专项提升训练08：☆ 简单的周期解决问题（考点梳理+例题讲解+专项练习）2025-2026学年三年级下册数学苏教版·新教材

专项提升训练08：☆ 简单的周期解决问题 考点梳理 1 考点一、周期的概念与特征 1 考点二、周期问题的解题步骤 2 考点三、周期规律的应用 2 例题讲解 3 题型一、图形周期问题 3 题型二、颜色周期问题 4 题型三、数字、字母周期问题 5 专项练习 5 练习一、图形周期问题 6 练习二、颜色周期问题 10 练习三、数字、字母周期问题 13 考点梳理 考点一、周期的概念与特征 1. 周期现象的定义 周期现象是指事物在运动变化过程中，某些特征或规律重复出现的现象。例如：日历中星期的循环（周一至周日重复）、彩灯按“红、黄、蓝”顺序重复闪烁、图形按“△、□、○”规律排列等，这些都属于周期现象。 2. 周期的构成要素 （1）周期长度：指一组重复出现的内容所包含的元素个数。例如，“红、黄、蓝”3种颜色为一个周期，周期长度是3；“△、□、○、△、□、○”中，“△、□、○”为重复部分，周期长度是3。 （2）重复单元：构成周期的基本单位，即重复出现的一组内容。如上述例子中的“红、黄、蓝”“△、□、○”均为重复单元。 3. 常见周期类型 （1）图形周期：由图形（如三角形、正方形、圆形等）按一定规律重复排列形成的周期。 （2）数字周期：由数字（如1、2、3、1、2、3…）或算式结果（如2、4、6、8、2、4、6、8…）重复出现形成的周期。 （3）物体排列周期：由实物（如彩旗、花朵、珠子等）按特定顺序重复摆放形成的周期。 考点二、周期问题的解题步骤 1. 观察与识别周期规律 （1）找出重复单元：仔细观察题目中给出的排列顺序，确定哪一组内容是重复出现的（即重复单元）。例如，“☆、△、□、☆、△、□、☆…”中，重复单元是“☆、△、□”。 （2）确定周期长度：数出重复单元中包含的元素个数，即为周期长度。如上例中周期长度为3。 2. 计算周期个数与剩余部分 （1）计算总数量包含的完整周期数：用总元素个数除以周期长度，得到的商即为完整周期的个数。公式：完整周期数 = 总数量 ÷ 周期长度。 （2）确定剩余元素个数：计算总数量除以周期长度后得到的余数，余数即为剩余元素的个数（若没有余数，则剩余个数为0，即刚好包含完整周期）。公式：剩余个数 = 总数量 % 周期长度（“%”表示取余）。 3. 根据剩余部分确定结果 （1）若剩余个数为0：说明总数量刚好包含整数个周期，所求位置的元素是周期的最后一个元素。 （2）若剩余个数不为0：所求位置的元素是周期中第“剩余个数”个元素（从1开始数）。例如，周期长度为3，剩余个数为2，则对应周期中第2个元素。 考点三、周期规律的应用 1. 判断指定位置的元素 已知排列规律和总数量，求第n个元素是什么。步骤：先确定周期长度，计算n除以周期长度的商和余数，根据余数判断（余数为0则是周期最后一个元素，余数为k则是周期中第k个元素）。 2. 计算某类元素的总个数 已知排列规律和总数量，求某类元素（如特定图形、颜色等）出现的总次数。步骤：先计算完整周期数和剩余个数，每个完整周期中该元素出现的次数×完整周期数，再加上剩余部分中该元素出现的次数，即为总个数。 3. 解决生活中的周期问题 （1）日期与星期问题：已知某一天是星期几，求经过n天后是星期几（周期长度为7，一周7天）。 （2）节日与周期：如春节、端午节等每年重复出现，可根据周期规律推算日期。 （3）生产与排列问题：如工厂按“红、黄、绿”顺序生产零件，求第n个零件的颜色；装饰用彩灯按特定顺序排列，求第n盏灯的颜色等。 4. 周期规律的拓展 （1）复杂周期：部分周期中可能包含嵌套规律（如“△、△、□、△、△、□…”中，周期长度为3，重复单元是“△、△、□”），需仔细观察重复单元的构成。 （2）周期的变式：周期可能从不同位置开始，需先确定起始位置对应的周期单元（如“□、△、○、□、△、○…”中，若从第2个元素“△”开始观察，需重新调整周期单元）。 例题讲解 题型一、图形周期问题 【例题1】○△☐○○△☐○○△☐○……像这样排列，第90个是什么图形？这90个图形中，○有多少个？ 【答案】△；45个。 【分析】通过观察图形序列“○△☐○○△☐○○△☐○……”，可发现“○△☐○”这4个图形为一个循环周期。据此计算90个图形里有多少个完整周期：90÷4＝22……2，其中商22表示有22个完整周期，余数2表示下一个周期到第2个图形，据此推断出第90个是什么图形，即可解答。 【详解】通过观察图形序列“○△☐○○△☐○○△☐○……”，可发现“○△☐○”这4个图形为一个循环周期。 90÷4＝22……2，所以第90个图形是△。 每个周期有2个○，22个周期共有22×2＝44（个）○，再加上最后2个图形中的1个○，总共44＋1＝45（个）○。 答：第90个图形是△，这90个图形中，○有45个。 【练习1】一串珠子，按下图排列，那么第33颗是什么珠子？第48颗是什么珠子？ 【答案】； 【分析】 观察图形发现，这串珠子每6颗为一组，按“”的规律排列。所以用珠子数除以6，算出组数和余数。余几颗珠子就是“”里的第几颗珠子。 【详解】33÷6＝5（组）……3（颗） 48÷6＝8（组），表明48颗珠子正好排完八个周期，即“”。 答：第33颗珠子是“”；第48颗珠子是“”。 题型二、颜色周期问题 【例题2】学校艺术节挂气球，气球按“红、紫、紫、黄、蓝、蓝”的规律排列，第32个气球是什么颜色？ 【答案】第32个气球是紫色。 【分析】由题意可得，气球按照“红、紫、紫、黄、蓝、蓝”的顺序，六个为一组进行有规律地排列，要知道第32个是什么颜色，可以用除法算出一共有多少组还多几个气球，多出来的几个重新的一组开始数，找到对应的颜色即可。 【详解】（组）……2（个） 按照排序，第2个是紫色，所以第32个气球是紫色。 答：第32个气球是紫色。 【练习2】为了庆祝“六一”儿童节，学校的大门外边插了一挂彩旗。彩旗是按照“3面红旗、1面蓝旗、2面绿旗”的规律排列的。那么，第35面旗子是什么颜色？第35面旗子中，红旗有几面？ 【答案】绿色；18面 【分析】由分析可得：彩旗是按照“3面红旗、1面蓝旗、2面绿旗” 的规律排列的，及3面红旗、1面蓝旗、2面绿旗为一组，6面彩旗为一组，求第35面旗子是什么颜色？用除法计算，求出商和余数，商为分的组数，余数为剩余的旗子数量，然后按着3面红旗、1面蓝旗、2面绿旗的规律数到所谓余数的那一面是什么颜色就是什么颜色。 一组由3面红旗，则35面旗子分了几组余几面，用组数×3，然后看余数中是否有红色旗子再加即可。 【详解】35÷6＝5（组）……5（面） 5×3＝15（面） 15＋3＝18（面） 答：第35面旗子是绿颜色，红旗有18面。 题型三、数字、字母周期问题 【例题3】一串数字1、2、3、5、8、1、2、3、5、8…像这样排列，第36个数是( )，前36个数字之和是( )。 【答案】 1 134 【分析】1、2、3、5、8；1、2、3、5、8…把1、2、3、5、8这5个数字看成一组，求出36里面有多少个这样的一组，还余几，余数表示剩下数字的个数，依此即可解答； 前36个数字有7组，因此先计算出一组数字的和，然后用一组数字的和乘7，再加上剩下数字的第一个数即可。 【详解】36÷5＝7……1 7×（1＋2＋3＋5＋8）＋1 ＝7×19＋1 ＝133＋1 ＝134 第36个数是1，前36个数字之和是134。 【练习3】有一字母串共43个字母，按“ABCDEABCDEABCDEABCDE……”排列，最后一个是什么字母？这串字母中A、B、C、D、E各有多少个？ 【答案】 C；A有9个，B有9个，C有9个，D有8个，E有8个 【分析】根据题意，周期为ABCDE，周期数为5，用43除以周期数，商是组数，余数是几就表示最后一个字母是周期中的第几个字母；有几组就有几个A、B、C、D、E，再加上余下字母中的个数，即可求出A、B、C、D、E各个字母的个数。 【详解】43÷5＝8（组）……3（个） 共有8组又3个字母，3个字母分别是A、B、C，最后一个字母是C。 8＋1＝9（个） 答：最后一个字母是C，这串字母中A有9个，B有9个，C有9个，D有8个，E有8个。 专项练习 练习一、图形周期问题 1．一组图形按☆☆☆〇□☆☆☆〇□☆☆☆〇□……的顺序排列，按这样的排列规律，第62个图形是( )；前31个图形中共有( )个☆。 【答案】 ☆ 19 【分析】根据题干可知这组图形是按照☆☆☆〇□这5个图形为1组循环排列而成的，求第62个图形是什么，用62除以5求出商和余数，余数是几就是第几个图形；每一组有3个☆并且在前三个，用31除以5求出商和余数，商就是循环出现的组数，余数就是剩下图形的个数，如果余数小于等于3，就用余数加上循环出现的组数乘3，如果余数是4，就用3加上循环出现的组数乘3。 【详解】62÷5＝12（组）……2（个） 31÷5＝6（组）……1（个） 1＋6×3 ＝1＋18 ＝19（个） 一组图形按☆☆☆〇□☆☆☆〇□☆☆☆〇□……的顺序排列，按这样的排列规律，第62个图形是☆；前31个图形中共有19个☆。 2．一组图形按下面规律排列：△□□〇〇〇△□□〇〇〇……第50个图形是( )，前100个图形中〇有( )个，当□有20个时，这组图形至少有( )个。 【答案】 □ 49 57 【分析】依据“△□□〇〇〇”的周期规律（周期长度为6），运用“总数÷周期数＝商……余数”的除法求余逻辑解题：第50个图形经计算得8个完整周期余2（50÷6＝8……2），对应周期内第2个图形□；前100个图形包含16个完整周期余4（100÷6＝16……4），每个周期有3个○且余下图形有1个○，故○有49个；当□有20个时，因每个周期含2个□（20÷2＝10），最后一个□出现在第10个周期的第3个位置，图形总数至少为10×6－3＝57个。 【详解】（1）50÷6＝8……2 所以第50个图形是第9周期的第2个，是□。 （2）100÷6＝16……4 所以〇有：3×16＋1＝49（个）。 （3）20÷2＝10 10×6－3＝57（个） 所以至少有57个。 【点睛】先锁定周期单元（“△□□○○○”，周期长度6）及各图形在周期内的数量，再运用除法求余逻辑解题：求第n个图形时，通过“n÷周期长度”的余数定位周期内对应图形；求某图形总数时，用完整周期数乘每个周期内该图形数量，再加余下图形中该图形数量；求“某图形达指定数量的最少总数”时，需精准定位最后一个目标图形在周期内的位置，截取前（周期数-1）个完整周期加最后一个目标图形的位置序号，同时规避余数为0对应周期最后一个图形的易错点，高效解题。 3．按照下图这样的规律排下去，第20个图形是什么？ ☆□△○☆□△○☆□△○…… 【答案】第20个图形是○。 【分析】根据对图形的观察，发现图中的规律是4个为一组，求第20个图形是什么，用除法计算即可。有余数的话就从那四个为一组的图形中，从左至右数“余数”个；没有余数就是一组的最后一个图形。据此解答。 【详解】（组） 答：第20个图形是○。 4．工人师傅用灰色木板和白色木板建围栏，一共用了86块木板。其中有多少块白色木板？多少块灰色木板？ 【答案】有57块白色木板，29块灰色木板。 【分析】从图中可知：1块灰色木板、2块白色木板是一个周期，用木板总数除以3可得多少组周期，如果有余数，余数是几就表示一组周期中前几块木板。据此解答 【详解】86÷3＝28（组）……2（块） 灰色木板：28＋1＝29（块）     白色木板：28×2＋1＝57（块） 答：有57块白色木板，29块灰色木板。 5．△◻○○△☆△◻○○△☆……一些不同形状的彩灯按照这样的顺序安装第37个彩灯的形状是什么？其中一共有多少个形状为△的彩灯？ 【答案】第37个彩灯的形状是△，其中一共有13个形状为△的彩灯。 【分析】图中是以“”为一组循环规律进行排列，所以周期数为6，其中有2个△。用37除以周期数，可得到第37个彩灯的形状，要求形状为△的彩灯总个数，则用一组周期中含有△的个数乘组数，如果有余数，其中含有△，还需加上单独△的个数，据此解答。 【详解】（组）（个） （个） 第37个彩灯的形状是△，其中一共有13个形状为△的彩灯。 6．为了绿化校园环境，学校在路的两侧共栽了292棵树（两侧树木数量相等），如图，这些树按照1棵柳树、3棵杨树的规律栽种，路的每侧栽了多少棵柳树？多少棵杨树？ 【答案】柳树37棵；杨树109棵 【分析】树的总棵数除以2，可以算出路的每侧栽了（292÷2＝146）棵树。这些树按照1棵柳树、3棵杨树的规律栽种，每组有（3＋1＝4）棵树。路每侧树的总棵数除以4，算出商和余数。商是几，就是按照这样的规律栽了几组；余数是几，第146棵数就是这一组中的第几棵。 【详解】292÷2＝146（棵） 146÷（3＋1） ＝146÷4 ＝36（组）……2（棵） 36×1＋1 ＝36＋1 ＝37（棵） 36×3＋1 ＝108＋1 ＝109（棵） 答：路的每侧栽了37棵柳树，109棵杨树。 7．观察示意图，先找规律，再解决问题。 （1）第25枚是哪种硬币？ （2）第36枚是哪种硬币？ 【答案】（1）1元 （2）1角 【分析】 观察发现硬币是5枚为一组排列的，排列的顺序为：； （1）求第25枚是哪种硬币，用25除以5计算出的结果没有余数，那么就是一组中最后一枚硬币； （2）求第36枚是哪种硬币，用36除以5计算出的结果有余数，余数是几就是一组中的第几枚；据此解答。 【详解】（1）25÷5＝5（组） 一组中最后一枚硬币为1元 答：第25枚是1元硬币。 （2）36÷5＝7（组）……1（枚） 一组中第1枚硬币是1角 答：第36枚是1角硬币。 8．现有黑色三角形“”和白色三角形“”共200个，按照一定规律排列如下：，“”和“”各有多少个？ 【答案】黑色三角形有101个，白色三角形有99个 【分析】 每6个三角形为一组，按照的顺序排列。200÷6＝33（组）……2（个），则这200个三角形可以分成33组，每张有3个黑色三角形和3个白色三角形。剩余2个三角形都是一组的第1、2个三角形，即都是黑色三角形。则黑色三角形有（33×3＋2）个，白色三角形有（33×3）个。 【详解】200÷6＝33（组）……2（个） 33×3＋2 ＝99＋2 ＝101（个） 33×3＝99（个） 答：黑色三角形有101个，白色三角形有99个。 【点睛】本题考查周期问题，利用有余数的除法解答，余数是几，答案就是一组中的第几个。如果没有余数，则正好是一组中的最后一个。本题的关键就是求出剩余2个三角形的颜色。 练习二、颜色周期问题 1．一串彩灯按黄、红、红、蓝、黄、红、红、蓝、黄、红…顺序排列，第60盏彩灯是( )色的，前66盏彩灯中，有( )盏红灯。 【答案】 蓝 33 【分析】根据题意可知，彩灯的排列顺序是每4盏为一个周期，依次为黄、红、红、蓝。第60盏灯的颜色由60除以4的余数决定，余数为0时对应周期中的第4盏（蓝色）。前66盏灯中，先计算完整周期的组数，每组有2盏红灯，再计算剩余盏数中红灯的数量。 【详解】60÷4＝15（组），即第60盏彩灯是蓝色的； 66÷4＝16（组）……2（盏），即第66盏彩灯是红色的； 16×2＋1 ＝32＋1 ＝33（盏） 第60盏彩灯是蓝色的，前66盏彩灯中，有33盏红灯。 2．某商场门口按“3红2绿2黄1蓝”的顺序镶上小彩灯，从第1个红灯算起，第116个彩灯是( )灯，前82个彩灯中一共有( )个红灯。 【答案】 绿 32 【分析】将“3红2绿2黄1蓝”的一共8个彩灯看作一组，用116和82分别除以8，根据商和余数确定出第116个彩灯、第82个彩灯的颜色，再根据组数确定出前82个彩灯中红灯的数量即可。 【详解】116÷8＝14（组）……4（个） 因此第116个彩灯是一组中的第4个为绿灯。 82÷8＝10（组）……2（个） 因此前82个彩灯有10组加上2个彩灯。 10×3＋2 ＝30＋2 ＝32（个） 因此从第1个红灯算起，第116个彩灯是绿灯，前82个彩灯中一共有32个红灯。 3．教室后面的黑板上方挂了一排同学们自己做的风车，是按照红、黄、黄、绿、绿、绿、红、黄、黄、绿、绿、绿、红、黄、黄、绿、绿、绿、……的顺序排列的。第38个风车是什么颜色的？ 【答案】 第38个风车是黄色的。 【分析】这排风车6个为1组，分别是红、黄、黄、绿、绿、绿，用总的风车数量除以6，如果没有余数就是一组的最后一个，如果有余数，余几就是一组的第几个，据此解答。 【详解】（组）（个） 答：第38个风车是黄色的。 4．国庆节挂彩灯，按“红、黄、蓝、白、绿、紫”的顺序挂，一共挂了50只彩灯，第50只彩灯是什么颜色？红色的彩灯一共有多少只？ 【答案】黄色；9只 【分析】根据题意，按“红、黄、蓝、白、绿、紫”的顺序挂，则每组有6只彩灯，用50÷6求出的商即为组数，如果正好能整除，则第50只彩灯是每组的最后一只灯的颜色，如果有余数，则余数是几就是每组的第几只彩灯的颜色；一共有多少组则有多少只红色的彩灯，如果有余数，则用组数加1可以求出红色彩灯的只数。 【详解】50÷6＝8（组）……2（只） 每组的第二只是黄色的彩灯。 8＋1＝9（只） 答：第50只彩灯是黄色，红色的彩灯一共有9只。 5．莹莹想为自己串一串手链，她按照1黄2红3粉的顺序串珠子，第12颗珠子是什么颜色的？第19颗呢？ 【答案】粉色；黄色 【分析】由题目可知，珠子是按照1黄2红3粉的顺序排列，周期数为，第12颗珠子的颜色：，没有余数是一组中的最后一颗珠子，也就是粉色； 第19颗珠子的颜色：，余数为1，是一组中的第一个珠子，也就是黄色。 【详解】（组） （组）……1（个） 答：第12颗珠子是粉色的，第19颗珠子是黄色的。 6．节日期间街道一边按红、蓝、黄、绿、紫、红、蓝、黄、绿、紫……的顺序插彩旗，第26面彩旗是什么颜色的？第43面彩旗呢？ 【答案】红色；黄色 【分析】通过观察可知，彩旗按红、蓝、黄、绿、紫的顺序排列，周期为5。计算第26面彩旗的颜色，看26里包含几个5，就有几个完整的周期，通过余数即可判断对应周期里的第几面彩旗。同样第43面彩旗的颜色也如此判断。 【详解】26÷5＝5（组）……1（面） 余数为1，对应周期里的第1面，即红色。 43÷5＝8（组）……3（面） 余数为3，对应周期里的第3面，即黄色。 答：第26面彩旗是红色的，第43面彩旗是黄色的。 7．为庆祝元旦，校园里要挂彩旗装饰，用6种颜色的彩旗按红、黄、蓝、绿、橙、紫的顺序排列，一共挂了45面彩旗，每种颜色的彩旗各需要几面？ 【答案】红旗8面，黄旗8面，蓝旗8面，绿旗7面，橙旗7面，紫旗7面。 【分析】6种颜色的彩旗按红、黄、蓝、绿、橙、紫的顺序排列，6种颜色为一个周期，一共挂了45面，先用除法计算出45里面有几个周期，用45除以6等于7，余数是3，还有3面分别为红、黄、蓝，所以红、黄、蓝有8面，绿、橙、紫有7面。 【详解】45÷6＝7（组）……3（面） 红、黄、蓝各有：7＋1＝8（面）， 绿、橙、紫各有：7面， 答：红旗8面，黄旗8面，蓝旗8面，绿旗7面，橙旗7面，紫旗7面。 8．学校为了庆祝元旦联欢会，按一红两绿两黄一蓝的顺序在操场挂气球，一共挂了68个气球，第30个是什么颜色？绿色的气球一共挂了多少个？ 【答案】蓝色；23个 【分析】一红两绿两黄一蓝，这么6个气球看成一组，用30除以6先求出30个里面有多少这样的一组，再根据余数的情况推算出第30个气球的颜色；用68除以6求出68里面有多少个这样的一组，以及还余几，再根据每组有2个绿色的气球，以及余下数中绿色气球的个数进行求解。 【详解】1＋2＋2＋1＝6（个） 30÷6＝5（组）没有余数，那第30个气球就和第6个气球的颜色相同是蓝色的； 68÷6＝11（组）……2（个）余下2个中有1个是绿色的气球， 11×2＋1 ＝22＋1 ＝23（个） 答：第30个是蓝色，绿色的气球一共挂23个。 练习三、数字、字母周期问题 1．一组字母ABCDEFGABCDEFGABCD……如果按照此规律排列下去，第64个字母是( )。 【答案】A 【分析】根据题意，这组字母按照ABCDEFG的规律重复排列，用64除以7，求出商和余数，余数是几，那么第64个字母就跟ABCDEFG中的第几个字母一样。 【详解】64÷7＝9（组）1（个） 则第64个字母是A。 2．一些数按照这样的规律排列：2、3、5、7、2、3、5、7、2、3、5、7……第20个数是( )，前20个数的和是( )。 【答案】 7 85 【分析】每4个数字为一组，按2、3、5、7的顺序排列。用20除以4，没有余数，则第20个数在一组的最后一个数，是7。这20个数分成5组，每组数字和是2＋3＋5＋7，则前20个数的和是5×（2＋3＋5＋7）。 【详解】20÷4＝5 5×（2＋3＋5＋7） ＝5×17 ＝85 第20个数是7，前20个数的和是85。 【点睛】本题考查周期问题，利用除法解答，余数是几，答案就是一组中的第几个。如果没有余数，则正好是一组中的最后一个。 3．我爱中国我爱中国我爱中国……，照这样的规律重复排列。第61个字是( )，前61个字中有( )个“中”字。 【答案】 我 15 【分析】题中文字以“我爱中国”四个字的顺序重复排列，要想知道第61个字是什么，用除法计算，余数是1就是一组中第一个字“我”，余数是2就是一组中第二个字“爱”，余数是3就是一组中第三个字“中”，没有余数说明是一组中最后一个字“国”；前61个字中含有多少个“中”，看61里面有几组“我爱中国”，再判断余数，据此解题。 【详解】61÷4＝15（组）……1（个），因为余数是1，所以第61个字是“我”； 每组“我爱中国”里面有1个“中”字，完整的15组里“中”字就有15个，余数部分没有“中”，所以前61个字中有15个“中”字。 4．AABCAABCAABC…根据字母的排列规律，第51个字母是( )，前61个字母中一共有( )个A。 【答案】 B 31 【分析】通过观察发现：根据字母的排列规律，这些字母是按照AABC……顺序依次排列的，也就是4个字母一组。用所求字母的位数除以4，如果整除，就能判断字母是这一组的第4个，如果不整除，就要看余数，余数是1就是第一个字母，余数是2就是第二个字母，余数是3就是第三个字母。前61个字母中一共有多少A，用除法计算，看一共有多少组，再看余数是几，来判断A的个数。 【详解】51÷4＝12（组）……3（个）余数是3，也就是这个周期中的第3个字母B； 61÷4＝15（组）……1（个）余数是1，也就是这个周期中的第1个字母A；这个周期中A出现的个数为：     AABCAABCAABC…根据字母的排列规律，第51个字母是B，前61个字母中一共有31个A。 5．一串汉字“祝福大家新年好祝福大家新年好……”有规律地排列着，从左往右数，第88个汉字是( )，第105个汉字是( )。 【答案】 家 好 【分析】根据题意，“祝福大家新年好”7个汉字为一组进行重复排列，用除法分别求出88、105里面最多有几个7， 还剩几，这个“几”表示和第一组的第几个数字一样；如果没有余数，则和第一组的第7个汉字一样；据此解答。 【详解】88÷7＝12……4 105÷7＝15 所以第88个汉字是家，第105个汉字是好。 6．cecdececdececde…按一定的规律排列，最后一个是d，且一共出现了28个d，则c有( )个，e有( )个。 【答案】 56 55 【分析】cecdececdececde是按照cecde这样的规律排列的，每组有5个字母，分别是2个c，2个e和1个d。出现了28个d，就是按照这样的规律排列了28组，用28乘2即可算出c有（28×2）个。最后一个是d，则e有（28×2－1）个。 【详解】28×2＝56（个） 28×2－1 ＝28－1 ＝55（个） cecdececdececde…按一定的规律排列，最后一个是d，且一共出现了28个d，则c有（56）个，e有（55）个。 【点睛】此题考查的是简单的周期问题知识。关键看几个一组，共分几组。 7．有一列数字，按2，1，3，2，1，3，2，1，3，…的顺序排列。第16个数字是什么？前16个数字的和是多少？ 【答案】 2；32 【分析】根据题意，数字按“2，1，3”的规律排列，3一组，用16除以3即可求出16个数字有几组，余几个数，若没有余数，则第16个数是每一组最后一个数，若有余数，余几就是每一组的第几个数； 先用计算出每一组的和为多少，用组数乘一组和再加上剩余的数，即可求出前16个数字的和，据此解答。 【详解】（组）（个），第16个数字是2 一组和： 前16个数字的和： 答：第16个数字是2，前16个数字的和是32。 8．有一列数：1，3，5，1，3，5，1，3，5，… (1)第26个数是几？ (2)这26个数的和是多少？ 【答案】(1)3 (2)76 【分析】（1）根据题意可知，1，3，5这三个数字为一组一直循环，用26÷3如果正好能整除，则第26个数是每组的最后一个数字，如果有余数则余数是几就是每组的第几个数字。 （2）26÷3求出的商即为组数，先用1＋3＋5求出每组的和，然后乘组数，最后加上单独的数字即可求出这26个数的和是多少。 【详解】（1）（1）26÷3＝8（组）……2（个） 每组的第二个数字是3。 答：第26个数是3。 （2）（1＋3＋5）×8＋1＋3 ＝9×8＋1＋3 ＝72＋1＋3 ＝76 答：这26个数的和是76。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升训练08：☆ 简单的周期解决问题 考点梳理 1 考点一、周期的概念与特征 1 考点二、周期问题的解题步骤 2 考点三、周期规律的应用 2 例题讲解 3 题型一、图形周期问题 3 题型二、颜色周期问题 3 题型三、数字、字母周期问题 4 专项练习 4 练习一、图形周期问题 4 练习二、颜色周期问题 6 练习三、数字、字母周期问题 7 考点梳理 考点一、周期的概念与特征 1. 周期现象的定义 周期现象是指事物在运动变化过程中，某些特征或规律重复出现的现象。例如：日历中星期的循环（周一至周日重复）、彩灯按“红、黄、蓝”顺序重复闪烁、图形按“△、□、○”规律排列等，这些都属于周期现象。 2. 周期的构成要素 （1）周期长度：指一组重复出现的内容所包含的元素个数。例如，“红、黄、蓝”3种颜色为一个周期，周期长度是3；“△、□、○、△、□、○”中，“△、□、○”为重复部分，周期长度是3。 （2）重复单元：构成周期的基本单位，即重复出现的一组内容。如上述例子中的“红、黄、蓝”“△、□、○”均为重复单元。 3. 常见周期类型 （1）图形周期：由图形（如三角形、正方形、圆形等）按一定规律重复排列形成的周期。 （2）数字周期：由数字（如1、2、3、1、2、3…）或算式结果（如2、4、6、8、2、4、6、8…）重复出现形成的周期。 （3）物体排列周期：由实物（如彩旗、花朵、珠子等）按特定顺序重复摆放形成的周期。 考点二、周期问题的解题步骤 1. 观察与识别周期规律 （1）找出重复单元：仔细观察题目中给出的排列顺序，确定哪一组内容是重复出现的（即重复单元）。例如，“☆、△、□、☆、△、□、☆…”中，重复单元是“☆、△、□”。 （2）确定周期长度：数出重复单元中包含的元素个数，即为周期长度。如上例中周期长度为3。 2. 计算周期个数与剩余部分 （1）计算总数量包含的完整周期数：用总元素个数除以周期长度，得到的商即为完整周期的个数。公式：完整周期数 = 总数量 ÷ 周期长度。 （2）确定剩余元素个数：计算总数量除以周期长度后得到的余数，余数即为剩余元素的个数（若没有余数，则剩余个数为0，即刚好包含完整周期）。公式：剩余个数 = 总数量 % 周期长度（“%”表示取余）。 3. 根据剩余部分确定结果 （1）若剩余个数为0：说明总数量刚好包含整数个周期，所求位置的元素是周期的最后一个元素。 （2）若剩余个数不为0：所求位置的元素是周期中第“剩余个数”个元素（从1开始数）。例如，周期长度为3，剩余个数为2，则对应周期中第2个元素。 考点三、周期规律的应用 1. 判断指定位置的元素 已知排列规律和总数量，求第n个元素是什么。步骤：先确定周期长度，计算n除以周期长度的商和余数，根据余数判断（余数为0则是周期最后一个元素，余数为k则是周期中第k个元素）。 2. 计算某类元素的总个数 已知排列规律和总数量，求某类元素（如特定图形、颜色等）出现的总次数。步骤：先计算完整周期数和剩余个数，每个完整周期中该元素出现的次数×完整周期数，再加上剩余部分中该元素出现的次数，即为总个数。 3. 解决生活中的周期问题 （1）日期与星期问题：已知某一天是星期几，求经过n天后是星期几（周期长度为7，一周7天）。 （2）节日与周期：如春节、端午节等每年重复出现，可根据周期规律推算日期。 （3）生产与排列问题：如工厂按“红、黄、绿”顺序生产零件，求第n个零件的颜色；装饰用彩灯按特定顺序排列，求第n盏灯的颜色等。 4. 周期规律的拓展 （1）复杂周期：部分周期中可能包含嵌套规律（如“△、△、□、△、△、□…”中，周期长度为3，重复单元是“△、△、□”），需仔细观察重复单元的构成。 （2）周期的变式：周期可能从不同位置开始，需先确定起始位置对应的周期单元（如“□、△、○、□、△、○…”中，若从第2个元素“△”开始观察，需重新调整周期单元）。 例题讲解 题型一、图形周期问题 【例题1】○△☐○○△☐○○△☐○……像这样排列，第90个是什么图形？这90个图形中，○有多少个？ 【练习1】一串珠子，按下图排列，那么第33颗是什么珠子？第48颗是什么珠子？ 题型二、颜色周期问题 【例题2】学校艺术节挂气球，气球按“红、紫、紫、黄、蓝、蓝”的规律排列，第32个气球是什么颜色？ 【练习2】为了庆祝“六一”儿童节，学校的大门外边插了一挂彩旗。彩旗是按照“3面红旗、1面蓝旗、2面绿旗”的规律排列的。那么，第35面旗子是什么颜色？第35面旗子中，红旗有几面？ 题型三、数字、字母周期问题 【例题3】一串数字1、2、3、5、8、1、2、3、5、8…像这样排列，第36个数是( )，前36个数字之和是( )。 【练习3】有一字母串共43个字母，按“ABCDEABCDEABCDEABCDE……”排列，最后一个是什么字母？这串字母中A、B、C、D、E各有多少个？ 专项练习 练习一、图形周期问题 1．一组图形按☆☆☆〇□☆☆☆〇□☆☆☆〇□……的顺序排列，按这样的排列规律，第62个图形是( )；前31个图形中共有( )个☆。 2．一组图形按下面规律排列：△□□〇〇〇△□□〇〇〇……第50个图形是( )，前100个图形中〇有( )个，当□有20个时，这组图形至少有( )个。 3．按照下图这样的规律排下去，第20个图形是什么？ ☆□△○☆□△○☆□△○…… 4．工人师傅用灰色木板和白色木板建围栏，一共用了86块木板。其中有多少块白色木板？多少块灰色木板？ 5．△◻○○△☆△◻○○△☆……一些不同形状的彩灯按照这样的顺序安装第37个彩灯的形状是什么？其中一共有多少个形状为△的彩灯？ 6．为了绿化校园环境，学校在路的两侧共栽了292棵树（两侧树木数量相等），如图，这些树按照1棵柳树、3棵杨树的规律栽种，路的每侧栽了多少棵柳树？多少棵杨树？ 7．观察示意图，先找规律，再解决问题。 （1）第25枚是哪种硬币？ （2）第36枚是哪种硬币？ 8．现有黑色三角形“”和白色三角形“”共200个，按照一定规律排列如下：，“”和“”各有多少个？ 练习二、颜色周期问题 1．一串彩灯按黄、红、红、蓝、黄、红、红、蓝、黄、红…顺序排列，第60盏彩灯是( )色的，前66盏彩灯中，有( )盏红灯。 2．某商场门口按“3红2绿2黄1蓝”的顺序镶上小彩灯，从第1个红灯算起，第116个彩灯是( )灯，前82个彩灯中一共有( )个红灯。 3．教室后面的黑板上方挂了一排同学们自己做的风车，是按照红、黄、黄、绿、绿、绿、红、黄、黄、绿、绿、绿、红、黄、黄、绿、绿、绿、……的顺序排列的。第38个风车是什么颜色的？ 4．国庆节挂彩灯，按“红、黄、蓝、白、绿、紫”的顺序挂，一共挂了50只彩灯，第50只彩灯是什么颜色？红色的彩灯一共有多少只？ 5．莹莹想为自己串一串手链，她按照1黄2红3粉的顺序串珠子，第12颗珠子是什么颜色的？第19颗呢？ 6．节日期间街道一边按红、蓝、黄、绿、紫、红、蓝、黄、绿、紫……的顺序插彩旗，第26面彩旗是什么颜色的？第43面彩旗呢？ 7．为庆祝元旦，校园里要挂彩旗装饰，用6种颜色的彩旗按红、黄、蓝、绿、橙、紫的顺序排列，一共挂了45面彩旗，每种颜色的彩旗各需要几面？ 8．学校为了庆祝元旦联欢会，按一红两绿两黄一蓝的顺序在操场挂气球，一共挂了68个气球，第30个是什么颜色？绿色的气球一共挂了多少个？ 练习三、数字、字母周期问题 1．一组字母ABCDEFGABCDEFGABCD……如果按照此规律排列下去，第64个字母是( )。 2．一些数按照这样的规律排列：2、3、5、7、2、3、5、7、2、3、5、7……第20个数是( )，前20个数的和是( )。 3．我爱中国我爱中国我爱中国……，照这样的规律重复排列。第61个字是( )，前61个字中有( )个“中”字。 4．AABCAABCAABC…根据字母的排列规律，第51个字母是( )，前61个字母中一共有( )个A。 5．一串汉字“祝福大家新年好祝福大家新年好……”有规律地排列着，从左往右数，第88个汉字是( )，第105个汉字是( )。 6．cecdececdececde…按一定的规律排列，最后一个是d，且一共出现了28个d，则c有( )个，e有( )个。 7．有一列数字，按2，1，3，2，1，3，2，1，3，…的顺序排列。第16个数字是什么？前16个数字的和是多少？ 8．有一列数：1，3，5，1，3，5，1，3，5，… (1)第26个数是几？ (2)这26个数的和是多少？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $