第8章 四边形 菱形的性质与判定 讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

第八章 四边形 第八章 四边形 知识点3 菱形的性质与判定 线段的长度（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.菱形的两条对角线的长分别为4和8，则菱形的边长为 ． 2.已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的高为 ． 3.如图，菱形ABCD的周长是16，∠BAD=60°，则AC的长为 ． 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图，菱形ABCD的周长为40，对角线AC=12．过AD的中点E作EG⊥AC交AB于点F，交CB的延长线于点G，则EG的长为 ． 5.如图，四边形ABCD是菱形，点A，B的坐标分别为（-3，0）和（0，-2），点C，D在坐标轴上，则CD的长是 ． 6.如图，四边形ABCD和ADEF都是菱形，BF交AD于点G，∠BAD=∠FAD，BF=BC， AB=2，求的值． 7.某学校的校门是伸缩电动门（如图1），伸缩电动门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30cm．当每个菱形的内角度数为60°（如图2）时，校门打开了5m，当每个菱形的内角度数为90°时，校门打开了多少米？ 第八章 四边形 线段的长度（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边AB，AD上，且AE=AF，CE=5，求CF的长． 2.如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F． （1）求证：BF=DE； （2）分别延长BE和AD，交于点G，若∠A=45°，BE=4，求DG的值． 3.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，BD=8，点E是边AD上一点，连接OE，若OE=DE，求OE的长． 4.如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE=DE，连接CE． （1）求证：CE=DE； （2）当BE=4，CE=2时，求菱形的边长． 第八章 四边形 角度的计算（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AB于点E，若∠ADC=110°，则∠AOE的大小为 第1题图 第2题图 第3题图 2.在菱形ABCD中，∠ABC=80°，E是线段BD上一动点（不与点B、D重合），当△ABE是等腰三角形时，∠DAE的度数为 3.如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若∠ADB=32°，则∠DCE的度数为 度． 4.如图，在菱形ABCD中，E，F分别在BC，DC上，BE=DF，AE=AB，若∠EAF=30°，则∠D的度数是 °． 5.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且AE=CF． （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）若∠ADC=150°，∠CDF=50°，求∠EDB的度数． 6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF． （1）求证：AE=CF： （2）若∠AEO=40°，求∠ACF的度数． 7.如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠ABF=30°，EF为AB的垂直平分线，垂足为E，交AD于F， 连接BF，求∠ABD的度数． 第八章 四边形 角度的计算（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，在菱形ABCD中，∠BCD=110°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数为 °． 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF的度数是 °． 3.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E为AD边上的一个动点，连接BE，将AB沿着BE折叠得到A'B，A的对应点为A'，连接A'D，当A′B⊥AD时，∠A'DE的度数为 °． 4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，E为AB上一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F，连接BF、DE． （1）若∠ABD=40°，求∠CAD的度数； （2）求证：BF=DE． 5.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，E是AD边上的动点，作∠BEF=60°交CD于点F，在AB上取点G使AG=AE，连接EG． （1）求∠EGB的度数； （2）求证：EF=BE； 第八章 四边形 周长与面积问题（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，菱形ABCD中，∠D=60°．点E、F分别在边BC、CD上，且BE=CF．若EF=4，则△AEF的面积为 3.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=6，OH=4，则菱形ABCD的面积为 4.如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC，AF⊥CD，分别交CB、CD的延长线于点E、点F． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）若CD=5，AE=3，则四边形AECF的面积为 27． 5.如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点E，若BD=4，菱形ABCD的周长为20， 求菱形ABCD的面积． 6.已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的 延长线于点F． （1）求证：AM=DM； （2）若DF=3，求菱形ABCD的周长． 第八章 四边形 周长与面积问题（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC上的一点，过点E作FH∥AD，GI∥AB，点F，G，H，I分别在AB，BC，CD，DA上．若AC=a，∠B=60°，则图中阴影部分的周长为 第1题图 第2题图 2.将2020个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，使得右侧菱形的顶点与左侧菱形的对角线交点重合，若这些菱形的边长均为a，则阴影部分的周长总和等于 3.如图，菱形ABCD的边长是10厘米，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12厘米，点P，N分别在BD，AC上，点P从点D出发，以每秒2厘米的速度向终点B运动，点N从点C出发，以每秒1厘米的速度向点A运动，点P移动到点B后，点P，N停止运动． （1）当运动多少秒时，△PON的面积是8平方厘米； （2）如果△PON的面积为y，请你写出y关于时间t的函数表达式． 4.【猜想】如图1，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD．BC于点E．F．若平行四边形ABCD的面积是8，则四边形CDEF的面积是 ． 【探究】如图2，在菱形ABCD中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F， 若AC=5，BD=10，求四边形ABFE的面积． 【应用】如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，延长BC到点D，使DC=BC，连接AD，若AC=3，AD=2，则△ABD的面积是 ． 第八章 四边形 菱形的判定（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图（1），△ABC为等腰三角形，AB=AC=a，P点是底边BC上的一个动点，PD∥AC，PE∥AB． （1）用a表示四边形ADPE的周长为 ； （2）点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由； （3）如果△ABC不是等腰三角形（图2），其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形（不必说明理由）． 2.将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形ABCD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2．那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由． 3.如图，点B、C为直线AD上的点，点E、F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，AE∥DF，AB=DC． （1）判断四边形BECF的形状，并说明理由． （2）若AD=12，DC=4．∠EBD=60°，EB=4时． ①四边形BFCE的周长为 ，面积为 ． ②连接AF、DE，判断四边形AEDF的形状，并说明理由． 第八章 四边形 菱形的判定（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA，DC的延长线分别交于点E，F，连接BF，DE． （1） 求证：AE=CF； （2）请添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由． 2.在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是边BC延长线上的动点，过点E作EF⊥BD于F，且与CD、AD分别交于点G、H，连接OH． （1）如图，若AC⊥AB，OF=OC，求证：FG=CG； （2）若在点E运动的过程中，存在四边形OCGH是菱形的情形，试探究▱ABCD的边和角需要满足的条件． 3.如图，在▱ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，点M、N在对角线AC上，且AM=CN． （1）求证：四边形EMFN是平行四边形； （2）若AB⊥AC，求证：四边形EMFN是菱形． 4.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE，过点B作BF∥DE，且BF=DE，连接EF，求证：四边形BDEF是菱形． 线段的长度（一）参考答案 1 1.解：∵菱形两条对角线的长分别为4和8． ∴菱形两条对角线的一半长分别为2和4． ∴菱形的边长为：． 故答案为：． 2.解：如图所示， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO=×8=4，BO=×6=3，AB=BC=CD=DA，AC⊥BD， ∴△AOB是直角三角形， ∴AB=， ∴菱形的面积=BD•AC＝AB•h， 即×6×8＝5h， ∴菱形的高h=． 故答案为：． 3.解：∵四边形ABCD是菱形，且周长是16， ∴AD=AB=BC=CD=4，AB⊥CD， 又∵∠BAD=60°， ∴△ADO是直角三角形且∠DAO=30°， ∴DO=AD=2， ∴AO= ∴AC=2A0=4， 故答案为：4． 4.解：如图，连接BD，交AC于点O， ∵四边形ABCD是菱形，周长为40， ∴AC⊥BD，AB=10，AO=CO=6，BO=DO，AD∥BC， ∴BO=， ∴BD=16， ∵EG⊥AC，BD⊥AC， ∴GE∥BD， 又∵AD∥BC， ∴四边形EGBD是平行四边形， ∴BD=EG=16， 故答案为：16． 5.解：∵点A，B的坐标分别为（-3，0），（0，-2）， ∴OA=3，OB=2， ∴AB=， ∴CD=AB=， 故答案为：． 6.解：∵四边形ABCD和四边形ADEF都是菱形， ∴AB=BC=AD=AF=2， ∵BF=BC， ∴AB=AF=BF， ∴△ABF是等边三角形， ∵∠BAD=∠FAD， ∴AG⊥BF，BG=FG=BF=1， ∴AG=， ∴DG=AD-AG=2-， ∴． 7.解：连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD， ∵∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=AB=30， ∴校门关闭时，缩门的宽度为：0.3×20=6（米），当每个菱形的内角度数为90°时， ∴BD=AB=30（cm）， ∴校门打开时，伸缩门的宽度为30×20=600（cm）=6（米）， ∴校门打开了：(6-6)米． 答：校门打开了6-6米． 线段的长度（二）参考答案 1.解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD=BC=DC，∠B=∠D， ∵AE=AF， ∴AB-AE=AD-AF， ∴BE=DF， 在△BCE和△DCF中， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴CF=CE， ∵CE=5， ∴CF=5． 2.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CB=CD， ∵BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F， ∴∠BEC=∠DFC=90°， 在△BEC与△DFC中， ∴△BEC≌△DFC（AAS）， ∴EC=FC， ∴BF=DE； （2）解：∵∠A=45°，四边形ABCD是菱形， ∴∠C=∠A=45°，AG∥BC， ∴∠CBG=∠G=45°， ∴△DEG与△BEC是等腰直角三角形， ∵BE=CE=4， ∴BC=AD=4， ∵∠A=∠G=45°， ∴AB=BC，∠ABG=90°， ∴AG=8， ∴DG=AG-AD=8-4． 3.解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝3，OD＝BD＝4， ∴∠AOE+∠DOE=90°=∠OAE+∠ADO， 在Rt△OAD中，AD＝＝5， ∵OE=DE， ∴∠EOD=∠EDO， ∴∠OAE=∠AOE， ∴AE=OE=DE， ∴OE=AD=． 4.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABE=∠CBE，AB=CB， 在△ABE和△CBE中， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE=CE， ∵AE=DE， ∴CE=DE； （2）解：如图，连接AC交BD于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AH⊥BD，BH=DH，AH=CH， ∵CE=DE=AE=2， ∴BD=BE+DE=4+2=6， ∴BH=BD=3，EH=BE-BH=1， ∴CH=， ∴BC=， ∴菱形的边长为． 角度的计算（一）参考答案 1.解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABC=∠ADC=110°， ∴∠ABO=∠ABC=55°， ∵OE⊥AB， ∴∠OEB=90°， ∴∠BOE=90°-55°=35°， ∴∠AOE=90°-35°=55° 故答案为：55°． 2.解：如图， 在菱形ABCD中，∠ABC=80°， ∴∠ABD=∠ABC=40°，AD∥BC， ∴∠BAD=180°-∠ABC=100°， ∵△ABE是等腰三角形， ∴AE=BE，或AB=BE， 当AE=BE时， ∴∠ABE=∠BAE=40°， ∴∠DAE=100°-40°=60°； 当AB=BE时， ∴∠BAE=∠AEB=（180°-40°）=70°， ∴∠DAE=100°-70°=30°， 综上所述，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE=30°或60°， 故答案为：30°或60°． 3.解：∵四边形ABCD为菱形， ∴BC=CD，AD∥BC， ∴∠CBD=∠BDC，∠CBD=∠ADB=32°， ∴∠CBD=∠BDC=32°， ∴∠DCE=∠CBD+∠BDC=64°， 故答案为：64． 4.解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AB=AD，∠B=∠D， 在△ABE和△ADF中， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴∠BAE=∠DAF， ∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠B=180°， ∵AE=AB， ∴∠B=∠AEB， 设∠B=∠D=∠AEB=x， 则∠BAE=∠DAF=180°-2x， ∴∠BAD=2（180°-2x）+30°， ∴2（180°-2x）+30°+x=180°， 解得：x=70°， 即∠D=70°， 故答案为：70°． 5.解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴∠A=∠C，AB=CB，AD=DC， 在△ADE和△CDF中， ∴△ADE≌△CDF（SAS）； （2）∵△ADE≌△CDF， ∴∠ADE=∠CDF， ∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=150°， ∴∠ADB=∠ADC=75°， ∵∠CDF=50°， ∴∠EDB=∠ADB-∠ADE=∠ADB-∠CDF=25°． 6.证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AB=CD，AC⊥BD， ∴∠ABE=∠CDF， 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE=CF； （2）∵△ABE≌△CDF， ∴∠AEB=∠DFC， ∴∠AEO=∠CFO=40°， ∵AC⊥BD， ∴∠ACF=90°-40°=50°． 6.解：∵EF为AB的垂直平分线， ∴AF=BF，∠FAB=∠FBA=30°， ∴∠A+∠ABC=180°， ∴∠ABC=150°， ∴∠ABD＝∠ABC=75°． 角度的计算（二）参考答案 1.解：如图，连接BF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BCD=∠BAD=110°，∠BCA=∠ACD=55°=∠BAC=∠CAD，AB=AD，∠ADC=70°， ∵EF垂直平分AB， ∴AF=BF， 在△ABF和△ADF中， ∴△ABF≌△ADF（SAS）， ∴BF=DF， ∴AF=DF， ∴∠FAD=∠ADF=55°， ∴∠CDF=∠ADC-∠ADF=15°， 故答案为：15°． 2.解：连接AC， 在菱形ABCD中，AB=CB， ∵∠B=60°， ∴∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵∠EAF=60°， ∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC， 即：∠BAE=∠CAF， 在△ABE和△ACF中， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴AE=AF， 又∠EAF=∠D=60°， 则△AEF是等边三角形， ∴∠AFE=60°， 又∠AEC=∠B+∠BAE=80°， 则∠CEF=80°-60°=20°． 故答案为：20°． 3.解：如图，连接AA'，BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD， ∵∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∵A'B⊥AD， ∴A'B垂直平分AD，∠ABA'=30°， ∴AA'=A'D， ∴∠A'AD=∠A'DA， ∵将AB沿着BE折叠得到A'B， ∴AB=A'B， ∴∠BAA'=75°， ∴∠A'AD=∠A'DA=15°， 故答案为：15°． 4.（1）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABC=2∠ABD=80°，∠CAD=∠BAD，AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC=180°， ∴∠BAD=180°-80°=100°， ∴∠CAD=∠BAD=50°； （2）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， ∵EF∥BD， ∴∠AEF=∠ABD，∠AFE=∠ADB， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF， ∴BE=DF， 在△BDF和△DBE中， ∴△BDF≌△DBE（SAS）， ∴BF=DE． 5.（1）解：∵∠A=60°，AG=AE， ∴△AGE是等边三角形， ∴∠AGE=60°， ∴∠EGB=120°； （2）证明：由（1）知，∠EGB=120°， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB∥CD，AB=AD， ∴∠A+∠D=180°， ∵∠A=60°， ∴∠D=120°， ∴∠DEF+∠DFE=60°， ∴∠D=∠EGB， ∵△AGE是等边三角形， ∴AE=AG，∠AEG=60°， ∴DE=GB， ∵∠BEF=60°， ∴∠DEF+∠GEB=60°， ∴∠DFE=∠GEB， ∴△DFE≌△GEB（ASA）， ∴EF=BE； 周长与面积问题（一）参考答案 1.解：如图， 此时菱形ABCD的面积最大． 设AB=BC=x，则EB=9-x，AE=3， 在Rt△ABE中，由勾股定理得到：AE2+EB2=AB2， 即32+（9-x）2=x2， 解得 x=5， ∴S菱形ABCD=5×3=15． 故答案为：15． 2.解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，AD=DC，∠B=∠D=60°， ∴△ABC、△ADC都是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=∠ACF=60°， ∴∠B=∠ACF， 在△ABE和△ACF中， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴AE=AF，∠BAE=∠CAF， ∴∠CAE+∠CAF=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°， 即∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形， ∴AE=EF=4， 过点A作AH⊥EF于H，如图所示： 则EH=FH=EF=2， 在Rt△AEH中，由勾股定理得：AH=2， ∴S△AEF=EF•AH=×4×2=4 故答案为：4． 3.解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC=6，OB=OD，AC⊥BD， ∴AC=12， ∵DH⊥AB， ∴∠BHD=90°， ∴BD=2OH=2×4=8， ∴菱形ABCD的面积=AC•BD=×12×8=48 故答案为：48． 4.证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠ABC=∠ADC， ∴180°-∠ABC=180°-∠ADC， 即∠ABE=∠ADF， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD=90°， 在△ABE和△ADF中， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， （2）∵CD=5，AE=3， ∴BE=4， ∴四边形AECF的面积=S△ABE+S△AFD+S菱形ABCD＝×3×4+×3×4+5×3＝27， 故答案为：27． 5.解：∵菱形ABCD的周长为20，BD=4， ∴AB=BC=CD=AD=5，AC⊥BD，EB=ED=BD=2，EA=EC， ∴EA=， ∴AC=2EA=2， ∴菱形ABCD的面积=AC×BD=12×2×4=20． 6.（1）证明：连接BD，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，AB∥CD， ∵EF⊥AC， ∴EF∥BD， ∴四边形EFDB是平行四边形， ∴DF=EB， ∵E是AB中点， ∴AE=EB， ∴AE=DF， ∵AB∥CD， ∴∠EAM=∠ADF， 在△AEM和△DFM中， ∴△AME≌△DFM（AAS）， ∴AM=DM； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠AEM=∠F． 又∵∠FMD=∠AME，∠AME=∠AEM， ∴∠FMD=∠F， ∴△DFM是等腰三角形， ∴DF=DM=AD． ∴AD=2DF=6， ∴菱形ABCD的周长为6×4=24． 周长与面积问题（二）参考答案 1.解：∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，AB=BC， ∴AB=BC=AC=a， 又∵FH∥AD，GI∥AB， ∴四边形BFEG和四边形EHDI是平行四边形， ∴FE=BG，FB=EG，EH=ID，EI=HD， ∴阴影部分的周长=AF+FE+EI+AI+EG+CG+CH+EH=AF+BF+BG+CG+CH+HD+AI+ID=AB+BC+CD+AD=4a 故答案为：4a． 2.解：根据题意知，将2020个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，得到2019个阴影菱形，且这些阴影菱形的大小完全一致，如图， 由题意知，OA=OC，AB=BC=CD=AD=a，∠BAD=∠EOF， 由菱形的对角线平分一组对角可知∠EOC=∠DAO， ∴OE∥AD， ∴OE是△ACD的中位线． ∴OE=12AD=a， ∴一个阴影菱形的周长为：a×4=2a， ∴2019个阴影菱形的周长和为：2a×2019=4038a 故答案为：4038a． 3.解：（1）∵菱形ABCD的边长是10厘米，AC=12厘米， ∴OC=6厘米，OD=8厘米， 设运动t秒时，△PON的面积是8平方厘米， 根据题意，得DP=2t，CN=t， ∴OP=8-2t，ON=6-t， ∴S△PON=OP•ON， ∴（8-2t）（6-t）=8， 解方程得，t1=2，t2=8，均符合题意， 答：当运动2秒或8秒时，△PON的面积是8平方厘米； （2）根据题意，得 ①当0＜t≤4时，y=（8-2t）（6-t）； ②当4＜t＜6时，y=（2t-8）（6-t）； ③当6＜t≤8时，y=（2t-8）（t-6）． 4.解：猜想：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA=OC． ∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO， 在△AOE与△COF中， ∴△AEO≌△CFO（AAS）， ∴四边形CDEF的面积=S△ACD=S▱ABCD的面积=4； 故答案为：4； 探究：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AO=CO． ∴∠OAE=∠OCF，∠AEO=∠CFO， ∴在△AOE与△COF中， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∵由菱形的对称性，得S△ABC=S菱形ABCD， ∴S四边形ABFE=S△ABC=×AC•BO=×5×10=． 应用：延长AC到E使CE=AC=3， 在△ABC与△CDE中， ∴△ABC≌△CDE（SAS）， ∴∠E=∠BAC=90°， ∴DE＝2， ∴S△ABD=S△ADE=AE•DE=×6×2=6． 故答案为：6 菱形的判定（一）参考答案 1.解：（1）∵PD∥AC，PE∥AB ∴四边形ADPE为平行四边形 ∴AD=PE，DP=AE， ∵AB=AC ∴∠B=∠C， ∵DP∥AC ∴∠B=∠DPB ∴DB=DP ∴四边形ADPE的周长=2（AD+DP）=2（AD+BD）=2AB=2a 故答案为：2a. （2）当P为BC中点时，四边形ADPE是菱形． 理由如下：连接AP ∵PD∥AC，PE∥AB ∴四边形ADPE为平行四边形 ∵AB=AC，P为BC中点 ∴∠PAD=∠PAE ∵PE∥AB ∴∠PAD=∠APE ∴∠PAE=∠APE ∴EA=EP ∴四边形ADPE是菱形 （3）P运动到∠A的平分线上时，四边形ADPE是菱形， ∵PD∥AC，PE∥AB， ∴四边形ADPE是平行四边形， ∵AP平分∠BAC， ∴∠1=∠2， ∵AB∥EP， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴AE=EP， ∴四边形ADPE是菱形． 2.（1）证明：如图， ∵AD∥BC，DC∥AB， ∴四边形ABCD是平行四边形． 分别过点A、D作AE⊥BC于E，DF⊥AB于F． ∵两张矩形纸片的宽度相等， ∴AE=DF， 又∵AE•BC=DF•AB=S▱ABCD， ∴BC=AB， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：存在最小值和最大值． ①当∠DAB=90°时，菱形ABCD为正方形，周长最小值为8； ②当AC为矩形纸片的对角线时，设AB=x．如图， 在Rt△BCG中，BC2=CG2+BG2，即x2=（8-x）2+22， x=． ∴周长最大值为×4=17． 3.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，AB∥CD， ∴∠AEO=∠CFO， 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴AE=CF； （2）解：添加一个条件：EF⊥BD， 理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD， 由（1）点：△AOE≌△COF， ∴OE=OF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形BFDE是菱形． 菱形的判定（二）参考答案 1.解：（1）四边形BECF是平行四边形；理由如下： 连接AE、DF，连接EF交AD于O，如图所示： ∵AE=DF，AE∥DF， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴OE=OF，OA=OD， ∵AB=DC， ∴OB=OC， ∴四边形BECF是平行四边形； （2）∵AD=12，DC=4， ∴AB=4， ∴BC=4， ∵EB=4， ∴BC=EB， ∵∠EBD=60°， ∴△BCE是等边三角形， ∵OB=OC=2， ∴EF⊥BC， ∴四边形BECF是菱形， ∴BF=CF=EC=BE=4， ∴四边形BFCE的周长=4×4=16， 由勾股定理得：OE=2， ∴EF=2OE=4， ∴四边形BFCE的面积=BC•EF=×4×4=8； 故答案为：16，8； ②四边形AEDF是菱形；理由如下： 由（1）得：四边形AEDF是平行四边形， ∵EF⊥AD， ∴四边形AEDF是菱形． 2.（1）证明：连接OG，如图1所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵AC⊥AB， ∴AC⊥CD， ∴∠OCG=90°， ∵EF⊥BD， ∴∠OFG=90°， 在Rt△OFG和Rt△OCG中， ∴Rt△OFG≌Rt△OCG（HL）， ∴FG=CG； （2）解：如图2所示： 若四边形OCGH是菱形，则OH=OC，OH∥CG，OC∥GH， ∵EF⊥BD， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形， ∴CD=AD，OA=OC， ∴OA=OH， ∴∠OAH=∠OHA， ∵OH∥CG， ∴∠OHA=∠ADC， ∵CD=AD， ∴∠CAD=∠DCA， ∴∠CAD=∠ADC=∠DCA， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ADC=60°，即要使四边形OCGH是菱形， ▱ABCD的边和角需要满足的条件是：CD=AD，∠ADC=60°． 3.证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠EAM=∠FCN， ∵E、F分别为AD、BC的中点， ∴AE=DE=BF=CF， 在△AEM和△CFN中， ∴△AEM≌△CFN（SAS）， ∴EM=FN，∠AME=∠CNF， ∴∠EMN=∠FNM， ∴EM∥FN， ∴四边形EMFN是平行四边形； （2）连接EF交AC于O，如图所示： 由（1）得：AE∥BF，AE=BF， ∴四边形AEFB是平行四边形， ∴AB∥EF， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC=90°， ∴∠COF=∠BAC=90°， ∴EF⊥MN， ∴四边形EMFN是菱形． 4.证明：∵AB=AC， ∴∠C=∠ABC， ∵点D、E分别是边AB、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AC， ∴∠DEB=∠C， ∴∠ABC=∠DEB， ∴DE=DB， ∵BF∥DE，BF=DE， ∴四边形BDEF是平行四边形， ∵DE=DB， ∴四边形BDEF是菱形． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $