专题04 有理数章末易错压轴题27大题型（期中专项训练）六年级数学下学期新教材人教版五四制

专题04 有理数章末易错压轴题 题型1 正数和负数 题型15 有理数的乘方运算 题型2 有理数的概念与分类 题型16 程序流程图 题型3 数轴三要素及其画法 题型17 算24点 题型4 利用数轴上的点表示有理数 题型18 科学记数法 题型5 数轴上两点之间的距离 题型19 近似数 题型6 数轴上整点覆盖问题 题型20 数轴上点的运动问题（压轴） 题型7 相反数 题型21 绝对值的几何意义（压轴） 题型8 绝对值的非负性 题型22 带绝对值的式子化简问题（压轴） 题型9 绝对值的化简问题 题型23 数轴上的翻折问题（压轴） 题型10 绝对值的几何意义（基础） 题型24 数轴与绝对值的综合题型（压轴） 题型11 有理数的大小比较 题型25 有理数的混合运算（压轴） 题型12 有理数的混合运算 题型26 有理数的实际应用（压轴） 题型13 有理数的简便运算 题型27 有理数的新定义问题（压轴） 题型14 有理数混合运算的实际应用 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 正数和负数（共3小题） 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）小明向北走记为，那么的意义是（   ） A．小明向东走 B．小明向西走 C．小明向南走 D．小明向北走 2．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）皋兰软儿梨也叫冻梨、香水梨，每年深秋采摘后，经西北寒冽的冬天糖化、变黑后是皋兰软儿梨特有的吃法，成为当地群众严冬的一道特色美食，某生态园区生产的软儿梨包装纸箱上标明软儿梨的质量为千克，如果一箱软儿梨的质量为千克，那么这箱软儿梨（选填“合格”或“不合格”） 3．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，小李在某运动APP中设定了每天的步数目标为8000步，该APP用正数表示超过目标步数的步数，用负数表示少于目标步数的步数． (1)从9月2日到9月5日这四天中，步数最多的是9月________日，步数最少的是9月________日； (2)小李这四天走的步数一共是多少？ 题型二 有理数的概念与分类（共3小题） 4．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）下列说法中，错误的有（    ） ①是负分数；②不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥不是有理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25七年级上·广东广州·期中）把下列各数填入相应的集合里：0.236，，，，18，，0． 正整数集合：{ …}； 负分数集合{ …}； 有理数集合：{ …}． 6．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）将下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，， 整数集合：                   ； 负有理数集合：                ； 正分数集合：                  ； 非负整数集合：                ． 题型三 数轴三要素及其画法（共3小题） 7．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）下列各图是四位同学所画数轴，其中正确的是（   ） A．   B．   C．     D．   8．（24-25七年级上·河南信阳·期中）已知有理数：，0，4，，2.5． (1)画出数轴，在数轴上表示出这几个数，并用“”连接起来； (2)这几个有理数中是正数的有____________________． 9．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）现有下列各数：①，②，③，④，⑤，⑥． (1)把上列各数序号填入相应的大括号里 ： 非负数集合：{ 　                       …}； 分数集合：{ 　                       　…}． (2)请把下面不完整的数轴补充完整，并在数轴上标出上列各数中的所有整数． 题型四 利用数轴上的点表示有理数（共3小题） 10．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，在数轴上每隔一个单位长度取一个点，若点A表示的数是，则点B表示的数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（24-25七年级上·四川广安·期中）在数轴上将点A向右移动5个单位，再向左移动1个单位，终点恰好是原点，则点A表示的数是 ． 12．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题： (1)如果点表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少？ (2)如果点表示的数互为相反数．那么点表示的数是多少？ 题型五 数轴上两点之间的距离（共3小题） 13．（24-25七年级上·河南商丘·期中）数轴上，点表示，将点沿数轴平移1个单位长度后到点，则点所表示的数为（   ） A．3 B． C．1 D．或 14．（24-25七年级上·陕西安康·期中）点A、B、C在同一条数轴上，点A表示，B和C位于原点的两侧并且到原点的距离相等，已知点B和点A相距8个单位长度，则点C表示的数是 ． 15．（24-25七年级上·广西南宁·期中）用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C分别代表数字a，b，c，已知，如图所示，设点，该轴的原点为O． (1)若点A所表示的数是，则点B所表示的数是 ，点C所表示的数是 ； (2)若点A，B所表示的数互为相反数，则点C所表示的数是 ，此时p的值为 ； (3)若数轴上点C到原点的距离为4，求p的值． 题型六 数轴上整点覆盖问题（共3小题） 16．若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 17．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）在数轴上，一个单位长度表示1cm，现在用8cm的木棒放在数轴上，可以覆盖整数点有 个 18．如图，若将四个数1.3，0.5，2.4，表示在数轴上，其中一个数被一只美丽的蝴蝶遮住了，则被这只蝴蝶遮住的点所表示的数有可能是（　　　） A．1.3 B．0.5 C．2.4 D． 题型七 相反数（共3小题） 19．（24-25七年级上·山东济宁·期中）下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 20．（24-25七年级下·四川乐山·期中）当 时，代数式与的值互为相反数． 21．（24-25七年级上·山西临汾·期中）已知一列数：，，，，． (1)将这一列数在数轴上分别表示出来； (2)用“＜”把这列数连起来； (3)在数轴上找出互为相反数的一对数是：______． 题型八 绝对值的非负性（共3小题） 22．（24-25七年级上·天津宁河·期中）若，则的值是（    ） A．0 B． C． D．5 23．（24-25七年级上·北京·期末）已知，则的值是 ． 24．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）已知，满足，求的值． 题型九 绝对值的化简问题（共3小题） 25．（24-25九年级上·河南南阳·期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（  ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·四川南充·期末）有理数，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 27．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“”“”“”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求a，c的值． 题型十 绝对值的几何意义（基础）（共3小题） 28．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）数形结合 同学们都知道：表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)请计算：_____； (2)试一试：可理解为数轴上哪两点之间的距离？ (3)试探索：使得成立的x的整数值是哪几个？ 29．（24-25七年级上·吉林·期中）我们知道，在数轴上表示数a到原点的距离，这也是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上两个点A、B分别用a、b表示，那么A、B两点之间的距离．根据数轴和绝对值的知识解答下列问题： (1)数轴上4和1之间的距离是______，和3之间的距离是______； (2)在数轴上如果表示x的数和之间的距离是2，求x表示的数． 30．我们知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示15和的两点之间的距离是 ． (2)点、在数轴上分别表示和1，则两点之间的距离是 ，如果，那么是 ． (3)式子的最小值是 ． (4)式子的最小值是 ，此时的值是 ． 题型十一 有理数的大小比较（共4小题） 31．（24-25七年级上·青海西宁·期中）下列比较大小的式子中，正确的是（　　） A． B． C． D． 32．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）比较大小： （填“”“”或“＝”）． 33．（24-25七年级上·四川广元·期中）已知五个数分别为：． 在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来． 题型十二 有理数的混合运算（共2小题） 34．（24-25七年级上·广东湛江·期中）计算：． 35．（24-25七年级上·浙江台州·期中）计算： (1) (2) 36．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算． (1) (2) 题型十三 有理数的简便运算（共3小题） 37．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）简便运算： (1)； (2)． 38．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）简便运算： (1)； (2)． 39．（24-25七年级上·吉林长春·期中）简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十四 有理数混合运算的实际应用（共3小题） 40．（25-26七年级上·全国·期中）一检修小组开车沿一条东西方向的公路作业，早晨从A地出发，晚上到达B地约定向东为正，向西为负，当天的行驶路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)请你确定B地位于A地的什么方向，距离A地有多远？ (2)在检修过程中，检修车离出发地A最远时，位于A地的左边还是右边？距离A地有多少千米？ (3)若检修车每千米耗油，检修车油箱容量为，问检修车在检修过程中至少还需补充多少升燃油？ 41．（25-26七年级上·全国·期中）某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的公路检修线路，约定向东走为正，向西走为负，某天从A地出发到收工时，行走记录如下（单位：km）： ． (1)收工时，检修小组在A地的哪一边，距A地多远？ (2)若汽车每千米耗油，已知汽车出发时油箱里有汽油，问收工前是否需要中途加油？若加，应加多少升？若不加，还剩多少升汽油？ 42．（24-25七年级上·四川巴中·期末）小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走___________． (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，请计算小明家这7天的行驶费用是多少钱？ 题型十五 有理数的乘方运算（共3小题） 43．（24-25七年级上·河南信阳·期中）计算： (1)； (2)． 44．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）计算：． 45．计算： 题型十六 程序流程图（共3小题） 46．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（   ） A．1 B． C． D．13 47．（24-25七年级上·广东深圳·期中）按照下图所示的操作步骤，若输如x的值为2，则y为 ． 48．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）小可同学设计了几张如图写有不同运算的卡片A，B，C，D，小可选择一个有理数，让她的同桌小佳选择A，B，C，D的顺序，进行一次列式计算． (1)当小可选择了4，小佳选择了的顺序，列出算式并计算结果； (2)当小可选择了，小佳选择了（______）（______）的顺序，若列式计算的结果刚好为，请通过计算判断小佳选择的顺序． 题型十七 算24点（共3小题） 49．（24-25六年级上·山东济南·期中）选用运算符号“加、减、乘、除、乘方”将，3，，7连成一个代数式，使其结果是24． ．（每个数必须用一次且只能使用一次，可以使用括号，运算符号可以重复使用） 50．（24-25七年级上·山东青岛·期中）小亮和同伴玩“24点”游戏，游戏规则是从一组卡片中任意抽取4张，根据卡片上的数进行混合运算（每张卡片必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或．小亮抽到的4张卡片上的数分别是2，，12，13，请帮助小亮列出一个结果为24或的算式 ． 51．（24-25七年级上·重庆南岸·期中）学习了有理数后，为练习加、减、乘、除以及乘方混合运算，“智慧学习小组”自制了一副卡片，每天课余，小组成员会做五分钟的混合运算游戏．每次随机抽取4张卡片，根据卡片上的数字进行混合运算（每张卡片必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或者． 例如果随机抽取的四张卡片上的数为，可以列式为：． 说明：与，是交换了因数的位置，看作是相同的算式；与是交换了加数的位置，看作是相同的算式． (1)若随机抽取的卡片上的数为，请列出计算结果为24或的两个不同算式； (2)若随机抽取的卡片上的数为，请列出计算结果为24或的三个不同算式． 题型十八 科学记数法（共3小题） 52．中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”！中国外交部数据显示，截止到2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“50亿”用科学记数法表示为 （    ） A． B． C． D． 53．（24-25七年级上·全国·期中）钓鱼岛，亦称钓鱼台、钓鱼屿、钓鱼山，是中国东海钓鱼岛及其附属岛屿的主岛，是中国自古以来的固有领土．钓鱼岛的面积约是3.91平方千米．数据3.91平方千米用科学记数法表示为 平方米． 54．根据《吉林省年国民经济和社会发展统计公报》，截至年末，吉林省总人口约为人，若将这个数字用科学记数法表示，可写成，其中的值为 ． 题型十九 近似数（共3小题） 55．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）下列说法正确的是（    ） A．近似数与的精确度一样 B．近似数与2000的意义完全一样 C．精确到万分位 D．万与的精确度不同 56．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）第七次全国人口普查数据显示，全国拥有大学（指大专及以上）文化程度的人口为218360767人，把横线上的数改写成用“万”作单位的数是( )万，省略“亿”后面的尾数约是( )亿． 57．（24-25七年级下·四川乐山·期中）按括号里的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)1.596（精确到0.01） (2)0.03057（精确到千分位） (3)2345000（精确到万位） (4)60290（保留两个有效数字） 题型二十 数轴上点的运动问题（压轴）（共3小题） 58．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，在数轴上有A，B两点，分别表示的数为a，b，且．点P从A点出发以每秒19个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒3个单位长度向左匀速运动，当点Q到达A点时，点P，Q停止运动． (1)________（填空），并求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数； (2)点C在数轴上对应的数为81，在数轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M对应的数，若不存在，说明理由； (3)求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；在整个过程中，点P和点Q一共相遇了多少次？ 59．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是：，，．    (1)填空：______，______； (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动．试探索：的值是否随着时间t的变化而改变?请说明理由； (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动．设点移动的时间为秒，试用含的代数式表示、两点间的距离． 60．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）已知，数轴上有三个点，，，它们的起始位置表示的数分别是，，6，如图所示．    (1)若将点从起始位置开始沿数轴向右移动，使得，两点之间的距离与，两点之间的距离相等，则须将点向右移动______单位； (2)若点从起始位置开始，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时，点也从起始位置开始，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，设运动的时间为（秒）． ①求（用含的代数式表示）； ②若点也与点，同时从起始位置开始运动，且点以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，试问：是否存在一个常数，使得的值不随运动时间（秒）的变化而改变？若存在，请求出常数，并求此时的值；若不存在，请说明理由． 题型二十一 绝对值的几何意义（压轴）（共3小题） 61．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 62．（24-25七年级上·福建南平·期中）【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）点，表示的数分别为，2，则_______； （2）若，则_________； 【应用】 （3）如图，数轴上表示数的点，问是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． （4）由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由． 63．（24-25七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________； (3)若，求的最大值和的最大值． 题型二十二 带绝对值的式子化简问题（压轴）（共3小题） 64．（24-25七年级上·四川达州·期中）若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 65．（24-25七年级上·天津和平·期中）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定 66．如果，且，那么 ． 题型二十三 数轴上的翻折问题（压轴）（共3小题） 67．（24-25七年级上·天津津南·期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请思考下列问题： (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为 ． A．  C． B．  D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 ，B点表示 ． ③若数轴上折叠后重合的两点分别表示数a，b，则折叠中间点表示的数为 （用含有a，b的式子表示） 68．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ； （2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ； （3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ； （6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 69．（24-25七年级上·北京·期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 　 A.（＋3）＋（＋2）＝＋5；B．（＋3）＋（﹣2）＝＋1；C．（﹣3）﹣（＋2）＝﹣5；D．（﹣3）＋（＋2）＝﹣1 ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是 　 ． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2017的点与表示 　 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 　 B点表示 　 ． ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为 　 ．（用含有a，b的式子表示） 题型二十四 数轴与绝对值的综合题型（压轴）（共3小题） 70．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离_______，线段的中点C表示的数为_______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为_______； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 71．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 72．（24-25七年级上·福建泉州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应的数为x，点对应的数为y，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． (1)在一条数轴上，O为原点，点对应的数为5，点对应的数为，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 (2)在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 (3)若数轴上点对应的数为x，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，是否存在使为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 题型二十五 有理数的混合运算（压轴）（共3小题） 73．（24-25七年级上·山东聊城·期中） 计算： (1) (2) (3) (4) 74．（24-25七年级上·福建福州·期中）阅读下列材料，完成作答． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 (1)以上三种不同的解法，你认为解法________是错的．（填序号）； (2)在正确的解法中，你觉得解法________比较简便．（填序号）； (3)请你简便计算： 75．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）计算： (1) (2) 题型二十七 有理数的实际应用（压轴）（共3小题） 76．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售．刚大学毕业的张明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣．但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +14 +21 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天是星期 ，销售量最少的一天是星期 ； (2)本周实际销售总量是否达到了计划数量？试说明理由； (3)若冬枣每斤按9元出售，张明需要支付费用包括运费和采摘费，平均每斤冬枣运费和采摘费分别是3元和0.5元，那么张明本周销售冬枣实际共得多少元？ 77．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某超市购进10箱樱桃，若以每箱净重5千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下（单位：千克）：、、、、、、、0、、 (1)求这10箱樱桃的总净重量是多少千克． (2)若每箱樱桃的进价为450元，超市原计划把这些樱桃全部以零售的形式出售，为保证超市仍然能获利，那么樱桃的售价应定为每千克多少元． (3)若第一天超市以（2）中的售价售出了的樱桃后，经超市进行商讨研究后，将剩余的樱桃每2千克一盒经过包装后再投入到超市销售，每盒售价为360元，包装成本费为每盒10元，人工费不计，最终全部售出，请计算该超市实际销售樱桃的总利润比原计划销售樱桃的总利润多多少元． 78．（24-25七年级下·北京·期中）如图，小明家在点，学校在点，中间有道路相连，线段上的点，代表十字路口（十字路口处道路的长度忽略不计）．已知：，，；，两个路口都有红绿灯，对于方向的车辆和行人，每天早上、、、的时间段内，两个路口都是绿灯，其它时间段都是红灯；小明每天早上准时从家出发，不晚于到达学校；为确保安全，他的骑行速度不超过，并且只在绿灯时通过路口（如果到达路口时恰好遇到红灯变绿灯或绿灯变红灯，也可以立即通过路口）． (1)若小明的骑行速度保持为，他将在_____（填时刻）到达学校； (2)若小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变，那么他的骑行速度最大可以是_____，最小可以是_____． 题型二十八 有理数的新定义问题（压轴）（共3小题） 79．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）对于正整数a、b，定义一种新运算，． (1)计算的值为______； (2)求的所有可能的值； (3)下列说法中正确的是______． ①                ② ③                ④ 80．（24-25七年级上·福建·期中）探究规律，完成相关题目． 定义“”运算：；； ；； ；． (1)归纳运算的法则：两数，进行运算时，_______________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，____________．（文字语言或符号语言均可） (2)计算： (3)是否存在有理数，，使得，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由； 81．（24-25七年级上·福建三明·期中）小明在学习了“有理数的乘方”后，类比“乘方”定义“除方”的概念：若干个相同有理数（不能为0）的除法运算叫做除方，用符号表示非零有理数a的n次除方，即，其中． (1)计算的值； (2)关于“有理数的除方”，给出以下判断： ①； ②若，则； ③对于任意正整数n，都有． 正确的是______．（写出所有正确判断的序号） (3)若，n为正整数，且，将“除方”的运算结果表示为幂的形式，并计算的值． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题04 有理数章末易错压轴题 题型1 正数和负数 题型15 有理数的乘方运算 题型2 有理数的概念与分类 题型16 程序流程图 题型3 数轴三要素及其画法 题型17 算24点 题型4 利用数轴上的点表示有理数 题型18 科学记数法 题型5 数轴上两点之间的距离 题型19 近似数 题型6 数轴上整点覆盖问题 题型20 数轴上点的运动问题（压轴） 题型7 相反数 题型21 绝对值的几何意义（压轴） 题型8 绝对值的非负性 题型22 带绝对值的式子化简问题（压轴） 题型9 绝对值的化简问题 题型23 数轴上的翻折问题（压轴） 题型10 绝对值的几何意义（基础） 题型24 数轴与绝对值的综合题型（压轴） 题型11 有理数的大小比较 题型25 有理数的混合运算（压轴） 题型12 有理数的混合运算 题型26 有理数的实际应用（压轴） 题型13 有理数的简便运算 题型27 有理数的新定义问题（压轴） 题型14 有理数混合运算的实际应用 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 正数和负数（共3小题） 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）小明向北走记为，那么的意义是（   ） A．小明向东走 B．小明向西走 C．小明向南走 D．小明向北走 【答案】C 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的量，向北走记为正，则向南走就记为负，直接得出结论即可． 【详解】解：∵向北走记为， ∴的意义是小明向南走， 故选：C． 2．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）皋兰软儿梨也叫冻梨、香水梨，每年深秋采摘后，经西北寒冽的冬天糖化、变黑后是皋兰软儿梨特有的吃法，成为当地群众严冬的一道特色美食，某生态园区生产的软儿梨包装纸箱上标明软儿梨的质量为千克，如果一箱软儿梨的质量为千克，那么这箱软儿梨（选填“合格”或“不合格”） 【答案】不合格 【分析】本题考查了正负数的意义，首先确定质量的合格范围，然后比较实际质量是否在该范围内，从而得出结论． 【详解】解：∵一箱软儿梨的质量为千克 ∴最大质量为千克，最小质量为千克 ∵． ∴这箱软儿梨不合格． 故答案为：不合格． 3．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，小李在某运动APP中设定了每天的步数目标为8000步，该APP用正数表示超过目标步数的步数，用负数表示少于目标步数的步数． (1)从9月2日到9月5日这四天中，步数最多的是9月________日，步数最少的是9月________日； (2)小李这四天走的步数一共是多少？ 【答案】(1)4；3； (2) 【分析】本题考查了正负数，掌握正负数的意义是关键． （1）步数超出最多的量为最多的一天，步数不足最多的量为最少的一天； （2）用每天8000步加上每天的出入量，得出总和即可． 【详解】（1）∵， ∴从9月2日到9月5日这四天中， 步数最多的是9月4日，步数最少的是9月3日． 故答案为：4；3； （2）（步）， 答：小李这四天走的步数一共是步． 题型二 有理数的概念与分类（共3小题） 4．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）下列说法中，错误的有（    ） ①是负分数；②不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥不是有理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数，带“非”字的有理数的概念，注意没有最小的有理数． 本题根据有理数的基本定义，对各项进行判定即可求得答案． 【详解】解： 是负分数；故①说法是正确的，不符合题意； 1.5不是整数；故②说法是正确的，不符合题意； 非负有理数包括0，故③说法是错误的，符合题意； 整数和分数统称为有理数，故④说法是错误的，符合题意； 0不是最小的有理数，故⑤说法是错误的，符合题意； 是有理数，故⑥说法是错误的，符合题意； 故选：D． 5．（24-25七年级上·广东广州·期中）把下列各数填入相应的集合里：0.236，，，，18，，0． 正整数集合：{ …}； 负分数集合{ …}； 有理数集合：{ …}． 【答案】 18 ， 0.236，，，18，，0 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【详解】解：正整数集合：{18，…}； 负分数集合：{，，…}； 有理数集合：{ 0.236，，，18，，0，…}． 故答案为：18；，；0.236，，，18，，0． 6．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）将下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，， 整数集合：                   ； 负有理数集合：                ； 正分数集合：                  ； 非负整数集合：                ． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查有理数的分类，掌握有理数的分类方法是关键． 整数包括正整数、0、负整数；负有理数包括：负分数，负整数；正分数就是大于0的分数；非负整数包括正整数和0，由此即可求解． 【详解】解：，，，，，，，，，， 整数集合：，，，； 负有理数集合：，， ； 正分数集合： ， ； 非负整数集合：，， ． 题型三 数轴三要素及其画法（共3小题） 7．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）下列各图是四位同学所画数轴，其中正确的是（   ） A．   B．   C．     D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴的定义，熟练掌握规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，且数轴的单位长度相同是解题的关键．据此即可判断． 【详解】解：A、没有正方向，故本选项错误，不符合题意； B、单位长度不一致，故本选项错误，不符合题意； C、没有原点，故本选项错误，不符合题意； D、所画数轴正确，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 8．（24-25七年级上·河南信阳·期中）已知有理数：，0，4，，2.5． (1)画出数轴，在数轴上表示出这几个数，并用“”连接起来； (2)这几个有理数中是正数的有____________________． 【答案】(1)图见解析， (2)4，2.5 【分析】本题考查在数轴上表示有理数、有理数的大小比较，数轴上正确表示有理数是解答的关键． （1）先在数轴上表示这些数，再根据数轴上，右边的数总比左边的数大得到大小关系即可； （2）根据正数大于零求解即可． 【详解】（1）解：在数轴上表示出这几个数，如图： 由图知：； （2）解：由图知，这几个有理数中是正数的有：4，2.5． 故答案为：4，2.5． 9．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）现有下列各数：①，②，③，④，⑤，⑥． (1)把上列各数序号填入相应的大括号里 ： 非负数集合：{ 　                       …}； 分数集合：{ 　                       　…}． (2)请把下面不完整的数轴补充完整，并在数轴上标出上列各数中的所有整数． 【答案】(1)③④⑥；②③⑤ (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，画数轴并在数轴上表示有理数； （1）根据有理数的分类方法解答即可； （2）补充数轴，然后标出所有的整数，即可求解． 【详解】（1）解：①，②，③，④，⑤，⑥ 非负数集合：{③④⑥…}； 分数集合：{②③⑤…} 故答案为：③④⑥；②③⑤． （2）解：如图所示， 题型四 利用数轴上的点表示有理数（共3小题） 10．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，在数轴上每隔一个单位长度取一个点，若点A表示的数是，则点B表示的数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点所表示的数，解题的关键是根据数轴上点的位置关系和单位长度来确定点所表示的数值． 确定点到点的单位长度个数，根据点表示的数以及单位长度个数计算点表示的数． 【详解】从数轴上观察可知，点到点间隔了4个单位长度，已知点表示的数是，因为是向右移动（数轴向右为正方向），所以点表示的数比点表示的数大．根据数轴上数的变化规律＂右加左减＂，可得点表示的数为． 故选：B． 11．（24-25七年级上·四川广安·期中）在数轴上将点A向右移动5个单位，再向左移动1个单位，终点恰好是原点，则点A表示的数是 ． 【答案】－4 【分析】本题主要考查了数轴上点的移动，抓住向右为数轴的正方向即可．采用逆向移回的方法即可求解． 【详解】解：可采用逆向移回的方法来找点A所表示的数： 把原点向右移动1个单位得到1， 再把1向左移动5个单位得到， 所以点A表示的数是． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题： (1)如果点表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少？ (2)如果点表示的数互为相反数．那么点表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)1， 【分析】本题考查了相反数，数轴，熟练掌握相反数的定义并确定出原点的位置是解题的关键． （1）根据互为相反数的定义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C表示的数即可； （2）根据互为相反数的定义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C、D表示的数即可． 【详解】（1）解：因为点表示的数互为相反数，所以表示数0的点在点中点位置，如图1，所以点表示的数是； （2）解：因为点表示的数互为相反数，所以表示数0的点在点中点位置，如图2， 所以点表示的数是1，点表示的数是． 题型五 数轴上两点之间的距离（共3小题） 13．（24-25七年级上·河南商丘·期中）数轴上，点表示，将点沿数轴平移1个单位长度后到点，则点所表示的数为（   ） A．3 B． C．1 D．或 【答案】D 【分析】向右平移1个单位长度后到点，此时表示的数为；当向左平移1个单位长度后到点，此时表示的数为，解答即可. 本题考查了数轴上的平移，有理数加减计算，熟练掌握运算法则是解题的关键. 【详解】解：向右平移1个单位长度后到点，此时表示的数为； 当向左平移1个单位长度后到点，此时表示的数为. 故选：D. 14．（24-25七年级上·陕西安康·期中）点A、B、C在同一条数轴上，点A表示，B和C位于原点的两侧并且到原点的距离相等，已知点B和点A相距8个单位长度，则点C表示的数是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离，解题的关键是注意分类讨论．先根据点B和点A的距离可确定点B表示的数，再根据B和C位于原点的两侧并且到原点的距离相等，即可确定点C表示的数． 【详解】解：因为点B和点A相距8个单位长度，点A表示， 所以点B表示5或． 因为B和C位于原点的两侧并且到原点的距离相等， 所以当点B表示5时，点C表示， 当点B表示时，点C表示． 故答案为：或． 15．（24-25七年级上·广西南宁·期中）用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C分别代表数字a，b，c，已知，如图所示，设点，该轴的原点为O． (1)若点A所表示的数是，则点B所表示的数是 ，点C所表示的数是 ； (2)若点A，B所表示的数互为相反数，则点C所表示的数是 ，此时p的值为 ； (3)若数轴上点C到原点的距离为4，求p的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离以及用数轴上的点表示有理数，掌握相关结论即可． （1）由数轴可知：点B所表示的数是；根据，可得点C所表示的数是； （2）由题意得点A所表示的数是，则点B所表示的数是，可求出点C所表示的数是；即可求解； （3）由题意得点C所表示的数是或，分类讨论即可求解； 【详解】（1）解：∵点A所表示的数是， 由数轴可知：点B所表示的数是； ∵， ∴点C所表示的数是； 故答案为：，； （2）解：∵点A，B所表示的数互为相反数， ∴点A所表示的数是，则点B所表示的数是，点C所表示的数是； ， 故答案为：，； （3）解：∵数轴上点C到原点的距离为4， ∴点C所表示的数是或； 当点C所表示的数是时，点B所表示的数是，点A所表示的数是， ∴； 当点C所表示的数是时，点B所表示的数是，点A所表示的数是， ∴； 综上所述，p的值为或． 题型六 数轴上整点覆盖问题（共3小题） 16．若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 【答案】C 【分析】分线段的端点在整点上和不在整点上两种情况讨论，据此得出规律即可解答本题． 【详解】解：依题意得：①当线段的端点在整点上时，覆盖11个数； ②当线段的端点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，取一个较小的整数，然后画出图形得出规律是解决此题的关键． 17．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）在数轴上，一个单位长度表示1cm，现在用8cm的木棒放在数轴上，可以覆盖整数点有 个 【答案】或/9或8 【分析】分类讨论：木棒的两端点是整数点，木棒的两端点不是整数点，根据木棒的长度，可得答案． 【详解】解：把一条长8cm的木棒放在数轴上，若其端点不与两个整数点重合，则它可以盖住的 整数点有8个； 若其端点恰好与两个整数点重合，则它可以盖住的整数点有9个， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了数轴的实际应用，理解数轴上的特点是解题的关键． 18．如图，若将四个数1.3，0.5，2.4，表示在数轴上，其中一个数被一只美丽的蝴蝶遮住了，则被这只蝴蝶遮住的点所表示的数有可能是（　　　） A．1.3 B．0.5 C．2.4 D． 【答案】A 【分析】根据数轴上点的位置得出它表示的数． 【详解】解：∵被遮住的数在1和2之间， ∴可能是1.3． 故选：A． 【点睛】本题考查数轴，解题的关键是掌握数轴的性质． 题型七 相反数（共3小题） 19．（24-25七年级上·山东济宁·期中）下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义及绝对值、多重符号的化简，解题的关键是先化简各选项中两个数的具体值，再根据“互为相反数的两个数只有符号不同且绝对值相等”进行判断． 先依据绝对值性质（正数的绝对值是它本身）和多重符号化简规则（负负得正、正负得负），分别化简每个选项中两个数的值；再对比每组数的符号与绝对值，判断是否满足相反数的定义，进而选出正确选项． 【详解】解：A、先化简两数：，，两数相等，不是相反数，此选项不符合题意； B、先化简两数：，，两数只有符号不同且绝对值相等，是相反数，此选项符合题意； C、先化简两数：，，两数绝对值不相等，不是相反数，此选项不符合题意； D、先化简两数：，，两数绝对值不相等，不是相反数，此选项不符合题意； 故选：B． 20．（24-25七年级下·四川乐山·期中）当 时，代数式与的值互为相反数． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的性质及一元一次方程的解法，解题的关键是根据 “互为相反数的两个数之和为 0” 这一性质，建立关于 x 的一元一次方程，再通过解方程求出 x 的值． 已知代数式与互为相反数，根据相反数性质可得两者之和为0，据此列方程；再通过合并同类项、移项、系数化为1，求解方程得到 x 的值． 【详解】解：∵代数式与互为相反数， ∴， 合并同类项得：， 移项得：， 系数化为1得：． 故答案为：． 21．（24-25七年级上·山西临汾·期中）已知一列数：，，，，． (1)将这一列数在数轴上分别表示出来； (2)用“＜”把这列数连起来； (3)在数轴上找出互为相反数的一对数是：______． 【答案】(1)见详解 (2) (3)和 【分析】本题考查了化简多重符号，在数轴上表示有理数，利用数轴表示有理数的大小，相反数的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，，，再把每个数在数轴上分别表示出来，即可作答． （2）结合越在数轴的右边的数越大进行分析，即可作答． （3）整理得，，再运用相反数的定义进行作答即可． 【详解】（1）解：，，， 将，，，，在数轴上分别表示出来，如图所示： （2）解：依题意，． （3）解：， 观察数轴，与分别在原点两侧，且距离原点距离相等， 即互为相反数的一对数是与． 题型八 绝对值的非负性（共3小题） 22．（24-25七年级上·天津宁河·期中）若，则的值是（    ） A．0 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 23．（24-25七年级上·北京·期末）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质，绝对值有非负性，偶次方的非负性，有理数的乘方，正确得出，的值是解题关键． 直接利用非负数的性质以及偶次方的性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， 则的值是：． 故答案为：． 24．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）已知，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是非负数的性质和代数式求值，根据绝对值、偶次方的非负性求出、，再根据有理数的乘方法则计算． 【详解】解：，，， ，， ，， ，， ． 题型九 绝对值的化简问题（共3小题） 25．（24-25九年级上·河南南阳·期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴和绝对值，解答此题的关键是明确绝对值里的数值是正是负，然后根据绝对值的性质进行化简． 根据数轴上点的位置判断出绝对值里式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：由数轴得：，即 则原式， 故选：D． 26．（24-25七年级上·四川南充·期末）有理数，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】此题考查利用数轴比较数的大小，化简绝对值，整式的加减计算， 先根据数轴得到，，由此得到，化简各绝对值，合并同类项即可 【详解】由数轴可知，，， ∴， ∴原式， 故答案为： 27．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“”“”“”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求a，c的值． 【答案】(1)；； (2)；； (3) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，绝对值，正确读懂数轴是解题的关键． （1）在原点左边的数小于0，原点右边的数大于0，据此可得答案； （2）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案； （3）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案． 【详解】（1）解：由数轴可知； （2）解：∵， ∴，；； （3）解：∵，，， ∴． 题型十 绝对值的几何意义（基础）（共3小题） 28．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）数形结合 同学们都知道：表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)请计算：_____； (2)试一试：可理解为数轴上哪两点之间的距离？ (3)试探索：使得成立的x的整数值是哪几个？ 【答案】(1)4 (2)可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离 (3)，，0，1，2，3 【分析】本题考查的是绝对值的含义，数轴上两点之间的距离，绝对值方程的解法，掌握绝对值的含义是解题的关键． （1）首先计算有理数的减法，然后化简绝对值即可求解； （2）根据数轴上两点之间的距离求解即可； （3）根据题意得到可理解为x与两数在数轴上所对应的两点之间的距离加上x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离等于5，进而得到当在和3之间时，，进而求解即可． 【详解】（1）解：可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离， ∴； （2）解：可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离； （3）解：可理解为x与两数在数轴上所对应的两点之间的距离加上x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离等于5， ∴当在和3之间时， ∴x的值可以为，，0，1，2，3． 29．（24-25七年级上·吉林·期中）我们知道，在数轴上表示数a到原点的距离，这也是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上两个点A、B分别用a、b表示，那么A、B两点之间的距离．根据数轴和绝对值的知识解答下列问题： (1)数轴上4和1之间的距离是______，和3之间的距离是______； (2)在数轴上如果表示x的数和之间的距离是2，求x表示的数． 【答案】(1)3；5 (2)或 【分析】本题考查了数轴、绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）直接根据数轴上两点之间的距离代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离； （2）先根据以上的方法求出再解方程即可． 【详解】（1）解：4和1之间的距离是，和3之间的距离是， 故答案为：3，5； （2）解:由题意得：，即， 或， 或， 故答案为：或． 30．我们知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示15和的两点之间的距离是 ． (2)点、在数轴上分别表示和1，则两点之间的距离是 ，如果，那么是 ． (3)式子的最小值是 ． (4)式子的最小值是 ，此时的值是 ． 【答案】(1)3，45 (2)；3或 (3)4 (4)6，1.5 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，解题的关键是理解绝对值的几何意义，掌握数轴上两点之间的距离公式． （1）根据数轴上两点之间的距离公式列式计算得出答案； （2）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，结合数轴得出利用数形结合思想解决问题． （4）根据绝对值的几何意义，结合数轴得出利用数形结合思想解决问题． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是， 数轴上表示15和两点之间的距离是． 故答案为：3，45； （2）解：数轴上表示和1的两点、之间的距离为， 如果， 那么， 因为数轴上与1距离为2的点表示的数有两个：3或， 所以或， 故答案为：；3或； （3）解：根据题意可得，的意义为数轴上表示数的点到表示数，2，3的点的距离之和， 因此当时，这个距离之和最小，最小值为4； 故答案为：4； （4）解：的几何意义为数轴上表示的点到数轴上表示，1.5，1.5，5点的距离和， 当时，这个距离之和最小，最小值为6． 故答案为：6，1.5． 题型十一 有理数的大小比较（共4小题） 31．（24-25七年级上·青海西宁·期中）下列比较大小的式子中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较和绝对值，考查学生对两负数比较大小的掌握，两负数比较大小，其绝对值大的反而小．有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：A∵，，∴，故本选项错误； B.∵，，且， ∴，故本选项正确； C.∵，，且， ∴，故本选项错误； D.∵，， ∴，故本选项错误． 故选：B． 32．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）比较大小： （填“”“”或“＝”）． 【答案】 【分析】本题考查了化简多重符号，先化简，，再结合负数小于0，0小于正数，进行分析，即可作答． 【详解】解：，， ∴， 即， 故答案为： 33．（24-25七年级上·四川广元·期中）已知五个数分别为：． 在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来． 【答案】在数轴上表示见解析， 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，相反数，数轴，有理数的乘法等知识点，能正确在数轴上表示出各个数是解此题的关键．先在数轴上表示出各个数，再比较即可； 【详解】解： 将各点在数轴上表示如图： ． 题型十二 有理数的混合运算（共2小题） 34．（24-25七年级上·广东湛江·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解答此题的关键．先算括号里面的，再算乘除法，最后算加减即可． 【详解】解：原式 ． 35．（24-25七年级上·浙江台州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）首先进行有理数乘法运算，然后进行加法运算； （2）首先根据有理数乘方运算法则、有理数除法法则和乘法分配律进行运算，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 36．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键， （1）先利用负数指数幂的运算法则化简，再进行计算即可得到答案； （2）先利用乘法分配律，再利用整式加减法运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型十三 有理数的简便运算（共3小题） 37．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的除法以及有理数的乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把除法转化乘法，再运用乘法运算律进行简便运算，即可作答． （2）运用乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 38．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)2； (2)． 【分析】（1）先将除法化为乘法运算，再运用乘法分配律求解即可； （2）先将99化为，再运用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解：原式= ； （2）原式= = =． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，属于基础题，熟练掌握有理数混合运算的运算法则是解题的关键，其中每一项的符号是易错点． 39．（24-25七年级上·吉林长春·期中）简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，运用有理数的加减运算法则，乘法分配律，除法法则，简便计算的方法进行计算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）把小数化为分数，分母相同的结合起来，运用分数加减运算法则计算即可； （2）运用乘法分配律，把分别乘以括号中的每一项，注意符号不能出错，不能少乘，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （3）将变形，再根据除以一个非零数，等于乘以这个数的倒数，注意符号不能出错，最后运用有理数的加减运算法则计算即可； （4）运用简便计算方法，提取公因数后，先算括号里的，再算乘法，由此即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十四 有理数混合运算的实际应用（共3小题） 40．（25-26七年级上·全国·期中）一检修小组开车沿一条东西方向的公路作业，早晨从A地出发，晚上到达B地约定向东为正，向西为负，当天的行驶路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)请你确定B地位于A地的什么方向，距离A地有多远？ (2)在检修过程中，检修车离出发地A最远时，位于A地的左边还是右边？距离A地有多少千米？ (3)若检修车每千米耗油，检修车油箱容量为，问检修车在检修过程中至少还需补充多少升燃油？ 【答案】(1)B地在A地东边距离A地10千米处 (2)右边，97千米 (3) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）将行驶路程记录的数据相加，根据结果进行判断即可； （2）求出每次与出发地的距离，然后进行判断即可； （3）先求出需要的燃油，然后求出需要补充的燃油即可． 【详解】（1）解：∵（千米）， ∴B地在A地东边距离A地10千米处． （2）解：； ； ； ； ； ； ； ； ∴检修车离出发地A最远时在A地的右边，距离A地97千米． （3）解： ， ， 答：检修车在检修过程中至少还需补充燃油． 41．（25-26七年级上·全国·期中）某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的公路检修线路，约定向东走为正，向西走为负，某天从A地出发到收工时，行走记录如下（单位：km）： ． (1)收工时，检修小组在A地的哪一边，距A地多远？ (2)若汽车每千米耗油，已知汽车出发时油箱里有汽油，问收工前是否需要中途加油？若加，应加多少升？若不加，还剩多少升汽油？ 【答案】(1)收工时在A地东边，距A地 (2)需要中途加油，应加 【分析】本题考查的是有理数混合运算的应用， （1）根据有理数的加法计算，可得答案； （2）根据单位耗油量乘以行驶路程，可得需油量，根据所需油量减去已有有油量，可得答案． 【详解】（1）解：将行走记录相加： ， 答：收工时在A地东边，距A地． （2）总路程为各数绝对值之和： ， 总耗油量：． 因，需加油：， 答：需要中途加油，应加． 42．（24-25七年级上·四川巴中·期末）小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走___________． (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，请计算小明家这7天的行驶费用是多少钱？ 【答案】(1) (2)小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． (3)小明家这7天的行驶费用是元． 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用． （1）由表格可知，行驶路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，相减即可得出答案； （2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，即可求解； （3）根据（2）的结论，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：由表格得：， 即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走， 故答案为：49； （2）解： ， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． （3）解：用电的费用：（元）， 答：小明家这7天的行驶费用是元． 题型十五 有理数的乘方运算（共3小题） 43．（24-25七年级上·河南信阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1； (2)． 【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算，含乘方的有理数的混合运算． （1）将除法变为乘法，再约分计算即可求解． （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 44．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 按照有理数混合运算的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 45．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的运算，解答本题的关键是熟练掌握有理数混合运算的法则； 首先计算有理数的乘方，然后计算中括号里面的运算，中括号里面有乘除法和减法运算，先算乘除法运算，再算减法运算, 最后计算加法运算即可． 【详解】解：原式 ． 题型十六 程序流程图（共3小题） 46．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（   ） A．1 B． C． D．13 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的混合运算．把代入程序中计算，判断结果与的大小，即可． 【详解】解：若输入1，则 ， 即输出的结果是． 故选：B 47．（24-25七年级上·广东深圳·期中）按照下图所示的操作步骤，若输如x的值为2，则y为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数混合计算，根据题意可得算式，据此计算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 48．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）小可同学设计了几张如图写有不同运算的卡片A，B，C，D，小可选择一个有理数，让她的同桌小佳选择A，B，C，D的顺序，进行一次列式计算． (1)当小可选择了4，小佳选择了的顺序，列出算式并计算结果； (2)当小可选择了，小佳选择了（______）（______）的顺序，若列式计算的结果刚好为，请通过计算判断小佳选择的顺序． 【答案】(1)算式：，结果是； (2)小佳选择了，计算见解析． 【分析】本题考查程序流程图与有理数的混合运算： （1）按照选择的顺序列式计算即可； （2）按照，两种顺序分别计算，看哪个结果刚好是即可． 【详解】（1）解：由题意，算式为：， ； （2）解：若选择， 可得： ； 若选择， 可得： ； 列式计算的结果刚好为， 小佳选择了． 题型十七 算24点（共3小题） 49．（24-25六年级上·山东济南·期中）选用运算符号“加、减、乘、除、乘方”将，3，，7连成一个代数式，使其结果是24． ．（每个数必须用一次且只能使用一次，可以使用括号，运算符号可以重复使用） 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据有理数的混合运算法则尝试计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 50．（24-25七年级上·山东青岛·期中）小亮和同伴玩“24点”游戏，游戏规则是从一组卡片中任意抽取4张，根据卡片上的数进行混合运算（每张卡片必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或．小亮抽到的4张卡片上的数分别是2，，12，13，请帮助小亮列出一个结果为24或的算式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则凑成“24点”即可，熟练掌握有理数的混合运算的法则及顺序是解此题的关键． 【详解】解：根据题意得： ，， 故答案为：（答案不唯一）． 51．（24-25七年级上·重庆南岸·期中）学习了有理数后，为练习加、减、乘、除以及乘方混合运算，“智慧学习小组”自制了一副卡片，每天课余，小组成员会做五分钟的混合运算游戏．每次随机抽取4张卡片，根据卡片上的数字进行混合运算（每张卡片必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或者． 例如果随机抽取的四张卡片上的数为，可以列式为：． 说明：与，是交换了因数的位置，看作是相同的算式；与是交换了加数的位置，看作是相同的算式． (1)若随机抽取的卡片上的数为，请列出计算结果为24或的两个不同算式； (2)若随机抽取的卡片上的数为，请列出计算结果为24或的三个不同算式． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】（1）根据题目要求，通过四个数的组合运算，列出结果为24或的算式即可； （2）根据题目要求，通过四个数的组合运算，列出结果为24或的算式即可． 【详解】（1）解：； ． （2）解：； ； ． 【点睛】本题考查了有理数混合运算，解题关键是熟练掌握有理数运算法则，正确列出不同算式． 题型十八 科学记数法（共3小题） 52．中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”！中国外交部数据显示，截止到2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“50亿”用科学记数法表示为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，将数据“50亿”用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为正整数，据此进行作答即可． 【详解】解：50亿， 故选：B． 53．（24-25七年级上·全国·期中）钓鱼岛，亦称钓鱼台、钓鱼屿、钓鱼山，是中国东海钓鱼岛及其附属岛屿的主岛，是中国自古以来的固有领土．钓鱼岛的面积约是3.91平方千米．数据3.91平方千米用科学记数法表示为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的概念，掌握概念是解题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数． 根据1平方千米等于平方米，可得3.91平方千米等于平方米． 【详解】3.91平方千米平方米． 故答案为：． 54．根据《吉林省年国民经济和社会发展统计公报》，截至年末，吉林省总人口约为人，若将这个数字用科学记数法表示，可写成，其中的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题关键是掌握科学记数法的一般形式． 利用科学记数法一般形式求解．科学记数法的一般形式为，其中，为正整数． 【详解】解：， 又将这个数字用科学记数法表示，可写成， ， 故答案为：7． 题型十九 近似数（共3小题） 55．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）下列说法正确的是（    ） A．近似数与的精确度一样 B．近似数与2000的意义完全一样 C．精确到万分位 D．万与的精确度不同 【答案】C 【分析】此题考查了近似数，解答此题应掌握数的精确度的知识，最后一位所在的位置就是精确度． 根据最后一位所在的位置就是精确度，即可得出答案． 【详解】解：A、精确到百分位，精确到十分位，精确度不一样，故本选项不符合题意； B、近似数精确到百位，2000精确到个位，意义不一样，故本选项不符合题意； C、精确到万分位，故本选项符合题意； D、万与的精确度相同，都是精确到百位，故本选项不符合题意； 故选：C． 56．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）第七次全国人口普查数据显示，全国拥有大学（指大专及以上）文化程度的人口为218360767人，把横线上的数改写成用“万”作单位的数是( )万，省略“亿”后面的尾数约是( )亿． 【答案】 2 【分析】本题考查了整数的改写和求近似数，注意改写和求近似数要带计数单位．改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，即可解答． 【详解】解：218360767改写成用“万”作单位的数，写作：万；省略“亿”位后面的尾数约是2亿， 故答案为：；2． 57．（24-25七年级下·四川乐山·期中）按括号里的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)1.596（精确到0.01） (2)0.03057（精确到千分位） (3)2345000（精确到万位） (4)60290（保留两个有效数字） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示：一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （1）根据近似数的定义求解即可； （2）根据近似数的定义求解即可； （3）根据近似数的定义求解即可； （4）根据有效数字的定义求解即可． 【详解】（1）解：1.596精确到0.01为； （2）解：0.03057精确到千分位为； （3）解：2345000精确到万位为； （4）解：60290保留两个有效数字为． 题型二十 数轴上点的运动问题（压轴）（共3小题） 58．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，在数轴上有A，B两点，分别表示的数为a，b，且．点P从A点出发以每秒19个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒3个单位长度向左匀速运动，当点Q到达A点时，点P，Q停止运动． (1)________（填空），并求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数； (2)点C在数轴上对应的数为81，在数轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M对应的数，若不存在，说明理由； (3)求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；在整个过程中，点P和点Q一共相遇了多少次？ 【答案】(1)132；6；61 (2)存在点M，使，点M对应的数为或 (3)当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数为，点P和点Q一共相遇了次 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间距离； （1）根据可得，故可得的长度，再利用时间等于路程除以速度和，即可解答；再根据求得时间，即可得到相遇点表示的数； （2）设点表示的数为，考虑两种情况，即点在点左边，点在点和点中间，再根据，列方程即可解答； （3）求出点运动的时间，即可算出点运动的路程，再求出点的位置即可，再根据点来回次数，求得和点相遇次数． 熟练利用代数式表示动点表示的位置是解题的关键． 【详解】（1）解：根据，可得，， ， （秒）， 相遇的点为； （2）解：设点表示的数为， ①当点在点左边时， ，，， 根据，可列方程， 解得； ②点在点和点中间时， ，，， 根据，可列方程， 解得； 综上所述，存在点M，使，点M对应的数为或； （3）解：点运动的时间为（秒）， ， 所以可得点总共往返6趟，且最后停止在处， 综上所述，点P和点Q一共相遇了7次． 59．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是：，，．    (1)填空：______，______； (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动．试探索：的值是否随着时间t的变化而改变?请说明理由； (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动．设点移动的时间为秒，试用含的代数式表示、两点间的距离． 【答案】(1)，； (2)不变，理由见解析； (3)当时，，当时，；当时，． 【分析】（）根据数轴上任意两点间的距离公式等于这两点所表示的数的差的绝对值而得出结论； （）先分别求出秒后、、三点所对应的数，就可以表示出，的值，从而求出的值而得出结论； （）先求出经过秒后，、两点所对应的数，分类讨论当时，点还在点处，当时，点在点的右边，当时，点在点的右边，从而得出结论； 本题考查了列代数式，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 【详解】（1），， 故答案为：，； （2）不变，理由： ∵经过秒后，、、三点所对应的数分别是，，， ∴，， ∴， ∴的值不会随着时间的变化而改变； （3）经过秒后，、两点所对应的数分别是，， 由解得， 当时，点还在点处， ∴， 当时，点在点的右边， ∴， 当时，点在点的右边， ∴． 60．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）已知，数轴上有三个点，，，它们的起始位置表示的数分别是，，6，如图所示．    (1)若将点从起始位置开始沿数轴向右移动，使得，两点之间的距离与，两点之间的距离相等，则须将点向右移动______单位； (2)若点从起始位置开始，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时，点也从起始位置开始，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，设运动的时间为（秒）． ①求（用含的代数式表示）； ②若点也与点，同时从起始位置开始运动，且点以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，试问：是否存在一个常数，使得的值不随运动时间（秒）的变化而改变？若存在，请求出常数，并求此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3.5 (2)①当时，，当时，；②，原式 【分析】本题考查数轴上的动点问题，数轴上两点间距离公式，一元一次方程的应用等，用含t的代数式表示各动点所在位置表示的数是解题的关键． （1）设点向右移动了x个单位，根据两点间距离公式表示出和，列等式解方程即可； （2）①分点B在点C左侧与右侧两种情况，用含t的代数式表示出和，作差即可；②用含t的代数式表示出和，进而表示出，令t的系数为0可求出常数的值． 【详解】（1）解：当，两点之间的距离与，两点之间的距离相等时，在和之间， 设点向右移动了x个单位，则移动后所在位置表示的数为， 则， 解得， 故答案为：； （2）解：①运动的时间为（秒）时，点表示的数为，点表示的数为， 当点B与点C重合时，， 解得， 当时，点B在点C左侧，，， ； 当时，点B在点C右侧，，， ； ②运动的时间为（秒）时，点表示的数为， ，， ， 令，得， 当时，的值不随运动时间（秒）的变化而改变， ． 题型二十一 绝对值的几何意义（压轴）（共3小题） 61．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 【答案】(1)，或； (2)，； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值．解决本题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式列出关于的方程，解方程求出； （2）首先根据绝对值的性质分别求出、的值，再根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出点、点之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离； （3）根据数轴上两点之间的距离，可知当时，，找到之间的所有整数并求和即可； （4）分情况求出的取值范围，根据取值范围确定的最小值； （5）由（4）可知，当时，有最小值，根据规律去掉绝对值符号求合即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是； 表示数和的两点之间的距离是， ， 整理得：， 解得：或； 故答案为：；或； （2）解：， ， 解得：或， ， ， 解得：或， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 、两点间的最大距离是，最小距离是； （3）解：如下图所示， ， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示到点和的距离之和等于的点， 从数轴上可知，表示数的点在数轴上表示数和之间， 这些点表示的数有、、、、、、、， 这些点表示的数的和是， 故答案为：； （4）解：当时， ， ， ， ； 当时， ， 当时， ， ， ， ， 距离和的最小值是：； （5）解：由可知当时，有最小值， ， 故答案为：． 62．（24-25七年级上·福建南平·期中）【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）点，表示的数分别为，2，则_______； （2）若，则_________； 【应用】 （3）如图，数轴上表示数的点，问是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． （4）由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）9；（2）1或；（3）有，5；（4）有，最小值为7， 【分析】本题考查了数轴、有理数、绝对值，熟练掌握绝对值几何意义是关键． （1）根据绝对值几何意义计算即可； （2）根据绝对值几何意义计算即可； （3）根据的几何意义解答即可； （4）利用绝对值几何意义，分析出当时有最小值解答即可． 【详解】解：（1）点，表示的数分别为，2，则， 故答案为：9； （2）数轴上与表示的点相距3个单位的点表示的数为1或， 若，则或， 故答案为：1或； （3）有最小值，理由如下： 表示数轴上有理数所对的点到和2所对的两点距离之和， 当时，有最小值， 此时最小值为； （4）有最小值，理由如下： 若表示一个有理数，则有最小值，表示到，和1距离的和， 若想和的值最小，则当表示时，到三点的距离和最小， 当时，的最小值为7． 63．（24-25七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________； (3)若，求的最大值和的最大值． 【答案】(1)，或； (2)，，； (3)的最大值为，的最大值为． 【分析】（）根据有理数的减法法则，把减法化成加法进行计算，然后求出绝对值，最后根据绝对值的性质，列出关于的方程，解方程即可； （）利用绝对值的几何意义和两点间的距离公式，第一、第二问各分三种情况讨论，求出最小值即可； （）先分，，，四种情况讨论，求出的最小值，再分，，，，五种情况讨论，求出的最小值, 从而求出，的取值范围，然后求出答案即可； 本题主要考查了数轴，绝对值的意义，化简绝对值，解题关键是熟练掌握知识点的应用，分类讨论思想． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 解得:或， 故答案为：，或； （2）解：可以看作表示的点到和的距离之和， ∴当点在与之间的线段上，即时，， ∴有最小值，最小值为：， 可以看作表示的点到的距离与到的距离以及到的距离之和， 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，的最小值为， 故答案为：，，； （3）解：当时， ； 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， ∴当时，有最小值，为； 当时， ∴， 当时， ∴， 当时， ； 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， ∴当时，有最小值为， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴的最大值为，的最大值为． 题型二十二 带绝对值的式子化简问题（压轴）（共3小题） 64．（24-25七年级上·四川达州·期中）若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 【详解】解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 65．（24-25七年级上·天津和平·期中）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义，先求出a的值，然后进行化简，得到，则，，再进行化简计算，即可得到答案． 【详解】解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a， ∴当时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴ = = = = =0； 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，解题的关键是掌握绝对值的意义，正确的求出，，． 66．如果，且，那么 ． 【答案】或 【分析】由题意可求出，故可分类讨论：①当时，则，从而可化简绝对值求解；②当时，则，同理求解即可． 【详解】解：，且， ． 对的值分类讨论如下： ①当时， ， ， ； ②当时， ， ， ． 故答案为：或． 【点睛】本题考查化简绝对值．利用分类讨论的思想是解题关键． 题型二十三 数轴上的翻折问题（压轴）（共3小题） 67．（24-25七年级上·天津津南·期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请思考下列问题： (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为 ． A．  C． B．  D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 ，B点表示 ． ③若数轴上折叠后重合的两点分别表示数a，b，则折叠中间点表示的数为 （用含有a，b的式子表示） 【答案】(1)①D；② (2)①2019；②，1010；③． 【分析】（1）①根据有理数的加法法则即可判断；②探究规律，利用规律即可解决问题； （2）①根据对称中心是1，即可解决问题；②由对称中心是1，，则点表示，点表示1010；③利用中点坐标公式即可解决问题； 【详解】（1）①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为， 故选：D． ②一机器人从数轴原点处开始，第1次向左跳一个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳， 当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是， 故答案为：． （2）①对称中心是1， 表示的点与表示2019的点重合， 故答案为：2019； ②对称中心是1，， 则点表示，点表示1010， 故答案为：，1010； ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为，，折叠中间点表示的数为； 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴、有理数的加减混合运算、中心对称等知识，利用数形结合的思想来找到规律，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 68．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ； （2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ； （3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ； （6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 【答案】（1）；（2）或或；（3）2或10；（4）2；（5）-6；（6）或 【分析】（1）根据移动的方向和距离，求解即可； （2）分情况讨论，分别向左，向右移动2次2个单位长度和向右移动一次向左移动一次，然后求解即可； （3）设点P向左移动个单位，求得P，A两点的距离和A，B两点距离，再求解即可； （4）求得对称中心，然后求解即可； （5）求得对称中心，由题意可得A点在表示−1的点的左侧5个单位，求解即可； （6）根据题意，求得的距离，然后分在左侧和右侧两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）笔尖的位置表示的数为 故答案为； （2）机器人向右移动两次，则B点表示的数为 机器人向左移动两次，则B点表示的数为 机器人向右移动一次，再向左移动一次，则B点表示的数为 故答案为或或 （3）设点P向左移动个单位，则点P表示的数为， ， 由题意可得：，解得或 即向左平移2或10个单位长度 故答案为2或10 （4）由题意可得：对称中心为， 则表示−4的点与表示2的点重合 故答案为2 （5）由题意可得，A点在表示−1的点的左侧5个单位长度， 则A点表示的数为 故答案为-6 （6）由题意可得：，则， 即之间的距离为8 当在左侧时，，点N表示的数为-4 当在右侧时，，点N表示的数为12 故答案为或 【点睛】此题考查了数轴的应用，涉及了数轴上的距离和动点问题，解题的关键是熟练掌握数轴的基本性质． 69．（24-25七年级上·北京·期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 　 A.（＋3）＋（＋2）＝＋5；B．（＋3）＋（﹣2）＝＋1；C．（﹣3）﹣（＋2）＝﹣5；D．（﹣3）＋（＋2）＝﹣1 ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是 　 ． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2017的点与表示 　 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 　 B点表示 　 ． ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为 　 ．（用含有a，b的式子表示） 【答案】(1)①D； ②﹣1009 (2)①﹣2015； ②﹣1008，1010；③ 【分析】（1）①根据有理数的加法法则即可判断；②探究规律，利用规律即可解决问题； （2）①根据对称中心是1，即可解决问题；②由对称中心是1，AB＝2018，可知A点是1左边距1为1009个单位的点表示的数，B点是1右边距1为1009个单位的点表示的数，即可求出点A、B所表示的数；③利用中点坐标公式即可解决问题． 【详解】（1）解：①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为（﹣3）+（+2）， 故选D． ②一机器人从数轴原点处O开始，第1次向负方向跳一个单位，紧接着第2次向正方向跳2个单位，第3次向负方向跳3个单位，第4次向正方向跳4个单位，…， 依次规律跳， 当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是（﹣1）+（+2）+（﹣3）+（+4）+…+（+2016）+（﹣2017）＝1×1008+（﹣2017）＝﹣1009， 故答案为：﹣1009． （2）①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合， ＝1， ∴对称中心为1， ∴2017﹣1＝2016， ∴1﹣2016＝﹣2015， ∴表示2017的点与表示﹣2015的点重合， 故答案为：﹣2015； ②∵对称中心为1，AB＝2018， ∴点A所表示的数为：1﹣＝﹣1008，点B所表示的数为：1+＝1010， 故答案为：﹣1008，1010； ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、折叠等知识，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的关键． 题型二十四 数轴与绝对值的综合题型（压轴）（共3小题） 70．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离_______，线段的中点C表示的数为_______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为_______； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①10，3；②，； (2)1或3； (3)不变，5． 【分析】（1）①根据题目所给的两点距离公式以及两点中点公式进行求解即可；②根据数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动进行求解即可得到结果； （2）由（1）②得t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，则，再由，可得，由此求解即可； （3）根据两点中点公式，分别求出点M表示的数，点N表示的数，即可得出线段的长度． 【详解】（1）解：①由题意得：，线段AB的中点C为， 故答案为：10，3； ②数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动． t秒后，点P表示的数为：，点Q表示的数为：； 故答案为：，； （2）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵， ∴， 解得：或3， ∴当或3时，； （3）解：不发生变化，理由如下： ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴． 【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的中点表示方法，解题的关键在于理解题意，能够熟练掌握数轴上两点的距离计算公式． 71．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)；或 (2)，，，，， 【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况， 第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，则， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，则， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，则， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，左侧，如图， 当时，则， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，则， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，则， 因此秒， 综上所述，的值为：，，，，，． 72．（24-25七年级上·福建泉州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应的数为x，点对应的数为y，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． (1)在一条数轴上，O为原点，点对应的数为5，点对应的数为，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 (2)在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 (3)若数轴上点对应的数为x，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，是否存在使为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)17 (3)当时，，理由见解析 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）根据中点公式进行求解即可； （2）首先依题意求出点P和点Q所表示的数，然后根据的中点公式得，由此解出t即可； （3）根据题意得出点表示的数为，点表示的数为，然后表示出，再根据绝对值的意义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点对应的数为5，点对应的数为， ∴的中点所对应的数为， 故答案为：． （2）解：由题意得，点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， 解得， ∴为17时，的中点所对应的数为10． （3）解：存在，当时，，理由如下： 根据题意，五等分点公式为：，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴， ∴表示数到数10和之间的距离之和， ∴当时，． 题型二十五 有理数的混合运算（压轴）（共3小题） 73．（24-25七年级上·山东聊城·期中） 计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，有理数的乘法运算律，解题的关键是掌握各运算法则． （1）先将除法运算转化成乘法运算，再利用乘法运算律进行求解即可； （2）先进行通分，再运用除法运算法则进行计算即可； （3）先进行括号里面的运算，最后进行乘法运算； （4）先利用乘法运算律进行计算，再进行除法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 74．（24-25七年级上·福建福州·期中）阅读下列材料，完成作答． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 (1)以上三种不同的解法，你认为解法________是错的．（填序号）； (2)在正确的解法中，你觉得解法________比较简便．（填序号）； (3)请你简便计算： 【答案】(1)① (2)③ (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算． （1）分析三种方法的解答过程可得答案； （2）根据解答过程可得答案； （3）类比解法③的方法求解即可． 【详解】（1）解：以上三种不同的解法中，没有除法分配律，故解法①是错误的；解法②和③解答过程正确； 故答案为：①； （2）解：解法②和③解答过程正确，解法③比较简便， 故答案为：③； （3）解：原式的倒数为： ， 故原式． 75．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先化除为乘，然后根据乘法交换律，进行计算，即可； （2）先根据有理数的乘法运算律进行计算，然后再进行减法运算即可 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型二十七 有理数的实际应用（压轴）（共3小题） 76．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售．刚大学毕业的张明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣．但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +14 +21 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天是星期 ，销售量最少的一天是星期 ； (2)本周实际销售总量是否达到了计划数量？试说明理由； (3)若冬枣每斤按9元出售，张明需要支付费用包括运费和采摘费，平均每斤冬枣运费和采摘费分别是3元和0.5元，那么张明本周销售冬枣实际共得多少元？ 【答案】(1)六，五； (2)本周实际销售总量达到了计划数量，理由见解析； (3)张明本周销售冬枣实际共得3943.5元 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算的应用，此题的关键是读懂题意，列式计算． （1）根据正负数的意义可得答案； （2）先将各数相加求得正负即可求解； （3）将每斤冬枣的利润乘以总数量解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知：销售量最多的一天是星期六，销售量最少的一天是星期五； （2）本周实际销售总量达到了计划数量，理由如下： ， 故本周实际销量达到了计划数量； （3） （元）， 所以张明本周销售冬枣实际共得3943.5元． 77．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某超市购进10箱樱桃，若以每箱净重5千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下（单位：千克）：、、、、、、、0、、 (1)求这10箱樱桃的总净重量是多少千克． (2)若每箱樱桃的进价为450元，超市原计划把这些樱桃全部以零售的形式出售，为保证超市仍然能获利，那么樱桃的售价应定为每千克多少元． (3)若第一天超市以（2）中的售价售出了的樱桃后，经超市进行商讨研究后，将剩余的樱桃每2千克一盒经过包装后再投入到超市销售，每盒售价为360元，包装成本费为每盒10元，人工费不计，最终全部售出，请计算该超市实际销售樱桃的总利润比原计划销售樱桃的总利润多多少元． 【答案】(1)这10箱樱桃的总净重量是48千克． (2)樱桃的售价应定为每千克150元． (3)该超市实际销售樱桃的总利润比原计划销售樱桃的总利润多900元． 【分析】本题考查正负数的实际应用以及有理数四则混合运算的实际应用，读懂题意，理解利润、单价、成本之间的关系是解题的关键． （1）求出称重记录的数据之和，再与标准重量相加，即为总净重量； （2）按照获利的标准求出销售额，除以数量，即为单价； （3）求出超市实际销售樱桃的总销售额和原计划销售樱桃的总销售额，再进行计算即可． 【详解】（1）解：（千克） （千克）， 答：这10箱樱桃的总净重量是48千克． （2）解：根据题意，销售额应为：（元）， 每千克售价：（元）． 答：樱桃的售价应定为每千克150元． （3）解：包装前销售额：（元）， 包装后销售额：（元）， 买入成本：（元） 包装成本：（元）， 实际总利润与原计划总利润之差：（元）． 答：该超市实际销售樱桃的总利润比原计划销售樱桃的总利润多900元． 78．（24-25七年级下·北京·期中）如图，小明家在点，学校在点，中间有道路相连，线段上的点，代表十字路口（十字路口处道路的长度忽略不计）．已知：，，；，两个路口都有红绿灯，对于方向的车辆和行人，每天早上、、、的时间段内，两个路口都是绿灯，其它时间段都是红灯；小明每天早上准时从家出发，不晚于到达学校；为确保安全，他的骑行速度不超过，并且只在绿灯时通过路口（如果到达路口时恰好遇到红灯变绿灯或绿灯变红灯，也可以立即通过路口）． (1)若小明的骑行速度保持为，他将在_____（填时刻）到达学校； (2)若小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变，那么他的骑行速度最大可以是_____，最小可以是_____． 【答案】(1) (2)225，150 【分析】本题主要考查有理数运算的应用，正确理解题意是解答本题的关键． （1）分别求出在段用时，段用时以及段用时，再加上等红灯的时间即可得出从出发到学校的总用时； （2）分别求出骑行完所用最长时间和最短时间，根据速度=路程÷时间即可得解． 【详解】（1）解：（分）， （分）， （分） （分）， 所以，从到所用总时间为（分）， （分）， 即小明的骑行速度保持为，他将在到达学校， 故答案为：； （2）解：因为小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变， 所以，他最少用时为（分）； 最多用时为（分）； 所以，他的骑行速度最大为； 骑行速度最小为； 故答案为：150；225． 题型二十八 有理数的新定义问题（压轴）（共3小题） 79．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）对于正整数a、b，定义一种新运算，． (1)计算的值为______； (2)求的所有可能的值； (3)下列说法中正确的是______． ①                ② ③                ④ 【答案】(1)0 (2)当a、b两数都是偶数时，原式；当a、b两数都是奇数时，原式；当a、b两数中一个是奇数，一个是偶数时，原式 (3)①③④ 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则、运算顺序以及对新定义的理解是解答此题的关键． （1）直接根据新定义的运算，进行计算即可； （2）分三种情况进行讨论：①均为偶数；②中一个奇数一个偶数；③均为奇数；即可得出答案； （3）根据新定义的运算，一一进行判断即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：0； （2）解：分三种情况进行讨论： ①当均为偶数时， ； ②当中一个奇数一个偶数时， ； ③当均为奇数时， ， 综上所述，的所有可能的值为2，0，； （3）解：①、，，故原式计算正确； ②、取，则，，故故原式计算错误； ③、，故原式计算正确； ④、，故原式计算正确； 综上计算正确的有：①③④； 故答案为：①③④． 80．（24-25七年级上·福建·期中）探究规律，完成相关题目． 定义“”运算：；； ；； ；． (1)归纳运算的法则：两数，进行运算时，_______________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，____________．（文字语言或符号语言均可） (2)计算： (3)是否存在有理数，，使得，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由； 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把两数平方相加；结果是这个数的平方． (2) (3)存在，，． 【分析】本题主要考查了定义新运算、平方数的非负性以及分类讨论的思想．熟练掌握根据所给示例归纳新运算规则，以及根据新规则进行计算和分类讨论是解题的关键． （1）通过观察所给运算的多个例子，分析和进行“”运算时与、各自平方的关系，以及参与运算的特殊情况，从而归纳出运算规则． （2）根据（1）中归纳出的“*”运算规则，将和代入规则进行计算． （3）先根据（1）中规则将转化为关于和的等式，再分情况讨论和的值． 【详解】（1）解：通过观察所给运算式： ； ； ； ． 可以发现两数，进行“”运算时，当，同号时结果为正，异号时结果为负，且结果都是，平方和的绝对值形式，所以归纳出两数，进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把两数平方相加； 由；；，可知和任何数进行“”运算，或任何数和进行“”运算，结果是这个数的平方． 故答案依次为：同号得正，异号得负，并把两数平方相加；结果是这个数的平方． （2）解： ． （3）解：∵， ， ∴且， ∴，． 81．（24-25七年级上·福建三明·期中）小明在学习了“有理数的乘方”后，类比“乘方”定义“除方”的概念：若干个相同有理数（不能为0）的除法运算叫做除方，用符号表示非零有理数a的n次除方，即，其中． (1)计算的值； (2)关于“有理数的除方”，给出以下判断： ①； ②若，则； ③对于任意正整数n，都有． 正确的是______．（写出所有正确判断的序号） (3)若，n为正整数，且，将“除方”的运算结果表示为幂的形式，并计算的值． 【答案】(1)； (2)③； (3)． 【分析】本题考查了了新定义，有理数的乘除运算及乘方运算，理解新定义并掌握相关运算法则是关键，主要考查了学生抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识和创新意识，考查了学生函数化归与转化思想、特殊与一般思想． （1）根据除方的定义计算即可； （2）根据除方的定义计算即可； （3）根据除方的定义、乘方的定义计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：正确的判断是②③． 依据如下： ∵，， ∴故①错误． ∵， ∴②正确． ∵对任何正整数n， 又∵是奇数， ∴ ∴故③正确． （3）解：当时，； 则． $