第4课时 - 期中复习列方程解应用题（课件）-2025-2026学年五年级下册数学沪教版

行程问题专题（相遇+追及） 期中复习列方程解应用题 教师网课专用 1.7.2013 同学们好，欢迎来到今天的网课。今天我们将一起复习行程问题中的相遇和追及问题，这是列方程解应用题中的重点和难点。希望通过今天的学习，大家能熟练掌握解题方法。 ‹#› 目录 行程相遇问题 两个物体相向而行的运动模型 行程追及问题 两个物体同向而行的运动模型 1.7.2013 本次课程主要分为两个部分，首先我们来学习相遇问题，然后再探讨追及问题。大家可以看到，我们的内容安排得很清晰，希望大家跟上节奏。 ‹#› 题型1：相遇问题 - 看线段图写等量关系并列方程 相遇问题线段示意图 题目条件 甲速度 x 千米/时，乙速度 4 千米/时，2.5 小时后相遇，总路程 22.5 千米。 等量关系 甲2.5小时行驶的路程 + 乙2.5小时行驶的路程 = 22.5千米 列出方程 2.5x + 4 × 2.5 = 22.5 1.7.2013 首先我们来看相遇问题的第一类题型，看图列方程。大家看屏幕上的线段图，这是一个典型的相遇问题模型。我们需要根据图中的信息，找出等量关系，然后列出方程。 从图中我们可以提取出关键信息：甲的速度是x千米每小时，乙是4千米每小时，两人行驶了2.5小时后相遇，总路程是22.5千米。 解决这类问题的核心是找到等量关系：甲走的路程加上乙走的路程等于总路程。 根据“路程=速度×时间”，我们可以列出方程：2.5x加上4乘以2.5等于22.5。 ‹#› 相遇问题：列方程解题（第1题）答案 解题过程 2.5x + 10 = 22.5 2.5x = 22.5 - 10 2.5x = 12.5 x = 12.5 ÷ 2.5 x = 5 答案：甲的速度是 5 千米/时。 1.7.2013 好，我们来解这个方程。首先计算4乘以2.5等于10，然后方程变成2.5x加10等于22.5。接着，两边同时减10，得到2.5x等于12.5，最后两边同时除以2.5，解得x等于5。所以，甲的速度是5千米每小时。 ‹#› 题型1：相遇问题 - 看线段图列方程（第2题） 题目关键条件提取 甲速度：x 千米/时 乙速度：5 千米/时 相遇时间：2.5 小时 总路程：22.5 千米 等量关系分析 甲2.5小时路程 + 乙2.5小时路程 = 总路程 列出方程 2.5x + 5 × 2.5 = 22.5 小学数学 · 行程问题专项训练 1.7.2013 我们来看第二题，这道题和第一题非常相似，只是乙的速度变成了5千米每小时。同样，我们先找等量关系，然后列出方程。 从线段图中我们可以看到，甲和乙相向而行，经过2.5小时相遇。根据“路程=速度×时间”，我们可以得出等量关系：甲行驶的路程加上乙行驶的路程等于总路程。 代入数值和未知数x，我们得到方程：2.5x 加上 5乘以2.5 等于 22.5。 ‹#› 题型1：相遇问题（第2题）等量关系与方程答案 解答过程 $2.5x + 12.5 = 22.5$ $2.5x = 22.5 - 12.5$ $2.5x = 10$ $x = 10 ÷ 2.5$ $x = 4$ 答案： 甲的速度是 4 千米/时。 1.7.2013 解题步骤和第一题一样。先计算5乘以2.5等于12.5，方程变为2.5x加12.5等于22.5。然后两边减12.5，得到2.5x等于10，最后解得x等于4。所以甲的速度是4千米每小时。 ‹#› 题型1：相遇问题 - 看线段图列方程（第3题） 题目条件：甲速度5千米/时，乙速度4千米/时，x小时后相遇，总路程为22.5千米。请根据题意写出等量关系并列方程。 等量关系： 甲x小时行驶的路程 + 乙x小时行驶的路程 = 总路程(22.5千米) 列出方程： 5x + 4x = 22.5 解题思路：相遇问题的核心是“路程和等于总路程”。即使未知量变为相遇时间x，依然可以套用此等量关系构建方程。 1.7.2013 第三题有所不同，这次未知的是相遇时间x。我们依然根据“路程和等于总路程”这个等量关系来列方程。 从线段图中我们可以看到，甲走的路程是5x，乙走的路程是4x，两者相加等于总路程22.5千米。因此方程是5x加4x等于22.5。 ‹#› 题型1：相遇问题 - 看线段图写等量关系并列方程（第3题）答案 解答过程 9x = 22.5 x = 22.5 ÷ 9 x = 2.5 最终答案 经过2.5小时相遇。 解题思路：根据“速度和 × 相遇时间 = 总路程”列方程，合并同类项后求解。 1.7.2013 这道题的方程更简单，5x加4x等于9x，所以9x等于22.5。两边同时除以9，得到x等于2.5。也就是说，经过2.5小时两车相遇。 ‹#› 题型1：相遇问题 - 填空（第1题） 题目描述： 客车和货车同时从相距1305千米的东西两城出发，相向而行。货车每小时行驶65千米，9小时后两车相遇，求客车的速度。请先填写左侧线段图，再列方程求解。 关键信息填空提示： • 客车速度：(x) 千米/时 • 相遇时间：(9) 小时 • 货车速度：(65) 千米/时 1.7.2013 接下来是填空题，大家先根据题目信息，把线段图里的空白填好。然后我们再一起列方程求解。 ‹#› 题型1：相遇问题 - 填空（第1题）答案 线段图与等量关系 线段图填写： 客车速度：(x) 千米/时 | 相遇时间：(9) 小时 货车速度：(65) 千米/时 等量关系： 客车9小时路程 + 货车9小时路程 = 1305千米 方程与求解过程 列方程：9x + 65×9 = 1305 解方程： 9x + 585 = 1305 9x = 1305 - 585 9x = 720 x = 80 最终答案 答：客车的速度是80千米/时。 1.7.2013 我们来核对一下填空内容，并解方程。设客车速度为x，那么9小时行驶9x千米，货车9小时行驶65乘以9等于585千米。两者相加等于总路程1305千米。解方程得到x等于80，所以客车速度是80千米每小时。 ‹#› 题型1：相遇问题 - 梯度例题（基础） 题目描述： 两地相距 270km，甲车速度为 30km/h，乙车速度为 60km/h，两车同时从两地出发相向而行，请问经过几小时两车相遇？ 总路程 (S) 270 km 速度和 (V) 90 km/h 相遇时间 (t) ? 小时 解题思路提示：相遇问题的核心公式为总路程 = 速度和 × 相遇时间 1.7.2013 现在我们来看梯度例题，从基础题开始。这道题是求相遇时间，大家可以自己先尝试列方程。 ‹#› 题型1：相遇问题 - 梯度例题（基础）答案 等量关系解析 （甲的速度 + 乙的速度）× 相遇时间 = 总路程 方程求解过程 方程：(30 + 60)x = 270 计算：90x = 270 ⇒ x = 3 最终答案：两车经过 3 小时后相遇。 解题关键：利用速度和公式建立一元一次方程，通过移项求解未知数。 1.7.2013 这道题我们可以用速度和乘以相遇时间等于总路程这个公式来列方程。30加60等于90，90x等于270，解得x等于3。所以，3小时后相遇。 ‹#› 题型1：相遇问题 - 梯度例题（提高） 题目描述： 两车4小时相遇，甲比乙每小时快10km，全程400km，求乙速。 解题思路提示： 这道题涉及两个未知速度（甲和乙），且存在差值关系。建议设其中一个量为未知数，利用路程公式建立方程求解。 思考：如果设乙车速度为 x km/h，那么甲车速度应该如何表示？ 1.7.2013 接下来是提高题，这道题需要我们设未知数来表示两个量。大家思考一下，应该设哪个量为x呢？ ‹#› 题型1：相遇问题 - 梯度例题（提高）答案 解题思路与等量关系 解：设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为(x+10)千米/时。 等量关系：（甲速 + 乙速）× 相遇时间 = 总路程 方程建立 4(x + x + 10) = 400 根据“速度和 × 时间 = 路程”的公式，代入数值得到上述方程。 解答过程 4(2x + 10) = 400 2x + 10 = 100 2x = 90 x = 45 最终答案 乙的速度是 45 千米/时。 （注：甲的速度为 45 + 10 = 55 千米/时） 1.7.2013 我们设乙的速度为x，那么甲的速度就是x加10。根据速度和乘以时间等于总路程，列出方程4乘以（x加x加10）等于400。解这个方程，先两边除以4，得到2x加10等于100，再解得x等于45。所以乙的速度是45千米每小时。 ‹#› 题型1：相遇问题 - 梯度例题（拔高） 题目 甲乙两车相向而行，3小时后相遇。相遇后甲车再行驶2小时到达B地，已知甲车速度为40km/h，求全程距离。 思路 关键在于理解：相遇时乙走的路程，等于相遇后甲走的路程。先求出相遇后甲走的路程（即乙3小时走的路程），从而求出乙速，最后求全程。 答案：甲走全程用时 3+2=5 小时，全程 = 40 × 5 =200 km 1.7.2013 最后是拔高题，这道题需要我们仔细分析甲行驶的总时间。大家先看题目，思考一下甲从出发到到达B地一共用了多长时间？ ‹#› 题型1：相遇问题 - 梯度例题（拔高）答案 等量关系分析 全程 = 甲从出发到到达B地的总时间 × 甲的速度 方程与计算过程 方程：x = 40 × (3 + 2) 计算：x = 40 × 5 = 200 最终答案 全程距离为 200 千米。 1.7.2013 题目说甲乙相向而行3小时相遇，相遇后甲再行2小时到达B地。这说明甲从出发到B地总共用了3加2等于5小时。已知甲的速度是40千米每小时，所以全程就是40乘以5，等于200千米。这道题的关键是理解甲行驶全程的总时间。 ‹#› 题型1：相遇问题 - 应用题（第1题） 题目 两辆轿车同时从相距535.5千米的甲乙两个城市相向而行。出租车每小时行48千米，轿车每小时行78千米，几小时后两车还相距31.5千米？ 解题思路 关键信息：“还相距 31.5 千米”意味着两车尚未相遇。 等量关系：两车行驶的路程和 = 总路程 - 剩余距离(即 535.5 - 31.5) 1.7.2013 接下来我们看一道相遇问题的应用题。这道题的关键是“还相距31.5千米”，这意味着两车还没有相遇，它们行驶的路程和等于总路程减去31.5千米。 ‹#› 题型1：相遇问题 - 应用题（第1题）答案 解：设 x 小时后两车还相距 31.5 千米 等量关系： 出租车行驶的路程 + 轿车行驶的路程 = 总路程 - 未行驶的路程 列方程并求解： 48x + 78x = 535.5 - 31.5 126x = 504 ⇒ x = 4 答：4 小时后两车还相距 31.5 千米。 1.7.2013 我们设x小时后两车还相距31.5千米。出租车行驶了48x千米，轿车行驶了78x千米，它们的路程和是535.5减去31.5，等于504千米。列方程48x加78x等于504，解得x等于4。所以，4小时后两车还相距31.5千米。 ‹#› 题型2：追及问题 - 第1题 题目描述 甲乙两人从A地到B地，甲平均每分钟走80米，乙平均每分钟走65米。乙先走了300米后甲才出发，甲追上乙需要多少分钟？ 等量关系 甲走的路程 = 乙先走的路程 + 乙后走的路程 列出方程 解：设甲追上乙需要x分钟。 根据题意列方程得：80x = 300 + 65x 1.7.2013 现在我们进入第二部分，追及问题。首先看第一题，这是一个典型的“慢者先走”的追及问题。我们需要找出等量关系，也就是甲追上乙时，两人走的路程相等。 ‹#› 追及问题 - 解题示范 解：设甲追上乙需要x分钟。 等量关系：甲 x 分钟走的路程 = 乙先走的 300 米 + 乙 x 分钟走的路程 列方程：80x = 300 + 65x 解答过程： 80x - 65x = 300 ⇒ 15x = 300 ⇒ x = 20 答案：甲追上乙需要 20 分钟。 1.7.2013 设甲追上乙需要x分钟。甲走了80x米，乙先走了300米，然后又走了65x米。当甲追上乙时，两人走的路程相等，所以80x等于300加65x。解方程得到x等于20。所以，甲需要20分钟才能追上乙。 ‹#› $