第8章 四边形（高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级下册

第8章 四边形 教学目标 1.理解平行四边形的定义、性质与多种判定方法。 2.掌握矩形、菱形、正方形作为“特殊平行四边形”的生成逻辑与层级关系。 3.认识梯形的基本结构，理解等腰梯形与直角梯形的特性。 4.理解三角形中位线与梯形中位线的几何意义及其实际价值。 5.发展核心数学能力：几何推理能力、逻辑表达能力、问题解决能力等。 教学重难点 1. 重点 （1）从‌定义→性质→判定→应用‌的路径出发，掌握研究一个几何图形的基本范式； （2）体会“一般→特殊”的数学思想，如平行四边形→矩形/菱形→正方形的递进关系。 2. 难点 （1）在嵌套图形或非标准位置中准确提取平行四边形或特殊四边形； （2）‌辅助线的灵活添加‌：如作高、平移腰、延长两腰、构造中位线等技巧的合理运用； （3）‌综合题型的多步推理‌：结合勾股定理、全等三角形、面积关系等进行综合分析。 考点01 平行四边形的性质与判定 1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（parallelogram）。 下图中的四边形ABCD是平行四边形，记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。 2．平行四边形的性质: 1）平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边相等（且平行），对角相等（且邻角互补）。 2）平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角线互相平分。 3）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。 3、平行四边形的判定： 1）平行四边形的判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 2）平行四边形的判定定理2：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 3）平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 【题型1】平行四边形的概念与性质辨析 1．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期中）下列说法正确的是（  ） A．有两组对边分别平行的图形是平行四边形 B．平行四边形的对角线相等 C．平行四边形的对角互补，邻角相等 D．平行四边形的对边平行且相等 【答案】D 【详解】A、有两组对边分别平行的图形可能不是四边形，如正六边形，故错误； B、平行四边形的对角线只有互相平分这一性质，不一定相等，错误； C、平行四边形的对角相等，邻角互补，错误； D、平行四边形的对边平行且相等，这是平行四边形的性质，正确．故选：D． 2．（25-26八年级上·河南周口·期中）在平行四边形中，对角线相交于点O，下列结论错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵平行四边形的对角线互相平分，∴，故A正确，不符合题意； ∵ 平行四边形的对边相等，∴，故B正确，不符合题意； ∵ 平行四边形的对角线不一定垂直（仅特殊平行四边形如菱形时成立）， ∴不一定成立，故C错误，符合题意； ∵ 平行四边形的对角相等，∴，故D正确，不符合题意．故选C． 3．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，对角线、相交于点，且，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．平行四边形的对角相等，因此，A正确； B．平行四边形的对角线互相平分，但只有当邻边相等（即菱形）时对角线才垂直，已知，故与不垂直，B错误；C．平行四边形的对角线互相平分，因此，C正确； D．平行四边形的对边相等，因此，D正确．故选：B． 4．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，连接．下列说法正确的是（   ） A． B． C．平分 D．是等边三角形 【答案】B 【详解】的平分线交于点，交的延长线于点， 是的平分线，，又，，， ，故B正确；而ACD无法判断．故选：B． 【题型2】平行四边形的性质求值（角度、长度、周长、面积、坐标等） 5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，点是中点，连接并延长，交的延长线于点，点在边上，且，连接，若的面积为2，则四边形的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，点是中点，∴，，∴， 又∵，∴，∴，， ∴，， ∵，∴，∴，∴，故选：A． 6．（24-25八年级下·广东·期末）如图，在中，，，点在边上，，过点作于点．若，则线段的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设．∵四边形是平行四边形， ，，． ，，，解得， 即，．，，． 根据勾股定理，得，则， ．故选：C. 7．（25-26九年级上·湖北黄石·月考）如图，在直角坐标系中，的对角线的交点在原点，若顶点的坐标为，则顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的对角线的交点在原点，点与点关于原点中心对称， 又顶点的坐标为，顶点的坐标是，故选：． 8．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，平分，，，则的长是______． 【答案】5 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，∴，，∴， 又平分，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，故答案为：5． 9．（24-25八年级下·青海海西·期中）如图，在平行四边形中，，，于，则______度． 【答案】/20度 【详解】解：，，， ∵四边形是平行四边形，∴，， ，，．故答案为：． 【题型3】平行四边形的判定 10．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）下列命题中，假命题是（   ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．两组对角相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】B 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形或者是等腰梯形，原说法是假命题，故该选项符合题意；C、两组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意；故选：B． 11．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； B、由，，不可得出四边形是平行四边形，故符合题意； C、∵，∴， ∵，∴，∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意；故选：B． 12．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：已知，要使四边形为平行四边形， 选项：仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误； 选项：且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误； 选项：平行四边形要求对角线互相平分，仅不满足，故错误； 选项：，， 在和中，,，， 四边形为平行四边形．故正确．故选：． 13．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）如图，在中，，，以线段为边在上方作等边，点F是线段的中点，连接．(1)若，求的长；(2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：设，在中，，， ∴，∴，∴， 解得，（舍去），∴，∴， ∵是等边三角形，∴； （2）证明：∵是等边三角形，∴，， ∵点F是线段的中点，∴， 在中，，，∴，∴， 则， ∴，即，∴四边形是平行四边形． 14．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：；(2)证明：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：，， 在和中，，，； （2）证明：，，，， ，，即， 在和中，，，， 又，所以四边形为平行四边形． 15．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，在四边形中，，，，，是的中点，连接并延长，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形．(2)若平分，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：，，点是的中点，， 在和中，，， ，四边形是平行四边形； （2）解：如下图所示，过点作，平分，，， ，，，， ，， ，，， ,四边形是平行四边形，． 【题型4】平行四边形的性质与判定综合运用 16．（24-25八年级下·四川雅安·期末）如图，在平行四边形中，平分，对角线，相交于点，连接，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：在平行四边形中， ∴，， ∵平分，∴， ∴，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∴E是的中点，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴；，故①、④正确； ∵，∴，故②正确； ∵，，，∴，故③错误，正确的有3个，故选：C． 17．（25-26八年级上·山东日照·期末）两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点F是边中点，则下列结论：①是等边三角形，②，③，④四边形是平行四边形，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：由题可知，，则， ，是等边三角形，故①正确； ，，， 点F是边中点，，，故②正确； 在中，，则，即， 是等边三角形，点F是边中点，，，，，故③正确； ，，，即， ，，，则， ，， ，，在中，点F是边中点，， ，，则， 又，四边形是平行四边形，故④正确；故选：A． 18．（25-26八年级下·江苏·课后作业）如下图，的对角线，相交于点，点在上，点在上，连接，使恰好经过点．(1)求证：．(2)若，，，求的长．(3)记四边形的面积为，的面积为，用等式表示和的关系为 ． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，． 又，，． （2）解：，，，即． 四边形是平行四边形，，，． ，， ，． （3）证明：∵四边形是平行四边形，对角线交于点， ， 在和中， ． 在和中， ，，， ， .故答案为：. 19．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图平行四边形，对角线，交于点，的平分线交延长线于点，交于点．(1)求证：；(2)若，，连接; ①若，求平行四边形的面积；②设，试求与满足的关系． 【答案】(1)见解析(2)； 【详解】（1）证明：∵平行四边形，∴．∴， ∵平分，∴．∴．∴． （2）解：①∵，∴为等边三角形． ∵，∴，∴．在中，， 由勾股定理得：，即， ∴．∴平行四边形的面积为． ②∵为等边三角形，，∴， ∴为等边三角形．∵四边形是平行四边形，∴， ∵，∴，∴． ∵，∴． 20．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，将绕点D顺时针旋转（），得到，点A，B的对应点分别为点F，E． 猜想证明：（1）如图2，当于点P时，分别与线段交于点G，H．猜想线段与的数量关系，并说明理由． 数学思考：（2）如图3，当B的对应点E恰好在线段上时，连接．判断与的位置关系，并说明理由． 拓展探究：（3）在图3的基础上，连接，若，，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）．理由见解析；（2），理由见解析；（3）． 【详解】（1），理由如下：连接， ，，由旋转的性质可知，， ，，，， ，，，， ，，； （2），， ，， ，， ，，， 在中，，，即； （3）过作交于，延长交于，连接， ，，，，， ，解得，， ，，则四边形为矩形，，， ，由（2）知，，，为的中点， ，． 21．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）方方与圆圆在学习中心对称后，准备对平行四边形进行更深入的研究，如图，平行四边形中，、分别为、上的点，当时，与是中心对称的，可推理得到． (1)图中，为上不同于的一点，满足，此时与不是中心对称的，那么与是否仍存在某种数量关系？并说明理由； (2)如图，平行四边形，、交于点，为上一点，延长交延长线于点，若，，求的长（用，表示）； (3)如图，中，为的中点，为上一点，延长交延长线于点，若，，直接写出的长． 【答案】(1)，理由见解析；(2)；(3)． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，，∴，∴， ∵，，∴； （2）解：延长交于点， ∵四边形是平行四边形，∴，， ∴，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴，∴； （3）解：∵，，∴，由（）知， ∴，∴． 考点02 矩形的性质与判定 1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（rectangle）。矩形也叫长方形。 2）矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角、对角线相等。 因为矩形是特殊的平行四边形，所以矩形也具有平行四边形的一切性质。 3）矩形既是中心对称图形（对角线的交点是对称中心），也是轴对称图形； 4）矩形的判定： （1）矩形的判定定理1：三个角是直角的四边形是矩形。 （2）矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 【题型1】矩形的概念与性质辨析 22．（25-26八年级下·江苏·课后作业）如图，在矩形中，对角线，交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．所在直线为矩形的对称轴 【答案】B 【详解】解：A、矩形的对角线不一定平分一组对角．在矩形中，只有当矩形为正方形时，对角线才会平分，即，故该选项错误，不符合题意； B、矩形的对角线相等且互相平分，所以，故选项说法正确，符合题意； C、矩形的对角线相等且互相平分，所以，只有当的内角中有一个角为，可得到是等边三角形，才能得到，故该选项错误，不符合题意； D、矩形是轴对称图形，但是所在直线不是矩形的对称轴，故该选项错误，不符合题意；故选：B． 23．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）矩形具有而平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角互补 C．对边相等 D．对角线互相平分 【答案】B 【详解】解：选项A：对角相等 平行四边形的对角相等，矩形作为平行四边形的一种，同样满足此性质．因此A是两者共有的性质，排除． 选项B：对角互补 矩形对角互补，但平行四边形对角不一定互补，故B符合题意． 选项C：对边相等 平行四边形和矩形的对边均相等，因此C是两者共有的性质，排除． 选项D：对角线互相平分 平行四边形的对角线互相平分，矩形作为平行四边形，同样满足此性质．因此D是两者共有的性质，排除． 故选：B． 24．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）写一条矩形具有而菱形不具有的性质_____． 【答案】对角线相等（答案不唯一） 【详解】解：矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等．故答案为：对角线相等 25．（25-26八年级下·江苏·课后作业）已知，点O是矩形对角线的交点，那么矩形（   ） A．是中心对称图形，但不一定是轴对称图形 B．是轴对称图形，但不一定是中心对称图形 C．既是中心对称图形，又是轴对称图形 D．无法判断图形的对称性 【答案】C 【详解】解：∵中心对称图形是绕平面内某点旋转后能与原图形重合的图形，轴对称图形是沿平面内某条直线对折后，直线两侧部分能完全重合的图形． 又∵矩形绕对角线交点O旋转后可与原图形重合，沿两组对边中点所在直线对折，直线两侧部分完全重合，∴矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，对应选项为C． 【题型2】矩形的性质求值（角度、长度、周长、面积、坐标等） 26．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形是矩形，， ∵，，， ∵，，， 四边形是矩形，，，，， ∴是等边三角形，，．故选：A． 27．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作于点，连接， ∵四边形是矩形，，， ，，， ，，解得：， ，， ，故选：C． 28．（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，过点O作，分别交、于点E、F，若，，则________． 【答案】8 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，对角线、相交于点O， ∴，，，，∴ ∵，∴，∴，∴，故答案为：． 29．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】6 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴， 又∴，∴ ∴， 故答案为：6． 30．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知：如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，．(1)求的度数；(2)求矩形的面积． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：根据矩形性质，，且对角线互相平分，即， ，在中，，； （2）解：∵在中，，， 根据勾股定理得：．矩形面积为：． 【题型3】矩形的判定 31．（25-26八年级下·广东·课后作业）如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形，∴不能判定为矩形． 选项B：∵是边长与对角线的数量关系，∴不能判定平行四边形为矩形． 选项C：是边与对角线的数量关系，∴不能判定平行四边形为矩形． 选项D：∵，∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．故选：D． 32．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）在下列条件中，能够判定是矩形的是（   ） A． B． C． D．平行于 【答案】A 【详解】A、在平行四边形中，对角线，则平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），符合题意；B、是平行四边形的对边相等，不能判定矩形，不符合题意； C、不能判定是矩形，不符合题意； D、平行于不能判定是矩形，不符合题意．故选：A． 33．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、四边形是平行四边形，，是矩形，故本选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，，是矩形，故本选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，，是菱形，故本选项符合题意； 、，是直角三角形，， 四边形是平行四边形，是矩形，故本选项不符合题意；故选：． 34．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：，，，， 四边形是平行四边形，点在的延长线上， ，四边形是平行四边形， ，四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，， ，是等边三角形，，， 是等边三角形，∴， ，，，的长是． 35．（25-26九年级上·陕西宝鸡·月考）如图，菱形的对角线相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，． (1)求证：四边形为矩形；(2)若，，则的长 ． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵菱形，∴，． ∵点是中点，∴．又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，，∴四边形是平行四边形． ∵，∴平行四边形是矩形； （2）解：∵菱形，，∴，，， ∵，，∴为等边三角形，∴． ∵，∴，． 在中，由勾股定理，得，∴． 由（1）得，四边形是矩形，∴，． ∵在中，，∴由勾股定理，．故答案为：． 【题型4】矩形的性质与判定综合运用 36．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，在矩形中，，为上一点，且，为的中点，下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的序号是_______． 【答案】①②④ 【详解】解：①∵四边形是矩形，∴，， ∵，∴，又∵，∴， 在中，为的中点，∴，∴，故①正确； ②由①可得，，∴是等边三角形， ∴，∴，∵，∴， ∴，∴，即平分，故②正确； ③∵，，∴，故③错误； ④设，则，∴， ∴，∴， 又∵，∴，故④正确； 综上，正确的序号是①②④，故答案为：①②④． 37．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在矩形中，，． (1)如图1，过对角线中点作，分别交，于点，，连接，，求证：四边形为菱形；(2)求图1中线段的长；(3)如图2，矩形内有一点，连接，，延长交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：四边形是矩形，是中点， ，，，， 又，， ，，， ，；四边形是平行四边形 ，四边形为菱形； （2）解：四边形为菱形，， 在中，，即解得 （3）解：，，，． 又，，， ． 设的长为，则的长为，的长为， 在中，由勾股定理得，， 解得，即的长为． 38．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）九年级数学兴趣小组以探究“矩形的性质”为主题开展活动．小星将如图所示的矩形纸片进行折叠，使点落在边上的点处，折痕为，展开后，连接，就可以得到一个四边形． (1)如图①，与的数量关系为_______，与的位置关系为_______． (2)如图②，将图①中的矩形纸片沿过点的直线进行折叠，使得点恰好落在上的点处，展开后，分别连接，，并延长交于点，证明：； (3)如图③，若将图①中的矩形纸片沿中点所在直线进行折叠，使得点恰好与点重合，展开后，折痕所在的直线交的延长线于点，交于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，(2)见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）解：四边形为矩形，，， ，． 矩形纸片进行折叠，使点落在边上的点处，折痕为， ，，，， 即与的数量关系为，与的位置关系为．故答案为：，． （2）证明：由（1）得，，，． 由折叠得，，，． ，． ，， ，． （3）解：，理由如下：如图，连接，，，与交于点， 由矩形纸片沿进行折叠，使点落在边上的点处， 得，，． 又矩形纸片沿中点所在直线进行折叠，垂直平分， ，，，． ，．， ，即，为直角三角形． 点为的中点，.，． 39．（25-26八年级上·上海·期末）将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点E． (1)猜想与的数量关系，并证明； (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合），连接，求证：四边形是平行四边形； (3)在矩形绕点C顺时针旋转的过程中，若，，当，，D三点在同一条直线上时，请求出的值． 【答案】(1)，见解析(2)见解析(3)或 【详解】（1）解：，理由如下： 四边形与四边形都是矩形，如图①，连接， ，，即， 将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，， 在和中，，，； （2）证明：如图2：连接，根据旋转的性质可得：， 四边形是矩形，，，，即， 又，，， ，，四边形是平行四边形； （3）解：如图3，当点，在的同一侧时， 根据旋转的性质可得：，，，， 在中，由勾股定理得：，， 如图4：当点，在的异侧时， 根据旋转的性质可得：，，，， 在中，由勾股定理得：，， 综上所述，的值为或． 40．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图1，在矩形中，，，E为射线上一动点，设．连接，点B关于的对称点为，作射线． (1)【基础探究】如图2，点E在线段上，且射线经过点D．①求证：；②求此时x的值； (2)【应用拓展】若射线交边于点F，．①当时，求x的值；②当时，直接写出x的值． 【答案】(1)①见解析；②2； (2)①当时，或；②当时，或． 【详解】（1）① 证明：∵ 点与关于对称∴ ，∴， ∵ 四边形是矩形∴ ，∴，∴，∴ ② 解：∵ 四边形是矩形，∴ ．由①知， 在中，，∴ ，故． （2）解：连接，因，∴，即是直角三角形． 在与中，， ① 当时，，即，又．以下分两种情况讨论： 情况一：点E在边上（如图）， ，∴， 又，在中，，即，解得：． 情况二：点E在的延长线上（如图），同①情况一，，∴， 又，在中，，即， 解得：．综合两种情况，当时，或． ② 当时，，即，又．以下分两种情况讨论： 情况一：点E在边上（如图）， ，∴， 又， 在中，，即，解得：． 情况二：点E在的延长线上（如图）， 同②情况一，，∴，又， 在中，，即，解得：． 综合两种情况，当时，或． 考点03 菱形的性质与判定 1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（rhombus）。 2）菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线垂直，每条对角线都平分一组对角。 因为菱形是特殊的平行四边形，所以菱形也具有平行四边形的一切性质。 3）菱形既是中心对称图形（对角线的交点是对称中心），也是轴对称图形。 4）菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半。 5）推论：对角线互相垂直的四边形的面积=对角线乘积的一半。 6）菱形的判定： （1）菱形的判定定理1：四边相等的四边形是菱形。 （2）菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 【题型1】菱形的概念与性质辨析 41．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）在菱形中，对角线相交于点，下列结论中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 四边形是菱形，∴ ，，， ∴选项、、不合题意； 不一定成立（仅当菱形为正方形时对角线相等）∴选项符合题意．故选：D． 42．（25-26八年级下·江苏·课后作业）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（   ） A．四条边相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．既是中心对称图形又是轴对称图形 【答案】B 【详解】解：∵菱形的基本性质为：四条边相等，对角线互相垂直平分，菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，∴A选项 四条边相等，说法正确，不符合题意； ∴B选项 菱形的对角线不一定相等，只有特殊菱形（正方形）对角线才相等，该说法错误，符合题意； ∴C选项 对角线互相垂直，说法正确，不符合题意； ∴D选项 菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，说法正确，不符合题意． 43．（24-25八年级下·广东潮州·期末）下列选项中，菱形一定具有的性质是（   ） A．四个内角都相等 B．对角线互相垂直 C．至少有一个内角是 D．对角线相等 【答案】B 【详解】解：菱形的对角相等，对角线互相垂直且平分，四条边都相等；故选B． 44．（24-25八年级下·甘肃临夏·月考）下列性质中，菱形不一定具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角相等 【答案】C 【详解】解：根据菱形的性质可知，菱形的四边相等、对角线互相垂直、对角相等，但菱形的对角线不一定相等，故A不符合题意，B不符合题意，D不符合题意，C符合题意，故选：C． 【题型2】菱形的性质求值（角度、长度、周长、面积、坐标等） 45．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，连接、交于点O，点E在边上，连接．如果，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是菱形，∴，平分， ∵，∴，∴， ∵，∴．故选：D． 46．（25-26八年级下·广东课后作业）将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为______． 【答案】 【详解】解：如图：由题意得：，， 由折叠得：，四边形是菱形， 47．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，连接，若，则的长是（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：∵四边形是菱形，∴， ∴，∴．∵，∴．故选D． 48．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，则的度数为_____． 【答案】/28度 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∵点为的中点，，∴，∴， ∵，∴，故答案为：． 49．（23-24八年级下·北京·期中）如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则_____． 【答案】 【详解】解：∵菱形中，对角线与相交于点，，∴，， ∵，∴是等边三角形，∴． 【题型3】菱形的判定 50．（25-26八年级下·江苏·课后作业）如图，四边形的对角线，相交于O，且互相平分，添加下列条件，能判定四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形的对角线，相交于O，且互相平分，四边形是平行四边形． A、是平行四边形的性质，不能判定四边形为菱形，故A不符合题意； B、四边形是平行四边形，，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，能判定四边形为菱形，故B符合题意； C、四边形是平行四边形，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定四边形为菱形，故C不符合题意； D、四边形是平行四边形，． ，．四边形是矩形． 不能判定四边形为菱形，故D不符合题意． 51．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形为菱形，∴， ∵点、、、分别为四边形各边中点， ∴，∴， 故选项C正确，选项A，B，D不正确，故选：C． 52．（25-26八年级下·江苏·周测）如图，在中，，．要判定四边形是菱形，还需要添加的条件可以是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【详解】解：当平分时，四边形是菱形， 理由：，， 平分，，，， ，∴四边形是平行四边形， ，∴四边形是菱形．其余选项均无法判断四边形是菱形，故选：C． 53．（25-26九年级上·河南郑州·期中）已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由；(2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析；(2) 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：∵，，∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形，∴，且，， ∴．∴平行四边形是菱形． （2）解：∵四边形是矩形，，， ∴，∴． ∵四边形的形状是菱形，∴根据对称性，， ∴．即四边形的面积为． 54．（25-26九年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形， 又∵，∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，，∴，，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴． 【题型4】菱形的性质与判定综合运用 55．（25-26九年级下·新疆省直辖县级单位·开学考试）如图，是平行四边形的对角线．    (1)用直尺和圆规作出的垂直平分线，点分别在边上，连接；（保留作图痕迹，不写作法）;(2)求证：四边形是菱形；(3)若，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：根据基本作图，画图如下：    （2）证明：设的交点为点O， 是平行四边形的对角线，，，， 根据基本作图，得，，，  ，，， ，故四边形是菱形． （3）解：过点E作于点P，由四边形是菱形，，   ，， ，，解得， 由，得， 故平行四边形的面积为：． 56．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图1，在菱形中，点O为对角线的中点，将绕着点O逆时针旋转，得到线段，构造四边形，连结． (1)试猜测四边形的形状，并证明你的结论； (2)当（即）时，若，求的度数； (3)若，，设的面积为，的面积为，当时（如图2），求的值． 【答案】(1)矩形，证明见解析(2)的度数为(3)5 【详解】（1）解：四边形为矩形， 证明：四边形为菱形，∴O是中点，∴， 由旋转知，∴四边形为矩形； （2）如图 ∵四边形为矩形，， ∴四边形为正方形，，∴， ∵四边形为菱形，∴，∵，∴， ∴，，∴， ∵，∴，∴． （3）解：连接，延长交于G，如图①， ∵四边形为菱形，AC=4，∴，，∴， 在中， ， ，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， 又∵四边形为矩形，∴，，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴，∴． 57．（25-26九年级上·山西太原·期末）如图，点是菱形对角线上一动点，．在线段的同侧作线段，使得，连接． (1)补全图形，并回答问题：当 时，； (2)连接，交于点，若，探索与的数量关系，并证明； (3)直接写出当 时，将平行． 【答案】(1)图见详解，；(2)，证明见详解；(3)． 过点作交于点，连接，如图所示： ，，，，， ，，四边形为平行四边形， ，即，当时，，， 四边形为菱形，，， 当点在对角线的交点上时，符合题意，此时，故答案为：； （2）；证明：连接、，如图所示： ，，四边形为菱形， ，，， ，，，，， ，，，，，， ，，四边形为平行四边形， ，四边形为矩形，，，， ，； （3）解：连接，，如图所示：四边形为菱形，，，， ，，， ，，，根据解析（2）可知，四边形为平行四边形， ，，即当时，将平行，故答案为：． 58．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，已知菱形，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，作的角平分线交于点P，连接并延长交延长线于点F，连接，． (1)如图1，当，即点D与点E重合时，求证：是等边三角形； (2)如图2，当时，求证：； (3)在线段的旋转过程中，直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，∴， 由旋转的性质可得，即， ∵，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∴，∴是等边三角形，即是等边三角形； （2）证明：∵四边形是菱形，∴，， ∴；由旋转的性质可得， ∴，∴， ， ∴； ∵平分，∴， 又∵，∴，∴，∴是等边三角形， ∴，∴， ∴，∴，∴； （3）解：如图所示，过点B作于点G， 由（2）可知，，是等边三角形，， ∴，∴，∴，∴ ∵，，∴，∵， ∴， ∴，即． 考点04 正方形的性质与判定 1）正方形的定义：四边相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形（square）。 2）正方形的判定： （1）正方形的判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。 （2）正方形的判定定理2：有一个角是直角的菱形是正方形。 3）正方形的性质： （1）正方形的性质定理：正方形的对角线相等且互相垂直平分。 （2）正方形具有矩形、菱形的一切性质，。 （3）正方形既是中心对称图形（对角线的交点是对称中心），也是轴对称图形。 【题型1】正方形的概念与性质辨析 59．（25-26八年级下·江苏·课后作业）下列结论中，正确的有（   ） ①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对称轴；⑤正方形有4条对称轴 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】∵正方形属于平行四边形，也是特殊的矩形，特殊的菱形， ∴正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，故①②③正确， ∵正方形的对称轴分别为两组对边的中垂线（2条）和两条对角线所在直线（2条），共4条对称轴，∴④错误，⑤正确，综上，正确的结论共有4个． 60．（25-26八年级下·江苏·课后作业）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 【答案】A 【详解】解：∵正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且每一条对角线平分一组对角； 又∵ 菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分，而且每一条对角线平分一组对角； ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．故选：A． 61．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 【答案】B 【详解】解：正方形的对角线互相垂直平分且相等， 矩形的对角线互相平分且相等，但不一定垂直，故选：B． 62．（24-25八年级下·河北保定·期末）正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角相等 【答案】B 【详解】解：A、对边平行且相等：平行四边形的定义即对边平行且相等，正方形必然满足，故A错误，不符合题意； B、对角线相等：正方形的对角线相等，但一般平行四边形（如普通菱形、非矩形的平行四边形）对角线不一定相等，故B正确，符合题意； C、对角线互相平分：所有平行四边形的对角线均互相平分，正方形也满足，故C错误，不符合题意； D、对角相等：平行四边形的对角相等，正方形同样满足，故D错误，不符合题意．故选：B． 63．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列关于几何图形的性质中，错误的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直且平分 C．正方形的对角线相等 D．平行四边形的对角线相等且平分 【答案】D 【详解】A、 矩形的对角线相等，正确，不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意； C、正方形的对角线相等，正确，不符合题意； D、平行四边形的对角线仅互相平分，故原说法错误，符合题意；故选D． 【题型2】正方形的性质求值（角度、长度、周长、面积、坐标等） 64．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在正方形中，点为对角线上的一点，，垂足分别为、，若，则的长度为_________． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接，， 四边形是正方形，∴，，∴，∴， ∵，∴，∴四边形是矩形，∴， 在中，，，∴，故答案为：． 65．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在正方形中，为对角线，点、分别为边和上的点，且，连接，过点作交于点，点为边上的点，连接，若，，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：连接，延长交于点，如下图所示： ∵四边形是正方形，为对角线，∴，，， ∵，∴，， ∴，，∴，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是矩形， ∴，，∴四边形是矩形， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴四边形是正方形，∴，， 在和中，，， ∴，∴， ∴，故答案为：． 66．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在矩形中，，，平分，平分，，，则四边形的面积为________． 【答案】8 【详解】解：，四边形是平行四边形，四边形是矩形，， 平分，平分，， ，平行四边形是正方形． ∵，，∴，∴，即四边形的面积为8，故答案为：8． 67．（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：；(2)求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，是对角线，∴，． 在和中，，∴（），∴， 又∵，∴，∴； （2）解：∵四边形是菱形，是对角线，∴，． 在和中，，∴（），∴． 又∵，∴，∴是等腰三角形．过点作于，交于， ∴（等腰三角形三线合一）． ∵四边形是菱形，，， ∴，∴， ∵，，∴ ∵是菱形对角线，∴， 又∵，，∴（）， ∴，∴． 又∵，∴． ∵四边形是菱形，∴菱形是正方形，∴． 68．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【答案】(1)，，理由见解析(2) 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴，∴，∴，， ∵，∴，∴，即； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于， ∵，则，∴四边形是矩形， ∵点是的中点，∴，又∵，， ∴，∴，由（）知，∴， ∵，，，∴，∴，∴四边形是正方形，∴． 【题型3】正方形的判定 69．（25-26九年级上·重庆·期中）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】B 【详解】A．对角线相等的平行四边形是矩形，则（1）处可填，选项A正确，不符合题意； B．邻边相等的矩形是正方形，是对边，不能得到矩形是正方形，选项B错误，符合题意； C．邻边相等的平行四边形是菱形，则（3）处可填，选项C正确，不符合题意； D．由四边形是菱形，则， 当时，解得，有一个角是直角的菱形是正方形，故D正确，不符合题意．故选：B． 70．（25-26八年级下·广东·课后作业）下列叙述错误的是（    ） A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．有一个角是直角的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 【答案】D 【详解】解：A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形，故A正确； B．有一组邻边相等的矩形是正方形，故B正确； C．有一个角是直角的菱形是正方形，故C正确； D．对角线相等且互相垂直的四边形，如果对角线不互相平分，就不是平行四边形，更不可能是正方形， 故D错误． 71．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，，∴四边形是矩形． A、当时，矩形是正方形，故A选项不符合题意； B、当时，矩形是正方形，故B选项不符合题意； C、当时，无法确定矩形就是正方形，故C选项符合题意； D、当时，则，，， 矩形是正方形，故D选项不符合题意．故选：C． 72．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在四边形中，，，，点在边上，点是边的中点，且，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是正方形；(2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是正方形，∴，， ∵点是的中点，∴，∴， ∵，∴四边形是平行四边形，∴， ∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴． 73．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形．(2)当 时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析(2)45 【详解】（1）证明：∵点D是的中点，∴，又∵，∴， ∵，，∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点，∴，∴，∴四边形是矩形． （2）解：当时，四边形是正方形，证明如下： 由（1）可得，且四边形是矩形， 又∵，，∴是等腰直角三角形， ∴，∴矩形是正方形． 【题型4】正方形的性质与判定综合运用 74．（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点，∵，∴四边形是平行四边形， ∴，∴，此时取得最小值， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∵四边形是矩形，∴，∴，∴， ∵四边形是矩形，∴，，∴， ∴，即， ∵，∴，∴， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，即的最小值为．故选：D． 75．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形（虚线为重叠部分四边形的轮廓），其中，，，已知，且，则重叠部分四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是矩形，∴， ∵，，∴，， ∴，∵四边形是矩形，∴，， ∴，∴是等腰直角三角形， ∴，，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴四边形是正方形， ∵，∴，∴ ∴四边形的面积为．故选：B． 75．（25-26九年级上·江苏·期末）问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，，将绕点B沿顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点延长交于点F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由．(2)如图②，若，求证： (3)若，，求DE的长． 【答案】(1)正方形，理由见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：四边形是正方形．理由如下： 是由绕点B沿顺时针方向旋转得到的，，，， 又，，四边形是矩形． 由旋转的性质可知，，四边形是正方形． （2）证明：如图，过点D作于点， ，，，， 四边形是正方形，，，，， 又，，，， 由旋转的性质可知，，∵四边形是正方形，， ，． （3）解：四边形是正方形，， 在中，由勾股定理，得， 即，解得（负值已舍）， ，，如图，过点D作于点， 根据（2）可知，，，， 在中，由勾股定理，得． 77．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中是“神奇四边形”的是________；（填序号） (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连接，．①判定四边形是否为“神奇四边形”；②如图2，点M，N，P，Q分别是，，，的中点，则四边形________“神奇四边形”；（填“是”或“不是”） (3)如图3，点F，R分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O．若，正方形的边长为9，求线段的长． 【答案】(1)④；(2)①是；②是(3) 【详解】（1）平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等正方形是“神奇四边形”故答案为：④ （2）①是 证明：四边形是正方形 在和中 又四边形是“神奇四边形” ②解：四边形是“神奇四边形”， 理由如下：为的中点，为的中位线， 同理：，， ，，，， ，四边形为平行四边形 ，，平行四边形为菱形 ，，，，， 四边形为正方形四边形是“神奇四边形” （3）解：如图，在上取折叠时点的对应点，连接， ∴，又∵，∴、在同一直线上，是与的交点， 由翻折的性质可知，，，，， 四边形是正方形，边长为，，， ，，， 设，则，在中，由勾股定理得：， ，，，即线段的长为 78．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，正方形，点、分别在、上． (1)如图1，当时．①求证：；②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：；(2)如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析(2) 【详解】（1）证明：①过点作，交的延长线于点， 四边形是正方形，，， ，四边形是平行四边形， ，，，， ，， 在和中，，， ，，； ②在上截取，如图2，则是等腰直角三角形，， 由（1）知，，，，，， ，，，即； （2）解：如图3，过点作交于点， 则四边形是平行四边形，，， ，，，， ，作，交延长线于， 在和中，，，，， ，，，， 在和中，，， ，，设，则， 在中，，，解得：， ． 考点05 中位线 1）三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线（median line of triangle）。 2）三角形的中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 符号语言：∵DE是三角形ABC的中位线；∴DE//BC，DE=BC。 3）中点四边形重要结论 原图形 中点四边形 图形 任意四边形 平行四边形 对角线相等的四边形 矩形 对角线垂直的四边形 菱形 对角线互相垂直且相等的四边形 正方形 题型01 与三角形中位线有关的计算 79．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，点M为边上任意一点，点E，点F分别是的中点，若，则的长为___________． 【答案】3 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴， ∵点E，点F分别是的中点，∴是的中位线，∴，故答案为：3． 80．（25-26八年级下·江苏·课后作业）如图，是的中位线，平分，交于点．已知，，则的长为_____________． 【答案】 【详解】解：∵是的中位线，，， ∴，，． ∵平分，∴． 又∵，∴．∴， ∴．∴． 81．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图，点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，若，则四边形的周长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 【答案】B 【详解】解：连接，如图所示： 在中，点，分别为边，的中点，∴是的中位线，∴， 在中，点，分别为边，的中点，∴是的中位线，∴， 同理得分别是的中位线，∴， ∴四边形的周长为，故选：B． 82．（25-26九年级上·福建漳州·月考）如图，正方形中，为对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点，交于点，若为的中点，则的值为________． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 在正方形中，∴平分，， ∴四边形是矩形，，∴四边形是正方形， ∴，，即， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵点为的中点，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴是的中位线， ∴，∴，∴， ∴．故答案为：． 题型02 与三角形中位线有关的证明 83．（25-26九年级上·成都·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为等对四边形．等对四边形对边中点的连线，称为等对中位线． 性质：等对四边形的两条等对中位线互相垂直平分． 已知：如图①，四边形中，对角线，，，，分别是，，，的中点，连接，． 求证：，互相垂直平分． 部分证明过程如下： 证明：如图，顺次连接，，，四点， 任务： (1)下列图形，是等对四边形的有 只填序号；①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 (2)请按照上面的证明思路，完成剩余的证明过程； (3)如图②，等对四边形中，若等对中位线，求等对四边形两对角线的长． 【答案】(1)②④(2)见解析(3) 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形和正方形中，只有矩形和正方形的对角线相等， ∴是等对四边形的有②④，故答案为：②④； （2）证明：如图，顺次连接，，，四点， 点，分别是，的中点，是的中位线，， 同理可得，，， 又，，四边形是菱形，，互相垂直平分； （3）解：如图，顺次连接，，，四点，由（2）可知，四边形是菱形， 又，四边形是正方形， ，，， 四边形是等对四边形，，是等对中位线， ，点，分别是，的中点， 是的中位线，， ，即等对四边形两对角线的长都为． 84．（25-26九年级上·成都·期末）综合与实践： 问题情景：已知等腰和等腰，，点分别是的中点，连接．问题： （1）如图1，当点E在上，且点C和点D恰好重合时，探索与的数量关系，并加以证明； （2）如图2，当点D在上，点E在外部时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． 拓展探究：（3）如图3，将图2中的等腰绕点A逆时针旋转（）请猜想与的位置关系和数量关系（不必证明） 【答案】（1），见解析；（2）成立，见解析；（3）， 【详解】解：（1）与的数量关系为，理由如下： 证明：点，分别是，的中点，， 等腰，， ，，，； （2）成立，理由如下：证明：如图2，连接并延长至点，使，连接，， 点是的中点，，在和中，， ，，， 和为等腰直角三角形，，， ，， 在和中，，，， 点，分别是，的中点，，； （3）如图，延长到，使，连接， 是的中点，，，， ，，， 如图，延长，交于点，，，， ，，， ，， ，，， ， ，， 点，分别是，的中点，，， ，，． 85．（25-26九年级下·北京·开学考试）如图，在中，，，点D在射线上，将射线绕点D逆时针旋转，所得射线交直线于点E，点F为的中点，连接． (1)如图1，若，求证：． (2)如图2，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． ①依题意补全图形；②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析(2)①见解析；②，证明见解析 【详解】（1）证明：根据题意，， ∴在中，， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴点是线段的中点，又∵F为的中点， ∴是的中位线，即，∴，∴； （2）解：①补全图形如下：在图2中，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． ②，证明如下：在的延长线上取一点，使，连接，，，令交于点Q， ，，垂直平分， ，， 由旋转得，，， ，， ，，，，， ，，∴，在中，， ，， ∵，，， ∴，∴，由（1）可知，，在和中， ，，， ，为的中点，是的中位线，，，． 86．（25-26八年级上·山东泰安·月考）如图，延长的边到E，使，连接交于点． (1)试说明：． (2)连接、相交于点，连接．与有怎样的数量关系与位置关系？说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)，，理由见解析 【详解】（1）证明：∵，∴，，∴，， ∵，∴，∴． （2）解：，，理由如下： ∵连接、相交于点，，∴，即是中点， 由（1）得，∴，即是中点， ∴是中位线，∴，， ∵，，∴，． 题型03 中点四边形 87．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，点分别是四边形边的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则四边形为菱形 B．若，则四边形为矩形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 【答案】C 【详解】解：∵点分别是的中点，∴， 同理可得：，，， ∴， ∴四边形为平行四边形，无法得出与互相平分，则选项C错误，符合题意； 若，则，∴四边形为菱形，则选项A正确，不符合题意； 若，则，又∵，∴，∴， ∴平行四边形为矩形，则选项B正确，不符合题意； 若四边形是正方形，则， ∴，，∴，又∵，∴， 即若四边形是正方形，则与互相垂直且相等，选项D正确，不符合题意；故选：C． 88．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点，连接，．则下列说法： ①与互相平分；②若，则四边形为矩形；③若，则四边形为菱形．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【详解】解：∵点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点， ∴，， ， ∴四边形是平行四边形，∴与互相平分；故①符合题意； 若，则， ∴平行四边形是矩形，故②符合题意； 若，则， ∴平行四边形是菱形，故③符合题意；故选：C． 89．（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究：（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决：（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2），；（3）见解析；（4），理由见解析 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，那么有中位线的性质可得四边相等，且一个内角为直角，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”，∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，，∴，． （3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，    ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （4）如图，记、的中点分别为E、F， 连接 ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴． 90．（24-25八年级下·广东东莞·期中）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 数量关系、 位置关系 特殊四边形 不相等、不垂直 平行四边形 【探究一】（1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程） 【探究二】（2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究三】（3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究四】（4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形． 【答案】（1）见解析（2）相等，菱形（3）垂直，矩形（4）相等且垂直 【详解】解：（1）∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点， ∴分别为的中位线，∴， ∴，∴中点四边形是平行四边形． （2）当原四边形对角线相等时，中点四边形是菱形； 由（1）知：中点四边形是平行四边形，， ∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点， ∴是的中位线，∴， ∵，∴，∴中点四边形是菱形； （3）当原四边形对角线垂直时，中点四边形是矩形； 由（1）（2）可知：，中点四边形是平行四边形， ∵，∴，∴，∴中点四边形是矩形； （4）当原四边形对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形； 由（2）可知：中点四边形是菱形；由（3）可知：，∴中点四边形是正方形． 91．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)（填空）判断图1中的中点四边形的形状为______，菱形的中点四边形的形状是______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，，，，分别为，，，的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，求的长． 【答案】(1)平行四边形；矩形(2)菱形，证明见解析(3) 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵，，，分别是边，，，的中点， ∴分别是的中位线，∴， ∴，∴四边形是平行四边形； 如图，四边形是菱形时，连接各边中点，得到四边形， 根据中位线性质得到，，∴，同理可得， ∴四边形为平行四边形，又∵四边形是菱形， ∴，则，∴平行四边形为矩形； （2）解：四边形为菱形．证明如下：连接，，如图2所示： ∵和为等边三角形，，，， ∴，， 在和中，，，， ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，，， ，，四边形是平行四边形； ，，四边形为菱形； （3）解：如图3，连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值，∵四边形是正方形，∴， ∵M，E分别是的中点，∴，同理可得，∴； 又∵M，N分别是的中点，∴，， ∴，∴的最小值，同理可得的最小值， ∵四边形是正方形，∴，，， ∴，∵N，F分别是的中点， ∴，∴；∴，∴． 考点06 梯形 1）梯形定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形（trapezoid）。 2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫作等腰梯形（isosceles trapezoid）。 3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫作直角梯形（right trapezoid）。 题型01 梯形的中位线 92．（24-25八年级下·北京朝阳·期中）我们已经学习过平行四边形的知识，借助平行四边形的相关性质、判定定理，我们研究学习了三角形的中位线的定义和性质．根据研究图形的规律，请回答以下问题： (1)三角形中位线定理是：__________________________________________ (2)梯形也是一种常见的四边形，它是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线． ①请在图中画出梯形的中位线；（请在答题卡上画出此梯形后，画出梯形中位线） ②通过观察、度量、猜想梯形中位线具有的性质并证明． 猜想：梯形的中位线________________．（请在答题卡上把这句话写全） 已知： 求证： 证明： (3)已知梯形的中位线长6，梯形的高为3，则梯形面积是________________． 【答案】(1)三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．(2)①作图见解析；②平行于两底，并且等于两底和的一半；已知：见解析；求证：见解析；证明：见解析；(3)18 【详解】（1）三角形中位线定理是：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 故答案为：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半； （2）①如图，EF即为所作； ②猜想：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 已知：如图，点E，F分别为梯形ABCD两腰AB，CD的中点，连接EF． 求证：和． 证明：如图，连接AF并延长，交BC的延长线于点G． ∵，∴，． ∵点F为CD的中点，∴DF=CF，∴，∴AD=CG，AF=FG． ∵点E为AB的中点，∴EF为的中位线，∴，， ∴，． 故答案为：平行于两底，并且等于两底和的一半； （3）∵该梯形的中位线长6，∴上底与下底的和为2×6=12， ∵梯形的高为3，∴该梯形的面积为．故答案为：18． 93．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）本学期我们研究了三角形的中位线的性质，回顾研究的过程，请回答以下问题：(1)三角形中位线定理是： ；(2)梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图①，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图②，连接并延长，交的延长线于点G．先证和全等，再说明是△ABG的中位线．经过你的分析，请写出梯形的中位线和两底、之间的关系： 、 ；    (3)已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是 ； (4)如图③，直线l为外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作直线l的垂线段、、、，请探索线段、、、之间的数量关系，并证明．    【答案】(1)三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半(2)； (3)42(4)，证明见解析 【详解】（1）解：三角形中位线定理是：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半． （2）解：；． 证明：连接并延长，交的延长线于点G．如图，    ∵，∴，， ∵就是梯形的中位线，∴∴ ∴，，∴是的中位线， ∴，，即， ∵∴． （3）解：∵梯形的中位线长为，∴梯形两底和的一半等于于， ∴ （4）解：，证明：连接、相交于O，过点O作于P，如图，    ∵四边形是平行四边形，∴，， ∵，，，，∴， ∴，，∴是梯形的中位线，是梯形的中位线， ∴，，∴． 94．（25-26九年级上·山东淄博·月考）知识回顾：（1）本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图（1）中，是的中位线，连接．则与的数量关系为： （用符号语言表达）． 方法迁移：（2）连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图（2）已知梯形中，，点M，N分别为，的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 理解内化：（3）已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是 ： 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【详解】（2）先证明，从而可得，，于是有，再根据三角形的中位线定理得出，从而可得； （3）根据梯形的面积公式，结合（2）中的结论求解． （1）解：∵点E是边的中点，点F是边的中点， ∴是的中位线，∴，故答案为：． （2），理由：如图（2），连接并延长交的延长线于点E， ∵，∴，∵点M为的中点，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴， ∵M为的中点，N为的中点，∴为的中位线， ∴，∴． （3）∵梯形的中位线长为，高为， ∴（），故答案为：． 95．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【实践与应用】 重温知识 如图①，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”． 阅读素材 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形，其中平行的一组对边叫做梯形的底边，不平行的一组对边叫做梯形的腰，我们把连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线． 任务1 如图②，在梯形中，，点是腰的中点，请沿着剪开将梯形剪拼成一个完整的三角形．（在图②中直接画出剪拼后的三角形） 任务2 如图③，在梯形中，，点、分别是两腰、的中点，线段叫做梯形的中位线．请类比三角形中位线的性质，猜想和、具有怎样的位置关系和数量关系？并结合“任务1”，证明你猜想的结论．（如图③） 任务3 如图③，若梯形的面积为，高为，求梯形的中位线的长． 【答案】任务1：见解析；任务2：，见解析；任务3：6 【详解】解：任务1：如图所示为剪拼后的三角形． 任务2：解：和、位置关系和数量关系是：，． 证明：连接并延长与的延长线交于点． 点分别是的中点 又， ，点分别是的中点是的中位线， ，，， 又，； 任务3：由任务2可知，，而梯形的面积为，高为 即． 题型02 等腰梯形的性质定理 96．（2025·浙江·模拟预测）如图，等腰梯形（     ）    A．既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．是轴对称图形，但不是中心对称图形 C．是中心对称图形，但不是轴对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 【答案】B 【详解】解：等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选：B． 97．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）已知在等腰梯形中，，，垂足为点O，如果，那么梯形的上下底之和等于______ ．      【答案】 【详解】解：过D点作，交BC的延长线于E，∴， ∵，∴，在等腰梯形中，， ∵，，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴是等腰直角三角形， ∴，即梯形的上下底之和等于，故答案为：．      98．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）在等腰梯形中，，对角线相交于点，，，厘米，则的面积为（    ）平方厘米 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，作 等腰梯形中，，， ，四边形是矩形， ，，， ，，，， ，（厘米）， ，，（厘米）， （平方厘米）， （平方厘米）（平方厘米）， ，，， 厘米，厘米，厘米 （平方厘米） （平方厘米），故选：A． 99．（24-25八年级下·吉林松原·期中）已知在等腰梯形中，，于点，，，则梯形的面积是________． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作，交的延长线于点，过点作于点，    ，四边形为平行四边形，，， 四边形为等腰梯形，，， 在和中，，，，， ，，，为等腰直角三角形， ，，，， 为等腰直角三角形，，，点为的中点， ，，故答案为：． 100．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，四边形中，，，，，则线段的长______． 【答案】 【详解】解：作， 交延长线于点E，作于点F， 则，∵， ∴，且四边形是矩形，∴，， ∴，∴四边形是等腰梯形，则，， ∵，，∴，∴， 设，则，，∵，∴， 而，∴，∴，即， 在中，，，∴，∴，即， 在中，，，∴．故答案为：． 题型03 等腰梯形的判定定理 101．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）下列命题中，是真命题的是（   ） A．一组对边平行，一组对角互补的四边形是平行四边形 B．一组对边平行，一组对角互补的四边形是等腰梯形 C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是等腰梯形 【答案】C 【详解】解：A．一组对边平行，一组对角互补的四边形不一定是平行四边形，故A是假命题，不符合题意； B．一组对边平行，一组对角互补的四边形不一定是等腰梯形，故B是假命题，不符合题意； C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故C是真命题，符合题意； D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故D是假命题，不符合题意；故选：C． 102．（24-25八年级下·上海·单元测试）下面结论中正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是等腰梯形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．两组对角分别互补的四边形是等腰梯形 D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴 【答案】D 【详解】解：A．对角线相等的梯形是等腰梯形，故A错误； B．一组对边平行，另一组对边不平行且相等的四边形是等腰梯形，故B错误； C．一组对角互补的梯形是等腰梯形，故C错误； D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴，故D正确．故选：D． 103．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，延长到点E，使，．(1)试说明梯形是等腰梯形．(2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)，见解析 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴四边形是等腰梯形． （2）解：，理由是：连接, ∵四边形是等腰梯形，∴，∵，∴． 104．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，已知是等边三角形，过点作（），且，连接、．(1)求证：四边形是等腰梯形；(2)点在腰上，连接交于点，若，求证：．    【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴，， 又∵，∴， ∵∴∴；∵（）∴四边形是等腰梯形； （2）证明：，，， ，， ，，≌，， ，． 105．（24-25八年级下·上海静安·期末）如图1，梯形中，，，，，．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)若点是直线上的一点，直线交直线于点． ①当点在线段的延长线上时（如图2），设，，求关于的函数解析式并写出定义域；②如果是等腰三角形，求的面积． 【答案】(1)见解析(2)①；②或 【详解】（1）解：如图所示，过点D作交于E，∴， ∵，∴四边形是平行四边形，∴， ∴，∴，∴是等边三角形，∴， ∴四边形是等腰梯形．∴， （2）解：①如图所示，过点D作交延长线于F， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴； ②∵，∴， ∴当点M在点A下方时，只存在这一种情况，∴， 如图3所示，过点B作于H， ∵，，∴， ∴，∴，∴， ∴； 当点M在点A上方时，如图4所示，∵是等腰三角形，且 ， ∴是等边三角形，∴，由（1）可得四边形是等腰梯形， ∴，∴，∴， ∴三点共线，∴点N与点C重合，∴是等边三角形， 如图所示，过点M作于H，∴，∴， ∴；综上所述，的面积为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 四边形 教学目标 1.理解平行四边形的定义、性质与多种判定方法。 2.掌握矩形、菱形、正方形作为“特殊平行四边形”的生成逻辑与层级关系。 3.认识梯形的基本结构，理解等腰梯形与直角梯形的特性。 4.理解三角形中位线与梯形中位线的几何意义及其实际价值。 5.发展核心数学能力：几何推理能力、逻辑表达能力、问题解决能力等。 教学重难点 1. 重点 （1）从‌定义→性质→判定→应用‌的路径出发，掌握研究一个几何图形的基本范式； （2）体会“一般→特殊”的数学思想，如平行四边形→矩形/菱形→正方形的递进关系。 2. 难点 （1）在嵌套图形或非标准位置中准确提取平行四边形或特殊四边形； （2）‌辅助线的灵活添加‌：如作高、平移腰、延长两腰、构造中位线等技巧的合理运用； （3）‌综合题型的多步推理‌：结合勾股定理、全等三角形、面积关系等进行综合分析。 考点01 平行四边形的性质与判定 1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（parallelogram）。 下图中的四边形ABCD是平行四边形，记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。 2．平行四边形的性质: 1）平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边相等（且平行），对角相等（且邻角互补）。 2）平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角线互相平分。 3）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。 3、平行四边形的判定： 1）平行四边形的判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 2）平行四边形的判定定理2：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 3）平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 【题型1】平行四边形的概念与性质辨析 1．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期中）下列说法正确的是（  ） A．有两组对边分别平行的图形是平行四边形 B．平行四边形的对角线相等 C．平行四边形的对角互补，邻角相等 D．平行四边形的对边平行且相等 2．（25-26八年级上·河南周口·期中）在平行四边形中，对角线相交于点O，下列结论错误的是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，对角线、相交于点，且，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，连接．下列说法正确的是（   ） A． B． C．平分 D．是等边三角形 【题型2】平行四边形的性质求值（角度、长度、周长、面积、坐标等） 5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，点是中点，连接并延长，交的延长线于点，点在边上，且，连接，若的面积为2，则四边形的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 6．（24-25八年级下·广东·期末）如图，在中，，，点在边上，，过点作于点．若，则线段的长度是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·湖北黄石·月考）如图，在直角坐标系中，的对角线的交点在原点，若顶点的坐标为，则顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，平分，，，则的长是______． 9．（24-25八年级下·青海海西·期中）如图，在平行四边形中，，，于，则______度． 【题型3】平行四边形的判定 10．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）下列命题中，假命题是（   ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．两组对角相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 11．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）如图，在中，，，以线段为边在上方作等边，点F是线段的中点，连接．(1)若，求的长；(2)求证：四边形是平行四边形． 14．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：；(2)证明：四边形为平行四边形． 15．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，在四边形中，，，，，是的中点，连接并延长，交于点，连接．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)若平分，求的长． 【题型4】平行四边形的性质与判定综合运用 16．（24-25八年级下·四川雅安·期末）如图，在平行四边形中，平分，对角线，相交于点，连接，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（25-26八年级上·山东日照·期末）两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点F是边中点，则下列结论：①是等边三角形，②，③，④四边形是平行四边形，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 18．（25-26八年级下·江苏·课后作业）如下图，的对角线，相交于点，点在上，点在上，连接，使恰好经过点．(1)求证：．(2)若，，，求的长．(3)记四边形的面积为，的面积为，用等式表示和的关系为 ． 19．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图平行四边形，对角线，交于点，的平分线交延长线于点，交于点．(1)求证：；(2)若，，连接; ①若，求平行四边形的面积；②设，试求与满足的关系． 20．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，将绕点D顺时针旋转（），得到，点A，B的对应点分别为点F，E． 猜想证明：（1）如图2，当于点P时，分别与线段交于点G，H．猜想线段与的数量关系，并说明理由． 数学思考：（2）如图3，当B的对应点E恰好在线段上时，连接．判断与的位置关系，并说明理由． 拓展探究：（3）在图3的基础上，连接，若，，请直接写出线段的长度． 21．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）方方与圆圆在学习中心对称后，准备对平行四边形进行更深入的研究，如图，平行四边形中，、分别为、上的点，当时，与是中心对称的，可推理得到． (1)图中，为上不同于的一点，满足，此时与不是中心对称的，那么与是否仍存在某种数量关系？并说明理由； (2)如图，平行四边形，、交于点，为上一点，延长交延长线于点，若，，求的长（用，表示）； (3)如图，中，为的中点，为上一点，延长交延长线于点，若，，直接写出的长． 考点02 矩形的性质与判定 1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（rectangle）。矩形也叫长方形。 2）矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角、对角线相等。 因为矩形是特殊的平行四边形，所以矩形也具有平行四边形的一切性质。 3）矩形既是中心对称图形（对角线的交点是对称中心），也是轴对称图形； 4）矩形的判定： （1）矩形的判定定理1：三个角是直角的四边形是矩形。 （2）矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 【题型1】矩形的概念与性质辨析 22．（25-26八年级下·江苏·课后作业）如图，在矩形中，对角线，交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．所在直线为矩形的对称轴 23．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）矩形具有而平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角互补 C．对边相等 D．对角线互相平分 24．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）写一条矩形具有而菱形不具有的性质_____． 25．（25-26八年级下·江苏·课后作业）已知，点O是矩形对角线的交点，那么矩形（   ） A．是中心对称图形，但不一定是轴对称图形 B．是轴对称图形，但不一定是中心对称图形 C．既是中心对称图形，又是轴对称图形 D．无法判断图形的对称性 【题型2】矩形的性质求值（角度、长度、周长、面积、坐标等） 26．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，已知，则（   ） A． B． C． D． 27．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 28．（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，过点O作，分别交、于点E、F，若，，则________． 29．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为_____． 30．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知：如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，．(1)求的度数；(2)求矩形的面积． 【题型3】矩形的判定 31．（25-26八年级下·广东·课后作业）如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 32．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）在下列条件中，能够判定是矩形的是（   ） A． B． C． D．平行于 33．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 34．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，求的长． 35．（25-26九年级上·陕西宝鸡·月考）如图，菱形的对角线相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，．(1)求证：四边形为矩形；(2)若，，则的长 ． 【题型4】矩形的性质与判定综合运用 36．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，在矩形中，，为上一点，且，为的中点，下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的序号是_______． 37．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在矩形中，，． (1)如图1，过对角线中点作，分别交，于点，，连接，，求证：四边形为菱形；(2)求图1中线段的长；(3)如图2，矩形内有一点，连接，，延长交于点，若，，求的长． 38．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）九年级数学兴趣小组以探究“矩形的性质”为主题开展活动．小星将如图所示的矩形纸片进行折叠，使点落在边上的点处，折痕为，展开后，连接，就可以得到一个四边形． (1)如图①，与的数量关系为_______，与的位置关系为_______． (2)如图②，将图①中的矩形纸片沿过点的直线进行折叠，使得点恰好落在上的点处，展开后，分别连接，，并延长交于点，证明：； (3)如图③，若将图①中的矩形纸片沿中点所在直线进行折叠，使得点恰好与点重合，展开后，折痕所在的直线交的延长线于点，交于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 39．（25-26八年级上·上海·期末）将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点E． (1)猜想与的数量关系，并证明； (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合），连接，求证：四边形是平行四边形； (3)在矩形绕点C顺时针旋转的过程中，若，，当，，D三点在同一条直线上时，请求出的值． 40．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图1，在矩形中，，，E为射线上一动点，设．连接，点B关于的对称点为，作射线． (1)【基础探究】如图2，点E在线段上，且射线经过点D．①求证：；②求此时x的值； (2)【应用拓展】若射线交边于点F，．①当时，求x的值；②当时，直接写出x的值． 考点03 菱形的性质与判定 1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（rhombus）。 2）菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线垂直，每条对角线都平分一组对角。 因为菱形是特殊的平行四边形，所以菱形也具有平行四边形的一切性质。 3）菱形既是中心对称图形（对角线的交点是对称中心），也是轴对称图形。 4）菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半。 5）推论：对角线互相垂直的四边形的面积=对角线乘积的一半。 6）菱形的判定： （1）菱形的判定定理1：四边相等的四边形是菱形。 （2）菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 【题型1】菱形的概念与性质辨析 41．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）在菱形中，对角线相交于点，下列结论中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 42．（25-26八年级下·江苏·课后作业）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（   ） A．四条边相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．既是中心对称图形又是轴对称图形 43．（24-25八年级下·广东潮州·期末）下列选项中，菱形一定具有的性质是（   ） A．四个内角都相等 B．对角线互相垂直 C．至少有一个内角是 D．对角线相等 44．（24-25八年级下·甘肃临夏·月考）下列性质中，菱形不一定具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角相等 【题型2】菱形的性质求值（角度、长度、周长、面积、坐标等） 45．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，连接、交于点O，点E在边上，连接．如果，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 46．（25-26八年级下·广东课后作业）将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为______． 47．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，连接，若，则的长是（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 48．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，则的度数为_____． 49．（23-24八年级下·北京·期中）如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则_____． 【题型3】菱形的判定 50．（25-26八年级下·江苏·课后作业）如图，四边形的对角线，相交于O，且互相平分，添加下列条件，能判定四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D． 51．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 52．（25-26八年级下·江苏·周测）如图，在中，，．要判定四边形是菱形，还需要添加的条件可以是（    ） A． B． C．平分 D． 53．（25-26九年级上·河南郑州·期中）已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由；(2)若，，求四边形的面积． 54．（25-26九年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的长． 【题型4】菱形的性质与判定综合运用 55．（25-26九年级下·新疆省直辖县级单位·开学考试）如图，是平行四边形的对角线．    (1)用直尺和圆规作出的垂直平分线，点分别在边上，连接；（保留作图痕迹，不写作法）;(2)求证：四边形是菱形；(3)若，求平行四边形的面积． 56．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图1，在菱形中，点O为对角线的中点，将绕着点O逆时针旋转，得到线段，构造四边形，连结． (1)试猜测四边形的形状，并证明你的结论； (2)当（即）时，若，求的度数； (3)若，，设的面积为，的面积为，当时（如图2），求的值． 57．（25-26九年级上·山西太原·期末）如图，点是菱形对角线上一动点，．在线段的同侧作线段，使得，连接． (1)补全图形，并回答问题：当 时，； (2)连接，交于点，若，探索与的数量关系，并证明； (3)直接写出当 时，将平行． 58．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，已知菱形，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，作的角平分线交于点P，连接并延长交延长线于点F，连接，． (1)如图1，当，即点D与点E重合时，求证：是等边三角形； (2)如图2，当时，求证：； (3)在线段的旋转过程中，直接写出线段，，之间的数量关系． 考点04 正方形的性质与判定 1）正方形的定义：四边相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形（square）。 2）正方形的判定： （1）正方形的判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。 （2）正方形的判定定理2：有一个角是直角的菱形是正方形。 3）正方形的性质： （1）正方形的性质定理：正方形的对角线相等且互相垂直平分。 （2）正方形具有矩形、菱形的一切性质，。 （3）正方形既是中心对称图形（对角线的交点是对称中心），也是轴对称图形。 【题型1】正方形的概念与性质辨析 59．（25-26八年级下·江苏·课后作业）下列结论中，正确的有（   ） ①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对称轴；⑤正方形有4条对称轴 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 60．（25-26八年级下·江苏·课后作业）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 61．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 62．（24-25八年级下·河北保定·期末）正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角相等 63．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列关于几何图形的性质中，错误的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直且平分 C．正方形的对角线相等 D．平行四边形的对角线相等且平分 【题型2】正方形的性质求值（角度、长度、周长、面积、坐标等） 64．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在正方形中，点为对角线上的一点，，垂足分别为、，若，则的长度为_________． 65．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在正方形中，为对角线，点、分别为边和上的点，且，连接，过点作交于点，点为边上的点，连接，若，，则的度数为________． 66．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在矩形中，，，平分，平分，，，则四边形的面积为________． 67．（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，．(1)求证：；(2)求证：． 68．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且．(1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由：(2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【题型3】正方形的判定 69．（25-26九年级上·重庆·期中）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 70．（25-26八年级下·广东·课后作业）下列叙述错误的是（    ） A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．有一个角是直角的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 71．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 72．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在四边形中，，，，点在边上，点是边的中点，且，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是正方形；(2)若，求的长． 73．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接．(1)求证：四边形是矩形．(2)当 时，四边形是正方形． 【题型4】正方形的性质与判定综合运用 74．（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 75．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形（虚线为重叠部分四边形的轮廓），其中，，，已知，且，则重叠部分四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 75．（25-26九年级上·江苏·期末）问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，，将绕点B沿顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点延长交于点F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由．(2)如图②，若，求证： (3)若，，求DE的长． 77．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中是“神奇四边形”的是________；（填序号） (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连接，．①判定四边形是否为“神奇四边形”；②如图2，点M，N，P，Q分别是，，，的中点，则四边形________“神奇四边形”；（填“是”或“不是”） (3)如图3，点F，R分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O．若，正方形的边长为9，求线段的长． 78．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，正方形，点、分别在、上． (1)如图1，当时．①求证：；②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：；(2)如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 考点05 中位线 1）三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线（median line of triangle）。 2）三角形的中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 符号语言：∵DE是三角形ABC的中位线；∴DE//BC，DE=BC。 3）中点四边形重要结论 原图形 中点四边形 图形 任意四边形 平行四边形 对角线相等的四边形 矩形 对角线垂直的四边形 菱形 对角线互相垂直且相等的四边形 正方形 题型01 与三角形中位线有关的计算 79．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，点M为边上任意一点，点E，点F分别是的中点，若，则的长为___________． 80．（25-26八年级下·江苏·课后作业）如图，是的中位线，平分，交于点．已知，，则的长为_____________． 81．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图，点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，若，则四边形的周长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 82．（25-26九年级上·福建漳州·月考）如图，正方形中，为对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点，交于点，若为的中点，则的值为________． 题型02 与三角形中位线有关的证明 83．（25-26九年级上·成都·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为等对四边形．等对四边形对边中点的连线，称为等对中位线． 性质：等对四边形的两条等对中位线互相垂直平分． 已知：如图①，四边形中，对角线，，，，分别是，，，的中点，连接，． 求证：，互相垂直平分． 部分证明过程如下： 证明：如图，顺次连接，，，四点， 任务： (1)下列图形，是等对四边形的有 只填序号；①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 (2)请按照上面的证明思路，完成剩余的证明过程； (3)如图②，等对四边形中，若等对中位线，求等对四边形两对角线的长． 84．（25-26九年级上·成都·期末）综合与实践： 问题情景：已知等腰和等腰，，点分别是的中点，连接．问题： （1）如图1，当点E在上，且点C和点D恰好重合时，探索与的数量关系，并加以证明； （2）如图2，当点D在上，点E在外部时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． 拓展探究：（3）如图3，将图2中的等腰绕点A逆时针旋转（）请猜想与的位置关系和数量关系（不必证明） 85．（25-26九年级下·北京·开学考试）如图，在中，，，点D在射线上，将射线绕点D逆时针旋转，所得射线交直线于点E，点F为的中点，连接． (1)如图1，若，求证：． (2)如图2，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． ①依题意补全图形；②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 86．（25-26八年级上·山东泰安·月考）如图，延长的边到E，使，连接交于点． (1)试说明：． (2)连接、相交于点，连接．与有怎样的数量关系与位置关系？说明理由． 题型03 中点四边形 87．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，点分别是四边形边的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则四边形为菱形 B．若，则四边形为矩形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 88．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点，连接，．则下列说法： ①与互相平分；②若，则四边形为矩形；③若，则四边形为菱形．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 89．（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究：（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决：（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 90．（24-25八年级下·广东东莞·期中）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 数量关系、 位置关系 特殊四边形 不相等、不垂直 平行四边形 【探究一】（1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程） 【探究二】（2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究三】（3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究四】（4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形． 91．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)（填空）判断图1中的中点四边形的形状为______，菱形的中点四边形的形状是______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，，，，分别为，，，的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，求的长． 考点06 梯形 1）梯形定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形（trapezoid）。 2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫作等腰梯形（isosceles trapezoid）。 3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫作直角梯形（right trapezoid）。 题型01 梯形的中位线 92．（24-25八年级下·北京朝阳·期中）我们已经学习过平行四边形的知识，借助平行四边形的相关性质、判定定理，我们研究学习了三角形的中位线的定义和性质．根据研究图形的规律，请回答以下问题： (1)三角形中位线定理是：__________________________________________ (2)梯形也是一种常见的四边形，它是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线． ①请在图中画出梯形的中位线；（请在答题卡上画出此梯形后，画出梯形中位线） ②通过观察、度量、猜想梯形中位线具有的性质并证明． 猜想：梯形的中位线________________．（请在答题卡上把这句话写全） 已知： 求证： 证明： (3)已知梯形的中位线长6，梯形的高为3，则梯形面积是________________． 93．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）本学期我们研究了三角形的中位线的性质，回顾研究的过程，请回答以下问题：(1)三角形中位线定理是： ；(2)梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图①，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图②，连接并延长，交的延长线于点G．先证和全等，再说明是△ABG的中位线．经过你的分析，请写出梯形的中位线和两底、之间的关系： 、 ；    (3)已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是 ； (4)如图③，直线l为外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作直线l的垂线段、、、，请探索线段、、、之间的数量关系，并证明．    94．（25-26九年级上·山东淄博·月考）知识回顾：（1）本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图（1）中，是的中位线，连接．则与的数量关系为： （用符号语言表达）． 方法迁移：（2）连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图（2）已知梯形中，，点M，N分别为，的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 理解内化：（3）已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是 ： 95．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【实践与应用】 重温知识 如图①，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”． 阅读素材 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形，其中平行的一组对边叫做梯形的底边，不平行的一组对边叫做梯形的腰，我们把连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线． 任务1 如图②，在梯形中，，点是腰的中点，请沿着剪开将梯形剪拼成一个完整的三角形．（在图②中直接画出剪拼后的三角形） 任务2 如图③，在梯形中，，点、分别是两腰、的中点，线段叫做梯形的中位线．请类比三角形中位线的性质，猜想和、具有怎样的位置关系和数量关系？并结合“任务1”，证明你猜想的结论．（如图③） 任务3 如图③，若梯形的面积为，高为，求梯形的中位线的长． 题型02 等腰梯形的性质定理 96．（2025·浙江·模拟预测）如图，等腰梯形（     ）    A．既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．是轴对称图形，但不是中心对称图形 C．是中心对称图形，但不是轴对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 97．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）已知在等腰梯形中，，，垂足为点O，如果，那么梯形的上下底之和等于______ ．      98．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）在等腰梯形中，，对角线相交于点，，，厘米，则的面积为（    ）平方厘米 A． B． C． D． 99．（24-25八年级下·吉林松原·期中）已知在等腰梯形中，，于点，，，则梯形的面积是________． 100．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，四边形中，，，，，则线段的长______． 题型03 等腰梯形的判定定理 101．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）下列命题中，是真命题的是（   ） A．一组对边平行，一组对角互补的四边形是平行四边形 B．一组对边平行，一组对角互补的四边形是等腰梯形 C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是等腰梯形 102．（24-25八年级下·上海·单元测试）下面结论中正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是等腰梯形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．两组对角分别互补的四边形是等腰梯形 D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴 103．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，延长到点E，使，．(1)试说明梯形是等腰梯形．(2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 104．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，已知是等边三角形，过点作（），且，连接、．(1)求证：四边形是等腰梯形；(2)点在腰上，连接交于点，若，求证：．    105．（24-25八年级下·上海静安·期末）如图1，梯形中，，，，，．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)若点是直线上的一点，直线交直线于点． ①当点在线段的延长线上时（如图2），设，，求关于的函数解析式并写出定义域；②如果是等腰三角形，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $