第三章：式与方程（综合复习讲义）-2026年小升初数学复习讲练测

2026年小升初数学复习讲练测 第三章：式与方程 （11大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） （一）知识点梳理 知识点01 用字母表示数 2 知识点02 含有字母式子的化简与求值 2 知识点03 等式与方程 3 知识点04 方程的解和解方程 3 知识点05 列方程解应用题 3 （二）重难点题型讲解 考点01 用字母表示数 4 考点02 含有字母式子的化简与求值 6 考点03 方程的意义 7 考点04 等式的意义和性质 8 考点05 方程的解、解简易方程 10 考点06 列方程解含一个未知数的问题 12 考点07 列方程解和差倍问题 15 考点08 列方程解鸡兔同笼问题 17 考点09 列方程解行程问题 19 考点10 列方程解含两个未知数的问题 21 考点11 列方程解决复杂的实际问题 24 （三）真题演练 真题演练 26 知识点01：用字母表示数 1.用字母表示数量关系：字母可以表示数量关系，也可以表示运算结果。 （1）路程、速度和时间分别用字母s、v、t表示三者之间的关系：。 （2）工作总量、工作效率和工作时间分别用字母c、a、t 表示；三者之间的关系：c＝at，，。 （3）收入、支出和结余分别用字母a、b、c表示三者之间关系：c＝a－b，a＝b＋c，b＝a－c。 2.用字母表示运算律和性质 （1）加法运算律 交换律：a＋b＝b＋a；结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） （2）乘法运算律 交换律：a×b＝b×a；结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）；分配律：（a±b）×c＝a×c±6×c （3）运算性质 减法性质：a－b－c＝a－（b＋c）；除法性质：a÷b÷c＝a÷（b×c） 3.用字母表示计算公式：几何图形的周长、面积、表面积、体积的计算公式也常用字母表示。 【易错点拨】 （1）数字和字母、字母和字母中间的乘号可以记作“・”或省略不写，但要记住在省略乘号时数字应当写在字母的前面，例如：a×b=ab； （2）“1”与任何字母相乘时，“1”都省略不写，例如：1×a=a； （3）当两个相同字母相乘时，可以写成这个字母的平方，例如：a×a=a2； （4）在同一个数量关系中，一个字母只能表示一种数量。 知识点02：含有字母式子的化简与求值 1.化简方法：只把系数相加减，字母和指数不变： 2.求值步骤 （1）写出条件：当a=…时； （2）代入原式； （3）算出结果. 知识点03：等式与方程 1.等式的意义：表示两个相等关系的式子叫作等式。 2.等式的性质 （1）等式两边同时加上（或减去）同一个数，所得的结果仍是等式； （2）等式两边同时乘（或除以）相同的数（0除外），所得的结果仍是等式。 3.方程的意义：含有未知数的等式叫作方程。 4.方程与等式的关系 （1）方程都是等式，但等式不一定是方程。 （2）方程具备两个条件：①含有未知数；②是等式。 【易错点拨】方程一定是等式，但等式不一定是方程。 知识点04：方程的解和解方程 1.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 2.解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 3.解方程原理：天平平衡。 4.简易方程的解法 （1）消元法：根据等式的基本性质求方程的解。 （2）公式法：①“－x”：减数＝被减数－差；②“÷x”：除数＝被除数÷商。 5.方程的检验：把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值，如果相等，所求的未知数的值就是原方程的解；否则就不是。 【易错点拨】 （1）解方程时，必须在算式最左边写“解：”，后续步骤紧跟“解：”书写，不能遗漏“解”字，这是解方程的格式要求。 （2）当未知数系数为1，直接利用性质1求解；系数为-1，需两边同时乘-1，不能忽略负号。 知识点05：列方程解应用题 1.列方程解应用题就是用字母表示应用题中的未知数，根据等量关系列出方程，再解所列方程，得到答案。 2.分析等量关系的方法 （1）根据常见的数量关系找等量关系。如：时间、速度、路程；单价、数量、总价等之间的关系。 （2）根据周长、面积、体积等计算公式找等量关系。 （3）根据题中的重点叙述句，从整体上确定基本数量关系。 （4）对于较难理解的应用题，利用线段图、列表等方法分析题意找出等量关系。 3.列方程解应用题的一般步骤 （1）设未知数：根据问题设关键未知量为x，设时需带单位； （2）找等量关系：从情境中找出数量间的相等关系，这是列方程的关键； （3）列方程：根据等量关系列出含有未知数的等式； （4）解方程：按解方程步骤求出x的值，解后不带单位； （5）检验并作答：检验x的值是否符合实际情境，再完整作答。 【易错点拨】 （1）设未知数时需明确“设哪个量”（通常设问题中要求的量，如问题问“苹果单价多少元”，设“苹果单价为x元”），设句需完整，且单位要正确。 （2）等量关系是列方程的核心，可通过“关键词”（如“一共”“比…… 多”“是……的几倍”）或“公式”（如“总价=单价×数量”）寻找，避免等量关系错误导致方程列错。 （3）求出x的值后，除了代入方程检验，还需结合实际情境判断，若不符合实际，需检查设未知数或等量关系是否错误。 考点01：用字母表示数 【典型例题】琳琳设计了一个猜年龄程序： 输入你的年龄→加6→乘1.5→输出结果 如果输入的年龄是a岁，则输出的结果是（ ）；如果输出的结果是54，则输入的年龄是（ ）岁。 【答案】 1.5（a＋6） 30 【分析】由题意可知，先表示输入的年龄加6，即a＋6，再乘1.5，即（a＋6）×1.5，也就是1.5（a＋6）；输出的结果是54，说明含有字母式子的值是54，即1.5（a＋6）＝54，再利用等式的性质解方程求出未知数的值，据此解答。 【详解】（a＋6）×1.5 ＝1.5（a＋6） 1.5（a＋6）＝54 解：1.5（a＋6）÷1.5＝54÷1.5 a＋6＝36 a＋6－6＝36－6 a＝30 所以，如果输入的年龄是a岁，则输出的结果是1.5（a＋6）；如果输出的结果是54，则输入的年龄是30岁。 【变式训练1】小亮比小强大3岁，比小花小5岁，如果小强是m岁，小花是（     ）岁。 A．m－3 B．m＋3 C．m＋5 D．m＋8 【答案】D 【分析】根据小亮比小强大3岁，先算出小亮的岁数是（m＋3）岁，再根据小亮比小花小5岁，算出小花的岁数是（m＋8）岁。 【详解】m＋3＋5＝（m＋8）岁 所以，小花是（m＋8）岁。 故答案为：D 【变式训练2】已知a是一个两位数，b是一个三位数，若把b放在a的左边，组成一个五位数，则这个五位数是（     ）。 A．100b＋a B．10b＋a C．b＋a D．1000a＋b 【答案】A 【分析】因为a是一个两位数，把b放在a的左边，相当于把三位数b扩大到原来的100倍，两位数a的大小不变，则用b的100倍加a，即可得到这个五位数。 【详解】据分析可知，已知a是一个两位数，b是一个三位数，若把b放在a的左边，组成一个五位数，则这个五位数是100b＋a。 故答案为：A 考点02：含有字母式子的化简与求值 【典型例题】果园有吨水果，每次运走1.8吨，运了次，用式子表示还剩（ ）吨水果，如果，，还剩下（ ）吨水果。 【答案】 a－1.8x 4.6 【分析】用每次运走的重量×运走的次数，求出运走的重量，再用水果的总重量－运走的重量，即可求出剩下的水果的重量；当a＝10，x＝3时，代入求出的含有字母的式子，即可解答。 【详解】a－1.8×x＝（a－1.8x）吨 当a＝10，x＝3时： 10－1.8×3 ＝10－5.4 ＝4.6（吨） 果园有吨水果，每次运走1.8吨，运了次，用式子表示还剩a－1.8x吨水果，如果a＝10，x＝3，还剩下4.6吨水果。 【变式训练1】一个小数，十位上的数字m，个位上的数字是0，十分位上的数字是n，根据每个数位上的计数单位，这个小数用含有字母的式子表示是（     ）。 A．m＋0.1n B．m＋n C．10m＋n D．10m＋0.1n 【答案】D 【分析】一个一位小数，十位上的数字是m，表示m个10；个位上的数字是0，表示0个一；十分位上的数字是n，表示n个0.1，据此用含字母的式子表示这个数。 【详解】m×10＋0＋n×0.1 ＝10m＋0.1n 所以这个小数用含有字母的式子表示是（10m＋0.1n）。 故答案为：D 【变式训练2】小明把×（a＋2）错写成a＋2，所得的结果与正确答案相比（     ）。 A．多2 B．多 C．少2 D．少 【答案】B 【分析】用a＋2减去×（a＋2）即可解答。 【详解】a＋2－×（a＋2） ＝a＋2－a－ ＝2－ ＝ 所得的结果与正确答案相比多。 故答案为：B 考点03：方程的意义 【典型例题】下列数学问题中，不能用方程“2X＋4＝16”解决的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A．根据两种树木的数量关系：桃树的棵数＝梨树棵数的2倍＋4棵，杨树共16棵，以此列出方程； B．根据物品数量的关系：前2个盒子的数量＋第3个盒子的4个＝总数16个，以此列出方程； C．将三角形三个边长相加等于周长，以此列出方程； D．根据长方形的面积＝长×宽，表示出整个长方形的长和宽，相乘等于16cm2，即可列出方程。 【详解】A．梨树有X棵，桃树的数量是梨树的2倍还多4棵，桃树共16棵，对应的方程：2X＋4＝16，符合题意。 B．3个盒子，前2个各装X个，第3个装4个，一共16个，对应的方程：2X＋4＝16，符合题意。 C．三角形周长16cm，两条边长为Xcm，一条边长4cm，对应的方程：2X＋4＝16，符合题意。 D．长方形总面积16cm2，宽2cm，长分为Xcm和4cm两部分，长方形的长为（X＋4）cm，面积为：2（X＋4）＝16，展开后为 2X＋8＝16，与2X＋4＝16不同，不能用该方程解决。 不能用方程“2X＋4＝16”解决的是。 【变式训练】下面式子是方程的是（     ）。 A．5x－7 B． C．2x－3＝0 D．5－x＞0.2 【答案】C 【分析】方程是指含有未知数的等式，所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。由此进行选择。 【详解】A．5x－7，不是等式，所以它不是方程； B．，没有未知数，所以它不是方程； C．2x－3＝0，既含有未知数，又是等式，所以它是方程； D．5－x＞0.2，不是等式，所以它不是方程。 故答案为：C 考点04：等式的意义和性质 【典型例题】我国古代数学著作《九章算术》“方程”章中有一问题：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两。问牛值金几何？”原文翻译为：现有牛5头，羊2头，价值金10两；牛2头，羊5头，价值金8两。问：一头牛值金（     ）两。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，5牛＋2羊＝10两金，2牛＋5羊＝8两金，根据等式的性质，将两个等式中羊的数量转化成相同数量的两个等式，再相减，进而得出1头牛的钱数。 【详解】5牛＋2羊＝10两金，两边同时乘5可得①：25牛＋10羊＝50两金； 2牛＋5羊＝8两金，两边同时乘2可得②：4牛＋10羊＝16两金； 用①－②可得：21牛＝34两金； 两边同时除以21可得：1牛＝两金； 所以，一头牛值金两。 故答案为：D 【变式训练】已知：，，下面计算结果错误的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A．根据等式的性质1，可得，左边去掉小括号，小括号里的加号变减号，右边计算出结果，即可得出选项中的算式； B．根据等式的性质2，可得，左边根据乘法分配律，小括号里的分别与5相乘，再相加，右边计算出结果，与选项中的算式对照即可； C．先计算中间的除法，即可得出题干中的算式； D．根据等式的性质2，可得，左边去掉小括号，括号里的乘号变除号，右边计算出结果，即可得出选项中的算式。 【详解】A．，可得，即，选项正确； B．，可得，即，选项错误； C．，可以先算中间的除法，，得，选项正确； D．，可得，即，选项正确； 已知：，，计算结果错误的是。 故答案为：B 考点05：方程的解、解简易方程 【典型例题】解方程。                 【答案】x＝23；x＝0.128； 【分析】第一个方程先把60%x化成0.6x，再利用减法的意义，被减数减去差等于减数，求出0.6x是多少，再利用等式的性质等式左右两边同时除以0.6得出答案； 根据比例的基本性质，用左边分数的分母乘右边分数的分子等于用左边分数的分子乘右边分数的分母，再利用等式的性质左右两边同时除以15得出答案； 【详解】 解：91－0.6x＝77.2 0.6x＝91－77.2 0.6x＝13.8 0.6x÷0.6＝13.8÷0.6 x＝23 解：15×x＝2.4×0.8 15x＝1.92 15x÷15＝1.92÷15 x＝0.128 【变式训练1】x＝1.5是下列方程中（     ）的解。 A．x＋0.3＝1.2 B．1－x＝0.5 C．10x＋3＝18 D．2x－x＝3 【答案】C 【分析】把x＝1.5分别代入各选项中的方程，如果能使方程成立，说明是该方程的解，否则不是该方程的解。据此解答。 【详解】A．把x＝1.5代入方程x＋0.3＝1.2，左边得：1.5＋0.3＝1.8，而方程的右边等于1.2，左边不等于右边，所以x＝1.5不是方程x＋0.3＝1.2的解； B．把x＝1.5代入方程1－x＝0.5，左边得：1－1.5＜0，而方程的右边等于0.5，左边不等于右边，所以x＝1.5不是方程1－x＝0.5的解； C．把x＝1.5代入方程10x＋3＝18，左边得：10×1.5＋3＝18，方程的左边等于右边，所以x＝1.5是方程10x＋3＝18的解； D．把x＝1.5代入方程2x－x＝3，左边得：2×1.5－1.5＝1.5，而方程的右边等于3，左边不等于右边，所以x＝1.5不是方程2x－x＝3的解。 故答案为：C 【变式训练1】解方程。 （1）     （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1），先化简方程的左边，再根据等式的性质2，两边同时除以5.3＋1.7的和即可； （2），先计算出的差，再根据等式的性质2，两边同时除以的差即可。 【详解】（1） 解： （2） 解： 考点06：列方程解含一个未知数的问题 【典型例题】淘气攒了1元硬币和5角硬币这两种硬币，总共75元。其中5角硬币占总枚数的，淘气一共攒了多少枚硬币？（列方程解答） 【答案】120枚 【分析】根据题意可知，5角硬币的数量＝总枚数×，1元硬币的数量就占总数的（1－），5角＝0.5元，然后再根据总共75元，可知，0.5×5角硬币的数量＋1×1元硬币的数量＝75，可以设一共攒了x枚硬币，列方程为：0.5×x＋1×（1－）x＝75，最后解方程即可。 【详解】5角＝0.5元 解：设淘气一共攒了x枚硬币。 0.5×x＋1×（1－）x＝75 0.5×x＋1×x＝75 0.375x＋0.25x＝75 0.625x＝75 x＝75÷0.625 x＝120 答：淘气一共攒了120枚硬币。 【变式训练1】买8本笔记本和24支铅笔共用去43.2元，已知每本笔记本3.6元，每支铅笔多少元？（列方程解答） 【答案】0.6元 【分析】设每支铅笔x元，24支铅笔24x元，每本笔记本3.6元，8本笔记本是3.6×8元，一共用去43.2元，即买8本笔记本的钱数＋24支铅笔的钱数＝43.2元，列方程：3.6×8＋24x＝43.2，解方程，即可解答。 【详解】解：设每支铅笔x元。 3.6×8＋24x＝43.2 28.8＋24x＝43.2 24x＝43.2－28.8 24x＝14.4 x＝14.4÷24 x＝0.6 答：每支铅笔0.6元。 【变式训练2】园林绿化队要栽一批树苗，第一天栽了210棵，第二天栽了剩下的20%，两天后还有总数的没有完成，这批树苗一共多少棵？ 【答案】420棵 【分析】第一天栽了210棵，可以设这批树苗一共x棵，剩下（x－210）棵，第二天栽了剩下的20%，求一个数的百分之几用乘法，则第二天栽了20%（x－210），两天后还有总数的没有完成，将总数看成单位“1”，则完成了总数的，也就是x，根据数量关系式：第一天载的棵树＋第二天载的棵数＝两天一共载的棵数。 【详解】解：设这批树苗一共x棵。 210＋20%（x－210）＝（1－）x 210＋20%x－42＝x 168＋20%x＝x x－20%x＝168 x＝420 答：这批树苗一共420棵。 考点07：列方程解和差倍问题 【典型例题】端午节，乐乐妈妈买了一些鸡蛋和粽子。鸡蛋比粽子多50个，鸡蛋的个数是粽子的3倍，乐乐妈妈鸡蛋、粽子各买了多少个？（建议列方程解答） 【答案】鸡蛋75个；粽子25个 【分析】这是一个差倍问题，我们可以设粽子的个数是x个，因为鸡蛋的个数是粽子的3倍，所以鸡蛋的个数是（3x）个，再根据鸡蛋比粽子多50个，列出方程，解出方程，求出x及3x即可。 【详解】解：设粽子的个数是x个；则鸡蛋的个数是（3x）个。 3x－x＝50 2x＝50 2x÷2＝50÷2 x＝25 3x＝3×25＝75（个） 答：乐乐妈妈鸡蛋买了75个，粽子买了25个。 【变式训练1】甲、乙两个同学有书若干，已知甲同学的书比乙同学的多12本，若乙同学给甲同学6本书，这时甲同学的书就是乙同学的1.5倍，问甲、乙同学原来各有多少本书？ 【答案】甲66本；乙54本 【分析】根据题意，设乙同学原来有x本书，则甲同学原来有（x＋12）本书；等量关系式为：甲同学原来有书的数量＋乙同学给甲的6本＝（乙同学原来的书的数量－乙给甲的6本）×1.5；根据等量关系式可列方程求解。 【详解】解：设乙同学原来有x本书，则甲同学原来有（x＋12）本书； x＋12＋6＝（x－6）×1.5 x＋18＝1.5x－1.5×6 x＋18＋9－x＝1.5x－9＋9－x 0.5x＝27 0.5x÷0.5＝27÷0.5 x＝54 54＋12＝66（本） 答：甲原来有66本书，乙原来有54本书。 【变式训练2】红军小学开展“惜水节水”活动，今年4月份和5月份全校共节约用水300吨，4月份节约用水量是5月份的。4月份和5月份各节约用水多少吨？（用方程解） 【答案】4月份120吨；5月份180吨 【分析】设5月份节约用水吨，则4月份节约用水吨，根据等量关系：4月份节约用水的吨数＋5月份节约用水的吨数＝两个月全校共节约用水的吨数，列出方程。 【详解】解：设5月份节约用水吨，则4月份节约用水吨。 ＝180 4月份：300－180＝120（吨） 答：4月份节约用水120吨，5月份节约用水180吨。 考点08：列方程解鸡兔同笼问题 【典型例题】一名工人搬运1000只花瓶，规定每搬运一只花瓶得劳务费0.4元，如果打碎，不但得不到这只花瓶的劳务费，还要赔1.6元。这名工人运完后共得劳务费360元，他打碎了多少只花瓶？ 【答案】20只 【分析】根据题意，设他打碎了只花瓶，那么没打碎的花瓶有（1000－）只，每只可得劳务费0.4元；如果打碎，不但得不到这只花瓶的劳务费，还要赔1.6元，那么打碎只花瓶，要赔1.6元； 等量关系：搬运一只花瓶的劳务费×完好的花瓶数量－打碎一只花瓶要赔的钱数×打碎花瓶的数量＝最终得到的劳务费，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设他打碎了只花瓶。 0.4×（1000－）－1.6＝360 400－0.4－1.6＝360 400－（0.4＋1.6）＝360 400－2＝360 400－2＋2＝360＋2 360＋2＝400 360＋2－360＝400－360 2＝40 2÷2＝40÷2 ＝20 答：他打碎了20只花瓶。 【变式训练1】春季运动会上，34位同学在12张球桌上同时进行乒乓球比赛（如下图）。进行单打和双打的乒乓球桌各有几张？ 【答案】单打7张；双打5张 【分析】根据题意，可以设双打的乒乓球桌有张，则单打的乒乓球桌有（12－）张；可得出等量关系：每张双打乒乓球桌的人数×双打乒乓球桌的张数＋每张单打乒乓球桌的人数×单打乒乓球桌的张数＝参加乒乓球比赛的总人数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设双打的乒乓球桌有张，则单打的乒乓球桌有（12－）张。 4＋2（12－）＝34 4＋24－2＝34 2＋24＝34 2＝34－24 2＝10 ＝10÷2 ＝5 单打：12－5＝7（张） 答：进行单打的乒乓球桌有7张，双打的乒乓球桌有5张。 【变式训练2】“鸡兔同笼”问题是我国古代的数学名题之一，它出自唐代的《孙子算经》。假如今有鸡兔同笼，上有九只头，下有二十四足，问鸡兔各几何？你能解决这个问题吗？ 【答案】鸡有6只，兔子有3只 【分析】假设全部是兔子，有9×4＝36（只）脚，已知比假设少了（36－24）只脚，一只鸡比一只兔子少（4－2）只脚，然后用（36－24）除以（4－2）求出鸡的只数；再求出兔子的只数即可。 【详解】（9×4－24）÷（4－2） ＝（36－24）÷（4－2） ＝12÷2 ＝6（只） 9－6＝3（只） 答：鸡有6只，兔子有3只。 考点09：列方程解行程问题 【典型例题】我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》一书中有这样一道题目：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”译文：“快马每天走240里，慢马每天走150里。慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？” 【答案】20天 【分析】根据题意可得出等量关系：（快马的速度－慢马的速度）×快马行走的天数＝慢马先行的路程，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设快马天可以追上慢马。 （240－150）＝150×12 90＝1800 ＝1800÷90 ＝20 答：快马20天可以追上慢马。 【变式训练1】儋州到海口的公路长约130千米。一辆小轿车从儋州开往海口，一辆面包车沿同样的路线从海口开往儋州，它们同时出发，1.3小时后两车相遇。已知小轿车每小时行60千米，面包车每小时行多少千米？（列方程解答） 【答案】40千米 【分析】根据题意可得出等量关系：小轿车的速度×相遇时间＋面包车的速度×相遇时间＝全程，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设面包车每小时行x千米。 60×1.3＋1.3x＝130 78＋1.3x＝130 78＋1.3x－78＝130－78 1.3x＝52 1.3x÷1.3＝52÷1.3 x＝40 答：面包车每小时行40千米。 【变式训练2】A、B两座房屋相距360米，甲、乙两人分别从A、B两座房屋门口同时出发，甲从A向西走，乙从B向东走，如图所示，4分钟后两人相距808米，甲每分钟走55米。乙每分钟走多少米？（列方程解答） 【答案】57米 【分析】设乙每分钟走米，用甲乙的速度求和，根据“路程＝时间×速度”，用速度和乘时间4分钟即可求出甲和乙走的距离，再加上A、B两座房屋相距的360米等于808米；由此即可列方程并求出乙每分钟走多少米。 【详解】解：设乙每分钟走米。 答：乙每分钟走57米。 考点10：列方程解含两个未知数的问题 【典型例题】李老师为学校买垃圾桶和文件收纳盒共花了180元，每个垃圾桶20元，每个文件收纳盒10元，买的文件收纳盒比垃圾桶多6个。李老师分别买了多少个垃圾桶和文件收纳盒？ 【答案】4个；10个 【分析】因为题目存在两个未知量和两个等量关系，所以可通过设未知数建立方程求解，这是解题突破口。 设垃圾桶数量为x个，因为文件收纳盒比垃圾桶多6个，那么文件收纳盒数量可表示为（x＋6 ）个。 根据总花费为180元，结合单价×数量＝总价的公式，可列出关于x 的方程，进而求解两个未知量。 注意：设未知数时要明确所设未知数代表的物品，避免混淆。 列方程时要准确对应单价、数量和总价的关系，确保等量关系正确。 【详解】解：设李老师买了x个垃圾桶，则买了（x＋6）个文件收纳盒。 答：李老师买了4个垃圾桶和10个文件收纳盒。 【变式训练1】学校组织六年级同学参观科技馆，门票分A等票和B等票，买A等票150张、B等票50张，一共花了4600元。一张A等票的价钱是一张B等票的1.2倍。一张A等票多少元？ 【答案】24元 【分析】因为一张A等票价钱是B等票的1.2倍，所以可以设一张B等票的价钱为元，那么一张A等票的价钱为元。 根据“买A等票150张、B等票50张一共花了4600元”这个条件，可列出关于的方程。 求解方程得到的值后，再通过 计算出一张A等票的价钱。 【详解】解：设一张B等票元，那么一张A 等票元。 一张A等票： 答：一张A等票24元。 【变式训练2】班级图书角共有故事书56本，童话故事书本数的和漫画故事书本数的相等。童话故事书和漫画故事书各有多少本？（列方程解答） 【答案】童话故事书有21本，漫画故事书有35本。 【分析】设童话故事书有本，根据题中的等量关系，漫画故事书本数＝56本－童话故事书本数，，据此列方程即可得童话故事书的本数，再用总本数减童话故事书本数即可得漫画故事书本数。 【详解】解：设童话故事书有本，则漫画故事数为本。 （本） 答：童话故事书有21本，漫画故事书有35本。 考点11：列方程解决复杂的实际问题 【典型例题】阳光小学六年级女生人数与男生人数的比是7∶8，王老师从女生中选出20人，又选出男生人数的25%参加文体活动，这时男、女生剩下的人数正好相等，六年级有男生多少人？ 【答案】160人 【分析】根据比的意义，可假设六年级女生人数为7x人，男生人数为8x人；根据题意可知，六年级女生人数－20人＝六年级男生的人数×（1－25%），据此解出方程，进而求出六年级男生人数。 【详解】解：设六年级女生人数为7x人，男生人数为8x人。 7x－20＝8x×（1－25%） 7x－20＝8x×0.75 7x－20＝6x 7x－20＋20＝6x＋20 7x＝6x＋20 7x－6x＝6x＋20－6x x＝20 8×20＝160（人） 答：六年级有男生160人。 【变式训练1】正义路小学共有1000名学生，为支援“希望工程”，同学们纷纷捐书，有一半男生每人捐了9本书，另一半男生每人捐了5本书；一半女生每人捐了8本书，另一半女生每人捐了6本书。全校学生共捐了多少本书？ 【答案】7000本 【分析】由“一半男生每人捐了9本书另一半男生每人捐了5本”，可求出男生平均每人捐了7本；然后由“一半女生每人捐了8本书另一半女生每人捐了6本书”，可求出女生平均每人捐了7本；由此可知不管男女生的比例是多少，全校1000名学生平均每人捐了7本书，进而求得一共捐书的本数即可。 【详解】（9＋5）÷2 ＝14÷2 ＝7（本） （8＋6）÷2 ＝14÷2 ＝7（本） 1000×7＝7000（本） 答：全校学生共捐了7000本书。 【变式训练2】某学校数学课外兴趣小组，上学期男生人数占，这学期增加21名女生后，男生人数就只占了，这个兴趣小组现在共有学生多少名？ 【答案】75名 【分析】根据题意，设某学校数学课外兴趣小组上学期的总人数为人；已知上学期男生人数占，即上学期男生有人；已知这学期增加21名女生，即本学期总人数为（＋21）人；已知这学期男生人数只占，即本学期男生人数为（＋21）人； 根据题意可知，本学期和上学期男生的人数没有变化，据此得出等量关系：上学期男生人数＝本学期男生人数，根据等量关系列出方程，求出方程的解，即上学期的总人数，再加上本学期新增的女生人数，求出这个兴趣小组现在的总人数。 【详解】解：设某学校数学课外兴趣小组上学期的总人数为人。 ＝（＋21） ＝＋ －＝ －＝ ＝ ＝÷ ＝× ＝54 现在总人数：54＋21＝75（名） 答：这个兴趣小组现在共有学生75名。 一、填空题 1．一支圆珠笔元，一支钢笔的价格比它的2倍还多6元，钢笔的单价是（ ）元。 【答案】 【分析】 圆珠笔的单价为 元，钢笔的单价比圆珠笔单价的2倍还多6元，求一个数的几倍用乘法，多几用加法，因此用圆珠笔的单价乘2再加6计算得出。 【详解】 元 所以钢笔的单价是（） 元。 2．甲车的速度是千米/时，乙车的速度比甲车的多5千米，乙车的速度是（ ）千米/时（用含有的式子表示）；当千米/时，乙车的速度是（ ）千米/时。 【答案】 v＋5 45 【分析】把甲车的速度看作单位“1”，单位“1”已知，乙车的速度＝甲车的速度×＋5千米；据此求出乙车的速度； 当v＝60千米/时，代入求出的含有字母的式子，即可解答。 【详解】（v＋5）千米/时 当v＝60千米/时： 60×＋5 ＝40＋5 ＝45（千米/时） 3．李老师买6个足球，每个足球x元，他给收款员300元。李老师应找回的钱用式子表示是（ ）元。如果x＝40，那么找回的钱是（ ）元。 【答案】 （300－6x） 60 【分析】首先求出李老师买足球花的钱数，找回的钱数＝支付的钱数－花的钱数，据此用含字母的式子表示应找回的钱的数量关系式，再将x＝40代入数量关系式中计算出结果即可。 【详解】300－6×x＝（300－6x）（元） 当x＝40时 300－6×40 ＝300－240 ＝60（元） 李老师应找回的钱用式子表示是（300－6x）元，如果x＝40，那么找回的钱是60元。 4．A、B互为倒数，则100－AB＝（ ）。 【答案】99 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，据此确定AB的值，将AB的值代入100－AB，计算即可。 【详解】A、B互为倒数，则100－AB＝100－1＝99。 5．如果在盒子里放入3块同样的蛋糕，那么连盒共重250克；如果在同样的盒子里放入5块同样的蛋糕，那么连盒共重360克。则一块蛋糕重（ ）克。 【答案】55 【分析】根据题意，5块蛋糕连盒的重量－3块蛋糕连盒的重量＝2块蛋糕的重量，2块蛋糕的重量÷（5－3）＝一块蛋糕的重量。据此作答。 【详解】（360－250）÷（5－3） ＝110÷2 ＝55（克） 一块蛋糕重55克。 6．电影院第一排有m个座位，后面每一排都比它的前一排多一个座位。那么第n排有（ ）个座位。 【答案】m＋n－1 【分析】第一排有m个座位。 第二排比第一排多1个座位，所以第二排座位数是（m＋1）个。 第三排比第二排多1个座位，也就是比第一排多2个座位，所以第三排座位数是（m＋2）个。 第四排比第三排多1个座位，也就是比第一排多3个座位，所以第四排座位数是（m＋3）个。 …… 从前面的分析可以看出，第几排就比第一排多几个减1的座位数。那么第n排比第一排多（n－1）个座位，所以第n排的座位数是第一排的座位数＋（n－1）个。 【详解】电影院第一排有m个座位，后面每一排都比它的前一排多一个座位。那么第n排有（m＋n－1）个座位。 7．一根绳子长度的加上米，等于这根绳长的40%，这根绳子长（ ）米。 【答案】5 【分析】设这根绳子的长度为米；绳子长度的可表示为米，那么绳子长度的加上米可表示为（）米；这根绳长的40%表示为40%；已知“一根绳子长度的加上米，等于这根绳长的40%”，可列出方程：＝40%，并求解。 【详解】解：设这根绳子长米。 ＝40% ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝5 所以这根绳子长5米。 8．如果a＋b＝20，a－b＝4，那么a＝（ ）。 【答案】12 【分析】用a＋b＝20加上a－b＝4，会等于2a＝24，根据乘法算式各部分之间的关系可得a。 【详解】用a＋b＝20加上a－b＝4得： a＋b＋a－b＝20＋4 2a＝24 a＝24÷2 a＝12 如果a＋b＝20，a－b＝4，那么a＝12。 9．老师拿出54条研学丝带进行分发，男生分到的丝带数量是女生的2倍还多18条。男生分到多少条研学丝带？列方程解答时，设女生分到了x条研学丝带，可列方程为（ ），解得x＝（ ），那么男生分到了（ ）条研学丝带。 【答案】 x＋2x＋18＝54 12 42 【分析】根据男生分到的丝带数量是女生的2倍还多18条，可写出等量关系是：男生的丝带数量＝女生的丝带数量×2＋18条，由此即可表示出男生的丝带数量，再结合共54条，即可写出方程，并进行解答。 【详解】男生的丝带数量＝（2x＋18）条 x＋2x＋18＝54 3x＝54－18 3x＝36 x＝12 男生丝带数量＝2×12＋18＝24＋18＝42（条） 所以可列方程x＋2x＋18＝54，解得x＝12，那么男生分到了42条。 10．已知△＋□＝24，△＝□＋□＋□，△×□＝（ ）。 【答案】108 【分析】已知△＋□＝24，△＝□＋□＋□，把△换成3个□，式子就变成：3个□＋1个□＝24，也就是4个□的和是24，由此算出1个□＝ 24÷4＝6。因为1个△等于3个□，所以△＝3×6＝18。求□×△，代入数值，即可解答。 【详解】△＋□＝24 □＋□＋□＋□＝24 4□＝24 4□÷4＝24÷4 □＝6 △＝3×6＝18 △×□＝18×6＝108 所以△×□＝108。 11．《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。”意思是：有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱。则物价为（ ）钱。 【答案】53 【分析】设有x人，每人出8钱，会多3钱，则物价是（8x－3）钱；每人出7钱，又差4钱，则物价是（7x＋4）钱；由于物价不变，据此列出方程，并求出人数，进而求出物价，据此解答。 【详解】解：设有x人。 8x－3＝7x＋4 8x－7x＝4＋3 x＝7 8×7－3 ＝56－3 ＝53（钱） 则物价为53钱。 12．王朋家里买了150斤大米和100斤面粉，吃了一个月后，发现吃的米和面一样多，而且剩的米刚好是面的6倍，则米剩（ ）斤。 【答案】60 【分析】设吃了x斤米和x斤面，则米剩下（150－x）斤，面剩下（100－x）斤；根据“剩的米刚好是面的6倍”列方程：150－x ＝ 6×（100－x），计算得150－x＝600－6x，左右两边同时加上6x，减去150，得5x＝450，两边同时除以5解得x＝90，即吃了90斤米，用总的大米重量减去吃了的重量计算出剩下的重量。 【详解】解：设吃了x斤米和x斤面。 150－x＝6×（100－x） 150－x＝6×100－6x 150－x＝600－6x 150－x＋6x＝600－6x＋6x 150＋5x＝600 150＋5x－150＝600－150 5x＝450 5x÷5＝450÷5 x＝90 150－90＝60（斤） 所以米剩60斤。 13．一个三位数，个位数字为1，将这个三位数的个位移到百位前面，得到新的三位数的2倍比原数多15，则原三位数为（ ）。 【答案】231 【分析】根据题意可知数量关系：新的三位数×2－原三位数＝15，设这个三位数的前两个数字组成的两位数为x，那么新的三位为（1×100＋x），原三位数为（10x＋1），根据数量关系列出方程，运用等式性质解方程即可。 【详解】解：设这个三位数的前两个数字组成的两位数为x。 （1×100＋x）×2－（10x＋1）＝15 200＋2x－10x－1＝15 200－1＋2x－10x＝15 199＋2x－10x＋10x＝15＋10x 199＋2x＝15＋10x 199＋2x－2x－15＝15＋10x－2x－15 184＝8x 8x＝184 8x÷8＝184÷8 x＝23 所以，原三位数是231。 14．毕业班的联欢会共有100名同学参加，男同学先到会。第一个到会的女同学与全部男同学握过手，第二个到会的女同学只差1个男同学没握过手，第三个到会的女同学只差2个男同学没握过手，如此直到最后一个到会的女同学与9个男同学握过手。问到会的女同学有（ ）人。 【答案】46 【分析】可以设想每个女生与最后一个与她握手的男生一同跳舞，这个男生不再与其他人握手。这样，一对对舞伴离开后，最后留下男生是9－1＝8人，所以男生比女生多8人， 设女生有x人，男生就有（x＋8）人，根据男女生共100人列出方程求解即可。 【详解】解：设女生有x人。 x＋x＋9－1＝100 2x＋8＝100 2x＋8－8＝100－8 2x＝92 2x÷2＝92÷2 x＝46 到会的女同学有46人。 二、判断题 15．因为22＝2×2，所以a2＝a×2。（ ） 【答案】× 【分析】一个数的平方表示相同的两个数相乘，如m2读作“m的平方”，表示两个m相乘，即m×m，据此解答。 【详解】分析可知，因为22＝2×2，所以a2＝a×a，题目说法错误。 故答案为：× 16．x＝是方程3x－1.6＝0.8的解。（ ）。 【答案】√ 【分析】把x＝代入方程，计算出左边3x－1.6的值，看左边和右边是否相等，如果相等则x＝是方程的解，不相等就不是方程的解。 【详解】把x＝代入3x－1.6＝0.8； 左边＝3×－1.6 ＝－1.6 ＝2.4－1.6 ＝0.8 左边＝右边 所以x＝是方程3x－1.6＝0.8的解。 故答案为：√ 17．第一排有b个座位，以后每排比前一排多2个，第10排有（b＋20）个座位。（ ） 【答案】× 【分析】分析座位数量的变化规律：第一排有b个座位，从第二排起，每排比前一排多2个座位。那么第二排比第一排多1个2，第三排比第一排多2个2，以此类推，第n排比第一排多（n－1）个2 。 计算第10排的座位数：要求第10排的座位数，第10排比第一排多（10－1）个2，即多2×（10－1）＝2×9＝18个座位，所以第10排座位数应该是b＋2×9＝b＋18个，而不是b＋20个。 【详解】b＋2×9＝（b＋18）个，所以第一排有b个座位，以后每排比前一排多2个，第10排有（b＋18）个座位。原题说法错误。 故答案为：× 18．如果用2a（a是自然数）表示一个偶数，那么2a＋1一定是奇数。（ ） 【答案】√ 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 偶数与奇数的运算性质，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数。 【详解】根据偶数＋奇数＝奇数，可知： 如果用2a（a是自然数）表示一个偶数，那么2a＋1一定是奇数。 原题说法正确。 故答案为：√ 19．甲、乙两人的零花钱原来相差a元，各用去10%后，剩下的仍相差a元。（ ） 【答案】× 【分析】假设A、B两人的零花钱分别是100元和90元，各用去10%后，分别算出零花钱的90%，再相减即可。 【详解】假设甲、乙两人的零花钱分别是100元和90元。 100－90＝10（元） 100×（1－10%） ＝100×0.9 ＝90（元） 90×（1－10%） ＝90×0.9 ＝81（元） 90－81＝9（元） 9÷10＝90% a×90%＝90%a（元） 甲、乙两人的零花钱原来相差a元，各用去10%后，剩下的相差90%a元。原题说法错误。 故答案为：× 三、选择题 20．X、Y都是自然数，如果，那么X、Y分别等于（     ）。 A．3，4 B．4，3 C．2，1 D．1，2 【答案】C 【分析】已知，通分可得：，两边同时乘12，得到4X＋3Y＝11。把各选项的数4X＋3Y＝11计算看是否成立。 【详解】把各选项数字代入4X＋3Y＝11计算。 A．4×3＋3×4 ＝12＋12 ＝24 不等于11，该选项不符合。 B．4×4＋3×3 ＝16＋9 ＝25 不等于11，该选项不符合。 C．4×2＋3×1 ＝8＋3 ＝11 等于11，该选项符合。 D．4×1＋3×2 ＝4＋6 ＝10 不等于11，该选项不符合。 所以X＝2、Y＝1。 故答案为：C 21．，那么＝（     ）。 A．500 B．250 C．100 D．20 【答案】A 【分析】根据乘法分配律及等式的性质，可将等式左边变形后得到的值，代入到含有字母的式子中，即可得解，据此解答。 【详解】 那么。 故答案为：A 22．随着通讯市场竞争的日益激烈，某通讯公司的手机市话收费按原标准每分钟降低了a元后，再次下调了25%，现在的收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟为（     ）元。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设原收费标准每分钟为x元。根据题意，原标准降低a元后为（x － a）元，再下调25%，即降价后的价格是（x － a）的75%，等于现在的收费标准b元。因此，可以列出方程求解x。 【详解】解：设原收费标准为x元。 （x － a） × （1－25%） ＝ b （x － a） ×0.75＝ b （x － a） ×＝ b （x － a） ×÷＝ b÷ x – a＝b× x – a＋a＝b×＋a x＝b＋a 故答案为：C 23．仔细阅读图，与它的图意相符的式子是（     ）。 A．（a＋b）2＝a2＋b2 B．（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab C．（a－b）2＝a2－b2 D．（a＋b）2＝2ab 【答案】B 【分析】根据：正方形的面积＝边长×边长，长方形的面积＝长×宽，大正方形的面积＝两个小正方形的面积＋两个小长方形的面积；解答此题即可。 【详解】根据分析， 大正方形的面积：a×a＝a2 小正方形的面积：b×b＝b2 长方形的面积：a×b＝ab 两个长方形的面积是：2ab 这个图形的总面积是：a2＋b2＋2ab 大正方的边长是：a＋b 这个图形的面积是：（a＋b）×（a＋b）＝（a＋b）2 与图意相符的式子是：（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab。 故答案为：B 24．假期张老师带学生乘车外出参加实践活动，甲车主说“每人八折”，乙车主说：“学生九折，老师免费”，张老师计算了一下，不论坐谁的车，费用都一样，则张老师带的学生数为（     ）。 A．8名 B．9名 C．10名 D．17名 【答案】A 【分析】根据现价＝原价×折扣，总费用＝每人坐车费用×人数。不论坐谁的车，费用都一样，甲车的总费用＝乙车的总费用。设张老师带的学生数为名，假设每人坐车费用为100元，列出方程100×（）×80%＝100××90%，根据等式的基本性质解方程，即可解答。 【详解】解：设张老师带的学生数为名，假设每人坐车费用为100元。 100×（）×80%＝100××90% 100×（）×0.8＝100××0.9 80×（）＝90 80＋80＝90 80＋80－80＝90－80 10＝80 10÷10＝80÷10 ＝8 则张老师带的学生数为8名。 故答案为：A 四、计算题 25．解方程。                                       2x＋30%x＝9.2 【答案】x＝4.6；x＝2；x＝4 【分析】第1题，根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积。先把比例改写成方程，再根据等式的性质，两边同时除以6。 第2题，先算，等式两边再同时乘。 第3题，先算2x＋30%x，等式两边再同时除以2.3。 【详解】 解： 解： 2x＋30%x＝9.2 解： 五、解答题 26．电信公司要铺设一条通信电缆线，计划由20人工作12天完成，因任务紧急，必须提前2天完成，如果工作效率不变，需增加多少人才能按时完成任务？ 【答案】4人 【分析】根据题意得：工作总量＝工作效率×工作时间，工作总量不变，即工作效率和工作时间的成绩一定，则工作效率与工作时间成反比例关系。可设需要增加的人数为x，则需要的人数为20＋x，据此可列出方程，进而计算得出答案。 【详解】解：设应增加x人才能按时完成任务。 （12－2）×（20＋x）＝12×20 10×（20＋x）＝240 10×20＋10x＝240 200＋10x－200＝240－200 10x＝40 10x÷10＝40÷10 x＝4 答：应增加4人才能按时完成。 27．学校图书馆购进文学类图书280本，比科技类图书的本数多，购进的科技类图书有多少本？（先画线段图，写出等量关系，再列方程解答） 【答案】 图及等量关系见详解； 240本 【分析】根据题意，把科技类图书的本数看作单位“1”，文学类图书280本，比科技类图书的本数多，据此画出示意图，可知本题的等量关系为：科技类图书的本数×＋科技类图书的本数＝文学类图书的本数，设购进的科技类图书有x本，列出方程解答即可。 【详解】如图： 等量关系为：科技类图书的本数×＋科技类图书的本数＝文学类图书的本数。 解：设购进的科技类图书有x本。 x＋x＝280 x＝280 ×x＝280× x＝240 答：购进的科技类图书有240本。 28．小华看一本课外书，第一天看了这本书的25%，第二天看了35页，还剩下这本书的没有看，这本书一共有多少页？ 【答案】100页 【分析】把这本书的总页数看作单位“1”，第二天看的35页占总页数的（1－25%－），根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算，据此解答。 【详解】35÷（1－25%－） ＝35÷（1－0.25－0.4） ＝35÷0.35 ＝100（页） 答：这本书一共有100页。 29．仓库里存放一些钢材，第一次用去总吨数的30%，第二次用去总吨数的，第二次比第一次多用去2吨，问仓库里存放钢材多少吨？ 【答案】10吨 【分析】设仓库里存放钢材的总吨数为x吨，这是解决方程问题的常规步骤，为后续表示各次使用钢材的数量做准备。根据已知条件，分别表示出第一次和第二次使用钢材的数量，第一次用去总吨数30%，即30%x吨；第二次用去总吨数的，即x吨。利用“第二次比第一次多用去2吨”这一关键等量关系列出方程x－30%x＝2，再根据等式的性质解方程即可。 【详解】解：设仓库里存放钢材x吨。 x－x＝2 x－x＝2 x＝2 x÷＝2÷ x×＝2× x＝10 答：仓库里存放钢材10吨。 30．为庆祝“六一”儿童节活动做准备，张敏小组和赵红小组共折了140 只千纸鹤，张敏组折的只数是赵红组的75%。张敏和赵红小组各折了多少只千纸鹤？ 【答案】张敏60只；赵红80只 【分析】根据“张敏组折的只数是赵红组的75%”，设赵红小组折了只千纸鹤，则张敏小组折了75%只千纸鹤； 根据“张敏小组和赵红小组共折了140 只千纸鹤”可得出等量关系：张敏小组折千纸鹤的只数＋赵红小组折千纸鹤的只数＝两个小组折千纸鹤的总只数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设赵红小组折了只千纸鹤，则张敏小组折了75%只千纸鹤。 ＋75%＝140 ＋0.75＝140 1.75＝140 ＝140÷1.75 ＝80 张敏小组：140－80＝60（只） 答：张敏小组折了60只千纸鹤，赵红小组折了80只千纸鹤。 31．甲乙两种商品，成本共2000元，甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价，后来都按定价打九折卖出去了，结果仍获利223元，甲商品的成本是多少元？ 【答案】700元 【分析】设甲商品的成本是x元，则乙商品的成本是（2000－x）元。由题意可知，甲商品的定价是成本价的，乙商品的定价是成本价的，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，可用（1＋30%）x表示甲商品的定价，用（1＋20%）（2000－x）表示乙商品的定价，根据等量关系式：（甲商品的定价＋乙商品的定价）×90%－成本总价＝223，据此列方程并求解即可。 【详解】解：设甲商品的成本是x元，则乙商品的成本是（2000－x）元。 [（1＋30%）x＋（1＋20%）（2000－x）]×90%－2000＝223 [1.3x＋1.2×（2000－x）]×90%－2000＝223 [1.3x＋2400－1.2x]×90%－2000＝223 [0.1x＋2400]×90%－2000＝223 0.09x＋2400×90%－2000＝223 0.09x＋2160－2000＝223 0.09x＋160＝223 0.09x＝63 0.09x÷0.09＝63÷0.09 x＝700 答：甲商品的成本是700元。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年小升初数学复习讲练测 第三章：式与方程 （11大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） （一）知识点梳理 知识点01 用字母表示数 2 知识点02 含有字母式子的化简与求值 2 知识点03 等式与方程 3 知识点04 方程的解和解方程 3 知识点05 列方程解应用题 3 （二）重难点题型讲解 考点01 用字母表示数 4 考点02 含有字母式子的化简与求值 5 考点03 方程的意义 5 考点04 等式的意义和性质 6 考点05 方程的解、解简易方程 6 考点06 列方程解含一个未知数的问题 7 考点07 列方程解和差倍问题 7 考点08 列方程解鸡兔同笼问题 8 考点09 列方程解行程问题 9 考点10 列方程解含两个未知数的问题 10 考点11 列方程解决复杂的实际问题 11 （三）真题演练 真题演练 12 知识点01：用字母表示数 1.用字母表示数量关系：字母可以表示数量关系，也可以表示运算结果。 （1）路程、速度和时间分别用字母s、v、t表示三者之间的关系：。 （2）工作总量、工作效率和工作时间分别用字母c、a、t 表示；三者之间的关系：c＝at，，。 （3）收入、支出和结余分别用字母a、b、c表示三者之间关系：c＝a－b，a＝b＋c，b＝a－c。 2.用字母表示运算律和性质 （1）加法运算律 交换律：a＋b＝b＋a；结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） （2）乘法运算律 交换律：a×b＝b×a；结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）；分配律：（a±b）×c＝a×c±6×c （3）运算性质 减法性质：a－b－c＝a－（b＋c）；除法性质：a÷b÷c＝a÷（b×c） 3.用字母表示计算公式：几何图形的周长、面积、表面积、体积的计算公式也常用字母表示。 【易错点拨】 （1）数字和字母、字母和字母中间的乘号可以记作“・”或省略不写，但要记住在省略乘号时数字应当写在字母的前面，例如：a×b=ab； （2）“1”与任何字母相乘时，“1”都省略不写，例如：1×a=a； （3）当两个相同字母相乘时，可以写成这个字母的平方，例如：a×a=a2； （4）在同一个数量关系中，一个字母只能表示一种数量。 知识点02：含有字母式子的化简与求值 1.化简方法：只把系数相加减，字母和指数不变： 2.求值步骤 （1）写出条件：当a=…时； （2）代入原式； （3）算出结果. 知识点03：等式与方程 1.等式的意义：表示两个相等关系的式子叫作等式。 2.等式的性质 （1）等式两边同时加上（或减去）同一个数，所得的结果仍是等式； （2）等式两边同时乘（或除以）相同的数（0除外），所得的结果仍是等式。 3.方程的意义：含有未知数的等式叫作方程。 4.方程与等式的关系 （1）方程都是等式，但等式不一定是方程。 （2）方程具备两个条件：①含有未知数；②是等式。 【易错点拨】方程一定是等式，但等式不一定是方程。 知识点04：方程的解和解方程 1.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 2.解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 3.解方程原理：天平平衡。 4.简易方程的解法 （1）消元法：根据等式的基本性质求方程的解。 （2）公式法：①“－x”：减数＝被减数－差；②“÷x”：除数＝被除数÷商。 5.方程的检验：把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值，如果相等，所求的未知数的值就是原方程的解；否则就不是。 【易错点拨】 （1）解方程时，必须在算式最左边写“解：”，后续步骤紧跟“解：”书写，不能遗漏“解”字，这是解方程的格式要求。 （2）当未知数系数为1，直接利用性质1求解；系数为-1，需两边同时乘-1，不能忽略负号。 知识点05：列方程解应用题 1.列方程解应用题就是用字母表示应用题中的未知数，根据等量关系列出方程，再解所列方程，得到答案。 2.分析等量关系的方法 （1）根据常见的数量关系找等量关系。如：时间、速度、路程；单价、数量、总价等之间的关系。 （2）根据周长、面积、体积等计算公式找等量关系。 （3）根据题中的重点叙述句，从整体上确定基本数量关系。 （4）对于较难理解的应用题，利用线段图、列表等方法分析题意找出等量关系。 3.列方程解应用题的一般步骤 （1）设未知数：根据问题设关键未知量为x，设时需带单位； （2）找等量关系：从情境中找出数量间的相等关系，这是列方程的关键； （3）列方程：根据等量关系列出含有未知数的等式； （4）解方程：按解方程步骤求出x的值，解后不带单位； （5）检验并作答：检验x的值是否符合实际情境，再完整作答。 【易错点拨】 （1）设未知数时需明确“设哪个量”（通常设问题中要求的量，如问题问“苹果单价多少元”，设“苹果单价为x元”），设句需完整，且单位要正确。 （2）等量关系是列方程的核心，可通过“关键词”（如“一共”“比…… 多”“是……的几倍”）或“公式”（如“总价=单价×数量”）寻找，避免等量关系错误导致方程列错。 （3）求出x的值后，除了代入方程检验，还需结合实际情境判断，若不符合实际，需检查设未知数或等量关系是否错误。 考点01：用字母表示数 【典型例题】琳琳设计了一个猜年龄程序： 输入你的年龄→加6→乘1.5→输出结果 如果输入的年龄是a岁，则输出的结果是（ ）；如果输出的结果是54，则输入的年龄是（ ）岁。 【变式训练1】小亮比小强大3岁，比小花小5岁，如果小强是m岁，小花是（     ）岁。 A．m－3 B．m＋3 C．m＋5 D．m＋8 【变式训练2】已知a是一个两位数，b是一个三位数，若把b放在a的左边，组成一个五位数，则这个五位数是（     ）。 A．100b＋a B．10b＋a C．b＋a D．1000a＋b 考点02：含有字母式子的化简与求值 【典型例题】果园有吨水果，每次运走1.8吨，运了次，用式子表示还剩（ ）吨水果，如果，，还剩下（ ）吨水果。 【变式训练1】一个小数，十位上的数字m，个位上的数字是0，十分位上的数字是n，根据每个数位上的计数单位，这个小数用含有字母的式子表示是（     ）。 A．m＋0.1n B．m＋n C．10m＋n D．10m＋0.1n 【变式训练2】小明把×（a＋2）错写成a＋2，所得的结果与正确答案相比（     ）。 A．多2 B．多 C．少2 D．少 考点03：方程的意义 【典型例题】下列数学问题中，不能用方程“2X＋4＝16”解决的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】下面式子是方程的是（     ）。 A．5x－7 B． C．2x－3＝0 D．5－x＞0.2 考点04：等式的意义和性质 【典型例题】我国古代数学著作《九章算术》“方程”章中有一问题：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两。问牛值金几何？”原文翻译为：现有牛5头，羊2头，价值金10两；牛2头，羊5头，价值金8两。问：一头牛值金（     ）两。 A． B． C． D． 【变式训练】已知：，，下面计算结果错误的是（     ）。 A． B． C． D． 考点05：方程的解、解简易方程 【典型例题】解方程。                 【变式训练1】x＝1.5是下列方程中（     ）的解。 A．x＋0.3＝1.2 B．1－x＝0.5 C．10x＋3＝18 D．2x－x＝3 【变式训练1】解方程。 （1）     （2） 考点06：列方程解含一个未知数的问题 【典型例题】淘气攒了1元硬币和5角硬币这两种硬币，总共75元。其中5角硬币占总枚数的，淘气一共攒了多少枚硬币？（列方程解答） 【变式训练1】买8本笔记本和24支铅笔共用去43.2元，已知每本笔记本3.6元，每支铅笔多少元？（列方程解答） 【变式训练2】园林绿化队要栽一批树苗，第一天栽了210棵，第二天栽了剩下的20%，两天后还有总数的没有完成，这批树苗一共多少棵？ 考点07：列方程解和差倍问题 【典型例题】端午节，乐乐妈妈买了一些鸡蛋和粽子。鸡蛋比粽子多50个，鸡蛋的个数是粽子的3倍，乐乐妈妈鸡蛋、粽子各买了多少个？（建议列方程解答） 【变式训练1】甲、乙两个同学有书若干，已知甲同学的书比乙同学的多12本，若乙同学给甲同学6本书，这时甲同学的书就是乙同学的1.5倍，问甲、乙同学原来各有多少本书？ 【变式训练2】红军小学开展“惜水节水”活动，今年4月份和5月份全校共节约用水300吨，4月份节约用水量是5月份的。4月份和5月份各节约用水多少吨？（用方程解） 考点08：列方程解鸡兔同笼问题 【典型例题】一名工人搬运1000只花瓶，规定每搬运一只花瓶得劳务费0.4元，如果打碎，不但得不到这只花瓶的劳务费，还要赔1.6元。这名工人运完后共得劳务费360元，他打碎了多少只花瓶？ 【变式训练1】春季运动会上，34位同学在12张球桌上同时进行乒乓球比赛（如下图）。进行单打和双打的乒乓球桌各有几张？ 【变式训练2】“鸡兔同笼”问题是我国古代的数学名题之一，它出自唐代的《孙子算经》。假如今有鸡兔同笼，上有九只头，下有二十四足，问鸡兔各几何？你能解决这个问题吗？ 考点09：列方程解行程问题 【典型例题】我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》一书中有这样一道题目：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”译文：“快马每天走240里，慢马每天走150里。慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？” 【变式训练1】儋州到海口的公路长约130千米。一辆小轿车从儋州开往海口，一辆面包车沿同样的路线从海口开往儋州，它们同时出发，1.3小时后两车相遇。已知小轿车每小时行60千米，面包车每小时行多少千米？（列方程解答） 【变式训练2】A、B两座房屋相距360米，甲、乙两人分别从A、B两座房屋门口同时出发，甲从A向西走，乙从B向东走，如图所示，4分钟后两人相距808米，甲每分钟走55米。乙每分钟走多少米？（列方程解答） 考点10：列方程解含两个未知数的问题 【典型例题】李老师为学校买垃圾桶和文件收纳盒共花了180元，每个垃圾桶20元，每个文件收纳盒10元，买的文件收纳盒比垃圾桶多6个。李老师分别买了多少个垃圾桶和文件收纳盒？ 【变式训练1】学校组织六年级同学参观科技馆，门票分A等票和B等票，买A等票150张、B等票50张，一共花了4600元。一张A等票的价钱是一张B等票的1.2倍。一张A等票多少元？ 【变式训练2】班级图书角共有故事书56本，童话故事书本数的和漫画故事书本数的相等。童话故事书和漫画故事书各有多少本？（列方程解答） 考点11：列方程解决复杂的实际问题 【典型例题】阳光小学六年级女生人数与男生人数的比是7∶8，王老师从女生中选出20人，又选出男生人数的25%参加文体活动，这时男、女生剩下的人数正好相等，六年级有男生多少人？ 【变式训练1】正义路小学共有1000名学生，为支援“希望工程”，同学们纷纷捐书，有一半男生每人捐了9本书，另一半男生每人捐了5本书；一半女生每人捐了8本书，另一半女生每人捐了6本书。全校学生共捐了多少本书？ 【变式训练2】某学校数学课外兴趣小组，上学期男生人数占，这学期增加21名女生后，男生人数就只占了，这个兴趣小组现在共有学生多少名？ 一、填空题 1．一支圆珠笔元，一支钢笔的价格比它的2倍还多6元，钢笔的单价是（ ）元。 2．甲车的速度是千米/时，乙车的速度比甲车的多5千米，乙车的速度是（ ）千米/时（用含有的式子表示）；当千米/时，乙车的速度是（ ）千米/时。 3．李老师买6个足球，每个足球x元，他给收款员300元。李老师应找回的钱用式子表示是（ ）元。如果x＝40，那么找回的钱是（ ）元。 4．A、B互为倒数，则100－AB＝（ ）。 5．如果在盒子里放入3块同样的蛋糕，那么连盒共重250克；如果在同样的盒子里放入5块同样的蛋糕，那么连盒共重360克。则一块蛋糕重（ ）克。 6．电影院第一排有m个座位，后面每一排都比它的前一排多一个座位。那么第n排有（ ）个座位。 7．一根绳子长度的加上米，等于这根绳长的40%，这根绳子长（ ）米。 8．如果a＋b＝20，a－b＝4，那么a＝（ ）。 9．老师拿出54条研学丝带进行分发，男生分到的丝带数量是女生的2倍还多18条。男生分到多少条研学丝带？列方程解答时，设女生分到了x条研学丝带，可列方程为（ ），解得x＝（ ），那么男生分到了（ ）条研学丝带。 10．已知△＋□＝24，△＝□＋□＋□，△×□＝（ ）。 11．《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。”意思是：有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱。则物价为（ ）钱。 12．王朋家里买了150斤大米和100斤面粉，吃了一个月后，发现吃的米和面一样多，而且剩的米刚好是面的6倍，则米剩（ ）斤。 13．一个三位数，个位数字为1，将这个三位数的个位移到百位前面，得到新的三位数的2倍比原数多15，则原三位数为（ ）。 14．毕业班的联欢会共有100名同学参加，男同学先到会。第一个到会的女同学与全部男同学握过手，第二个到会的女同学只差1个男同学没握过手，第三个到会的女同学只差2个男同学没握过手，如此直到最后一个到会的女同学与9个男同学握过手。问到会的女同学有（ ）人。 二、判断题 15．因为22＝2×2，所以a2＝a×2。（ ） 16．x＝是方程3x－1.6＝0.8的解。（ ）。 17．第一排有b个座位，以后每排比前一排多2个，第10排有（b＋20）个座位。（ ） 18．如果用2a（a是自然数）表示一个偶数，那么2a＋1一定是奇数。（ ） 19．甲、乙两人的零花钱原来相差a元，各用去10%后，剩下的仍相差a元。（ ） 三、选择题 20．X、Y都是自然数，如果，那么X、Y分别等于（     ）。 A．3，4 B．4，3 C．2，1 D．1，2 21．，那么＝（     ）。 A．500 B．250 C．100 D．20 22．随着通讯市场竞争的日益激烈，某通讯公司的手机市话收费按原标准每分钟降低了a元后，再次下调了25%，现在的收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟为（     ）元。 A． B． C． D． 23．仔细阅读图，与它的图意相符的式子是（     ）。 A．（a＋b）2＝a2＋b2 B．（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab C．（a－b）2＝a2－b2 D．（a＋b）2＝2ab 24．假期张老师带学生乘车外出参加实践活动，甲车主说“每人八折”，乙车主说：“学生九折，老师免费”，张老师计算了一下，不论坐谁的车，费用都一样，则张老师带的学生数为（     ）。 A．8名 B．9名 C．10名 D．17名 四、计算题 25．解方程。                                       2x＋30%x＝9.2 五、解答题 26．电信公司要铺设一条通信电缆线，计划由20人工作12天完成，因任务紧急，必须提前2天完成，如果工作效率不变，需增加多少人才能按时完成任务？ 27．学校图书馆购进文学类图书280本，比科技类图书的本数多，购进的科技类图书有多少本？（先画线段图，写出等量关系，再列方程解答） 28．小华看一本课外书，第一天看了这本书的25%，第二天看了35页，还剩下这本书的没有看，这本书一共有多少页？ 29．仓库里存放一些钢材，第一次用去总吨数的30%，第二次用去总吨数的，第二次比第一次多用去2吨，问仓库里存放钢材多少吨？ 30．为庆祝“六一”儿童节活动做准备，张敏小组和赵红小组共折了140 只千纸鹤，张敏组折的只数是赵红组的75%。张敏和赵红小组各折了多少只千纸鹤？ 31．甲乙两种商品，成本共2000元，甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价，后来都按定价打九折卖出去了，结果仍获利223元，甲商品的成本是多少元？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $