8.3三角形的中位线 同步培优讲义2025-2026学年苏科版数学八年级下册

8.3三角形的中位线 （4知识点+9题型+过关检测） 【题型1 与三角形中位线有关的证明问题】 2 【题型2 利用三角形中位线求长度】 8 【题型3 利用三角形中位线求角度】 11 【题型4 利用三角形中位线求面积】 18 【题型5 三角形中位线的实际应用】 23 【题型6 三角形中位线的最值问题】 26 【题型7 三角形中位线的辅助线添加问题】 30 【题型8 三角形中位线的新定义问题】 36 【题型9 中点四边形】 43 · 理解定义：掌握三角形中位线的定义，区分三角形中位线与中线的差异，明确中位线的位置特征。 · 掌握定理：熟记三角形中位线定理的内容，理解定理的推导过程，能准确表述定理的两层核心含义（位置关系+数量关系）。 · 熟练应用：运用三角形中位线定理解决证明、求长度、角度、面积、实际应用、最值等各类问题，掌握中点四边形的性质。 · 辅助线技巧：学会根据题目条件，合理添加中位线辅助线，构造中位线模型解题。 知识点1. 三角形中位线的定义03 知识•梳理 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 关键点：一个三角形有3条中位线；中位线是线段，端点为三角形两边中点，区别于三角形中线（端点为顶点和对边中点）。 知识点2. 三角形中位线定理 定理内容：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC中，若D、E分别是AB、AC的中点，则DE∥BC，且DE = BC。 定理两层含义： · 位置关系：中位线∥第三边（可用于证明平行、角相等） · 数量关系：中位线 = 第三边的一半（可用于求线段长度、周长、面积） 知识点3. 三角形中位线相关推论 · 三角形的三条中位线围成的小三角形，周长是原三角形周长的一半。 · 三角形的三条中位线把原三角形分成4个全等的小三角形，每个小三角形面积是原三角形的四分之一。 · 过三角形一边中点且平行于另一边的直线，必平分第三边（中位线定理的逆用）。 知识点4. 中点四边形基础概念 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，中点四边形的形状由原四边形的对角线性质决定。 核心结论： · 任意四边形的中点四边形是平行四边形； · 对角线相等的四边形，中点四边形是菱形； · 对角线垂直的四边形，中点四边形是矩形； · 对角线相等且垂直的四边形，中点四边形是正方形。 备考小贴士：三角形中位线是八年级几何核心考点，题型万变不离定理，做题时先找中点、再连中位线、最后用定理，结合图形分析更高效。 04 题型•汇总 【题型1 与三角形中位线有关的证明问题】 解题思路： 找准题目中的中点条件，连接中位线，借助中位线的平行关系和线段倍分关系，结合全等三角形、平行四边形判定等知识完成证明，核心是转化线段和角的关系。 【典例1】．如图，在中，、分别是、的中点，且，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先通过中位线定理得到且，进而证得，易证得四边形是平行四边形，再根据，证得四边形是菱形； （2）易证得，则是等边三角形，从而得到，在中，由勾股定理求得，最后利用菱形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：、分别是、的中点， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：如图，过点E作， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 菱形的面积为：． 【变式1-1】．如图，在中，，且，点D、E分别是边的中点，连接，过点B作，过点E作交于点F，求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【分析】由已知条件推出四边形为平行四边形，是的中位线，由三角形中位线的性质可得出，，从而得出，由线段的中点可得出，再结合已知条件可得出，则可证明四边形为正方形． 【详解】证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵点D、E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴, ∵,, ∴， ∴四边形为正方形． 【变式1-2】．如图，在中，，E为的中点，连结，D是的中点，连接，在的延长线上取一点F，使．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，熟练运用以上知识点是解题的关键． 先由为的中点和D是的中点，得是的中位线，进而得，再由得，进而得，进而得，从而，根据“两组对边互相平行的四边形为平行四边形”得证． 【详解】证明：如图， 为的中点，D是的中点， ，， ， 在和中， ， ， ， 又，， ， ， 又， ， ， 四边形为平行四边形． 【变式1-3】．【问题情景】如图，E是正方形的边上一点（点E与点A，B不重合），连接，过点A作，垂足为G，与边相交于点F． 【初步探索】（1）如图1，求证：； 【深入研究】（2）如图2，连接，，若，的面积为6． ①求的长； ②如图2，取，的中点M，N，连接，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；② 【分析】（1）证明，得出即可； （2）①设，得出，求出，，，根据的面积为6，求出正方形的面积为，得出，解方程求出，即可得出答案； ②连接，并延长交于点H，连接，证明，得出，，根据勾股定理得出，根据中位线的性质得出． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， ； （2）①解：设， ，， ， ，，， 又的面积为6，正方形的面积为， ， ， 整理得：， ， ， ， 在中，； ②解：如图，连接，并延长交于点H，连接． ∵在①的条件下，， 在正方形中，， ，， ∴点M是的中点， ， 在和中 ， ， ，， ， 又， ， 在中，， ，点N是的中点， 是的中位线， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中线判定和性质以及勾股定理的应用，解题的关键是能熟练利用正方形中“十字架”模型、勾股定理和三角形中位线定理进行求解． 【题型2 利用三角形中位线求长度】 解题思路 锁定中位线对应的第三边，直接套用“中位线=第三边一半”公式，已知中位线求第三边则反向运算，复杂图形需先拆解找中位线。 【典例2】．如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，则的长为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质．关键是通过中位线的平行关系，结合角平分线的定义推导出等腰三角形，进而计算线段长度．首先根据三角形中位线定理，确定的长度、与的平行关系及的长度；接着利用平行线的内错角相等和角平分线的定义，证明为等腰三角形，得到；最后通过减去的长度，求出的长． 【详解】解：∵是的中位线，，， ∴，，； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【变式2-1】．如图，在中，，，点、、分别是、、的中点，连接，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】利用三角形的中位线，得到，，即可求解． 【详解】解：∵点、、分别是、、的中点，，， ∴，是的中位线，，， ∴，， ∴四边形的周长为． 【变式2-2】．如图，在中，，，是的中点，若平分，，则线段的长为_____________． 【答案】 【分析】延长交于点，根据角平分线的定义得到，易证得，进而得到，，根据是的中位线，进行解答即可． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分， , ， 在和中， , ， ，， , 为的中点，， 是的中位线， ． 【变式2-3】．如图，在中，是上一点，，是的中点．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握延长中线构造平行四边形，结合等边三角形和全等三角形推导线段关系是解题的关键． 延长构造平行四边形，利用平行四边形性质得线段相等与平行关系，结合证等边三角形，再通过全等三角形证，最后由为的一半求长度． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，，． 是的中点， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 是等边三角形， ，， ． 在和中， ， ， ． 【题型3 利用三角形中位线求角度】 解题思路 利用中位线平行于第三边的性质，结合平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），将未知角转化为已知角求解。 【典例3】．如图，在中，对角线与相交于点，是边的中点，连接．若，则的度数为（   ） A．60° B．50° C．40° D．25° 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行于第三边，平行四边形对边平行是解题的关键． 利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合为中点，判定为中位线，通过平行线的性质得到与相等，进而求出角度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点 ∴是的中点 ∵是边的中点 ∴是的中位线 ∵是的中位线 ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ 且 ∴ ， ， ∵ ∴ 故选：B． 【变式3-1】．如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，，，求的度数_____． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，等边对等角，根据题意，易得分别为的中位线，得到，根据，得到，进而得到，即可． 【详解】解：∵是对角线的中点，、分别是、的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3-2】．如图1，在和中，，，．直线、相交于点，且点为的中点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若． ①当，，求出的面积（用含有，的式子表示）； ②连接，，取的中点，连接，若，，请直接写出的度数为__________（用含有的式子表示）． 【答案】(1)见详解 (2) (3)①；② 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可解答． （2）如图，延长至点使得，连接，根据倍长中线证明，得出，，根据（1）中，得出．等量代换得，等边对等角得，从而得，根据，得出，推出，根据平角定义得出，即可得出． （3）①根据题意，当，，结合，，得出，勾股定理求出，过点作，根据等腰直角三角形的性质得出，延长至点使得，连接，得出，证明，得出，结合，得出，根据等腰直角三角形的性质得出，则，证出是等腰直角三角形，过点作，根据等腰直角三角形的性质得出，结合，根据三角形面积公式即可求解． ②如图，连接，根据点为的中点，，得出，根据点是的中点，点为的中点，得出是的中位线，则，根据平行线性质得，设，则，，根据，得出，则，由（2）知，根据三角形内角和定理得出，证出，结合，得出，则，表示出，，即可得，结合即可解答． 【详解】（1）证明：∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图，延长至点使得，连接， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， ∴． （3）解：若， 则， ①当，， ∵，， ∴， ∴， 过点作， 则， 延长至点使得，连接， ∵点为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， 过点作， ∴， 又， ∴的面积． ②如图，连接， ∵点为的中点，， ∴， ∵点是的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 设， 则，， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形中位线定理等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 【变式3-3】．在中，已知、分别是边、的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据、是、中点，判定为的中位线，由中位线定理得出，再依据平行线的同位角相等，得出与相等，从而求出的度数． 【详解】解：∵、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴． 【题型4 利用三角形中位线求面积】 解题思路 中位线分割后的小三角形与原三角形相似，相似比为1:2，面积比为1:4；多条中位线分割后，总面积可按比例拆分，结合三角形面积公式计算。 【典例4】．如图，是的边上任意一点，、分别是线段、的中点，且的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．利用三角形中线平分面积(等底同高的三角形面积相等)的核心性质，从已知的面积出发，先推出的面积(是中点，故)，再推出的面积(是中点，故)，逐步递推得出结果． 【详解】解：∵是的中点， ∴和的面积相等(等底同高)， ∵ 的面积为， ∴ ∵是的中点， ∴和的面积相等，和的面积相等， 即． 故选：A． 【变式4-1】．如图，菱形的面积为30，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，矩形的性质与判定，连接交于点O，根据菱形的性质可得，，再由三角形中位线定理可得，则可证明四边形是矩形，据此根据矩形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵菱形的面积为30， ∴，即； ∵点分别为的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴． 故选：B． 【变式4-2】．在中，E，F分别是边，的中点．若，，，则的面积是______． 【答案】48 【分析】如图：连接，利用三角形中位线定理可求出的长度，再通过勾股定理的逆定理判断平行四边形的一个内角为直角，最后计算平行四边形的面积即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵E，F分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∵，即 ∴是直角三角形，即， ∵在中，, ∴平行四边形是矩形， ∴． 【点睛】掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 【变式4-3】．如图，为的中线，为的中线． (1)在中作边上的高，垂足为F； (2)若的面积为，． ①的面积为_________；   ②求中边上的高的长； (3)过点E作，交于点，连接、且相交于点，若，，求．（用含m、n的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)①10，②2 (3) 【分析】本题考查了画三角形的高，三角形的中线的性质； （1）根据题意画出垂线， （2）①三角形的中线将三角形的面积等分成两份，从而求得的面积； ②由再求出三角形的面积，则得边上的高； （3）由平行线可得，从而求得． 【详解】（1）解：如图，作垂足为， （2）解：①为的中线， ， 的面积为， 的面积为； ②为的中线， ， ∴， ； （3）解：∵ ，为的中线， 是的中位线， 是的中线， ，， ， 又 ． 【题型5 三角形中位线的实际应用】 解题思路 将实际问题抽象为几何模型，找到三角形及两边中点，构造中位线，利用定理计算实际距离、长度等，核心是数学建模。 【典例5】．如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键． 利用三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴(米) ． 故选：D． 【变式5-1】．如图，为了测量池塘A、B两端的距离，在线段的一侧取点C作．并延长至D，使；延长至E，使．连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键．根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：， ∴点A是中点，点B是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ． 故选：． 【变式5-2】．游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为____________． 【答案】100 【分析】由题意可知，是的中点，且、都与地面垂直，因此．根据三角形中位线定理，在中，是中位线，利用中位线性质即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中点，且，， ∴． ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． ∴小朋友离地的最大距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题关键是识别出是的中位线，从而利用中位线性质求出的长度． 【变式5-3】．某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【答案】(1)中位线，160 (2)三角形的中位线定理 (3)，过程见解析 【分析】本题考查了中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； （1）根据已知思路写出需要填补的空缺； （2）根据方案一的思路判断依据； （3）从方案二或方案三选择一种方案求出AB长． 【详解】（1）解：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的中位线． ， 160． （2）解：三角形的中位线定理 （3）解：选择方案二：， ， ． 或选择方案三：，， 为直角三角形． ， ， ． 【题型6 三角形中位线的最值问题】 解题思路 中位线长度由第三边决定，将中位线最值转化为第三边的最值，结合三角形三边关系、垂线段最短等知识求解。 【典例6】．如图，的面积为，与交于点，分别过点作的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】由题意可知，当垂直于菱形的一边时，有最小值，过点作于点，当点为的中点时，为的中位线，得，，证明平行四边形是矩形，得，求出，即可得出结论． 【详解】解：由题意知，，， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形； ∵点是的中点，点是四边形边上的动点， ∴当垂直于菱形的一边时，有最小值， 过点作于点， 当点为的中点时，连接， 则为的中位线， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴， 解得：， ∴， 即的最小值是． 【变式6-1】．如图，在四边形中，，，，，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合）．若，分别为，的中点，则线段长度的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理和勾股定理，掌握通过中位线将线段长度转化，结合动点位置求最值是解题的关键． 利用三角形中位线定理将转化为，通过分析的最大值来确定的最大值，结合勾股定理进行求解． 【详解】解：如图，连接． ，分别为，的中点， 为的中位线， ， 当最大时，最大． 当点与点重合时，最大，此时， 线段长度的最大值为3． 故选：C． 【变式6-2】．如图，在中，，，，是平面内一点，且，点是中点，点在线段上，且，连接，则线段的最大值为_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线的性质、勾股定理及三角形三边关系，正确得出是解题关键．延长到，使，连接，，可得是的中位线，利用勾股定理可求出，根据三角形中位线的性质可得，利用三角形三边关系可得的最大值为，即可得出的最大值． 【详解】解：如图，延长到，使，连接，， ∵，， ∴，， ∴， ∵点是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴点、、三点在一条直线上时，有最大值， ∴的最大值为， ∴线段的最大值为． 故答案为： 【变式6-3】．如图，菱形的边长为1，，E是边上任意一点（端点除外），线段的垂直平分线交分别于点F，G，的中点分别为M，N． (1)求证：； (2)求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由垂直平分线的性质，可得．由菱形的性质可得点A和点C关于对角线对称，推出，等量代换可证； （2）由三角形中位线的性质得，，则，当点F与菱形对角线的交点O重合时，最小，即此时最小． 【详解】（1）证明：连接， ∵垂直平分， ∴． ∵四边形为菱形， ∴点A和点C关于对角线对称， ∴， ∴． （2）解：连接，交于点O， ∵的中点分别为M，N，点G为的中点， ∴，， ∴． 当点F与菱形对角线的交点O重合时，最小，即此时最小， ∵菱形的边长为1，， ∴为等边三角形． ∴． 即的最小值为． 【题型7 三角形中位线的辅助线添加问题】 解题思路 题目出现单个中点时，取另一边中点连接中位线；出现多个中点时，顺次连接构造中位线；出现线段倍分、平行证明时，优先补全中位线模型。 【典例7】．如图，是等边三角形，的平分线交于点D，过点D作于点E，延长和交于点F，若，则的长为（  ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，易得，证明为等边三角形，三线合一求出，线段的和差求出的长． 【详解】解： 取的中点，连接， ∵是等边三角形，的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式7-1】．如图，四边形的对角线，并且，交于点O，M是边的中点，P是边的中点，将点M沿方向平移到点P的位置，则平移的距离等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查中位线的性质，平移的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．由中位线的性质可得，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵M是边的中点，P是边的中点， ∴是的中位线 ∴，， 故选：B 【变式7-2】．如图，在中，平分，于点E，点F是的中点，若，，则的长为_____． 【答案】2 【分析】本题主要运用角平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形中位线定理来求解．通过构造等腰三角形，利用中位线定理得出线段长度． 【详解】解：如图，延长，交于点M， ∵平分，， ∴， ∴，， 又∵F是的中点， ∴为的中位线， ∴． 【变式7-3】．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题： 如图1，在四边形中，，，点P、Q分别为、的中点，求的长． 有两名同学思考良久之后，给出如下的解题思路： 如图2，小鹏同学思考的时候，发现有“两个中点P、Q”，于是想到了老师讲过的“中位线的构造技巧”的这个解题经验，建立图2的辅助线，连接，取的中点H，连接，，再通过“中位线的性质”将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 如图3，小亮同学思考的时候，发现题中有“”，于是就想把这两个角合到一起，于是就利用“中线倍长的构造技巧”的这个解题经验，建立图3的辅助线，连接并延长，使，再连接，，再通过“倍长中线”后的性质，将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的角的关系去理解；为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答： 如图4，在中，，点D为内一点，连接，，延长到点E，使，连接使，探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，点D为中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），连接，过点A作，连接．若，请求出的长． 【答案】（1），过程见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）小鹏的做法：连接，取的中点H，连接，，可得，，，，利用角度转换可得，利用勾股定理即可解答；小亮的做法：连接并延长，使，再连接，，证明，可得，利用勾股定理可得，利用中位线的性质即可解答； （2）延长到T，使得，连接，证明，推出，可得，再证明，则； （3）延长到T，使得，连接，延长交于点J，证明，再推出，可得是等腰直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：小鹏的做法：连接，取的中点H，连接，， 点P、Q分别为、的中点， ，，，， ，， ， ， 小亮的做法：连接并延长，使，再连接，， 点P、Q分别为、的中点， ， ， ， ， ， ， 点P、Q分别为、的中点， ； （2）解：，理由如下： 如图，延长到T，使得，连接， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ；       （3）解：如图，延长到T，使得，连接，延长交于点J， ∵点D为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型8 三角形中位线的新定义问题】 解题思路 先读懂题目新定义（如“双中位线”“中位线三角形”等），将新定义转化为中位线定理的基本性质，再结合常规几何知识解题，万变不离其宗。 【典例8】．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”． 如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，，则图中的“等垂四边形”是______； 如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，，，则边AB长的最小值为______． 【答案】 【分析】如图：延长交于点H，先证可得，．结合可得，即，从而得到四边形是“等垂四边形”； 如图②，延长交于点H，分别取的中点E、F、G，连接，然后根据中位线的定义可得，再，根据平行线的性质可得，由角的和差可得，由勾股定理可得；如图③：延长交于点H，分别取的中点E，F．连接，由, 由勾股定理可得即可解答． 【详解】解：如图①，延长交于点H， ∵四边形与四边形都为正方形， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，即， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是“等垂四边形”； 如图②，延长交于点H，分别取的中点E、F、G，连接 ∴ ∴． ∴ ∴, ∴． 延长交于点H，分别取的中点E，F．连接， 则， ∴ 故答案为：，． 【点睛】本题属于四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 【变式8-1】．我们定义：联结平行四边形一组对边中点的线段叫做“对边中位线”，联结平行四边形一组邻边中点的线段叫做“邻边中位线”．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，对角线BD＝8，那么“对边中位线”EF与“邻边中位线”EG、FG所围成的△EFG的面积是 ___． 【答案】 【分析】由题意可证是等边三角形，可求菱形的面积，可证四边形是平行四边形，可得的面积，，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 菱形的面积， 是对边中位线， ，， ， 且， 四边形是平行四边形， 的面积，， 是邻边中位线， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，理解“对边中位线”与“邻边中位线”定义是解题的关键． 【变式8-2】．定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已知四边形，点是对角线的中点，为的中点，连接，为等边三角形． (1)求证：四边形是“等对边四边形”； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，关键是由三角形中位线定理推出，由，推出，由，推出． （1）由三角形中位线定理推出，即可得到，推出四边形是“等对边四边形”； （2）过作交延长线于，过作于，由补角的性质得到，由推出，得到，由推出，得到，由三角形中位线定理推出，得到，由平角定义推出，由三角形内角和定理得到，因此． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵点是对角线的中点，为的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是“等对边四边形”； （2）解：过作交延长线于，过作于，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，则， ∴在中，，且， ∴． 【变式8-3】．定义：只有一组对边相等的四边形为“纯等对边四边形” (1)如图1，四边形是“纯等对边四边形”，其中，，，分别是，，的中点．若，，求的度数； (2)如图2，四边形是“纯等对边四边形”；其中，点，分别是对角线，的中点，若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要查了三角形的中位线的性质定理，等腰三角形的两底角相等的性质，等边三角形的判定和性质： （1）根据三角形的中位线的性质定理可得且，且，再结合等腰三角形的两底角相等的性质，可得，从而得到，然后根据，可得，即可求解； （2）取中点，连接，，根据三角形的中位线的性质定理可得，，，，从而得到，，进而得到，，继而得到，可证明为等边三角形，即可求证． 【详解】（1）解：∵，，分别是，，的中点， ∴且，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （2）证明：如图，取中点，连接，， ∵点，是对角线，的中点， ∴，，，， ∴，， 又，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 【题型9 中点四边形】 解题思路 连接原四边形的对角线，利用三角形中位线定理，判断中点四边形的对边平行且相等、邻边垂直/相等，进而确定形状。 【典例9】．分别连接等边三角形、平行四边形、矩形、正方形各边中点得到下列图形，其中对称轴条数最多的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中点四边形，轴对称图形的概念．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：连接等边三角形各边中点得到的图形是等边三角形，共有三条对称轴； 连接平行四边形各边中点得到的图形是平行四边形，不是轴对称图形，没有对称轴； 连接矩形各边中点得到的图形是菱形，共有两条对称轴； 连接正方形各边中点得到的图形是正方形，共有四条对称轴； 所以对称轴条数最多的图形是D． 故选：D． 【变式9-1】．如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（    ） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形的面积的 【答案】C 【分析】本题考查了中点四边形，矩形的判定，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．根据三角形中位线定理可得四边形是平行四边形，进而逐一判断即可． 【详解】解：．如图，连接，， 在四边形中， 点，，，分别是，，，边上的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形，故A选项错误； B．四边形的内角和等于，四边形的内角和等于，故B选项错误； C．点，，，分别是，，，边上的中点， ，， ， 同理：， 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和，故C选项正确； D．四边形的面积不等于四边形的面积的，故D选项错误． 故选：C． 【变式9-2】．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，．下列结论： ①连接，则有； ②若，则以、、、为顶点的四边形为正方形； ③连接，相交于点，则； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了中点四边形、勾股定理的逆定理、三角形中位线定理、正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识成为解题的关键． 如图：连接，设交于点O，证明四边形是矩形，然后逐个判断即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，故①正确； ∴，故③正确； ∴，若，则，故④正确； ∵，， ∴， ∴四边形不是正方形，故②错误， 综上可知，正确的有①③④． 故答案为①③④． 【变式9-3】．小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点 是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连接和，他想到了四边形的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：如图2，若是线段上任一点，在的同侧作和，使，，，连接，设点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．请你接着往下解决三个问题： (1)四边形的中点四边形的形状为 ； (2)当点在线段的上方时，如图3，在的外部作和，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由； (3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图4，再判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)菱形 (2)成立，见解析 (3)四边形是正方形，见解析 【分析】（1）先根据是等边三角形，可得，进而，然后利用三角形中位线定理可得，即四边形是菱形； （2）先根据是等边三角形，可得，进而，然后利用三角形中位线定理可得，即四边形是菱形； （3）通过论证，进而得到菱形是正方形． 【详解】（1）解：连接、， ∵是等边三角形， ，， ， ， ， ， 、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， 、、，， ， 四边形是菱形； 故答案为：菱形； （2）答：成立，理由： 连接、， ∵是等边三角形 ，， ， ， ， ， 、、、分别是、、、的中点， 、、、分别、、、的中位线， 、、，， ， 四边形是菱形． （3）答：如图，四边形是正方形，理由： 连接、， （2）中已证， ， ， ， ， ， ． （2）中已证、分别是、的中位线， ，， ， （2）中已证四边是菱形， 菱形是正方形． 05 过关•检测 1．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，M，N分别是边，的中点，连接，，若，，则的长为（　　） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质和中位线定理，熟练使用中位线定理是解题的关键． 首先利用中位线定理和勾股定理求解菱形的边长，再根据中位线定理即可求解OM的长度． 【详解】解：∵M，N分别是边，的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵点M是的中点，， ∴， 故选：C． 2．如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第2025个三角形的周长是（   ） A．2024 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的中位线定理，牢记三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半）是解题的关键． 根据三角形的中位线定理可知，第个三角形的各边长度分别为与第个三角形平行的边的长度的一半，可得到第个三角形的周长与第个三角形的周长的关系为：，同理可得到第个三角形的周长的表达式． 【详解】解：根据题意得：第个三角形的各边长度分别为与第个三角形平行的边的长度的一半， ∴第个三角形的周长与第个三角形的周长的关系为：． 同理可得，，，，． ∴第个三角形的周长． 故选：B． 3．如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，连接，， 和得到四边形，当对角线 和 满足，，时，四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了中位线的性质，矩形的性质与判定，根据中位线的性质以及得出四边形是矩形，进而根据矩形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，，，分别是边，，，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴平行四边形是矩形， ∴四边形的面积为 故选：B． 4．如图，在中，，分别是边，上的中点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理，根据，分别是边，上的中点，可得是的中位线，继而得到，再根据平行线的性质可得答案．解题的关键是掌握中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【详解】解：∵在中，，分别是边，上的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴， 即的度数为． 故选：B． 5．如图，在平行四边形中，，，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，含的直角三角形的性质，平行四边形的性质等知识点，添加辅助线构造中位线是解题的关键．连接，过点A作交于点M．即可得，结合图形可得当时最小，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，，过点A作交于点M． ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴是的中位线， ∵要使线段最小， ∴最小即可， 则当时最小， ∵， ∴， ∴， ， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， ． 故选：C． 6．如图，在中，D、E分别是、中点，平分．交于点F，，，则的长为___________． 【答案】1 【分析】通过三角形中位线定理推出，，借助角平分线这个条件证出，从而通过等量代换求出的长． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图，在中，对角线、相交于点，为的中点，．若，则的长为_____________． 【答案】1 【分析】取的中点并连接，先借助平行四边形对角线互相平分的性质，结合三角形中位线定理确定为的中位线，求出的长度，再根据线段比例关系推出是的中点，结合为的中点，再次运用三角形中位线定理判定为的中位线，最终求出的长． 【详解】解：取的中点，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴是的中点． ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，且． ∵，是的中点， ∴，， ∴是的中点． 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴． 8．如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为___________． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理，可得，然后根据菱形的面积为即可求解． 【详解】解：∵，分别为，的中点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积为， 9．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则___． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线，平行线的性质，找规律，找出计算周长的规律是解题的关键；根据三角形的中位线求解，找规律可得，据此规律可求解. 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∵E是边中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的， 即，，……，， ∴. 故答案为：. 10．如图，平行四边形中，，对角线交于点O，M、N分别是的中点，则_____，点P是上一点，且，点L是的中点，连接，交于E、F，若， 则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，等角对等边，可证明为的中位线，则；取的中点T，连接，由三角形中位线定理可得，，则；证明是的中位线，推出，则可证明，得到，进而可证明，再由勾股定理可得答案． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线交于点O， ∴，点O为的中点， ∵点N为的中点， ∴为的中位线， ∴； 如图所示，取的中点T，连接， ∵点L是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴； ∵点T，点M分别为的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：；． 11．如图，在任意四边形中，分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形其中正确的序号__________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形、矩形与正方形的判定、三角形中位线定理等知识，熟练掌握特殊四边形的判定是解题关键．连接，根据三角形的中位线定理和平行公理推论可得，，，，则四边形一定为平行四边形，结论④正确；根据不能得出四边形为正方形，结论①错误；根据可得，则四边形为菱形，结论②正确；根据可得，则四边形为矩形，结论③正确；由此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵分别是的中点， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形一定为平行四边形，结论④正确； 当时，四边形不一定是正方形，结论①错误； 当时，则， ∴四边形为菱形，结论②正确； 当时，则， ∴， ∴四边形为矩形，结论③正确； 综上，正确的序号为②③④， 故答案为：②③④． 12．如图，在中，对角线、相交于点，，点是的中点，连接，过点作，交的延长线于点．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质和三角形中位线定理，推出，即可证明结论． 【详解】证明：， ，， ， ，即， 点是的中点，， 是的中位线， ， ， ， ， 四边形是矩形． 13．如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由矩形性质可得，，，，再证明是的中位线，所以，，通过角平分线定义可得，所以，最后通过等角对等边即可求证； （）由中位线定理可得，从而有，然后通过勾股定理求出，最后由面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴为斜边的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵在中，为斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积=． 14．如图，中，，点、分别为边、的中点，点从点出发，沿向终点运动． (1)_____，_____； (2)当是等腰三角形时，求线段的长度； (3)设点关于直线的对称点为． ①当点在的边上时，求线段长度． ②作射线，当射线平分的面积时，直接写出此时线段的长度． 【答案】(1)10，3 (2)或1或7 (3)①1或；② 【分析】（1）根据勾股定理和三角形中位线定理求得结果； （2）当时，作于F，，由四边形是矩形，得，当时， 或； （3）①当点在上时，，根据，得，得，即得；当点在上时，由对称性知，，得，由勾股定理得，解得，即得；②作射线，可知射线重合，由对称性知，，由勾股定理得，解得，即得． 【详解】（1）解：∵中，， ∴， ∵点D、E分别为边、的中点， ∴； （2）解：如图1，当时，作于F， 则， ∵点D、E分别为边、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 如图2，当时， 或． 综上所述：或1或7． （3）解：①如图3，当点在线段上时，由对称性知，， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图4，当点在线段上时， ∵， ∴， 由对称性知，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上，或； ②如图5，作射线， ∵点为边的中点， ∴平分的面积， ∵射线平分的面积， ∴射线重合， 由对称性知，， ∵，点为边的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 15．【阅读与思考】下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 如图①，在四边形中，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形是平行四边形，此结论可借助图②证明如下： 证明：如图②，连接，， ∵点H，G分别为，的中点，∴． ∵点E，F分别为，的中点，∴． ∴．同理：． ∴四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 【任务】 (1)如图②，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论； (2)已知四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，若四边形的对角线与的夹角为，请直接写出瓦里尼翁平行四边形中的度数． 【答案】(1)瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．见解析 (2)或 【分析】（1）根据三角形的中位线定理可得，，由此即可得； （2）先根据三角形的中位线定理可得，，再根据平行线的性质求解即可得． 【详解】（1）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．证明如下： 分别为的中点， ∴． 分别为的中点， ∴． ∴， 同理：， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长为 ． （2）解：由题意，画出图形如下： ①如图1，当时， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； ②如图2，当时，则， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； 综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或． 16．如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，连接，过点B作，且，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，关键是掌握菱形的判定方法．由等腰三角形的性质推出，由三角形中位线定理推出，得到，因此，得到，又，，即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵点D、E分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3三角形的中位线 （4知识点+9题型+过关检测） 【题型1 与三角形中位线有关的证明问题】 3 【题型2 利用三角形中位线求长度】 4 【题型3 利用三角形中位线求角度】 5 【题型4 利用三角形中位线求面积】 6 【题型5 三角形中位线的实际应用】 7 【题型6 三角形中位线的最值问题】 9 【题型7 三角形中位线的辅助线添加问题】 10 【题型8 三角形中位线的新定义问题】 12 【题型9 中点四边形】 14 · 理解定义：掌握三角形中位线的定义，区分三角形中位线与中线的差异，明确中位线的位置特征。 · 掌握定理：熟记三角形中位线定理的内容，理解定理的推导过程，能准确表述定理的两层核心含义（位置关系+数量关系）。 · 熟练应用：运用三角形中位线定理解决证明、求长度、角度、面积、实际应用、最值等各类问题，掌握中点四边形的性质。 · 辅助线技巧：学会根据题目条件，合理添加中位线辅助线，构造中位线模型解题。 知识点1. 三角形中位线的定义03 知识•梳理 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 关键点：一个三角形有3条中位线；中位线是线段，端点为三角形两边中点，区别于三角形中线（端点为顶点和对边中点）。 知识点2. 三角形中位线定理 定理内容：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC中，若D、E分别是AB、AC的中点，则DE∥BC，且DE = BC。 定理两层含义： · 位置关系：中位线∥第三边（可用于证明平行、角相等） · 数量关系：中位线 = 第三边的一半（可用于求线段长度、周长、面积） 知识点3. 三角形中位线相关推论 · 三角形的三条中位线围成的小三角形，周长是原三角形周长的一半。 · 三角形的三条中位线把原三角形分成4个全等的小三角形，每个小三角形面积是原三角形的四分之一。 · 过三角形一边中点且平行于另一边的直线，必平分第三边（中位线定理的逆用）。 知识点4. 中点四边形基础概念 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，中点四边形的形状由原四边形的对角线性质决定。 核心结论： · 任意四边形的中点四边形是平行四边形； · 对角线相等的四边形，中点四边形是菱形； · 对角线垂直的四边形，中点四边形是矩形； · 对角线相等且垂直的四边形，中点四边形是正方形。 备考小贴士：三角形中位线是八年级几何核心考点，题型万变不离定理，做题时先找中点、再连中位线、最后用定理，结合图形分析更高效。 04 题型•汇总 【题型1 与三角形中位线有关的证明问题】 解题思路： 找准题目中的中点条件，连接中位线，借助中位线的平行关系和线段倍分关系，结合全等三角形、平行四边形判定等知识完成证明，核心是转化线段和角的关系。 【典例1】．如图，在中，、分别是、的中点，且，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【变式1-1】．如图，在中，，且，点D、E分别是边的中点，连接，过点B作，过点E作交于点F，求证：四边形为正方形． 【变式1-2】．如图，在中，，E为的中点，连结，D是的中点，连接，在的延长线上取一点F，使．求证：四边形为平行四边形． 【变式1-3】．【问题情景】如图，E是正方形的边上一点（点E与点A，B不重合），连接，过点A作，垂足为G，与边相交于点F． 【初步探索】（1）如图1，求证：； 【深入研究】（2）如图2，连接，，若，的面积为6． ①求的长； ②如图2，取，的中点M，N，连接，求的长． 【题型2 利用三角形中位线求长度】 解题思路 锁定中位线对应的第三边，直接套用“中位线=第三边一半”公式，已知中位线求第三边则反向运算，复杂图形需先拆解找中位线。 【典例2】．如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，则的长为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式2-1】．如图，在中，，，点、、分别是、、的中点，连接，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【变式2-2】．如图，在中，，，是的中点，若平分，，则线段的长为_____________． 【变式2-3】．如图，在中，是上一点，，是的中点．若，，求的长． 【题型3 利用三角形中位线求角度】 解题思路 利用中位线平行于第三边的性质，结合平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），将未知角转化为已知角求解。 【典例3】．如图，在中，对角线与相交于点，是边的中点，连接．若，则的度数为（   ） A．60° B．50° C．40° D．25° 【变式3-1】．如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，，，求的度数_____． 【变式3-2】．如图1，在和中，，，．直线、相交于点，且点为的中点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若． ①当，，求出的面积（用含有，的式子表示）； ②连接，，取的中点，连接，若，，请直接写出的度数为__________（用含有的式子表示）． 【变式3-3】．在中，已知、分别是边、的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型4 利用三角形中位线求面积】 解题思路 中位线分割后的小三角形与原三角形相似，相似比为1:2，面积比为1:4；多条中位线分割后，总面积可按比例拆分，结合三角形面积公式计算。 【典例4】．如图，是的边上任意一点，、分别是线段、的中点，且的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】．如图，菱形的面积为30，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【变式4-2】．在中，E，F分别是边，的中点．若，，，则的面积是______． 【变式4-3】．如图，为的中线，为的中线． (1)在中作边上的高，垂足为F； (2)若的面积为，． ①的面积为_________；   ②求中边上的高的长； (3)过点E作，交于点，连接、且相交于点，若，，求．（用含m、n的代数式表示） 【题型5 三角形中位线的实际应用】 解题思路 将实际问题抽象为几何模型，找到三角形及两边中点，构造中位线，利用定理计算实际距离、长度等，核心是数学建模。 【典例5】．如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 【变式5-1】．如图，为了测量池塘A、B两端的距离，在线段的一侧取点C作．并延长至D，使；延长至E，使．连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】．游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为____________． 【变式5-3】．某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【题型6 三角形中位线的最值问题】 解题思路 中位线长度由第三边决定，将中位线最值转化为第三边的最值，结合三角形三边关系、垂线段最短等知识求解。 【典例6】．如图，的面积为，与交于点，分别过点作的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．5 【变式6-1】．如图，在四边形中，，，，，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合）．若，分别为，的中点，则线段长度的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 【变式6-2】．如图，在中，，，，是平面内一点，且，点是中点，点在线段上，且，连接，则线段的最大值为_______． 【变式6-3】．如图，菱形的边长为1，，E是边上任意一点（端点除外），线段的垂直平分线交分别于点F，G，的中点分别为M，N． (1)求证：； (2)求的最小值． 【题型7 三角形中位线的辅助线添加问题】 解题思路 题目出现单个中点时，取另一边中点连接中位线；出现多个中点时，顺次连接构造中位线；出现线段倍分、平行证明时，优先补全中位线模型。 【典例7】．如图，是等边三角形，的平分线交于点D，过点D作于点E，延长和交于点F，若，则的长为（  ） A． B．3 C． D． 【变式7-1】．如图，四边形的对角线，并且，交于点O，M是边的中点，P是边的中点，将点M沿方向平移到点P的位置，则平移的距离等于（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】．如图，在中，平分，于点E，点F是的中点，若，，则的长为_____． 【变式7-3】．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题： 如图1，在四边形中，，，点P、Q分别为、的中点，求的长． 有两名同学思考良久之后，给出如下的解题思路： 如图2，小鹏同学思考的时候，发现有“两个中点P、Q”，于是想到了老师讲过的“中位线的构造技巧”的这个解题经验，建立图2的辅助线，连接，取的中点H，连接，，再通过“中位线的性质”将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 如图3，小亮同学思考的时候，发现题中有“”，于是就想把这两个角合到一起，于是就利用“中线倍长的构造技巧”的这个解题经验，建立图3的辅助线，连接并延长，使，再连接，，再通过“倍长中线”后的性质，将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的角的关系去理解；为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答： 如图4，在中，，点D为内一点，连接，，延长到点E，使，连接使，探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，点D为中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），连接，过点A作，连接．若，请求出的长． 【题型8 三角形中位线的新定义问题】 解题思路 先读懂题目新定义（如“双中位线”“中位线三角形”等），将新定义转化为中位线定理的基本性质，再结合常规几何知识解题，万变不离其宗。 【典例8】．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”． 如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，，则图中的“等垂四边形”是______； 如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，，，则边AB长的最小值为______． 【变式8-1】．我们定义：联结平行四边形一组对边中点的线段叫做“对边中位线”，联结平行四边形一组邻边中点的线段叫做“邻边中位线”．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，对角线BD＝8，那么“对边中位线”EF与“邻边中位线”EG、FG所围成的△EFG的面积是 ___． 【变式8-2】．定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已知四边形，点是对角线的中点，为的中点，连接，为等边三角形． (1)求证：四边形是“等对边四边形”； (2)若，求的度数． 【变式8-3】．定义：只有一组对边相等的四边形为“纯等对边四边形” (1)如图1，四边形是“纯等对边四边形”，其中，，，分别是，，的中点．若，，求的度数； (2)如图2，四边形是“纯等对边四边形”；其中，点，分别是对角线，的中点，若，求证：． 【题型9 中点四边形】 解题思路 连接原四边形的对角线，利用三角形中位线定理，判断中点四边形的对边平行且相等、邻边垂直/相等，进而确定形状。 【典例9】．分别连接等边三角形、平行四边形、矩形、正方形各边中点得到下列图形，其中对称轴条数最多的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】．如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（    ） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形的面积的 【变式9-2】．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，．下列结论： ①连接，则有； ②若，则以、、、为顶点的四边形为正方形； ③连接，相交于点，则； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有__________． 【变式9-3】．小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点 是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连接和，他想到了四边形的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：如图2，若是线段上任一点，在的同侧作和，使，，，连接，设点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．请你接着往下解决三个问题： (1)四边形的中点四边形的形状为 ； (2)当点在线段的上方时，如图3，在的外部作和，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由； (3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图4，再判断四边形的形状，并说明理由． 05 过关•检测 1．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，M，N分别是边，的中点，连接，，若，，则的长为（　　） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 2．如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第2025个三角形的周长是（   ） A．2024 B． C．2025 D． 3．如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，连接，， 和得到四边形，当对角线 和 满足，，时，四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 4．如图，在中，，分别是边，上的中点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形中，，，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 6．如图，在中，D、E分别是、中点，平分．交于点F，，，则的长为___________． 7．如图，在中，对角线、相交于点，为的中点，．若，则的长为_____________． 8．如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为___________． 9．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则___． 10．如图，平行四边形中，，对角线交于点O，M、N分别是的中点，则_____，点P是上一点，且，点L是的中点，连接，交于E、F，若， 则_____． 11．如图，在任意四边形中，分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形其中正确的序号__________． 12．如图，在中，对角线、相交于点，，点是的中点，连接，过点作，交的延长线于点．求证：四边形是矩形． 13．如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 14．如图，中，，点、分别为边、的中点，点从点出发，沿向终点运动． (1)_____，_____； (2)当是等腰三角形时，求线段的长度； (3)设点关于直线的对称点为． ①当点在的边上时，求线段长度． ②作射线，当射线平分的面积时，直接写出此时线段的长度． 15．【阅读与思考】下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 如图①，在四边形中，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形是平行四边形，此结论可借助图②证明如下： 证明：如图②，连接，， ∵点H，G分别为，的中点，∴． ∵点E，F分别为，的中点，∴． ∴．同理：． ∴四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 【任务】 (1)如图②，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论； (2)已知四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，若四边形的对角线与的夹角为，请直接写出瓦里尼翁平行四边形中的度数． 16．如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，连接，过点B作，且，连接，求证：四边形是菱形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $