8.3 向量数量积与夹角的坐标表示(第4课时）（教学课件）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 第 8 章 平面向量 8.3向量数量积与夹角的坐标表示（第4课时） 1 4 向量数量积与夹角的坐标表示 给定两个坐标表示的向量 与 ，它们 的数量积是 　　 因为 是互相垂直的单位向量，所以 ， ，于是 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 我们前面给出过用两个向量的数量积表示两个向量夹角的 公式，但当时因为数量积的计算依赖于向量的夹角，那个公式 的实际意义没有足够地显示出来．现在，给定两个非零向量 与 ，把用坐标表示的模的公式和数量积 公式代入原来的向量夹角公式，我们得到 这样，把向量夹角用它们的坐标表示出来，使用上就很方便了． 例６ 已知向量 ＝（1，2）， ＝（２，－２）．求｜ ｜、 ｜ ｜与 例７ 已知△ABC中A、B、C三点的坐标分别为（２，－２）、 （－２，３）、（３，７），求证：△ABC为直角三角形 证明 因为 所以 ，即△ABC为直角三角形 利用坐标形式的向量夹角公式，我们可以得到两个向量垂直 和平行的充要条件： 证明 如果 中有零向量，结论是显然的．因此，只要考 虑 均不为零向量的情况． （１）根据向量夹角公式 （２） 因为 或 ，仍根据向量夹角 公式 用坐标形式的向量夹角公式，并模仿这里所用的把公式两边 同时平方的方法，可以证明一个重要的代数不等式．这是向量工 具在代数中应用的一个实例． 例８ 已知x１、x２、y１、y２都是实数，求证： 并且等式成立的充要条件是x１y２＝x２y１． 证明 构造向量 ＝（x１，y１）， ＝（x２，y２）．如果其中有零 向量，那么结论显然成立，从而只要考虑 都是非零向量的 情况．把坐标形式的向量夹角公式两边同时平方，整理后可得 并且， 等号成立 课本练习 随堂检测 14 7.若点A(1,2), B(2,3), C(-2,5), 则△ABC是什么形状？证明你的猜想. x y O C A B $