8.3.3向量的坐标表示（第3课时）（教学课件）高一数学沪教版必修第二册

第八章 平面向量 8.3 向量的坐标表示 8.3.3向量的数量积与夹角的坐标表示 学 习 目 标 1 2 3 推导并掌握平面向量数量积的坐标公式，掌握向量模长的坐标公式、平面内两点间的距离公式， 掌握向量垂直的充要条件的坐标形式，能运用该条件判定垂直、求解参数. 掌握向量夹角的坐标公式，能运用公式求解两个向量的夹角，判断夹角的类型. 新课引入 我们之前学习了平面向量数量积的定义，谁能说说数量积的公式？ ,其中为与的夹角，. 上一节课我们学习了向量的坐标表示，设、分别为x轴、y轴正方向的单位向量，那么 ,它们的线性运算坐标公式是什么？ ① ② 对于向量的核心运算——数量积，能不 能也用坐标来表示？ 新知探究 探究一：平面向量数量积的坐标公式 设平面内两个向量，，如何用坐标表示 ？ 根据数量积的运算律展开： 原式 回想标准正交积相关的知识，想想上式是否还能进一步化简？ ① ② ③ 利用标准正交基的数量积性质可进行化简 新知探究 化简得核心公式： 即：两个向量的数量积，等于它们对应坐标的乘积之和。 新知探究 探究二：向量夹角的坐标公式 由向量数量积的定义： (为与的夹角，)， 变形可得夹角余弦公式，你还记得变形后的形式吗？ 夹角余弦公式： 能否利用坐标表示夹角余弦公式？ 将数量积坐标公式、模长坐标公式代入，得到向量夹角的坐标公式： 例1 典例分析 已知向量求、与 【分析】通过 “求模长→算数量积→代夹角公式” 三步，得到向量的模长与夹角. 解： 例2 典例分析 已知△ABC 中、、三点的坐标分别为(2,-2)、. 求证： 为直角三角形. 【分析】通过计算向量数量积为0，证明两边垂直，从而判定三角形为直角三角形 证明：因为, 所以,即 为直角三角形. 知识小结 平面向量数量积与夹角的坐标公式 ①向量数量积的坐标表示 设, 结论：数量积=对应坐标乘积之和 ②向量夹角的坐标表示 为与的夹角， 新知探究 探究三：两向量垂直和平行的充要条件 结合夹角余弦公式的坐标表示，能否得出两向量垂直或平行的充要条件？ (1) 根据向量夹角公式 即： 的充要条件是 ； 新知探究 的充要条件是 （ 或 仍根据向量夹角公式 知识小结 两向量垂直和平行的充要条件 给定向量 与 ，则 (1) 的充要条件是 ； (2) 的充要条件是 。 例3 典例分析 已知 、、、 都是实数，求证： 并且等式成立的充要条件是 . 【分析】通过构造向量，借助夹角余弦的有界性，证明柯西 - 施瓦茨不等式并给出等号成立条件. 证明：构造向量 , . 如果其中有零向量，那么结论显然成立，从而只要考虑 、 都是非零向量的情况. 把坐标形式的向量夹角公式两边同时平方，整理后可得 典例分析 典例分析 因为 ，所以 并且， 等号成立 . 题型1 向量的数量积 1.已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【分析】由平面向量数量积的坐标表示公式即可求解. 【详解】由平面向量数量积的坐标表示公式得 . 故选：C. C 题型1 向量的数量积 题型2 向量的夹角 2.已知向量，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【分析】根据题设条件先求出的坐标，再由两向量夹角的坐标公式计算即得. 【详解】因为， 所以． 故选：A. A 题型2 向量的夹角 3.若向量，，则__________. 【分析】由向量夹角的坐标表示，代入数据即可求解. 【详解】由，， 得， 则，，， 所以， 又， 所以 题型3 由向量共线求参数 4.已知向量，且 ，则（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．或 【分析】应用向量平行的坐标关系计算求解. 【详解】因为向量，又因为 ， 所以， 即，解得或. 故选：C. C 题型4 向量垂直的应用 4.已知向量，，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．－2 D．－1 【分析】由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】由已知得， 因为 ， 所以，解得， 故选：B． B 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 课堂小结 向量的数量积 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 知识点回顾 1. 向量数量积的坐标表示 设 a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)，则： a · b = x₁x₂ + y₁y₂ 即：两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。 2. 向量的模与距离公式 若 a = (x, y)，则： |a| = √(x² + y²) 3. 向量夹角的坐标表示 设 θ 为向量 a 与 b 的夹角，则： cos θ = x₁x₂ + y₁y₂ √(x₁² + y₁²) · √(x₂² + y₂²) 4. 垂直与平行的坐标判定 a ⊥ b ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0 a ∥ b ⇔ x₁y₂ - x₂y₁ = 0 易错点警示 ⚠️ 易混淆公式 学生常将垂直条件 x₁x₂ + y₁y₂ = 0 与平行条件 x₁y₂ - x₂y₁ = 0 记混。请记住：垂直看“乘积和”，平行看“交叉乘”。 夹角范围的陷阱 在使用 cos θ 求夹角时，务必注意 θ ∈ [0, π]。 若 cos θ > 0 且 a, b 不共线，则夹角为锐角。 若 cos θ < 0 且 a, b 不共线，则夹角为钝角。 特别注意：数量积大于 0 不一定夹角为锐角（可能为 0），数量积小于 0 不一定夹角为钝角（可能为 π）。 零向量的特殊性 零向量 0 与任意向量的数量积均为 0，但谈论“夹角”时，通常要求向量为非零向量。 解题技巧 💡 核心思路：坐标化 当几何图形中存在垂直关系或易于建立直角坐标系时，优先考虑将几何问题转化为坐标运算，避免复杂的几何证明。 技巧 1：求模长常用平方 求 |ma + nb| 时，通常先求其平方： (|ma + nb|)² = m²|a|² + 2mn(a · b) + n²|b|² 技巧 2：数形结合判定夹角 利用数量积的符号快速判定三角形形状： AB · AC > 0 ⇒ ∠A 为锐角 AB · AC < 0 ⇒ ∠A 为钝角 AB · AC = 0 ⇒ ∠A 为直角 $