八年级数学下学期期中学情自测·培优卷（新教材北师大版，举一反三,测试范围：第1章 三角形的证明及其应用～第4章 因式分解）

八年级数学下学期期中学情自测·培优卷 【新教材北师大版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 三角形的证明及其应用~第4章 因式分解 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟．本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·浙江台州·期末）巴黎奥运会项目图标传递“荣誉徽章”理念，下列图标中，是中心对称图形的为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，已知点D、E、F分别为边的中点，且的面积为，则阴影部分面积等于（    ） A． B． C． D． 5．若一个三角形的两边长分别是7，14，则它的第三边长不可能是（    ） A．8 B．12 C．15 D．21 6．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 恩 爱 施 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．美丽恩施 B．我爱恩施 C．我爱美丽 D．恩爱美丽 8．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点， ．若，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D．1 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·天津·期末）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．关于的方程的解是正数，则的取值范围是___________． 12．（25-26九年级上·四川成都·期末）正方形I的边长比正方形Ⅱ的边长长，它们的面积相差，则这两个正方形的边长之和为______． 13．如图，平分，，，，则是____三角形． 14．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，网格由9个边长为1的小正方形组成，以点为圆心，长为半径画圆弧交数轴于点，则点表示的实数为_______________． 15．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）在中，，点D为中点，如果，，则______ 16．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）分解因式： (1) (2) 18．（6分）（24-25八年级下·陕西西安·期中）解不等式（组）： (1)； (2)． 19．（8分）如图所示的直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，，． (1)在图中画出向左平移3个单位后的； (2)在图中画出绕原点O逆时针旋转后的； (3)写出、的坐标． 20．（8分）（25-26八年级上·山东菏泽·期末）《义务教育语文课程标准》（2022年版）提出：初中阶段的阅读量不少于260万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为的单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约，艺术类图书每本厚约． (1)若在该书架上，文学类图书已经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆放多少本？ (2)现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？ 21．（10分）先阅读材料，再回答问题： 材料：分解因式： 解： 回答问题： (1)材料中最后一步分解因式的结果是___________． (2)分解因式：，结果是___________． (3)分解因式：，结果是___________． (4)若，则的值为___________． 22．（10分）（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 23．（12分）24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等边中，点D为边上一点，将沿翻折得到，连接并延长，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)过点D作交于点G，连接交于点H，求证：． (3)若，，则的长为______（用含a，b的式子表示）． 24．（12分）（24-25八年级上·宁夏银川·期中）请回忆北师大版八年级上册数学教材的部分内容，该内容阐述了垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；并给出了证明的方法． (1)结合图①，用几何语言表示上述定理 几何语言：​ ∵ ∴ （ ） (2)如图②，在中，直线m、n分别是边的垂直平分线，直线m、n交于点O，过点O作于点H．求证：． (3)如图③，在中，，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．若，求的值是多少？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期期中学情自测·培优卷 【新教材北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·浙江台州·期末）巴黎奥运会项目图标传递“荣誉徽章”理念，下列图标中，是中心对称图形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此求解即可． 【详解】解：根据概念可知，A、B、C不是中心对称图形；D是中心对称图形． 故选：D． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），结合因式分解的方法逐一判断选项． 【详解】解：∴A选项是整式乘法，从整式的积化为多项式，不符合因式分解定义，错误； ∵B选项右边是整式与常数的和，不是整式的积的形式，不符合因式分解定义，错误； ∵C选项中，原式分解错误，错误； ∵D选项中，提取公因式，，符合因式分解定义且分解正确； ∴故选：D． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式的两边同时加上（减去）同一个数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个正数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个负数，不等式的方向改变． 【详解】解：∵， ∴，，，； 故只有选项C变形正确，符合题意． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，已知点D、E、F分别为边的中点，且的面积为，则阴影部分面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，根据三角形的中线平分三角形的面积可得，，则可证明，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ， ∴，即阴影部分的面积为． 故选：B． 5．若一个三角形的两边长分别是7，14，则它的第三边长不可能是（    ） A．8 B．12 C．15 D．21 【答案】D 【分析】先根据定理求出第三边长的取值范围，再判断哪个选项不符合范围即可． 【详解】解：设三角形的第三边长为x， ∵两边长分别为7和14， ∴， 即， ∴第三边长不可能是21． 6．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别解不等式组中两个不等式得到x的解集，再根据不等式组无解的条件得到关于m的不等式，求解即可得到m的取值范围． 【详解】解：解第一个不等式 两边同乘3得， 移项得； 解第二个不等式， 移项得， ∵不等式组无解， ∴可得． 解得， 所以m的取值范围是． 7．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 恩 爱 施 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．美丽恩施 B．我爱恩施 C．我爱美丽 D．恩爱美丽 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，关键是熟练应用知识点解题；通过提取公因式法和平方差公式对密文进行因式分解，再对应密码手册得到明文． 【详解】解：∵原式= = = ∵根据密码手册：对应“我”，对应“施”，对应“爱”，对应“恩”， ∴组合后明文可能为“我爱恩施”， 故选：B． 8．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点， ．若，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】连接交于点O，由题意可证垂直平分，是等边三角形，是等腰三角形可得，易得，再根据线段的和差计算即可． 【详解】解：如图：连接交于点O， ∵，，， ∴垂直平分，是等边三角形，， ∴, ∵， ∴，, ∴是等边三角形，是等腰三角形, ∴， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设三边长为，，，根据周长求出，再验证是否为直角三角形，最后计算面积． 本题主要考查勾股定理的逆定理的理解与运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵三边之比为， ∴设三边分别为，，． ∵周长为， ∴， ∴． ∴三边分别为，，． ∵， ∴三角形为直角三角形，直角边为和． ∴面积为． 故选：D． 10．（25-26八年级上·天津·期末）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图，等角对等边，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等角对等边解答即可． 【详解】解：由作法得：， ∵， 根据题意无法得到与相等， ∴无法确定与的大小关系，故A选项错误； 根据题意无法证明，故B选项错误； ∵是的角平分线， ， ∴， ∴， ∴，故C选项正确； 根据题意无法得到，的大小关系，故D选项错误； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．关于的方程的解是正数，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】求出方程的解，根据方程的解是正数得出，求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵的方程的解是正数， ∴， 解得． 12．（25-26九年级上·四川成都·期末）正方形I的边长比正方形Ⅱ的边长长，它们的面积相差，则这两个正方形的边长之和为______． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 设正方形I的边长为，正方形Ⅱ的边长为，根据题意得和，利用平方差公式求解． 【详解】解：设正方形I的边长为，正方形Ⅱ的边长为，则． 由面积差得． 根据平方差公式，． 代入，得． 所以． 故这两个正方形的边长之和为 故答案为：10． 13．如图，平分，，，，则是____三角形． 【答案】直角 【分析】通过三角形的内角和等于，计算，再利用角平分线的定义得到，根据直角三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：， ∵平分， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 14．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，网格由9个边长为1的小正方形组成，以点为圆心，长为半径画圆弧交数轴于点，则点表示的实数为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴点表示的实数为， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）在中，，点D为中点，如果，，则______ 【答案】20 【分析】先推导出，，进而求出，则，即可解答． 【详解】解：在中，D为中点，，，， ，， ∴， 又， ， ． 16．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为______． 【答案】24 【分析】由勾股定理逆定理得出，再根据计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先识别式子为平方差公式，利用平方差公式分解，再合并同类项并提取公因式； （2）先展开多项式乘积，合并同类项化简式子，再利用完全平方公式分解因式． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．（6分）（24-25八年级下·陕西西安·期中）解不等式（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1解不等式即可 （2）先分别求出两个不等式的解集，进一步求出公共解集，然后即可求解． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 化系数为1，得； （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 19．（8分）如图所示的直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，，． (1)在图中画出向左平移3个单位后的； (2)在图中画出绕原点O逆时针旋转后的； (3)写出、的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)、的坐标分别为、 【分析】（1）根据平移变换的性质作出对应的点，再顺次连接即可得出； （2）根据旋转变换的性质作出对应的点，再顺次连接即可得出； （3）根据已作的图形进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求， （3）解：由作图可得，、的坐标分别为、． 20．（8分）（25-26八年级上·山东菏泽·期末）《义务教育语文课程标准》（2022年版）提出：初中阶段的阅读量不少于260万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为的单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约，艺术类图书每本厚约． (1)若在该书架上，文学类图书已经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆放多少本？ (2)现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？ 【答案】(1)87本 (2)共有2种摆放方案，方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书；方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书 【分析】本题考查了一元一次不等式（组）的实际应用，解题的关键是正确理解题意，建立不等式（组）求解． （1）设艺术类图书还可以摆放x本，根据文学类图书的厚度艺术类图书的厚度小于等于建立不等式求解； （2）设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放本，根据题意建立不等式组求解整数解即可． 【详解】（1）解：设艺术类图书还可以摆放x本，根据题意得：， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴． ∴艺术类图书最多还可以摆放87本 （2）解：设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放本， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为34，35， ∴共有2种摆放方案， 方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书； 方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书． 21．（10分）先阅读材料，再回答问题： 材料：分解因式： 解： 回答问题： (1)材料中最后一步分解因式的结果是___________． (2)分解因式：，结果是___________． (3)分解因式：，结果是___________． (4)若，则的值为___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）提公因式即可解题； （2）根据因式分解的方法解题即可； （3）结合（1）（2）中的规律即可得到结论； （4）根据（3）中的结论解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：由（1）（2）可知， ； （4）解：， ∴， ∴， 解得． 22．（10分）（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 【答案】(1)与垂直，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及勾股定理，熟练掌握勾股定理逆定理及勾股定理是解题的关键； （1）根据题意易得，然后问题可求解； （2）由题意可设，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：与垂直，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：由题意可设，则有， ∵， ∴，即， 解得：， ∴． 23．（12分）24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等边中，点D为边上一点，将沿翻折得到，连接并延长，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)过点D作交于点G，连接交于点H，求证：． (3)若，，则的长为______（用含a，b的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证出．设，则，由三角形外角的性质可得答案； （2）连接．证明是等边三角形，得出，，证明，由全等三角形的性质得出； （3）过点A作于点M，证出，得出，求出，则可得出答案． 【详解】（1）解：由折叠得，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 设，则， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，过点A作于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 24．（12分）（24-25八年级上·宁夏银川·期中）请回忆北师大版八年级上册数学教材的部分内容，该内容阐述了垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；并给出了证明的方法． (1)结合图①，用几何语言表示上述定理 几何语言：​ ∵ ∴ （ ） (2)如图②，在中，直线m、n分别是边的垂直平分线，直线m、n交于点O，过点O作于点H．求证：． (3)如图③，在中，，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．若，求的值是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）根据题意，利用几何语言作答； （2）连接，利用线段的垂直平分线的性质推出，即可解答； （3）连接，证明是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：几何语言：​于点，，点为上一点， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）； （2）证明：如图，连接， 直线m是边的垂直平分线， ， 直线n是边的垂直平分线， ， ， ， ； （3）解：连接， ， 边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E， ， ， ， 是等边三角形． ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $