专题01 有理数（期末复习讲义，知识必备+14大重难题型+过关验收）六年级数学下学期新教材人教版五四制

专题01 有理数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正负数的意义 能准确判断正负数在实际情境中的意义 基础必考点，常出现在选择题中 有理数的分类 能根据有理数的概念区分有理数的分类 高频易错点，在对数字进行分类时忽略不循环小数和π 数轴 可以在数轴上表示有理数，并且能够利用数轴表示两点距离，同时能够解决动点问题 期末必考点，各题型均有可能出现；用数轴表示有理数、数轴上两点之间的距离表示和数轴比较大小是常考点；而数轴的动点问题则是作为压轴题来进行考查 相反数 重点掌握相反数的概念和性质，互为相反数的两个数和为0； 期末常考点，一般会和其他知识点混合一起考查，难度不大； 绝对值 能根据绝对值的概念与性质求解 期末必考点，基础题型和中等难度题型均可能出现；同时也会和数轴一起作为压轴题进行考查； 倒数 掌握倒数的定义 期末常考点，经常出现在计算题的过程中 有理数的大小比较 能用不同的方法进行有理数的大小比较 基础必考点，一般在解答题中会有一道题与数轴一起考查有理数的大小比较 知识点01 正数与负数 概念：为了表示具有相反意义的量（如盈亏、升降、冷暖），我们引入了正数和负数。 法则： 0 既不是正数，也不是负数。 正数前的 “+” 号可省略。 示例：收入500元记作 +500元，支出200元记作 -200元。 易错点：认为 0 是正数，或者在具体情境中无法准确用正负数表示相反意义的量。 知识点02 具有相反意义的量 概念：具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量. 注意：当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示. 知识点03 有理数的概念与分类 概念：我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数. 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数，如π，，等. 4、循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数. 5、有理数的分类 注意：有理数的分类原则 1 标准要统一，必须按同一分类标准进行分类，如将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准就不统一； 2 分类不重合，所分的各类应互不包含，如有理数分为非负有理数、0和正有理数就违反了这一原则； 3 分类无遗漏，所分各类之“和”必须是原来的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0. 知识点04 数轴 概念：数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 注意：所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 知识点05 绝对值 概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作|a|，读作“a的绝对值”. 绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有|a|≥0. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 知识点06 相反数 概念：相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. 相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. 相反数的性质 任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 注意：（1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； （2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！ 知识点07 有理数的大小比较 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 题型一 正数和负数 解｜题｜技｜巧 记住大于0的是正数，小于0的是负数，0既不是正数也不是负数； 【典例1】（25-26七年级上·河南三门峡·期中）下列各组量中，具有相反意义的是（   ） A．向东走3米和向北走5米 B．气温上升3度和气温上升4度 C．胜1局和亏损2万元 D．收入500元和支出500元 【典例2】（25-26七年级上·浙江温州·期中）算筹是我国古代的记数工具之一，摆法有纵式和横式两种，如下表所示．古人在个位数上划上斜线以表示负数，如“”表示，则“”所表示的数是（   ）． A． B．37 C． D．372 【变式1】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）某大米包装袋上标注着“净含量：”，下列叙述正确的个数是（   ） （1）每袋大米的净含量最多是； （2）每袋大米的净含量最少是； （3）如果每袋大米的净含量超出，则超出部分不多于； （4）如果每袋大米的净含量不足，则不足部分不少于； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26七年级上·陕西安康·期中）在下列数：，，，，，，中，正数有 个． 【变式3】（25-26七年级上·广东深圳·期中）一种黄油手撕面包包装袋上有这样的标记：，妈妈买回6袋面包依次进行称重，和标准质量比较分别记录为：．这6袋面包中有几袋是合格的． 题型二 有理数的概念与分类 解｜题｜技｜巧 有理数的分类里记住三种类型： 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数， 【典例1】（25-26七年级上·湖南怀化·期中）下列说法，正确的个数是（    ） ① 0既不是正数，也不是负数； ② 是正有理数； ③可以写成分数的数就是有理数； ④不是自然数，也不是有理数． A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）把下列各数的序号填入它所属的集合内： ，，，，，，，，（两个之间依次多一个） 整数集合：； 分数集合：； 有理数集合：． 【变式1】（25-26七年级上·广东湛江·期中）在中，正有理数的个数为 ，其中正整数的个数为 ；负有理数的个数为 ． 【变式2】（25-26七年级上·江西上饶·期中）把下列各数填在相应的大括号里（只填序号） ①；②0；③；④（两个1之间的6的个数依次增加1）；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩0.618 (1)非正整数集合{     }． (2)分数集合{     }． (3)正有理数集合{      }． 【变式3】把下列各数填在相应的集合中：，，，，，，，，0，，， 正数集合{                                  } 负分数集合{                                  } 非负整数集合{                                  } 有理数集合{                                  } 题型三 数轴的三要素及其画法 解｜题｜技｜巧 数轴三要素：原点、单位长度、正方向。 【典例1】（24-25七年级上·河南信阳·期中）已知有理数：，0，4，，2.5． (1)画出数轴，在数轴上表示出这几个数，并用“”连接起来； (2)这几个有理数中是正数的有____________________． 【典例2】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）（1）过、两点画一条数轴，使点表示3，点表示； （2）在你所画的数轴上表示出，，，，并将这四个数用“＜”连接． ______＜______＜______＜______. 【变式1】下列关于数轴的说法正确的是（    ） A．规定直线上向左的方向为正方向 B．所有数轴上的单位长度一定相等 C．数轴上的原点两边的点可以表示同一个数 D．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 【变式2】（24-25七年级上·天津·期中）如图，下列表示的数轴正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24七年级上·甘肃天水·期中）画一条数轴，在数轴上表示下列各数：2，，0，，然后按大到小排列，并用“>”号连接以上的四个数． 题型四 利用数轴表示有理数的大小 解｜题｜技｜巧 利用数轴比较有理数的大小时，要注意在数轴右边的数字要大于左边的数字；注意数字所带的符号，正负号千万不能弄错了； 【典例1】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”连接： 【典例2】（25-26七年级上·广东肇庆·期中）如图，在每个刻度为个单位长度的数轴上，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是_____； (2)在数轴上表示下列各数：，，，，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． 【变式1】（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是4． (1)在数轴上标出原点O； (2)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，． 【变式2】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”号将这些数按从小到大的顺序连接起来： ，，，， 【变式3】（25-26七年级上·广西百色·期中）已知：A，B两点在数轴上的位置如图． (1)点A，B分别表示的数是______； (2)若点C，D也在该数轴上，点C表示，点D表示．请在数轴上标出点C和点D； (3)用“”把点A，B，C，D表示的数连接起来． 题型五 数轴上两点之间的距离 解｜题｜技｜巧 数轴上两点之间的距离，一般只用右边对应的数（符号也可）减去左边对应的数；若分不清两点谁在左在右，可以通过加绝对值进行分类讨论； 【典例1】（25-26七年级上·河南商丘·期中）将一把刻度尺按如图所示放在数轴上，刻度尺上的0和8分别对应着数轴上的和，则的值是（   ） A．4.4 B．4.3 C．4.2 D．4.1 【典例2】（25-26七年级上·黑龙江伊春·期中）已知数轴上点A表示的数为4，点B与点A的距离为4，则点B表示的数是（ ） A．0 B．8 C．0或8 D．无法确定 【变式1】（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图，小颖借助刻度尺画了一条数轴，原点和单位1分别与刻度尺的9.5和11对齐，则刻度尺上5对应数轴上的点表示的有理数为 . 【变式2】（25-26七年级上·全国·期中）（1）数轴上点表示的数是，点与点相距个单位长度，则点表示的数是 ； （2）一个点在数轴上移动，先向左移个单位长度，再向右移动个单位长度，终点表示的数是，则起点表示的数是 . 【变式3】（25-26七年级上·山西太原·期中）已知：点，，在数轴上的位置如图所示，请观察数轴并解答下列问题： (1)表示有理数的点是________，点表示的有理数是________；、两点间的距离是________个单位长度； (2)在数轴上用点，分别表示有理数，； (3)将0，，，这四个有理数用“”连接的结果是________． 题型六 数轴上点的平移 解｜题｜技｜巧 数轴上点的平移牢记：若向右平移，即点所对应的数字加上移动的距离，就等于平移后点所对应的数字；向左平移则减去即可； 【典例1】（25-26七年级上·云南昆明·期中）数轴上一点表示的数为，则点在数轴上移动个单位长度后表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【典例2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）在数轴上，点所表示的数为，现将点沿数轴做如下移动，第一次将点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律进行下去，第次移动到点，那么点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）点为数轴上的一点，动点从点出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点．若点表示的数是，则点表示的数是 ． 【变式2】点A为数轴上的一点，动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B．若点B到原点的距离为5个单位长度，则点A表示的数是 ． 【变式3】（25-26七年级上·福建·期中）已知有理数：，2.5，，4，0． (1)画出数轴，并在数轴上表示出上述有理数； (2)在数轴上表示与4的点之间（包括这两个点）有_______个点表示的数是整数，其中表示“非负整数”的数分别是_______； (3)在数轴上，从表示数的点A出发，沿着数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是_______． 题型七 数轴上整点覆盖问题 解｜题｜技｜巧 数轴上的整点覆盖问题，可以分两种情况，一种是起点是整点的，另一种是非整点起点的； 【典例1】（25-26七年级上·吉林·期中）如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有（   ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【典例2】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（　　） A．2023或2024 B．2022或2023 C．2024 D．2023 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）有一条个单位长的线段，把它放在刻度尺上，最多能覆盖个整数，最少能覆盖个整数，则 ． 【变式2】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为．有一辆玩具火车放置在数轴上，将玩具火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点与点重合；当点移动到点时，点与点重合．若将此玩具火车沿数轴左右水平移动，玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为 ． 【变式3】如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 题型八 数轴上的规律探究 【典例1】（25-26七年级上·湖南怀化·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则连续翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【典例2】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字 的点重合．（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的四等分点处分别标有0，1，2，3，先让圆上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2024的点与圆上表示哪个数的点重合？（ ） A．0 B．1 C． D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏镇江·期中）边长为个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字时停止运动，此时与数字重合的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在数轴上，点A表示的数是，点M从点A出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，……依次操作4053次后，此时M表示的数是（   ） A． B．2024 C．6077 D． 题型九 相反数 解｜题｜技｜巧 牢记相反数的性质，互为相反数的两个数和为0； 【典例1】（25-26七年级上·云南曲靖·期中）下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与0.3 【变式1】（25-26七年级上·陕西安康·期中）如图，在一个不完整的数轴上有A，B，C三个点，数轴的单位长度为1．若点A，C表示的数互为相反数，则图中点B表示的数是 ． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）若和互为相反数，那么 ． 【变式3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，点Q、P、R、S、T在数轴上（单位长度为1）． (1)如果点R表示原点，点P表示的数是______，点S表示的数是______，点T表示的数是______； (2)如果点R、T表示的数互为相反数，求点Q和点R到原点的距离的和． 题型十 绝对值非负性 解｜题｜技｜巧 绝对值的非负性要注意： （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 【典例1】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期中）若，则x的取值范围是：（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26七年级上·浙江·期中）如果为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（   ） A．2025 B．2026 C．2024 D．2023 【变式1】（25-26七年级上·天津东丽·期中）如果，那么的值为 ． 【变式2】（25-26七年级上·山东临沂·期中）下列说法：①若不是正数，则a为非负数；②若，则；③；④若，则x为正数．其中正确的结论有 (填序号) 【变式3】（25-26七年级上·河南周口·期中）数轴上点A、点B对应的有理数a，b，且． (1)有理数____，____，在数轴上标出A、B对应的点； (2)在（1）问的条件下，数轴上有两点M、N，对应的数分别是m、n，其中M到A、B的距离相等，N到A的距离等于N到B的距离的2倍，求． 题型十一 绝对值的几何意义 解｜题｜技｜巧 绝对值的几何意义，主要是考查绝对值与数轴结合的题型，难度较大，主要在于理解绝对值的几何意义，在基本概念的基础上进行拓展： 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 【典例1】（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）若有理数，，满足，，则的值为（ ） A．4 B．5 C．4或6 D．4或5 【典例2】（25-26七年级上·河北保定·期中）数轴上的定点表示的数分别是，且满足． (1)___________，___________；，间的距离为___________； (2)数轴上一点距点7个单位长度，其表示的数满足． ①求点之间的距离； ②当数轴上的点到点的距离是点到点的距离的2倍时，求点表示的数； ③沿数轴移动点，要使得，，其中一点到另外两点的距离相等，直接写出点所有的移动方法（写出方向和距离）． 【变式1】（25-26七年级上·天津·期中）在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多．例如，在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决． (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． (2)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． 【变式2】（25-26七年级上·江西·期中）点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离， 例如：数轴上表示与的两点间的距离； 而，所以表示与两点间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离； (2)若数轴上表示点的数满足，求的值． 【变式3】（25-26七年级上·吉林·期中）阅读下列材料，完成后面的任务． 点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为． 如图，从数轴上看，若点A，B表示的数分别是1，4 则或． 【归纳】若点A，B表示的数分别是， 则或． 任务： (1)若点表示的数，点B表示的数为，=______． (2)若点表示的数，，则点表示的数为______． (3)试用数轴探究，当时，的值为______． 题型十二 绝对值的其他应用 【典例1】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）质检员抽查某零件的质量，超过规定尺寸的记为正数，不足规定尺寸的记为负数，结果第一个，第二个，第三个，第四个，则抽查的这四个零件中，质量最好的零件是（   ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【典例2】（23-24七年级上·江苏徐州·期中）出租车司机小飞某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午的行程是（单位：千米）： ． (1)将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ (2)若汽车耗油量为升/千米，出车时，邮箱有油升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 【变式1】（23-24七年级上·广西玉林·期中）出租车司机某天在五一路（近似地看成一条直线）上行驶，如果规定向东为“正”，向西为“负”，他这天上午的行程可以表示为：，（单位：千米）． (1)司机将最后一名乘客送达目的地后需要返回出发地换班，请问司机该如何行驶才能回到出发地？ (2)若汽车耗油量为升/千米，发车前油箱有升汽油，若司机将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问司机今天上午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）一年一度的“双十一”全球购物节完美收官，来自全国各地的包裹陆续发到本地快递公司．一快递小哥骑三轮摩托车从公司出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表(我们约定向东为正，向西为负，单位：千米) 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司的哪个方向上？距离公司多少千米？ (2)在第 次记录时快递小哥距公司地最远； (3)如果每千米耗油升，每升汽油需元，那么快递小哥投递完所有包裹需要花汽油费多少元？ 【变式3】（23-24七年级上·吉林长春·期中）我国海军编号为401汉级核潜艇，在某军事演习中，在海下时而上升，时而下降．核潜艇的初始位置在海平面下米，下面是核潜艇在某段时间内运动情况把上升记为“”，下降记为“”，单位：米：，，，，，，． (1)海平面记为米，核潜艇初始位置在海平面下米，可记为 米． (2)最终核潜艇处在海平面哪个位置？距离海平面多少米？ (3)假如核潜艇每上升或下降米核动力装置所提供的能量相当于升汽油燃烧所产生的能量，那么从初始位置开始，在这一过程中核动力装置所提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？ 题型十三 有理数的大小比较 解｜题｜技｜巧 先画出数轴，记住正数大于0，负数小于0；然后看数轴上点的位置，右边的点所代表的数大于左边的点代表的数； 【典例1】（25-26七年级上·河北唐山·期中）在图所示的数轴上表示下列各数，并用“”把它们连接起来． ． 【典例2】（25-26七年级上·青海西宁·期中）比较大小． (1)和 (2)和 【变式1】（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）在下面的数轴上分别标出表示下列各数的点，并把这些数用“>”连接起来： 【变式2】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）已知下列各数，按要求完成各题： ． (1)负数集合：{___________…}； (2)用“＜”把它们连接起来是___________； (3)把已知各数表示在数轴上． 【变式3】（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）已知：点在数轴上的位置如图所示，点表示的有理数是，点表示的有理数是2，两点表示的有理数是互为相反数，且到点的距离相等，请观察数轴并解答下列问题： (1)点表示的有理数是_________，点表示的有理数是_________； (2)两点之间的距离为_________，点表示的有理数的绝对值是_________； (3)将，0，，2这四个数用“”连接的结果是：_________． 题型十四 有理数的大小比较的实际应用 【典例1】（25-26七年级上·广东·期末）几种气体的液化温度（标准大气压）如下表： 气体 氦气 氢气 氮气 氧气 液化温度 其中液化温度最低的气体是（） A．氦气 B．氢气 C．氮气 D．氧气 【典例2】（25-26七年级上·安徽·期中）在一次体检过程中，七(3)班班长记录了该班名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 (1)这名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【变式1】（25-26七年级上·陕西商洛·期中）正式排球比赛所使用的排球质量是有严格规定的，裁判检查了个排球的质量（单位：），超过规定质量的克数记为正数，不足规定质量的克数记为负数．检查结果如下，其中最接近标准质量的排球是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26六年级上·上海宝山·期中）某乳品公司生产盒装牛奶，根据质量要求，每盒牛奶的净含量可以有升的误差．现抽查6盒牛奶，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表所示，那么其中净含量最接近规定的盒装牛奶编号是 ． 1 2 3 4 5 6 【变式3】已知零件的标准直径是，超过标准直径长度的数量记作正数，不足标准直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了件样品，检查结果如下表： 样品编号 偏差 (1)指出哪件样品的直径大小最符合要求． (2)如果规定误差的绝对值在以内的是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么这件样品分别属于哪类产品？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·河北衡水·期中）如果（20）表示向上移动20，则下列和其是相反意义的量的是（   ） A．20 B．20 C．20 D．20 2．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）在数，，，，，，，中，非负数的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（25-26七年级上·福建泉州·期中）下列说法正确的是（   ） A．0是绝对值最小的有理数 B．相反数大于本身的数是非负数 C．数轴上原点两侧的数互为相反数 D．两个数比较，绝对值大的反而小 4．（25-26七年级上·湖南怀化·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则连续翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 5．（25-26七年级上·四川成都·期中）比较大小： ； （选填“>”、“=”或“<”）． 6．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）已知数轴上点表示的数为，将点向右移动6个单位长度得到点，，两点间的距离为2，则点在数轴上表示的数为 ． 7．（25-26七年级上·甘肃张掖·期中）算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，如下表所示．古人在个位数上划上斜线以表示负数，如“”表示-723，则“”所表示的数是 ． 8．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数轴上点A表示的数是，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么t秒后，点A表示的数是 （用含有t的代数式表示）． 9．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）把下列各数填入相应的集合内 2，，，2024，，，0，，，． 负整数集合：{                      …} 正数集合：{                      …} 整数集合：{                      …} 非正数集合：{                      …} 非负整数集合：{                      …} 10．（25-26七年级上·河北衡水·期中）现有一组数据：，，3.5，0，2，． (1)在下面的数轴上表示这6个数； (2)把这6个数按从大到小的顺序排列，用“”号连接起来； (3)把这6个数分别填入它们属于的集合内： 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（25-26七年级上·浙江金华·期中）比较下列各组数的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）雪峰蜜橘十月份开始采摘．图中每筐蜜橘以5千克为标准质量，超过标准质量的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录如下，则这4筐蜜橘中，质量最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字 的点重合．（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）老师在黑板上板书“”这个等式，然后同学们在小组内相互分享自己的想法？下面是某小组四位同学A、B、C、D分享的内容，你认为最合理是（    ） A．我认为，所以 B．我认为是负数，是正数，正负相消才有等于0的情况 C．我认为他们和为0，所以，，即，在数轴原点两侧 D．我认为，，为任何数时，他们都是相反数 15．（25-26七年级上·湖北·期中）比较大小： ； ； ． 16．（25-26七年级上·广东广州·期中）数轴上的点A表示，点B在点A的左侧且到点A的距离为2，则点B表示的数为 ． 17．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）已知数轴上，两点表示的数互为相反数，且点与点之间的距离为4个单位长度．若点在点的左侧，则点表示的数是 ． 18．（24-25七年级上·全国·期末）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上处，且，则C点表示的数是 ． 19．（25-26七年级上·新疆哈密·期中）如图，数轴上每两个刻度之间的距离为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点． (2)并指出点所表示的数是______． (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为3个单位长度，那么点表示的数为_____． 20．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，数轴上有，两点． (1)，两点表示的数分别是_____，_____； (2)若点表示，请你把点表示在如图所示的数轴上； (3)若点与点表示的两个数互为相反数，则点表示的数是_____； (4)将，，，四个点所表示的数用“>”连接起来； 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（25-26七年级上·重庆·期中）下列各式中化简错误的是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 23．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若，当a取最大值时，b值是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 24．（24-25七年级上·河北唐山·期末）在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 25．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）点在数轴的负半轴上，距离原点3个单位长度，将点沿数轴向右移动5个单位长度到点，若点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 26．（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，且，则点表示的数是 ． 27．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点和点对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点对应的数是1；翻转2次后，点对应的数是3……；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2025所对应的点是 ． 28．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1008，那么n的值是 ． 29．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）（1）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示． ①填空：（填“”、“”或“”）a__________0；b__________0； ②用“”将a，b，，0连接起来：______________； （2）已知，若，求x，y的值． 30．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）我们知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示2和5的两点的距离是_________，数轴上表示和的两点之间的距离是_________，数轴上表示15和的两点之间的距离是_________． (2)数轴上表示和的两点A，B之间的距离是_________，如果，那么是_________． (3)若式子，则_________． (4)式子的最小值是_________． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正负数的意义 能准确判断正负数在实际情境中的意义 基础必考点，常出现在选择题中 有理数的分类 能根据有理数的概念区分有理数的分类 高频易错点，在对数字进行分类时忽略不循环小数和π 数轴 可以在数轴上表示有理数，并且能够利用数轴表示两点距离，同时能够解决动点问题 期末必考点，各题型均有可能出现；用数轴表示有理数、数轴上两点之间的距离表示和数轴比较大小是常考点；而数轴的动点问题则是作为压轴题来进行考查 相反数 重点掌握相反数的概念和性质，互为相反数的两个数和为0； 期末常考点，一般会和其他知识点混合一起考查，难度不大； 绝对值 能根据绝对值的概念与性质求解 期末必考点，基础题型和中等难度题型均可能出现；同时也会和数轴一起作为压轴题进行考查； 倒数 掌握倒数的定义 期末常考点，经常出现在计算题的过程中 有理数的大小比较 能用不同的方法进行有理数的大小比较 基础必考点，一般在解答题中会有一道题与数轴一起考查有理数的大小比较 知识点01 正数与负数 概念：为了表示具有相反意义的量（如盈亏、升降、冷暖），我们引入了正数和负数。 法则： 0 既不是正数，也不是负数。 正数前的 “+” 号可省略。 示例：收入500元记作 +500元，支出200元记作 -200元。 易错点：认为 0 是正数，或者在具体情境中无法准确用正负数表示相反意义的量。 知识点02 具有相反意义的量 概念：具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量. 注意：当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示. 知识点03 有理数的概念与分类 概念：我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数. 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数，如π，，等. 4、循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数. 5、有理数的分类 注意：有理数的分类原则 1 标准要统一，必须按同一分类标准进行分类，如将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准就不统一； 2 分类不重合，所分的各类应互不包含，如有理数分为非负有理数、0和正有理数就违反了这一原则； 3 分类无遗漏，所分各类之“和”必须是原来的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0. 知识点04 数轴 概念：数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 注意：所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 知识点05 绝对值 概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作|a|，读作“a的绝对值”. 绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有|a|≥0. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 知识点06 相反数 概念：相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. 相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. 相反数的性质 任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 注意：（1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； （2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！ 知识点07 有理数的大小比较 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 题型一 正数和负数 解｜题｜技｜巧 记住大于0的是正数，小于0的是负数，0既不是正数也不是负数； 【典例1】（25-26七年级上·河南三门峡·期中）下列各组量中，具有相反意义的是（   ） A．向东走3米和向北走5米 B．气温上升3度和气温上升4度 C．胜1局和亏损2万元 D．收入500元和支出500元 【答案】D 【分析】本题考查相反意义的量，具有相反意义的量是指方向相反、性质相反的量，且通常涉及同一类的量．根据正负数的意义作答即可． 【详解】解：A、向东走和向北走都是方向，但方向不相反，故该选项不符合题意； B、气温上升3度和上升4度，方向相同，不具有相反意义，故该选项不符合题意； C、胜1局和亏损2万元，不是同一类的量的相反意义，故该选项不符合题意； D、收入500元和支出500元，是财务上的相反操作，具有相反意义，故该选项符合题意； 故选：D． 【典例2】（25-26七年级上·浙江温州·期中）算筹是我国古代的记数工具之一，摆法有纵式和横式两种，如下表所示．古人在个位数上划上斜线以表示负数，如“”表示，则“”所表示的数是（   ）． A． B．37 C． D．372 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的概念．熟练掌握正负数的概念是解题的关键． 明确正负数是表示相反意义的量，以0为分界点区分正负属性． 对照表格，根据中古人的记数规则，写出题目中所表示的数即可． 【详解】 解：对照表格，“” 所表示的数是． 故选C． 【变式1】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）某大米包装袋上标注着“净含量：”，下列叙述正确的个数是（   ） （1）每袋大米的净含量最多是； （2）每袋大米的净含量最少是； （3）如果每袋大米的净含量超出，则超出部分不多于； （4）如果每袋大米的净含量不足，则不足部分不少于； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了对正负数在实际生活中表示范围的理解，熟练掌握“”表示的范围是解题的关键．先理解“净含量：”的含义，即净含量在到之间，再逐一分析每个叙述是否符合该范围． 【详解】解：∵标注“”表示净含量范围是 ∴最大净含量为，最小净含量为 （）每袋大米净含量最多是，正确； （）每袋大米净含量最少是，正确； （）若净含量超出，则超出部分实际重量，正确； （）若净含量不足，则不足部分实际重量，但可能小于（如实际重量为时，不足部分为），故错误． ∴正确叙述有（）、（）、（），共个． 故选： 【变式2】（25-26七年级上·陕西安康·期中）在下列数：，，，，，，中，正数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了正负数定义，利用正负数的定义进行解答即可，解题的关键是正确理解既不是正数也不是负数．是正负数的分界点，正数是大于的数，负数是小于的数． 【详解】解：，是正数； ，是正数； ，不是正数； ，不是正数； ，是正数； 既不是正数也不是负数； ，不是正数。 因此正数有个， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·广东深圳·期中）一种黄油手撕面包包装袋上有这样的标记：，妈妈买回6袋面包依次进行称重，和标准质量比较分别记录为：．这6袋面包中有几袋是合格的． 【答案】这6袋面包中有4袋是合格的 【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟练掌握相反意义的量，有理数大小比较，是解题的关键．根据的意思是质量都是有浮动的，不都正好是．所以它的质量允许有的上下浮动，只要不超范围都是合格的． 【详解】解：指面包质量比多或少都是合格的． 其中指的是比标准质量多，是合格的； 指比标准质量少，是不合格的； 指正好等于标准质量，是合格的； 指比标准质量少，是合格的； 指比标准质量多，是合格的； 指比标准质量多，是不合格的． ∴这6袋面包中有4袋是合格的． 题型二 有理数的概念与分类 解｜题｜技｜巧 有理数的分类里记住三种类型： 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数， 【典例1】（25-26七年级上·湖南怀化·期中）下列说法，正确的个数是（    ） ① 0既不是正数，也不是负数； ② 是正有理数； ③可以写成分数的数就是有理数； ④不是自然数，也不是有理数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查有理数的分类，解题的关键是掌握有理数的相关定义及分类． 根据有理数的定义和性质逐项判断． 【详解】解： ①0既不是正数也不是负数，正确； ②是循环小数，可化为分数，是正有理数，正确； ③有理数的定义是能写成分数形式的数，正确； ④是有限小数，是有理数，错误； 正确的有①②③，共3个， 故选：C． 【典例2】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）把下列各数的序号填入它所属的集合内： ，，，，，，，，（两个之间依次多一个） 整数集合：； 分数集合：； 有理数集合：． 【答案】 整数集合：； 分数集合：； 有理数集合：． 【分析】本题考查有理数的分类． 根据有理数的分类进行解答即可． 【详解】解：整数集合：； 分数集合：； 有理数集合：． 【变式1】（25-26七年级上·广东湛江·期中）在中，正有理数的个数为 ，其中正整数的个数为 ；负有理数的个数为 ． 【答案】 5 2 4 【分析】本题考查了正有理数、正整数、负有理数的概念辨析，解题的关键是准确把握各类数的定义，结合百分数、小数、分数的特征逐一筛选判断． 先明确正有理数是大于0的整数和分数（含有限小数、无限循环小数、百分数），正整数是大于0的整数，负有理数是小于0的整数和分数（含对应小数、百分数）；再对所给数字逐一归类，分别统计各类数的个数． 【详解】解：先明确各类数的定义，再逐一分析给定数字： 给定数字：、、、、、、、、； 正有理数（大于0的有理数）：、、、、，共5个； 正整数（大于0的整数）：、，共2个； 负有理数（小于0的有理数）：、、、，共4个． 故答案为：5；2；4． 【变式2】（25-26七年级上·江西上饶·期中）把下列各数填在相应的大括号里（只填序号） ①；②0；③；④（两个1之间的6的个数依次增加1）；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩0.618 (1)非正整数集合{     }． (2)分数集合{     }． (3)正有理数集合{      }． 【答案】(1)②⑦⑧ (2)③⑤⑨⑩ (3)①⑤⑨⑩ 【分析】本题考查了数的分类（非正整数、分数、正有理数），解题的关键是明确各类数的定义，准确判断每个数的类型． ①根据非正整数的定义（包括0和负整数）筛选数； ②根据分数的定义（包括有限小数、无限循环小数、百分数）筛选数； ③根据正有理数的定义（正的整数、分数）筛选数． 【详解】（1）解：非正整数是指0和负整数 ②0是整数且是非正数，⑦是负整数，⑧是负整数 所以非正整数集合：②⑦⑧， 故答案为：②⑦⑧； （2）解：分数包括有限小数、无限循环小数、百分数 ③是有限小数，⑤是百分数，⑨是分数，⑩0.618是有限小数 所以分数集合：③⑤⑨⑩， 故答案为：③⑤⑨⑩； （3）解：正有理数是正的整数或分数 ①是正整数，⑤是正分数，⑨是正分数，⑩0.618是正分数 所以正有理数集合：①⑤⑨⑩， 故答案为：①⑤⑨⑩． 【变式3】把下列各数填在相应的集合中：，，，，，，，，0，，， 正数集合{                                  } 负分数集合{                                  } 非负整数集合{                                  } 有理数集合{                                  } 【答案】见解析 【分析】此题考查有理数的分类，注意解题技巧，熟知各类数的特点及定义是正确解答此题的关键． 正整数、负整数在对应的正数、负数里面找，注意不是有理数，根据正数、负分数、有理数的意义直接把数据分类，然后即可求解． 【详解】解：正数集合； 负分数集合； 非负整数集合； 有理数集合； 题型三 数轴的三要素及其画法 解｜题｜技｜巧 数轴三要素：原点、单位长度、正方向。 【典例1】（24-25七年级上·河南信阳·期中）已知有理数：，0，4，，2.5． (1)画出数轴，在数轴上表示出这几个数，并用“”连接起来； (2)这几个有理数中是正数的有____________________． 【答案】(1)图见解析， (2)4，2.5 【分析】本题考查在数轴上表示有理数、有理数的大小比较，数轴上正确表示有理数是解答的关键． （1）先在数轴上表示这些数，再根据数轴上，右边的数总比左边的数大得到大小关系即可； （2）根据正数大于零求解即可． 【详解】（1）解：在数轴上表示出这几个数，如图： 由图知：； （2）解：由图知，这几个有理数中是正数的有：4，2.5． 故答案为：4，2.5． 【典例2】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）（1）过、两点画一条数轴，使点表示3，点表示； （2）在你所画的数轴上表示出，，，，并将这四个数用“＜”连接． ______＜______＜______＜______. 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【分析】本题主要考查了画数轴，比较有理数的大小， 对于（1），根据点A，B表示的数确定原点，即可画出数轴； 对于（2），先描出各点，再根据右边的数大于左边的数比较大小即可. 【详解】解：（1）如图所示， ； （2）如图所示， . 故答案为：. 【变式1】下列关于数轴的说法正确的是（    ） A．规定直线上向左的方向为正方向 B．所有数轴上的单位长度一定相等 C．数轴上的原点两边的点可以表示同一个数 D．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 【答案】D 【分析】本题考查数轴，明确数轴的概念和三要素是关键．根据数轴的概念和三要素逐一分析即可． 【详解】解：A、规定直线上向右为正方向，故本选项错误，不符合题意； B、同一数轴上的单位长度一定相等，故本选项错误，不符合题意； C、数轴上的原点两边的点不可以表示同一个数，故本选项错误，不符合题意； D、数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线，故本选项正确，符合题意， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·天津·期中）如图，下列表示的数轴正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴的定义．根据数轴的三要素即可得出答案． 【详解】解：A选项单位长度不一致，本选项不符合题意； B选项符合数轴的定义，本选项符合题意； C选项没有正方向，本选项不符合题意； D选项负数不是从小到大排列，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式3】（23-24七年级上·甘肃天水·期中）画一条数轴，在数轴上表示下列各数：2，，0，，然后按大到小排列，并用“>”号连接以上的四个数． 【答案】，数轴见解析 【分析】画出数轴，将这4个数标在数轴上，然后根据数轴上的数从左往右依次增大的性质比较大小． 【详解】解：数轴如图所示： 按大到小排列为：． 【点睛】本题考查利用数轴比较有理数的大小，画数轴的时候需要注意体现数轴的三要素：单位长度，原点和正方向． 题型四 利用数轴表示有理数的大小 解｜题｜技｜巧 利用数轴比较有理数的大小时，要注意在数轴右边的数字要大于左边的数字；注意数字所带的符号，正负号千万不能弄错了； 【典例1】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”连接： 【答案】作表示各数见解析， 【分析】本题主要考查了有理数的化简、数轴表示及有理数的大小比较，熟练掌握数轴上数的位置与数的大小关系是解题的关键．先化简各数，再在数轴上表示，最后根据数轴上数的位置比较大小． 【详解】解：，， 把表示在数轴上如图所示， 由图可得． 【典例2】（25-26七年级上·广东肇庆·期中）如图，在每个刻度为个单位长度的数轴上，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是_____； (2)在数轴上表示下列各数：，，，，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． 【答案】(1) (2)在数轴上表示见解析， 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离计算，有理数与数轴，化简多重符号和求一个数的绝对值： （1）根据题意可得点与原点的距离为，那么从点的位置向右数格即为原点位置，据此画出原点，再求出点表示的数即可； （2）先计算绝对值，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】（1）解：如图，在数轴上标出原点，点所表示的数是， 故答案为：； （2）， 在数轴上表示各数如下： ． 【变式1】（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是4． (1)在数轴上标出原点O； (2)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，． 【答案】(1)见解析 (2)数轴见解析， 【分析】本题考查的是用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． （1）根据点A表示的数是，点B表示的数是4找出原点即可； （2）把各数在数轴上表示出来，从左到右用“”连接起来即可． 【详解】（1）解：因为点A表示的数是， 所以原点O在点A右边3个单位长度， 所以原点如图所示： ； （2）解：， 各点在数轴上表示为： ， 故． 【变式2】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”号将这些数按从小到大的顺序连接起来： ，，，， 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，相反数，有理数的乘方，绝对值，熟练掌握这些知识点是解题的关键；先化简，再根据数的特点表示在数轴上，最后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果． 【详解】解：，， 把各数表示在数轴上如下： ， 故． 【变式3】（25-26七年级上·广西百色·期中）已知：A，B两点在数轴上的位置如图． (1)点A，B分别表示的数是______； (2)若点C，D也在该数轴上，点C表示，点D表示．请在数轴上标出点C和点D； (3)用“”把点A，B，C，D表示的数连接起来． 【答案】(1)；3 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查数轴上表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，掌握数形结合是关键， （1）根据数轴上的表示即可得到答案； （2）将点C，D在数轴上表示即可得到答案； （3）根据数轴上的点从左到右依次用“”连接即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可得：点A表示的数是，点B分别表示的数是3． （2）解：如图所示： （3）解：由（2）得：． 题型五 数轴上两点之间的距离 解｜题｜技｜巧 数轴上两点之间的距离，一般只用右边对应的数（符号也可）减去左边对应的数；若分不清两点谁在左在右，可以通过加绝对值进行分类讨论； 【典例1】（25-26七年级上·河南商丘·期中）将一把刻度尺按如图所示放在数轴上，刻度尺上的0和8分别对应着数轴上的和，则的值是（   ） A．4.4 B．4.3 C．4.2 D．4.1 【答案】A 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．熟练掌握在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离是解题的关键．由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：A． 【典例2】（25-26七年级上·黑龙江伊春·期中）已知数轴上点A表示的数为4，点B与点A的距离为4，则点B表示的数是（ ） A．0 B．8 C．0或8 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查数轴与有理数，根据两点间的距离公式，分两种情况讨论进行求解即可． 【详解】解：由题意，点B表示的数是或； 故选：C． 【变式1】（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图，小颖借助刻度尺画了一条数轴，原点和单位1分别与刻度尺的9.5和11对齐，则刻度尺上5对应数轴上的点表示的有理数为 . 【答案】 【分析】本题考查了数轴，由图可得刻度尺上的对应数轴1个单位长度，根据点A在原点O的左侧个单位长度处，即可得点A对应的有理数． 【详解】解：观察数轴图可得，O为原点，原点和单位1距离， 则刻度尺上的对应数轴1个单位长度， ∵点A与点O距离， ∴点A在原点O的左侧个单位长度处， ∴数轴上点A对应的有理数为． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期中）（1）数轴上点表示的数是，点与点相距个单位长度，则点表示的数是 ； （2）一个点在数轴上移动，先向左移个单位长度，再向右移动个单位长度，终点表示的数是，则起点表示的数是 . 【答案】 或 【分析】本题考查数轴上两点之间距离、数轴上点的平移等知识，熟记数轴相关性质与结论是解决问题的关键． （1）数轴上点与点之间的距离具有对称性，点可能在点的左侧或右侧，分情况求解即可得到答案； （2）通过移动的逆过程，从终点反向移动即可求出起点． 【详解】解：（1）点表示的数是，点与点相距个单位长度，则 点在点的右侧时，点表示的数为； 点在点的左侧时，点表示的数为； 综上所述，点表示的数为或， 故答案为：或； （2）设起点表示的数为， 先向左移动5个单位长度，得到； 再向右移动3个单位长度，得到； 终点表示的数为， ， 解得， 则起点表示的数为， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·山西太原·期中）已知：点，，在数轴上的位置如图所示，请观察数轴并解答下列问题： (1)表示有理数的点是________，点表示的有理数是________；、两点间的距离是________个单位长度； (2)在数轴上用点，分别表示有理数，； (3)将0，，，这四个有理数用“”连接的结果是________． 【答案】(1)，，7 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，利用数轴比较有理数大小，熟知数轴与有理数的相关知识是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置求解即可； （2）根据数轴上表示有理数的方法求解即可； （3）根据数轴上左边的数小于右边的数进行求解即可． 【详解】（1）解：表示有理数的点是； 点表示的有理数是； 、两点间的距离是7个单位长度． 故答案为：，，7． （2）解：如图． （3）解：由数轴可知，从小到大排列为：． 故答案为：． 题型六 数轴上点的平移 解｜题｜技｜巧 数轴上点的平移牢记：若向右平移，即点所对应的数字加上移动的距离，就等于平移后点所对应的数字；向左平移则减去即可； 【典例1】（25-26七年级上·云南昆明·期中）数轴上一点表示的数为，则点在数轴上移动个单位长度后表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的移动，点在数轴上移动5个单位长度，方向不确定，需分向右和向左两种情况计算． 【详解】解：点向右移动5个单位：， 点向左移动5个单位：， 则点表示的数是：或， 故选：C． 【典例2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）在数轴上，点所表示的数为，现将点沿数轴做如下移动，第一次将点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律进行下去，第次移动到点，那么点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了数轴上的动点问题．序号为奇数的点在点的左边，各点所表示的数依次减少1，序号为偶数的点在点的右侧，各点所表示的数依次增加1，即可解答． 【详解】解：第一次点向左移动1个单位长度至点，则表示的数，； 第 2 次从点向右移动2个单位长度至点，则表示的数为； 第 3 次从点向左移动3个单位长度至点，则表示的数为； 第4次从点向右移动4个单位长度至点，则表示的数为； 第 5 次从点向左移动5个单位长度至点，则表示的数为； ．．．； 故每移动两次向右移动1个单位长度，序号为奇数的点在点的左边，各点所表示的数依次减少1，序号为偶数的点在点的右侧，各点所表示的数依次增加1， ， 则点所表示的数为：， 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）点为数轴上的一点，动点从点出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点．若点表示的数是，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的动点问题．根据数轴上的点的移动规则“左移减，右移加”进行求解即可． 【详解】解：∵动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B，点表示的数是， ∴点表示的数为； 故答案为：． 【变式2】点A为数轴上的一点，动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B．若点B到原点的距离为5个单位长度，则点A表示的数是 ． 【答案】3或 【分析】本题考查数轴上的动点问题．根据数轴上的点的移动规则，左移减，右移加，分在原点的左侧和右侧两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点B与原点的距离是5个单位长度， ∴点表示的数为或， ∵动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B， ∴点表示的数为或； 故答案为：3或． 【变式3】（25-26七年级上·福建·期中）已知有理数：，2.5，，4，0． (1)画出数轴，并在数轴上表示出上述有理数； (2)在数轴上表示与4的点之间（包括这两个点）有_______个点表示的数是整数，其中表示“非负整数”的数分别是_______； (3)在数轴上，从表示数的点A出发，沿着数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是_______． 【答案】(1)见解析 (2)7；0,1,2,3,4 (3)2或 【分析】本题主要考查了画数轴，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离， 对于（1），根据规定了原点，正方向，单位长度的直线画出数轴，并在数轴上描出各点； 对于（2），在数轴上确定整数点，并根据“非负整数”是正整数或0解答； 对于（3），分两种情况解答． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：在与4之间的整数点有，共有7个点；其中“非负整数”有0,1,2,3,4； 故答案为：7；0,1,2,3,4； （3）解：从表示的点，沿数轴向右移动4个单位长度到达点B，这个数是； 从表示的点，沿数轴向左移动4个单位长度到达点B，这个数是， 所以这个数是2或． 故答案为：2或． 题型七 数轴上整点覆盖问题 解｜题｜技｜巧 数轴上的整点覆盖问题，可以分两种情况，一种是起点是整点的，另一种是非整点起点的； 【典例1】（25-26七年级上·吉林·期中）如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有（   ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴与有理数，根据数轴和有理数的分类可知被墨迹盖住的整数有：，，，，0，1，2，进而可得出答案． 【详解】解：根据数轴可知，被墨迹盖住的整数有：，，，，0，1，2， 一共有7个， 故选C 【典例2】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（　　） A．2023或2024 B．2022或2023 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上线段与整点的数量关系，解题的关键是分线段端点是否落在整点上两种情况讨论，避免遗漏其中一种可能性． 当线段的两个端点均在整点上时，盖住的整点个数等于线段长度加1；当线段的两个端点均不在整点上时，盖住的整点个数等于线段长度；结合线段长为，可得出盖住的整点个数为2023或2024． 【详解】解：分两种情况讨论线段与整点的位置关系： 情况一：若线段的两个端点均落在整点上． ∵数轴单位长度为，线段长， ∴盖住的整点个数为线段长度加，即； 情况二：若线段的两个端点均不落在整点上． ∵端点在两个整点之间，线段长度为， ∴盖住的整点个数等于线段长度，即2023． 综上，线段盖住的整点个数是2023或2024， 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）有一条个单位长的线段，把它放在刻度尺上，最多能覆盖个整数，最少能覆盖个整数，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了数轴．分不从整数开始覆盖和从整数开始覆盖两种情况讨论． 【详解】解：不从整数开始覆盖最少能覆盖4个表示整数的点，即， 从整数开始覆盖最多能覆盖5个表示整数的点，即． 所以． 故答案为：9． 【变式2】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为．有一辆玩具火车放置在数轴上，将玩具火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点与点重合；当点移动到点时，点与点重合．若将此玩具火车沿数轴左右水平移动，玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了数轴上的点表示数和整数的个数问题，熟练掌握数轴的特征是解题的关键．由题意可得到的长度是玩具火车的倍，则玩具火车长度为，要使玩具火车能更多的覆盖住整数，应使玩具火车的左端尽可能靠近整数点的左侧，玩具火车的右端尽可能靠近整数点的右侧，据此即可得到答案． 【详解】解：∵已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为． ∴, 由题意可知，的长度是玩具火车的倍， ∴玩具火车长度为， 要使玩具火车能更多的覆盖住整数，应使玩具火车的左端尽可能靠近整数点的左侧，玩具火车的右端尽可能靠近整数点的右侧，此时玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为， 故答案为： 【变式3】如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 【答案】9个，它们对应的数是 【分析】本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可． 【详解】解：根据数轴的特点，到之间的整数有、、、、共5个， 0到之间的整数有1、2、3、4共4个， 所以被墨迹盖住的整数有（个）． 它们对应的数是． 题型八 数轴上的规律探究 【典例1】（25-26七年级上·湖南怀化·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则连续翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，图形类变化规律，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键． 根据题意可知每4次翻转为一个循环组依次循环，然后根据…1进行判断． 【详解】解：∵在翻转过程中，1对应的数是B，2对应的数是C，3对应的数是D，4对应的数是A，5对应的数是B，6对应的数是C，7对应的数是D，8对应的数是A，…， ∴每4次翻转为一个循环组依次循环， ∵…1， ∴连续翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是点B． 故选：B． 【典例2】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字 的点重合．（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了图形类规律探究，发现循环规律，并正确计算循环后处于第几组的第几个数是解题的关键． 每4个数为一组，分别与3、2、1、0重合，计算，看余数是几，即可求解． 【详解】解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，分别与3、2、1、0重合， ∵， ∴数轴上表示的点与圆周上表示的数字0重合． 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的四等分点处分别标有0，1，2，3，先让圆上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2024的点与圆上表示哪个数的点重合？（ ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解决此类题目的关键． 根据题意可得4个数为一组循环，再由圆周上的点与重合，可得圆滚动到2024时，经过了个单位长度，即可求解． 【详解】解：圆的周长为4个单位长度，则圆每滚动一圈，圆周上的0，3，2，1分别与数轴上的数一一对应，即4个数为一组循环， ∵圆周上的点与重合， ∴圆滚动到2024时，经过了个单位长度， ∵， ∴圆周上的与数轴上的重合， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·江苏镇江·期中）边长为个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字时停止运动，此时与数字重合的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的规律探究问题，由图可知正方形滚动一圈为个单位一个循环，据此解答即可求解，找出变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知正方形滚动一圈为个单位一个循环， ∵， ∴与数字重合的点， 故选：． 【变式3】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在数轴上，点A表示的数是，点M从点A出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，……依次操作4053次后，此时M表示的数是（   ） A． B．2024 C．6077 D． 【答案】D 【分析】此题考查了数轴，根据题意发现规律是解答此题的关键． 根据题意得点M每运动两次，则向右移动1个单位长度，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：点M从点A出发，先向左移动1个单位长度，得， 再向右移动2个单位长度，得， 再向左移动3个单位长度，得， 再向右移动4个单位长度，得， ∴点M每运动两次，则向右移动1个单位长度， ∵， ∴操作4053次后，此时点M表示的数是：， 故选D． 题型九 相反数 解｜题｜技｜巧 牢记相反数的性质，互为相反数的两个数和为0； 【典例1】（25-26七年级上·云南曲靖·期中）下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多重负号的化简，解题的关键是熟练掌握规则：一个数前面的负号表示取相反数；多重负号时，每两个负号相互抵消，但需根据负号的个数判断最终符号，奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正．直接计算每个选项即可判断． 【详解】解：A．，故A错误； B． ，故B错误； C．，故C错误； D．，故D正确． 故选：D． 【典例2】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与0.3 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），分别计算各选项中两个数的值，并判断是否满足条件即可． 【详解】解：A、，，两者相等，不互为相反数； B、，，两者相等，不互为相反数； C、，，与互为相反数； D、的相反数是，而，故不互为相反数， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·陕西安康·期中）如图，在一个不完整的数轴上有A，B，C三个点，数轴的单位长度为1．若点A，C表示的数互为相反数，则图中点B表示的数是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离计算，相反数的定义，根据相反数的定义和点A和点C之间的距离可得点C表示的数，再由点B与点C的距离可得点B表示的数． 【详解】解：∵点A，C表示的数互为相反数，且点A与点C之间的距离为4， ∴点C和点A到原点的距离都为2，即点C表示的数为2， ∵点B在点C右侧，且与点C的距离为2， ∴点B表示的数为， 故答案为：4． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）若和互为相反数，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据互为相反数的两个数的和等于0列式计算即可得解． 【详解】解：依题意， ∴ 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，点Q、P、R、S、T在数轴上（单位长度为1）． (1)如果点R表示原点，点P表示的数是______，点S表示的数是______，点T表示的数是______； (2)如果点R、T表示的数互为相反数，求点Q和点R到原点的距离的和． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、相反数的定义，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据点R表示原点并结合数轴即可得解； （2）由相反数的定义结合数轴得出点R表示的数为，点表示的数为，从而得出点Q表示的数为，即可得解． 【详解】（1）解：如果点R表示原点，点P表示的数是，点S表示的数是，点T表示的数是； （2）解：∵点R、T表示的数互为相反数，点R、T之间的距离为6， ∴点R表示的数为，点表示的数为， ∴点Q表示的数为， ∴点Q和点R到原点的距离的和． 题型十 绝对值非负性 解｜题｜技｜巧 绝对值的非负性要注意： （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 【典例1】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期中）若，则x的取值范围是：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握去绝对值的法则． 根据绝对值的性质，当且仅当，将原方程转化为此形式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【典例2】（25-26七年级上·浙江·期中）如果为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（   ） A．2025 B．2026 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键．根据绝对值的非负性，可得当取最小值0时，式子存在最大值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴取最小值0时，式子存在最大值，最大值为2025， 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·天津东丽·期中）如果，那么的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，以及代数式的求值；根据非负数的性质，绝对值和平方项的和为零时，每个部分都为零，从而求出未知数的值，再代入代数式计算. 【详解】解：∵且 ≥ 0， ∴且 = 0， 即 且， 解得， ∴. 故答案为：5. 【变式2】（25-26七年级上·山东临沂·期中）下列说法：①若不是正数，则a为非负数；②若，则；③；④若，则x为正数．其中正确的结论有 (填序号) 【答案】①②③ 【分析】本题考查绝对值的性质；理解绝对值的性质是解题的关键；因此此题可根据绝对值的性质可进行求解． 【详解】解：对于说法①，由不是正数，得，即，所以a为非负数，说法正确； 对于说法②，由，得，又，故，从而，所以，说法正确； 对于说法③，，，故相等，说法正确； 对于说法④，由，得，所以x为非正数，原说法错误； 故答案为①②③． 【变式3】（25-26七年级上·河南周口·期中）数轴上点A、点B对应的有理数a，b，且． (1)有理数____，____，在数轴上标出A、B对应的点； (2)在（1）问的条件下，数轴上有两点M、N，对应的数分别是m、n，其中M到A、B的距离相等，N到A的距离等于N到B的距离的2倍，求． 【答案】(1)，；数轴见解析 (2)或 【分析】本题考查绝对值的性质、偶次方的性质、有理数的运算，正确分类讨论是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性，偶次方的结果大于等于零，据此列式，计算求解即可； （2）根据题意得到为点、的中点，则，且，解得或，将m、n的值代入计算即可． 【详解】（1）解：由于， 则且， 方程，解得， 方程，解得， 点A、B在数轴上的位置为： 故答案为：，； （2）解：由于点M到、的距离相等，即为中点， 则， 点N到A的距离等于N到B的距离的2倍， 则， 解得或， 当时，， 当时，， 综上，的值为或． 题型十一 绝对值的几何意义 解｜题｜技｜巧 绝对值的几何意义，主要是考查绝对值与数轴结合的题型，难度较大，主要在于理解绝对值的几何意义，在基本概念的基础上进行拓展： 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 【典例1】（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）若有理数，，满足，，则的值为（ ） A．4 B．5 C．4或6 D．4或5 【答案】C 【分析】此题考查了绝对值的几何意义， 根据绝对值的几何意义，表示数轴上点之间的距离．通过分析b和c相对于a的位置关系，计算的值． 【详解】∵，， ∴点b与点a的距离为1，点c与点a的距离为5． 当点b和点c在点a的同侧时，； 当点b和点c在点a的异侧时，． ∴的值为4或6． 故选：C． 【典例2】（25-26七年级上·河北保定·期中）数轴上的定点表示的数分别是，且满足． (1)___________，___________；，间的距离为___________； (2)数轴上一点距点7个单位长度，其表示的数满足． ①求点之间的距离； ②当数轴上的点到点的距离是点到点的距离的2倍时，求点表示的数； ③沿数轴移动点，要使得，，其中一点到另外两点的距离相等，直接写出点所有的移动方法（写出方向和距离）． 【答案】(1)6，，10 (2)①3；②或2；③见解析 【分析】本题考查了非负数的性质、数轴上的距离计算及动点问题，解题的关键是利用非负数的性质求、的值，结合数轴的特点分析点的位置． （1）利用平方和绝对值的非负性求、，再计算两点距离； （2）①先根据条件确定点的位置，再计算、距离； ②设点表示的数，根据距离关系列方程求解； ③分三种情况分析、、的位置关系，确定点的移动方法． 【详解】（1）解：一个数的平方和绝对值都是非负数，且， ，解得， 、间的距离为， 故答案为：； （2）解：由（1）可知， ，所以或，所以或， 点C在数轴上表示的数为， 点B，C之间的距离为； ②由（2）①知点B，C之间的距离为3，当点P在点B，C之间时，点P到点B的距离为 ， 点P表示的数为； 当点P在点C的右侧时，点P到点C的距离为3， 点P表示的数为， 综上，点P表示的数为或2； ③点C向左移动13个单位长度，点B到点A，C的距离相等； 点C向右移动2个单位长度，点C到点A，B的距离相等； 点C向右移动17个单位长度，点A到点B，C的距离相等． 【变式1】（25-26七年级上·天津·期中）在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多．例如，在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决． (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． (2)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． 【答案】(1)，3 (2)，8 【分析】本题主要考查了绝对值的几何应用，数轴上两点距离计算． （1）由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数“”和“2”的点的距离之和，当时，取最小值，据此求解即可； （2）同（1）可知式子表示x到数2、4、6、8的距离之和最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：表示在数轴上代表x的点到数字“”的距离， 表示在数轴上代表x的点到数字“2”的距离， 则表示在数轴上代表x的点到数字“”和“2”的距离之和， 所以，当代表x的点在数字“”和“2”之间， 即时，此距离之和最小，且最小值为3； 故答案为：，3； （2）解：∵看成数轴上数x到数a的距离， ∴式子表示x到数2、4、6、8的距离之和最小， ∴当时，有最小值8， 故答案为：，8． 【变式2】（25-26七年级上·江西·期中）点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离， 例如：数轴上表示与的两点间的距离； 而，所以表示与两点间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离； (2)若数轴上表示点的数满足，求的值． 【答案】(1)数轴上表示和两点之间的距离为； (2)或． 【分析】本题考查的知识点是绝对值的几何意义、数轴上两点间的距离，解题关键是理解绝对值的几何意义． （1）根据题意可得数轴上表示和两点之间的距离； （2）结合题意可知即表示与两点间的距离为，则即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：数轴上表示和两点之间的距离； （2）解：由题意得，即表示与两点间的距离为， 则结合数轴可得或． 【变式3】（25-26七年级上·吉林·期中）阅读下列材料，完成后面的任务． 点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为． 如图，从数轴上看，若点A，B表示的数分别是1，4 则或． 【归纳】若点A，B表示的数分别是， 则或． 任务： (1)若点表示的数，点B表示的数为，=______． (2)若点表示的数，，则点表示的数为______． (3)试用数轴探究，当时，的值为______． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离、绝对值、有理数的加减，解题的关键是利用分类讨论的思想去绝对值符号． （）利用数轴上两点间的距离公式，即可求出的值； （）设点表示的数为，根据数轴上两点间距离公式，再分两种情况，利用数轴上两点的距离求解即可； （）根据绝对值的定义，绝对值为的数有和，再分两种情况，即可解答； 【详解】（1）解：∵点表示的数，点B表示的数为， ∴根据数轴上两点间距离公式； 故答案为：； （2）∵点表示的数，，设点表示的数为， ∴根据数轴上两点间距离公式， 当时，， 当时，， 所以点表示的数为或； 故答案为：或； （3）∵， ∴根据绝对值的定义，绝对值为的数有和， 当时，， 当时，； 所以的值为或． 题型十二 绝对值的其他应用 【典例1】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）质检员抽查某零件的质量，超过规定尺寸的记为正数，不足规定尺寸的记为负数，结果第一个，第二个，第三个，第四个，则抽查的这四个零件中，质量最好的零件是（   ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：∵， ∴质量最好的零件是第四个． 故选：D． 【典例2】（23-24七年级上·江苏徐州·期中）出租车司机小飞某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午的行程是（单位：千米）： ． (1)将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ (2)若汽车耗油量为升/千米，出车时，邮箱有油升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 【答案】(1)在出发点的北边，距离出发点4千米 (2)不需要加油，理由见解析 【分析】本题考查了正数和负数，注意返回出发地，还需加上距出发地距离．（1）根据有理数的加法运算，可得答案；（2）根据行车就耗油，可得耗油量，可得答案． 【详解】（1）解：（千米）， 答：在出发点的北边，距离出发点4千米； （2）不需要加油，理由： （千米）， （升）， ∵， ∴不需要加油． 【变式1】（23-24七年级上·广西玉林·期中）出租车司机某天在五一路（近似地看成一条直线）上行驶，如果规定向东为“正”，向西为“负”，他这天上午的行程可以表示为：，（单位：千米）． (1)司机将最后一名乘客送达目的地后需要返回出发地换班，请问司机该如何行驶才能回到出发地？ (2)若汽车耗油量为升/千米，发车前油箱有升汽油，若司机将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问司机今天上午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 【答案】(1)司机向东行驶6千米才能回到出发地 (2)需要加油，至少需要加升油才能返回出发地 【分析】（1）根据有理数的加法，即可得答案； （2）根据单位耗油量乘行驶路程，可得总耗油量，减去原有油量即可得答案； 本题主要考查了数轴，正数和负数，利用有理数的加法是解题关键． 【详解】（1）解：（千米）， 故司机在出发点西6千米处， 答：司机向东行驶6千米才能回到出发地； （2）解：需要加升油， 理由如下： （升）， （升） 答：故要加油，至少需要加升油才能返回出发地． 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）一年一度的“双十一”全球购物节完美收官，来自全国各地的包裹陆续发到本地快递公司．一快递小哥骑三轮摩托车从公司出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表(我们约定向东为正，向西为负，单位：千米) 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司的哪个方向上？距离公司多少千米？ (2)在第 次记录时快递小哥距公司地最远； (3)如果每千米耗油升，每升汽油需元，那么快递小哥投递完所有包裹需要花汽油费多少元？ 【答案】(1)快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司的西边的千米处 (2)五 (3)快递小哥投递完所有包裹需要花汽油费元 【分析】本题考查的是绝对值的性质，正负数的意义，有理数的混合运算的应用； （1）有理数的加减法，求七个数的和，得出的数是正数，表示在公司东，是负数，就在公司西； （2）从第一个数开始，绝对值最大的就是最远距离； （3）首先算出走过的路，即各数的绝对值的和，乘以每千米耗油量，再乘以单价即可． 【详解】（1）解：（千米）， 答：最后一次投递包裹结束时快递小哥在公司的西边，距离公司3千米； （2）（千米） （千米）， （千米）， （千米）， （千米）， （千米）， （千米）， 第五次快递小哥距公司最远． 故答案为：五； （3） (元)， 即快递小哥投递完所有包裹需要花汽油费元． 【变式3】（23-24七年级上·吉林长春·期中）我国海军编号为401汉级核潜艇，在某军事演习中，在海下时而上升，时而下降．核潜艇的初始位置在海平面下米，下面是核潜艇在某段时间内运动情况把上升记为“”，下降记为“”，单位：米：，，，，，，． (1)海平面记为米，核潜艇初始位置在海平面下米，可记为 米． (2)最终核潜艇处在海平面哪个位置？距离海平面多少米？ (3)假如核潜艇每上升或下降米核动力装置所提供的能量相当于升汽油燃烧所产生的能量，那么从初始位置开始，在这一过程中核动力装置所提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？ 【答案】(1) (2)最终核潜艇处在海平面下米，距离海平面米． (3)在这一过程中核动力装置所提供的能量相当于升汽油燃烧所产生的能量． 【分析】（1）根据正负数的意义即可求得答案． （2）设核潜艇初始位置记为米，根据有理数的加减法即可求得答案． （3）根据绝对值的定义，可求得核潜艇上升和下降的米数总和：． 【详解】（1）根据正负数的意义可知，海平面记为米，核潜艇初始位置在海平面下米，可记为米． 故答案为：． （2）设核潜艇初始位置记为米，则最终位置为 (米)． 所以，最终核潜艇处在海平面下米，距离海平面米． （3）根据题意，得 (米)． (升)． 答：在这一过程中核动力装置所提供的能量相当于升汽油燃烧所产生的能量． 【点睛】本题主要考查有理数的实际应用，牢记正负数的意义及有理数加减的运算法则是解题的关键． 题型十三 有理数的大小比较 解｜题｜技｜巧 先画出数轴，记住正数大于0，负数小于0；然后看数轴上点的位置，右边的点所代表的数大于左边的点代表的数； 【典例1】（25-26七年级上·河北唐山·期中）在图所示的数轴上表示下列各数，并用“”把它们连接起来． ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了数轴，用数轴上的点表示有理数，用数轴比较大小，求一个数的绝对值，理解数轴表示数的规律是解题的关键．规定和原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，原点表示的数是0，原点向右每隔1个单位长度的点表示的数分别为；原点向左每隔1个单位长度的点表示的数分别是．数轴上右边的数总比左边大，据此判定有理数在数轴上的位置即可． 【详解】解：，在数轴上表示如下： 用“”把它们连接如下： ． 【典例2】（25-26七年级上·青海西宁·期中）比较大小． (1)和 (2)和 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的大小比较、化简多重符号，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”即可求解； （2）分别化简两个有理数，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：，， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）在下面的数轴上分别标出表示下列各数的点，并把这些数用“>”连接起来： 【答案】，数轴见解析． 【分析】本题考查数轴的应用与有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． 先化简各数，然后在数轴上标出这些点，最后根据数轴上右边的数大于左边的数，用“>”连接起来即可． 【详解】解：，， 在数轴上画出表示各数的点，如下图：    用“”号将所有的数连接起来如下： ． 【变式2】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）已知下列各数，按要求完成各题： ． (1)负数集合：{___________…}； (2)用“＜”把它们连接起来是___________； (3)把已知各数表示在数轴上． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了负数的概念，化简多重符号，在数轴上表示有理数，有理数的大小比较，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简多重符号，再结合小于0的数为负数进行逐个分析，即可作答． （2）根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大的负数反而越小，即可作答． （3）先化简多重符号，再在数轴上逐个表示出各个数，即可作答． 【详解】（1）解：， 则负数集合：{…}； （2）解：依题意， ， （3）解：如图所示，即为所求． 【变式3】（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）已知：点在数轴上的位置如图所示，点表示的有理数是，点表示的有理数是2，两点表示的有理数是互为相反数，且到点的距离相等，请观察数轴并解答下列问题： (1)点表示的有理数是_________，点表示的有理数是_________； (2)两点之间的距离为_________，点表示的有理数的绝对值是_________； (3)将，0，，2这四个数用“”连接的结果是：_________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，在数轴上两点之间的距离，有理数的大小比较，绝对值的性质，相反数的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据相反数的定义，得出点表示的有理数是结合两点到点的距离相等，，即可得出点表示的有理数； （2）根据绝对值的意义进行分析，即可作答． （3）正数大于大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大的数反而越小，即可作答． 【详解】（1）解：∵点表示的有理数是2，两点表示的有理数是互为相反数， ∴点表示的有理数是 ∵两点到点的距离相等， ∴点表示的有理数是； （2）解：由（1）得点表示的有理数是， ∵点表示的有理数是， ∴两点之间的距离为，点表示的有理数的绝对值是， （3）解：依题意， 则． 题型十四 有理数的大小比较的实际应用 【典例1】（25-26七年级上·广东·期末）几种气体的液化温度（标准大气压）如下表： 气体 氦气 氢气 氮气 氧气 液化温度 其中液化温度最低的气体是（） A．氦气 B．氢气 C．氮气 D．氧气 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数比较大小，掌握比较有理数大小的方法是解决本题的关键． 通过比较各气体的液化温度数值，找出最小的数，即为液化温度最低的气体． 【详解】解：∵， ∴， ∴液化温度最低的气体是氦气． 故选：A． 【典例2】（25-26七年级上·安徽·期中）在一次体检过程中，七(3)班班长记录了该班名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 (1)这名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】(1)小璐的视力最差，理由见解析 (2)名学生中有人需要配戴眼镜 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握有理数大小的比较方法． （1）根据，即可得出答案； （2）先求出各个数据的绝对值，然后与进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：小璐的视力最差．理由如下， ∵， ∴最小， ∴小璐的视力最差． （2）解：∵，，， ，，， ∴6名学生中有3人需要配戴眼镜． 【变式1】（25-26七年级上·陕西商洛·期中）正式排球比赛所使用的排球质量是有严格规定的，裁判检查了个排球的质量（单位：），超过规定质量的克数记为正数，不足规定质量的克数记为负数．检查结果如下，其中最接近标准质量的排球是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的应用，有理数的比较大小，比较各个数的绝对值的大小，从而即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：因为，，，， 所以， 所以最接近标准质量的排球是选项球， 故选：． 【变式2】（25-26六年级上·上海宝山·期中）某乳品公司生产盒装牛奶，根据质量要求，每盒牛奶的净含量可以有升的误差．现抽查6盒牛奶，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表所示，那么其中净含量最接近规定的盒装牛奶编号是 ． 1 2 3 4 5 6 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，比较各编号误差的绝对值，绝对值最小的最接近规定净含量． 【详解】解：，，，，，， ∵， ∴净含量最接近规定的盒装牛奶编号是6， 故答案为：6． 【变式3】已知零件的标准直径是，超过标准直径长度的数量记作正数，不足标准直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了件样品，检查结果如下表： 样品编号 偏差 (1)指出哪件样品的直径大小最符合要求． (2)如果规定误差的绝对值在以内的是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么这件样品分别属于哪类产品？ 【答案】(1)编号为4的样品的大小最符合要求 (2)见解析 【分析】本题考查正负数的应用、绝对值的应用、有理数的大小比较，理解绝对值的性质是解答的关键． （1）先求得各数据的绝对值，再比较大小，根据绝对值最小的最符合要求即可解答； （2）比较各绝对值与、的大小，根据正品、次品和废品定义可得结论． 【详解】（1）解：，，，，， ∵， ∴编号为4的样品的大小最符合要求； （2）解：因为，，， 所以编号为1，2，4的样品是正品； 因为， 所以编号为3的样品是次品； 因为， 所以编号为5的样品是废品． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·河北衡水·期中）如果（20）表示向上移动20，则下列和其是相反意义的量的是（   ） A．20 B．20 C．20 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了相反意义的量的概念，熟练掌握此概念是解题的关键． 相反意义的量具有两个要素：一是两者意义相反，二是两者都表示数量．根据概念解答即可． 【详解】 解：（20）箭头方向向上，对应的反义词应该是向下，故排除A、C、D． 剩下B选项，（20）箭头方向向下，含有数字20，故选项B符合题意． 故选：B． 2．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）在数，，，，，，，中，非负数的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是理解非负数包括负数和零． 先化简，再根据有理数的分类进行判断即可． 【详解】解：，，，， ∴ 非负数有：、、、，共4个． 故选：B 3．（25-26七年级上·福建泉州·期中）下列说法正确的是（   ） A．0是绝对值最小的有理数 B．相反数大于本身的数是非负数 C．数轴上原点两侧的数互为相反数 D．两个数比较，绝对值大的反而小 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值、相反数和有理数大小的比较，需注意概念的条件和适用范围； 根据绝对值的定义、相反数的性质、数轴表示及有理数大小比较的法则进行判断即可. 【详解】解：∵ 任何有理数的绝对值都大于或等于0，且0的绝对值是0， ∴ 0是绝对值最小的有理数，故A正确； ∵ 相反数大于本身的数满足，即只能是负数，而非负数包括正数和0，不满足条件，故B错误； ∵ 数轴上原点两侧的数只有到原点距离相等时才互为相反数，故C错误； ∵ 两个数比较大小，绝对值大的反而小仅当两个数均为负数时成立，否则不一定成立，故D错误； 故选A. 4．（25-26七年级上·湖南怀化·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则连续翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，图形类变化规律，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键． 根据题意可知每4次翻转为一个循环组依次循环，然后根据…1进行判断． 【详解】解：∵在翻转过程中，1对应的数是B，2对应的数是C，3对应的数是D，4对应的数是A，5对应的数是B，6对应的数是C，7对应的数是D，8对应的数是A，…， ∴每4次翻转为一个循环组依次循环， ∵…1， ∴连续翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是点B． 故选：B． 5．（25-26七年级上·四川成都·期中）比较大小： ； （选填“>”、“=”或“<”）． 【答案】 > < 【分析】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是掌握两个负数比较大小的方法：绝对值大的反而小． 第一个先分别求出两个负数的绝对值，再比较绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”得出结果；第二个比较需先化简表达式，再比较数值大小． 【详解】解：∵，， 且， ∴． ∵，， 且， ∴． 6．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）已知数轴上点表示的数为，将点向右移动6个单位长度得到点，，两点间的距离为2，则点在数轴上表示的数为 ． 【答案】5或1 【分析】本题考查数轴上点的移动和两点间距离的计算．先根据点A的移动求出点B的坐标，再根据点B与点C的距离为2，求出点C的可能坐标． 【详解】∵点A表示的数为，向右移动6个单位长度得到点B， ∴点B表示的数为：， ∵点B与点C的距离为2， ∴点C在数轴上表示的数为或． 故答案为：5或1． 7．（25-26七年级上·甘肃张掖·期中）算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，如下表所示．古人在个位数上划上斜线以表示负数，如“”表示-723，则“”所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查古代数学问题，读懂题意是解决问题的关键． 由算筹与数字的对应表，以及在个位数上划上斜线以表示负数即可得到答案． 【详解】 解：由算筹与数字的对应表，以及在个位数上划上斜线以表示负数，可知，“”所表示的数是， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数轴上点A表示的数是，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么t秒后，点A表示的数是 （用含有t的代数式表示）． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上的平移，列代数式，点A的初始位置为，以每秒2个单位长度的速度运动，t秒后的位置为初始位置加上位移（速度乘以时间）． 【详解】解：∵点A的初始位置为，运动速度为2个单位长度/秒， ∴当向右移动时，t秒后，点A表示的数是； 当向左移动时，t秒后，点A表示的数是； 故答案为：或． 9．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）把下列各数填入相应的集合内 2，，，2024，，，0，，，． 负整数集合：{                      …} 正数集合：{                      …} 整数集合：{                      …} 非正数集合：{                      …} 非负整数集合：{                      …} 【答案】负整数：；正数：2，，2024，；整数：2，2024，0，；非正数：，，0，，，；非负整数：2，2024，0 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方法是解题的关键．根据负整数，正数，整数，非正数，非负整数定义进行求解即可． 【详解】解：负整数集合：{}； 正数集合：{2，，2024，}； 整数集合：{2，2024，0，}； 非正数集合：{，，0，，，}； 非负整数集合：{2，2024，0}． 10．（25-26七年级上·河北衡水·期中）现有一组数据：，，3.5，0，2，． (1)在下面的数轴上表示这6个数； (2)把这6个数按从大到小的顺序排列，用“”号连接起来； (3)把这6个数分别填入它们属于的集合内： 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】此题考查了数轴，绝对值，有理数的分类及比较大小，解题的关键是熟练掌握有理数的相关概念． （1）首先化简，然后在数轴上表示出各个数即可； （2）由（1）的数轴即可得出答案； （3）根据正数、整数及负数的概念进行解答即可． 【详解】（1）， 如图所示， （2）由数轴得，； （3）如图所示， 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（25-26七年级上·浙江金华·期中）比较下列各组数的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：A、，，，，，， ，则该选项错误，不符合题意； B、，，， ，则该选项错误，不符合题意； C、，则该选项错误，不符合题意； D、，，， ，则该选项正确，符合题意； 故选：D． 12．（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）雪峰蜜橘十月份开始采摘．图中每筐蜜橘以5千克为标准质量，超过标准质量的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录如下，则这4筐蜜橘中，质量最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较有理数大小的实际应用，求一个数的绝对值，比较绝对值的大小关系即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴质量最接近标准的是A选项； 故选A． 13．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字 的点重合．（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了图形类规律探究，发现循环规律，并正确计算循环后处于第几组的第几个数是解题的关键． 每4个数为一组，分别与3、2、1、0重合，计算，看余数是几，即可求解． 【详解】解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，分别与3、2、1、0重合， ∵， ∴数轴上表示的点与圆周上表示的数字0重合． 故选：A． 14．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）老师在黑板上板书“”这个等式，然后同学们在小组内相互分享自己的想法？下面是某小组四位同学A、B、C、D分享的内容，你认为最合理是（    ） A．我认为，所以 B．我认为是负数，是正数，正负相消才有等于0的情况 C．我认为他们和为0，所以，，即，在数轴原点两侧 D．我认为，，为任何数时，他们都是相反数 【答案】D 【分析】本题考查了相反数、绝对值，熟练掌握相反数的定义是解题关键．根据说明互为相反数，则可以是为正数、为负数；或为负数、为正数；或都等于0，根据绝对值可得，即在数轴上，表示的点到原点的距离与表示的点到原点的距离相等，可能在数轴原点两侧，也可能都是数轴原点，由此即可得出答案． 【详解】解：A、说明互为相反数，但不一定同时为0，则此项不合理，不符合题意； B、说明互为相反数，可以是为正数、为负数；或为负数、为正数；或都等于0，则此项不合理，不符合题意； C、可得，所以，即在数轴上，表示的点到原点的距离与表示的点到原点的距离相等，可能在数轴原点两侧，也可能都是数轴原点，则此项不合理，不符合题意； D、说明互为相反数，则此项合理，符合题意； 故选：D． 15．（25-26七年级上·湖北·期中）比较大小： ； ； ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟知两个负数比较大小的方法是关键． 先化简，再根据正数大于负数；两个负数，绝对值大的其值反而小即可求解． 【详解】解：，且， ∴； ∵， ∴； ∵，且， ∴． 故答案为：；；． 16．（25-26七年级上·广东广州·期中）数轴上的点A表示，点B在点A的左侧且到点A的距离为2，则点B表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数和数轴，数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据数轴上点表示的数以及两点之间的距离求解即可． 【详解】解：点B在点A左侧，距离为2， 故点B表示的数为： 故答案为：． 17．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）已知数轴上，两点表示的数互为相反数，且点与点之间的距离为4个单位长度．若点在点的左侧，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数的定义和数轴上两点距离公式，根据相反数的定义和数轴上两点距离公式，列出方程求解即可． 【详解】解：设点A表示的数为a，则点B表示的数为， 点A与点B之间的距离为， 解得，即或， 由于点A在点B的左侧， 故，即，因此， 所以， 故点A表示的数是． 故答案为：． 18．（24-25七年级上·全国·期末）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上处，且，则C点表示的数是 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的减法运算，先求出的长，再由折叠的性质得到，再分当点在的右侧时，当点在的左侧时，两种情况分别求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵点A、B表示的数分别是，10， ∴， 由折叠可知， 当点在的右侧时， ∵， ∴， ∴， ∴点C表示的数为； 当点在的左侧时， ∵， ∴， ∴， ∴点C表示的数为； 故答案为：4或 19．（25-26七年级上·新疆哈密·期中）如图，数轴上每两个刻度之间的距离为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点． (2)并指出点所表示的数是______． (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为3个单位长度，那么点表示的数为_____． 【答案】(1)见详解 (2)4 (3)1或7 【分析】本题考查数轴，用数轴表示有理数，数轴上两点间距离： （1）根据点A表示的数及每个刻度为1个单位长度可确定原点， （2）根据点B与原点的位置可得点B所表示的数； （3）分点C在点B的左侧与右侧两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：原点在点A的右侧距离点3个单位长度，如图： （2）解：点B在原点的右侧距离原点4个单位，因此点B所表示的数为4， 故答案为：4； （3）解：①当点C在点B的左侧时，， ②当点C在点B的右侧时，， 点C表示的数为1或7． 故答案为：1或7． 20．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，数轴上有，两点． (1)，两点表示的数分别是_____，_____； (2)若点表示，请你把点表示在如图所示的数轴上； (3)若点与点表示的两个数互为相反数，则点表示的数是_____； (4)将，，，四个点所表示的数用“>”连接起来； 【答案】(1)；3 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数大小比较，数轴，相反数，熟练掌握用数轴上的点表示有理数和利用数轴比较有理和的大小是解题的关键． （1）根据数轴可直接进行求解； （2）根据数轴上有理数的表示可直接进行求解； （3）根据相反数的意义可进行求解； （4）根据有理数的大小比较可进行求解． 【详解】（1）解：由数轴可知：、两点表示的数分别是；3； 故答案为：；3． （2）解：点表示在数轴上，如图： （3）解：由点与点表示的两个数互为相反数，点表示的是， 则点表示的数是； 故答案为：2； （4）解：由数轴可得：． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（25-26七年级上·重庆·期中）下列各式中化简错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简绝对值和化简多重符号，若，则；若，则，再结合化简多重符号的方法对各选项的条件进行化简判断即可得到答案． 【详解】解：A、，原式化简错误，符合题意； B、，原式化简正确，不符合题意； C、，原式化简正确，不符合题意； D、，原式化简正确，不符合题意； 故选：A 22．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题综合考查了数轴、循环的有关知识，关键是把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来． 圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答． 【详解】解：圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次， 则与圆周上的0重合的数是，，…，即， 同理与3重合的数是：， 与2重合的数是， 与1重合的数是，其中n是正整数． 而， ∴数轴上的数将与圆周上的数字2重合． 故选：C． 23．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若，当a取最大值时，b值是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，数轴，掌握数轴表示数的方法以及绝对值的定义是正确解答的关键． 根据数轴表示数的方法以及点A、点B所表示的数进行计算即可． 【详解】解：由于点A在原点左侧，点A对应整数a，a的最大值是， 又点B在原点右侧，点B对应整数b，而， ， 故选：B． 24．（24-25七年级上·河北唐山·期末）在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的基本性质和数轴上两点间的距离计算，本题的解题关键是数轴上两点间的距离计算，根据数轴的基本性质和数轴上两点间的距离即可求解． 【详解】解：、、是数轴上三点，且点表示的数是，点表示的数为1， 设点表示的数为， 当其中一点是另外两点构成的线段中点， ①为线段的中点， 的值为：； ②为线段的中点， 的值为：； ③为线段的中点， 的值为：； 则点C表示的数是或或8， 故选：D． 25．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）点在数轴的负半轴上，距离原点3个单位长度，将点沿数轴向右移动5个单位长度到点，若点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点间的距离，先根据题意得到A表示的数，再得到点B表示的数，再根据点C到点B的距离为4，利用数轴上两点间的距离公式求出点C的值即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点A在数轴的负半轴上，且距离原点3个单位长度， ∴点A表示的数为， ∵将点A沿数轴向右移动5个单位长度到点， ∴点B表示的数为：， ∵点C到点B的距离为4，设点C表示的数为，则， ∴或， 解得：或， ∴点C表示的数为6或， 故答案为：6或． 26．（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，且，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】设点C表示的数是x，先求出点表示的数，再根据对折得出，计算求解即可． 本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． 【详解】解：设点C表示的数是x， ∵点A对应的点落在点B的右边，且，点B表示的数是8， ∴点表示的数是， ∴， 解得， 即点C表示的数是， 故答案为：． 27．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点和点对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点对应的数是1；翻转2次后，点对应的数是3……；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2025所对应的点是 ． 【答案】点B 【分析】本题考查了有理数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 由题意先找出对应点与数的规律，再求出翻转的次数，最后可确定出2025所对应的点． 【详解】解：由题意可知：数轴上的数1，3，5，7，9，11，13，15，， 所对应的点为B，C，D，A，B，C，D，A，， 所以从数1对应的点开始，连续奇数对应的点按B，C，D，A循环， 由得，， 因为余1， 所以数轴上数2025所对应的点是点B， 故答案为：点B． 28．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1008，那么n的值是 ． 【答案】1009或1006 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． 根据点的运动情况，可知第奇数次移动的点表示的数是，第偶数次移动的点表示的数是，再分两种情况分别求n的值即可． 【详解】解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…， ∴第奇数次移动的点表示的数是， 第偶数次移动的点表示的数是， ∵点与原点的距离等于1008， ∴当n是奇数时， ，解得， 当n是偶数时， ，解得， 故答案为：1009或1006． 29．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）（1）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示． ①填空：（填“”、“”或“”）a__________0；b__________0； ②用“”将a，b，，0连接起来：______________； （2）已知，若，求x，y的值． 【答案】（1）①，；②（2） 【分析】本题考查有理数和数轴，绝对值的意义，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）①根据点在原点的左侧还是右侧即可得出结果；②根据点在数轴上的位置进行判断即可； （2）根据绝对值的意义，结合，进行求解即可． 【详解】解：（1）①由数轴可知，在原点右侧，在原点左侧， 故； ②∵， ∴， 故； （2）∵， ∴， ∵， ∴． 30．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）我们知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示2和5的两点的距离是_________，数轴上表示和的两点之间的距离是_________，数轴上表示15和的两点之间的距离是_________． (2)数轴上表示和的两点A，B之间的距离是_________，如果，那么是_________． (3)若式子，则_________． (4)式子的最小值是_________． 【答案】(1)3；15；45 (2)；1或 (3)或3 (4)3 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，解题的关键是理解绝对值的几何意义，掌握数轴上两点之间的距离公式． （1）根据数轴上两点之间的距离公式列式计算得出答案； （2）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，结合数轴得出利用数形结合思想解决问题； （4）根据绝对值的几何意义，结合数轴得出利用数形结合思想解决问题． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是， 数轴上表示15和的两点之间的距离是； 故答案为：3；15；45 （2）解：数轴上表示和的两点A，B之间的距离是， ∵， ∴表示和的两点A，B之间的距离是2， ∴是1或； 故答案为：；1或 （3）解：根据题意得：表示到，1之间的距离之和是8， ∵， ∴x在的左侧，且与的距离为2，或x在1的右侧，且与1的距离为2， ∴x的值为或3； 故答案为：或3 （4）解：根据题意得：表示到，2之间的距离之和， ∴当x在，2之间时，取得最小值，最小值为． 故答案为：3 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $