF＝BE＝10米，BD＝EF， 设CD＝x米，则CF＝（x+10）米， 在Rt△ACF中，∠CAF＝30°， ∵tan∠CAF， ∴， ∴AF（x+10）米， 在Rt△CBD中，∠CBD＝60°， 则BDx米， 由（1）可知：AE＝3BE＝30米， ∴（x+10）x＝30， 解得：x＝1515， 答：建筑物的高度为（1515）米． 21．（2025•青海）数学实践 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成65°夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷． 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成65°夹角？ 【模型建立】 环节一：数据收集 两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为65°． 环节二：数学抽象 如图：已知线段AB与CD交于点O，AB，CD与直线l分别交于点E，F，AB＝CD＝1.8m，BE＝DF＝0.3m，∠AEF＝∠CFE＝65°，EF＝0.6m，求OE的长度．（结果精确到0.1，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 【模型求解】 【问题总结】 交叉点O距顶端A的长度即OA为 　0.8　 m时，支架与地面形成65°夹角，这样更贴合作物的生长规律． 【分析】根据题意，结合图形，在Rt△OEH中利用三角函数，求出OE长，结合已知条件，求出OA即可． 【解答】解：如图，过O点作OH⊥EF，垂足为H， ∵∠AEF＝∠CFE＝65°， ∴OE＝OF， ∵EF＝0.6m， ∴EHEF＝0.3（m）， ∵在Rt△OEH中，∠OHE＝90°，∠OEF＝65°， ∴OE0.7（m）， ∵AB＝1.8m，BE＝0.3m， ∴OA＝AB﹣OE﹣BE＝1.8﹣0.7﹣0.3＝0.8（m）， 问题总结：OA＝0.8m． 故答案为：0.8． 22．（2025•凉山州）某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM＝3米，∠BOM＝18.17°．（参考数据：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，结果精确到1米） （1）求直吊臂OB的长； （2）直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM＝36°时，货物M上升了多少米？ 【分析】（1）根据，即可解Rt△BOM，即可求解； （2）记旋转后的点B，M的对应点为B′，M′，延长B′M′交OM于点F，过点B作BE⊥B′F于点E，可得四边形EFMB为矩形，则BM＝EF＝3米，在Rt△BOF中，B′F＝OB′×cos∠OB′M，求出B′F，再由M′F＝B′F﹣B′M′，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得，BM⊥OM， ∵∠BOM＝18.17°，BM＝3米， ∴在Rt△BOM中，（米）， 答：直吊臂OB的长为10米； （2）如图，记旋转后的点B，M的对应点为B′，M′，延长B′M′交OM于点F，过点B作BE⊥B′F于点E， 则∠BEF＝90°， 由题意得B′M'＝BM＝3米，OB′＝OB＝10 米， ∴∠BEF＝∠EFM＝∠BMF＝90°， 在Rt△B′OF中，B′F＝OB′×cos∠OB′M'＝10×0.81＝8.1（米）， ∴M′F＝B′F﹣B′M′＝8.1﹣3＝5.1≈5（米）， ∴货物M上升了5米． 23．（2025•滨州）【活动背景】 如图，建筑物AC，BD的高度不可直接测量．为测量建筑物AC，BD的高度，技术员小李用皮尺测得A，B之间的水平距离为150m，用测角仪在C处测得D点的俯角为35°．测得B点的俯角为43°． 【问题解决】 （1）请运用技术员小李提供的数据求出建筑物AC，BD的高度（结果保留整数）； （参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93） （2）请再设计一种测量建筑物AC，BD高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物AC，BD的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪．） 【分析】（1）延长BD交过C的水平线与E点，如图1，易得四边形ABEC为矩形，所以∠BEC＝90°，CE＝AB＝150m，BE＝AC，再利用正切的定义，在Rt△CDE中计算出DE≈105m，在Rt△BCE中计算出BE≈140m，然后计算BE﹣DE得到BD的高； （2）为测量建筑物AC，BD的高度，用皮尺测得A，B之间的水平距离为am，用测角仪在D处测得A点的俯角为α，测得C点的仰角为β，如图2，过D点的水平线交AC于E点，如图2，则DE＝AB＝am，BD＝AE，根据正切的定义，在Rt△ADE中可求出AE＝atanα，则BD＝atanαm，在Rt△DEC中可求出CE＝atanβ，然后计算AE+CE得到AC的高 【解答】解：（1）延长BD交过C的水平线与E点，如图1， ∵∠CAB＝∠ECA＝∠ABE＝90°， ∴四边形ABEC为矩形， ∴∠BEC＝90°，CE＝AB＝150m，BE＝AC， 在Rt△CDE中，∵tan∠DCE， ∴DE＝150tan35°≈105（m）， 在Rt△BCE中，∵tan∠BCE， ∴BE＝150tan43°≈140（m）， ∴AC＝BE＝140m，BD＝BE﹣DE＝35（m）． 答：建筑物AC的高度为140m，建筑物BD的高度为35m； （2）为测量建筑物AC，BD的高度，用皮尺测得A，B之间的水平距离为am，用测角仪在D处测得A点的俯角为α，测得C点的仰角为β，如图2， 过D点的水平线交AC于E点，如图2，则DE＝AB＝am，BD＝AE， 在Rt△ADE中，∵tan∠ADE， ∴AE＝atanα， ∴BD＝AE＝atanα（m）， 在Rt△DEC中，∵tan∠CDE， ∴CE＝atanβ， ∴AC＝AE+CE＝a（tanα+tanβ）m， 即建筑物AC，BD的高度分别为a（tanα+tanβ）m，atanα（m）． 24．（2025•南京）如图，码头B位于码头A的南偏东30°方向，A，B之间的距离为40km，灯塔P在AB的中点处．轮船甲从A出发，沿正南方向航行，轮船乙从B出发，沿正东方向航行．当甲航行到C处时，乙航行了相同的距离到达D处，此时，C，P，D三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离AC． （参考数据：） 【分析】延长AC，DB交点为E，过点P作PF⊥AE于点F，过B作BH⊥BD交CD于点H．设AC＝BD＝xkm，根据题意可得20x＝20+x，解方程得出答案． 【解答】解：如图，延长AC，DB交点为E，过点P作PF⊥AE于点F，过B作BH⊥BD交CD于点H． 由题意得，∠E＝90°，∠PFA＝90°，∠HBD＝90°， ∵A，B之间的距离为40km，P在AB的中点处， ∴AP＝PB＝20km， ∵Rt△APF中，∠A＝30°， ∴PF＝10km，AF10（km）， ∵PF∥DE，P为AB中点， ∴F为AE的中点，即AE＝20km，BE＝20km， 设AC＝BD＝xkm， ∵AC∥BH， ∴∠A＝∠PBH， 在△APC和△BHP中， ∴△APC≌△BPH（ASA）， ∴AC＝BH， ∴BD＝BH， ∴∠HDB＝45°， ∴△CED中，CE＝ED， ∴20x＝20+x， 解得x＝1010≈7.3， 答：甲航行的距离AC约为7.3km． 25．（2025•湖南）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB＝19分米，CD＞AB．在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE＝13分米，一件连衣裙MN挂在点E处（点M与点E重合），且直线MN⊥l． （1）如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该连衣裙MN的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧），若∠BAE＝76.1°，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？ （结果保留整数，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04） 【分析】（1）根据题意，结合图形，在Rt△AGM中利用勾股定理求出AG的长，得到AB长，即可得到结果； （2）结合图形，在Rt△AGM中利用三角函数求出AK，可求出BK，即可得到结果． 【解答】解：（1）∵由题可知：在Rt△AGM中，AM＝（13分）米，MG＝（12分）米，AG⊥GM， ∴（分米）， ∵AB＝（19分）米， ∴BG＝AB﹣AG＝19﹣5＝14（分米）， ∴MN＝BG＝14（分米）， ∴该连衣裙MN的长度为（14分）米； （2）如图2，过E作EK⊥AB于K， ∵在Rt△AKE中，AE＝（13分）米，∠BAE＝76.1°，AK⊥KE， ∴AK＝AE•cos76.1°＝13×0.24＝3.12（分米）， ∵AB＝（19分）米， ∴BK＝AB﹣AK＝19﹣3.12＝15.88（分米）， ∴BK﹣MN＝15.88﹣14＝1.88≈2（分米）， ∴该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2分米． 26．（2025•东营）五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为4.4m，楼间距为19m，太阳光线与水平线的夹角为70°． ②一楼窗户下端距离地面的高度为1.4m． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角α为30°，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图，AB⊥BC，DE⊥BC，BC＝4.4m，BE＝19m，∠ACB＝70°，∠α＝30°． 测量工具 卷尺 参考数据 1.73，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到lm）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到0.1m）． 【分析】（1）根据正切的定义求出AB； （2）过点D作DF⊥AB于F，根据正切的定义求出AF，进而求出BF，判断即可． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC＝4.4m，∠ACB＝70°， ∵tan∠ACB， ∴AB＝BC•tan∠ACB＝4.4×2.75≈12（m）， 答：楼房AB的高度约为12m； （2）如图，过点D作DF⊥AB于F， 则四边形FBED为矩形， ∴DF＝BE＝19m，DE＝BF， 在Rt△AFD中，DF＝19m，∠ADF＝30°， ∵tan∠ADF， ∴AF＝DF•tan∠ADF＝1910.96（m）， ∴BF＝AB﹣AF＝12﹣10.96≈1.0（m）， ∵1.0＜1.4， ∴不会影响一楼的采光． 27．（2025•长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上．已知AB＝800m． （1）求∠ACB的度数； （2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 【分析】（1）由题意可得∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM，进而可以解决问题； （2）根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，由题意点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上， ∴∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM， ∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°， ∴∠ACB＝∠BCM﹣∠ACM＝60°﹣30°＝30°； （2）方法一： ∵∠CBE＝60°， ∴∠CBM＝90°﹣∠CBE＝90°﹣60°＝30°， 由（1）得∠ACB＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°， 又∵AB＝800m， ∴AB＝AC＝800m， 在Rt△ACM中，， ∴（m）， （m）， ∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m）， ∵∠BDM＝45°，BM⊥DM， ∴DM＝BM＝1200m， ∴， ∴景点C与景点D之间的距离为． 方法二： ∵∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，BE∥AF∥DM， ∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°． 设AM＝xm， ∴AC＝2xm， ∴CMAMx（m）， 在Rt△BCM中， ， 即， 解得x＝400， 经检验得x＝400是原方程的解， ∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m）， ∵∠BDM＝45°，BM⊥DM， ∴BM＝DM＝1200m， ∴． ∴景点C与景点D之间的距离为（）m． 28．（2025•重庆）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上． （参考数据：1.41，1.73，2.24，2.65） （1）求BD的长度（结果保留小数点后一位）； （2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 【分析】（1）过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，由题意得，∠DAE＝30°，解Rt△ADE得到千米，DE＝10千米，证明四边形AEFB是矩形，得到EF＝AB＝10千米，千米，得到DF＝DE+EF＝20千米，再利用勾股定理即可求出BD的长； （2）当甲无人机运动到M，乙无人机运动到M时，此时满足MN＝20千米，过点M作MT⊥CD于T，由题意得，∠BCF＝90°﹣30°＝60°，解Rt△FBC得到BC＝20千米，CF＝10千米，则CD＝DF+CF＝30千米，设BM＝x千米，则DN＝2x千米，CM＝（20﹣x）千米，解Rt△CMT得到CT＝（10﹣2x）千米，千米，则米，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）如图所示，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F， ∴∠AED＝∠BFC＝90°， 由题意得，∠DAE＝30°， 在Rt△ADE中，（千米）， DE＝AD•sin∠DAE＝20•sin30°＝10（千米）， ∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上， ∴AB∥CD， ∴AE⊥AB，BF⊥AB， ∴四边形AEFB是矩形， ∴EF＝AB＝10千米，千米， ∴DF＝DE+EF＝20千米， ∴（千米）， 答：BD的长度约为26.5千米； （2）如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足MN＝20千米，过点M作MT⊥CD于T， 由题意得，∠BCF＝90°﹣30°＝60°， 在 Rt△FBC中，千米， 千米， ∴CD＝DF+CF＝30千米， 设 BM＝x千米，则DN＝2x千米，CM＝（20﹣x） 千米， 在 Rt△CMT 中，千米， MT＝CM•sin∠MCT＝（20﹣x）•sin60°＝（x）千米， ∴TN＝CD﹣DN﹣CT＝30﹣2x﹣（10x）＝（20x）千米， 在Rt△MNT中，由勾股定理得MN2＝MT2+NT2， ∴， ∴或（此时大于BC的长，舍去）， ∴（千米）， 答：甲无人机飞离B处3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $