专题02 有理数的运算（期中知识清单）（必备知识+9题型清单+6易错清单+3技巧清单）六年级数学下学期新教材人教版五四制

专题02 有理数的运算 【清单01】有理数加法法则 1.同号两数相加,和取_____的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值的和. 2.绝对值不相等的异数两数相加，和取________的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.___________的两个数相加得0. 3.一个数与______相加,仍得这个数. 【清单02】有理数加法运算律 有理数加法交换律：交换两个______的位置，和不变; 有理数加法结合律：三个数相加，先把__________相加，或者先把_________相加，和不变; . 【清单03】有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的________ 【清单04】有理数乘法法则 两数相乘，同号得_____，异号得____，并把_________相乘。 任何数与______相乘，都得0. 互为倒数的两数相乘等于_________ 【清单05】有理数乘法运算律 乘法交换律：两数相乘，交换______的位置，积不变; 乘法结合律：三个数相乘，先把__________相乘，或者先把_______相乘，积相等; 乘法分配律：一个数同__________相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加; . 【清单06】有理数除法 有理数的除法法则:除以一个不为0的数，等于乘这个数的________。 【清单07】有理数乘方 这种求n个__________的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做_______. 正数的奇次幂是个正数，正数的偶次幂是个正数 负数的奇次幂是个负数，负数的偶次幂是个正数 1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1.-1的奇次幂是-1 0的任何正整数次幂都是0 互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数 【清单08】有理数混合运算 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： 1. 先_______，再乘除，最后加减； 2.同级运算，___________进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 【清单09】科学记数法 科学记数法：把大于10的数记成____________的形式，其中是整数数位只有一位的数(即)， 是正整数.这种记数方法叫做科学记数法. 【清单10】近似数 近似数：经过“___________”得到的数叫近似数,一般用工具量出来的数都是近似数； 能表示原来物体或事件的实际数量的数是准确数，一般通过计数数出来的数都是准确数. 【题型一】相反数、倒数和绝对值有关计算 【例1】（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）在CCTV“智力快车”栏目中，主持人问这样一道题目：“a的相反数是它本身的有理数，b的倒数是它本身的有理数，c是绝对值最小的有理数”，请问：a，b，c三数之和是（   ） A．0 B．1或 C． D．2 【变式1-1】．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知a，b互为倒数，m，n互为相反数，则的值是 ． 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·期中）已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，且，则的值为________ 【题型二】有理数判断符号和计算 【例2】（24-25七年级上·四川巴中·期中）若，且，则（   ） A．5或7 B．或 C．或5 D．或7 【变式2-1】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若，，且，求的值． 【变式2-2】（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）若，且点A、B对应的数分别是a，b，求A、B两点间的最大距离 【变式2-3】（25-26七年级上·全国·期中）已知有理数m，n在数轴上的位置如图所示（m在原点右侧，n在原点左侧，且），且，． (1)求m和n的值； (2)比较和的大小； (3)计算的值． 【题型三】有理数混合运算概念辨析 【例3】（24-25六年级上·上海嘉定·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．两个有理数的和一定大于其中一个加数 B．两个有理数的和可能比这两个加数都小 C．两个有理数的差一定小于被减数 D．一个较大的数减去一个较小的数结果可能为负数 【变式3-1】（24-25七年级上·广东东莞·期中）下列说法中，正确的有（    ）个 ①是负数；②两个有理数的和为负数时，这两个数一定是负数；③两个有理数比较大小，绝对值大的反而小；④一个数的绝对值一定不是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】（23-24七年级上·四川乐山·期中）已知两数的和为正，下面的判断中，正确的是（   ） A．两个加数必须都为正数 B．两个加数都为负数 C．两个加数中至少有一个正数 D．两个加数必须一正，一负 【变式3-3】（24-25六年级上·上海·期中）下列说法：①0的倒数是0；②若且，则a，b异号且负数的绝对值较大；③如果，那么a，b中至少有一个为0；④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，其中正确的结论有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型四】有理数的简便运算 【例4】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）(1)计算：． (2) (3) (4) (5) (6)． (7) (8) (9) 【变式4-1】计算：(1)． (2) (3)； (4) (5) ． (6) (7) (8) 【变式4-2】计算(1) (2) (3) . (4) ． (5)． (6) (7) (8) 【题型五】有理数的混合运算 【例5】（23-24七年级上·山东临沂·期中）计算：（1）． （2）． （3） （4） 【变式5-1】（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1)； (2) (3) ； (4) 【变式5-2】（24-25七年级上·北京·期中）计算：（1）． （2）． （3）． （4） 【变式5-3】（24-25七年级上·吉林·期中）计算：（1）． （2） （3） （4） 【题型六】有理数幂的相关概念 【例6】（24-25九年级下·河北衡水·期中）已知：，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·贵州遵义·期中）下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个2相加 C．与意义相同 D．的指数是3 【变式6-2】（2025六年级上·全国·期中）中指数为 ，底数为 ；4的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ，结果是 ． 【题型七】科学记数法 【例7】（24-25七年级上·广东广州·期中）某景区小长假期间共接待游客236000人次，用科学记数法可将236000表示为（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26七年级上·全国·期中）粮食安全是“国之大者”，2024年《政府工作报告》明确将粮食产量1.3万亿斤以上作为发展主要预期目标之一，将1.3万亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）2024年国庆假期，沈阳累计接待国内游客万人次，数据万用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25七年级上·安徽宿州·期中）用科学记数法表示为的数是（    ） A．1888 B．188.8 C．0.001888 D．18880 【题型八】近似数 【例8】．（23-24七年级上·山西临汾·期中）用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到千分位） C．（精确到百分位） D．（精确到） 【变式8-1】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）用四舍五入法将数7.83695精确到千分位的结果是（　　） A．7.8 B．7.84 C．7.836 D．7.837 【变式8-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法错误的是（   ） A．近似数3.02万精确到百位 B．142500000000精确到千万位为1425.0亿 C．142500000000精确到千万位为 D．近似数4.80所表示的精确数的范围为 【变式8-3】（24-25七年级上·山东滨州·期中）下列说法中正确的有（   ） ①近似数与表示的意义不同；②近似数是精确到十位；③近似数是精确到；④200精确到百位； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型九】有理数的实际应用 【例9】（24-25七年级上·浙江温州·期中）某自行车厂计划一周生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：辆）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (2)该厂实行计件工资制度，每辆车80元，一周结束超额完成任务时，超出部分每辆车奖20元，少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【变式9-1】（24-25七年级上·福建泉州·期中）如图是泉州市某条东西走向的公交线路，东起泉州市图书馆站，西至清源山风景区站，共17个站点．某天，小明同学参加该线路上的志愿者服务活动，从现代广场站出发，最后在A站结束．如果规定向东记为正，向西记为负，小明同学当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：．则A站是 站． 【变式9-2】（24-25七年级上·重庆·期中）在抗洪抢险中，抢险队员驾驶的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处距离地______千米． (2)请你帮忙确定地相对于地的方位，距离地多少千米． (3)若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油． 【变式9-3】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有一口深2.6米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 (1)在这7次跳跃除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是____厘米；青蛙距离井口的最近距离是_____厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一循环，若青蛙之后的每个循环跳跃下滑情况都和第一循环相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 【题型一】流程图 【例1】（24-25七年级上·河南安阳·期中）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果n是（   ） A．1 B．5 C．-1 D．6 【变式1-1】（24-25七年级上·广东韶关·期中）按如图所示的程序进行计算，如果输入的数是18，那么最后输出的结果为 ． 【变式1-2】（24-25七年级上·辽宁大连·期中）定义如下运算程序，则输入，时，输出的结果为 ． 【变式1-3】（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2025次输出的结果为 ． 【题型二】新定义运算 【例2】（24-25七年级上·广东广州·期中）定义：表示不超过的最大整数．如：，．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有（   ）个 A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级上·四川南充·期中）用符号表示a、b两数中较小的一个数，用符号表示a、b两数中较大的一个数，计算： 【变式2-2】（25-26七年级上·全国·期中）定义新运算 “”：，则的值为________ 【变式2-3】（24-25七年级上·四川南充·期中）表示小于或等于该数的正整数的积，例如：，则为__________ 【题型三】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例3】（24-25七年级上·广东江门·期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列关系式：①，②，③，④，⑤．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】（24-25七年级上·河南南阳·期中）有理数、在数轴上对应的点的位置如图所示，则下面结论：①；②；③；④，⑤其中正确的有（   ） A．①②④⑤ B．②③④ C．①②③ D．①③④⑤ 【变式3-2】（24-25七年级上·重庆石柱·期中）数轴上，，三个数表示的点如图所示，则下面结论正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a，b，则下列式子不成立的是（   ） A． B． C． D． 【题型四】数轴上有关计算 【例4】（24-25七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴单位长度为1，点A、B、C、D所表示的数字分别为a、b，c、d． (1)若点B为原点，求的值是多少？ (2)若A、D表示的数互为相反数，求的值是多少？ 【变式4-1】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点，，分别表示三个不同的有理数，其中点到点的距离为，点到点的距离为，设点，，所对应数的和是．    (1)若点为原点，则点，所对应的数分别为______，______，的值为__________； (2)若以点为原点，再添上一个有理数，使得这四个有理数的和为，求的值； (3)若原点在图中的数轴上，且点到原点的距离为，则等于多少？ 【题型五】数轴上的翻折 【例5】（25-26七年级上·全国·期中）如图，在纸上有一条数轴．折叠这张纸，使对应的点与1对应的点重合，则3对应的点与 对应的点重合． 【变式5-1】（25-26七年级上·全国·期中）如下图，已知在纸面上有一数轴，折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数4表示的点重合． 若数轴上数表示的点与数1表示的点重合，根据此情境解决下列问题： (1)数轴上数3表示的点与数________表示的点重合． (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B表示的数是________． (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合，点M表示的数比点N表示的数大，则M，N两点表示的数分别是什么？ 【变式5-2】（24-25七年级上·福建福州·期中）在白纸上画一数轴，折叠数轴，使数轴上数对应的点与数4对应的点重合． (1)求数轴上与数8对应的点重合的点对应的数； (2)若数轴上两点，（点在的左侧），折叠前，两点间的距离为50，折叠后，两点间的距离为5，求点表示的数． 【变式5-3】（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）折叠纸面，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： (1)数轴上10表示的点与___________表示的点重合． (2)若数轴上、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ (3)如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动2023次后，数轴上表示点的数与折叠后的哪个数重合？ 【题型六】数轴上的动点问题 【例6】（25-26七年级上·全国·期中）数轴上点A表示，点B表示1，将点A向右移动4个单位长度后，A、B两点间的距离为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【变式6-1】（24-25七年级上·广东惠州·期中）一只蚂蚁从数轴上A点出发爬了6个单位长度到了表示的点B，则点A所表示的是（   ） A．或5 B．或7 C． D．5 【变式6-2】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）小茹利用计算机软件绘制了一条数轴，数轴上有A，B，C，D四点，其中点A在点B的左侧，点B在原点处，点C，D分别与5和8对应，A，B之间的距离与C，D之间的距离相等．    (1)点A表示的数为________． (2)小茹利用软件制作了一只电子蟋蟀，蟋蟀从点A处开始第一次沿数轴向右跳动1个单位长度，第二次沿数轴向左跳动3个单位长度，第三次沿数轴向右跳动5个单位长度，第四次沿数轴向左跳动7个单位长度，……，且按此规律进行跳动． ①求电子蟋蟀跳动5次后落点所对应的数轴上的数，并直接写出第几次跳动后落在原点处． ②求出电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离． 【变式6-3】（23-24七年级上·河南信阳·期中）数轴上有两个点A、B，分别代表的整数是a和b，a、b满足． (1) 　　，　　，点A与点B之间的距离是　　． (2)点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点B以每秒4个单位长度的速度向左运动，点A、B同时运动，设运动时间为t秒，回答下列问题： ①t秒时，点A对应的数为　　；（用含t的式子表示） ②当时，求点A与点B之间的距离．（用含t的式子表示） 【题型一】绝对值的化简 ·适用形式： ·求解方法：①判断正负；②去绝对值(正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它相反数)；③计算其值 【例1】（2024七年级上·江苏·期中）已知有理数、满足，则 ． 【变式1-1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图所示，有理数a，b，c在数轴上对应的点分别是A，B，C．其中O为数轴的原点，则代数式化简 ． 【变式1-2】（24-25七年级上·福建泉州·期中）若，则的值是（   ） A． B．1 C．2 D． 【变式1-3】（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知、、均为非零有理数，若这三个数的和小于0，积大于0，则的值为 ． 【题型二】代数式的最值问题 ·适用形式： ·求解方法：当时有最小值为， 当时有最大值为. 【例2】（25-26七年级上·武汉期中）当 时，有最 值（填“大”或“小”）是 ． 【变式2-1】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如果a是有理数，代数式的最小值是 ． 【变式2-2】（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 【题型三】非负+非负=0 ·适用形式： ·求解方法： 【例3】（24-25七年级上·北京·期中）若，则的值是（    ） A． B．0 C．3 D．1 【变式3-1】（24-25七年级上·山东济宁·期中）已知，则的值是 ． 【变式3-2】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若，则 ． 【变式3-3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知|ab-2|与|b-1|互为相反数，试求代数式的值． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的运算 【清单01】有理数加法法则 1.同号两数相加,和取相同的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值的和. 2.绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.互为相反数的两个数相加得0. 3.一个数与0相加,仍得这个数. 【清单02】有理数加法运算律 有理数加法交换律：交换两个加数的位置，和不变; 有理数加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变; . 【清单03】有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数 【清单04】有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与0相乘，都得0. 互为倒数的两数相乘等于1 【清单05】有理数乘法运算律 乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变; 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等; 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加; . 【清单06】有理数除法 有理数的除法法则:除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 【清单07】有理数乘方 这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 正数的奇次幂是个正数，正数的偶次幂是个正数 负数的奇次幂是个负数，负数的偶次幂是个正数 1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1.-1的奇次幂是-1 0的任何正整数次幂都是0 互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数 【清单08】有理数混合运算 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 【清单09】科学记数法 科学记数法：把大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数(即)， 是正整数.这种记数方法叫做科学记数法. 【清单10】近似数 近似数：经过“四舍五入”得到的数叫近似数,一般用工具量出来的数都是近似数； 能表示原来物体或事件的实际数量的数是准确数，一般通过计数数出来的数都是准确数. 【题型一】相反数、倒数和绝对值有关计算 【例1】（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）在CCTV“智力快车”栏目中，主持人问这样一道题目：“a的相反数是它本身的有理数，b的倒数是它本身的有理数，c是绝对值最小的有理数”，请问：a，b，c三数之和是（   ） A．0 B．1或 C． D．2 【答案】B 【知识点】相反数的定义、有理数加法运算、绝对值的几何意义、倒数 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值、有理数的加法，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据相反数、倒数、绝对值的知识分别求出的值，再相加即可得出答案． 【详解】解：a的相反数是它本身的有理数，b的倒数是它本身的有理数，c是绝对值最小的有理数， ，，， 当时，； 当时，； 综上所述，a，b，c三数之和是1或． 故选：B． 【变式1-1】．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知a，b互为倒数，m，n互为相反数，则的值是 ． 【答案】-4 【知识点】倒数、相反数的定义 【分析】本题考查了倒数的定义，相反数的定义． 根据倒数的定义，相反数的定义得到，，，再代入计算即可． 【详解】解：∵a，b互为倒数，m，n互为相反数， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·期中）已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，且，则的值为________ 【答案】5 【知识点】有理数的乘方运算、相反数的定义、绝对值的几何意义、倒数 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值和有理数的乘方，掌握整体代入思想是解题的关键． 根据相反数、倒数、绝对值的定义可得，，，代入求值即可． 【详解】解：∵a与b互为相反数， ∴； ∵c与d互为倒数， ∴； ∵， ∴， ∴； 代入代数式得：． 【题型二】有理数判断符号和计算 【例2】（24-25七年级上·四川巴中·期中）若，且，则（   ） A．5或7 B．或 C．或5 D．或7 【答案】A 【知识点】有理数加法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了有理数的加法，绝对值的性质，是基础题．判断出、的对应情况是解题的关键． 根据绝对值的性质求出、的值，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可． 【详解】解：因为，， 所以，， 因为， 所以， 所以，， 所以，当，时，； 当，时，； 故选A． 【变式2-1】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若，，且，求的值． 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算、求一个数的绝对值、有理数加法运算、有理数乘方逆运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方的逆运算，求一个数的绝对值，有理数的加法计算，先计算乘方和绝对值得到，，再由得到或，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴或， ∴或， ∴的值为． 【变式2-2】（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）若，且点A、B对应的数分别是a，b，求A、B两点间的最大距离 【答案】8 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算 【分析】因为，得出或，或，结合所求问题是A、B两点间的最大距离，故列式．本题考查了数轴，绝对值，有理数的减法，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义． 【详解】解：∵ ∴ ∴或，或， ∴A、B两点间的最大距离是． 【变式2-3】（25-26七年级上·全国·期中）已知有理数m，n在数轴上的位置如图所示（m在原点右侧，n在原点左侧，且），且，． (1)求m和n的值； (2)比较和的大小； (3)计算的值． 【答案】(1)， (2) (3)6 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的加减运算，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的加减运算是解题的关键； （1）根据数轴可知m是正数，n是负数，然后根据绝对值的意义可进行求解； （2）由（1）可分别得出和的值，然后问题可求解； （3）由（2）及有理数的运算可进行求解 【详解】（1）解：因为m在原点右侧，，所以； 因为n在原点左侧，，所以． （2）解：由（1）可知：，， ∴， 因为， 所以． （3）解：由（2）可得：． 【题型三】有理数混合运算概念辨析 【例3】（24-25六年级上·上海嘉定·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．两个有理数的和一定大于其中一个加数 B．两个有理数的和可能比这两个加数都小 C．两个有理数的差一定小于被减数 D．一个较大的数减去一个较小的数结果可能为负数 【答案】B 【知识点】有理数大小比较、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法以及正数和负数，熟记运算法则是解题的关键．根据有理数的减法运算法则对各小题分析判断即可得解．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：． 【详解】A 选项：例如，和不大于加数0，所以该选项错误； B 选项：例如，比和都小，该选项正确； C 选项：例如，差7大于被减数5，所以该选项错误； D 选项：较大数减较小数，结果一定是正数，所以该选项错误． 故选：B． 【变式3-1】（24-25七年级上·广东东莞·期中）下列说法中，正确的有（    ）个 ①是负数；②两个有理数的和为负数时，这两个数一定是负数；③两个有理数比较大小，绝对值大的反而小；④一个数的绝对值一定不是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】有理数大小比较、相反数的定义、有理数加法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，负数的定义、有理数大小比较，有理数的加法，解题的关键是掌握以上知识点．根据绝对值的意义，负数的定义、有理数大小比较方法，有理数的加法法则逐一判断即可． 【详解】解：①若，则，故不一定是负数，故①错误，不符合题意； ②若，则两个有理数的和为负数时，这两个数不一定是负数，故②错误，不符合题意； ③两个负有理数比较大小，绝对值大的反而小，故③错误，不符合题意； ④，故一个数的绝对值一定不是负数，故④正确，符合题意； 故选：A． 【变式3-2】（23-24七年级上·四川乐山·期中）已知两数的和为正，下面的判断中，正确的是（   ） A．两个加数必须都为正数 B．两个加数都为负数 C．两个加数中至少有一个正数 D．两个加数必须一正，一负 【答案】C 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】根据有理数加法计算法则逐一判断即可． 【详解】解：A．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，并不一定两个加数都是正数，说法错误，不符合题意； B．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，说法错误，不符合题意； C．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，即两个加数中至少有一个正数，说法正确，符合题意； D．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，两个加数可以都是正数，说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数加法计算，熟知两个有理数相加，符号取绝对值较大的数的符号是解题的关键． 【变式3-3】（24-25六年级上·上海·期中）下列说法：①0的倒数是0；②若且，则a，b异号且负数的绝对值较大；③如果，那么a，b中至少有一个为0；④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，其中正确的结论有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】两个有理数的乘法运算、倒数、有理数加法运算 【分析】本题考查倒数，有理数的乘法，关键是掌握倒数的定义，有理数乘法的运算法则． 由倒数的定义，有理数乘法的运算法则，即可判断． 【详解】解：①0 没有倒数，故①不符合题意； ②若且，则异号且负数的绝对值较大，正确，故②符合题意； ③如果，那么中至少有一个为0，正确，故③符合题意； ④几个不为 0 的有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，故④不符合题意， ∴其中正确的结论有 2 个． 故选：B． 【题型四】有理数的简便运算 【例4】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）(1)计算：． (2) (3) (4) (5) (6)． (7) (8) (9) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6)0 (7) (8) (9) 【知识点】有理数加法运算、有理数加法运算律、多个有理数乘法、有理数乘法运算律 【分析】(1)本题主要考查了有理数的加法运算以及加法运算律的应用，熟练掌握加法交换律和结合律，通过合理组合数字来简化计算是解题的关键．利用加法交换律和结合律，将能凑整的数结合在一起进行简便计算，从而简化运算过程． (2)本题考查有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数加法的运算法则，即同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．本题根据有理数加法的运算法则进行计算即可． (3)同分母的分数先加减即可解决问题． (4)本题考查了有理数的加法计算，将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可． (5)本题考查了有理数的乘法运算．根据多个有理数的乘法法则计算即可． (6)直接运用乘法分配律进行计算即可． (7)将原式变形为，再根据根据乘法分配律计算即可； (8)先进行通分，再运用除法运算法则进行计算即可；也可先求其倒数. (9) 本题考查了逆用同底数幂的乘法，积的乘方法则，将化成，结合奇负偶正，同底数幂乘法的逆运算，即可求解； 【详解】(1)解： (2) 解： ． (3) (4)解： ． (5) 解： ． （6）解： ． （7）解： ； （8）解： ； 原式的倒数= = = == ∴原式= 解：原式 ， 【变式4-1】计算：(1)． (2) (3)； (4) (5) ． (6) (7) (8) 【答案】(1)0 (2) (3) (4) (5)37 (6) 2025 (7) (8) 【知识点】有理数加法运算、有理数加法运算律 【分析】(1)此题主要考查有理数的加法运算，解题的关键是熟知其运算法则．利用加法交换律和结合律简化运算求解即可． （2）根据有理数的加法交换律和结合律可进行求解． （3）直接根据有理数的加法计算法则求解即可． （4）本题考查了有理数的加法计算，将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可 （5）先把除法变成乘法，再根据乘法分配律求解即可． （6）本题主要考查有理数的混合运算，简便计算的方法，逆用乘法的分配律将原式变为，再进行计算即可． （7）把原式化为，然后运用乘法分配律解题即可． （8）根据题意倒数法解答出来即可． 【详解】(1)解： ． （2）解：原式． （3）解： ． （4）原式 ． （5）解：原式 ． （6）解： ． （7）解： ． （8）解：原式的倒数 ， 所以原式． 【变式4-2】计算(1) (2) (3) . (4) ． (5)． (6) (7) (8) 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）6 (8) 【知识点】有理数加法运算、有理数加法运算律、多个有理数的乘法运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的加法，解题的关键是灵活运用加法结合律、交换律进行简便运算． （1） 同号的数先加，然后再加减即可； （2） 有理数加法运算律 （3）本题考查有理数的加法运算，还考查绝对值，按照有理数的加法运算顺序进行运算即可，可以结合加法结合律．运用加法运算顺序和加法结合律进行计算即可． （4）本题考查了有理数的加法计算，将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可 （5）该题主要考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则．将化为，再根据乘法交换律解答即可． （6）利用乘法分配律展开计算； （7）逆用乘法分配律进行计算即可； （8）本题考查了有理数的除法，掌握求解的方法是关键；先把原式变形为，再根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）原式 （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ， （6） ； （7）解： ； （8）解： ． 【题型五】有理数的混合运算 【例5】（23-24七年级上·山东临沂·期中）计算：（1）． （2）． （3） （4） 【答案】（1）-3 （2） （3） （4） 【知识点】两个有理数加减乘除混合运算 【分析】 （1）本题考查了有理数的混合运算，熟知有理数的运算法则和运算顺序是解题的关键．根据运算法则先依次计算乘除法，再计算加减法即可． （2）本题考查了有理数的混合运算；先计算乘法，再计算乘除，最后计算加减，即可求解． （3）先算乘方，再算乘法，后算加减 （4）先算乘方和括号内的式子，然后算括号外的乘除法，最后算减法即可． 熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意交换律，乘法分配律的应用． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：                                  ． （3） . （4）解：原式 ． 【变式5-1】（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1)； (2) (3) ； (4) 【答案】(1)22 (2) (3)2 (4)1 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律、有理数加减中的简便运算、有理数加法运算律 【分析】本题主要考查了加法运算律、乘法运算律、含乘方的有理数的混合运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算乘方、然后再按有理数四则混合运算法则计算即可； （2）先计算乘方、乘法，再计算括号内的减法，然后计算除法，最后计算减法即可得． （3）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可； （4）此题考查有理数的乘除法，根据有理数的乘除混合运算顺序计算即可，解题的关键是根据有理数的乘除混合运算顺序计算． 【详解】 （1）解： ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ； （4）解： ． 【变式5-2】（24-25七年级上·北京·期中）计算：（1）． （2）． （3）． （4） 【答案】（1） （2）1 （3） （4） 【知识点】有理数加减乘除混合运算 【分析】（1）本题考查了有理数的乘除混合运算，解题关键是注意运算的顺序．先将小数与带分数化为分数，同时将除法转化为乘法，再计算． （2）根据先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内 （3）本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解答此题的关键．先算括号里面的，再算乘除法，最后算加减即可． （4）先算乘方和绝对值，再算乘除，最后计算加减法 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：原式 ． （4） ． 【变式5-3】（24-25七年级上·吉林·期中）计算：（1）． （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3）1 （4） 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】（1）本题主要考查了有理数的四则混合运算，掌握有理数的四则混合运算法则是解题的关键． 根据有理数的四则混合运算法则求解即可． （2）首先根据有理数乘方运算法则、有理数除法法则和乘法分配律进行运算，然后进行加减运算即可． （3）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减．解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （4）先将绝对值化简，将除法改写为乘法，根据乘法分配律将括号展开，再进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ． （3） ． （4）解： ． 【题型六】有理数幂的相关概念 【例6】（24-25九年级下·河北衡水·期中）已知：，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查有理数指数幂的定义，根据题意，得到，进行计算即可．熟练掌握有理数指数幂的定义，是解题的关键： 【详解】解：由题意，得：； 故选C． 【变式6-1】（2025·贵州遵义·期中）下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个2相加 C．与意义相同 D．的指数是3 【答案】D 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查有理数的乘方，有理数幂的概念：表示n个a的乘积，a为底数，n为指数．根据有理数幂的概念解答即可． 【详解】解：A、的底数是，原说法错误，不符合题意； B、表示3个2相乘，原说法错误，不符合题意； C、表示的是3个相乘，表示的是3个2相乘的相反数，二者意义不同，原说法错误，不符合题意； D、的指数是3，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式6-2】（2025六年级上·全国·期中）中指数为 ，底数为 ；4的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ，结果是 ． 【答案】 6 4 1 5 【知识点】有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方的意义及运算，解题关键是掌握有理数的乘方的意义． 先根据有理数的乘方的意义求解，再计算结果． 【详解】解：中指数为6，底数为； 4的底数是4，指数是1； 的底数是，指数是5，结果是． 故答案为：6，，4，1，，5，． 【题型七】科学记数法 【例7】（24-25七年级上·广东广州·期中）某景区小长假期间共接待游客236000人次，用科学记数法可将236000表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：用科学记数法可将236000表示为， 故选：B． 【变式7-1】（25-26七年级上·全国·期中）粮食安全是“国之大者”，2024年《政府工作报告》明确将粮食产量1.3万亿斤以上作为发展主要预期目标之一，将1.3万亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将1.3万亿写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：1.3万亿， 故选B． 【变式7-2】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）2024年国庆假期，沈阳累计接待国内游客万人次，数据万用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 根据科学记数法的方法进行解题即可． 【详解】解：万． 故选：C 【变式7-3】（24-25七年级上·安徽宿州·期中）用科学记数法表示为的数是（    ） A．1888 B．188.8 C．0.001888 D．18880 【答案】A 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查科学记数法表示的数变回原数．科学记数法指把一个数写成（其中，为整数）的形式． 【详解】解：． 故选：A． 【题型八】近似数 【例8】．（23-24七年级上·山西临汾·期中）用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到千分位） C．（精确到百分位） D．（精确到） 【答案】B 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数，根据四舍五入法对各选项进行判断即可求解，掌握四舍五入法是解题的关键． 【详解】解：、精确到是，该选项正确，不符合题意； 、精确到千分位是，该选项错误，符合题意； 、精确到百分位是，该选项正确，不符合题意； 、精确到是，该选项正确，不符合题意； 故选：． 【变式8-1】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）用四舍五入法将数7.83695精确到千分位的结果是（　　） A．7.8 B．7.84 C．7.836 D．7.837 【答案】D 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 把万分位上的数字9进行四舍五入． 【详解】解：将数7.83695精确到千分位， ． 故选：D． 【变式8-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法错误的是（   ） A．近似数3.02万精确到百位 B．142500000000精确到千万位为1425.0亿 C．142500000000精确到千万位为 D．近似数4.80所表示的精确数的范围为 【答案】C 【知识点】求近似数的精确度、将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查近似数的精确度判断，精确到哪一位，就是对它后边的一位进行四舍五入．逐一分析各选项的精确位数是否符合要求即可． 【详解】解：A、近似数3.02万中，末位数字2位于百位（3.02万=30200），故精确到百位，说法正确，选项错误； B、原数142500000000精确到千万位时，千万位为0，后续数字全为0，无需进位。用“亿”为单位表示为1425.0亿，小数点后的0表明精确到千万位，说法正确，选项错误； C、科学记数法中，末位数字5位于十亿位，故精确到十亿位而非千万位，说法错误，选项正确； D、近似数4.80精确到百分位，其范围应为，说法正确，选项错误； 故选：C． 【变式8-3】（24-25七年级上·山东滨州·期中）下列说法中正确的有（   ） ①近似数与表示的意义不同；②近似数是精确到十位；③近似数是精确到；④200精确到百位； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】求近似数的精确度、将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查了近似数的精确数和科学记数法，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．精确到哪一位，就是对它后边的一位进行四舍五入．逐一分析各说法的正确性即可． 【详解】解：① 近似数精确到十分位（），而精确到百分位（），两者意义不同，正确； ②，精确到十位，正确； ③ 0.1800的最后一位是第四个小数位的0，精确到0.0001，正确； ④ 200若为三位有效数字，则精确到个位；但题目未明确有效数字位数，默认精确到个位，故“精确到百位”错误； 综上，①、②、③正确，共3个， 故选：C． 【题型九】有理数的实际应用 【例9】（24-25七年级上·浙江温州·期中）某自行车厂计划一周生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：辆）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (2)该厂实行计件工资制度，每辆车80元，一周结束超额完成任务时，超出部分每辆车奖20元，少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)20辆 (2)56900元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义求得实际生产自行车的数量，然后根据已知条件列式计算即可． 【详解】（1）解：（辆， 即产量最多的一天比产量最少的一天多生产20辆； （2）解：（辆）， 那么这一周实际共生产自行车（辆， 则（元， 即该厂工人这一周的工资总额为56900元． 【变式9-1】（24-25七年级上·福建泉州·期中）如图是泉州市某条东西走向的公交线路，东起泉州市图书馆站，西至清源山风景区站，共17个站点．某天，小明同学参加该线路上的志愿者服务活动，从现代广场站出发，最后在A站结束．如果规定向东记为正，向西记为负，小明同学当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：．则A站是 站． 【答案】钟楼 【知识点】有理数加法在生活中的应用、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，正负数的实际应用，把所给的乘车站数相加，若结果为正，则从现代广场站出发向西走所得结果的站数到达的站点即为A站，若结果为负，则从现代广场站出发向西走所得结果的绝对值的站数到达的站点即为A站，若结果为0，则回到现代广场站． 【详解】解：， ∴A站是从现代广场站出发向西走6站所到的站点，即A站是钟楼站， 故答案为：钟楼． 【变式9-2】（24-25七年级上·重庆·期中）在抗洪抢险中，抢险队员驾驶的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处距离地______千米． (2)请你帮忙确定地相对于地的方位，距离地多少千米． (3)若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油． 【答案】(1) (2)地在地的东边，距离地千米，过程见解析 (3)升，过程见解析 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法在生活中的应用、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键．（1）分别算出每次航行后离出发点的位置即可得到答案；（2）将所给的路程记录相加；（3）先求出总路程，再求出总油耗即可得到答案． 【详解】（1）解：路程记录中各点离出发点的距离分别为： 千米， 千米， 千米， 千米， 千米， 千米， 千米， 千米， 救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有千米； （2）解：， ， ； 地在地的东边，距离地千米； （3）解：， ， ， ， 若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充升油． 【变式9-3】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有一口深2.6米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 (1)在这7次跳跃除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是____厘米；青蛙距离井口的最近距离是_____厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一循环，若青蛙之后的每个循环跳跃下滑情况都和第一循环相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 【答案】(1)17；152 (2)160厘米 (3)青蛙在第18次跳出了井口 【知识点】有理数加法在生活中的应用、正负数的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查正数和负数、有理数加法、有理数减法的应用，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义． （1）以井底为起点0，正数加负数可以计算出青蛙距离井底和井口的距离即可求解； （2）用井深减去青蛙第七次跳跃并下滑稳定后距离井底的距离，就可以计算青蛙距离井口的距离； （3）在跳完七次的基础上，进行循环计算，就可以计算出第几次可以跳出井口． 【详解】（1）解： 井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住，正数表示上跳，负数表示下滑， 第一次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底17厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第二次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底26厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第三次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底41厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第四次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底64厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第五次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底80厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第六次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底90厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第七次跳跃以后没有下滑前：，表示青蛙在距离井底108厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 当青蛙跳完第一次以后距离井底最近为17厘米，当调完第七次后示下滑时，青蛙在距离井口最近152厘米处， 故答案为：17，152； （2）解：第七次跳跃并下滑稳定后：，表示青蛙在距离井底100厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 答：在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有160厘米． （3）解：每7次跳跃下滑记为一周，青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同， 当青蛙跳完2周以后，距离井口的距离（厘米），此时青蛙完成了14次跳跃， 青蛙继续跳跃情况为：（厘米）， ∵ ∴青蛙又继续跳跃4次就跳出了井口， ∴青蛙在第18次跳出了井口． 【题型一】流程图 【例1】（24-25七年级上·河南安阳·期中）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果n是（   ） A．1 B．5 C．-1 D．6 【答案】B 【知识点】有理数的减法运算、程序流程图与有理数计算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了程序框图，以及有理数乘法与减法的应用．将代入程序图，根据有理数的乘法与减法法则进行计算，直到计算结果小于即可解题． 【详解】解：开始输入， ， ， 则最后输出的结果n是5， 故选：B． 【变式1-1】（24-25七年级上·广东韶关·期中）按如图所示的程序进行计算，如果输入的数是18，那么最后输出的结果为 ． 【答案】288 【知识点】程序流程图与有理数计算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了程序流程图和有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键， 根据程序流程图逐步列式计算即可． 【详解】解：观察流程图，可先计算得到，， 输入18得：， ， ∴输入得：， ， ∴输入72得：， ， ∴输入得：， ， ∴输出的结果为288， 故答案为：288． 【变式1-2】（24-25七年级上·辽宁大连·期中）定义如下运算程序，则输入，时，输出的结果为 ． 【答案】8 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】此题考查了代数式的求值与有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 由程序框图将，代入计算可得答案． 【详解】解：，，， 输出结果为． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2025次输出的结果为 ． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查有理数与程序运算问题，从程序中找到规律是解题的关键．根据流程图以及整式的运算即可求出答案． 【详解】解：由题意得，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为 ， 第三次输出的结果为 ， 第四次输出的结果为 ， 第五次输出的结果为， …… ∴从第三次开始，第奇数次输出的结果是，第偶数次输出的结果是， ∵2025是奇数， ∴第2025次输出的结果为， 故答案为：． 【题型二】新定义运算 【例2】（24-25七年级上·广东广州·期中）定义：表示不超过的最大整数．如：，．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数大小比较、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的大小比较、新定义运算，解决本题的关键是根据新定义运算计算出结果，根据计算的结果判断是否正确． 【详解】解：根据题意可得：，故正确； 根据题意可得：，故正确； 当时，有， 不成立，故错误； 当时，有， 不成立，故错误； 当时，，若，则的值可以是，故正确， 综上所述，正确的结论共有个． 故选：B ． 【变式2-1】（24-25七年级上·四川南充·期中）用符号表示a、b两数中较小的一个数，用符号表示a、b两数中较大的一个数，计算： 【答案】 【知识点】有理数大小比较、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的大小比较、有理数的减法，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键．先根据新符号的定义可得，再计算有理数的减法即可得． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 【变式2-2】（25-26七年级上·全国·期中）定义新运算 “”：，则的值为________ 【答案】6 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了新定义运算的理解及有理数的混合运算，解题的关键是遵循运算顺序，先计算括号内的新运算，再进行外层运算，准确代入新运算公式． 根据新运算“”的定义，先计算括号内的，得到结果后，再用该结果计算与它的新运算，最后将结果与选项匹配． 【详解】解：由新运算，先算； 再算．该结果与选项A一致， 故选：A． 【变式2-3】（24-25七年级上·四川南充·期中）表示小于或等于该数的正整数的积，例如：，则为__________ 【答案】9900 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法和乘法运算律，理解的定义是解题关键．根据题意可得，，再代入计算即可． 【详解】解：， ，， ，， . 【题型三】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例3】（24-25七年级上·广东江门·期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列关系式：①，②，③，④，⑤．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】绝对值的其他应用、利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的加减和有理数的大小比较．由数轴确定a，b的正负，a，b和绝对值间的关系，是解决本题的关键． 根据各点在数轴上的位置，运算法则以及绝对值的性质求解即可． 【详解】由数轴知，，故①正确； 由于，所以，故②不正确； 由于，取的符号，所以，故③不正确； 由于，所以，故④不正确； 因为，所以，又因为，所以，故⑤正确； 综上分析可知，正确的有2个， 故选：B． 【变式3-1】（24-25七年级上·河南南阳·期中）有理数、在数轴上对应的点的位置如图所示，则下面结论：①；②；③；④，⑤其中正确的有（   ） A．①②④⑤ B．②③④ C．①②③ D．①③④⑤ 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了实数的加减，掌握实数的绝对值和加减法法则是解决本题的关键．先确定数轴原点的位置，再根据实数的加减法法则逐个判断得结论． 【详解】解：由a和都在数轴上， ∴原点再a、的中间， ． ∴，故①正确； ∵，由数轴知，， ∴，，故②错误，③正确； ∵，， ∴，故④正确；根据异号两数相加的法则，，故⑤正确． 综上，正确的有①③④⑤． 故选：D． 【变式3-2】（24-25七年级上·重庆石柱·期中）数轴上，，三个数表示的点如图所示，则下面结论正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的除法运算、多个有理数的乘法运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的四则运算，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．由数轴得出，，再进一步判断每个选项即可． 【详解】解：由数轴得，，， ，故①正确； ， ， ∴，故②正确； ∵，， ，故③正确； ，， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 【变式3-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a，b，则下列式子不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两个有理数的乘法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负、有理数的乘法、绝对值的意义，由数轴可得，从而可得，，，，，逐项分析即可得解． 【详解】解：由数轴可得： ∴，，，，，故A正确； ∴，，，故B D正确，C错误； 故选：C． 【题型四】数轴上有关计算 【例4】（24-25七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴单位长度为1，点A、B、C、D所表示的数字分别为a、b，c、d． (1)若点B为原点，求的值是多少？ (2)若A、D表示的数互为相反数，求的值是多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数加法运算、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查数轴上点所表示的数以及有理数的加法运算，解题的关键是根据点为原点确定A，C，D所表示的数，再进行求和计算． 先根据点为原点确定a、b，c、d的值，然后将其代入进行计算． 【详解】（1）解：当B为原点时，点B表示的数为0，点A表示的数为，点C表示的数为2，点D表示的数为8， 所以 ； （2）解：当A、D表示的数互为相反数时，A，D间的距离为10， 所以点A表示的数为，点D表示的数为5，点B表示的数为，点C表示的数为， 所以． 【变式4-1】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点，，分别表示三个不同的有理数，其中点到点的距离为，点到点的距离为，设点，，所对应数的和是．    (1)若点为原点，则点，所对应的数分别为______，______，的值为__________； (2)若以点为原点，再添上一个有理数，使得这四个有理数的和为，求的值； (3)若原点在图中的数轴上，且点到原点的距离为，则等于多少？ 【答案】(1)，，； (2)； (3)的值为或． 【知识点】有理数加法运算、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】（）根据题意可求出三个点所表示的数，进而即可求出结果； （）当为原点时分别求出，所对应的数，再根据四个有理数的和为，进行求解即可； （）根据当原点在点的左边时和原点在点的右边时两种情况下，分别求出三个点所对应的数，即可求求解； 本题考查了数轴及数轴上两点间的距离，有理数，有理数加法的运算，掌握分类讨论的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：因为点为原点，且，都位于的右侧， 所以点所对应的数为，点所对应的数为， 所以， 故答案为：，，； （2）解：因为点为原点， 所以点表示的数为，点表示的数为， 所以， 解得：； （3）解：因为点到点的距离为个单位长度，点到点的距离为，点到原点的距离为个单位长度， 所以当原点在点的左边时，，，三点在数轴上所对应的数分别为，，， 所以； 当原点在点的右边时，，，三点在数轴上所对应的数分别为，，， 所以； 综上所述：的值为或． 【题型五】数轴上的翻折 【例5】（25-26七年级上·全国·期中）如图，在纸上有一条数轴．折叠这张纸，使对应的点与1对应的点重合，则3对应的点与 对应的点重合． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的翻折 【分析】本题考查数轴的对折问题，先求出对折处的点对应的数，再根据对折点到两个重合的点的距离相等，即可求解． 【详解】解： 对应的点与1对应的点重合， 对折处的点对应的数为：， ，， 3对应的点与对应的点重合． 故答案为：． 【变式5-1】（25-26七年级上·全国·期中）如下图，已知在纸面上有一数轴，折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数4表示的点重合． 若数轴上数表示的点与数1表示的点重合，根据此情境解决下列问题： (1)数轴上数3表示的点与数________表示的点重合． (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B表示的数是________． (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合，点M表示的数比点N表示的数大，则M，N两点表示的数分别是什么？ 【答案】(1) (2)或3 (3)点M表示的数是1011，点N表示的数是 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的翻折 【分析】本题考查有理数与数轴，折叠问题，计算出折叠处的点表示的数是解题的关键． （1）计算出折叠处的点表示的数，即可求解； （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A所表示的数为5或，分两种情况计算即可； （3）先计算出所在点到点M或点N的距离，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上数表示的点与数1表示的点重合， 折叠处的点表示的数为：， ，， 数轴上数3表示的点与数表示的点重合． 故答案为：； （2）解：由（1）知折叠处的点表示的数为：， 若点A到原点的距离是5个单位长度，则点A所表示的数为5或， 点A所表示的数为5时，，， 点B表示的数是； 点A所表示的数为时，，， 点B表示的数是3； 故答案为：或3； （3）解： M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合， 所在点到点M或点N的距离为：， 点M表示的数比点N表示的数大， 点M表示的数为：， 点N表示的数为：． 【变式5-2】（24-25七年级上·福建福州·期中）在白纸上画一数轴，折叠数轴，使数轴上数对应的点与数4对应的点重合． (1)求数轴上与数8对应的点重合的点对应的数； (2)若数轴上两点，（点在的左侧），折叠前，两点间的距离为50，折叠后，两点间的距离为5，求点表示的数． 【答案】(1) (2)或 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的翻折、有理数的除法运算 【分析】本题考查折叠的性质，数轴上两点间的距离，掌握两点间距离的计算方法是解题的关键． （1）设与数8对应的点重合的点对应的数为，根据题意得到，即可解题． （2）设折叠处为点C，根据折叠前A、B两点间的距离为，折叠后A，B两点间的距离为，得到，再分类讨论，①，②，根据上述两种情况分析，即可得到点A表示的数． 【详解】（1）解：设与数8对应的点重合的点对应的数为， 则， 解得：， ∴与数8对应的点重合的点对应的数为； （2）解：解：设折叠处为点C， 折叠前A、B两点间的距离为，折叠后A，B两点间的距离为， ①当时， 由题知， 由上面两式整理可得，解得， 点C表示的数为， ∵点A在B的左侧， ∴点A表示的数为， ②当时， 由题知， 由上面两式整理可得，解得， 点C表示的数为， ∵点A在B的左侧， 点A表示的数为， 综上所述，点A表示的数为或． 【变式5-3】（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）折叠纸面，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： (1)数轴上10表示的点与___________表示的点重合． (2)若数轴上、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ (3)如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动2023次后，数轴上表示点的数与折叠后的哪个数重合？ 【答案】(1) (2)、两点表示的数是、 (3)正方形滚动次后，数轴上表示点的数与折叠后的重合 【知识点】数轴上的翻折、数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，数字类规律探究； （1）先求出和的中点，再根据对称列式计算即可求解； （2）根据中点定义求出的一半，然后分别列式计算即可； （3）根据边长为的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，正方形滚动一次后一个顶点落在表示的点处，正方形滚动次后一个顶点落在表示的点处，正方形滚动、4次后顶点A落在表示的点处，即可求出正方形滚动次后，顶点A落在表示的点处，进而即可求解． 【详解】（1）解：在数轴上表示的点与表示的点重合， 数轴上表示的点与表示的点的中点是表示的点． 数轴上表示的点与表示的点重合． 故答案为； （2）数轴上、两点之间的距离为， ， ， 点表示的数为， 点表示的数为． 答：、两点表示的数是、； （3）边长为的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处， ∴正方形滚动第次、第次时，点落在数轴上表示7的点处 正方形滚动第次、第次时，点落在数轴上表示的点处 规律是：正方形滚动第（是正整数）次、第次时，点落在数轴上表示的点处 正方形滚动次后，顶点A落在表示的点处， 此时，点距离数轴上2表示的点的距离为：， 正方形滚动次后，数轴上表示点的数与折叠后的重合． 【题型六】数轴上的动点问题 【例6】（25-26七年级上·全国·期中）数轴上点A表示，点B表示1，将点A向右移动4个单位长度后，A、B两点间的距离为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【知识点】有理数加法运算、数轴上点的平移（动点问题）、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上点的平移、数轴上两点间的距离等知识点，求出点A向右移动4个单位长度后所表示的数成为解题的关键． 先求出点A向右移动4个单位长度后所表示的数，然后根据数轴上两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：∵数轴上点A表示， ∴将点A向右移动4个单位长度后所表示的数为，此时A、B两点间的距离为． 故选A． 【变式6-1】（24-25七年级上·广东惠州·期中）一只蚂蚁从数轴上A点出发爬了6个单位长度到了表示的点B，则点A所表示的是（   ） A．或5 B．或7 C． D．5 【答案】A 【知识点】有理数加法运算、数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减运算，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，在学习中要注意培养数形结合的数学思想以及分类的思想． “从数轴上A点出发爬了6个单位长度”，这个方向是不确定的，可以是向左爬，也可以是向右爬． 【详解】解：分两种情况： 从数轴上A点出发向左爬了6个单位长度，则A点表示的数是； 从数轴上A点出发向右爬了6个单位长度，则A点表示的数是． 故选A． 【变式6-2】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）小茹利用计算机软件绘制了一条数轴，数轴上有A，B，C，D四点，其中点A在点B的左侧，点B在原点处，点C，D分别与5和8对应，A，B之间的距离与C，D之间的距离相等．    (1)点A表示的数为________． (2)小茹利用软件制作了一只电子蟋蟀，蟋蟀从点A处开始第一次沿数轴向右跳动1个单位长度，第二次沿数轴向左跳动3个单位长度，第三次沿数轴向右跳动5个单位长度，第四次沿数轴向左跳动7个单位长度，……，且按此规律进行跳动． ①求电子蟋蟀跳动5次后落点所对应的数轴上的数，并直接写出第几次跳动后落在原点处． ②求出电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离． 【答案】(1) (2)①5次后落点所对应的数轴上的数为2，第3次跳动后落在原点处；②108 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、用数轴上的点表示有理数、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查数轴上两点间距离、数轴上的动点问题，清楚电子蟋蟀的运动规律是解题的关键． （1）先计算出C，D之间的距离，再根据点B表示的数及点A与点B的相对位置，即可求解； （2）①电子蟋蟀从点A处开始，奇数次时向右跳，偶数次时向左跳，第n次时跳个单位长度，由此列式进行加减运算即可；②根据电子蟋蟀的运动规律求出跳动100次后的落点对应的数，再利用数轴上两点间距离公式计算即可． 【详解】（1）解：点C，D分别与5和8对应， ， 由题意得， 点A在点B的左侧，点B在原点处， 点A表示的数为: ， 故答案为：． （2）解：①由题意知，电子蟋蟀从点A处开始，奇数次时向右跳，偶数次时向左跳，第n次时跳个单位长度，点A表示的数为， 第5次后落点所对应的数轴上的数为：， ， 第3次跳动后落在原点处． ②第100次后落点所对应的数轴上的数为： ， 又点C与5对应， ． 电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离为108． 【变式6-3】（23-24七年级上·河南信阳·期中）数轴上有两个点A、B，分别代表的整数是a和b，a、b满足． (1) 　　，　　，点A与点B之间的距离是　　． (2)点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点B以每秒4个单位长度的速度向左运动，点A、B同时运动，设运动时间为t秒，回答下列问题： ①t秒时，点A对应的数为　　；（用含t的式子表示） ②当时，求点A与点B之间的距离．（用含t的式子表示） 【答案】(1)，2，10 (2)①；② 【知识点】数轴上两点之间的距离、乘方运算的符号规律、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性 【分析】本题考查了数轴、绝对值的非负性及乘方： （1）根据绝对值的非负性及乘方可得，，求出的值即可求解； （2）①根据数轴上点移动的规律即可求解； ②根据数轴上点移动的规律得点B对应的数为，当点B与点A相遇时，根据可求得，进而可求解； 熟练掌握数轴上动点的规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得： ，， 解得：，， 点A、点B表示的数分别是、2， ∴， ∴点A与点B之间的距离是10， 故答案为：，2，10． （2）①∵点A以每秒2个单位长度的速度向左运动， ∴t秒时，点A对应的数为， 故答案为：． ②∵点B以每秒4个单位长度的速度向左运动， ∴t秒时，点B对应的数为， 当点B与点A相遇时，则， 解得：， ∴当时，点A在点B的右侧， ， 故点A与点B之间的距离． 【题型一】绝对值的化简 ·适用形式： ·求解方法：①判断正负；②去绝对值(正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它相反数)；③计算其值 【例1】（2024七年级上·江苏·期中）已知有理数、满足，则 ． 【答案】2或或0 【知识点】有理数四则混合运算、带有字母的绝对值化简问题、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了有理数的绝对值和有理数的加法运算，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是解题关键． 分a、b同号与a、b异号两种情况，根据绝对值的意义和有理数的加法法则解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， 若a、b同号， 当，时，； 当，时，； 若a、b异号， 当，时，； 当，时，； 综上分析可知，的值为2，，0． 故答案为2或或0． 【变式1-1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图所示，有理数a，b，c在数轴上对应的点分别是A，B，C．其中O为数轴的原点，则代数式化简 ． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了数轴、化简绝对值、有理数的四则运算，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，且，则可得，，，再化简绝对值，计算除法与加减法即可得． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（24-25七年级上·福建泉州·期中）若，则的值是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了绝对值的意义、有理数的乘法，根据题意可得、、中有两个正数，一个负数，从而得出，再结合绝对值的意义计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴、、中有两个正数，一个负数， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-3】（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知、、均为非零有理数，若这三个数的和小于0，积大于0，则的值为 ． 【答案】或或 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了绝对值的性质、有理数的乘法、有理数的加法，由题意可得、、中两个数为负数，一个数为正数，再分三种情况：当为正数，、为负数时；当为正数，、为负数时；当为正数，、为负数时；分别求解即可得解． 【详解】解：∵、、均为非零有理数，若这三个数的和小于0，积大于0， ∴、、中两个数为负数，一个数为正数， 当为正数，、为负数时，此时， 当为正数，、为负数时，此时； 当为正数，、为负数时，此时； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 【题型二】代数式的最值问题 ·适用形式： ·求解方法：当时有最小值为， 当时有最大值为. 【例2】（25-26七年级上·武汉期中）当 时，有最 值（填“大”或“小”）是 ． 【答案】 大 2012 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】本题考查了平方式的非负性，熟练掌握平方式的非负性是解题的关键．由得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值是2012． 故答案为：；大；2012． 【变式2-1】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如果a是有理数，代数式的最小值是 ． 【答案】 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了偶次方的性质，根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 【变式2-2】（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 【答案】 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】本题考查乘方的非负性．熟练乘方的非负性是解题的关键． 根据乘方的非负性，确定最大值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴的最大值为：； 故答案为：． 【题型三】非负+非负=0 ·适用形式： ·求解方法： 【例3】（24-25七年级上·北京·期中）若，则的值是（    ） A． B．0 C．3 D．1 【答案】C 【知识点】绝对值非负性、有理数的减法运算 【分析】此题主要考查了非负数的性质，有理数的减法运算．直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出a，b的值进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式3-1】（24-25七年级上·山东济宁·期中）已知，则的值是 ． 【答案】1 【知识点】乘方运算的符号规律、有理数的乘方运算、绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：1． 【变式3-2】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若，则 ． 【答案】 【知识点】乘方运算的符号规律、有理数的减法运算、绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为零，则这几个非负数全为零；根据此性质求得a的值与b的值，最后可求得结果． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知|ab-2|与|b-1|互为相反数，试求代数式的值． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、绝对值非负性、相反数的定义 【分析】本题考查了代数式求值，利用相反数的性质列出关系式，再利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式后拆项变形，抵消合并即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $