8.3.4 向量数量积与夹角的坐标表示-同步 配套练习（6基本题4提高题2创新题）-2023-2024学年高一数学下学期同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第二册）

【原卷版】 8.3.4 向量数量积与夹角的坐标表示 班级 姓名 在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等；数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的；向量不仅有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理；本章只讨论平面上的向量，选择性必修课程第3章还将把这一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数课程的核心内容；高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具； 【本章教材目录】 第8章 平面向量 8.1 向量的概念和线性运算 8.2 向量的数量积 8.2.1向量的投影；8.2.2向量的数量积的定义与运算律 8.3 向量的坐标表示 8.3.1向量基本定理；8.3.2向量正交分解与坐标表示；8.3.3向量线性运算的坐标表示；8.3.4向量数量积与夹角的坐标表示 8.4 向量的应用 考点一 向量数量积的运算的坐标表示 在平面直角坐标系中，设分别是轴，轴上的单位向量；由于向量； 分别等价于，根据向量数量积的运算， 有， 由于为正交单位向量，故，， 从而； 即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和； 考点二 平面向量夹角的坐标表示 已知非零向量，是与的夹角， 则； 考点三 向量垂直与平行的充要条件； 给定向量， （1）； （2）； 结论：柯西-施瓦兹不等式 证明： 1、已知，，则等于 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】本题考查了向量的线性运算与数量积运算的坐标表示；进行数量积运算时， 要正确使用公式，并能灵活运用以下几个关系： （1）||2＝·.；（2）(＋)·(－)＝||2－||2；（3）(＋)2＝||2＋2·＋||2； 2、已知，，且，则向量与夹角的大小为 【说明】本题考查平面向量的夹角、垂直问题；解决向量夹角问题的方法及注意事项： （1）求解方法：由直接求出； （2）注意事项：利用三角函数值求的值时，应注意角的取值范围是；利用判断的值时，要注意时，有两种情况：一是是钝角，二是为；时，也有两种情况：一是是锐角，二是为； 3、向量，，则等于 【说明】本题考查了向量的线性运算与数量积运算的坐标表示；进行数量积运算时， 要正确使用公式，并能灵活运用以下几个关系： 4、已知向量＝(1，2)，＝(－2，－4)，||＝，若(－)·＝，则与的夹角为 【说明】本题考查了向量的数量积运算的坐标表示及其运算律； 5、已知向量，，，则等于(　　) A． B． C．5 D．25 6、下列说法正确的是（     ） A．长度为的向量都是零向量 B．若向量与共线，则存在唯一的实数使 C．若两个向量的数量积小于零，则它们的夹角一定为钝角 D．若、是同一平面内两个不共线的向量，则只可以表示该平面内一个向量 7、设向量，向量，若，则实数的值为 【说明】本题考查了向量垂直的充要条件之坐标表示； 8、已知平面向量＝(1，x)，＝(2x＋3，－x)(x∈R)；若∥，则 ； 【说明】本题考查了向量平行的充要条件之坐标表示； 9、已知向量，，若两个向量的夹角为钝角，则的取值是 10、以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（     ） A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的 C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直 11、对于平面内个起点相同的单位向量，若每个向量与其相邻向量的夹角均为，则与的位置关系为（     ） A．垂直 B．反向平行 C．同向平行 D．无法确定 12、已知向量，，设； （1）若，求当取最小值时实数的值； （2）若，问:是否存在实数，使得向量与向量的夹角为?若存在，求出实数;若不存在，请说明理由. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【解析版】 8.3.4 向量数量积与夹角的坐标表示 班级 姓名 在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的