专题01 有理数（期末复习课件，知识必备+14大重难题型+过关验收）六年级数学下学期新教材人教版五四制

这是一份初中数学六年级下学期期末复习课件，聚焦有理数专题，以“考情分析-必备知识-重难点题型-分层验收”为学习支架，系统梳理正数负数、数轴、绝对值等核心考点及解题方法。 资料突出核心素养培养，通过数轴与有理数大小比较体现数形结合（数学眼光），结合净含量标注、出租车行程等实际问题培养应用意识（数学语言），设置规律探究题型（如数轴翻转）提升推理能力（数学思维），典例与变式结合、分层练习设计，助力学生巩固基础，也为教师提供清晰教学路径。六年级下学期学生处于小学到初中知识过渡阶段，需强化概念理解与逻辑思维，本资料通过系统梳理与分层训练，帮助学生夯实有理数基础，培养数学学习习惯。

专题01 有理数 六年级数学下学期 期末复习大串讲 人教版五四制 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 正负数的意义 能准确判断正负数在实际情境中的意义 基础必考点，常出现在选择题中 有理数的分类 能根据有理数的概念区分有理数的分类 高频易错点，在对数字进行分类时忽略不循环小数和π 数轴 可以在数轴上表示有理数，并且能够利用数轴表示两点距离，同时能够解决动点问题 期末必考点，各题型均有可能出现；用数轴表示有理数、数轴上两点之间的距离表示和数轴比较大小是常考点；而数轴的动点问题则是作为压轴题来进行考查 相反数 重点掌握相反数的概念和性质，互为相反数的两个数和为0； 期末常考点，一般会和其他知识点混合一起考查，难度不大； 绝对值 能根据绝对值的概念与性质求解 期末必考点，基础题型和中等难度题型均可能出现；同时也会和数轴一起作为压轴题进行考查； 有理数的大小比较 能用不同的方法进行有理数的大小比较 基础必考点，一般在解答题中会有一道题与数轴一起考查有理数的大小比较 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 正数与负数 知识点01 为了表示具有相反意义的量（如盈亏、升降、冷暖），我们引入了正数和负数。 法 则 正数前的 “+” 号可省略。 收入500元记作 +500元， 示 例 概 念 0既不是正数，也不是负数. 支出200元记作 -200元。 易错点： 认为 0 是正数，或者在具体情境中无法准确用正负数表示相反意义的量 知识点02 具有相反意义的量 具有相反意义的量包括两个因素： ①有相反的意义， ②有数量. 当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示. 注 意 知识点03 有理数的概念与分类 1.有理数 概念：我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数 整数 分数 它们都是有理数 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数， 如π，，等. 4.循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数. 有限小数 无限循环小数 2. 理数 知识点03 有理数的概念与分类 5、有理数的分类 标准要统一：必须按同一分类标准进行分类，如将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准就不统一； 分类不重合：所分的各类应互不包含，如有理数分为非负有理数、0和正有理数就违反了这一原则； 分类无遗漏：所分各类之“和”必须是原来的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0.    注意：有理数的分类原则 知识点04 数 轴 （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 数轴定义： 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. -3 -2 -1 0 1 2 3 原点 正方向（规定向右） 单位长度 数轴三要素： 原点、正方向、单位长度 解析含义 概 念 2.数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 知识点04 数 轴 0 1 2 3 ﹣1 ﹣2 ﹣3 ﹣4 4 知识点04 数 轴 0 1 2 3 ﹣1 ﹣2 ﹣3 ﹣4 4 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 正数 负数 3.所有的有理数都可以用数轴上的点表示 （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 知识点05 绝 对 值 1.绝对值定义： 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值 数a的绝对值记作：|a|，读作“a的绝对值”. 概 念 对于任何一个有理数a，我们都有|a|≥0. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 2.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身， 负数的绝对值是它的相反数， 0的绝对值还是0， |a|＝ 3.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有|a|≥0. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 绝对值的性质 正数的绝对值是它本身， 负数的绝对值是它的相反数， 0的绝对值还是0， |a|＝ 绝对值的非负性 知识点05 绝 对 值 知识点06 相 反 数 1.相反数的定义： 符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. （1）0的相反数是0； （2）相反数是成对出现的，单独的一 个数不能说是相反数（类似倒数） 2.相反数的几何意义： 在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. 原点左侧 原点右侧 3个单位长度 3个单位长度 （2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数. （1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等； （1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； （2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”， 知识点06 相 反 数 3相反数的性质 任何数都有相反数，且仅有一个． 正数的相反数是负数， 负数的相反数是正数， 0的相反数是0． 4.相反数的特征 若a与b互为相反数，则a＝－b， 若a＝－b，则a与b互为相反数 反之 如a－b的相反数为 －（a－b）， 括号不要忘记了！ 知识点07 有理数的大小比较 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 解｜题｜技｜巧 题型一 正数和负数 记住大于0的是正数，小于0的是负数，0既不是正数也不是负数； 题型一 正数和负数 【典例1】（25-26七年级上·河南三门峡·期中）下列各组量中，具有相反意义的是（    ） A．向东走3米和向北走5米 B．气温上升3度和气温上升4度 C．胜1局和亏损2万元 D．收入500元和支出500元 解： A、向东走和向北走都是方向，但方向不相反，故该选项不符合题意； B、气温上升3度和上升4度，方向相同，不具有相反意义，故该选项不符合题意； C、胜1局和亏损2万元，不是同一类的量的相反意义，故该选项不符合题意； D、收入500元和支出500元，是财务上的相反操作，具有相反意义，故该选项符合题意； 【分析】本题考查相反意义的量，具有相反意义的量是指方向相反、性质相反的量，且通常涉及同一类的量．根据正负数的意义作答即可． D 题型一 正数和负数 【典例2】（25-26七年级上•浙江温州•期中）算筹是我国古代的记数工具之一，摆法有纵式和横式两种，如下表所示．古人在个位数上划上斜线以表示负数，如“ ”表示 -723，则“ ”所表示的数是（ ）． A． －37 B．37 C． －372 D．372 解：对照表格，“ ” 所表示的数是－372 ． C 题型一 正数和负数 【变式1】（25-26七年级上•山东菏泽•期中）某大米包装袋上标注着“净含量： ”，下列叙述正确的个数是（ ） （1）每袋大米的净含量最多是 ； （2）每袋大米的净含量最少是； （3）如果每袋大米的净含量超出 ，则超出部分不多于； （4）如果每袋大米的净含量不足 ，则不足部分不少于； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：∵ 标注“ ”表示净含量范围是 [] ∴ 最大净含量为，最小净含量为 （1）每袋大米净含量最多是，正确； （2）每袋大米净含量最少是 ，正确； （3）若净含量超出，则超出部分= 实际重量 ，正确； （4）若净含量不足，则不足部分 实际重量 ，但可能小于（如实际重量为 时，不足部分为 ），故错误． ∴ 正确叙述有（1）、（2）、（3），共 3个． C 题型一 正数和负数 【变式2】（25-26七年级上•陕西安康•期中）在下列数： ， ， ， ， ， ， 中，正数有 个．2 【变式2】（25-26七年级上•陕西安康•期中）在下列数中，正数有 个． 解： ，是正数； ，是正数； ，不是正数； ，不是正数； ，是正数； 0既不是正数也不是负数； ，不是正数。 3 【分析】本题考查了正负数定义，利用正负数的定义进行解答即可，解题的关键是正确理解0 既不是正数也不是负数． 0是正负数的分界点，正数是大于0 的数，负数是小于0 的数． 题型一 正数和负数 【变式3】（25-26七年级上•广东深圳•期中）一种黄油手撕面包包装袋上有这样的标记： ，妈妈买回6袋面包依次进行称重，和标准质量比较分别记录为： ．这6袋面包中有几袋是合格的． 【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟练掌握相反意义的量，有理数大小比较，是解题的关键．根据 的意思是质量都是有浮动的，不都正好是 ．所以它的质量允许有 的上下浮动，只要不超范围都是合格的． 解：指面包质量比 多或少 都是合格的．其中 指的是比标准质量多 ，是合格的； 指比标准质量少 ，是不合格的； 指正好等于标准质量，是合格的； 指比标准质量少 ，是合格的； 指比标准质量多，是合格的； 指比标准质量多 ，是不合格的． ∴这6袋面包中有4袋是合格的． 23 解｜题｜技｜巧 有理数的分类里记住三种类型： 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数， 题型二 有理数的概念与分类 题型二 有理数的概念与分类 【典例1】（25-26七年级上•湖南怀化•期中）下列说法，正确的个数是（ ） ① 0既不是正数，也不是负数；② 2.2是正有理数； ③可以写成分数的数就是有理数；④3.1415 不是自然数，也不是有理数． A．1 B．2 C．3 D．4 解： ①0既不是正数也不是负数，正确； ②2.2 是循环小数，可化为分数，是正有理数，正确； ③有理数的定义是能写成分数形式的数，正确； ④ 3.1415是有限小数，是有理数，错误； 正确的有①②③，共3个， C 题型二 有理数的概念与分类 【典例2】（25-26七年级上•湖南长沙•期中）把下列各数的序号填入它所属的集合内： （两个 3之间依次多一个0 ） 整数集合： ； 分数集合： ； 有理数集合： ． 有理数合： 解：整数集合： 分数集合： ； 题型二 有理数的概念与分类 【变式1】（25-26七年级上•广东湛江•期中） 在中，正有理数的个数为 ，其中正整数的个数为 ；负有理数的个数为 ． 解：先明确各类数的定义，再逐一分析给定数字： 给定数字： ； 正有理数（大于0的有理数）： ，共5个； 正整数（大于0的整数）： ，共2个； 负有理数（小于0的有理数） ，共4个． 5 2 4 题型二 有理数的概念与分类 【变式2】（25-26七年级上•江西上饶•期中） 把下列各数填在相应的大括号里（只填序号）① ；②0；③ ；④（两个1之间的6的个数依次增加1）；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ；⑨ ；⑩0.618 (1)非正整数集合{ }． (2)分数集合{ }． (3)正有理数集合{ }． （1）解： 非正整数是指0和负整数 ②0是整数且是非正数， ⑦ 是负整数， ⑧ 是负整数 所以非正整数集合：②⑦⑧， ②⑦⑧ 题型二 有理数的概念与分类 【变式2】（25-26七年级上•江西上饶•期中） 把下列各数填在相应的大括号里（只填序号）① ；②0；③ ；④（两个1之间的6的个数依次增加1）；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ；⑨ ；⑩0.618 (1)非正整数集合{ }． (2)分数集合{ }． (3)正有理数集合{ }． ②⑦⑧ （2）解： 分数包括有限小数、无限循环小数、百分数 ③ 是有限小数， ⑤ 是百分数， ⑨ 是分数， ⑩0.618是有限小数 所以分数集合：③⑤⑨⑩， ③⑤⑨⑩ 题型二 有理数的概念与分类 【变式2】（25-26七年级上•江西上饶•期中） 把下列各数填在相应的大括号里（只填序号）① ；②0；③ ；④（两个1之间的6的个数依次增加1）；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ；⑨ ；⑩0.618 (1)非正整数集合{ }． (2)分数集合{ }． (3)正有理数集合{ }． ②⑦⑧ ③⑤⑨⑩ （3）解： 正有理数是正的整数或分数 ① 是正整数， ⑤ 是正分数， ⑨ 是正分数， ⑩0.618是正分数 所以正有理数集合：①⑤⑨⑩， ①⑤⑨⑩ 题型二 有理数的概念与分类 【变式3】把下列各数填在相应的集合中： 15， ,0 ， 正数集合{ } 负分数集合{ } 非负整数集合{ } 有理数集合{ } 【分析】此题考查有理数的分类，注意解题技巧，熟知各类数的特点及定义是正确解答此题的关键．正整数、负整数在对应的正数、负数里面找，注意 不是有理数，根据正数、负分数、有理数的意义直接把数据分类，然后即可求解． 解：正数集合 ； 负分数集合 ； 非负整数集合 ； 有理数集合 ； 解｜题｜技｜巧 数轴三要素：原点、单位长度、正方向。 题型三 数轴的三要素及其画法 题型三 题型三 数轴的三要素及其画法 【典例1】（24-25七年级上•河南信阳•期中）已知有理数： -1.5，0，4，-3 ，2.5． (1)画出数轴，在数轴上表示出这几个数，并用“ ”连接起来； (2)这几个有理数中是正数的有____________________． （1）解：在数轴上表示出这几个数，如图： 由图知： （2）解：由图知，这几个有理数中是正数的有：4，2.5． 4，2.5． 题型三 题型三 数轴的三要素及其画法 【典例2】（25-26七年级上•湖南长沙•期中）（1）过 A、B 两点画一条数轴，使点A 表示3，点B 表示 -2； （2）在你所画的数轴上表示出 ，并将这四个数用“＜”连接． ______＜______＜______＜______. 解：（1）如图所示， 故答案为： （2）如图所示， 题型三 题型三 数轴的三要素及其画法 【变式1】下列关于数轴的说法正确的是（    ） A．规定直线上向左的方向为正方向 B．所有数轴上的单位长度一定相等 C．数轴上的原点两边的点可以表示同一个数 D．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 解：A、规定直线上向右为正方向，故本选项错误，不符合题意； B、同一数轴上的单位长度一定相等，故本选项错误，不符合题意； C、数轴上的原点两边的点不可以表示同一个数，故本选项错误，不符合题意； D、数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线，故本选项正确，符合题意， D 题型三 题型三 数轴的三要素及其画法 【变式2】（24-25七年级上·天津·期中）如图，下列表示的数轴正确的是（   ） A． B． C． D． B 解： A选项单位长度不一致，本选项不符合题意； B选项符合数轴的定义，本选项符合题意； C选项没有正方向，本选项不符合题意； D选项负数不是从小到大排列，本选项不符合题意； 题型三 题型三 数轴的三要素及其画法 【变式3】（23-24七年级上•甘肃天水•期中）画一条数轴，在数轴上表示下列各数：2， ，0， ，然后按大到小排列，并用“>”号连接以上的四个数． 解：数轴如图所示： 按大到小排列为： 【点睛】本题考查利用数轴比较有理数的大小，画数轴的时候需要注意体现数轴的三要素：单位长度，原点和正方向． 解｜题｜技｜巧 题型四 利用数轴表示有理数的大小 利用数轴比较有理数的大小时，要注意在数轴右边的数字要大于左边的数字；注意数字所带的符号，正负号千万不能弄错了； 题型四 利用数轴表示有理数的大小 【典例1】（25-26七年级上•山东菏泽•期中）在数轴上表示下列各数，并用“＜ ” 连接： 解： ， 把 表示在数轴上如图所示， 由图可得： 题型四 利用数轴表示有理数的大小 【典例2】（25-26七年级上•广东肇庆•期中）如图，在每个刻度为 1个单位长度的数轴上，点 A表示的数是 --2． (1)在数轴上标出原点，并指出点 所表示的数是_____； (2)在数轴上表示下列各数： 并用“＜ ”号把这些数按从小到大连接起来． （1）解：如图，在数轴上标出原点，点B 所表示的数是 5 ∴在数轴上表示各数如下： （2） ∵ 5 题型四 利用数轴表示有理数的大小 【变式1】（25-26七年级上•广东广州•期中）如图，数轴上点A表示的数是 -3，点B表示的数是4． (1)在数轴上标出原点O； (2)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“＜”连接起来． （1）解：因为点A表示的数是 -3，所以原点O在点A右边3个单位长度， 所以原点如图所示： O （2）解： 各点在数轴上表示为： O 题型四 利用数轴表示有理数的大小 【变式2】（25-26七年级上•江苏盐城•期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”号将这些数按从小到大的顺序连接起来： 解： 把各数表示在数轴上如下： 题型四 利用数轴表示有理数的大小 【变式3】（25-26七年级上•广西百色•期中）已知：A，B两点在数轴上的位置如图． (1)点A，B分别表示的数是______； (2)若点C，D也在该数轴上，点C表示 -3.5，点D表示 +2．请在数轴上标出点C和点D； (3)用“＜”把点A，B，C，D表示的数连接起来． （1）解：由数轴可得：点A表示的数是 -1，点B分别表示的数是3． （2）解：如图所示： 3）解：由（2）得： 解｜题｜技｜巧 数轴上两点之间的距离，一般只用右边对应的数（符号也可）减去左边对应的数； 若分不清两点谁在左在右，可以通过加绝对值进行分类讨论； 题型五 数轴上两点之间的距离 题型五 数轴上两点之间的距离 【典例1】（25-26七年级上•河南商丘•期中）将一把刻度尺按如图所示放在数轴上，刻度尺上的0和8分别对应着数轴上的-3.6 和 x，则x 的值是（ ） A．4.4 B．4.3 C．4.2 D．4.1 解：由题意知 ， A 题型五 数轴上两点之间的距离 【典例2】（25-26七年级上·黑龙江伊春·期中）已知数轴上点A表示的数为4，点B与点A的距离为4，则点B表示的数是（ ） A．0 B．8 C．0或8 D．无法确定 解：由题意，点B表示的数是 或； C -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 A B 题型五 数轴上两点之间的距离 【变式1】（25-26六年级上•山东烟台•期中）如图，小颖借助刻度尺画了一条数轴，原点和单位1分别与刻度尺的9.5和11对齐，则刻度尺上5对应数轴上的点A 表示的有理数为 . 解：观察数轴图可得，O为原点，原点和单位1距离 ， 则刻度尺上的 1.5cm对应数轴1个单位长度， ∵点A与点O距离 ， ∴点A在原点O的左侧 个单位长度处， ∴数轴上点A对应的有理数为 ． 题型五 数轴上两点之间的距离 【变式2】（25-26七年级上•全国•期中） （1）数轴上点A 表示的数是 -1，点B 与点A 相距3 个单位长度，则点B 表示的数是 ； （2）一个点在数轴上移动，先向左移5 个单位长度，再向右移动 3个单位长度，终点表示的数是-1 ，则起点表示的数是 . 解：（1）点A 表示的数是 -1，点 B与点A 相距 3个单位长度，则 点B 在点 A的右侧时，点 B表示的数为 -1+3=2； 点B 在点A 的左侧时，点 B表示的数为-1-3=-4 ； 综上所述，点 B表示的数为-4 或2 ， - 4 或2 题型五 数轴上两点之间的距离 【变式2】（25-26七年级上•全国•期中） （1）数轴上点A 表示的数是 -1，点B 与点A 相距3 个单位长度，则点B 表示的数是 ； （2）一个点在数轴上移动，先向左移5 个单位长度，再向右移动 3个单位长度，终点表示的数是-1 ，则起点表示的数是 . - 4 或2 （2）设起点表示的数为 x， 先向左移动5个单位长度，得到x-5 ； 再向右移动3个单位长度，得到(x-5) +3= x -2； ∵终点表示的数为 -1，∴ x -2 =-1， 解得x =1 ，则起点表示的数为 1， 1 题型五 数轴上两点之间的距离 【变式3】（25-26七年级上•山西太原•期中）已知：点 A， B， C在数轴上的位置如图所示，请观察数轴并解答下列问题： (1)表示有理数-3 的点是________，点B 表示的有理数是________；A 、C 两点间的距离是________个单位长度； (2)在数轴上用点 D， E分别表示有理数 ； (3)将0， 这四个有理数用“＜”连接的结果是 ． （1）解：表示有理数 -3的点是 A；点 B表示的有理数是 -1；A、 C两点间的距离是7个单位长度． A -1 7 （2）解：如图． （3）解：由数轴可知，从小到大排列为： 解｜题｜技｜巧 题型六 数轴上点的平移 数轴上点的平移牢记： 若向右平移，即点所对应的数字加上移动的距离，就等于平移后点所对应的数字； 向左平移则减去即可； 题型六 数轴上点的平移 【典例1】（25-26七年级上•云南昆明•期中）数轴上一点 P表示的数为 -3，则点 P在数轴上移动 5个单位长度后表示的数是（ ） A． 2 B． -8 C．-8 或2 D．8 或 -2 解： 点P 向右移动5个单位：-3+5=2 ， 点P 向左移动5个单位： -3-5=-8， 则点 P表示的数是：-8 或2 ， C 题型六 数轴上点的平移 【典例2】（25-26七年级上•浙江绍兴•期中）在数轴上，点 A所表示的数为 0，现将点A 沿数轴做如下移动，第一次将点 A向左移动1 个单位长度到达点 ，第二次将点 向右移动2 个单位长度到达点 ，第三次将点 向左移动 3个单位长度到达点 ，… 按照这种移动规律进行下去，第2025 次移动到点 ，那么点 所表示的数为（ ） A．1011 B． -1012 C． 1012 D．-1013 D 解：第一次点A 向左移动1个单位长度至点 ，则 表示的数，0-1=-1 ； 第 2 次从点 向右移动2个单位长度至点 ，则 表示的数为 -1=2=1； 第 3 次从点 向左移动3个单位长度至点 ，则 表示的数为 1-3=-2； 第4次从点 向右移动4个单位长度至点 ，则 表示的数为 -2=4=2； 第 5 次从点 向左移动5个单位长度至点 ，则 表示的数为2-5=-3 ；．．．； 故每移动两次向右移动1个单位长度，序号为奇数的点在点A 的左边，各点所表示的数依次减少1，序号为偶数的点在点A 的右侧，各点所表示的数依次增加1， ，2025÷2=1012+1 则点 所表示的数为：0+1012-2025=-1013 ， 题型六 数轴上点的平移 【变式1】（25-26七年级上•陕西西安•期中）点 A为数轴上的一点，动点M 从点 A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B ．若点B 表示的数是-2 ，则点A 表示的数是 ． 解：∵动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B，点 B表示的数是-2 ， ∴点A 表示的数为 -2-2= - 4； - 4 题型六 数轴上点的平移 【变式2】点A为数轴上的一点，动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B．若点B到原点的距离为5个单位长度，则点A表示的数是 ． 解：∵点B与原点的距离是5个单位长度， ∴点 B表示的数为5 或 - 5， ∵动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B， ∴点A 表示的数为 5-2=3或-5-2= - 7 ； 3或 - 7 题型六 数轴上点的平移 【变式3】（25-26七年级上•福建•期中）已知有理数： - 2，2.5， - ，4，0． (1)画出数轴，并在数轴上表示出上述有理数； (2)在数轴上表示 - 2与4的点之间（包括这两个点）有_______个点表示的数是整数，其中表示“非负整数”的数分别是 ； (3)在数轴上，从表示数- 2 的点A出发，沿着数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是_______． （1）解：如图所示； （2）解：在- 2 与4之间的整数点有 ，共有7个点； 其中“非负整数”有0，1，2，3，4； 7 0，1，2，3，4 题型六 数轴上点的平移 【变式3】（25-26七年级上•福建•期中）已知有理数： - 2，2.5， - ，4，0． (1)画出数轴，并在数轴上表示出上述有理数； (2)在数轴上表示 - 2与4的点之间（包括这两个点）有_______个点表示的数是整数，其中表示“非负整数”的数分别是 ； (3)在数轴上，从表示数- 2 的点A出发，沿着数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是_______． （3）解：从表示 - 2的点，沿数轴向右移动4个单位长度到达点B， 这个数是： - 2-+4=2； 从表示- 2 的点，沿数轴向左移动4个单位长度到达点B， 这个数是：- 2- 4= - 6 ， ∴这个数是2或-6 ． - 6 2或 -6 7 0，1，2，3，4 解｜题｜技｜巧 数轴上的整点覆盖问题，可以分两种情况，一种是起点是整点的， 另一种是非整点起点的； 题型七 数轴上整点覆盖问题 题型七 数轴上整点覆盖问题 【典例1】（25-26七年级上·吉林·期中）如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有（    ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 解：根据数轴可知，被墨迹盖住的整数有： - 5，- 4 ，- 3 ， ，0，1，2，一共有7个， C 题型七 数轴上整点覆盖问题 【典例2】（25-26七年级上•河北石家庄•期中）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1cm ，若在数轴上画出一条长2025cm 的线段 AB，则 AB盖住的整点个数是（　　） A．2023或2024 B．2022或2023 C．2024 D．2023 解：分两种情况讨论线段AB 与整点的位置关系： 情况一：若线段AB 的两个端点均落在整点上． ∵数轴单位长度为 1cm，线段长2023cm ， ∴盖住的整点个数为线段长度加 1，即 2023+1=2024； 情况二：若线段AB 的两个端点均不落在整点上． ∵端点在两个整点之间，线段长度为 2023cm ， ∴盖住的整点个数等于线段长度，即2023． 综上，线段 AB盖住的整点个数是2023或2024， A 题型七 数轴上整点覆盖问题 【变式1】（25-26七年级上•江苏无锡•期中）有一条4 个单位长的线段，把它放在刻度尺上，最多能覆盖m 个整数，最少能覆盖n 个整数，则 m+n= ． 解：不从整数开始覆盖最少能覆盖4个表示整数的点，即n=4 ， 从整数开始覆盖最多能覆盖5个表示整数的点，即 m=5． 所以m+n=5+4=9 ． 9 题型七 数轴上整点覆盖问题 【变式2】（25-26七年级上•河北邯郸•期中）已知 M，N 两点在数轴上所表示的数分别为 m和 n，其中 m表示的数为10， n表示的数为- 3 ．有一辆玩具火车AB 放置在数轴上，将玩具火车沿数轴左右水平移动，当点 B移动到点 A时，点 A与点 N重合；当点A 移动到点B 时，点B 与点M 重合．若将此玩具火车沿数轴左右水平移动，玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为 ． 解：∵已知 M，N 两点在数轴上所表示的数分别为m 和n ，其中m 表示的数为10，n 表示的数为 - 3． ∴, 由题意可知， MN的长度是玩具火车的 3倍， ∴玩具火车长度为 ， 要使玩具火车能更多的覆盖住整数，应使玩具火车的左端尽可能靠近整数点的左侧，玩具火车的右端尽可能靠近整数点的右侧，此时玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为 5， 5 题型七 数轴上整点覆盖问题 【变式3】如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 解：根据数轴的特点，- 6.2 到 - 1之间的整数有 ： 共5个， 0到4.3 之间的整数有1、2、3、4共4个， 所以被墨迹盖住的整数有 5+4=9（个）． 它们对应的数是： 题型八 数轴上的规律探究 【典例1】（25-26七年级上•湖南怀化•期中）正方形 ABCD在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和- 1 ，若正方形ABCD 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则连续翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点D 解：∵在翻转过程中， 1对应的数是B，2对应的数是C，3对应的数是D，4对应的数是A， 5对应的数是B，6对应的数是C，7对应的数是D，8对应的数是A，…， ∴每4次翻转为一个循环组依次循环， ∵ …1， ∴连续翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是点B． B 题型八 数轴上的规律探究 【典例2】（25-26七年级上•江苏无锡•期中）如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示 -1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示 - 2的点重合…），则数轴上表示-2025 的点与圆周上表示数字 的点重合．（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环， 分别与3、2、1、0重合， ∵ ∴数轴上表示 的点与圆周上表示的数字0重合． A 题型八 数轴上的规律探究 【变式1】（24-25七年级上•内蒙古巴彦淖尔•期中）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的四等分点处分别标有0，1，2，3，先让圆上表示数字0 的点与数轴上表示- 1 的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2024的点与圆上表示哪个数的点重合？（ ） A．0 B．1 C． 2 D．3 解：圆的周长为4个单位长度，则圆每滚动一圈，圆周上的0，3，2，1分别与数轴上的数一一对应，即4个数为一组循环， ∵圆周上的 0点与- 1 重合， ∴圆滚动到2024时，经过了 2024+1=2025个单位长度， ∵ 2025÷4=506……1， ∴圆周上的 1与数轴上的2024 重合， B 题型八 数轴上的规律探究 【变式2】（25-26七年级上•江苏镇江•期中）边长为 1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字 10时停止运动，此时与数字10 重合的点是（ ） A．点 A B．点 B C．点C D．点O 解：由图可知正方形滚动一圈为4 个单位一个循环， ∵ ， ∴与数字 10重合的点B ， B 题型八 数轴上的规律探究 【变式3】（25-26七年级上•黑龙江哈尔滨•期中）在数轴上，点A表示的数是- 2 ，点M从点A出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，……依次操作4053次后，此时M表示的数是（ ） A．- 2008 B．2024 C．6077 D． - 2029 解：由题意得：点M从点A出发，先向左移动1个单位长度， 得 ， 再向右移动2个单位长度，得 ， 再向左移动3个单位长度，得 再向右移动4个单位长度，得 ， ∴点M每运动两次，则向右移动1个单位长度， ∵， ∴操作4053次后，此时点M表示的数是： ， D 解｜题｜技｜巧 牢记相反数的性质，a的相反数为-a 互为相反数的两个数和为0； 题型九 相 反 数 题型九 相 反 数 【典例1】（25-26七年级上•云南曲靖•期中）下列化简，正确的是（ ） A． B． C． D． 解： A． ，故A错误； B． ，故B错误； C． ，故C错误； D． ，故D正确． D 题型九 相 反 数 【典例2】（25-26七年级上•江苏徐州•期中）下列各对数中，互为相反数的是（ ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与0.3 解： A、 ，两者相等，不互为相反数； B、 ，两者相等，不互为相反数； C、 ， 与 互为相反数； D、 的相反数是 ，而 ，故不互为相反数， C 题型九 相 反 数 【变式1】（25-26七年级上·陕西安康·期中）如图，在一个不完整的数轴上有A，B，C三个点，数轴的单位长度为1．若点A，C表示的数互为相反数，则图中点B表示的数是 ． 解：∵点A，C表示的数互为相反数，且点A与点C之间的距离为4， ∴点C和点A到原点的距离都为2，即点C表示的数为2， ∵点B在点C右侧，且与点C的距离为2， ∴点B表示的数为 2+2=4， 4 题型九 相 反 数 【变式2】（25-26七年级上•吉林长春•期中）若 和互为相反数，那么 ． 解：依题意 ∴ 2 （2）∵点R、T表示的数互为相反数，点R、T之间的距离为6， ∴点R表示的数为 - 3，点 表示的数为3 ， ∴点Q表示的数为 - 7， ∴点Q和点R到原点的距离的和： 题型九 相 反 数 【变式3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，点Q、P、R、S、T在数轴上（单位长度为1）． (1)如果点R表示原点，点P表示的数是______，点S表示的数是______，点T表示的数是______； (2)如果点R、T表示的数互为相反数，求点Q和点R到原点的距离的和． 解：（1）如果点R表示原点，点P表示的数是- 2，点S表示的数是2 ，点T表示的数是6 ； - 2 2 6 题型十 解｜题｜技｜巧 绝对值非负性 绝对值的非负性要注意： （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 题型十 绝对值非负性 【典例1】（25-26七年级上•内蒙古赤峰•期中） 若 ，则x的取值范围是：（ ） A． B． C． D． 解：∵ ， ∴， ∴， D 题型十 绝对值非负性 【典例2】（25-26七年级上•浙江•期中）如果x 为有理数，式子 存在最大值，那么这个最大值是（ ） A．2025 B．2026 C．2024 D．2023 解：∵ ， ∴ 取最小值0时， 式子存在最大值， 最大值为2025， A 题型十 绝对值非负性 【变式1】（25-26七年级上•天津东丽•期中） 如果 ，那么的值为 ． 解：∵ 且 ≥ 0， ∴ 且 = 0， 即 且0， 解得， ∴. 5 题型十 绝对值非负性 【变式2】（25-26七年级上•山东临沂•期中）下列说法：①若不是正数，则a为非负数；②若 则；③ ；④若 ，则x为正数．其中正确的结论有 (填序号) 解：对于说法①，由 不是正数，得 ，即， 所以a为非负数，说法正确； 对于说法②，由 ，得，又 ， 故 ，从而，所以，说法正确； 对于说法③ ，故相等，说法正确； 对于说法④，由 ，得 ， ∴x为非正数，原说法错误； ①②③ 题型十 绝对值非负性 【变式3】（25-26七年级上•河南周口•期中）数轴上点A、点B对应的有理数a，b，且 ． (1)有理数____， ____，在数轴上标出A、B对应的点； (2)在（1）问的条件下，数轴上有两点M、N，对应的数分别是m、n，其中M到A、B的距离相等，N到A的距离等于N到B的距离的2倍，求 ． （1）解：由于 ， ∴ 且 ， 方程 ，解得 ， 方程0 ，解得 ， ∴点A、B在数轴上的位置如图所示 A B 题型十 绝对值非负性 【变式3】（25-26七年级上•河南周口•期中）数轴上点A、点B对应的有理数a，b，且 ． (1)有理数____， ____，在数轴上标出A、B对应的点； (2)在（1）问的条件下，数轴上有两点M、N，对应的数分别是m、n，其中M到A、B的距离相等，N到A的距离等于N到B的距离的2倍，求 ． A B （2）解：由于点M到、 的距离相等，即为中点，∴， 点N到A的距离等于N到B的距离的2倍， ∴ 解得或， 当 时， ， 当 时， ，综上， 的值为 或 ． 题型十一 解｜题｜技｜巧 绝对值的几何意义 绝对值的几何意义，主要是考查绝对值与数轴结合的题型，难度较大，主要在于理解绝对值的几何意义，在基本概念的基础上进行拓展： 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以|0|=0 . 题型十一 绝对值的几何意义 【典例1】（2025七年级上•江苏连云港•专题练习）若有理数， 满足 ，则 的值为（ ） A．4 B．5 C． 4或6 D．4或5 解:∵ ， ∴点b与点a的距离为1，点c与点a的距离为5． 当点b和点c在点a的同侧时， ； 当点b和点c在点a的异侧时， ． ∴ 的值为4或6． C 题型十一 绝对值的几何意义 【典例2】（25-26七年级上•河北保定•期中）数轴上的定点表示的数分别是，且满足． (1)___________， ___________；间的距离为___________； (2)数轴上一点距点7个单位长度，其表示的数满足． ①求点之间的距离； ②当数轴上的点到点B 的距离是点到点的距离的2倍时，求点表示的数； ③沿数轴移动点，要使得， 其中一点到另外两点的距离相等，直接写出点所有的移动方法（写出方向和距离）． （1）解： ∵ 一个数的平方和绝对值都是非负数， 且 ， ∴，解得， 间的距离为 ， 题型十一 绝对值的几何意义 【典例2】（25-26七年级上•河北保定•期中）数轴上的定点表示的数分别是，且满足． (1)___________， ___________；间的距离为___________； (2)数轴上一点距点7个单位长度，其表示的数满足． ①求点之间的距离； ②当数轴上的点到点B 的距离是点到点的距离的2倍时，求点表示的数； ③沿数轴移动点，要使得， 其中一点到另外两点的距离相等，直接写出点所有的移动方法（写出方向和距离）． （2）解： ①由（1）可知 ， ，∴或， ∴或， 点C在数轴上表示的数为 ， 点B，C之间的距离为 ； 题型十一 绝对值的几何意义 【典例2】（25-26七年级上•河北保定•期中）数轴上的定点表示的数分别是，且满足． (1)___________， ___________；间的距离为___________； (2)数轴上一点距点7个单位长度，其表示的数满足． ①求点之间的距离； ②当数轴上的点到点B 的距离是点到点的距离的2倍时，求点表示的数； ③沿数轴移动点，要使得， 其中一点到另外两点的距离相等，直接写出点所有的移动方法（写出方向和距离）． ②由（2）①知点B，C之间的距离为3，当点P在点B，C之间时，点P到点B的距离为：， 点P表示的数为 ； 当点P在点C的右侧时，点P到点C的距离为3， 点P表示的数为 ， 综上，点P表示的数为 或2； 题型十一 绝对值的几何意义 【典例2】（25-26七年级上•河北保定•期中）数轴上的定点表示的数分别是，且满足． (1)___________， ___________；间的距离为___________； (2)数轴上一点距点7个单位长度，其表示的数满足． ①求点之间的距离； ②当数轴上的点到点B 的距离是点到点的距离的2倍时，求点表示的数； ③沿数轴移动点，要使得， 其中一点到另外两点的距离相等，直接写出点所有的移动方法（写出方向和距离）． ③点C向左移动13个单位长度，点B到点A，C的距离相等； 点C向右移动2个单位长度，点C到点A，B的距离相等； 点C向右移动17个单位长度，点A到点B，C的距离相等． 题型十一 绝对值的几何意义 【变式1】（25-26七年级上•天津•期中）在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多．例如，在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决． (1)当式子 取最小值时，相应的x的取值范围是 _，最小值是______． (2)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． （1）解： 表示在数轴上代表x的点到数字“ ”的距离， 表示在数轴上代表x的点到数字“2”的距离， 则 表示在数轴上代表x的点到数字“ ”和“2”的距离之和， ∴当代表x的点在数字“ ”和“2”之间， 即 时，此距离之和最小，且最小值为3； 3 题型十一 绝对值的几何意义 【变式1】（25-26七年级上•天津•期中）在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多．例如，在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决． (1)当式子 取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是______． (2)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是___ ___，最小值是______． 3 （2）解：∵ 看成数轴上数x到数a的距离， ∴式子 表示x到数2、4、6、8的距离之和最小， ∴当 时， 有最小值8， 8 题型十一 绝对值的几何意义 【变式2】（25-26七年级上•江西•期中）点 A、B 在数轴上分别表示有理数 a、b ，A 、B 两点之间的距离表示为 AB，在数轴上A 、B 两点之间的距离 AB= |a-b| ， 例如：数轴上表示- 1 与- 2 的两点间的距离 ； 而 ，所以 表示x与- 2 两点间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示- 2 和5 两点之间的距离； (2)若数轴上表示点x 的数满足，求x 的值． （1）解：依题意得：数轴上表示- 2 和5 两点之间的距离: S ； （2）解：由题意得， 即表示 x与1 两点间的距离为 3， 则结合数轴可得 或 ． 题型十一 绝对值的几何意义 【变式3】（25-26七年级上•吉林•期中）阅读下列材料，完成后面的任务． 点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为． 如图，从数轴上看，若点A，B表示的数分别是1，4 则 或 ． 【归纳】若点A，B表示的数分别是 ， 则 或 ． 任务： (1)若点A 表示的数 - 1，点B表示的数为2 ， =______． (2)若点A 表示的数 1， ，则点B 表示的数为______． (3)试用数轴探究，当 时， m的值为______． 题型十一 绝对值的几何意义 【变式3】（25-26七年级上•吉林•期中）阅读下列材料，完成后面的任务． 任务： (1)若点A 表示的数 - 1，点B表示的数为2 ， =______． (2)若点A 表示的数 1， ，则点B 表示的数为______． (3)试用数轴探究，当 时， m的值为______． 【归纳】若点A，B表示的数分别是 ， 则 或 ． （1）解：∵点A 表示的数 - 1，点B表示的数为2 ， ∴根据数轴上两点间距离公式 ； A B 题型十一 绝对值的几何意义 【变式3】（25-26七年级上•吉林•期中）阅读下列材料，完成后面的任务． 任务： (1)若点A 表示的数 - 1，点B表示的数为2 ， =______． (2)若点A 表示的数 1， ，则点B 表示的数为_____ _． (3)试用数轴探究，当 时， m的值为______． 【归纳】若点A，B表示的数分别是 ， 则 或 ． A B （2）∵点A 表示的数 +1 ， ，设点 B表示的数为， ∴根据数轴上两点间距离公式 ， 当 ，， 当时， ， 所以点 B表示的数为4 或 - 2； B 4 或 - 2 题型十一 绝对值的几何意义 【变式3】（25-26七年级上•吉林•期中）阅读下列材料，完成后面的任务． 任务： (1)若点A 表示的数 - 1，点B表示的数为2 ， =______． (2)若点A 表示的数 1， ，则点B 表示的数为______． (3)试用数轴探究，当 时， m的值为______． 【归纳】若点A，B表示的数分别是 ， 则 或 ． A B （3）设点C 表示的数 ∵ ， ∴根据绝对值的定义，绝对值为3 的数有 3和 - 3 ， 当时， ， 当 时， ； 所以m 的值为7 或 1． -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 A C C 【典例1】（25-26七年级上•湖北武汉•期中）质检员抽查某零件的质量，超过规定尺寸的记为正数，不足规定尺寸的记为负数，结果第一个 ，第二个 ，第三个 ，第四个 ，则抽查的这四个零件中，质量最好的零件是（ ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 D 题型十二 绝对值的其他应用 解： ∴质量最好的零件是第四个 【典例2】（23-24七年级上•江苏徐州•期中）出租车司机小飞某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午的行程是（单位：千米）： ． (1)将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ (2)若汽车耗油量为 0.6升/千米，出车时，邮箱有油 升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 题型十二 绝对值的其他应用 （1）解： （千米）， 答：在出发点的北边，距离出发点4千米； 【典例2】（23-24七年级上•江苏徐州•期中）出租车司机小飞某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午的行程是（单位：千米）： ． (1)将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ (2)若汽车耗油量为 0.6升/千米，出车时，邮箱有油 升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 题型十二 绝对值的其他应用 （2）不需要加油，理由： （千米）， （升）， ∵ ， ∴不需要加油． 题型十二 绝对值的其他应用 【变式1】（23-24七年级上•广西玉林•期中）出租车司机某天在五一路（近似地看成一条直线）上行驶，如果规定向东为“正”，向西为“负”，他这天上午的行程可以表示为： （单位：千米）． (1)司机将最后一名乘客送达目的地后需要返回出发地换班，请问司机该如何行驶才能回到出发地？ (2)若汽车耗油量为 升/千米，发车前油箱有 升汽油，若司机将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问司机今天上午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． （1）解： （千米）， 故司机在出发点西6千米处， 答：司机向东行驶6千米才能回到出发地 题型十二 绝对值的其他应用 【变式1】（23-24七年级上•广西玉林•期中）出租车司机某天在五一路（近似地看成一条直线）上行驶，如果规定向东为“正”，向西为“负”，他这天上午的行程可以表示为： （单位：千米）． (1)司机将最后一名乘客送达目的地后需要返回出发地换班，请问司机该如何行驶才能回到出发地？ (2)若汽车耗油量为 升/千米，发车前油箱有 升汽油，若司机将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问司机今天上午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． （2）解：需要加 10升油，理由如下： （升）， （升） 答：故要加油，至少需要加 10升油才能返回出发地． 题型十二 绝对值的其他应用 【变式2】（23-24七年级上•浙江杭州•期中）一年一度的“双十一”全球购物节完美收官，来自全国各地的包裹陆续发到本地快递公司．一快递小哥骑三轮摩托车从公司 P出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表(我们约定向东为正，向西为负，单位：千米) 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 －2 +7 －9 +10 +4 －5 －8 (1)快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司P 的哪个方向上？距离公司 P多少千米？ (2)在第 次记录时快递小哥距公司 P地最远； (3)如果每千米耗油0.1 升，每升汽油需 8.2元，那么快递小哥投递完所有包裹需要花汽油费多少元？ 题型十二 绝对值的其他应用 【变式2】（23-24七年级上•浙江杭州•期中）一年一度的“双十一”全球购物节完美收官，来自全国各地的包裹陆续发到本地快递公司．一快递小哥骑三轮摩托车从公司 P出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表(我们约定向东为正，向西为负，单位：千米) 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 －2 +7 －9 +10 +4 －5 －8 (1)快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司P 的哪个方向上？距离公司 P多少千米？ （1）解： （千米）， 答：最后一次投递包裹结束时快递小哥在公司 P的西边，距离公司3千米； 题型十二 绝对值的其他应用 【变式2】（23-24七年级上•浙江杭州•期中）一年一度的“双十一”全球购物节完美收官，来自全国各地的包裹陆续发到本地快递公司．一快递小哥骑三轮摩托车从公司 P出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表(我们约定向东为正，向西为负，单位：千米) 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 －2 +7 －9 +10 +4 －5 －8 (2)在第 次记录时快递小哥距公司 P地最远； （2） （千米） 第五次快递小哥距公司P 最远． 五 题型十二 绝对值的其他应用 【变式2】（23-24七年级上•浙江杭州•期中）一年一度的“双十一”全球购物节完美收官，来自全国各地的包裹陆续发到本地快递公司．一快递小哥骑三轮摩托车从公司 P出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表(我们约定向东为正，向西为负，单位：千米) 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 －2 +7 －9 +10 +4 －5 －8 (3)如果每千米耗油0.1 升，每升汽油需 8.2元，那么快递小哥投递完所有包裹需要花汽油费多少元？ （3） (元)， 即快递小哥投递完所有包裹需要花汽油费36.9 元 【变式3】（23-24七年级上•吉林长春•期中）我国海军编号为401汉级核潜艇，在某军事演习中，在海下时而上升，时而下降．核潜艇的初始位置在海平面下 500米，下面是核潜艇在某段时间内运动情况 把上升记为“ +”，下降记为“－”，单位：米 ：－ 280，－20 ，30 ，20 ， －50，60 ，－70 ． (1)海平面记为 0米，核潜艇初始位置在海平面下500 米，可记为 米． (2)最终核潜艇处在海平面哪个位置？距离海平面多少米？ (3)假如核潜艇每上升或下降 1米核动力装置所提供的能量相当于20 升汽油燃烧所产生的能量，那么从初始位置开始，在这一过程中核动力装置所提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？ 解:（1）根据正负数的意义可知，海平面记为 0米，核潜艇初始位置在海平面下 500米，可记为－500 米． －500 题型十二 绝对值的其他应用 （2）设核潜艇初始位置记为－500 米，则最终位置为 (米)． 所以，最终核潜艇处在海平面下 810米，距离海平面 810米． 题型十二 绝对值的其他应用 【变式3】（23-24七年级上•吉林长春•期中）我国海军编号为401汉级核潜艇，在某军事演习中，在海下时而上升，时而下降．核潜艇的初始位置在海平面下 500米，下面是核潜艇在某段时间内运动情况 把上升记为“ +”，下降记为“－”，单位：米 ：－ 280，－20 ，30 ，20 ， －50，60 ，－70 ． (1)海平面记为 0米，核潜艇初始位置在海平面下500 米，可记为 米． (2)最终核潜艇处在海平面哪个位置？距离海平面多少米？ (3)假如核潜艇每上升或下降 1米核动力装置所提供的能量相当于20 升汽油燃烧所产生的能量，那么从初始位置开始，在这一过程中核动力装置所提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？ （3）根据题意，得 (米)． (升)． 答：在这一过程中核动力装置所提供的能量相当于 10600升汽油燃烧所产生的能量． 题型十三 解｜题｜技｜巧 有理数的大小比较 先画出数轴，记住正数大于0，负数小于0；然后看数轴上点的位置，右边的点所代表的数大于左边的点代表的数； 题型十三 有理数的大小比较 【典例1】（25-26七年级上•河北唐山•期中）在图所示的数轴上表示下列各数，并用“＜”把它们连接起来． ． 用“＜”把它们连接如下： ． 解： 在数轴上表示如下： 题型十三 有理数的大小比较 【典例2】（25-26七年级上•青海西宁•期中）比较大小． (1) 和 (2) 和 （1）解：∵ ， ， ∴ （2）解： ， ∴ ． 题型十三 有理数的大小比较 【变式1】（25-26七年级上•贵州铜仁•期中）在下面的数轴上分别标出表示下列各数的点，并把这些数用“>”连接起来： 解： ， 在数轴上画出表示各数的点，如下图： 用“＜ ”号将所有的数连接起来如下： 题型十三 有理数的大小比较 【变式2】（25-26七年级上•甘肃兰州•期中）已知下列各数，按要求完成各题： ． (1)负数集合：{ …}； (2)用“＜”把它们连接起来是 ； (3)把已知各数表示在数轴上． 1）解： ， 则负数集合：{ …}； 题型十三 有理数的大小比较 【变式2】（25-26七年级上•甘肃兰州•期中）已知下列各数，按要求完成各题： ． (1)负数集合：{ …}； (2)用“＜”把它们连接起来是 ； (3)把已知各数表示在数轴上． （2）解：依题意， ， 题型十三 有理数的大小比较 【变式2】（25-26七年级上•甘肃兰州•期中）已知下列各数，按要求完成各题： ． (1)负数集合：{ …}； (2)用“＜”把它们连接起来是 ； (3)把已知各数表示在数轴上． （3）解：如图所示，即为所求． 题型十三 有理数的大小比较 【变式3】（25-26七年级上•辽宁铁岭•期中）已知：点在数轴上的位置如图所示，点表示的有理数是 ，点表示的有理数是2，两点表示的有理数是互为相反数，且到点的距离相等，请观察数轴并解答下列问题： (1)点表示的有理数是_________，点表示的有理数是_________； (2)两点之间的距离为_________，点表示的有理数的绝对值是_________； (3)将 ，0， ，2这四个数用“＜”连接的结果是：_________． （1）解：∵点表示的有理数是2， 两点表示的有理数是互为相反数， ∴点表示的有理数是 2 ∵两点到点的距离相等， ∴点表示的有理数是 0； 2 0 题型十三 有理数的大小比较 【变式3】（25-26七年级上•辽宁铁岭•期中）已知：点在数轴上的位置如图所示，点表示的有理数是 ，点表示的有理数是2，两点表示的有理数是互为相反数，且到点的距离相等，请观察数轴并解答下列问题： (1)点表示的有理数是_________，点表示的有理数是_________； (2)两点之间的距离为_________，点表示的有理数的绝对值是_________； (3)将 ，0， ，2这四个数用“＜”连接的结果是：_________． 2 0 （2）解：由（1）得点表示的有理数是 0， ∵点表示的有理数是 ， ∴两点之间的距离为 ， 点表示的有理数的绝对值是 ， 题型十三 有理数的大小比较 【变式3】（25-26七年级上•辽宁铁岭•期中）已知：点在数轴上的位置如图所示，点表示的有理数是 ，点表示的有理数是2，两点表示的有理数是互为相反数，且到点的距离相等，请观察数轴并解答下列问题： (1)点表示的有理数是_________，点表示的有理数是_________； (2)两点之间的距离为_________，点表示的有理数的绝对值是_________； (3)将 ，0， ，2这四个数用“＜”连接的结果是： ． 2 0 （3）解：依题意， 则 ． 题型十四 有理数的大小比较的实际应用 【典例1】（25-26七年级上•广东•期末）几种气体的液化温度（标准大气压）如下表： 其中液化温度最低的气体是（ ） A．氦气 B．氢气 C．氮气 D．氧气 气体 氦气（He） 氢气 （） 氮气（） 氧气（） 液化温度 268 253 195.8 183 解：∵ ∴ ， ∴液化温度最低的气体是氦气． A 【典例2】（25-26七年级上•安徽•期中）在一次体检过程中，七(3)班班长记录了该班 名学生的视力情况，若每名学生的视力以 为标准，大于 的记为正数，小于 的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 +0.1 +0.3 0 － 0.7 - 0.5 - 0.1 (1)这 6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于0.2 需要配戴眼镜，则6 名学生中有几人需要配戴眼镜？ 题型十四 有理数的大小比较的实际应用 （1）解：小璐的视力最差．理由如下， ∵ ∴－ 0.7 最小，∴小璐的视力最差． （2）解：∵ ∴6名学生中有3人需要配戴眼镜． 【变式1】（25-26七年级上•陕西商洛•期中）正式排球比赛所使用的排球质量是有严格规定的，裁判检查了 4个排球的质量（单位： g），超过规定质量的克数记为正数，不足规定质量的克数记为负数．检查结果如下，其中最接近标准质量的排球是（ ） A． B． C． D． 解：因为 ， 所以 ， 所以最接近标准质量的排球是C 选项球， C 题型十四 有理数的大小比较的实际应用 【变式2】（25-26六年级上•上海宝山•期中）某乳品公司生产盒装牛奶，根据质量要求，每盒牛奶的净含量可以有 0.002升的误差．现抽查6盒牛奶，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表所示，那么其中净含量最接近规定的盒装牛奶编号是 ． 1 2 3 4 5 6 解： 题型十四 有理数的大小比较的实际应用 ∵， ∴净含量最接近规定的盒装牛奶编号是6， 6 【变式3】已知零件的标准直径是 100mm，超过标准直径长度的数量(mm) 记作正数，不足标准直径长度的数量(mm) 记作负数，检验员某次抽查了5 件样品，检查结果如下表： 样品编号 1 2 3 4 5 偏差/mm +0.1 －0.15 +0.2 －0.05 +0.25 (1)指出哪件样品的直径大小最符合要求． (2)如果规定误差的绝对值在 以内的是正品，误差的绝对值在 之间的是次品，误差的绝对值超过 的是废品，那么这 5件样品分别属于哪类产品？ 题型十四 有理数的大小比较的实际应用 （1）解： ， ∵ ， ∴编号为4的样品的大小最符合要求； 【变式3】已知零件的标准直径是 100mm，超过标准直径长度的数量(mm) 记作正数，不足标准直径长度的数量(mm) 记作负数，检验员某次抽查了5 件样品，检查结果如下表： 样品编号 1 2 3 4 5 偏差/mm +0.1 －0.15 +0.2 －0.05 +0.25 (1)指出哪件样品的直径大小最符合要求． (2)如果规定误差的绝对值在 以内的是正品，误差的绝对值在 之间的是次品，误差的绝对值超过 的是废品，那么这 5件样品分别属于哪类产品？ 题型十四 有理数的大小比较的实际应用 （2）解：∵ ， ∴编号为1，2，4的样品是正品； ∵ ，∴编号为3的样品是次品； ∵ ，∴编号为5的样品是废品． 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期末基础通关练 1．（25-26七年级上·河北衡水·期中）如果（ 20）表示向上移动20，则下列和其是相反意义的量的是（ ） A． 20 B． 20 C． 20 D． 20 B 解：（ 20）箭头方向向上，对应的反义词应该是向下， 故排除A、C、D． 剩下B选项，（ 20）箭头方向向下，含有数字20， 故选项B符合题意． 期末基础通关练 2．（25-26七年级上·湖南怀化·期中）正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和-1 ，若正方形ABCD 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则连续翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点D 解：∵在翻转过程中，1对应的数是B，2对应的数是C，3对应的数是D， 4对应的数是A，5对应的数是B，6对应的数是C，7对应的数是D， 8对应的数是A，…， ∴每4次翻转为一个循环组依次循环， ∵ 2025÷4=506…1， ∴连续翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是点B． B 12．（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）雪峰蜜橘十月份开始采摘．图中每筐蜜橘以5千克为标准质量，超过标准质量的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录如下，则这4筐蜜橘中，质量最接近标准的是（ ） A． B． C． D． 期末重难突破练 解：∵ ∴质量最接近标准的是A选项； A 期末重难突破练 2．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）老师在黑板上板书“ a+b=0”这个等式，然后同学们在小组内相互分享自己的想法？下面是某小组四位同学A、B、C、D分享的内容，你认为最合理是（ ） A．我认为 0+0=0，所以 a=b=0 B．我认为 是a负数， b是正数，正负相消才有等于0的情况 C．我认为他们和为0，所以， ，即a ，b 在数轴原点两侧 D．我认为 a+b=0 ， a ，b为任何数时，他们都是相反数 解：A、 a+b=0 说明 a ，b互为相反数，但a ，b 不一定同时为0，则此项不合理，不符合题意； B、 a+b=0 说明a ，b 互为相反数，可以是a 为正数、b 为负数；或a 为负数、b 为正数；或a ，b 都等于0，则此项不合理，不符合题意； C、 a+b=0可得 a+b=0 ，所以 ，即在数轴上，表示a 的点到原点的距离与表示b 的点到原点的距离相等， 可能在数轴原点两侧，也可能都是数轴原点，则此项不合理，不符合题意； D、 a+b=0 说明 互为相反数，则此项合理，符合题意； D 期末重难突破练 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是 -14，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线 CB上A′处，且 ，则C点表示的数是 ． 解：∵点A、B表示的数分别是 -14，10 ∴AB=10-(-14)=24 由折叠可知AC= A′C 当点 A′在B的右侧时， ∴ ∴∴点C表示的数为10-6=4 当点 A′在B的左侧时， ∴∴点C表示的数为10-15=-5 4或-5 期末综合拓展练 1．（25-26七年级上·重庆·期中）下列各式中化简错误的是（    ） B． D． A． C． 解：A、 ，原式化简错误，符合题意； B、 ，原式化简正确，不符合题意； C、 ，原式化简正确，不符合题意； D、 ，原式化简正确，不符合题意； A 期末综合拓展练 2．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点A1 ，第2次从点 A1向右移动4个单位长度至点 A2 ，第3次从点A2 向左移动6个单位长度至点A3 ，…按照这种移动方式进行下去，如果点An 与原点的距离等于1008，那么n的值是 ． 解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点 A1 =0，第2次从点A1 向右移动4个单位长度至点A2 =4 ，第3次从点A2 向左移动6个单位长度至点A3 =-2 ，…， ∴第奇数次移动的点表示的数是 ， 第偶数次移动的点表示的数是 ， ∵点 An与原点的距离等于1008， ∴当n是奇数时，-1008= ，解得 n=1009， 当n是偶数时，1008= ，解得n=1006 ， 1009或1006． 期末综合拓展练 解：∵ 3.（25-26七年级上·湖北武汉·期中）（1）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示． ①填空：（填“ ＜”、“ ＞”或“＝ ”）a______0；b_____0； ②用“＜ ”将a，b ，-a，-b， 0连接起来：______________ ； （2）已知 ，若 x＜y，求x，y的值． ＞ ＜ -a -b ∴ ∴ ∵ x＜y 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $