专题01 有理数（期中复习讲义）（知识必备+13大核心题型+分层验收）六年级数学下学期新教材人教版五四制

专题01 有理数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正负数的意义 能准确判断正负数在实际情境中的意义 基础必考点，常出现在选择题中 有理数的分类 能根据有理数的概念区分有理数的分类 高频易错点，在对数字进行分类时忽略不循环小数和π 数轴 可以在数轴上表示有理数，并且能够利用数轴表示两点距离，同时能够解决动点问题 期中必考点，各题型均有可能出现；用数轴表示有理数、数轴上两点之间的距离表示和数轴比较大小是常考点；而数轴的动点问题则是作为压轴题来进行考查 相反数 重点掌握相反数的概念和性质，互为相反数的两个数和为0； 期中常考点，一般会和其他知识点混合一起考查，难度不大； 绝对值 能根据绝对值的概念与性质求解 期中必考点，基础题型和中等难度题型均可能出现；同时也会和数轴一起作为压轴题进行考查； 有理数的大小比较 能用不同的方法进行有理数的大小比较 基础必考点，一般在解答题中会有一道题与数轴一起考查有理数的大小比较 知识点01 正数与负数 正数：像3.5，2020，6.7，等这样的数都是正数，它们都是大于0的； 负数：像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是负数，它们都是小于0的； 0既不是正数，也不是负数. 1.一个数前面的“＋”号或“－”号叫做它的符号，其中“＋”号可以省略不写，“－”号不能省略； 2.0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没有温度； 3.判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，如后面要讲的-（-1）就是一个正数. 知识点02 具有相反意义的量 1.具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量. （1）单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的； （2）具有相反意义的量必须是同类量，如盈利200元与向东走200米就不是具有相反意义的量； （3）具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等，例：与上升100米是相反意义的量有很多，如下降10米、下降120米、下降200米等； （4）常见的具有相反意义的量：以海平面为基准，高于海平面为正，则低于海平面为负；常见的还有前进与后退，上升和下降，盈利和亏损，向南和向北等. 2.当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示. 知识点03 有理数的概念与分类 我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数. 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数，如π，，等. 拓展：循环小数化成分数如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节． 4、循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数. （1）纯循环小数化分数 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、0.等，纯循环小数化为分数的方法是：分子是由一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．例如：； （2）混循环小数化分数 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数． 5、有理数的分类 补充：有理数的分类原则 1 标准要统一，必须按同一分类标准进行分类，如将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准就不统一； 2 分类不重合，所分的各类应互不包含，如有理数分为非负有理数、0和正有理数就违反了这一原则； 3 分类无遗漏，所分各类之“和”必须是原来的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0. 知识点04 数轴 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 2.数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 3.所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 知识点05 绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作|a|，读作“a的绝对值”. 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以|0|=0. 4.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 5.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有|a|≥0. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 知识点06 相反数 1.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. （1）0的相反数是0； （2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）. 2.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. （1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等； （2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数. 3相反数的性质 任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 4.相反数的特征 若a与b互为相反数，则a＝－b，反之，若a＝－b，则a与b互为相反数. （1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； （2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！ 知识点07 有理数的大小比较 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 题型一 正数和负数 解｜题｜技｜巧 记住大于0的是正数，小于0的是负数，0既不是正数也不是负数； 【典例1】（24-25七年级上·河北邢台·期中）周末嘉嘉骑车从家出发，先向西骑行到达小明家，继续向西骑行到达琪琪家，然后向东骑行到达图书馆．则图书馆到小明家的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正负数在行程问题中的应用以及距离的计算，解题的关键是通过规定正方向，将行程转化为有理数的运算，从而确定图书馆与小明家的位置关系和距离． 规定正方向，确定各行程的正负表示，再计算图书馆到小明家的距离． 【详解】规定向东为正方向，那么向西就为负方向．嘉嘉从家出发到小明家的行程可表示为，从小明家到琪琪家的行程为，从琪琪家到图书馆的行程为， 嘉嘉从家到图书馆的总行程为，这表明图书馆在嘉嘉家东边300m处， 已知小明家在嘉嘉家西边300m处，图书馆在嘉嘉家东边300m处，所以图书馆到小明家的距离是， 故选：C． 【典例2】（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，小李在某运动APP中设定了每天的步数目标为8000步，该APP用正数表示超过目标步数的步数，用负数表示少于目标步数的步数． (1)从9月2日到9月5日这四天中，步数最多的是9月________日，步数最少的是9月________日； (2)小李这四天走的步数一共是多少？ 【答案】(1)4；3； (2) 【分析】本题考查了正负数，掌握正负数的意义是关键． （1）步数超出最多的量为最多的一天，步数不足最多的量为最少的一天； （2）用每天8000步加上每天的出入量，得出总和即可． 【详解】（1）∵， ∴从9月2日到9月5日这四天中， 步数最多的是9月4日，步数最少的是9月3日． 故答案为：4；3； （2）（步）， 答：小李这四天走的步数一共是步． 【变式1】（24-25七年级下·云南昆明·期中）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”如：粮库把运进吨粮食记为“”，则“”表示（    ） A．盈利吨粮食 B．运出吨粮食 C．亏损吨粮食 D．运出吨粮食 【答案】B 【分析】本题主要考查正负数的意义；根据正负数的意义，运进记为“+”，则相反意义的运出应记为“−”，直接对应选项即可． 【详解】解：题目中明确将运进30吨粮食记为“+30”， 根据“正负以名之”的原则，相反意义的运出应用负数表示． 因此，“−30”表示运出30吨粮食． 选项B正确，其他选项中的数值或概念（如盈利、亏损）均与题意不符． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·北京·期中）下列不具有相反意义的量的是（ ） A．前进米和后退米 B．身高增加厘米和体重减少千克 C．超过克和不足克 D．节约吨水和浪费吨水 【答案】B 【分析】本题考查了相反意义的量，理解相反意义的量是解题的关键．根据两个量是否具有相反意义逐项判定即可． 【详解】解：A、前进米和后退米是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； B、身高增加厘米和体重减少千克不是具有相反意义的量，故此选项符合题意； C、超过克和不足克是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； D、节约吨水和浪费吨水是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式3】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在“，35，，，，0，，”这8个数中，正数有 个，负数有 个． 【答案】 5 2 【分析】本题考查正数与负数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据正数与负数的定义，直接作答即可． 【详解】解：正数有35，，，，，共5个； 负数有，共2个． 故答案为：5；2． 题型二 有理数的概念与分类 解｜题｜技｜巧 有理数的分类里记住三种类型： 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数， 【典例1】（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）把下列各数分别填入相应的集合里．（填序号即可） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 正有理数集合：{                        …}； 负有理数集合：{                       …}； 整数集合：{                       …}； 负整数集合：{                       …}； 有理数集合：{                       …}． 【详解】正有理数集合：{①③④⑧…}； 负有理数集合：{ ②⑤⑦…}； 整数集合：{ ①④⑤⑥…}； 负整数集合：{⑤…}； 有理数集合：{①②③④⑤⑥⑦⑧…} 【典例2】（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）将下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，， 整数集合：                   ； 负有理数集合：                ； 正分数集合：                  ； 非负整数集合：                ． 【详解】解：，，，，，，，，，， 整数集合：，，，； 负有理数集合：，， ； 正分数集合： ， ； 非负整数集合：，， ． 【变式1】（24-25六年级上·上海·期中）在数，0，29，，，，，中，有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】解：是有限小数，属于分数，是有理数， 0是整数，是有理数；29是正整数，是有理数， 因为是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，不是有理数， 是负分数，属于有理数， ，是无限不循环小数，不是属于有理数， ，是循环小数，属于分数，是有理数， 共5个，故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期中）在，5，，，，中，负分数有（  ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【详解】解：在，5，，，，中，负分数有，，，共3个， 故选：C． 【变式3】（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）下列各数，属于非负整数集合的有 ． 【答案】 【详解】解：非负整数即为大于等于0的整数。 中大于等于0的整数有． 故答案为： ． 题型三 数轴的三要素及其画法 解｜题｜技｜巧 数轴三要素：原点、单位长度、正方向。 【典例1】（24-25七年级上·云南昭通·期中）下列数轴正确的是（   ） A．    B． B．   C．    D．   【答案】B 【分析】本题考查的是数轴三要素，根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度且单位长度要统一，解答即可. 【详解】A、单位长度不统一，故该选项不正确，不符合题意； B、数轴的三要素：原点、正方向与单位长度且单位长度统一，故该选项正确，符合题意； C、没有正方向，故该选项不正确，不符合题意； D、 单位刻度的数值标错了，故该选项是错误的；故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【典例2】下列关于数轴的说法正确的是（    ） A．规定直线上向左的方向为正方向 B．所有数轴上的单位长度一定相等 C．数轴上的原点两边的点可以表示同一个数 D．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 【答案】D 【分析】本题考查数轴，明确数轴的概念和三要素是关键．根据数轴的概念和三要素逐一分析即可． 【详解】解：A、规定直线上向右为正方向，故本选项错误，不符合题意； B、同一数轴上的单位长度一定相等，故本选项错误，不符合题意； C、数轴上的原点两边的点不可以表示同一个数，故本选项错误，不符合题意； D、数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线，故本选项正确，符合题意， 故选：D． 【变式1】下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有 个． 【答案】3 【详解】说法（1），数轴上，原点位置的确定是任意的，符合题意； 说法（2），数轴上，一般情况下，正方向可以是向右，符合题意； 说法（3），数轴上，单位长度可根据需要任意选取，符合题意； 说法（4），数轴上的点不仅能表示整数，还能表示分数，无限不循环小数等，不符合题意． 说法共有3个正确． 故答案为：3． 【变式2】补全数轴，并在数轴上表示下列各数．1.5，0.4，，． 【详解】解：把各数在数轴上表示出来，如图所示： ． 【变式3】请把下面不完整的数轴画完整，并在数轴上标出下列各数： ，，4，．    【详解】解：如图， 题型四 利用数轴表示有理数的大小 解｜题｜技｜巧 利用数轴比较有理数的大小时，要注意在数轴右边的数字要大于左边的数字；注意数字所带的符号，正负号千万不能弄错了； 【典例1】把下列各数在数轴上表示出来，并将它们按照从小到大的顺序用“<”连接起来． ，，0，，5． 【答案】数轴上表示见解析， 【详解】解：把各数表示在数轴上如下： 故． 【典例2】（1）在数轴上把下列各数表示出来； （2）用“”连接各数． 【答案】（1）见解析（2） 【详解】解：（1），，， 在数轴上把各数表示出来为： ； （2）用“”连接各数为：． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）画出数轴，并在数轴上表示下列各数：，，，并按从小到大的顺序用“”排列． 【答案】数轴如图， 【详解】解：在数轴上表示各数，如图∶ 按从小到大的顺序用“”排列为． 【变式2】如图所示，在数轴上表示下列各数：，0，，2，，．并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来． 【答案】见解析； 【详解】解：在数轴上表示各数，如下： 按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来为： ． 【变式3】有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称后的记录如下：有以下5个数：，． (1)画出数轴，在数轴上画出表示各数的点； (2)用“”号把它们连接起来． 【详解】（1）解：，， 在数轴上画出表示各数的点，如图， ； （2）解：由（1）中各数在数轴上的位置可知， ． 题型五 数轴上两点之间的距离 解｜题｜技｜巧 数轴上两点之间的距离，一般只用右边对应的数（符号也可）减去左边对应的数；若分不清两点谁在左在右，可以通过加绝对值进行分类讨论； 【典例1】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）点在数轴上的位置如图所示，已知点为原点，、若点表示的数为，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和数轴可以用含的式子表示出点表示的数，进而即可求解． 【详解】解：∵点所表示的数为，且位于原点左侧， ∴长为， ∵，∴， ∵，∴，且点位于原点右侧， ∴点表示的数为 故选：A． 【典例2】已知数轴上，两点分别表示，6．若在数轴上找一点，使得点与点的距离为4；找一点，使得点与点的距离为1．下列不可能为点与点的距离的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，点与点在数轴上的位置如图所示： 在数轴上使的距离为的点有两个：、 数轴上使的距离为的点有两个：、 ∴ ①与的距离为：； ②与的距离为：； ③与的距离为：； ④与的距离为：； 综合①②③④，可知与的距离可能为：、、、． 故选：A． 【变式1】在数轴上，距原点距离为2的点是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴，分两种情况，再结合数轴上两点之间的距离即可得解，熟练掌握数轴上的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：当这个点在原点的左边时，这个点为；当这个点在原点的右边时，这个点为， 故在数轴上，距原点距离为2的点是或， 故答案为：或． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知数轴上A点为，点B由点A向右移动6个单位长度，点C距离点B两个单位，则点C在数轴上对应的数为 ． 【答案】5或1 【分析】本题考查了数轴，掌握平移的关键在于点对应的数的大小变化和平移的规律． 数轴上的点平移时和数的大小变化规律：左减右加． 【详解】解：∵A点为，点B由点A向右移动6个单位长度， ∴B 是， ∵点C距离点B两个单位， ∴①当点C在点B的右边时：； ②当点C在点B的左边时：； ∴点C在数轴上对应的数为5或1， 故答案为：5或1. 【变式3】已知数轴上A，B两点之间的距离是2个单位长度，点A到原点O的距离是3个单位长度，那么点B对应的数是多少？ 【答案】点对应的数是或． 【分析】此题考查了数轴上的点所表示的数与数轴上两点间的距离．先根据点A到原点的距离为3，求出点A表示的数，再根据点A、点B之间距离为2，即可求出答案． 【详解】解：点与原点的距离为3， 点A所表示的数为：3或， 又 A、B之间的距离为2， 当点A所表示的数为3时， 点B表示的数为1或5； 当点A所表示的数为时， 点B表示的数为或； 综上所述，点对应的数是或． 题型六 数轴上点的平移 解｜题｜技｜巧 数轴上点的平移牢记：若向右平移，即点所对应的数字加上移动的距离，就等于平移后点所对应的数字；向左平移则减去即可； 【典例1】（25-26七年级上·全国·期中）点A在数轴上表示的数是，将点A沿数轴移动5个单位长度后得到点B，则点B所表示的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【分析】此题是考查数轴的认识． 点A为数轴上表示的点，即点A在原点左边表示2个单位长的点，当点A沿数轴移动5个单位长度到点B时，有两种情况：一是向右移动；二是向左移动．若向右移动，移动5个单位长度时，到原点右边表示3个长度单位的点，即3，若向左移动5个单位，B点在原点左边7个单位长度的点，即． 【详解】解：点A为数轴上表示的点，当点A沿数轴移动5个单位长度到点B时，点B所表示的数为3或． 故选：C． 【典例2】在数轴上，一点从点A出发，先向正方向移动3个单位长度，再向负方向移动5个单位长度到达点B．若点B表示的数为，则点A表示的数为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律，解决本题的关键是掌握点的移动规律．通过点B的位置通过两次反方向移动得到点A的位置. 【详解】解：点B是点A两次移动后的位置， 故点B向正方向移动5个单位长度，再向负方向移动3个单位长度得到点A. 点B表示的数为，向正方向移动5个单位得; 再向负方向移动3个单位得：故答案为：D． 【变式1】数轴上一点A表示的数是3，由点A向右移动2个单位长度到点B，再由点B向左移动9个单位长度到点C，此时点C表示的数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了数轴上点的平移，正确记忆平移规律是解题的关键． 利用A点位置结合平移规律依次求得点B，C表示的数． 【详解】解：点A表示的数是3， 由点A向右移动2个单位长度到点B，点B表示的数是， 由点B向左移动9个单位长度到点C，点C表示的数是． 故答案为：． 【变式2】在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)画出数轴，标出A，B，C三点在数轴上的位置，并写出A，B，C三点表示的数； (2)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度得到的？ (3)若蚂蚁从点D出发，先向右爬了7个单位长度，再向左爬了4个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点D表示的数． 【详解】（1）如图： A，B，C三点表示的数分别为4，6，； （2）点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了4个单位长度得到的； （3）点D表示的数为． 【变式3】，分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数，； (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵由数轴可知，， ∴；. （2）解：①若C点在B点的右侧，则， ∴， ∴点C表示的数为：， ②若C点在A，B点之间，则， ∴， ∴点C表示的数为：． 综上，C点表示的数为或； （3）解： ． 表示的数为． 题型七 数轴上整点覆盖问题 解｜题｜技｜巧 数轴上的整点覆盖问题，可以分两种情况，一种是起点是整点的，另一种是非整点起点的； 【典例1】如图，整数在数轴上所对应的点的位置被“”盖住了，则表示的整数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，根据且解答即可． 【详解】解：由a在数轴上的位置可知，且， ∴表示的整数是． 故选B． 【典例2】如图所示的数轴被墨迹盖住了一部分，则被遮住的所有整数之和为 ．    【答案】 【分析】根据题意得到被盖住的整数为，再相加即可求解． 【详解】解：根据题意得：被盖住的整数为 ， ∴被盖住的整数的和为 ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，有理数加法，熟练掌握有理数加法法则是解题的关键． 【变式1】用长为个单位长度的线段放在数轴上，能覆盖 个整数点． 【答案】或/2021或2020 【详解】解：如图所示，当起点位于整数点之间时：   长度为个单位，其覆盖了一个整数点； 长度为个单位，其覆盖了两个整数点； 长度为个单位，其覆盖了三个整数点； 长度为个单位，其覆盖了四个整数点， 以此类推： 长为个单位长度的线段放在数轴上，能覆盖个整数点． 如图所示，当起点位于整数点上时：   长度为个单位，其覆盖了两个整数点； 长度为个单位，其覆盖了三个整数点； 长度为个单位，其覆盖了四个整数点； 长度为个单位，其覆盖了五个整数点， 以此类推： 长为个单位长度的线段放在数轴上，能覆盖个整数点． 综上：长为个单位长度的线段放在数轴上，能覆盖或个整数点． 故答案为：或． 【变式2】如图，下面的4个数中哪一个数所表示的点被数轴上的杭州亚运会吉祥物之一宸宸卡通贴纸所覆盖（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的应用，由所覆盖部分在0和之间，逐个判断即可． 【详解】解：由图得，覆盖的区域为负半轴，且在0和之间，故覆盖的数可能是， 故选：C． 【变式3】【教材呈现】下面是华师版七年级上册数学教材第38页的“第6题”内容． 6. 求出下列每对数在数轴上的对应点之间的距离： （1）3与                （2）与 （3）与                （4）与     你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系吗？ 【阅读材料】下面是聪聪同学在完成第38页的“第6题”内容后，写的一篇数学日记，其中一部分不小心被墨迹所覆盖． 9月20日  星期三   晴 我发现，数轴上，若A，B两点分别表示数，，那么A，B两点之间的距离与，两数有如下关系：． 我认识到，数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题． 我自编了如下这个问题： 如图，数轴上的点，分别表示有理数，． ①求，两点之间的距离． ②点为数轴上一点，且点到，两点的距离相等，请你求出点 所表示的数． 【解答问题】请同学们阅读完日记之后： (1)帮聪聪同学把被墨迹覆盖的部分补充完成： ； (2)回答聪聪同学自编的两个问题． 【详解】（1）解：依题意得：， 故答案为：． （2）①∵点A，B分别表示有理数3，， ； ②设C所表示的数为c． ∵点C到A，B两点的距离相等，，， ，， 即：点C所表示的数为． 题型八 数轴上的规律探究 【典例1】正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是 ． 【答案】C 【详解】解：由题意，可知，点从1开始，每翻转6次一个循环， ∵， ∴数轴上数所对应的点是； 故答案为：C 【典例2】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A、D所对应的数分别为0和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2025次后，数轴上的数2025所对应的点是 ． 【答案】B 【详解】解：由题意可知，字母按照B，C，D，A的循环顺序，在数轴上对应着1，2，3，4…等数字，且翻转的次数与数轴上对应的数字相同， ∵， ∴数轴上数2025所对应的点是点B． 故选：B． 【变式1】如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，．．．，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】B 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上． 点对应的数轴上的数可能为2021， 故选：B． 【变式2】三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【详解】解：由题意可得，在翻转的过程中，点对应的数依次为空、空、 故每次翻转为一个循环组 ， 翻转次后，点不在数轴上． 故选：A． 【变式3】在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【答案】1013 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013； 故答案为：1013. 题型九 相反数 解｜题｜技｜巧 牢记相反数的性质，互为相反数的两个数和为0； 【典例1】下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．3和 【答案】A 【分析】该题考查了相反数的定义，化简各数，再根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：A．和互为相反数，符合题意； B．和，不是互为相反数，不符合题意； C．和，不是互为相反数，不符合题意； D．3和，不是互为相反数，不符合题意； 故选：A． 【典例2】下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解：A、先化简两数：，，两数相等，不是相反数，此选项不符合题意； B、先化简两数：，，两数只有符号不同且绝对值相等，是相反数，此选项符合题意； C、先化简两数：，，两数绝对值不相等，不是相反数，此选项不符合题意； D、先化简两数：，，两数绝对值不相等，不是相反数，此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】若的相反数为9，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数，根据题意得到，求解即可，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：的相反数为9， ， 解得：， 故答案为：． 【变式2】一个数在数轴上所对应的点向右移动8个单位长度后，得到它的相反数，则这个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，数轴的知识，根据相反数的意义得这个数到原点的距离为，再根据这个数在原点左侧可得结论． 【详解】解：∵一个数在数轴上对应的点向右移动8个单位长度后得到它的相反数， ∴这两个数(原数和它的相反数)在数轴上对应的点之间的距离是8； ∵互为相反数的两个数到原点的距离相等， ∴原数到原点的距离是， 又∵原数在数轴上对应的点向右移动8个单位长度后才到它的相反数对应的点， ∴原数在原点左侧，是， 故答案为：． 【变式3】如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上． (1)若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为___________； (2)若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为___________； (3)若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置． 【详解】（1）解：若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为B； 故答案为：B； （2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为C； 故答案为：C． （3）如图所示： 题型十 绝对值非负性 解｜题｜技｜巧 绝对值的非负性要注意： （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 【典例1】，则（　　） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质可求出a、b的值，再将它们代入式子求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 【典例2】若a为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．的值是正数 B．的值是负数 C．的值是正数 D．的值小于1 【答案】C 【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的非负性逐项判断即可． 【详解】解：A．，因此的值是正数或0，该选项说法错误； B．，因此的值是负数或0，该选项说法错误； C．，因此的值是正数，该选项说法正确； D．，因此的值小于或等于1，该选项说法错误； 故选C． 【变式1】当 时，式子有最小值． 【答案】2 【详解】解：根据，得到时，取得最小值， 解得， 故答案为：2． 【变式2】若，则 ， ． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 【变式3】已知，求式子的值． 【详解】解：，，，． ，，． ，，．，，， ． 题型十一 绝对值的几何意义 解｜题｜技｜巧 绝对值的几何意义，主要是考查绝对值与数轴结合的题型，难度较大，主要在于理解绝对值的几何意义，在基本概念的基础上进行拓展： 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 【典例1】我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．先根据绝对值的意义可得当取最小值时，由观察数轴可知表示的点在和之间（包括和），从而可得整数的值，再计算有理数的加法即可得． 【详解】解：指的是在数轴上，表示数的点到表示数和的点的距离之和， 由数轴可知，当取最小值时，表示的点在和之间（包括和）， 所以表示整数的点有，，，，，，， 则所有满足条件的整数有个， 故选：C． 【典例2】已知实数a，b满足，且，则下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，即，也就是，所以，因此选项A不符合题意； B．若，则，即，所以，因此选项B不符合题意； C．若，则，即，所以，因此选项C符合题意； D．若，则，即，所以，，因此选项D不符合题意． 故选：C． 【变式1】若数轴上的两点分别表示实数a，b，那么这两点之间的距离表示．例如，数轴上表示和2的两点之间的距离是．若数轴上一点表示x，则当代数式取最小值时，满足条件的整数x的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的性质、数轴上两点间距离的计算，针对能否翻译成数学的语言是解题的关键． 由代数式取最小值时可得，到与到的距离之和最小，那么只有在和之间的线段上时，才能取最小值，据此即可得到答案． 【详解】解：若代数式取最小值，由两点之间的距离表示可知，表示和x的两点之间的距离，表示1和的两点之间的距离，而要使取最小值，当且只当表示的点在和之间的线段上，所以． 故整数x可取：． 故答案为：． 【变式2】点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是　　，数轴上表示和的两点之间的距离是　　； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为　　； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是：， 数轴上表示和的两点之间的距离是：， 故答案为：，． （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：． （3）解：有最小值， 根据绝对值的几何意义可知，表示：数轴上表示的点到表示与的点的距离之和， ∴当时，取最小值，最小值为， 答：有最小值，最小值为． 【变式3】我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______； (3)数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是； （2）解：若，那么的值为5或； （3）解：的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标， ，其中整数有，，0，1，2，3，共6个； 表示数轴到表示3与表示的点距离之和， 由两点之间线段最短可知： 当时，有最小值，最小值为． 题型十二 绝对值的其他应用 【典例1】如图，检测5个排球，其中超过标准质量的克数记为正数． (1)各表示什么？ (2)哪个球的质量最接近标准质量？请说明理由． 【详解】（1）解：表示超过标准质量，表示不足标准质量． 表示超过标准质量，表示不足标准质量． 表示不足标准质量． （2）解：记为的排球最接近标准质量，理由如下： ∵， ∴记为的排球最接近标准质量． 【典例2】（24-25六年级上·山东淄博·期中）某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果 记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）： 1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件： 根据信息回答问题： (1)你认为几号零件的大小最符合标准？ (2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论． 【详解】（1）解：∵， ∴5号零件的大小最符合标准． （2）解：∵，， ∴第1、2、5号是正品； ∵，∴3号是次品， ∵，∴4号为废品． 【变式1】有一批试剂，每瓶标准剂量为200毫升，现抽取8瓶样品进行检测，根据标准计量，用正数表示高于标准量、负数表示低于标准量，统计结果如下（单位：毫升）： ，，，，，，，． (1)这8瓶样品试剂的总剂量是多少？ (2)现在要将这8瓶样品试剂再加工制作成标准剂量，若增加或者减少每瓶试剂剂量的人工费是12元毫升，则共需要多少人工费？ 【详解】（1）解： (毫升)， 答：这8瓶样品试剂的总剂量是1596毫升； （2）解： (元) 答：共需要696元人工费． 【变式2】世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数）． 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 0.1 0.2 0 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过的为优等品，超过但不超过的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 【详解】（1）解：四号球，正好等于标准的质量， 五号球，，比标准球轻克， 二号球，，比标准球重克． （2）解：在这六个乒乓球中，优等品是二号球、四号球、五号球，共3个；合格品是三号球、六号球，共2个；不合格品是一号球，共1个； 理由如下：一号球，，不合格， 二号球，，优等品， 三号球，，合格品， 四号球，，优等品， 五号球，，优等品， 六号球，，合格品． 【变式3】某仓库管理员连续 7 次对进库、出库的冰箱台数进行统计，将进库的冰箱台数记作正数，出库的冰箱台数记作负数．记录如下表（单位：台）： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 (1)在这 7 次进库、出库前，仓库管理员结算仓库有 219 台冰箱．那么在这 7 次进库、出库后，仓库存有冰箱多少台？ (2)若每台冰箱进库或出库的搬运费均为 10 元，则这 7 次进库、出库的冰箱搬运费共多少元？ 【详解】（1）∵ 又∵出库前，仓库管理员结算仓库有 219 台冰箱 ∴在这 7 次进库、出库后，仓库存有冰箱数量为：台． （2）根据题意，这 7 次进库、出库的冰箱搬运费为元． 题型十三 有理数的大小比较 解｜题｜技｜巧 先画出数轴，记住正数大于0，负数小于0；然后看数轴上点的位置，右边的点所代表的数大于左边的点代表的数； 【典例1】比较下列两数大小，结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比较有理数的大小．根据正数大于负数、两个负数,绝对值大的反而小进行解答即可． 【详解】解：A、 ，，则该选项正确； B、，，，，，，则该选项错误； C、，，则该选项正确； D、，， ， 则该选项正确； 故选：B． 【典例2】下列说法中正确的是（   ） ①绝对值最小的有理数是0；    ②数轴上原点两侧的数互为相反数； ③负数的相反数大于自身    ④两个数相互比较绝对值大的反而小． A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据相反数和绝对值、有理数、负数比较大小等知识．根据相反数和绝对值的概念和意义进行判断即可． 【详解】解：①绝对值最小的有理数是0，说法正确； ②数轴上原点两侧到原点距离相等的两个数互为相反数，故说法错误； ③负数的相反数是正数，大于自身，说法正确； ④两个负数相互比较绝对值大的反而小，故说法错误． 所以说法正确的是①③． 故选：B． 【变式1】（25-26六年级上·全国·期中）比较大小∶ ， ．(在横线上填“<”“>”或“=”) 【答案】 > > 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为＞，＞． 【变式2】如图，有理数a，b满足，且． (1)在数轴上标出表示数a，b，，对应的点的大致位置； (2)试将a，b，，，1，用“”将它们连接起来； (3)若，请直接写出不小于且小于b的整数． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，， ∴数a，b，，在数轴上的位置如图： （2）解：由（1）中的数轴可知，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴不小于且小于b的整数有． 【变式3】小夏和小祺玩数字分类游戏，两人配合完成了对于数字“”的分类，分类情况如下： 正数：． 正整数：． 整数：． 正数： ． 正整数： ． 整数： ． (1)小星检查后发现有些数字放错了位置，请你在上述表格的横线处填写正确的归类． (2)将上述所有数字比较大小，并用“＜”连接． 【详解】（1）解：正确的归类如下： 正数：． 正整数：． 整数：． （2）解：． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．2024的相反数是（ ） A． B．2024 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的概念．根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解：2024的相反数是． 故选：C． 2．下列说法正确的是（   ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．有理数可分整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类 D．以上说法都正确 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 根据有理数的分类方式作答即可． 【详解】A． 有理数包括正数、负数和零，说法错误 B． 一个有理数不是整数就是分数，说法正确 C．分类标准混乱，说法错误 D．综上可知，说法错误 故选：B 3．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，的大小关系是（ 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴比较大小，相反数，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相反数的意义在数轴上确定，，的位置，然后比较大小即可． 【详解】解析：与互为相反数，1与互为相反数，则，，的位置如图所示， ∴， 故选：C． 4．（25-26七年级上·全国·期中）点A在数轴上表示的数是，将点A沿数轴移动5个单位长度后得到点B，则点B所表示的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【分析】此题是考查数轴的认识． 点A为数轴上表示的点，即点A在原点左边表示2个单位长的点，当点A沿数轴移动5个单位长度到点B时，有两种情况：一是向右移动；二是向左移动．若向右移动，移动5个单位长度时，到原点右边表示3个长度单位的点，即3，若向左移动5个单位，B点在原点左边7个单位长度的点，即． 【详解】解：点A为数轴上表示的点，当点A沿数轴移动5个单位长度到点B时，点B所表示的数为3或． 故选：C． 5．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值；先化简绝对值，再根据绝对值的几何意义求出结果即可． 【详解】解：∵，∴，∴， 故答案为：． 6．数轴上有两个点、，点表示的数为，点表示的数是，两个点之间的距离为9，则 ． 【答案】 【详解】∵点表示的数为，点表示的数是，两个点之间的距离为9， ∴，即， 故答案为： 7．若与互为相反数，则 ． 【答案】 【详解】解：与互为相反数， ， 又，， ，， ，， ． 故答案为：． 8．（25-26六年级上·全国·期中）把下列各数填在相应的集合里∶ 3，，，0，，，，，，． (1)正整数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (2)整数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (3)正分数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (4)负分数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (5)非负有理数集合{　　　　　　　　　　　　　　…}． 【详解】（1）正整数集合{3，，…}； （2）整数集合{3，，0，，，…}； （3）正分数集合{，，，…}； （4）负分数集合{，，…}； （5）非负有理数集合{3，，0，，，，…}． 9．已知下列有理数：1，，0，，，． (1)画出数轴，在数轴上标出这些数对应的点； (2)用“<”将这些数连接起来； (3)其中是整数的是____________，是负分数的是__________________． 【详解】（1）解：将有理数表示在数轴上，如图所示， （2）根据（1）中数轴的信息可得，； （3）其中是整数的是，0，1；是负分数的是，． 故答案为：，0，1；，． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 10．我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．先根据绝对值的意义可得当取最小值时，由观察数轴可知表示的点在和之间（包括和），从而可得整数的值，再计算有理数的加法即可得． 【详解】解：指的是在数轴上，表示数的点到表示数和的点的距离之和， 由数轴可知，当取最小值时，表示的点在和之间（包括和）， 所以表示整数的点有，，，，，，， 则所有满足条件的整数有个， 故选：C． 11．一批零件，以规定长度为标准，超过规定长度记为正数，不足规定长度记为负数，抽查了4个零件，检查结果如下：第一个，第二个，第三个，第四个，则其中质量最好的零件为（   ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【答案】C 【分析】此题主要考查正负数的意义，质量最好的零件是与标准长度相差最小的，超过规定长度记为正数，不足规定长度记为负数，据此比较绝对值的大小即可． 【详解】解：，， ， 所以第三个最接近标准长度，质量最好， 答：其中质量最好的零件为第三个． 故选：C． 12．已知数轴上有三点，且点在点的右侧，点表示的数分别是1、3，若，则点表示的数是（    ） A． B．7 C．4 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，解题的关键是熟练运用两点间距离公式求出的长度，再结合与的关系求出点的位置． 先根据、表示的数求出的距离，再由求出的长度，最后根据点在点右侧，求出点表示的数． 【详解】解：数轴上两点间的距离为两点所表示数的差的绝对值， 点表示的数是1，点表示的数是3，因此， 已知，结合，可得， 因为点在点的右侧，点表示的数是3， 所以点表示的数为． 故选：B． 13．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）在数轴上，点A表示的数为，点表示的数为，点从A出发，以每秒个单位长度的速度向运动，到达后立即返回，当 秒时，点到点A的距离是个单位长度． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上动点问题，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键．先求出距离，分从A到B点和从B点返回两种情况解答，利用距离除以速度等于时间求解即可． 【详解】解：∵点A表示的数为，点表示的数为， ∴， 点从A出发到达恰好距离A点个单位长度运动，用时秒， ∴， 到达后立即返回，再走个单位长度距离A点个单位长度，用时秒， 此时． 故答案为：或． 14．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程如下：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若按随意顺序输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果为k，若k的最大值为2025，那么k的最小值是（   ） A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质，理解题意是解题的关键，根据题意，不妨设，进而表示出的值，然后根据的最大值为2025，可以得到的值，从而可以得到的最小值． 【详解】解：不妨设 输入的三个数为a，b，2， ∴第一次输入后显示的结果为：或或， 第二次输入后显示的结果为： 或或 ∵的最大值为2025， ∵，最大， ∴或 ， ∴的最小值是； 故选C． 15．数轴上表示整数的点称为整数点．某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画一条长的线段，则线段盖住的整数点的个数是（   ） A．2025 B．2026 C．2025或2026 D．2024或2025 【答案】C 【分析】考虑线段起点是否在整点上，分两种情况讨论：①起点在整点时；②起点不在整点时. 【详解】解：、 起点在整数点： 若线段的起点恰好位于某个整数点（如处）， 则线段每延伸会覆盖下一个整数点. 长度为时，终点为处， 覆盖的整数点包括起点到终点共个. 、起点不在整数点： 若线段起点在两个整数点之间（如处）， 则终点为处， 此时覆盖的整数点从到，共个. 综上，线段盖住的整数点个数为或. 故选：. 16．（25-26七年级上·全国·期中）已知有理数a，b，c在数轴上的位置：a在原点左边，b在原点右边但是靠近原点，c在b右边更远的位置，化简：． 【详解】解：由题意得：， ∴，，， ． 17．如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题： （1）点，，表示的数分别为 ， ， ； （2）点，，表示的数的相反数分别为 ， ， ； （3）将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ； （4）将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ． 【详解】（1）点，，表示的数分别为，，； 故答案为：，， （2）点，，表示的数的相反数分别为，，； 故答案为： ，， （3）将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，相反数是； 故答案为： （4）将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，相反数是． 故答案为： 18．阅读： 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难人微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）发现问题：代数式的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点分别表示数． 因为的几何意义是线段与的长度之和， 所以当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，，所以的最小值是3． (1)借助数轴，说明的最小值是多少？ (2)当代数式的最小值是1时，直接写出此时的a值． 【详解】（1）解：因为． 如图，表示点到点的距离与点到点的距离之和， 当点在线段上时，， 当点在点的左侧或点的右侧时，， 所以的最小值是； （2）解：当为或时，代数式为或， 数轴上表示数2的点到表示数3的点的距离为1，数轴上表示数4的点到表示数3的点的距离也为1， 当为或时，原式的最小值是1． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 19．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，有理数，，，在数轴上的对应点分别是，，，．若，互为相反数，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，相反数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由数轴和已知条件得出，，，的正负和它们的绝对值的大小，从而求得、、、的值的正负，从而进行判断． 【详解】解：由数轴可得，， 、互为相反数， ，且， ，，， ，，，， 故选：B． 20．若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据、、均为整数，且，可得，或，，然后分两种情况分别求出的值即可． 此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键． 【详解】解：，，均为整数，且， ，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，， ； 综上，的值为2． 故选：B． 21．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么 ．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，根据绝对值的意义解答①，由得式子表示到的距离与到的距离与到的距离的倍的和，可知，当在的位置时，距离之和最小，据此即可解答②，运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴式子表示到的距离与到的距离与到的距离的倍的和， 可知，当在的位置时，距离之和最小，最小值为， 故答案为：或，． 22．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离_______，线段的中点C表示的数为_______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为_______； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【详解】（1）解：①由题意得：，线段AB的中点C为， 故答案为：10，3； ②数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动． t秒后，点P表示的数为：，点Q表示的数为：； 故答案为：，； （2）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵， ∴， 解得：或3， ∴当或3时，； （3）解：不发生变化，理由如下： ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴． 23．已知A，B两点在数轴上对应的有理数分别为a，b，且a，b满足：． (1)则______，______； (2)定义：若点M为数轴上A，B两点之间一点，且到A，B两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离的2倍，则称M为A，B两点的“友好点”． ①求A，B两点的“友好点”M在数轴上对应的有理数； ②点P在点A右侧，同时点Q在点B的右侧，P在Q的左侧，且，则当B，P，Q三点中有一点是另两点的“友好点”，求的值． 【详解】（1），，且， ，，解得，， 故答案为，12； （2）①设数轴上点M表示的数为x，，， 根据“友好点”的定义，M到A、B两点的距离满足其中一个距离是另一个距离的2倍，即或， 当时，，解得， 当时，，解得 所以数轴上点M对应的有理数是6或0； ②，且，， 设点P表示的数为p， 点P在点A右侧，A表示的数为，，解得， 设点Q表示的数为q，则， 当点B是P、Q的“友好点”时：有或，， 当时，，解得， 此时点表示的数是，点表示的数是，点在点的右侧，不合题意，舍去； 当时，， 当点P是B、Q的“友好点”时：有或，，， 当时，，解得，则， 当时，， 解得，则， 当点Q是B、P的“友好点”时：有或，，， 当时，， 解得，则， 当时，， 解得（因为点Q在B右侧，所以舍去）， 综上分析可得，的值为45或60或90． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正负数的意义 能准确判断正负数在实际情境中的意义 基础必考点，常出现在选择题中 有理数的分类 能根据有理数的概念区分有理数的分类 高频易错点，在对数字进行分类时忽略不循环小数和π 数轴 可以在数轴上表示有理数，并且能够利用数轴表示两点距离，同时能够解决动点问题 期中必考点，各题型均有可能出现；用数轴表示有理数、数轴上两点之间的距离表示和数轴比较大小是常考点；而数轴的动点问题则是作为压轴题来进行考查 相反数 重点掌握相反数的概念和性质，互为相反数的两个数和为0； 期中常考点，一般会和其他知识点混合一起考查，难度不大； 绝对值 能根据绝对值的概念与性质求解 期中必考点，基础题型和中等难度题型均可能出现；同时也会和数轴一起作为压轴题进行考查； 有理数的大小比较 能用不同的方法进行有理数的大小比较 基础必考点，一般在解答题中会有一道题与数轴一起考查有理数的大小比较 知识点01 正数与负数 正数：像3.5，2020，6.7，等这样的数都是正数，它们都是大于0的； 负数：像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是负数，它们都是小于0的； 0既不是正数，也不是负数. 1.一个数前面的“＋”号或“－”号叫做它的符号，其中“＋”号可以省略不写，“－”号不能省略； 2.0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没有温度； 3.判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，如后面要讲的-（-1）就是一个正数. 知识点02 具有相反意义的量 1.具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量. （1）单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的； （2）具有相反意义的量必须是同类量，如盈利200元与向东走200米就不是具有相反意义的量； （3）具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等，例：与上升100米是相反意义的量有很多，如下降10米、下降120米、下降200米等； （4）常见的具有相反意义的量：以海平面为基准，高于海平面为正，则低于海平面为负；常见的还有前进与后退，上升和下降，盈利和亏损，向南和向北等. 2.当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示. 知识点03 有理数的概念与分类 我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数. 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数，如π，，等. 拓展：循环小数化成分数如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节． 4、循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数. （1）纯循环小数化分数 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、0.等，纯循环小数化为分数的方法是：分子是由一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．例如：； （2）混循环小数化分数 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数． 5、有理数的分类 补充：有理数的分类原则 1 标准要统一，必须按同一分类标准进行分类，如将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准就不统一； 2 分类不重合，所分的各类应互不包含，如有理数分为非负有理数、0和正有理数就违反了这一原则； 3 分类无遗漏，所分各类之“和”必须是原来的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0. 知识点04 数轴 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 2.数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 3.所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 知识点05 绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作|a|，读作“a的绝对值”. 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以|0|=0. 4.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 5.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有|a|≥0. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 知识点06 相反数 1.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. （1）0的相反数是0； （2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）. 2.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. （1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等； （2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数. 3相反数的性质 任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 4.相反数的特征 若a与b互为相反数，则a＝－b，反之，若a＝－b，则a与b互为相反数. （1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； （2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！ 知识点07 有理数的大小比较 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 题型一 正数和负数 解｜题｜技｜巧 记住大于0的是正数，小于0的是负数，0既不是正数也不是负数； 【典例1】（24-25七年级上·河北邢台·期中）周末嘉嘉骑车从家出发，先向西骑行到达小明家，继续向西骑行到达琪琪家，然后向东骑行到达图书馆．则图书馆到小明家的距离是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，小李在某运动APP中设定了每天的步数目标为8000步，该APP用正数表示超过目标步数的步数，用负数表示少于目标步数的步数． (1)从9月2日到9月5日这四天中，步数最多的是9月________日，步数最少的是9月________日； (2)小李这四天走的步数一共是多少？ 【变式1】（24-25七年级下·云南昆明·期中）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”如：粮库把运进吨粮食记为“”，则“”表示（    ） A．盈利吨粮食 B．运出吨粮食 C．亏损吨粮食 D．运出吨粮食 【变式2】（24-25七年级上·北京·期中）下列不具有相反意义的量的是（ ） A．前进米和后退米 B．身高增加厘米和体重减少千克 C．超过克和不足克 D．节约吨水和浪费吨水 【变式3】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在“，35，，，，0，，”这8个数中，正数有 个，负数有 个． 题型二 有理数的概念与分类 解｜题｜技｜巧 有理数的分类里记住三种类型： 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数， 【典例1】（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）把下列各数分别填入相应的集合里．（填序号即可） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 正有理数集合：{                        …}； 负有理数集合：{                       …}； 整数集合：{                       …}； 负整数集合：{                       …}； 有理数集合：{                       …}． 【典例2】（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）将下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，， 整数集合：                   ； 负有理数集合：                ； 正分数集合：                  ； 非负整数集合：                ． 【变式1】（24-25六年级上·上海·期中）在数，0，29，，，，，中，有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】（25-26七年级上·全国·期中）在，5，，，，中，负分数有（  ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式3】（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）下列各数，属于非负整数集合的有 ． 题型三 数轴的三要素及其画法 解｜题｜技｜巧 数轴三要素：原点、单位长度、正方向。 【典例1】（24-25七年级上·云南昭通·期中）下列数轴正确的是（   ） A．    B． B．   C．    D．   【典例2】下列关于数轴的说法正确的是（    ） A．规定直线上向左的方向为正方向 B．所有数轴上的单位长度一定相等 C．数轴上的原点两边的点可以表示同一个数 D．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 【变式1】下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有 个． 【变式2】补全数轴，并在数轴上表示下列各数．1.5，0.4，，． 【变式3】请把下面不完整的数轴画完整，并在数轴上标出下列各数： ，，4，．    题型四 利用数轴表示有理数的大小 解｜题｜技｜巧 利用数轴比较有理数的大小时，要注意在数轴右边的数字要大于左边的数字；注意数字所带的符号，正负号千万不能弄错了； 【典例1】把下列各数在数轴上表示出来，并将它们按照从小到大的顺序用“<”连接起来． ，，0，，5． 【典例2】（1）在数轴上把下列各数表示出来； （2）用“”连接各数． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）画出数轴，并在数轴上表示下列各数：，，，并按从小到大的顺序用“”排列． 【变式2】如图所示，在数轴上表示下列各数：，0，，2，，．并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来． 【变式3】有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称后的记录如下：有以下5个数：，． (1)画出数轴，在数轴上画出表示各数的点； (2)用“”号把它们连接起来． 题型五 数轴上两点之间的距离 解｜题｜技｜巧 数轴上两点之间的距离，一般只用右边对应的数（符号也可）减去左边对应的数；若分不清两点谁在左在右，可以通过加绝对值进行分类讨论； 【典例1】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）点在数轴上的位置如图所示，已知点为原点，、若点表示的数为，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知数轴上，两点分别表示，6．若在数轴上找一点，使得点与点的距离为4；找一点，使得点与点的距离为1．下列不可能为点与点的距离的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在数轴上，距原点距离为2的点是 ． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知数轴上A点为，点B由点A向右移动6个单位长度，点C距离点B两个单位，则点C在数轴上对应的数为 ． 【变式3】已知数轴上A，B两点之间的距离是2个单位长度，点A到原点O的距离是3个单位长度，那么点B对应的数是多少？ 题型六 数轴上点的平移 解｜题｜技｜巧 数轴上点的平移牢记：若向右平移，即点所对应的数字加上移动的距离，就等于平移后点所对应的数字；向左平移则减去即可； 【典例1】（25-26七年级上·全国·期中）点A在数轴上表示的数是，将点A沿数轴移动5个单位长度后得到点B，则点B所表示的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 【典例2】在数轴上，一点从点A出发，先向正方向移动3个单位长度，再向负方向移动5个单位长度到达点B．若点B表示的数为，则点A表示的数为（   ） A． B． C．5 D． 【变式1】数轴上一点A表示的数是3，由点A向右移动2个单位长度到点B，再由点B向左移动9个单位长度到点C，此时点C表示的数是 ． 【变式2】在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)画出数轴，标出A，B，C三点在数轴上的位置，并写出A，B，C三点表示的数； (2)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度得到的？ (3)若蚂蚁从点D出发，先向右爬了7个单位长度，再向左爬了4个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点D表示的数． 【变式3】，分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数，； (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数． 题型七 数轴上整点覆盖问题 解｜题｜技｜巧 数轴上的整点覆盖问题，可以分两种情况，一种是起点是整点的，另一种是非整点起点的； 【典例1】如图，整数在数轴上所对应的点的位置被“”盖住了，则表示的整数是（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图所示的数轴被墨迹盖住了一部分，则被遮住的所有整数之和为 ．    【变式1】用长为个单位长度的线段放在数轴上，能覆盖 个整数点． 【变式2】如图，下面的4个数中哪一个数所表示的点被数轴上的杭州亚运会吉祥物之一宸宸卡通贴纸所覆盖（    ）    A．2 B．1 C． D． 【变式3】【教材呈现】下面是华师版七年级上册数学教材第38页的“第6题”内容． 6. 求出下列每对数在数轴上的对应点之间的距离： （1）3与                （2）与 （3）与                （4）与     你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系吗？ 【阅读材料】下面是聪聪同学在完成第38页的“第6题”内容后，写的一篇数学日记，其中一部分不小心被墨迹所覆盖． 9月20日  星期三   晴 我发现，数轴上，若A，B两点分别表示数，，那么A，B两点之间的距离与，两数有如下关系：． 我认识到，数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题． 我自编了如下这个问题： 如图，数轴上的点，分别表示有理数，． ①求，两点之间的距离． ②点为数轴上一点，且点到，两点的距离相等，请你求出点 所表示的数． 【解答问题】请同学们阅读完日记之后： (1)帮聪聪同学把被墨迹覆盖的部分补充完成： ； (2)回答聪聪同学自编的两个问题． 题型八 数轴上的规律探究 【典例1】正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是 ． 【典例2】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A、D所对应的数分别为0和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2025次后，数轴上的数2025所对应的点是 ． 【变式1】如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，．．．，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【变式2】三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 【变式3】在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 题型九 相反数 解｜题｜技｜巧 牢记相反数的性质，互为相反数的两个数和为0； 【典例1】下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．3和 【典例2】下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1】若的相反数为9，则的值为 ． 【变式2】一个数在数轴上所对应的点向右移动8个单位长度后，得到它的相反数，则这个数是 ． 【变式3】如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上． (1)若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为___________； (2)若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为___________； (3)若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置． 题型十 绝对值非负性 解｜题｜技｜巧 绝对值的非负性要注意： （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 【典例1】，则（　　） A．3 B． C． D．2 【典例2】若a为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．的值是正数 B．的值是负数 C．的值是正数 D．的值小于1 【变式1】当 时，式子有最小值． 【变式2】若，则 ， ． 【变式3】已知，求式子的值． 题型十一 绝对值的几何意义 解｜题｜技｜巧 绝对值的几何意义，主要是考查绝对值与数轴结合的题型，难度较大，主要在于理解绝对值的几何意义，在基本概念的基础上进行拓展： 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 【典例1】我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数有（    ）个 A． B． C． D． 【典例2】已知实数a，b满足，且，则下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】若数轴上的两点分别表示实数a，b，那么这两点之间的距离表示．例如，数轴上表示和2的两点之间的距离是．若数轴上一点表示x，则当代数式取最小值时，满足条件的整数x的值是 ． 【变式2】点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是　　，数轴上表示和的两点之间的距离是　　； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为　　； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【变式3】我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______； (3)数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____． 题型十二 绝对值的其他应用 【典例1】如图，检测5个排球，其中超过标准质量的克数记为正数． (1)各表示什么？ (2)哪个球的质量最接近标准质量？请说明理由． 【典例2】（24-25六年级上·山东淄博·期中）某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果 记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）： 1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件： 根据信息回答问题： (1)你认为几号零件的大小最符合标准？ (2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论． 【变式1】有一批试剂，每瓶标准剂量为200毫升，现抽取8瓶样品进行检测，根据标准计量，用正数表示高于标准量、负数表示低于标准量，统计结果如下（单位：毫升）： ，，，，，，，． (1)这8瓶样品试剂的总剂量是多少？ (2)现在要将这8瓶样品试剂再加工制作成标准剂量，若增加或者减少每瓶试剂剂量的人工费是12元毫升，则共需要多少人工费？ 【变式2】世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数）． 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 0.1 0.2 0 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过的为优等品，超过但不超过的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 【变式3】某仓库管理员连续 7 次对进库、出库的冰箱台数进行统计，将进库的冰箱台数记作正数，出库的冰箱台数记作负数．记录如下表（单位：台）： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 (1)在这 7 次进库、出库前，仓库管理员结算仓库有 219 台冰箱．那么在这 7 次进库、出库后，仓库存有冰箱多少台？ (2)若每台冰箱进库或出库的搬运费均为 10 元，则这 7 次进库、出库的冰箱搬运费共多少元？ 题型十三 有理数的大小比较 解｜题｜技｜巧 先画出数轴，记住正数大于0，负数小于0；然后看数轴上点的位置，右边的点所代表的数大于左边的点代表的数； 【典例1】比较下列两数大小，结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】下列说法中正确的是（   ） ①绝对值最小的有理数是0；    ②数轴上原点两侧的数互为相反数； ③负数的相反数大于自身    ④两个数相互比较绝对值大的反而小． A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 【变式1】（25-26六年级上·全国·期中）比较大小∶ ， ．(在横线上填“<”“>”或“=”) 【变式2】如图，有理数a，b满足，且． (1)在数轴上标出表示数a，b，，对应的点的大致位置； (2)试将a，b，，，1，用“”将它们连接起来； (3)若，请直接写出不小于且小于b的整数． 【变式3】小夏和小祺玩数字分类游戏，两人配合完成了对于数字“”的分类，分类情况如下： 正数：． 正整数：． 整数：． 正数： ． 正整数： ． 整数： ． (1)小星检查后发现有些数字放错了位置，请你在上述表格的横线处填写正确的归类． (2)将上述所有数字比较大小，并用“＜”连接． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．2024的相反数是（ ） A． B．2024 C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．有理数可分整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类 D．以上说法都正确 3．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，的大小关系是（ 　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·全国·期中）点A在数轴上表示的数是，将点A沿数轴移动5个单位长度后得到点B，则点B所表示的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 5．若，则 ． 6．数轴上有两个点、，点表示的数为，点表示的数是，两个点之间的距离为9，则 ． 7．若与互为相反数，则 ． 8．（25-26六年级上·全国·期中）把下列各数填在相应的集合里∶ 3，，，0，，，，，，． (1)正整数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (2)整数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (3)正分数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (4)负分数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (5)非负有理数集合{　　　　　　　　　　　　　　…}． 9．已知下列有理数：1，，0，，，． (1)画出数轴，在数轴上标出这些数对应的点； (2)用“<”将这些数连接起来； (3)其中是整数的是____________，是负分数的是__________________． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 10．我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数有（    ）个 A． B． C． D． 11．一批零件，以规定长度为标准，超过规定长度记为正数，不足规定长度记为负数，抽查了4个零件，检查结果如下：第一个，第二个，第三个，第四个，则其中质量最好的零件为（   ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 12．已知数轴上有三点，且点在点的右侧，点表示的数分别是1、3，若，则点表示的数是（    ） A． B．7 C．4 D．0 13．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）在数轴上，点A表示的数为，点表示的数为，点从A出发，以每秒个单位长度的速度向运动，到达后立即返回，当 秒时，点到点A的距离是个单位长度． 14．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程如下：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若按随意顺序输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果为k，若k的最大值为2025，那么k的最小值是（   ） A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 15．数轴上表示整数的点称为整数点．某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画一条长的线段，则线段盖住的整数点的个数是（   ） A．2025 B．2026 C．2025或2026 D．2024或2025 16．（25-26七年级上·全国·期中）已知有理数a，b，c在数轴上的位置：a在原点左边，b在原点右边但是靠近原点，c在b右边更远的位置，化简：． 17．如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题： （1）点，，表示的数分别为 ， ， ； （2）点，，表示的数的相反数分别为 ， ， ； （3）将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ； （4）将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ． 18．阅读： 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难人微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）发现问题：代数式的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点分别表示数． 因为的几何意义是线段与的长度之和， 所以当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，，所以的最小值是3． (1)借助数轴，说明的最小值是多少？ (2)当代数式的最小值是1时，直接写出此时的a值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 19．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，有理数，，，在数轴上的对应点分别是，，，．若，互为相反数，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 20．若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 21．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么 ．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为 ． 22．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离_______，线段的中点C表示的数为_______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为_______； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 23．已知A，B两点在数轴上对应的有理数分别为a，b，且a，b满足：． (1)则______，______； (2)定义：若点M为数轴上A，B两点之间一点，且到A，B两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离的2倍，则称M为A，B两点的“友好点”． ①求A，B两点的“友好点”M在数轴上对应的有理数； ②点P在点A右侧，同时点Q在点B的右侧，P在Q的左侧，且，则当B，P，Q三点中有一点是另两点的“友好点”，求的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $